东北三省三校高三一模数学理版含答案(最新整理)
2023东北三省三校一模考数学试卷+答案（高清版）
2023东北三省三校一模考数学试卷+答案(高清版)2023东北三省三校一模考数学试卷+答案(高清版)通过“一模”考试，学生不仅可以大概得知自己在学校或全区的档次，还能找到自己在前期学习中的漏洞所在。
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把握“一核四层四翼”原则，参考2023年关于高考的最新消息及时调整。
试题强调“基础性、综合性、应用性”，并把握“以能力立意为主，贴近现实”的命题指导思想，体现出新课改、新高考精神，注重考查学科核心素养。
试题力保原创性，试题样式会根据已获知的2023年最新高考信息进行适当变动。
高三的数学有什么答题技巧1、调整好状态，控制好自我。
(1)保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
(2)按时到位。
今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。
建议同学们提前15-20分钟到达考场。
2、通览试卷，树立自信。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。
答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。
面对偏难的题，要耐心，不能急。
3、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。
东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023-2024学年高三下学期第一次联合模
东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考化学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“神舟”飞天，逐梦科技强国。
下列说法中正确的是A．神舟飞船返回舱系统复合材料中的酚醛树脂属于有机高分子材料B．空间站的太阳能电池板的主要材料是二氧化硅C．飞船返回舱表面的耐高温陶瓷材料属于传统无机非金属材料D．神舟飞船的推进系统中使用的碳纤维属于有机高分子材料2．下列化学用语或表述正确的是A．基态氧原子的轨道表示式：B．甲醛分子的空间填充模型：C．用电子式表示HCl的形成过程：D．钢铁发生吸氧腐蚀时的负极反应式：O2+2H2O+4e-=4OH-3．奥司他韦是一种口服活性流感病毒神经氨酸酶抑制剂，分子结构如图所示。
下列说法正确的是A．该分子含有4种官能团B．与互为同系物C．分子式为C16H28N2O4D．该分子可发生取代、加成、消去、氧化反应4．设N A为阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．标准状况下，11.2L环庚烷中氢原子数目为7N AB．13g苯、乙炔的混合物中所含氢原子数目为N AC．2.4gMg在空气中燃烧生成MgO和Mg3N2，转移电子数目为0.1N AD．1mol NH4+中含有完全相同的N—H共价键的数目为3N A5．邻二氮菲能与Fe2+发生显色反应，生成橙红色螯合物，用于Fe2+检验，化学反应如下。
下列说法正确的是A．邻二氮菲的核磁共振氢谱有6组吸收峰B．元素的电负性顺序：N>H>C>FeC．每个螯合物离子中含有2个配位键D．用邻二氮菲检验Fe2+时，需要调节合适的酸碱性环境6．下列离子方程式正确的是A．将少量SO2通入Ca(ClO)2溶液中：SO2+Ca2++ClO—+H2O=CaSO4↓+Cl—+2H+ B．向乙二醇溶液中加入足量酸性高锰酸钾溶液：5+84MnO-+24+H=5+82+Mn+22H2OC．向饱和Na2CO3溶液中通入过量CO2：CO23-+CO2+H2O=2HCO3-D．向Fe(NO3)3溶液中加入过量HI溶液：Fe3++12H++3NO3-+10I—=Fe2++5I2+6H2O+3NO↑7．2022年度化学领域十大新兴技术之一的钠离子电池(Sodium-ion battery)是一种二次电6C+NaTMO2，下列说法错误的是池，电池总反应为：Na x C6+Na1-x TMO2 放电充电A．放电时正极反应式：Na1-x TMO2+xNa++xe—=NaTMO2B．钠离子电池的比能量比锂离子电池高C．充电时a电极电势高于b电极D．放电时每转移1mol电子，负极质量减少23g8．下列实验对应的现象及结论均正确且两者具有因果关系的是选项实验现象结论A向淀粉碘化钾溶液中通入足量Cl2溶液先变蓝后褪色不能证明Cl2氧化性强于I2B 向5mL0.1mol/L AgNO3溶液中先滴入5滴0.1mol/L NaCl溶液，再滴入5滴0.1mol/L KI溶液先产生白色沉淀后产生黄色沉淀Ksp(AgCl)>Ksp(AgI)C 蔗糖与浓硫酸混合搅拌，用湿润的品红试纸检验其气体产物蔗糖变黑，品红试纸褪色浓硫酸具有脱水性和氧化性D向K2Cr2O7溶液中滴加NaOH溶液溶液颜色由黄色变为橙色减小H+浓度，Cr2O27-转为CrO24-A．A B．B C．C D．D9．某种钾盐具有鲜艳的颜色，其阴离子结构如图所示。
高三数学2024年东北三省三校联考一模数学答案
2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。
东北三省三校2022届高三第一次联合模拟考试理科数学试题 含答案
毫T 呈哈尔滨师大附中2022年高三第一次联合模拟考试科理东北师大附中辽宁省实验巾学注意事项：1.答卷前，二号哇务必将向己的姓名、谁写证号填写在答题卡上．数应丘�2.回答选择题时，选山每小题答案后，用铅笔把答题卡1-.5｛才应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上元效．3.二号－试结束后，将本民卷和答题卡－·J i'-交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.复数z满足（I + i) 2 z = 2 -4i，则复数z=A.-2 + iB.-2 -iC.I -2i o.2 + i2.已知集合M=jyly=2’，x> I I ,N = !x I y =/h亏了i川IJ MU N等于人② B. J 21 C. [ I , + oo)3.下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（P M2.s）的xlJl测值：396 275 268 225 168 166 176 173 188 168D.[O,+oo)141 157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是A.极差8.中位数C众数。
平均数4.设m,n是两条不同的直线，α，。
，γ是芝个不同的平面，下列四个命题中正确的是A.若m IIα，nllα，则l m II nB.若αiγ，βiγ，贝I J a IIβC.若α矿β，,n cα，凡矿β，则m矿，t0.若αj{3，βIIγ，m土α，则rn土γ5.等差数列iα，，i的前几J'.J i i和为乱，已知何＝10，乌＝44，则Ss=D II·2s.f C.5A.36.直线l:x+y+m=O与困C:(x+l)2+(y-1)2=4交子A,B两点，若IABI=2，则m的值为A.±ffB.±2 c.±./67.已知α，bεR，则““b笋。
2024届东北三省三校第一次联考数学试题+答案
2024届东北三省三校第一次联考数学试题
+答案
2024年2月东北三省三校高三一模数学试题
2024年2月东北三省三校高三一模数学试题及参考答案
东北三省三校联考的意义
东北地区最具影响力的高考联合模拟考试，一个是三省四市联合模拟考试，另一个是三省三校联合模拟考试，三省四市模考由东北F4市教研院组织，参加学校基本为四市市重点高中。
三省三校联考由东北排名第一的高中东北师大附中，哈尔滨市排名第二的高中哈师大附中以及辽宁省实验中学联合举办，参加学校多为省重点高中，两类考试在东北享有很高的声誉，为莘莘学子备考提供重要参考!
高三模拟考试和高考哪个更难
这个回答没有绝对的答案，因为每年的模拟卷内容不通、高考的考卷难度也不同。
而且因为考生的成绩不同，对于考卷的难易程度判断也不同。
所以这个问题没有确切的答案。
如果按照总体的水平来评估，高考试卷的难度不会高于模拟卷，高考中基础部分和中级难度的题目占比在80%左右，只有20%是拔高题。
所以如果基础知识打的好，那么对于考生来说，高考题目不难。
高考的题目的难度是在问法、提问方式上，而并不是运用了超纲的知识点，与大家传统意义上的难度不通。
相比高考的难度，模拟考要更难一点。
因为模拟考的目的是希望通过考试来判断学生对知识点的掌握情况，如果过于简单就起不到探底的目的。
2021年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)
2021年东北三省三校〔哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学〕高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕复数的模为〔〕A．B．C．D．22．〔5分〕集合，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣3]B．〔﹣∞，﹣3〕C．〔﹣∞，0]D．[3，+∞〕3．〔5分〕从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，那么在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为〔〕A．B．C．D．4．〔5分〕s，那么=〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点〔﹣2，4〕，那么它的离心率为〔〕A．B．2C．D．6．〔5分〕展开式中的常数项是〔〕A．12B．﹣12C．8D．﹣87．〔5分〕某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值〔〕A．2B．3C．D．8．〔5分〕函数的图象的相邻两条对称轴之间的间隔是，那么该函数的一个单调增区间为〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如下图的程序框图所描绘的算法就是辗转相除法，假设输入m=8251，n=6105，那么输出m的值为〔〕A．148B．37C．333D．010．〔5分〕底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，那么该半球的体积为〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，假设以AB为直径的圆与x轴相切，那么b的值是〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，那么的取值范围为〔〕A．B．[5，9]C．D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕在△ABC中，AB=2，，，那么BC=．14．〔5分〕假设x，y满足约束条件，那么的最大值为．15．〔5分〕甲、乙、丙三位老师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的老师不教C学科；③在长春工作的老师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是．16．〔5分〕函数，x0是函数f〔x〕的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f〔x0〕+x0＜0；④f〔x0〕+x0＞0；其中正确的命题是．〔填出所有正确命题的序号〕三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕设，求数列{b n}的前n项和T n．18．〔12分〕某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经历，每天的需求量与当天的最低气温有关，假如最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20〕，需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25〕，需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购方案，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温〔℃〕[﹣35，﹣30〕[﹣30，﹣25〕[﹣25，﹣20〕[﹣20，﹣15〕[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．〔1〕求11月份这种电暖气每日需求量X〔单位：台〕的分布列；〔2〕假设公司销售部以每日销售利润Y〔单位：元〕的数学期望为决策根据，方案11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？19．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．〔1〕证明：PE⊥平面MNF；〔2〕设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．20．〔12分〕椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕假设直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．21．〔12分〕函数f〔x〕=e x，g〔x〕=lnx，h〔x〕=kx+b．〔1〕当b=0时，假设对任意x∈〔0，+∞〕均有f〔x〕≥h〔x〕≥g〔x〕成立，务实数k的取值范围；〔2〕设直线h〔x〕与曲线f〔x〕和曲线g〔x〕相切，切点分别为A〔x1，f〔x1〕〕，B〔x2，g〔x2〕〕，其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a〔x1﹣1〕+xlnx﹣x≥0恒成立，务实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：〔t为参数〕，点A〔3，0〕．〔1〕求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；〔2〕设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．〔1〕当a=1时，求不等式的解集；〔2〕假设不等式的解集为R，求a的范围．2021年东北三省三校〔哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学〕高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕复数的模为〔〕A．B．C．D．2【解答】解：∵=，∴||=|1+i|=．应选：C．2．〔5分〕集合，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣3]B．〔﹣∞，﹣3〕C．〔﹣∞，0]D．[3，+∞〕【解答】解：集合={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么A⊆B；∴实数a的取值范围是a≤﹣3．应选：A．3．〔5分〕从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，那么在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数〞，事件B表示“第二张抽取偶数〞，那么P〔A〕=，P〔AB〕==，那么在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P〔A|B〕===．应选：B．4．〔5分〕s，那么=〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵s，∴=cos[+〔〕]=﹣sin〔〕=﹣．应选：B．5．〔5分〕中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点〔﹣2，4〕，那么它的离心率为〔〕A．B．2C．D．【解答】解：∵焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±x，∴4=﹣•〔﹣2〕，∴=2，a=2b，a2=4b2=4c2﹣4a2，e=．应选：A．6．〔5分〕展开式中的常数项是〔〕A．12B．﹣12C．8D．﹣8【解答】解：的展开式的通项为=．取r﹣5=﹣2，得r=3，取r﹣5=0，得r=5．∴展开式中的常数项是﹣﹣2=﹣12．应选：B．7．〔5分〕某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值〔〕A．2B．3C．D．【解答】解：由中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×〔1+2〕×2=3．该几何体为x，几何体的体积V==1，可得x=3．应选：B．8．〔5分〕函数的图象的相邻两条对称轴之间的间隔是，那么该函数的一个单调增区间为〔〕A．B．C．D．【解答】解：函数=2sin〔ωx+〕；由f〔x〕的图象相邻两条对称轴之间的间隔是，∴T=2×=π，∴ω==2；∴f〔x〕=2sin〔2x+〕，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f〔x〕的一个单调增区间为[﹣，]．应选：A．9．〔5分〕辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如下图的程序框图所描绘的算法就是辗转相除法，假设输入m=8251，n=6105，那么输出m的值为〔〕A．148B．37C．333D．0【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴此时m=37．∴输出m的值是37，应选：B．10．〔5分〕底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，那么该半球的体积为〔〕A．B．C．D．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．那么AB=r，四棱锥的侧面积为：4×=，解得r=，四棱锥的外接半球的体积为：V==，应选：D．11．〔5分〕抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，假设以AB为直径的圆与x轴相切，那么b的值是〔〕A．B．C．D．【解答】解：联立得：y2+4y﹣4b=0．依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞﹣1．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4b，∴x1+x2=﹣2〔y1+y2〕+4b=8+4b设圆心Q〔x0，y0〕，那么应有x0=〔x1+x2〕=4+2b，y0=〔y1+y2〕=﹣2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=•=•=4•，∴|AB|=2r，即4•=4，解得b=﹣．应选：C．12．〔5分〕在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，那么的取值范围为〔〕A．B．[5，9]C．D．【解答】解：以CA，CB为坐标轴建立坐标系如下图：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，那么N〔2﹣，〕，M〔2﹣，〕，∴=〔2﹣〕〔2﹣〕+=a2﹣5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，获得最大值9，当a=时，获得最小值．应选：A．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕在△ABC中，AB=2，，，那么BC=1．【解答】解：根据题意，设BC=t，△ABC中，AB=2，，，那么有cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得：t=﹣3或t=1，又由t＞0，那么t=1，即BC=1；故答案为：114．〔5分〕假设x，y满足约束条件，那么的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A〔1，3〕，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P〔﹣1，0〕连线的斜率可得，的最大值为．故答案为：．15．〔5分〕甲、乙、丙三位老师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的老师不教C学科；③在长春工作的老师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是C．【解答】解：由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的老师不教C学科，甲不教C；由③得在长春工作的老师教A学科；由④得乙不教B学科和A学科．综上，乙教C学科．故答案为：C．16．〔5分〕函数，x0是函数f〔x〕的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f〔x0〕+x0＜0；④f〔x0〕+x0＞0；其中正确的命题是①③．〔填出所有正确命题的序号〕【解答】解：∵函数f〔x〕=xlnx+x2，〔x＞0〕∴f′〔x〕=lnx+1+x，易得f′〔x〕=lnx+1+x在〔0，+∞〕递增，∴f′〔〕=＞0，∵x→0，f′〔x〕→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+x0=0∴f〔x0〕+x0=x0lnx0+x02+x0=x0〔lnx0+x0+1〕=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】〔此题总分值12分〕解：〔1〕令n=1，得，且a n＞0，解得a1=3．当n≥2时，，即，整理得〔a n+a n﹣1〕〔a n﹣a n﹣1﹣2〕=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，所以数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=3+〔n﹣1〕×2=2n+1．〔2〕由〔1〕知：，∴T n=b1+b2+…+b n=．18．〔12分〕某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经历，每天的需求量与当天的最低气温有关，假如最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20〕，需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25〕，需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购方案，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温〔℃〕[﹣35，﹣[﹣30，﹣[﹣25，﹣[﹣20，﹣[﹣15，﹣30〕25〕20〕15〕10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．〔1〕求11月份这种电暖气每日需求量X〔单位：台〕的分布列；〔2〕假设公司销售部以每日销售利润Y〔单位：元〕的数学期望为决策根据，方案11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？【解答】〔此题总分值12分〕解：〔1〕由X的可能取值为100，200，300，P〔X=100〕==0.2，P〔X=200〕==0.4，P〔X=300〕==0.4，∴X的分布列为：X100200300P〔2〕由：①当订购200台时，E〔Y〕=[200×100﹣50×〔200﹣100〕]×+200×200×0.8=35000〔元〕②当订购250台时，E〔Y〕=[200×100﹣50×〔250﹣100〕]×+[200×200﹣50×〔250﹣200〕]×+[200×250]×0.4=37500〔元〕综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．19．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．〔1〕证明：PE⊥平面MNF；〔2〕设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【解答】证明：〔1〕方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=，OP=OE．因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=PE=OE，EQ=OE，所以，所以△EFQ∽△EOP，所以，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．又因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=m，AD=n，那么P〔0，0，m〕，E〔0，m，0〕，M〔，0〕，F〔0，〕，于是=〔0，m，﹣m〕，=〔﹣〕．所以=0，所以PE⊥MF，且MN∩MF=M，所以PE⊥平面MNF解：〔2〕取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面AC，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=AD=m，那么P〔0，0，m〕，E〔0，m，0〕，B〔〕，M〔，0〕，F〔0，〕，于是=〔0，m，﹣m〕，=〔0，﹣，0〕，=〔﹣〕．设平面BMF的一个法向量为=〔x，y，z〕，那么，令x=1，得=〔1，0，2〕．而平面NMF的一个法向量为==〔0，m，﹣m〕．所以cos＜＞===﹣．由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角，故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣．20．〔12分〕椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕假设直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【解答】〔此题总分值12分〕解：〔1〕∵F〔0，1〕，∴b=1，又，∴．又a2﹣b2=c2，∴a=2，∴椭圆C的标准方程为．〔2〕设直线l与抛物线相切于点P〔x0，y0〕，那么，即，联立直线与椭圆，消去y，整理得．由，得．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么：．那么原点O到直线l的间隔．故△OAB面积=，当且仅当，即取等号，故△OAB面积的最大值为1．21．〔12分〕函数f〔x〕=e x，g〔x〕=lnx，h〔x〕=kx+b．〔1〕当b=0时，假设对任意x∈〔0，+∞〕均有f〔x〕≥h〔x〕≥g〔x〕成立，务实数k的取值范围；〔2〕设直线h〔x〕与曲线f〔x〕和曲线g〔x〕相切，切点分别为A〔x1，f〔x1〕〕，B〔x2，g〔x2〕〕，其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a〔x1﹣1〕+xlnx﹣x≥0恒成立，务实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕当b=0时：h〔x〕=kx，由f〔x〕≥h〔x〕≥g〔x〕知：e x≥kx≥lnx，依题意：对x∈〔0，+∞〕恒成立，设，当x∈〔0，1〕时m′〔x〕＜0；当x∈〔1，+∞〕时m′〔x〕＞0，∴[m〔x〕]min=m〔1〕=e，设，当x∈〔0，e〕时n′〔x〕＞0；当x∈〔e，+∞〕时n′〔x〕＜0，∴，故：实数k的取值范围是〔2〕由：f′〔x〕=e x，①：由得：由得：故∵x1＜0，∴，∴lnx2＞1，故：x2＞e；②由①知：，且x2＞e＞1由a〔x1﹣1〕+xlnx﹣x≥0得：a〔x1﹣1〕≥x﹣xlnx，〔x≥x2〕设G〔x〕=x﹣xlnx〔x≥x2〕G′〔x〕=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，∴G〔x〕在[x2，+∞〕为减函数，∴[G〔x〕]max=G〔x2〕=x2﹣x2lnx2由a〔x1﹣1〕≥x2﹣x2lnx2，得：a〔x1﹣1〕≥x2〔1﹣lnx2〕，∴a〔x1﹣1〕≥〔x1﹣1〕又x1＜0，∴a≤1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：〔t为参数〕，点A〔3，0〕．〔1〕求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；〔2〕设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：〔1〕由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即〔x﹣2〕2+y2=4．由，消去参数t，可得．∴曲线C2：；〔2〕将代入x2+y2=4x，得t2﹣t﹣3=0，∵△=1+4×3=13＞0，∴方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，∴|AP|•|AQ|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=|﹣3|=3，即|AP|•|AQ|=3．[选修4-5：不等式选讲]23．不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．〔1〕当a=1时，求不等式的解集；〔2〕假设不等式的解集为R，求a的范围．【解答】〔本小题总分值10分〕解：〔1〕当a=1时：不等式为：|2x﹣5|+|2x+1|＞x﹣1，等价于：解得：，所以不等式的解集为：〔﹣∞，+∞〕；〔2〕设函数f〔x〕=|2x﹣5|+|2x+1|=，设函数g〔x〕=ax﹣1过定点A〔0，﹣1〕，画出f〔x〕，g〔x〕的图象，不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．不等式的解集为R，k AB==，由数形结合得a的范围是．。
2023年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2022年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）1.复数z满足，则复数( )A. B. C. D.2.已知集合，，则等于( )A. B. C. D.3.下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物的观测值：396 275 268 225 168 166 176 173 188 168 141 157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是( )A. 极差B. 中位数C. 众数D. 平均数4.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则5.等差数列的前n项和为，已知，，则( )A. 3B.C. 5D.6.直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则m的值为( )A. B. C. D.7.已知a，，则“”的一个必要条件是( )A. B. C. D.8.已知，，，则( )A. B. C. D.9.已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是( )A. B. C. D.10.已知数列满足对任意的正整数n，都有…，其中，则数列的前2022项和是( )A. B. C. D.11.如图是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为( )A. B. C. D.12.已知，，是双曲线：的两个焦点，若点P为椭圆：上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为( )A. B. C. D.13.已知向量，，点A的坐标为，则点B的坐标为______.14.对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶如图中阴影区域所示的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是______15.在棱长为2的正方体的侧面内有一动点P到直线与直线BC的距离相等，则在侧面上动点P的轨迹与棱AB，所围成的图形面积是______.16.已知函数，恰有3个零点，，，且，有下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号为______填写所有正确结论的序号17.第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人其中男性20人，女性20人，进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如图：依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由可以不计算说明；请完成下列列联表，并判断能否有的把握认为老年人幸福指数与性别有关？一般幸福非常幸福合计男性20女性20合计40附：，其中18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点求角B的大小；记，的面积分别为，，在①，，②，，这两个条件中任选一个作为已知，求的值．19.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．证明：平面AEF；求二面角的余弦值．20.已知椭圆，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接为坐标原点，线段OG与椭圆C交于点若直线OP，OQ的斜率分别为，求的值；求面积的最大值．21.已知函数其中e是自然对数的底数当时，证明：；当时，恒成立，求正整数k的取值集合；证明：!参考数据：，，22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是分别写出的普通方程与的直角坐标方程；将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．23.已知函数求不等式的解集；若函数最小值为m，已知，，，，求的最小值．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：，，即故选：根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，考查计算能力，属于基础题．2.【答案】D 【解析】解：，，故选：分别求解函数的值域与定义域，化简M 与N ，再由并集运算得答案．本题考查函数的定义域及值域的求法，考查并集及其运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为，极差为最大值与最小值的差，要发生改变，加入数据前，中位数为，加入数据后，中位数为发生改变，众数为数据中出现次数最多的数，不会改变，平均数体现数据的整体水平，要发生改变，故选：根据题意，由平均数、方差、众数、中位数的计算方法，依次分析是否发生改变，即可得答案．本题考查数据的数字特征，涉及平均数、方差、众数、中位数的计算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，对于A ，若，，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若，，则与相交或平行，故B 错误；对于C ，若，，，则m 与n 平行或异面，故C 错误；对于D ，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故D 正确．故选：对于A ，m 与n 相交、平行或异面；对于B ，与相交或平行；对于C ，m 与n 平行或异面；对于D ，由线面垂直的判定定理得本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解法一：等差数列的前n项和为，，，，解得，，解法二：等差数列的前n项和为，，，，即，解得，故选：法一：利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出，，由此能求出法二：由，求出，从而，由此能求出结果．本题实数等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：直线l：与圆C：交于A，B两点，圆心到直线l的距离，，即，解得故选：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：对于A，令，，推不出，故A错误，对于B，由“”得：且，故，反之，若，推不出，比如，，故是的必要不充分条件，故B正确，对于C，令，，推不出，故C错误，对于D，令，，推不出，故D错误，故选：取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断本题考查了充分必要条件，考查特殊值法的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：，且，，即，，，又，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9.【答案】B【解析】解：由图像可知函数的定义域为，对于A：函数的定义域为，故A不符合；对于B：函数的定义域为，故B符合，对于C：函数的定义域为，故C不符合；对于D函数的定义域为，但，故D不符合．故选：根据函数的定义域排除AC，根据函数的值排除本题考查了函数图像的识别，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：不妨设数列的前n项和为，故由题可得，故当时，，则，即，又当时，，故该数列是，且从第二项起是公比为2的等比数列，故故选：根据已知条件，利用，的关系，求得数列类型，再利用等比数列的前n项和公式即可求得结果．本题考查了数列的递推式以及等比数列求和的问题，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的是三棱锥，是四棱柱的一部分，如图，三棱锥的外接球与四棱柱的外接球相同，该几何体外接球表面积的最小值就是外接球的半径取得最小值，即直径取得最小值，直径为AD，则，当且仅当时取等号，所以该几何体外接球表面积的最小值为：故选：判断几何体的形状，求解外接球的半径，然后求解即可．本题考查三视图求解几何体是外接球的表面积的最小值，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：假设点P在x轴上方，设，则，由已知得，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，，，由于P为椭圆的短轴端点时，取最小值，即取最小值，也取最小值，此时，函数在上单调递减，，即，解得即椭圆离心率的取值范围为故选：假设点P 在x 轴上方，设，，利用与直线倾斜角以及直线倾斜角的关系构建关于的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可．本题考查了椭圆离心率取值范围的问题，属于中档题．13.【答案】【解析】解：设，由于向量，，故，整理得，故答案为：直接利用向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，正方形的边长为2dm ，则正方形的面积，向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，则有，解可得，故答案为：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，求出正方形的面积，由几何概型的计算公式可得，解可得答案．本题考查几何概型的计算，涉及模拟方法估算概率，属于基础题．15.【答案】【解析】解：P 到直线与直线BC 的距离相等，可得点P 到直线与直线B 的距离相等，所以点P 的轨迹是以B 为焦点，为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，过中点M ，的中点O 的直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，因为，所以抛物线方程为，所以在侧面上动点P 的轨迹方程为，侧面上动点P 的轨迹与棱AB ，所围成的图形面积为故答案为：点P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，建立坐标系，求得曲线方程，利用定积分求面积．本题考查点的轨迹问题，以及曲线围成图形的面积，属中档题．16.【答案】②③④【解析】解：如下图所示：因为，则，由图可知，，则，且直线与曲线相切于点，对于①：若，即，由题意可得，所以，即，解得，因为，则不成立，故①错误；对于②：因为，则，故②正确；对于③：当时，则，，由题意可得，可得，所以，所以，故③正确；对于④：由上可知，所以，因此，，故④正确．故答案为：②③④．作出图形，分析可知，，且直线与曲线相切于点，可得出，利用反证法结合二倍角公式可判断①，由已知条件可判断②；利用二倍角的正弦公式和弦化切可判断③；利用已知条件可判断④．本题考查函数的零点与方程的根的关系，以及三角恒等变换，属难题．17.【答案】解：由茎叶图可知，女性老人的幸福指数主要集中在之间，男性老人的幸福指数主要集中在之间，故可推断出女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，故女性老人幸福指数更高．列联表如图所示：一般幸福非常幸福合计男性 16 4 20女性 11 9 20合计 27 1340，有的把握认为老年人幸福指数与性别有关．【解析】由茎叶图可得，女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，由正弦定理可得，由可得，因为，可得，所以，即，因为，所以；选①：因为，，由余弦定理可得b²²²，代入可得a²，解得，因为CD平方，令，则，，则；选②：因为，解得，由，再由余弦定理可得b²²²，即²²，可得a²²，联立，解得，，由CD平方，令，则则，，则【解析】由，化简可得，即可求解；选①：由余弦定理求得a，令，结合三角形的面积公式求得，，即可求得的值．选②：由，求得，利用余弦定理求得a²²，联立方程组即可求得a，c，结合面积公式求得，，即可求得的值．本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接交AE于O，连接OF，由题意，四边形是平行四边形，所以，因为E为的中点，，∽，且相似比为，，又F，G分别为棱BC，CF的中点，，，又平面AEF，平面AEF，平面AEF，连接，，，，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面AEF的一个法向量为，则，令，则，，平面AEF的一个法向量为，设平面BEF的一个法向量为，则，令，则，，平面BEF的一个法向量为，，，因为二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为【解析】连接交AE于O，连接OF，可证，进而可证平面AEF；建立如图所示的空间直角坐标系，求平面AEF的一个法向量，求平面BEF的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，以及面面角的余弦值的求法，属中档题．20.【答案】解：，，设，，由题意直线的方程为，①，直线的方程为，②，由①②得点，可得，，由知，设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，由，得，由对称性，不妨设，，，由知，异号，，异号，，点Q到直线的距离，，，当且仅当，取等号，面积的最大值为【解析】设，，由题意写出直线，的方程，求出点G的坐标，从而表示出，，进而求出的值．设直线OP、OQ的方程，联立方程求出P，Q的坐标，计算点Q到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式求解最大值．本题考查两直线的斜率的比值、三角形面积的最大值的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：证明：设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即当且时，取等号，所以，则，即当且仅仅当时取等号，因为上述两个不等式等号不同时取到，所以，所以由已知，，且k为正整数，所以或，当时，令，所以在区间上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，当时，令，在上单调递增，所以，，所以存在，使得，当时，，则在上单调递减，所以，从而不满足恒成立，故，综上所述，正整数k的取值集合为由知时，，令，则，所以!，所以!，因为且，所以，所以，所以!【解析】设，求导判断单调性，从而证明，进而可证明当且仅仅当时取等号，可得，即证由已知判断得，分类讨论与的情况，令新函数，求导判断单调性，从而判断是否恒成立．由得，从而可得!，可证明!，即证!本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，消t可得，，，，①，故将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，直线的斜率为，即直线的方程为，则直线的参数方程为为参数②，联立①②可得，，A，B对应的参数为，，则，，点在圆C外，，同号，由参数方程的几何意义可知，【解析】根据已知方程，消t，即可求解，根据方程，结合极坐标公式，即可求解．根据已知条件，先求出，再可求得该参数方程，再结合参数方程的性质，即可求解．本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：由题意，当时，，解得，当时，恒成立，解得，当时，，解得，综上所述，不等式的解集为由绝对值不等式可得，，当且仅当时等号成立，故函数最小值为3，即，所以，，，，，当且仅当时，等号成立，故，即的最小值为【解析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可求解．由绝对值三角不等式可得，函数的最小值为3，即，再根据柯西不等式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的求解，考查柯西不等式的应用，属于中档题．。
东北三省2024届高三第三次联合模拟考试数学试题(含答案与解析)_3006
哈师大附中2024年高三第三次模拟考试数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A 满足：{}{}1,2,3,41,2A = ，{}{}3,4,51,2,3,4,5A = ，则A 的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭”的否定是（ ） A. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+ ⎪⎝⎭… B. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+> ⎪⎝⎭C. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+> ⎪⎝⎭D. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+ ⎪⎝⎭… 3. 3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ） A. 240B. 720C. 432D. 2164. 已知1F 是椭圆22:12x C y +=左焦点，直线1x =与C 交于A B 、两点，则1F AB 周长为（ ）A.B.C.D.5. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a BC =边上中线AD 长为1，则bc 最大值为（ ） A.74B.72C.D.的6. 已知函数()()()31sin 15f x x x =-+-+，则不等式()()21110f x f x ++-≥的解集为（ ）A. [)0,∞+B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞7. 已知122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ） A. a b >B. 14a <C. b >D. 12a b -<8. 复数i(,R,i z a b a b =+∈是虚数单位)在复平面内对应点为Z ，设,r OZ θ=是以x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则()i cos isin z a b r θθ=+=+，把()cos isin r θθ+叫做复数i a b +的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，()()()*[cos isin ]cos isin N n n r r n n n θθθθ+=+∈，例如：3312π2πcos isin cos2πisin2π1233⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()44ππ(1i)cos isin 4cos πisin π444⎫⎫+=+=+=-⎪⎪⎭⎭，复数z 满足：31i z =+，则z 可能取值为（ ）A.ππcos isin 1212⎫+⎪⎭B. 3π3πcos isin 44⎫+⎪⎭C.5π5πcos isin 44⎫+⎪⎭D.17π17πcos isin 1212⎫+⎪⎭二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确是（ ）A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率B. 已知样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x 与原数据的极差､平均数都相同C. 若A B ､两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的线性相关性强的D. 已知y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.30.7yx =-，则样本点()2,3-的残差为-1.9 10. 正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别为面对角线1AD 与BD 上点，1,MN AD MN BD ⊥⊥，则下面结论正确的是（ ） A. MN //平面11DCC DB. 直线MN 与直线1CC 所成角C. 1⊥MN ABD. 直线MN ⊥平面1BDC11. 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>≤，则下列结论正确的是（ ） A. 若2,3ωϕ==π，则()f x 在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增 B. 若()f x 为奇函数，则0ϕ=C. 若1π,23x ω==-是()f x 的极值点，则π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. 若π3x =和πx =都是()f x 的零点，()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，则7a =__________. 13. 点(),M x y 为圆2210160x y x +-+=上的动点，则yx的取值范围为__________. 14. 正三棱柱111ABC A B C -E 为棱1AA 上一点，若二面角E BC A --为30 ，则平面BCE 截内切球所得截面面积为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1x f x x x -=-+ （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线；的的（2）比较2023ln2024与14047-的大小并说明理由. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32nn n S a =-. （1）求证：数列{}2nn a -是等比数列；（2）设()13212n n n n b a λλ-⎛⎫=+⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，若{}n b 是递增数列，求实数λ的范围.17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 18. 如图：四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为等腰梯形，//,1,3,2,2AB DC DC AB AD BC BE EA =====.（1）求证：1//D E 平面11DB C ；（2）若11ADD A 为菱形，160A AD ∠=，平面11ADD A ⊥平面ABCD .①求平面11DB C 和平面1DCC 夹角的余弦； ②求点1A 到平面11DB C 的距离.19. 如图抛物线2:C y x =，过()2,1M 有两条直线121,,l l l 与抛物线交于2,,A B l 与抛物线交于,D E ，（1）若1l 斜率1，求AB ；（2）是否存在抛物线C 上定点N ，使得0NA NB ⋅=，若存在，求出N 点坐标并证明，若不存在，请说明理由； （3）直线12y x =与直线,AD BE 相交于,P Q 两点，证明：M 为PQ 中点.参考答案一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A 满足：{}{}1,2,3,41,2A = ，{}{}3,4,51,2,3,4,5A = ，则A 的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据交集、并集的结果分析集合A 的元素，即可判断.【详解】因为{}{}1,2,3,41,2A ⋂=，所以1A ∈，2A ∈，3A ∉，4A ∉， 又{}{}3,4,51,2,3,4,5A ⋃=，所以5可能属于集合A ，也可能不属于集合A ， 所以集合{}1,2A =或{}1,2,5A =， 所以符合题意的集合A 有2个. 故选：B2. 命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭”否定是（ ）为的A. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+ ⎪⎝⎭… B. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+> ⎪⎝⎭C. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+> ⎪⎝⎭D. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+ ⎪⎝⎭… 【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定是存在命题，将原命题改写量词否定结论即可. 【详解】命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭” 的否定是“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+≤ ⎪⎝⎭”. 故选：A3. 3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 720 C. 432 D. 216【答案】C 【解析】【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先排左右两端，有112332C C A 18=种排法， 再排中间4个位置，有44A 24=种排法， 所以不同的排法种数为1824432⨯=种. 故选：C.4. 已知1F 是椭圆22:12x C y +=的左焦点，直线1x =与C 交于A B 、两点，则1F AB 周长为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可得1F AB 经过椭圆右焦点，结合椭圆定义计算即可得.1=，故1F AB 经过椭圆右焦点，故1F AB 的周长为144F AB C a ===故选：D.5. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a BC =边上中线AD 长为1，则bc 最大值为（ ） A.74B.72C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出2272b c +=，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】由题意得πADB ADC ∠+∠=， 所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，又a =D 是BC的中点，所以DB DC ==在ABD △中，222cos 2AD BD c ADB AD BD +-∠==⋅ 在ADC △中，222cos 2AD CD b ADC AD CD +-∠==⋅所以cos cos 0ADC ADB ∠+∠==，即2272b c +=，得2277224bc b c bc ≤+=⇒≤，当且仅当b c == 故选：A6. 已知函数()()()31sin 15f x x x =-+-+，则不等式()()21110f x f x ++-≥的解集为（ ）A. [)0,∞+B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()()1101f x f x +=--，可将()()21110f x f x ++-≥转化为()()211f x f x +≥+，结合导数可得()f x 在(),-∞+∞上单调递增，即可得211x x +≥+.【详解】由题可得()315sin f x x x +-=+，所以()()()3315sin sin f x x x x x -+-=-+-=--，即有()()15150f x f x +-+-+-=，即()()1101f x f x +=--， 故不等式()()21110f x f x ++-≥等价于()()211f x f x +≥+， 又()()()231cos 1f x x x '=-+-， 当ππ1,122x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()cos 10x -≥，故()0f x '≥， 当ππ,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， ()22π31231x ⎛⎫≥⎝-⨯> ⎪⎭，()[]cos 11,1x -∈-，故()0f x '≥，即()0f x '≥恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 故由()()211f x f x +≥+可得211x x +≥+，即0x ≥. 故选：A.7. 已知122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ）A. a b >B. 14a <C. b >D. 12a b -<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()22log xf x x =+，()21log 2xg x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合零点的存在性定理可得11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12b ⎛∈ ⎝，即可逐项判断.【详解】令()1222log 2log x xf x x x =-=+，由122log a a =，故()0f a =， 由2x y =与2log y x =在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又11442112log 22044f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，122112log 1022f ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，故11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 错误；令()12211log log 22xxg x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象及2log y x =-的图象可得()g x 在()0,∞+上只有一个零点，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()0g b =，又1211111log 022222g ⎛⎛⎛⎫=+=->-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11022211111log 11022222g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-<-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故12b ⎛∈ ⎝，故C 错误；有a b <，故A错误；1311442a b --<-=<=，故D 正确. 故选：D.8. 复数i(,R,i z a b a b =+∈是虚数单位)在复平面内对应点为Z ，设,r OZ θ=是以x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则()i cos isin z a b r θθ=+=+，把()cos isin r θθ+叫做复数i a b +的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，()()()*[cos isin ]cos isin N n n r r n n n θθθθ+=+∈，例如：3312π2πcos isin cos2πisin2π1233⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()44ππ(1i)cos isin4cosπisinπ444⎫⎫+=+=+=-⎪⎪⎭⎭，复数z满足：31iz=+，则z可能取值为（）A.ππcos isin1212⎫+⎪⎭B.3π3πcos isin44⎫+⎪⎭C.5π5πcos isin44⎫+⎪⎭D.17π17πcos isin1212⎫+⎪⎭【答案】D【解析】【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得cos isin,Z2ππ2ππ312312k kz k⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎤+∈⎥⎦，即可得解.详解】设()cos s i inz rθθ=+，则()33ππ1cos is cos3isii4n3n4z rθθ⎫=++=+⎪⎭，所以r=π32π,Z4k kθ=+∈，即2ππ,Z312kkθ=+∈，所以cos isin,Z2ππ2ππ312312k kz k⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故2k=时，17π12θ=，故z17π17πcos isin1212⎫+⎪⎭，故选：D【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率B. 已知样本数据12,,,nx x x的平均数为x，则数据12,,,,nx x x x与原数据的极差､平均数都相同【C. 若A B ､两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的线性相关性强D. 已知y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.30.7yx =-，则样本点()2,3-的残差为-1.9 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图的制图规则判断A ；分别求出两组数据的平均数和极差可判断B ；比较相关系数绝对值大小判断C ；根据回归直线可求得估计值，再计算实际观测值与估计值的差可判断D 【详解】频率分布直方图纵坐标为频率与组距的比值，故A 错； 由题意得1212nn x x x x x x x nx n+++=⇒+++= ，数据12,,,,n x x x x 的平均数为1211n x x x x nx xx x n n +++++===++ ，所以数据12,,,,n x x x x 与原数据的平均数相等， 设数据12,,,n x x x 的最大数为a ，最小值为b ，若12n x x x === ，则a b =，所以数据12,,,n x x x 的极差为a b -，且b x a ≤≤， 所以数据12,,,,n x x x x 的极差也为a b -， 数据12,,,,n x x x x 与原数据的极差相等，故B 对，因为0.970.99<-，所以A 组数据比B 组数据的线性相关性弱，故C 错； 当2x =时， 0.30.72 1.1y =-⨯=-，样本点()2,3-的残差为()3 1.1 1.9---=-，故D 对； 故选：BD10. 正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别为面对角线1AD 与BD 上的点，1,MN AD MN BD ⊥⊥，则下面结论正确的是（ ） A. MN //平面11DCC DB. 直线MN 与直线1CCC. 1⊥MN AB的D. 直线MN ⊥平面1BDC 【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，求出平面11DCC D 的一个法向量，判定0MN DA ⋅≠即可；对于B ，直接求出直线MN 与直线1CC 所成角的余弦值进而解出正切值即可；对于C ，直接证明出10MN AB ⋅=即可，对于D ，直接用向量证明出1,MN BD MN DC ⊥⊥，1BD DC D ⋂=，即可证明直线MN ⊥平面1BDC .【详解】如图：因为1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 设棱长为1.则()()()()10,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0D A D B ，()()11,0,1,1,1,0AD DB =-=，设1AM t AD =，则()1,0,M t t -， 设DN r DB =，则(),,0N r r ，()1,,MN r t r t =+--，10MN AD MN DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1010t r t r t r ---=⎧⎨+-+=⎩， 解得：1313t r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2111,0,,,,03333M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对于A ，平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0DA =，由0MN DA ⋅≠，所以MN 不平行平面11DCC D ，所以选项A 错误；对于B ，由()10,0,1CC =，设直线MN 与直线1CC 所成角为θ，则11cos MN CC MN CC θ⋅==⋅，则si n θ=，t an θ=，所以选项B 正确；对于C ，()10,1,1AB = ，由10MN AB ⋅=，所以1⊥MN AB ，所以选项C 正确；对于D ，因为()1,1,0BD =-- ，()10,1,1DC = ，所以100MN BD MN DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， 1,MN BD MN DC ⊥⊥，1BD DC D ⋂=，所以直线MN ⊥平面1BDC ，所以选项D 正确. 故选：BCD.11. 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>≤，则下列结论正确的是（ ） A. 若2,3ωϕ==π，则()f x 在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增B. 若()f x 为奇函数，则0ϕ=C. 若1π,23x ω==-是()f x 的极值点，则π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. 若π3x =和πx =都是()f x 的零点，()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】BCD 【解析】【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A ；由奇函数(0)0f =即可判断B ；根据已知条件计算出,ωϕ即可判断C ；由已知求出ω范围，即可判断D ．【详解】对于A ，π()sin(23f x x =+，当ππ,26x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π2π2,033x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因为π2ππ2,332x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭时()f x 单调递减，ππ2,032x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，故A 错误； 对于B ，若()f x 为奇函数，则(0)sin 0f ϕ==，则π,k k ϕ=∈Z ，又π2ϕ≤，所以0ϕ=，故B 正确；对于C ，当12ω=时，1()sin()2f x x ϕ=+，则11()cos()22f x x ϕ'=+， 又π3x =-是()f x 的极值点，所以π1π()cos()0326f ϕ'-=-+=，即πππ,62k k ϕ-+=+∈Z ，又π2ϕ≤，则π3ϕ=-，经检验π3x =-为1π()sin()23f x x =-的极值点，故πππ(sin()1363f -=--=-，故C 正确；对于D ，由π3x =和πx =都是()f x 的零点得，1212ππ,ππ,,3k k k k ωϕωϕ+=+=∈Z ，两式相减得()2133,22k k k k ω=-=∈Z ，由()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性且π3x =和πx =都是()f x 的零点得，2πππ4423π2ππ3220T T ωωω⎧=≥-⎪⎪⎪-≥=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得332ω≤≤，所以ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故D 正确； 故选：BCD .【点睛】关键点睛：对于D 选项中求ω的范围，一是根据π3x =和πx =是()f x 的零点得出ππ32T -≥，二是结合在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭具有单调性，即区间左端点为零点，得出ππ423T ≥-.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，则7a =__________. 【答案】4【解析】【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，由等比数列性质，23570a a a =>，则70a >， 又2311716a a a ==，所以74a =.故答案为：413. 点(),M x y 为圆2210160x y x +-+=上的动点，则yx的取值范围为__________. 【答案】33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】法一：设yk x=，代入方程得到22210160x k x x +-+=，从而题目实际上就是求k 的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.【详解】法一：我们要求k 的取值范围使得存在,x y 满足2210160x y x +-+=，yk x=， 由于满足前一个方程的x 必不为零，故这等价于2210160x y x +-+=，y kx =. 而这又可以等价转化为22210160x k x x +-+=，y kx =，故我们就是要求k 的取值范围，使得关于x 的方程22210160x k x x +-+=有解. 该方程中2x 的系数显然非零，所以命题等价于()2Δ1006410k=-+≥，解得3344k -≤≤. 法二：由于圆2210160x y x +-+=和y 轴无公共点，故命题等价于求实数k 的取值范围， 使得y kx =直线和圆2210160x y x +-+=有公共点.该圆的方程可化为()2259x y -+=，故命题等价于点()5,0到直线y kx =的距离不超过3，即3≤.解得3344k -≤≤. 的故答案为：33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14. 正三棱柱111ABC A B C -E 为棱1AA 上一点，若二面角E BC A --为30 ，则平面BCE 截内切球所得截面面积为__________.【解析】【分析】由内切球的半径得正三棱柱的高和底面边长，求球心到平面BCE 的距离，勾股定理求截面圆的半径，可得截面面积.【详解】正三棱柱111ABC A B C -，则棱柱的高1AA =正三角形ABC 211322ABC S AB AB ==⨯ 得6AB =，1,D D 分别为11,BC B C 的中点，则AD =，AD BC ⊥，ED BC ⊥， 二面角E BC A --为30 ，则30EDA ∠= ，ABC 内切圆的圆心1O 为AD 上靠近D 点的三等分点，111A B C △内切圆的圆心2O 为11A D 上靠近1D 点的三等分点，O 为正三棱柱111ABC A B C -内切球球心，则O 为12O O 的中点，则1DO =，1OO =，111DD CC AA ==，111////DD CC AA ，由对称性可知，球心O 到平面EBC 的距离等于O 到直线ED 的距离，平面11D DAA 中，以D 为原点，DA 为x 轴，1DD 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，有O，30EDA ∠= ，DE 所在直线方程为y x =，即0x -=，则O 点到直线DE 的距离d O 到平面EBC平面BCE 截内切球所得截面圆的半径为r ，则222r =-=所以截面圆的面积2πS r ==.. 【点睛】方法点睛：正三棱柱的内切球中，如果内切球的半径为r ，那么正三棱柱的高为2r ，底面正三角形的边长为，截面圆的半径由球的半径和球心到截面距离利用勾股定理计算.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1x f x x x -=-+ （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线； （2）比较2023ln2024与14047-的大小并说明理由. 【答案】（1）1122y x =- （2）20231ln 20244047<-，理由见解析 【解析】【分析】（1）求得()221,0(1)x f x x x x +'=>+，得到()112f '=，且()10f =，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得()0f x ¢>，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，结合()10f =，得到1ln 1x x x -<+即可得到20231ln20244047<-. 【小问1详解】解：因为函数()1ln 1x f x x x -=-+，可得()221,0(1)x f x x x x +'=>+， 可得()112f '=，且()10f =， 所以()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()1012y x -=-，即1122y x =-. 【小问2详解】解：由0x >，可得()2210(1)x f x x x +'=>+，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 又由()10f =，所以(0,1)x ∈时，()0f x <，即1ln 1x x x -<+在(0,1)x ∈上恒成立， 所以20231202312024ln 20232024404712024-<=-+，即20231ln 20244047<-. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32nn n S a =-.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列；（2）设()13212n nn n b a λλ-⎛⎫=+⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，若{}n b 是递增数列，求实数λ的范围.【答案】（1）证明见解析（2）23λ>- 【解析】【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-及已知条件得到递推式，然后证明()113222n n n n a a ++-=-并验证首项非零即可；（2）求出n a ，并将命题转化为()()31423nnλλ+⋅>+⋅恒成立，然后取1n =即得到23λ>-，再证明23λ>-时不等式恒成立.【小问1详解】由32nn n S a =-知11132a S a ==-，得11a =.由已知有()()111113232332n n n n n n n nn n a S S a aa a +++++=-=---=--，故11322n n n a a -+=+，得()11111333222322222n n n n n n n n n a a a a +-+-+-=+-=-⋅=-.而1121210a -=-=-≠，故数列{}2n n a -是首项为1-，公比为32的等比数列.【小问2详解】根据（1）的结论有1322n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1322n n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.那么就有()()()11332112222n n nnn n b a λλλλ--⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅=+⋅-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.命题等价于1n n b b +>恒成立，即()()()()1133********nn n n λλλλ-+⎛⎫⎛⎫+⋅-+⋅>+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.此即()()()()3232122122232nnnn λλλλ⎛⎫⎛⎫+⋅-+⋅>+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到()()31423n n λλ+⋅>+⋅.从而要求λ的取值范围使得()()31423nnλλ+⋅>+⋅恒成立.一方面，对该不等式取1n =可得到()()31423λλ+⋅>+⋅，即23λ>-； 另一方面，若23λ>-，则10λ+>，442λλ+>+， 故我们恒有()()44313144233nλλλλ⎛⎫+⋅≥+⋅=+>+ ⎪⎝⎭，即()()31423n n λλ+⋅>+⋅.所以λ的取值范围是23λ>-. 17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 【答案】（1）59（2）分布列见解析，()7427E x = 【解析】【分析】（1）设第i 局甲胜为事件i A ，则第3局甲开球为事件1212A A A A +，结合条件概率公式计算即可. （2）由X 的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望. 【小问1详解】设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i = 则“第3局甲开球”为事件2A ，()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⋅+⋅=. 【小问2详解】 依题意1,2,3,4X =，()()1231224133327P X P A A A ===⋅⋅=，()()()()1231231232121111217233333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， ()()()()1231231232212111128333333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()()1232228433327P X P A A A ===⋅⋅=，X ∴的分布列为 X1234P 427 727 827 827则()47887412342727272827E x =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 如图：四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为等腰梯形，//,1,3,2,2AB DC DC AB AD BC BE EA =====.（1）求证：1//D E 平面11DB C ；（2）若11ADD A 为菱形，160A AD ∠= ，平面11ADD A ⊥平面ABCD .①求平面11DB C 和平面1DCC 夹角的余弦；②求点1A 到平面11DB C 的距离.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）借助平行四边形的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）建立适当的空间直角坐标系，借助空间向量可计算夹角，借助点到平面的距离公式计算距离.【小问1详解】在棱AB 上取点F ，使2AF FB =，连接1,DF FB ，由已知,//FB DC FB DC =， ∴四边形BCDF 为平行四边形，//DF BC ∴，又1111//,//BC B C DF B C ∴ ，即11,,,D F B C 四点共面，连接1FC ，由已知1111//,,//,EF DC EF DC DC D C DC D C == ，1111/,/D C E F F D C E =∴，∴四边形11EFC D 为平行四边形，11//D E FC ∴，1D E ⊄ 平面111,DFB C FC ⊂平面11DFB C ，1//D E ∴平面11DFB C ，即1//D E 平面11DB C ；【小问2详解】在菱形11ADD A 中，160A AD ∠=，取11A D 中点G ，连接DG ，则DG AD ⊥，又平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ADD A ⋂平面ABCD AD =， DG ⊂平面11ADD A ，DG ∴⊥平面ABCD ，在等腰梯形ABCD中，,DE DC DE ⊥=，,,DE DC DG 两两互相垂直，以D 为原点,,DE DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()))()(0,0,0,1,0,2,0,0,1,0,D A B C G -，①)()1111113,,0,1,02DC DG GD D C C B DC =++=== ， 设(),,n x y z =为平面11DB C 的一个法向量，则1113020n DC x y n C B y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，取1x =，则有()1,2n = ， 设()111,,m x y z = 为平面1DCC 的一个法向量，则111113020m DC x y m DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取12x =，则有()2,0,1m = ， 设平面11DB C 与平面1DCC 夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅===⋅ ， ∴平面11DB C 与平面1DCC②1112DA DG GA =+=- ， ∴点1A 到平面11DB C.19. 如图抛物线2:C y x =，过()2,1M 有两条直线121,,l l l 与抛物线交于2,,A B l 与抛物线交于,D E ，（1）若1l 斜率为1，求AB ；（2）是否存在抛物线C 上定点N ，使得0NA NB ⋅= ，若存在，求出N 点坐标并证明，若不存在，请说明理由；（3）直线12y x =与直线,AD BE 相交于,P Q 两点，证明：M 为PQ 中点. 【答案】（1（2）存在，()1,1N -，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到直线AB 方程为1y x =-，联立方程组，结合弦长公式，即可求解； （2）设直线AB 的方程为(1)2=-+x m y ，联立方程组得到1212,2y y m y y m +==-，结合0NA NB ⋅= ，列出方程，求得1t =，即可求解；（3）设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d ，结合,AB ED 的方程求得21a b a -=-，21d c d -=-， 再由:()AD l a d y x ad +=+，联立方程组，求得,P Q x x ，得到2P Q M x x x +=，即可得证 【小问1详解】.解：由题意，直线AB 方程为12y x -=-，即1y x =-，联立方程组21y x y x=-⎧⎨=⎩，可得210y y --=，可得50∆=>且12121,1y y y y +==-，所以AB ===.【小问2详解】 解：设直线AB 的方程为(1)2=-+x m y ，联立方程组2(1)2x m y y x=-+⎧⎨=⎩，整理得220y my m -+-=， 设21122(,),(,),(,)N t t A x y B x y ，则1212,2y y m y y m +==-，可得22222212121212()()()()()()()()0NA NB x t x t y t y t y t y t y t y t ⋅=-⋅-+--=-⋅-+--= ，即112212()()()()()()0y t y t y t y t y t y t -+⋅-++--=，即1212()()[()()1]0y t y t y t y t --+++=，因为12y y t ≠≠，所以12()()10y t y t +++=，即21212()10y y t y y t ++++=，即2210m tm t -+++=，即2(1)(1)0t m t ++-=恒成立，解得1t =-，即()1,1N -.【小问3详解】解：设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d ，则:()AB l a b y x ab +=+过(2,1)M ，所以2a b ab +=+，所以21a b a -=-， :()ED l c d y x cd +=+过(2,1)M ，所以2c d cd +=+，所以21d c d -=-， :()AD l a d y x ad +=+，联立方程组()12a d y x ad y x +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，可得22P ad x a d =+-，同理22Q bc x b c =+-，所以222()()2221122222211P Q a d ad bc ad a d x x a d a d b c a d a d ----+=+=+--+-+-+-+--- 2244844842222M ad ad a d a d x a d a d a d --++-+===+---+-， 所以,P Q 的中点为M .【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.。
东北三省三校一模数学试卷及答案真题解析整理
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东北三省三校一模数学试卷及答案真题解析整理东北三省三校一模数学试卷及答案真题解析高三一模时下是检测力量的重要考试,大多数人高考成果与一模成果相近,所以若非必要大家还是尽量的参与。
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2023东北三省三校一模考试方向及内容三校联考试题命制依据教育部考试中心对高考的基本定调，讨论近几年全国新课标卷、新高考卷的规律和方向，突出立德树人导向，体现学科核心素养。
把握“一核四层四翼”原则，参考关于高考的最新消息准时调整。
试题强调“基础性、综合性、应用性”，并把握“以力量立意为主，贴近现实”的命题指导思想，体现出新课改、新高考精神，注意考查学科核心素养。
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高三一模不考对高考的影响高三一模不考对高考没有影响，究竟该考试不是统考，但由于一模有小高考之称，时下是检测力量的重要考试，大多数人高考成果与一模成果相近，所以若非必要大家还是尽量的参与一模。
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2023年三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是( )A. B. C. D.4. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和…；若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是( )A. B.C. 数列的前n项和为D. 数列的前n项和为5. 若，则( )A. B. 1 C. D.6. “阿基米德多面体”这称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为( )A. B. C. D.7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域如图，现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻没有公共边区域的概率为( )A.B. C. D.8. 已知函数，若关于x 的方程有且仅有四个相异实根，则实数k 的取值范围为( )A. B.C. D.9. 函数其中A ，，是常数，，，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 的值域为B. 的最小正周期为C.D. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )A.B. 若延长PO交直线于D，则点D在直线上C. MQ平分D. 抛物线C在点P处的切线分别与直线、FP所成角相等11. 已知实数a，b满足，下列结论中正确的是( )A. B.C. D.12. 已知异面直线a与直线b，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线a与平面所成的角为，点P为平面、外一定点，则下列结论正确的是( )A. 过点P且与直线a、b所成角均为的直线有3条B. 过点P且与平面、所成角都是的直线有4条C. 过点P作与平面成角的直线，可以作无数条D. 过点P作与平面成角，且与直线a成的直线，可以作3条13. 的展开式中，的系数为______.14. 若为奇函数，则实数______ .15.已知圆C：，直线交圆C于M、N两点，若的面积为2，则实数k的值为______ .16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点A、B在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数取值范围为______ .17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.18.已知等差数列的首项，记的前n项和为，求数列的通项公式；若数列公差，令，求数列的前n项和19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.证明：平面平面ABCD；若，，求二面角的正弦值.20. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月天完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数人数4153331116由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数每组数据取区间的中间值，且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数精确到；调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有30名男生，天数在的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：活动天数性别合计男生女生合计并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：；；21. 已知双曲线C：过点，且渐近线方程为求双曲线C的方程；如图，过点的直线l交双曲线C于点M、直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.22. 已知函数，为函数的导函数.讨论的单调性；若，为的极值点，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为，，所以故选：根据题意，先将集合A，B化简，然后根据交集的运算即可得到结果．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为，所以点z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以复数z对应的点在第一象限．故选：根据条件得出z对应点的轨迹，从而可判断其所在的象限．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：，，即，向量在向量方向的投影向量是，则向量在向量方向的投影向量，，即，且，则，即向量与的夹角是故选：根据题意结合数量积的运算律以及投影向量运算求解．本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：根据题意可得：对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：当时，，错误；对选项D：当时，，错误，故选：确定，计算，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案．本题考查数列的应用，属基础题．5.【答案】C【解析】解：因为，展开可得，所以，所以，即，解得，即，，因为，所以故选：利用两角和的正弦公式，化简已知等式，求出角，再利用两角差的正切公式，求出角的正切值．本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心O、，连接，，OA，，，B分别为，的中点，则，正方体的棱长为，故，可得，根据对称性可知：点O到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O，半径，故该半正多面体外接球的表面积为故选：根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O，进而可求球的半径和表面积．本题主要考查了多面体外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：每个区域种不同颜色的花，有种方法，这9个区域中相邻的区域有9个；23；34；26；48；56；67；78；，所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻没有公共边区域的概率为，故选：每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：，，，关于x的方程有且仅有四个相异实根，根据对称性知，当时，有且仅有两个相异实根，即在上有两个不相等的实数根，化简得：令，，令，解得，令，解得，在为减函数，为增函数，又，则当时，，，当时，，，作出的简图如下图所示：直线l：恒过点，，，时，此时直线l：相切，直线l：与曲线只有一个公共点，此时方程在上有一个实数根，不符合题意；由图可知当或时，直线l：与均有两个公共点，即方程在上有两个不相等的实数根，关于x的方程有且仅有四个相异实根时，k的取值范围为故选：利用函数图象的对称性，将关于x的方程有且仅有四个相异实根，转化为关于x 的方程在有且仅有两个相异实根，结合函数的图象，数形结合，求出k 的取值范围．本题考查函数零点与方程根的关系，求解的关键是把方程有四个根的问题转化为上有两个根的问题，通过构造函数，结合导数研究出函数的性质，结合简图找出临界状态，从而得到解答．9.【答案】AB【解析】解：对于A，由图象可知，，即，，，故的值域为，则选项A正确；对于B，由图象可知，，所以，故选项B正确；对于C，，且，可得，，又的图象过点，即，则，且，可得，可得，则，故选项C错误；对于D，由前面的分析可知，，将函数的图象向左平移个单位，得到，则选项D错误；故选：对A、B、C：根据函数图象求A，，，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果．本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：由题意可得，又，直线PF的斜率，直线PF的方程为：，联立，得，，，，，选项错误；又直线PO的斜率，直线PO的方程为：，延长PO交直线于D，则，直线的方程为：，点D在直线上，选项正确；设直线MQ的倾斜角为，直线PQ的倾斜角为，则，，可得为钝角，MQ不能平分，所以C选项错误；设抛物线在P处的切线方程为：，联立，得，由，解得抛物线在P处的切线方程为：，该切线与直线所成角的正切值为设该切线与直线FP所成角为，则，该切线与直线所成角的正切值与该切线与直线FP所成角的正切值相同，即抛物线C在点P处的切线分别与直线、FP所成角相等，选项正确．故选：分别求出P、Q的坐标，利用焦点弦公式求出弦长可得选项A错；求出直线的方程和点D的坐标，可得选项B正确；分别求出直线MQ和直线PQ的倾斜角、的正切，可得MQ不能平分，可得C错误；求出抛物线在P处的切线方程及其斜率，再求出切线与直线及直线FP所成角的正切值，可得选项D正确．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．11.【答案】ABD【解析】解：由，则，对于A，，则，故，故A正确；对于B，由选项A可得：，当且仅当，即时，等号成立，故，B正确；对于C，，令，则，故C错误；对于D，，等价于，构造，则，当时恒成立，则在上单调递增，由选项A可知：，则，故，故D正确．故选：根据题意可得，对于A，根据不等式性质分析运算；对于B，利用基本不等式分析运算；对于C，换元结合二次函数分析运算；对于D，构建，利用导数结合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为异面直线a与直线b所成角为，所以过点P与直线a，b所成角均为的直线只有1条，故选项A错误；因为平面与平面所成的二面角为，则过点P与平面，所成角都是和的直线各有一条m，n，若过点P与平面，所成角都是，则在m，n的两侧各有一条，所以共条，故B正确；因为点P为平面外，且过点P作与平面成角的直线，则在以P为顶点，底面在上的圆锥的母线，如图所示：所以可以做无数条，故选项C正确；过点P作与平面成角，形成以P为顶点，与圆锥中轴线夹角为，且底面在上的圆锥的母线，与直线a成的直线，形成以P为顶点，且与圆锥中轴线夹角为的圆锥的母线，如图所示：因为角度不同，因此两个圆锥的母线没有重合母线，故不能做出满足条件的直线，故D错误．故选：根据选项，可知A只有1条，根据，可知B有4条，做以P为顶点，且与圆锥中轴线夹角为，且底面在上的圆锥可知C有无数条，同理做与圆锥中轴线夹角为的母线可知该直线不存在，选出选项即可．本题主要考查了几何综合应用，考查了空间中异面直线所成角、线面角和面面角的求法，属于难题．13.【答案】60【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．根据二项展开式的通项公式，求出含的项，可得结论．【解答】解：的展开式中，含的项为，故答案为：14.【答案】1【解析】解：若为奇函数，则，故，解得故答案为：根据奇函数定义结合指数运算求解．本题主要考查了奇函数的定义的应用，属于基础题、15.【答案】或1【解析】解：圆C：，圆心，半径，设圆心到直线的距离为d，则d为的边MN上的高，由点到直线的距离公式得，，由勾股定理得：，设的面积S，则，所以，两边平方得，，即，所以，因为，所以，化简可得，所以，所以或故答案为：或利用点到直线的距离公式和勾股定理，求出，再利用三角形面积公式建立方程，求出k的值．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：根据题意知，由得，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为，由知，且，从而得到点B的坐标为，将点B的坐标代入椭圆C方程得，整理得，即，所以，又因为，所以，即实数取值范围为故答案为：先写出点、A的坐标，再利用求得点B的坐标，将点B的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数与离心率e的关系，从而得到实数取值范围．本题主要考查了椭圆的性质，考查了椭圆离心率范围的求法，属于中档题．17.【答案】证明：选①②当条件，③当结论由②得，因为，所以，即，，所以，则，由①知，，代入可得，，所以，即；选①③作条件，②当结论，由③得：，因为，所以，则，所以，，所以，由③知，，所以，所以，所以，所以，；选②③作条件，①当结论，由②得：，而，所以，即，根据辅助角公式可得，，所以，，由③，，所以，得：，所以，所以，，则，，即：【解析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可．本题综合考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式在三角化简证明中的应用，属于中档题．18.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，则，化简整理，得，解得，或，当时，，当时，，或，由题意及，可得，，则，【解析】先设等差数列的公差为d，再根据题干已知条件列出关于公差d的方程，解出d的值，即可计算出等差数列的通项公式；根据题意及第题的结果确定等差数列的通项公式，进一步推导出数列的通项公式，最后运用裂项相消法推导出前n项和本题主要考查等差数列的基本运算，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分类讨论，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：证明：取AD的中点O，连接OP，OB，BD，OE，底面ABCD为菱形，则，又，E分别为AD，AB的中点，则，故，注意到，，OE，平面POE，则平面POE，平面POE，则，又，E为棱AB的中点，则，，，AC，平面ABCD，平面ABCD，且平面PAD，故平面平面若，，则为等边三角形，且O为AD的中点，故，由得，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，可得，设平面PDE的法向量，则，即，则可取，易知平面PDA的一个法向量为，则，设二面角为，则，可得，所以二面角的正弦值为【解析】根据线面、面面垂直的判定定理分析证明；建系，求出平面PDE与平面PDA的法向量，利用空间向量求二面角即可．本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：由频数分布表知，则，，，，参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人．由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有20名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有女生人数：由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有30名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有女生人数：列联表如下：活动天数性别合计男生203050女生321850合计5248100零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号．【解析】利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了独立性检验的应用，属于中档题．21.【答案】解：双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，代入点，即，故双曲线C的方程为；由双曲线C的方程为的方程可得，由题意可得点，则有：当直线l与y轴垂直时，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，故，即；当直线l不与y轴垂直时，设直线l：，，，联立方程，消去x得，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，，即点P，Q关于x轴对称，故，即；综上所述：的值为【解析】根据渐近线方程设双曲线C的方程为，代入点，运算求解即可得结果；设l：，，，根据题意求点P，Q的坐标，结合韦达定理证明，即可得结果，注意分类讨论直线是否与y轴垂直．本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：设，则，注意到，则有：①当时，则，故对恒成立，故的单调递增区间为；②当时，令，解得，当时，；当时，；故的单调递增区间为，单调递减区间；综上所述：①当时，的单调递增区间为；②当时，的单调递增区间为，单调递减区间证明：若有两个极值点，则有两个变号的零点，由可得：，设，则在上递减，且，可得：，则，即，解得，即，解得，当时，则有：①先证：，设，则，令，解得；令，解得，所以在递减，在递增，所以，故对，恒成立，，当时，则，即，可得，故在上存在唯一一个零点，即；②再证：，当时，即，可得，则，当时，则，可得，故；综上所述：【解析】根据题意整理可得，分类讨论判断原函数的单调性；根据题意结合中的单调性，可求得，结合零点存在性定理分别证明，，即可得结果．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。
2020东北三省三校一模联考数学(理)试题
东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ）A ．()22i + B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数()()()()21102ln 10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2020年三校第一次联合模拟考试理科数学试题 参考答案 一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2分3年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁） 6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X0 1 2 P3821 3815 382 10 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴2 分 又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 xyz∴ 21,cos λλ+-<n m n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
三省三校(黑龙江哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)2022届高三下学期第一次模拟数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 已知复数z满足，则（ ）A ．1B．C．D ．22.A ．5B．C ．10D．3. 已知，且为第四象限的角，则的值等于A．B．C．D．4. 是双曲线的左焦点，是坐标原点，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5. 设、是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A ．若，，，则B．若，，则C ．若，，则D ．若，，，则6.已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（ ）A ．5B ．9C ．13D ．157. 某袋中有大小相同的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球，从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率是（ ）A．B．C．D．8. 祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“恒成立”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（）A ．直线AD 与平面DEF所成的角为B ．经过三个顶点A ，B ，C的球的截面圆的面积为C ．异面直线AD 与CF所成角的余弦值为三省三校（黑龙江哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）2022届高三下学期第一次模拟数学三省三校（黑龙江哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）2022届高三下学期第一次模拟数学三、填空题四、解答题D ．球上的点到底面DEF的最大距离为10. 函数的部分图像如图所示，则（）A．B．C ．函数在上单调递增D ．函数图像的对称轴方程为11. 如图，棱长为4的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有（）A ．存在点，使B．对于任意点，平面C ．直线被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为12. 椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）A ．2B ．8C ．10D ．1213. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高______米．14. 2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间的有10位，位于区间的有20位，位于区间的有25位，位于区间的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为____________15. 已知，若，则______．16. 消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.我国某城市从2016年到2019年各季度的消费者信心指数如下表1：2016年2017年2018年2019年第一季度104.50111.70118.50119.30第二季度104.00110.20114.60118.20第三季度105.50114.20110.20118.10第四季度106.80113.20113.20119.30记2016年至2019年年份序号为，该城市各年消费者信心指数的年均值（四舍五入取整）为y，x与y的关系如下表2：年份序号x1234消费者信心指数年均值y105112114119（1）该城市在2017年和2018年的四个季度的消费者信心指数中各任取一个，求2018年的消费者信心指数不小于2017年的消费者信心指数的概率；（2）根据表2得到线性回归方程为：，求的值，并预报该城市2020年消费者信心指数的年平均值.（3）根据表2计算的相关系数r（保留两位小数），并判断是否正相关很强.参考数据和公式：；；；；；；当时，y与x正相关很强.17. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：积极参加班级工作不积极参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性不高61925合计242650（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？（3）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由.附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82818.已知函数（Ⅰ）求的最小正周期，并求的最小值；（Ⅱ）若=2，且，求的值19. 某社区随机选取了部分居民，调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见（每人只选择其中一项），调查结果如下表所示：文艺活动体育活动男性居民女性居民（1）估计该社区男性居民中选择体育活动的概率和全体居民中选择文艺活动的概率；（2）判断能否有的把握认为居民选择的活动类型与性别有关.附：，其中.20.如图所示，在三棱锥中，平面，且垂足在棱上，，，，.（1）证明：△为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21. 城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP)是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP日平均浓度(单位：)在时为一级水平，在时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：TSP日平均浓度喷雾头个数个根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP日平均浓度不高于，，，的概率分别为，，，.（1）若单个喷雾头能实现有效降尘，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP日平均浓度不高于，，，的概率均相应提升了，求：①该工地在未来天中至少有天TSP日平均浓度能达到一级水平的概率；(，结果精确到)②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.。
三省三校(黑龙江哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)2022届高三下学期第一次模拟数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 从，，，，这个数中随机抽取个数，分别记为，，则为整数的概率为（ ）A．B．C．D．2. 已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为A．B．C ．2D．3. 在数列中，，，则的值为( )A．B．C．D ．无法确定4. 既在函数的图像上，又在函数的图像上的点是（ ）A ．（0,0）B ．（1,1）C．D．5. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6.如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（）A．B．C．D．7. 甲、乙两人进行投篮比赛，他们每次投中的概率分别为，，且他们是否投中互不影响．若甲、乙各投篮一次，则两人都投中的概率为（ ）A．B．C．D．8. 已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）A．B．C．D．9. 已知数列的首项是4，且满足，则（ ）A．为等差数列B．为递增数列C ．的前n项和D ．的前n项和10.在平面四边形中，，，则（ ）A．B．C．D．11. 已知，，且，则（ ）三省三校（黑龙江哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）2022届高三下学期第一次模拟数学三省三校（黑龙江哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）2022届高三下学期第一次模拟数学三、填空题四、解答题A．B．C．D．12. 已知是双曲线的左、右焦点，是C 上一点，若C 的离心率为，连结交C 于点B ，则（ ）A ．C的方程为B．C ．的周长为D ．的内切圆半径为13. 已知函数的图象与x 轴的两个相邻交点分别为A ，B ，点．若的面积为，且直线OC 的斜率为（O 为坐标原点），，则的最小值为______．14. 若展开式的二次项系数之和为128，则展开式中的系数为_______．15. 近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品.设该产品每个季度的收益率为，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得.若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出.则至少有3个季度的收益为正值的概率为___________.16.如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，且面面，为的中点.(1)求二面角所成角的余弦值；(2)设是的中点，判断点是否在平面内，并证明结论.17.已知数列的前项和，且(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于点、，直线、分别与轴交于点、.（1）若，求点的横坐标；（2）设直线、的斜率分别为、，求的值.19.如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，．(1)求的长度；(2)求平面与平面夹角的余弦值．20. 如图，平面ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．(1)求证：GH∥平面ABCD；(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值．21. 已知y轴右侧的曲线C上任一点到的距离减去它到y轴的距离的差都是1.（1）求曲线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线n是线段的垂直平分线且与x轴交于点T，试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.。
东北三省三校一模高三一模数学试卷及答案(高清版)
东北三省三校一模2023高三一模数学试卷及答案(高清版)2023东北三省三校高三一模数学试题2023东北三省三校高三一模数学试题答案2023年东北三省三校一模据了解本次考试为了避免高考中出现技术性错误，第一次考试提供普通纸张印刷的答题卡，第二次考试提供标准答题卡。
本次考试按高考时间顺序。
(防泄题和卖答案)，这次考试每科留一页空白页，每生配4张A4打印纸，考前25分钟左右传电子版。
一模成绩看高考的说法对吗1.这种说法是错误的，一模的成绩不是决定了高考的成绩。
一模的成绩只能作为高考成绩的一个参考值，并不是相当于高考成绩。
高考更加严格，压力更多，难度比平时考试越大，还有可能因为在外校考试产生其他的不良反应，导致考生在考试的时候由于过度紧张等反应，考试成绩大幅度下降。
因此，一模的成绩不相当于高考成绩，在高考的时候，需要静下来，不要有杂念，患得患失，考出自己的真实水平。
2.这只是一种说法，就是说一模的成绩最终会和高考差不多，因为到一模其实只是已经掌握的差不多了，提升的空间不大，但这种说法也没什么依据，一模毕竟不是真正的高考，只要继续好好学习，还是有提高分数的机会。
一模考后需要注意这些给自己定个位明天一模考试结束后，同学们要给自己定个位，因为不同基础的同学有不同的复习方法，要根据自己的情况进行取舍。
对于基础较为薄弱的同学来说，一模后是一次重新学习的机会，把主要的精力全部用来抓基础知识，像一些难题，该舍弃就舍弃，趁着一模后的新一轮复习，建立好自己的知识体系，攻克中档题，高考前也能进步不少，基础型学生的对手就是上一秒的自己。
对于中档学生来说，是重新验证自己过往学习状况的机会，也是查漏补缺的关键阶段，同时，在弥补漏洞之余，也要趁机巩固基础，将基本的知识点掌握到滚瓜烂熟的程度，保证自己在基础题和中档题上的得分率。
对于相对较为优秀的学生来说，要有自己独到的复习计划，谨防“吃不饱”的现象，因为一般学校的教学计划是侧重于平均水平的，在此基础上，优秀学生需要有自己独有的努力方向，比如说，为了让自己更有把握考上顶尖名校，可以做好自主招生考试的备战工作等等。
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C．第三象限
D．第四象限
4．已知数列{an}是等差数列，且 a1 a2 a3 2 ，则的值为
A． 3
B． 3
3
C．
3
D． 3 3
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3x y 6 0
x y 2 0
13．设
x，y
满足约束条件
x
0
，则目标函数 z 2x y 的最大值为__________。
y 0
1
14．已知 {(x, y) || x | 1,| y | 1}，A 是曲线 y x2 与 y x 2 围成的区域，若在区域 Ω 上
随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为__________。
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18．（本小题满分 12 分）
PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可
f
(x)
在
xபைடு நூலகம்
x0 处取得最大值，以下各式正确的序号为
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① f (x0 ) x0
A．①④
② f (x0 ) x0
③ f (x0 ) x0
④
f
(x0 )
1 2
B．②④
C．②⑤
⑤
f
(x0 )
1 2
D．③⑤
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 ~ 第 21 题为必考题，每个试题要求考生必须
作答，第 22 题 ~ 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
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2013 年哈师大附中第一次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1．设全集 U = R，集合 A {x | x 2}， B {x | 0 x 5}，则集合 (CU A) B
A．{x | 0 x 2}
15． 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ， 其 中 正 视 图 中 半 圆 直 径 为 2， 则 该 几 何 体 的 体 积 为
__________。
16．在 ΔABC 中， 2sin 2 A 3 sin A ， sin(B C) 2 cos B sin C ，则 AC __________。
入肺颗粒物，根据现行国家标准 GB3095 – 2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质
0，最小正周期为
，直线 x
2
3
是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为
A． y 4sin(4x ) 6
C． y 2sin(4x ) 2 3
B． y 2sin(2x ) 2 3
D． y 2sin(4x ) 2 6
10．点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB = BC = 2 ，AC = 2，若四面体 ABCD 体积的
种数为
A．12
B．36
C．72
D．108
7．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 M 的值是
A．5
B．6
C．7
D．8
8．若 ( x 1 )n 的展开式中第四项为常数项，则 n = 23 x
A．4
B．5
C．6
D．7
9．已知
y
Asin(x )
k
函数的最大值为
4，最小值为
5．与椭圆 C : y2 x2 1 共焦点且过点 (1, 3) 的双曲线的标准方程为 16 12
A． x2 y2 1 3
B． y2 2x2 1
C． y2 x2 1 22
D． y2 x2 1 3
6．将 4 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，若每班至少 1 名教师，则不同的分配方案
2
最大值为 ，则这个球的表面积为
3
125
A．
6
B． 8
25
C．
4
25
D．
16
11．若点 P 在抛物线上，则点 P 到点的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差
A．有最小值，但无最大值
B．有最大值，但无最小值
C．既无最小值，又无最大值
D．既有最小值，又有最大值
12．已知
f
(x)
ln x 1 x
ln
x
，
2
AB
三、解答题（本大题共 70 分。解答应写出文字说明）
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an (1)n (n N *)
（1）求数列{an}的前三项 a1，a2，a3；
（2）求证：数列{an
2 3
(1)n}
为等比数列，并求出{an}
的通项公式。
B．{x | 0 x 2}
C．{x | 0 x 2}
D．{x | 0 x 2}
2．命题“若 x 1 ，则 x 0 ”的否命题是
A．若 x 1 ，则 x 0
C．若 x 1，则 x 0
3．在复平面内，复数 z 3 4i 对应的点在 1i
A．第一象限
B．第二象限
B．若 x 1，则 x 0 D．若 x 1，则 x 0