高二数学必修5作业：2.5等比数列的前n项和(1) Word版缺答案

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苏教版数学高二高中数学苏教版必修5等比数列的前n项和作业

[学业水平训练]一、填空题1．等比数列{a n }的公比q ＝2，首项a 1＝2，则S n ＝________．解析：S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－22．(2014·苏州高二检测)等比数列{a n }中，a 1＝2，前3项和S 3＝26，则公比q 为________．解析：由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝2(1＋q ＋q 2)＝26，得q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或q ＝－4.答案：3或－43．设a n ＝n ＋2n －1，则其前10项之和S 10＝________．解析：S 10＝(1＋2＋...＋10)＋(1＋2＋4＋ (29)＝55＋210－1＝210＋54＝1 078.答案：1 0784．已知{a n }是公比为12的等比数列，若a 1＋a 4＋…＋a 97＝200，则a 3＋a 6＋…＋a 99＝________．解析：a 3＋a 6＋…＋a 99＝a 1q 2＋a 4q 2＋…＋a 97q 2＝q 2(a 1＋a 4＋…＋a 97)＝14×200＝50. 答案：505．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2. 答案：26．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________．解析：若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－q 6）1－q，解得q ＝2. 故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1. 所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－（12）5]1－12＝3116. 答案：31167．用一批砖砌墙，第一层(底层)用去全部砖块的一半多1块，第二层用去余下的一半多1块……依此类推，如果到第八层砌完后恰好将砖块全部用完，那么砖块共有________块．解析：设砖块数为S ，第i 层的砖块数为a i (i ＝1，2，…，8)．由题意，a 1＝S 2＋1，a 2＝S －a 12＋1＝S 4＋12，…，a 8＝S 28＋127，且a 1＋a 2＋…＋a 8＝S . 从而S ＝(S 2＋1)＋(S 4＋12)＋…＋(S 28＋127) ＝(S 2＋S 4＋…＋S 28)＋(1＋12＋…＋127) ＝(1－128)S ＋2(1－128)．解得S ＝2（1－128）128＝510. 答案：510二、解答题8．在数列{a n }和{b n }中，若a 1＝2，且对任意的自然数n ，3a n ＋1－a n ＝0，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，求数列{b n }的前n 项的和T n .解：由题设可知数列{a n }是首项为2，公比为13的等比数列，则a n ＝2·(13)n －1，又2b n ＝a n ＋a n ＋1＝2·(13)n －1＋2·(13)n ， ∴b n ＝(13)n －1＋(13)n ＝4·(13)n . 又b n b n －1＝4·（13）n 4·（13）n －1＝13(n ≥2)，所以数列{b n }是首项为43，公比为13的等比数列，所以T n ＝43[1－（13）n ]1－13＝2[1－(13)n ]． 9．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n 项和为6 560，求该数列的首项a 1和公比q .解：由题意可知q >0，且q ≠1(若q ＝1，则有S 2n ＝2S n ，与题意不符，故q ≠1，)则⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n ）1－q ＝80， ①a 1（1－q 2n ）1－q＝6 560. ② ②÷①，得1－q 2n1－q n ＝82，解得q n ＝81. 又因为q >0，所以q >1.故数列{a n }的前n 项中a n 最大，所以a n ＝54，即a 1q n －1＝54.③将q n ＝81分别代入①，③，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝q －1，3a 1＝2q ，解得a 1＝2，q ＝3.[高考水平训练]一、填空题1．设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，则S n 的值为________．解析：a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1·（1－2n ）1－2＝2n －1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －22．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：因为S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，所以S n －S n ＋1＝S n ＋2－S n ，即－a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1.所以a n ＋2＝－2a n ＋1.所以q ＝a n ＋2a n ＋1＝－2. 答案：－2二、解答题3．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，有两种付款方式：(1)首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后付清；(2)一次性付款，并可优惠x %.如果在今后的9年内银行一年期定期存款税后利率为2%，按复利计算．问：开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次性付款？(参考数据1.029≈1.20，1.0210≈1.22，1.0211≈1.24)解：由题意可知50(1－x %)(1＋2%)9≤5×(1.029＋1.028＋…＋1.02＋1)，整理得1－x %≤ 1.0210－110×1.029×0.02≈0.916 7，所以x %≥8.33%.所以一次性付款的优惠率不低于8.33%时可以鼓励购房者一次性付款．4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12·a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ；(3)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，① ∴a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n 2a n ，n ≥2，② ①－②，得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，即a n ＋1a n ＝3n n ＋1(n ≥2)．由已知，得a 2＝a 1＝1.∴a n ＝a 2·a 3a 2·…·a n a n －1＝2n·3n －2(n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n ＝1），2n·3n －2（n ≥2）.(2)由(1)知，当n ≥2时，n 2a n ＝2n ·3n －2.所以当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，① ∴3T n ＝3＋4·31＋…＋2(n －1)·3n －2＋2n ·3n －1，② ①－②，得T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ≥2)．又∵T 1＝a 1＝1也满足上式，所以T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ∈N *)．(3)a n ≤(n ＋1)λ等价于λ≥a nn ＋1.由(1)可知，当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1）.设f (n )＝n （n ＋1）2·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n －1＜0，∴1f （n ＋1）≥1f （n ），又1f （2）＝13及a 12＝12，故所求实数λ的最小值为13.。

2016-2017学年高二数学人教A版必修5第2.5 等比数列的前n项和含解析精品

绝密★启用前人教A 版数学必修五第二章2.5等比数列的前n 项和一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】已知数列{}n a 满足1320n n a a ++=，253a =-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 102313⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B. 102313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.1032123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D. 1032123⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】1320n n a a ++= ，123n n a a +∴=-，{}n a ∴是等比数列，公比为23q =-，∴首项为152a =，()10101101321123a q S q -⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 考点：等比数列前n 项和. 【题型】选择题【难度】一般2．【题文】等比数列{}n a 中，a 3=27，a 6=729，{}n a 的前4项和为（） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则3637292727a q a ===，解得q =3. 又3122739a a q ===，所以等比数列{}n a 的前4项和S 4=()431313--=120，故选B.考点：等比数列的性质与前n 项和. 【题型】选择题【难度】较易3．【题文】等比数列{}n a 中，397,91S S ==，则6S =（）A ．28B ．32C ．35D ．49 【答案】A【解析】 {}n a 是等比数列，∴每相邻两项的和也成等比数列，3S ∴、63S S -、96S S -成等比数列，即、67S -、691S -成等比数列．()()2667791S S ∴-=⨯-，解得628S =，故选A ．考点：等比数列前n 项和的性质．【题型】选择题【难度】一般4．【题文】已知等比数列{}n a 中，132n n a -=⨯，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为（）A ．()314n -B ．()341n -C ．14n -D ．41n - 【答案】D【解析】设新数列为{}n b ，则222133244n n n n b a --==⨯=⋅，则{}n b 是以3为首项，4为公比的等比数列，()3144114n n n S ⨯-==--．考点：等比数列的通项公式与前n 项和．【题型】选择题【难度】一般5．【题文】已知n S 表示正项等比数列{}n a 的前项和．若26a =，35576a a =，则10S 的值是（）A.511B.1023C.1533D.3069 【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为{}n a 是由正项等比数列，35576a a =，所以424a =，所以2422446a q a ===，解得2q =，所以21632a a q ===，由等比数列的前项和公式得10103(12)306912S -==-，故选D ．考点：等比数列的前项和．【题型】选择题【难度】一般6．【题文】等比数列{}n a 的前项和记为n S ，若84:2:3S S =，则124:S S =（） A.7∶9 B.1∶3 C.5∶7 D.3∶5 【答案】A【解析】设82,S k =则43S k =，令143x S k ==，284x S S k =-=-，3128122x S S S k =-=-，由题意知321,,x x x 成等比数列，因此2213x x x =⋅，代入解得1273k S =，因此12477339kS S k ==.考点：等比数列前项和的性质. 【题型】选择题【难度】一般7．【题文】设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若23=S ，186=S ，则=510S S （） A ．17 B ．33 C ．−31 D ．−3 【答案】B【解析】由题意可得公比1q ≠，因为3611(1)(1)2,1811a q a q q q--==-- ，所以61663331(1)1811,9,980,(1)211a q q qq q a q q q---==-+=---解得1q =（舍去）或2q =，故10101055511233112S q S q --===--，故选B. 考点：等比数列的前项和. 【题型】选择题【难度】一般8．【题文】在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{}2n a +也是等比数列，则n S 等于（） A.221-+n B.n 3 C.n 2 D.13-n 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比q ，则1113n n n a a q q --==，由数列{}2n a +也是等比数列得{}132n q -+是等比数列，所以032q +，132q +，232q +为等比数列，所以()()()2102323232qq q +=++，得0122=+-q q ，即1=q ，所以13n S na n ==.考点：等比数列的通项及前n 项和. 【题型】选择题【难度】一般二、填空题：本题共3小题.9．【题文】已知等比数列{}n a 中，a 2＋a 3=12，a 1a 2a 3=64，则{}n a 的前n 项和 n S =. 【答案】122n +-【解析】∵a 1a 2a 3=64，∴a 2=4，又∵a 2+a 3=12，∴a 3=8，公比q =2，∴a 1=2， ∴()12122212n n n S +-==--,.考点：等比数列的性质，等比数列的前n 项和．【题型】填空题【难度】较易10．【题文】等比数列{}n a 中，363,9S S ==，则9____S =．【答案】21【解析】由等比数列前n 项和的性质知：36396,,S S S S S --成等比数列，因为3633,6,S S S =-=所以9612S S -=，解得921S =．考点：等比数列前n 项和的性质．【题型】填空题【难度】一般11．【题文】已知数列{}n a ，新数列1a -，12a a -，23a a -，…，1n n a a --，…是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =. 【答案】1212n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】依题意可得()()()11223111112211212n n n n a a a a a a a -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-+-+-++-==- ⎪⎝⎭- ，即1212n na ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1212n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 考点：累加法求数列的通项公式，等比数列的前项和公式. 【题型】填空题【难度】一般三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12．【题文】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d ≠0，且42366,,,S a a a =成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{n b }的前n 项和n T ．【答案】（1）n a ＝9−3n （2）3512178n n T -=- 【解析】（1）由题意得2326a a a =，即()()()211125a d a d a d +++＝，解得112d a =-或d ＝0（舍去）． ∴41113414622S a a a ⨯=-⨯==，得d ＝−3．∴n a ＝1a ＋（n −1）d ＝6−3（n −1）＝9−3n ，即n a ＝9−3n ．（2）∵n b ＝9331228n a n n --==，∴1b ＝64，118n n b b +=． ∴{n b }是以64为首项，18为公比的等比数列，∴131641(1)51218117818n n n n b q T q -⎛⎫- ⎪-⎝⎭===---.考点：等差数列的前n 项和公式，等差数列通项公式，等比数列前n 项和公式. 【题型】解答题【难度】一般13．【题文】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3612,84a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，*n ∈Ν．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设, ,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,求数列{}n c 的前21n +项和21n P +．【答案】（1）4n a n =，132n n b -=⋅（2）212212482n n P n n ++=+++ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11212,61584,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得14,44,n a a n d =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+= ，∴当1n =时，13b =，当2n ≥时，11230n n T b ---+=，两式相减，得12(2)n n b b n -=≥，数列{}n b 为公比为2的等比数列，132n n b -∴=⋅．（2）14,32,n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数,为偶数, 211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++2122482n n n +=+++．【考点】等差数列和等比数列，数列的求和方法. 【题型】解答题【难度】一般14．【题文】已知数列{}n a 满足114a =，()1112n n nn a a a --=--（2n ≥，*n ∈Ν），设()11nn nb a =+-．（1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列32n n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前项和n S ．【答案】（1）()()111321n n n a --=⨯-+-（2）1132n n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】（1）由114a =，()1112n n nn a a a --=--（2n ≥，*n ∈Ν），得()()1111121n n n n a a --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以12n n b b -=-（2n ≥），又()1111130b a =+-=≠，所以数列{}n b 是等比数列，故()132n n b -=⨯-（*Νn ∈），()()111321n n n a --=⨯-+-（*n ∈Ν）. （2）()1323232n n n n b ---=⨯-， ()()()()1211473232323232n n n S --=+++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-⨯-,①()()()()()12311147353223232323232n n n n n S ----=+++⋅⋅⋅++⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-,②①-②得，()()()()()1231311111321232222232nn n n n S n --⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=-⋅- ⎪⎝⎭----⨯-.故1132nnnS-⎛⎫=-⎪⎝⎭.【考点】构造数列求通项，错位相减法求数列的和. 【题型】解答题【难度】一般。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第1课时等比数列的前n项和公式含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ，又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n }仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)．答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。

步步高高中数学必修 5 等比数列前n项和

等比数列前n 项和一、选择题1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案－342解析当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1，n ∈N *.等比数列前n 项和1一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列， ∴q ＝a na n －1＝1.3．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30答案 C解析 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140 得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m＋1＝9， ∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0. 故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，3×4n －2， n ≥2，n ∈N *. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.二、填空题7．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝______.答案 73解析 q ≠1，否则S 6S 3＝6a 13a 1＝2≠3.∴S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝3， ∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73. 9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 答案 16解析方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又∵S 3＝2，S 6＝6， ∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16.10．在等比数列{a n }中，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则前n 项和S n ＝________________. 答案 3(2n －1)或3n －1 解析设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.三、解答题11．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？解 (1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列．又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，n ∈N *50×0.99n －10，11≤n ≤20，n ∈N *. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S 2020≈47.54万．因为S 2020＜49，故到2036年不需要调整政策．13．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m＋k，a n＋k，a l＋k显然成等差数列．若q≠1，由S m，S n，S l成等差数列可得S m＋S l＝2S n，即a(q m－1)q－1＋a(q l－1)q－1＝2a(q n－1)q－1，整理得q m＋q l＝2q n.因此a m＋k＋a l＋k＝aq k－1(q m＋q l)＝2aq n＋k－1＝2a n＋k，所以a m＋k，a n＋k，a l＋k成等差数列．。

高中数学人教A版必修五优化练习第二章2.5第1课时等比数列的前n项和公式含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ，又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n}仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)．答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。

人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5等比数列的前n项和

2.5 等比数列的前n 项和双基达标(限时20分钟)1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为 ( )．A ．63B ．64C ．127D ．128解析设公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4及题设，知16＝q 4. ∴q ＝2.∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.答案 C2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )．A ．2B ．4C.152D.172解析 S 4a 2＝a 1(1－q 4)1－q a 1q ＝a 1(1－16)－a 1·2＝152.答案 C3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )． A ．33B ．72C ．84D ．189解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84. 答案 C4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析由a 1＝1，S 6＝4S 3， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1－q 6＝4(1－q 3)．得q 3＝3，故a 4＝a 1q 3＝1×3＝3.答案 35．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2.则该数列前15项的和S 15＝________.解析由性质知：a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－21＝－2，首项为a 1＋a 2＋a 3＝1，其前5项和就是数列{a n }的前15项的和S 15＝1·[1－(－2)5]1－(－2)＝11. 答案 116．已知数列{a n }是等比数列，其中a 7＝1，且a 4，a 5＋1，a 6成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和记为S n ，证明：S n <128(n ＝1,2,3，…)． (1)解设等比数列{a n }的公比为q (q ∈R )，由a 7＝a 1q 6＝1，得a 1＝q －6，从而a 4＝a 1q 3＝q －3，a 5＝a 1q 4＝q －2， a 6＝a 1q 5＝q －1.因为a 4，a 5＋1，a 6成等差数列，所以a 4＋a 6＝2(a 5＋1)，即q －3＋q －1＝2(q －2＋1)，q －1(q －2＋1)＝2(q －2＋1)．所以q ＝12.故a n ＝a 1q n －1＝q －6·q n －1＝64⎝⎛⎭⎫12n －1. (2)证明 S n ＝a 1(1－q n )1－q＝64⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n <128. 综合提高(限时25分钟)7．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为 ( )．A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－1解析已知⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝1，S 8＝17，即S 4＝1，S 8－S 4＝16.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝16，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·q 4＝16.两式相除得q 4＝16，∴q ＝±2. 答案 C8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于 ( )． A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)解析设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2n －1.易知等比数列{a n }的公比q ＝2，首项a 1＝1，∴a n ＝2n －1，于是a n 2＝4n －1，∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝13(4n－1)．故选D. 答案 D9．S n ＝112＋314＋518＋…＋⎣⎡⎦⎤(2n －1)＋12n ＝________. 解析 S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋ (12)＝n [1＋(2n －1)]2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案 n 2＋1－12n10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于________．解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1. 答案 2n －111．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1② ①－②得：－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6 ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.12．(创新拓展)n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列： a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 … a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n … … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 … a n n其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316，求a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n .解设第1行的公差为d ，各列公比为q ，则得 a 1k ＝a 11＋(k －1)d ，a 24＝a 14q ＝(a 11＋3d )q ＝1① a 42＝a 12q 3＝(a 11＋d )q 3＝18②a 43＝a 13q 3＝(a 11＋2d )q 3＝316③由①②③，解得a 11＝d ＝q ＝12.∴a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d ]q k －1＝k 2k .设S n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ，则 S n ＝12＋222＋323＋…n 2n ④12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1⑤ ④－⑤得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. ∴S n ＝2－n ＋22n .即a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝2－n ＋22n .。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

高中数学(人教版必修五)教师文档第二章 §2.5 等比数列的前n项和 (一) Word版含答案

学习目标.掌握等比数列的前项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前项和公式的推导思考对于＝＋＋＋＋…＋＋，用乘以等式的两边可得＝＋＋＋…＋＋＋，对这两个式子作怎样的运算能解出?答案比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出，即＝＝－.梳理设等比数列{}的首项是，公比是，前项和可用下面的“错位相减法”求得．＝＋＋＋…＋－. ①则＝＋＋…＋－＋. ②由①－②得(－)＝－.当≠时，＝.当＝时，由于＝＝…＝，所以＝.结合通项公式可得：等比数列前项和公式：＝(\\(((－)－)＝(－－)(≠)，(＝).))知识点二等比数列的前项和公式的应用思考要求等比数列前项的和：()若已知其前三项，用哪个公式比较合适？()若已知，，的值．用哪个公式比较合适？答案()用＝.()用＝.梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：() 一定不要忽略＝的情况；() 知道首项、公比和项数，可以用；知道首尾两项，和，可以用；() 在通项公式和前项和公式中共出现了五个量：，，，，.知道其中任意三个，可求其余两个．类型一等比数列前项和公式的应用命题角度前项和公式的直接应用例求下列等比数列前项的和：()，，，…；()＝，＝，<.解()因为＝，＝，所以＝＝.()由＝，＝，可得＝·.又由<，可得＝－.所以＝＝.反思与感悟求等比数列前项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意＝是否成立．跟踪训练若等比数列{}满足＋＝，＋＝，则公比＝；前项和＝.答案＋－解析设等比数列的公比为，∵＋＝，＋＝，∴＝，且＋＝，解得＝，且＝.因此＝＝＋－.命题角度通项公式、前项和公式的综合应用例在等比数列{}中，＝，＝，求和.解由题意，得若＝，则＝＝，符合题意．此时，＝，＝＝.若≠，则由等比数列的前项和公式，得＝＝＝，解得＝－.此时，＝＝×(－)＝.综上所述，＝，＝或＝－，＝.反思与感悟()应用等比数列的前项和公式时，首先要对公比＝或≠进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．()当＝时，等比数列是常数列，所以＝；当≠时，等比数列的前项和有两个公式．当已知，与时，用＝比较方便；当已知，与时，用＝比较方便．跟踪训练在等比数列{}中，＝，＝，求.。

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一、本节学习目标1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明方法；2.灵活应用等比数列的前n 项和公式解决有关问题；二、重难点指引重点：等比数列的前n 项和公式推导和应用；难点：等比数列的前n 项和公式灵活应用及将实际问题转化为数学问题（数学建模）．三、学法指导1．由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，注意推导方法“错位相减法”落实；2．重视分类讨论的数学思想方法的指导作用.四、教材多维研读▲ 一读教材1．前n 项和公式的推导方法：_________________2．设等比数列{}n a ，它的前n 项和12...n n s a a a =+++，公比为q ≠0.(1)当1=q 时则1na s n =(2)当1≠q 时，若已知1a 和q ，则用公式_________=n S 较好；若已知n a 和q ，则用公式_________=n S 较好.3．若等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足{}n S 是等差数列，则{}n a 的公比q ＝．4．当1≠q 时，=--=q q a S n n 1)1(1n q q a -11qa --11，可以看做___________函数与_________函数的复合函数.5．{}n a 是___________数列B Aq S n n +=⇔其中____B A ____q ,A =+≠；0.6．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且0≠n S ，则n n n n n S S S S S 232,,--成数列． ▲ 二读教材1．在等比数列{}n a 中，若14a =-，12q =，则10S =________；若11a =，243k a =，3q =，则k S =_________．2．若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则常数a 的值等于（）若等比数列{}n a 的前n 项和为a 31n n +=+S ，则常数a 的值等于（）A ．13-B ．1-C ．13D ．3- 3．已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（） A ．50 B ．70 C ．80 D ．904．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 5．已知数列{}n a 是等比数列，16,252==a a ，则______13221=++++n n a a a a a a Λ. ▲ 三读教材1．求数列11111,2,3,,,2482n n ++++L L 的前n 项和． (2)求和：1321-+++++n aa a a Λ五、典型例析例1 在等比数列{}n a 中，661=+n a a ， 12821=⋅-a a n ， 126=n S ，求项数n 和公比q 的值．例2 设等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求首项、公比q 及项数n ．例3 设{}n a 是等比数列，求证：n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列．例4 某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．六、课后自测◆ 基础知识自测1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（）. A. 11n a a -- B. 111n a a+-- C. 211n a a +-- D. 以上都不对 2. 在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为（） A.4 B.5 C .6 D .73．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（）A ．180 B.10 C.75 D.634. 等比数列{}n a 中，a 4=21，a 9=16则S 5的值为_______ 5.已知数列)}({*∈N n a n 是等比数列，公比为q ，如果有,18321=++a a aqa a a a --=++1,91432那么的值是 . ◆ 能力提升自测 1.等比数列{}n a 共2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = .2.若等比数列{}n a 的前n 项和为,13-=n n S 求2232221...n a a a a ++++=___________ 3．等比数列{}n a 中，)0(109≠=+a a a a ，b a a =+2019，则=+10099a a .4. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，143=n S ，则4n S 等于（）A ．80B ．30C ．26D ．16 ◆ 智能拓展训练1. 已知函数()()21-=x x f ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列(1≠q )，若()()()()1,1,1,13131+=-=+=-=q f b q f b d f a d f a(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 设数列{}n c 对任意的自然数n 均有： ()122111++=+++n n n a n b cb c b c Λ，求数列{}n c 前n 项和S n ．。

苏教版数学必修五2.5等比数列的前n项和(学案含答案)

苏教版数学必修五2.5等比数列的前n项和（学案含答案）高中数学等比数列的前n项和知识点课标要求题型说明等比数列的前n 项和1. 掌握等比数列前n项和的公式；能运用公式解决一些简单问题。

2. 掌握等比数列前n项和的推理证明。

选择题填空题解答题对于q＝1这一特殊情况，往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错，应特别注意. 注意掌握错位相减这种求和方法。

重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用。

难点：等比数列的前n项和公式的推导。

考点一：等比数列的前n项和公式【核心突破】1. 知三求二：由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知1,,,,n na q n a S中任意三个，便可建立方程组求出另外两个。

显然S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列。

当q ≠1时，S n ＝,1)1(1q q a n--S 2n ＝,1)1(21qq a n-- S 3n ＝,1)1(31qq a n --则S 2n －S n＝=--q q q a n n 1)(21,1)1(1qq q a n n --S 3n －S 2n＝=--q q q a n n 1)(321＝,1)1(21qq q a n n -- ∴（S 2n －S n）2＝,)1()1(22221q q q a n n --S n （S 3n －S 2n ）＝⋅--q q a n 1)1(1,1)1(21qq q a n n --∴S n ·（S 3n －S 2n ）＝（S 2n －S n ）2，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列。

（2）{}n a 为比数列⇔(0)nnS Aq B A B =++= （3）(mn m m nS S q S q +=+为公比）（4）若{a n }共2n （n ∈N *）项，则奇偶S S ＝q 。

注意：运用性质（1）可以快速地求某些和，但在运用此性质时，要注意的是232,,,nnnnnS S S S S --…成等比数列，而不是23,,,nnnS S S …成等比数列。

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2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的前n项和公式的基本应用1、2、6等比数列的前n项和的性质及应用3、4、7综合应用问题5、8、9、10基础达标1.数列{2n-1}的前99项和为( C)(A)2100-1 (B)1-2100(C)299-1 (D)1-299解析:数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1,故选C.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于( C)(A)7 (B)8 (C)15 (D)16解析:设{a n}的公比为q,∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,∴q=2,又a1=1,∴S4==15,故选C.3.等比数列中S n=48,S2n=60,则S3n等于( D)(A)183 (B)108 (C)75 (D)63解析:∵S n,S2n-S n,S3n-S2n构成等比数列,∴(S2n-S n)2=S n(S3n-S2n),∴122=48(S3n-60),∴S3n=63,故选D.4.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3等于( C)(A)1∶2 (B)2∶3 (C)3∶4 (D)1∶3解析:由S6∶S3=1∶2,不妨设S6=k,则S3=2k,从而S6-S3=-k,由等比数列前n项和的性质得S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即2k,-k,S9-S6成等比数列,所以S9-S6=,因此S9=,于是S9∶S3=∶2k=3∶4,故选C.5.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C)(A)2 (B)(C)4 (D)解析:∵a3=3S2+2,a4=3S3+2,∴a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,∴q==4,故选C.6.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1=1,S6=4S3,则a4=.解析:设等比数列的公比为q,则由S6=4S3知q≠1.∴S6==,∴q3=3,∴a4=a1q3=3.答案:37.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=.解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:11能力提升8.已知{a n}是等比数列,且a2=2,a5=16,则a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1=.解析:设{a n}的公比为q,则,解得,于是a n=2n-1,从而a n a n+1=2n-1·2n=22n-1=2·4n-1,所以{a n a n+1}是首项为2,公比为4的等比数列,故a1a2+a2a3+…+a n a n+1==(4n-1).答案:(4n-1)9.已知等比数列{a n}的公比q=,且a1+a3+a5+…+a99=66,则其前100项的和S100=.解析:a2+a4+a6+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)q=66×=22,于是S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=66+22=88.答案:8810.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列{b n}的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对任意正整数n都有++…+=a n+1成立,求c1+c2+…+c2012的值.解:(1)设数列{b n}的公比为q,则a1+d=b1q,a1+4d=b1q2,a1+13d=b1q3.由题意,得(1+d)(1+13d)=(1+4d)2,整理得d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去),∴a n=2n-1.于是b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27,所以公比q==3,b1=1,故b n=b1q n-1=3n-1.(2)∵a n=2n-1,b n=3n-1,∴a n+1=2n+1.由++…+=a n+1,得++…+-=a n(n≥2),-两式相减得=a n+1-a n=2(n≥2),即c n=2b n=2·3n-1(n≥2).当n=1时,∵=a2,∴c1=b1·a2=1×3=3,∴c n=-∴c1+c2+c3+…+c2012=3+2×3+2×32+…+2×32011=3+2(3+32+…+32011)=3+2×=32012.。

人教新课标版数学高二-人教数学必修五练习2.5.1等比数列的前n项和

课后巩固作业（十四）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.等比数列2，4，8，16，…的前n 项和S n 等于（）（A ）2n+1-1 （B ）2n -2 （C ）2n （D ）2n+1-22.等比数列{a n }的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）（A ）-2 （B ）1 （C ）-2或1 （D ）2或-13.等比数列{a n }的首项为1，公比为q （q ≠1），前n 项和为S n ，则11a +21a +31a +…+n1a 等于（）（A ）n 1S （B ）n 1n Sq- （C ）S n （D ）n 1n 1q S -4.已知等比数列{a n }中,公比q =12,且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 1+a 2+a 3+…+a 100=（）(A)100 (B)90 (C)120 (D)30 二、填空题(每小题4分，共8分)5.若等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，则它的前n 项和S n 可以用n ，q 表示成S n =_____.6.（2011·北京高考）在等比数列{a n }中，若11a 2=，a 4=-4，则公比q=_____；|a 1|+|a 2|+…+|a n |=______．三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4,求a 13+a 14+a 15+a 16的值.8.若等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ,S 2n ,S 3n ,求证：()22n 2n n 2n 3n S S S S S +=+.【挑战能力】（10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1=1，S 2=2，且S n+1-3S n +2S n-1=0(n ≥2且*n N ∈),试判断数列{a n }是不是等比数列?答案解析1.【解析】选D.由已知条件可得此等比数列的首项a 1=2，公比4q 22==，故前n 项和n n 1n 212S 2212+⨯-==--（）. 2.【解析】选C.由已知可得S 3=3a 1，即a 1+a 1q+a 1q 2=3a 1,又a 1≠0，∴q 2+q-2=0，解得q=1或q=-2.3.【解题提示】构成的新数列11a ，21a ，31a ，…，n a 1是首项为1，公比为1q的等比数列.【解析】选B.∵n nn 11q 1q S 1q 1q⨯--==--（）, ∴nn 123n1111111q T 1a a a a 1q⨯-=+++⋯+=-（） =n n n 1n 1S 1q 11q q q---=-·. 4.【解析】选B.由题意,S 奇=60,∴S 偶=q ·S 奇12=×60=30,∴S 100=S 奇+S 偶=60+30= 90.5.【解析】当q=1时，此数列是各项为1的常数列，故S n =n.当q ≠1时，则n n 1q S 1q-=-.故n n n q 1S 1q q 11q =⎧⎪=-⎨ ≠⎪-⎩（），（）..答案：n n q 11q q 11q =⎧⎪-⎨ ≠⎪-⎩（）（）6.【解析】∵341a q 42==-，∴q=-2， ∴()n 1n 1a 22-=⨯-，∴|a n |=2n-2，∴|a 1|+|a 2|+…+|a n |()n n 1112122122--==--.答案：-2 2n-1-21[]7.【解题提示】利用等比数列前n 项和的性质，若数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ，…仍构成等比数列，其公比为q n （q ≠-1）.【解析】∵数列{a n }为等比数列，∴S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12也构成等比数列，故（S 8-S 4）2=S 4(S 12-S 8),即（4-1）2=1×（S 12-4），解得S 12=13.同理可解得S 16=40，∴a 13+a 14+a 15+a 16=S 16-S 12=40-13=27. 8.【证明】方法一：根据等比数列的性质，有 S 2n =S n +q n S n =S n (1+q n ), S 3n =S n +q n S n +q 2n S n ,所以222n 2n n S S S +=+［S n (1+q n )］2=2n S (2+2q n +q2n ), S n (S 2n +S 3n )=2n S (2+2q n +q2n ). 所以22n 2n S S +=S n (S 2n +S 3n ).方法二：依题意可得S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列，所以（S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),整理得22n 2n S S +=S n (S 2n +S 3n ).【方法技巧】巧用等比数列的前n 项和的性质.(1)“片段和”性质：等比数列{a n }中，公比为q(q ≠-1),前m 项和为S m (S m ≠0),则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…,S km -S (k-1)m ,…构成公比为q m 的等比数列，即等比数列的前m 项和与以后依次m 项的和构成等比数列. (2)“相关和”性质：n n n m n m S S q S q +=+⇔=n m nmS S S +- (q 为公比).【挑战能力】【解析】∵S n+1-3S n +2S n-1=0（n ≥2，*n N ∈）, ∴（S n+1-S n ）-2(S n -S n-1)=0, ∴a n+1-2a n =0，即*n 1na 2(n 2,n N )a +=≥∈. ∴a 2,a 3,a 4,…,a n ,…构成公比为2的等比数列. 又a 1=S 1=1,a 2=S 2-S 1=1,∴21a 12a =≠. ∴数列{a n }不是等比数列.。

天津市南开中学高二数学必修5作业：2.5等比数列的前n项和(2) Word版缺答案

1.
2.等比数列{an}中，若 =91, =7,则为( )
A.28 B.32 C.35 D.49
2.在等比数列中， =1， =3，则 +
的值等于( )
A.12 B.14 C.16 D.18
3.等比数列的前项和为，若，则（）
（A）（B）（C）（D）
4.已知数列满足
，（），
则当时，＝（）
（A）2n（B） (C）2n－1（D）2n－1
二．填空
7.正项等比数列满足：，，
，则数列的前10项和是。
8.等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.
9.各项均为实数的等比数列的前n项和记作 ,若，则
10.等比数列的前n项和为，，，成等差数列，则的公比q=
3Байду номын сангаас解答题
11.三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列.求这三个数.
数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= (an-1).
（1）求a1,a2;
(2)证明：数列{an}是等比数列；
（3）求an及Sn.

人教版高中数学必修五课时作业6：2.5 等比数列的前n项和(一)

2.5 等比数列的前n项和（一）一．选择题1．若各项均为正数的等比数列{a n}满足a2=1，a3a7﹣a5=56，其前n项的和为S n，则S5=（）A．31 B．C．D．以上都不对2. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S6=（）A．63 B．48 C．42 D．363.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=2，S6=6，则a13+a14+a15的值是（）A．18 B．28 C．32 D．1444.在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3•a n﹣2=64，且前n项和为S n=42，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．65.已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+2=3a n（n∈N*）则数列{a n}的前2015项的和S2015等于（）A．31008﹣2 B．31008﹣1 C．32015﹣2 D．32015﹣36.各项均为正数的等比数列{a n}中，a3，3a2，5a1，成等差数列且a n＜a n+1（n∈N*），则公比q的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．57.在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8，那么{a n}的前5项和是（）A．﹣31 B．15 C．31 D．638.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则q等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．19. 已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．B．C．D．10. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于（）A．﹣11 B．11 C．31 D．﹣31二．填空题1. 若等比数列{a n}的前项n和为S n，且=5，则=．2. 设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=．3. 设等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），前n项和为S n，若a1=4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，则S6=．4. 已知数列{a n}，a n=2n，则++…+=．5. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是．参考答案一．选择题1.【解析】由等比数列的性质可得a3a7=a52，∵a3a7﹣a5=56，∴a52﹣a5=56，结合等比数列{a n}的各项均为正数可解得a5=8，∴公比q满足q3==8，∴q=2，∴a1=，∴S5===，故选：C2. 【解析】在等比数列{a n}中，∵a2a6=64，∴a3a5=a2a6=64，又a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q=，∴a1=，∴S6==63．故选：A．3. 【解析】由等比数列性质，知S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，S15﹣S12也成等比数列，∵S3=2，S6=6，∴S3=2，S6﹣S3=4，S9﹣S6=8，S12﹣S9=16，S15﹣S12=32．∴a13+a14+a15=S15﹣S12=32．故选：C．4. 【解析】由等比数列的性质可得a1a n=a3•a n﹣2=64，又a1+a n=34，∴a1和a n是方程x2﹣34x+64=0的两根，解方程可得x=2或x=32，∵等比数列{a n}递增，∴a1=2，a n=32，∵S n=42，∴==42，解得q=4，∴32=2×4n﹣1，解得n=3故选：A5. 【解析】∵数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+2=3a n（n∈N*），∴=3，∴数列的奇数项为1为首项3为公比的等比数列，偶数项是3为首项3为公比的等比数列，∴数列{a n}的前2015项的和S2015=（a1+a3+a5+…+a2015）+（a2+a4+a6+…+a2014）=+=（31008﹣1）+（31008﹣3）=31008﹣2，故选：A．6. 【解析】在各项均为正数的等比数列{a n}中，由a3，3a2，5a1成等差数列，得6a2=a3+5a1，即，∴q2﹣6q+5=0，解得：q=1或q=5．∵a n＜a n+1，∴q=5．故选：D．7. 【解析】等比数列{a n}中，设公比为q，由a1=1，a4=8，即为q3=8，解得，q=2，则S5===31．故选C．8. 【解析】由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式作差得：a4﹣a3=2（S3﹣S2）=2a3，即a4=3a3．∴．∴等比数列{a n}的公比q=3．故选：B．9. 【解析】∵等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，∴S n==，当n取偶数时，S n=＜1；当n取奇数时，S n=1+=．∴S n的最大值为．故选：D．10. 【解析】设公比为q，则a4=a1q3=﹣8，∴q=﹣2∴S5===11，故选：B二．填空题1. 【解析】若公比q=1，则=5，∴公比q≠1．由=5得，即q2=4，∴=．故答案为：17．2. 【解析】因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等比数列，则S3（S9﹣S6）=（S6﹣S3）2，即8×（S9﹣S6）=（﹣1）2，解得S9﹣S6=，即a7+a8+a9=，故答案为：．3. 【解析】∵等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），前n项和为S n，a1=4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，∴，由0＜q＜1，解得，∴S6==．故答案为：．4. 【解析】由题意得：数列{a n}为首项是2，公比为2的等比数列，由a n=2n，得到数列{a n}各项为：2，22，…，2n，∴++…+=++…+，∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，则++…+=++…+==1﹣．故答案为：1﹣5. 【解析】设等比数列的公比为q，则q＜0∵各项和为S，∴﹣1＜q＜0，∴S==＞1，∴＜0∴1＜S＜2故答案为：1＜S＜2。

高中数学新人教A版必修5习题 2.5 等比数列的前n项和1

等比数列的前n 项和A 组基础巩固1．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n＋a (a 为常数)，则数列{a n }是( ) A ．等比数列B ．仅当a ＝－1时，是等比数列C ．不是等比数列D ．仅当a ＝0时，是等比数列解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a n ＝1，2×3n －1n ≥2.当a ＝－1时，a 1＝2适合通项a n ＝2×3n －1，故数列{a n }是等比数列．当a ≠－1时，{a n }不是等比数列，故选B.答案：B2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2解析：S 5＝a 11－q 51－q，∴44＝a 1[1－－25]1－－2，∴a 1＝4，故选A. 答案：A3．等比数列{a n }的公比q <0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 014项和等于( ) A ．2 010 B ．－1 C ．1 D ．0解析：由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得qn ＋1＝q n ＋2qn －1，即q 2－q －2＝0，又q <0，解得q ＝－1，又a 2＝1， ∴a 1＝－1，∴S 2 014＝－1×[1－－1 2 014]1－－1＝0.答案：D4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝120＋121＋…＋124＝3116. 答案：C7．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为a n＝________.解析：∵q ＝4，S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21， ∴a 1＝211＋q ＋q 2＝1.∴a n ＝a 1q n －1＝4n －1. 答案：4n －18．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：a 4＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18a 1，S 4＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1241－12＝158a 1，∴S 4a 4＝15. 答案：159．在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 6＝b 3. (1)求等差数列{a n }的通项公式a n 和等比数列{b n }的通项公式b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .解：(1)设公差为d (d ≠0)，公比为q .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q1＋5d ＝q 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝4，∴a n ＝3n －2，b n ＝4n －1.(2)由(1)可知a n ·b n ＝(3n －2)·4n －1，∴S n ＝1＋4×4＋7×42＋…＋(3n －2)·4n －1， ①4S n ＝4＋4×42＋7×43＋…＋(3n －2)·4n. ② 由①－②得－3S n ＝1＋3×4＋3×42＋3×43＋…＋3·4n －1－(3n －2)·4n＝1＋3×41－4n －11－4－(3n－2)·4n＝1＋4n－4－(3n －2)·4n＝－3－3(n －1)·4n，∴S n ＝1＋(n －1)·4n (n ∈N *)．10．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝＋a 1。

高二数学人教A必修5练习：2.5 等比数列的前n项和(二) Word版含解析

§2.5 等比数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q；当q ＝1时，S n ＝na 1.2n 项和的性质：(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.2．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1) 答案 D解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158 答案 C解析若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 1a n ＝(12)n －1. 所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)．5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30 答案 C解析 q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.6．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元答案 B解析设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.二、填空题 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.8．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝________________________________________________________________________. 答案 63解析方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝48 ①a 1(1－q 8)1－q ＝60 ②由②÷①得1＋q 4＝54，∴q 4＝14③将③代入①得a 11－q ＝64，∴S 12＝a 1(1－q 12)1－q＝64(1－143)＝63.方法二因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ，所以S 12＝(S 8－S 4)2S 4＋S 8＝(60－48)248＋60＝63.9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 729解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)．10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________．答案 (1＋q )12－1解析设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨． 12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n >13，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732.两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 65732，即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.能力提升13．有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a . 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求a n还是求S n的问题．。

高二数学人教A必修5练习：2.5 等比数列的前n项和(一) Word版含解析

§2.5 等比数列的前n 项和(一)课时目标1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1 (q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33 答案 D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172 答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172 答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案 C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 答案 D解析由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12. ∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.答案－13解析显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n(x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n)1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nx n ＋11－x (x ≠1且x ≠0).能力提升13．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝54，S 2n ＝60，求S 3n . 解方法一由题意S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴62＝54(S 3n －60)，∴S 3n ＝1823.方法二由题意得a ≠1，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q＝54 ①S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q＝60 ②由②÷①得1＋q n ＝109，∴q n ＝19，∴a 11－q＝9×548，∴S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝9×548(1－193)＝1823.14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2. ② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

2019-2020学年高中数学(人教版必修五)教师文档：第二章 §2.5 等比数列的前n项和 (一) Word版含答案

学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n 项和公式的推导思考对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答案比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1.梳理设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和S n 可用下面的“错位相减法”求得．S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1＋a 1q n.②由①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n. 当q ≠1时，S n ＝a1(1－qn)1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1. 结合通项公式可得：等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a1(1－qn)1－q＝a1－anq 1－q (q≠1)，na1(q ＝1).知识点二等比数列的前n 项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？ (2)若已知a 1，a 9，q 的值．用哪个公式比较合适？答案 (1)用S n ＝a1(1－qn)1－q .(2)用S n ＝a1－anq 1－q .梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1) 一定不要忽略q ＝1的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用a1(1－qn)1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用a1－anq1－q ；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．类型一等比数列前n 项和公式的应用命题角度1 前n 项和公式的直接应用例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0. 解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝164081.反思与感悟求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列的公比为q ， ∵a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40， ∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a1(1－qn)1－q＝2n ＋1－2.命题角度2 通项公式、前n 项和公式的综合应用例2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意．此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a1(1－q3)1－q ＝2(1－q3)1－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.反思与感悟 (1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a1(1－qn)1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a1－anq1－q比较方便．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n .解方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a1(1＋q)＝30，a1(1＋q ＋q2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝180，q ＝－56.从而S n ＝5(1－5n)1－5＝54(5n－1)或S n ＝180[1－(－56)n]1－(－56)＝1080[1－(－56)n]11，n ∈N *.方法二若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2，而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a1(1－q2)1－q ＝30， ①a1(1－q3)1－q ＝155，②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q2＝631，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5(1－5n)1－5＝54(5n－1)或S n ＝180[1－(－56)n]1－(－56)＝1080[1－(－56)n]11，n ∈N *.类型二等比数列前n 项和的实际应用例3 借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数)解方法一设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6，n ∈N *)，则a 0＝10000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ，…a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－a . 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，所以a ≈1.061×1021.061－1≈1739(元)．故每月应支付1739元．方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a[(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a ×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1≈1739(元)．故每月应支付1739元．反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a1(1－qn)1－q＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－xn1－xB.1－xn －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－xn 1－x ， x≠1，n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－xn －11－x ，x≠1，n ，x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－xn1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S4a2等于( )A ．2B ．4C.152D.172答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S4a2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a1(1－q4)1－q ，a 2＝a 1q ，∴S4a2＝1－q4(1－q)q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275答案 B解析 ∵q 4＝a5a1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a1－a5q1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案 11a (1.15－1)解析去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．40分钟课时作业一、选择题1．设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n[(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S5S2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0， ∴q ＝－2，则S5S2＝a1(1＋25)a1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)．6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析由3a n ＋1＋a n ＝0，得an ＋1an ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－(－13)101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3 解析 ∵S 6＝4S 3⇒a1(1－q6)1－q ＝4·a1(1－q3)1－q⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n－1 解析 a n －a n －1＝a 1qn －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－a1＝2，a3－a2＝22，…an －an －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n－2，故a n ＝a 1＋2n－2＝2n－1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a3a2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案－342解析当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a1(1－q3)1－q ＋a1(1－q6)1－q ＝2×a1(1－q9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *.解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a(1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨． 13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝0，2a1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *. (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a22＋…＋an2n －1，① Sn 2＝a12＋a24＋…＋an2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 Sn 2＝a 1＋a2－a12＋…＋an －an －12n －1－an 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。

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(
n
)
A． (2n 1)2 C． (4 1)
n
B． (2 1)
n D． 4 1
1 3
4.在等比数列 an 中, a1 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 an 1 也是等比数列,则 Sn 等于 ( (A) 2
n 1
1 3
)
2
(B)
3n
(C) 2 n
(D) 3 1
(Ⅱ)设 bn log2 an ，求数列 bn 的前 n 项和 T n
2
1
1 的前 n 项和是（ an
）
B． S n q n
C． S n q1n
D． S n q n1
1
二．填空
7.在等比数列 a n 中，若 S3 12 ， S6 36 ，则 S9
8.设等比数列 {an } 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，若
S n 1 ， Sn ， Sn2 成等差数列，则 q=
2.在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a1 3 ，前三项和为 21，则 a3 a 4 a5 =（） A．33 B．72 C．84 D．189 3.数列 {an } ,已知对任意正整数 n,
a1 a2 a3 an 2n 1，则
2 2 2 等于 a12 a2 a3 an
n
5.数列 an 满足 a 1 ， a 2 a1 ， a3 a 2 ，…， an an1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，那么 an2
n 1
1 C 2n 1
n D 4 1
6.等比数列 an 的首项 a1 =1，公比为 q，前 n 项和是 S n ，则数列 A． S n
9.等比数列 a n 中， a 2 2 , a 5
.
1 ，则 a1 a2 a2 a3 an an1 = 4
1
12. 已知等比数列 {an } 中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且
a1 64, 公比q 1
(Ⅰ)求 an ；