2011年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学答案
数学_2011年福建省某校高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2011年福建省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 化简：√2−i 31−√2i 结果为（ ）A iB −iC −3iD 3i2. 设全集I 是实数集R ，M ={x|x 2>4}与N ={x|1<x ≤3}都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为( )A {x|x <2}B {x|−2≤x <1}C {x|−2≤x ≤2}D {x|1<x ≤2}3. 已知|a →|=|b →|=1，a →⋅b →=12，则平面向量a →与b →夹角的大小为（ ）A π6B π4C π3D 2π3 4. ac 2>bc 2是a >b 成立的（ ）A 充分而不必要条件B 充要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件5. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A f(x)=x 2B f(x)=1x C f(x)=x 4 D f(x)=sinx 6. 将参加夏令营的100名学生编号为001，002，，100，采用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本，且在第一组随机抽得的号码为003．这100名学生分住在三个营区，001到047住在第I 营区，048到081住在第II 营区，082到100住在第III 营区，则三个营区被抽中的人数依次为（ ）A 10，6，4B 9，7，4C 10，7，3D 9，6，57. 设函数f(x)=sin(2x +π3)，则下列结论正确的是 ①f(x)的图象关于直线x =π3对称②f(x)的图象关于点(π3, 0)对称 ③把f(x)的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象④f(x)在[0, π6]上为增函数（ ）A ①②B ③④C ②③D ①④8. 已知命题：“若x ⊥y ，y // z ，则x ⊥z”成立，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形不能（ ）A 都是直线B 都是平面C x ，y 是直线，z 是平面D x ，z 是平面，y 是直线9. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35，那么表中t 的值为（ ）10. 椭圆x 24+y 23=1的右焦点到双曲线x 23−y 2=1的渐近线的距离为（ ） A 12 B √32 C √3 D 111. 数列{a n }满足3+a n =a n+1(n ∈N ∗)，且a 2+a 4+a 6=9，则log 16(a 5+a 7+a 9)的值是( )A −2B −12C 2D 1212. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y =f(x)和y =f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) A B C D二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13. 命题P ：“∃x ∈R ，x 2+1<2x”，￢P 为________（填“真”“假”中一个字）命题．14. 已知直线x +y +c =0与圆O:x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，且|AB|=√3，则c =________．15. 已知a =log 54，b =(log 53)2，c =log 45，则把它们用“<”号连接起来结果为________．16. 如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB =90∘, AC =2)沿x 轴滚动，设顶点A(x, y)的轨迹方程是y =f(x)，则f(x)在其相邻两个零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．三、解答题（共6小题，共74分）17. 设(a, b)为有序实数对，其中a是从区间A=(−3, 1)中任取的一个整数，b是从区间B= (−2, 3)中任取的一个整数．（1）请列举出(a, b)各种情况；（2）求“b−a∈A∪B”的概率．18. 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2−bc，（1）求：2sinBcosC−sin(B−C)的值；（2）若b+c=2，设BC的中点为E，求线段AE长度的最小值．19. 一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E−ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E−BCD的体积．20. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a n=1，若数列{S n+1}是公比为2的等比数列．b n=n⋅2n+(−1)n⋅λa n，n∈N∗，（1）求数列{a n}的通项公式a n（2）若数列{b n}是递增数列，求实数λ的取值范围．21. 已知曲线C1:y=x2+e（e为自然对数的底数），曲线C2:y=2elnx和直线m:y=2x．e（1）求证：直线m与曲线C1、C2都相切，且切于同一点；（2）设直线x=t(t>0)与曲线C1、C2及直线m分别交于M、N、P，记f(t)=|MP|−|PN|，求f(t)在[e−3, e3]上的最大值．22. 已知抛物线C1:y2=4x，圆C2：(x−1)2+y2=1，过抛物线焦点F 的直线l交C1于A，D两点（点A在x轴上方），直线l交C2于B，C两点（点B在x轴上方）．(I)求|AB|⋅|CD|的值；(II)设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q，且满足m+n+p+q=3√2，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出所有满足条件的直线l的方程．2011年福建省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. A2. D3. C4. A5. D6. B7. C8. C9. A10. A11. A12. D13. 真14. ±√2215. b <a <c16. 2+4π17. 解：（1）由题意知共12个：(−2, −1)(−2, 0)(−2, 1)(−2, 2)(−1, −1)(−1, 0)(−1, 1)(−1, 2)(0, −1)(0, 0)(0, 1)(0, 2)（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件共有12个，满足条件的事件为事件“b −a ∈A ∪B”，则事件从前面的列举可以知道包含9个基本事件， 事件的概率P =912=34 18. 解：（1）∵ b 2+c 2=a 2−bc ，∴ a 2=b 2+c 2+bc ，结合余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−(b 2+c 2−bc)2bc =−12， 又A ∈(0, π)，∴ A =2π3 ∴ B +C =π3∴ 2sinBcosC −sin(B −C)=sinBcosC +cosBsinC=sin(B +C)=sin π3=√32； （2）根据题意知AE →=12(AB →+AC →)∴ AE →2=14(AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →)∴ AE →=14[c 2+b 2+2bc ×(−12)]=14[(c +b)2−3bc]=14(4−3bc)∵ √bc ≤b+c 2=1∴ bc ≤1（当且仅当b =c =1时等号成立）∴ (AE →2)min =14(4−3)=14∴ |AE →min |=12 19. （1）证明：因为EA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以EA ⊥AC ，即ED ⊥AC ．又因为AC ⊥AB ，AB ∩ED =A ，所以AC ⊥平面EBD ．因为BD ⊂平面EBD ，所以AC ⊥BD ．（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB ⊥AC ，所以BC 为圆O 的直径． 设圆O 的半径为r ，圆柱高为ℎ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，{2rℎ+12r ×2=102rℎ+12×2r ×2=12. 解得{r =2ℎ=2.所以BC =4，AB =AC =2√2．以下给出求三棱锥E −BCD 体积的两种方法：方法1：由（1）知，AC ⊥平面EBD ，所以V E−BCD =V C−EBD =13S △EBD ×CA ． 因为EA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EA ⊥AB ，即ED ⊥AB ．其中ED =EA +DA =2+2=4，因为AB ⊥AC ，AB =AC =2√2，所以S △EBD =12×ED ×AB =12×4×2√2=4√2．所以V E−BCD =13×4√2×2√2=163． 方法2：因为EA ⊥平面ABC ，所以V E−BCD =V E−ABC +V D−ABC =13S △ABC ×EA +13S △ABC ×DA =13S △ABC ×ED ． 其中ED =EA +DA =2+2=4，因为AB ⊥AC ，AB =AC =2√2，所以S △ABC =12×AC ×AB =12×2√2×2√2=4．所以V E−BCD =13×4×4=163．20. 解：（1）∵ a 1=1，且数列{S n +1}是公比为2的等比数列．∴ S 1+1=2∴ ， ∴ S n +1=2×2n−1=2n ，∴ S n =2n −1(n ∈N ∗)当n≥2时，a n=S n−S n−1，又∵ a1=1，∴ a n=2n−1(n∈N∗)（2）∵ b n=n⋅2n+(−1)n⋅λa n，n∈N∗，∴ b n=[2n+(−1)nλ]2n−1∴ b n+1=[2(n+1)+(−1)n+1λ]2n=2n−1[4n+4−2(−1)nλ]∴ b n+1−b n=2n−1[2n+4−3(−1)nλ]>0∴ 2n+4>3(−1)nλ，当n为奇数时，2n+4>−3λ，∴ 6>−3λ，∴ λ>−2；当n为偶数时，2n+4>3λ，∴ 8>3λ，∴ λ<83综上所述，83>λ>−221. 解：（1）对于曲线C1:y=x2e +e，设切点P(a, b)，有2ae=2∴ a=e，故切点为P(e, 2e)，切线：y−2e=2(x−e)，即y=2x．所以直线m与曲线C1相切于点P(e, 2e)同理可证直线m与曲线C2也相切于点P(e, 2e)．（2）由题意易得M(t, t 2e+e)，N(t, 2eln t)，P(t, 2t)∴ 由两点间的距离公式可得|MP|=t2e+e−2t，|PN|=2t−2eln t，∴ f(t)=t2e+2eln t−4t+e(e−3≤t≤e3)f′(t)=2te+2et−4=2(t−e)2t≥0∴ f(t)在[e−3, e3]上单调增，故y max=f(e3)=e5−4e3+7e．22. 解：(1)∵ y2=4x，焦点F(1, 0)，准线l0:x=−1．由定义得：|AF|=x A+1，又∵ |AF|=|AB|+1，∴ |AB|=x A同理：|CD|=x D当l⊥x轴时，则x D=x A=1，∴ |AB|×|CD|=1当l:y=k(x−1)时，代入抛物线方程，得：k2x2−(2k2+4)x+k2=0，∴ x A x D=1，∴ |AB|×|CD|=1综上所述，|AB|×|CD|=1(2)∵ |AB|，|BC|，|CD|成等差，且|AB|=x A，|BC|=2，|CD|=x D，∴ x A+x D=4由(1)得：x A+x D=2k2+4k2，∴k2=2，∴ k=±√2∵ l:y=k(x−1)，∴ m=k OA=y Ax A =k(1−1x A)同理：n=k(1−1x B )，p=k(1−1x C)，q=k(1−1x D)∴ m+n+p+q=k[4−(1x A +1x D)−(1x B+1x C)]=3√2又1x A +1x D=x A+x Dx A x D=4把y=k(x−1)代入(x−1)2+y2=1得，(k2+1)x2−2(1+k2)x+k2=1，∵ k2=2，∴ 3x2−6x+2=0∴ x B+x C=2，x B x C=23，1x B+1x C=3，∴ K=−√2，所以所求直线L的方程为√2x+y−√2=0。
(完整版)2011年福建省高考数学试卷(文科)及解析
2011年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、（2011•福建）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（）A、{0，1}B、{﹣1，0，1}C、{0，1，2}D、{﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算。
专题：计算题。
分析：根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}．故选A点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题．2、（2011•福建）i是虚数单位1+i3等于（）A、iB、﹣iC、1+iD、1﹣i考点：虚数单位i及其性质。
专题：计算题。
分析：由复数单位的定义，我们易得i2=﹣1，代入即可得到1+i3的值．解答：解：∵i是虚数单位∴i2=﹣11+i3=1﹣i故选D点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=﹣1是解答本类问题的关键．3、（2011•福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；充要条件。
分析：先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．解答：解：当“a=1”时，“|a|=1”成立即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立即“|a|=1”时，“a=1”为假命题故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．4、（2011•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A、6B、8C、10D、12考点：分层抽样方法。
2011年福建省高考数学试卷(文科)及解析
2011年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、（2011•福建）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（）A、{0，1}B、{﹣1，0，1}C、{0，1，2}D、{﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算。
专题：计算题。
分析：根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}．故选A点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题．2、（2011•福建）i是虚数单位1+i3等于（）A、iB、﹣iC、1+iD、1﹣i考点：虚数单位i及其性质。
专题：计算题。
分析：由复数单位的定义，我们易得i2=﹣1，代入即可得到1+i3的值．解答：解：∵i是虚数单位∴i2=﹣11+i3=1﹣i故选D点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=﹣1是解答本类问题的关键．3、（2011•福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；充要条件。
分析：先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．解答：解：当“a=1”时，“|a|=1”成立即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立即“|a|=1”时，“a=1”为假命题故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．4、（2011•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A、6B、8C、10D、12考点：分层抽样方法。
福州市2011届第一学期高三期末质量检查数学(文科)试卷
福州市2010—2011学年第一学期期末高三质量检查数学（文科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分60分）1.D2.A3.B4.A5. C6.D7.C8.A9.A 10.C 11.D 12.B 二、填空题(每小题4分，满分16分)13. 6 14. 127 15. ①②③ 16.（－1,1）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 17.解：（Ⅰ）依题意：2(1)1n a n n =+-=+ ····························································2分(1)212n n n S n -=+⨯=2322nn + ······································································· 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 4211==a b ·········································································· 5分 {}111222n n a a n n nb b b +-+===∴是首项为4,公比为2的等比数列 ·········· 7分 11422n n n b -+∴=⨯= ····················································································· 9分 24(12)2412n n n T +-==-- ················································································ 12分18.（本小题满分12分）18.解：（Ⅰ）()1cos2cos f x x x x ωωω=-+1c o s 23s i n 2x x ωω=- ··································································· 2分2cos21x x ωω-+2sin(2)16x πω=-+ ······························· 5分 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． ··························································································7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1)62sin(2)(+-=πx x f因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， ····················································· 9分所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此31)62sin(20≤+-≤πx ， 即()f x 的取值范围为]3,0[． ···················································································· 12分 19.（本小题满分12分）19.解：（Ⅰ）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)， 所以基本事件的总数16=M ． ··························································································· 2分 设事件A ：连续取两次都是白球，则事件A 所包含的基本事件有： （白1，白1）（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个 ····························· 4分 所以，41164)(==A P . ···································································································· 6分 （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）连续取两次的事件总数为16=M ，设事件B ：连续取两次分数之和为０分，则1()16P B =； ·················································· 8分 设事件C ：连续取两次分数之和为1分，则41()164P B == ············································ 10分 设事件D ：连续取两次分数之和大于１分，则11()1()()16P D P B P C =--= ·············· 12分（Ⅱ）解法2：设事件B ：连续取两次分数之和为2分，则6()16P B =； ··············· 8分设事件C ：连续取两次分数之和为3分，则4()16P C =设事件D ：连续取两次分数之和为4分，则1()16P D = ················································· 10分设事件E ：连续取两次分数之和大于１分，则11()()()()16P E P B P C P D =++= ······ 12分20.（本小题满分12分）20.解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤， 从甲地到乙地所用的时间为300x小时， ·············································································· 2分 则从甲地到乙地的运输成本xx x y 3008003005.02⋅+⋅=，(050)x <≤ ···························· ６分 故所求的函数为230030016000.5800150()y x x x x x=⋅+⋅=+，(050)x <≤． ··················· ７分（Ⅱ）解法１：由（Ⅰ）160015015012000y x x ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， ············ ９分 当且仅当1600x x=，即40x =时取等号． ········································································ 11分 故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． ························· 12分 （Ⅱ）解法2：由（Ⅰ）)500)(1600(150≤<+=x xx y . ············································ ９分.12000.80)(,40;)(,0)(',)50,40(;)(,0)(',)40,0(,16001)('),500(1600)(min 2==∴>∈<∈-=≤<+=y x f x x f x f x x f x f x xx f x x x x f 取最小值时单调递增时则单调递减时则令 ……11分故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． ························· 12分21.（本小题满分12分）21.解: （Ⅰ）解法1：由题意知：f(x)=x 2+mx+n 的对称轴为x=－1,故.02,1231)1(⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=n m m n m f f(x)=x 2+2x······························································· 2分 设函数y=g(x)图象上的任意一点P(x,y)，P 关于原点的对称点为Q(x 0,y 0)依题意得00x xy y =-⎧⎨=-⎩ ··········································································································· 4分因为点Q(x 0,y 0) 在函数y=f(x)的图象上,∴－y=x 2－2x ，即y=－x 2+2x, g(x)=－x 2+2x, ······················································· 7分 （Ⅰ）解法2:：取x=1，由f(－1+x)=f(－1－x)得f(0)=f(－2) 由题意知： 132,.420m n m n m n n ++==⎧⎧∴⎨⎨=-+=⎩⎩f(x)=x 2+2x····················································· 2分 下同解法1.（Ⅰ）解法3：∵f(－1+x)=(－1+x)2+m(－1+x)+n ，f(－1－x)=(－1－x)2+m(－1－x)+n ，又f(－1+x)=f(－1－x)对任意实数x 都成立，∴2mx=4x 恒成立,m=2.．而f(1)=1+m+n=3+n=3,∴n=0. f(x)=x 2+2x ················································································ 2分下同解法1.（Ⅱ）解法1：F(x)=g(x)－λf(x)= －x 2+2x －λ( x 2+2x)=－(1+λ)x 2+2(1－λ)x ∵F(x)在[－1，1]上是连续的递增函数,∴0)1(2)1(2)('≥-++-=λλx x F 在[－1，1]上恒成立 ············································· 8分即2(1)2(1)02(1)2(1)0λλλλ-++-≥⎧⎨++-≥⎩···························································································· 9分∴λ≤0时,F(x)=g(x)－λf(x)在[－1，1]上是增函数 ···························································· 12分 （Ⅱ）解法2：F(x)=g(x)－λf(x)= －x 2+2x －λ( x 2+2x)=－(1+λ)x 2+2(1－λ)x ∵F(x)在[－1，1]上是连续的递增函数,∴0)1(2)1(2)('≥-++-=λλx x F 在[－1，1]上恒成立 ··········································· 8分 ∴11211-+=+-≤xx x λ在]1,1(-上恒成立 ············································································ 9分又函数y=112-+x上为减函数，························································································· 10分 当x=1时y=112-+x取最小值0， ····················································································· 11分 ∴λ≤0时,F(x)=g(x)－λf(x)在[－1，1]上是增函数. ··························································· 12分（Ⅱ）解法3：⑴当1-=λ时，F （x ）=4x ，符合题意. ·············································· 8分⑵当1-<λ，即0)1(>+-λ时，由二次函数图象和性质，只需满足⎪⎩⎪⎨⎧-≤+--->+-1)1(2)1(20)1(λλλ，解得：1-<λ··············································································································································· 10分⑶当1->λ，即0)1(<+-λ时，由二次函数图象和性质，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥+---<+-1)1(2)1(20)1(λλλ，解得：01≤<-λ 综上，λ≤0时,F(x)=g(x)－λf(x)在[－1，1]上是增函数. ············································ 12分 22.（本小题满分14分） 22.解：（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变.且点Q 在曲线C 上, ∴|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1 ································································································· 6分（Ⅱ）证法1：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ， 易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交.∵1EM MB λ=，∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴ 11112λλ+=x ，1011λ+=y y ． ·························································································· 10分 将M 点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(51210211=+++λλλy ，去分母整理，得0551020121=-++y λλ． ····································································· 11分同理，由2EN NB λ= 可得：0551020222=-++y λλ． ·············································· 12分∴ 1λ，2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根，∴1021-=+λλ． ············································································································ 14分 （Ⅱ）证法2：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ， 易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交. 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 )2(-=x k y ． 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得052020)51(2222=-+-+k x k x k ．·············································································· 10分 ∴ 22215120k k x x +=+，222151520kk x x +-=． ······································································ 11分 又 ∵1EM MB λ=， 则110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴1112x x -=λ， 同理，由2EN NB λ=，∴2222x x -=λ． ········································································· 12分 ∴10)(242)(22221212121221121-==++--+=-+-=+ x x x x x x x x x x x x λλ． ···································· 14分。
2011年福州高三质检文科数学参考答案
2011年福州市高中毕业班质量检查文科数学试卷参考答案及评分标准一、选择题1. B2. D3. A4. C5. D6. D7. D8. C9. C 10. B 11. B 12. C 二、填空题13. 1 14. ,x x R e x ∀∈≤ 15. 6 16.（51，63）三：解答题三、解答题17. 解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ， 由已知有⎩⎨⎧=+=123311d a a ··················· 2分解得3=d ······················· 4分()n n a n 3313=-+=∴··················· 6分 （Ⅱ）由（I ）得,12,642==a a 则12,621==b b ， ········· 8分 设{}n b 的公比为,q 则212==b b q ，··············· 9分 从而n n n b 23261⋅=⋅=- ················· 11分所以数列{}n b 的前n 项和()()12621216-=--=n nn s ········ 12分 18. 解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，基本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，布），共有6个．所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率62P==．19.解：（Ⅰ）∵1()cos22f x x xππ=+=sin()6xππ+········· 2分∵x R∈∴1sin()16xππ-≤+≤，∴函数()f x的最大值和最小值分别为1，—1．············ 4分（Ⅱ）解法1：令()sin()06f x xππ=+=得,6x k k Zπππ+=∈,∵[1,1]x∈-∴16x=-或56x=∴15(,0),(,0),66M N-······················· 6分由sin()16xππ+=，且[1,1]x∈-得13x=∴1(,1),3P···························· 8分∴11(,1),(,1),22PM PN=--=-················10分∴cos,||||PM PNPM PNPM PN⋅<>=⋅35=．··············12分解法2：过点P作PA x⊥轴于A,则||1,PA=由三角函数的性质知1||12MN T==, ··············· 6分||||2PM PN===, ·················· 8分由余弦定理得222||||||cos,2||||PM PN MNPM PNPM PN+-<>=⋅······10分=52135524⨯-=⨯．·························12分解法3：过点P作PA x⊥轴于A,则||1,PA=由三角函数的性质知1||12MN T==, ·················· 6分||||PM PN===··················· 8分在Rt PAM∆中，||cos||2PAMPAPM∠===·········10分∵PA平分MPN∠∴2cos cos22cos1MPN MPA MPA∠=∠=∠-23215=⨯-=．······················12分20.解：（1）多面体A'B'BAC是一个以A'B'BA为底C点为顶点的四棱锥，由已知条件，知BC∴3211333C A B BA A B BAaV S BC a a''''-=⋅=⋅⋅=···（2）设AC交BD于M，连结ME．ABCD为正方形，所以M为AC中点，又E为AA'的中点∴ME为ACA'∆的中位线CAME'//∴···············又BDECABDEME平面平面⊄⊂',//'CA∴平面BDE．············（3）12ABCD BD AC∴⊥为正方形.''.','ACABDAAAACBDAAABCDBDABCDAA平面又平面平面⊥∴=⊥∴⊂⊥·········11分'.BD BDEA AC BDE⊂∴⊥平面平面平面·····················12分21.解: (Ⅰ)依题意:42m n nm n -=⎧=⎧⎪∴⎨⎨==⎪⎩⎩,所求椭圆方程为22142x y += ······················ 3分 (Ⅱ)设A (x,y ).由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得A················ 6分 根据题设直线图象与椭圆的对称性,知 ··················· 8分2164(2).12kS k k ==≥+··············· 9分 1612S k k=+设1()2,M k k k =+则21()2,M k k '=-当2k ≥时，21()20M k k'=-> ∴()M k 在[)2,k ∈+∞时单调递增， ∴[]min 9()(2)2M k M == ······ 11分 ∴当2k ≥时，max 1632992S ==····················· 12分 22.解：（I ）),3[33)(2+∞-∈-='a a x x f ，………………………………………………2分∵对任意R ∈m ，直线0=++m y x 都不与)(x f y =相切， ∴),3[1+∞-∉-a ，a 31-<-，实数a 的取值范围是31<a ；………………………4分 （II ）存在，证明方法1：问题等价于当]1,1[-∈x 时，41|)(|max ≥x f ，………………6分 设|)(|)(x f x g =，则)(x g 在]1,1[-∈x 上是偶函数， 故只要证明当]1,0[∈x 时，41|)(|max ≥x f ， ①当]1,0[)(,0)(,0在时x f x f a ≥'≤上单调递增，且0)0(=f ，)()(x f x g =41131)1()(max >>-==a f x g ；………………………………………………………8分 ②当,310时<<a ))((333)(2a x a x a x x f -+=-='，列表：注意到(0)0f f ==，且13<<a a ，∴)3,0(a x ∈时，)()(x f x g -=，)1,3(a x ∈时，)()(x f x g =，∴)}(),1(max{)(max a f f x g -=，…………………………………………………12分由1(1)134f a =-≥及103a <<，解得104a <≤，此时(1)f f -≤成立． ∴max 1()(1)134g x f a ==-≥．由124f -=≥及103a <<，解得1143a ≤<，此时(1)f f -≥成立．∴max 1()24g x f =-=． ∴在]1,1[-∈x 上至少存在一个0x ，使得41|)(|0≥x f 成立．………………………14分 （II ）存在，证明方法2：反证法假设在]1,1[-∈x 上不存在0x ，使得41|)(|0≥x f 成立，即∀]1,1[-∈x ，41|)(|0<x f ， 设|)(|)(x f x g =，则)(x g 在]1,1[-∈x 上是偶函数， ∴]1,0[∈x 时，41|)(|max <x f ，………………………………………………………6分 ①当]1,0[)(,0)(,0在时x f x f a ≥'≤上单调递增，且0)0(=f ，)()(x f x g =4131)1()(max <-==a f x g ，41>a 与0≤a 矛盾；…………………………………8分②当,310时<<a ))((333)(2a x a x a x x f -+=-='，列表：分注意到(0)0f f ==，且13<<a a ，∴)3,0(a x ∈时，)()(x f x g -=，)1,3(a x ∈时，)()(x f x g =，∴)}(),1(max{)(max a f f x g -=，……………………………………………………12分 注意到103a <<，由： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=≤-4131)1(31)1()(a f a f a f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<41410a a 矛盾；⎪⎩⎪⎨⎧<=--=≥-412)(31)1()(a a a f a f a f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥4141a a 矛盾；∴∀]1,1[-∈x ，41|)(|0<x f 与31<a 矛盾，∴假设不成立，原命题成立．………………………………………………………14分。
2011年高考真题详解——福建卷(文科数学)
2011年普通高等学校招生全国统一考试【福建卷】（文科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011⋅福建文，1】1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则MN 等于( )．A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 【答案】A ．【解析】{}0,1M N =∩．故选A ．【2011⋅福建文，2】2．i 是虚数单位，31i +等于( )．A ． iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【答案】D ．【解析】31i 1i +=-．故选D ．【2011⋅福建文，3】3．若a R ∈，则“1a =”是“1a =”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A ．【解析】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ． 【2011⋅福建文，4】4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )．A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】B ． 【解析】640830⨯=．故选B ． 【2011⋅福建文，5】5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )． A ．3 B ．11 C ．38 D ．123 【答案】B ．【解析】运行相应的程序是：第一步：212310a =+=<， 第二步：2321110a =+=>，输出11．故选B ．【2011⋅福建文，6】6．若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．()1,1- B ．()2,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞【答案】C ．【解析】因为关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则 2Δ40m =->，解得2m <-或2m >．故选Ｃ．【2011⋅福建文，7】7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于( )． A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C ． 【解析】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ．【2011⋅福建文，8】8．已知函数20,()1, 0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，．若()()10f a f +=，则实数a 的值等于( )．A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,2- 【答案】A ．【解析】因为()120f =>，则由()()10f a f +=得()2f a =-，于是12a +=-，3a =-．故选A ．【2011⋅福建文，9】9．若0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sincos 24αα+=，则tan α的值等于( )．A ．2B C D【答案】D ．【解析】 由21sin cos 24αα+=得221sin 12sin 4αα+-=， 所以211sin 4α-=，即21cos 4α=，1cos 2α=±，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2α≠-，于是1cos 2α=，3πα=，所以tan tan3πα==D ． 【2011⋅福建文，10】10．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D ．【解析】 ()21222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极值，则()112220f a b '=--=，于是6a b +=，因为0,0a b >>，292a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时，等号成立．此时()()()()2212666216121f x x x x x x x '=--=--=-+，因此1x =是一个极值点．所以ab 的最大值等于9．故选D ．【2011⋅福建文，11】11．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF 4:3:2=，则曲线Γ的离心率等于( )．A ．1322或B ．223或C ．122或D ．2332或 【答案】A ．【解析】 因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=． 若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩ 所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩ 所以32c e a ==．故选A ．【2011⋅福建文，12】12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ①[]20111∈； ②[]33-∈； ③[][][][][]01234Z =；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数是 ( ) ．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．【解析】 []2011540211=⨯+∈，所以①正确；()[]35123-=⨯-+∉，所以②不正确； [][][][][]01234=Z ∪∪∪∪，③正确；若整数,a b 属于同一“类”，则5a m k =+，5b n k =+，0,1,2,3,4k =，则()[]500a b m n -=-+∈，所以④正确． 由以上，①，③，④正确，故选C ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）【2011⋅福建文，13】13．若向量()1,1a =，()1,2b =-，则a b ⋅等于 ． 【答案】 1．【解析】 ()()()1,11,211121a b ⋅=⋅-=⨯-+⨯=．【2011⋅福建文，14】14．若ABC ∆的面积为3，2BC =，C =60，则边AB 的长度等于 ． 【答案】 2．【解析】 Δ11sin 22222ABC S CA CB C CA =⋅=⨯⨯== 所以2CA =，又2BC =，60C =︒，所以ΔABC 是等边三角形，于是2AB =．【2011⋅福建文，15】15．如图，正方体ABCD 1111A B C D -中，2AB =．点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF //平面1AB C ，则线段EF 的长度等 于 ．【答案】 ．【解析】因为1//EF AB C 平面，EF ABCD ⊂平面，且平面1AB C 与平面ABCD 的交线为AC ，所以//EF AC ，又点E 为AD 的中点，所以EF 为ΔDAC 的中位线，所以12EF AC =，因为2AB =，ABCD 为正方形，所以AC =EF = 【2011⋅福建文，16】16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及实数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()c a -是()b c -和()b a -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．【答案】【解析】由()c a x b a =+-得c ax b a-=-， 设c a m -=，b a n -=，b c p -=．则p n m =-．由题设，2m np =，则()2m np n n m ==-，c a m x b a n-==-，即220m mn n +-=，2210m m n n+-=，于是210x x +-=，12x -±=，因为01x <<，所以12x =．三、解答题：（本大题共6小题，共74分）【2011⋅福建文，17】17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．【解析】本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ，则()11n a a n d =+-， 由题设，313212a a d d =-=+=+，所以2d =-．()()11232n a n n =+--=-．（Ⅱ）因为()()()113223522k k k a a k k S k k ++-===-=-， 所以22350k k --=，解得7k =或5k =-． 因为k +∈N ，所以7k =．【2011⋅福建文，18】18．（本小题满分12分）如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A ．(Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．（Ⅰ）解法1：由24,,x y y x b ⎧=⎨=+⎩得2440x x b --=，因为直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切，所以()()2Δ4440b =--⨯-=，解得1b =-．解法2：设切点()00,A x y ，由214y x =得12y x '=， 所以切线l 在点A 处的斜率为012k x =，因为切线l 的斜率为1，则0112k x ==，02x =，又A 在抛物线上，所以2200112144y x ==⨯=，于是A 的坐标为()2,1A ，因为A 在直线l s 上，所以12b =+，1b =-．（Ⅱ）由（Ⅰ），1b =-，则由24,1,x y y x ⎧=⎨=-⎩解得2,1x y ==，于是A 的坐标为()2,1A ，设以点A 为圆心的圆A 的方程为()()22221x y r -+-=，抛物线2:4C x y =的准线为1y =-，而圆A 与抛物线C 的准线相切． 则()112r =--=，所以圆A 的方程为()()22214x y -+-=．【2011⋅福建文，19】19．（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计(Ⅰ) 若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1,2,3x x x ，等级系数为5的2件日用品记为12,y y ，现从12312,,,,x x x y y 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意 识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想． （Ⅰ）由频率分布表得 0.20.451a b c ++++=，即0.35a b c ++=．因为所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，所以30.1520b ==， 又因为所抽取的20件日用品中，等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==，于是0.350.150.10.1a =--=． 所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．（Ⅱ）从5件日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}1213111223,,,,,,,,,x x x x x y x y x x ，{}{}{}{}{}2122313212,,,,,,,,,x y x y x y x y y y ．所以所有可能的结果共10个．设事件A 表示“从这5件日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，等级系数恰好相等”则A 包含的事件为{}{}{}121323,,,,,x x x x x x ，{}12,y y 共4个， 所以所求的概率为()40.410P A ==． 【2011⋅福建文，20】20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE //AB ．(Ⅰ) 求证：CE ⊥平面PAD ；(Ⅱ) 若P A =AB =1，AD =3，CD ，∠CDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积．【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想．（Ⅰ）因为PA ABCD ⊥底面，CE ABCD ⊂面平，所以PA CE ⊥．因为AB AD ⊥，//CE AB ，所以CE AD ⊥．又PA AD A =∩， 所以P CE AD ⊥面平． （Ⅱ）由（Ⅰ），CE AD ⊥，在Rt ΔECD中，sin sin 451CE CD CDA =⋅∠=︒=，cos451DE CD =⋅︒=，又因为1AB =，则AB CE =，又//CE AB ，AB AD ⊥， 所以四边形ABCE 为矩形．四边形ABCD 为梯形． 因为3AD =，所以2AE AD ED =-=，()()115231222ABCD S BC AD AB =+⋅=+⨯=， 115513326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=．于是四棱锥P ABCD -的体积为56．【2011⋅福建文，21】21．（本小题满分12分）设函数()cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(),P x y ，且0θπ≤≤．(Ⅰ) 若点P的坐标为1(,22，求()f θ的值； (Ⅱ) 若点(),P x y 为平面区域Ω：111x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值．【解析】本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．（Ⅰ）因为P的坐标为12⎛ ⎝⎭，则1cos ,2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ()1cos 222f =+=+=θθθ．（Ⅱ）作出平面区域1,Ω:1,1.x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则Ω为图中的ΔABC的区域，其中()1,0A ，()1,1B ，()0,1C ．因为ΩP ∈，所以02πθ≤≤． ()cos 2sin 6f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭πθθθθ，则2663≤+≤πππθ，所以1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()12f θ≤≤．所以当62+=ππθ，即3πθ=时，()f θ取得最大值，且最大值为2；当66+=ππθ，即0θ=时，()f θ取得最小值，且最小值为1．【2011⋅福建文，22】22．（本小题满分14分）已知,a b 为常数，且0a ≠，函数()ln ,()2f x ax b ax x f e =-++=（e=2.71828…是自然对数的底数）．(Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ) 当1a =时，是否同时存在实数m 和M ()m M <，使得对每一个．．．[],t m M ∈，直线y t =与曲线1()(,)y f x x e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想． (Ⅰ) 由()ln 2f e ae b ae e =-++=，得2b =；（Ⅱ）由（Ⅰ），()2ln f x ax ax x =-++．定义域为()0,+∞．从而()ln f x a x '=，因为0a ≠，所以(1) 当0a >时，由()ln 0f x a x '=>得1x >，由()ln 0f x a x '=>得01x <<； (2) 当0a <时，由()ln 0f x a x '=>得01x <<，由()ln 0f x a x '=>得1x >；因而，当0a >时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1，当0a <时，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞．（Ⅲ）当1a =时，()2ln f x x x x =-++．()ln f x x '=．令()0f x '=，则1x =．当x 在区间1[,]e 内变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为222e -<，所以()f x 在区间[,]e e内值域为[]1,2． 由此可得，若1,2m M =⎧⎨=⎩，则对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1[,]x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有公共点，并且对每一个()(),,t t M ∈-∞+∞∪，直线y t =与曲线()y f x =1[,]x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都没有公共点．综合以上，当1a =时，存在实数1m =和2M =，使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1[,]x e e⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有公共点．。
2011年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文科数学2011年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文科
2011年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差 锥体体积公式s 222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i(1i)--等于 A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ． 1i -+2．已知集合{}2,0,2A =-，{}22B x x =-<≤，则AB 等于A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,2D. {}0 3．命题“对任意的2,10x x x ∈-+≥R ”的否定是A. 存在2,10x x x ∈-+<R B.存在2,10x x x ∈-+≤R C.不存在2,10x x x ∈-+≥R D. 对任意的2,10x x x ∈-+<R4．右面是计算3331021+++ 的程序框图，图中的①、②分别是A. 3,1s s i i i =+=+ B.31,i i s s i =+=+ C. 3,1s i i i ==+ D. 31,i i s i =+=5．为了得到函数sin()4y x π=+的图像，只需把sin()4y x π=-的图像上所有的点A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移2π个单位长度 D.向右平移2π个单位长度6．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且a ∥b ，则b 等于C.7．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是8．已知两个函数)(x f 和)(x g的定义域和值域都是集合{},,a b c，其定义如下表：则[()]g f a的值为A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对9.已知双曲线22219x y a -=的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为 A ．34 B. 54 C. 53 D.4310．下面给出四个命题：①已知直线,,a b c ，若,a b b c ⊥⊥，则a ∥c ；②,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 不一定是异面直线； ③过空间任一点，有且仅有一条直线和已知平面α垂直；侧视图俯视图④平面α//平面β，点P α∈，直线PQ //β，则PQ α⊂； 其中正确的命题的个数有A ．0B ．1C ．2D ．311. 函数()f x 的图象如右图所示，下列结论正确的是A ．(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<-B ．(2)(2)(1)(1)f f f f ''<-<C ．(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<-D ．(2)(1)(1)(2)f f f f ''-<<12．已知函数()f x 对任意自然数,x y 均满足:22()()2[()]f x y f x f y +=+，且(1)0f ≠，则(2012)f 等于A ．2012B ．2011C ．1006D ． 1005第Ⅱ卷 （非选择题共90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置.13．某公司共有员工500名，现须新设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取50人，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .14．设变量x ,y 满足约束条件1,1,2,x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值为 .是律师化学教案就算我是一个杀人犯化学教案你也要为我辩护化学教案你知道吗？”15．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数.下列函数：①()cos f x x =； ②12()f x x =； ③()xf x e =； ④2()logf x x =，其中是一阶格点函数的有 .16．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的λ倍(01)λ<<.已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的12，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知直线:l y ax b =+，其中实数{},1,1,2a b ∈-. (Ⅰ)求可构成的不同的直线l 的条数；(Ⅱ)求直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点的概率. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，首项11a =，且139,,a a a 成等比． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设()2na n nb a n *=⋅∈N ，求数列{}n b 的前n 项和nT ．19.（本小题满分12分）已知4π-和4π是函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的相邻的两个零点． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（II ）在△ABC 中，若2sin sin cos sin B C A A =，求函数()f A 的值域． 20．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>.（Ⅰ）当1λ=时，求证：DP ⊥平面11ABC D ；（Ⅱ）问当λ变化时，三棱锥1D PBC -的体积是否为定值； 若是，求出其定值；若不是，说明理由．21. （本小题满分12分）已知2=x 是函数2(2)e ,0()3, 0x x ax x f x x x ⎧->=⎨≤⎩的极值点．(Ⅰ)求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当m ∈R 时，试讨论方程()0f x m -=的解的个数．22. （本小题满分14分）已知椭圆E 的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点坐标为（1，0），点3(1,)2P 在椭圆E 上．（I ）求椭圆E 的方程；（II ）过椭圆E 的顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）两点,M N ；试探究直线MN 与x 轴的交点是否为定点；若是，求出定点坐标；若不是，说明理由；（Ⅲ）请你根据（II ）的探究，写出关于一般椭圆的正确的一般性结论（不必证明）．2011年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解答供参考，如果考生的解答与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分．1.A2. C3. A4.A 5 .C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．20 14．5 15．①③ 16．2112211222λλλ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩ 三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：(Ⅰ)由于实数对(,)a b 的所有取值为：(1,1)--,(1,1)-,(1,2)-,(1,1)-,(1,1),(1,2),(2,1)-,(2,1),(2,2),共9种.所以直线l 共有9条．………………………… 6分(Ⅱ)设直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点的事件为A ．直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点，1>，即221b a >+， …………………………………………8分∴满足条件的实数对(,)a b 的所有取值为：(1,2)-,(1,2),共2对. 即满足条件的直线有2条，∴2()9p A =. …………………………………………………………11分所以直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点的概率为29． ………12分 18解：（Ⅰ）依题意得2319a a a =,即2(12)18d d +=+，∴2d d =，又0d ≠，∴1d =．∴1(1)n a a n d n =+-=()n *∈N ． ………………………………… 6分 （Ⅱ）()2n a n n b a n *=⋅∈N ，又n a n =，∴2nn b n =⋅．∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，…………① ∴234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，………②由①-②得，2311112(12)22222222212n nn n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=--⋅-，∴1(1)22n n T n +=-+．…………………………………………………………… 12分19解：（Ⅰ）依题意得，函数()f x 的周期2[()]44T ππ=--=π， 0ω>，∴22ωπ==π， ……………………………………………2分又sin(2())04ϕπ⨯-+=，∴()2k k ϕπ=+π∈Z ， 0ϕπ<<，∴2ϕπ=， ………………………………………………5分∴()sin(2)cos 22f x x x π=+=． ………………………………………6分 （II ）∵2sin sin cos sin ,B C A A =由正弦定理和余弦定理得，22222b c a bca bc+-=，即2223b c a +=，……8分 ∴2222222221()223cos 22323b c b c b c a b c A bc bc bc +-++-+===⨯≥，∴2cos 13A ≤<， …………………………………………………………10分∴21()2cos 1[,1)9f A A =-∈-，故()f A 的值域为1[,1)9-． ………12分20证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ，又11AB ABC D ⊂，∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………2 分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， ………………4分 又∵平面11ABC D 平面11AA D D 1AD =，∴DP ⊥平面11ABC D ． …………………………………6分 （Ⅱ）三棱锥1D PBC -的体积恒为定值．…………………………7分 ∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点， ∴三角形1PBC 的面积为定值，即1122122PBC S ∆==，………9分又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即22h =， ………………10分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即111122133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=． 也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16．…………12分21．解 (Ⅰ)当0x >时，2()(2)xf x x ax e =-，∴2()[2(1)2]xf x x a x a e '=+--． ………………2分由已知得，0f '=，∴220a +-=，解得1a =． …………………….………4分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，当0x >时，2()(2)x f x x x e =-，∴2()(2)xf x x e '=-．当x ∈时，()0f x '<；当)x ∈+∞时，()0f x '>．∴()f x的递增区间为：()-∞+∞；递减区间为：．……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，()f x的递增区间为：()-∞+∞；递减区间为：，()=(0)0,()=(2f x f f x f ==-极大值极小值综上可知，当(,(2(0,)m ∈-∞-+∞时，方程()0f x m -=有1解；当(2m =-0m =时，方程()0f x m -=有2解；当((2m ∈-时，方程()0f x m -=有3解．…………………………12分 22．解析：方法一：（Ⅰ） 椭圆E 右焦点为(1,0)，∴1=c , 又点)23,1(P 在椭圆E 上, ∴423)11(23)11(2222221=⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=PF PF a ，2=∴a ，322=-=c a b ，所以椭圆方程为13422=+y x .----------------------4分 (Ⅱ)设直线AM 方程为(2)y k x =+.则有222222(2),(34)16161203412,y k x k x k x k x y =+⎧+++-=⎨+=⎩，-----------7分解得2226812(,)3434k k M k k -++，同理可得2226812(,)3434k kN k k --++； 若222268683434k k k k --=++，则得21k =即直线MN 的方程为， 27x =-，此时过x 轴上一点2(,0)7Q -.---------------------------------9分当21k ≠时，假设直线MN 过x 轴上一定点 (,0)Q m ，则有//QM NQ ，22222268126812(,),(,)34343434k k k kQM m NQ m k k k k --=-=-++++，则由//QM NQ ， 解得27m =-. 所以直线MN 过x 轴上一定点 2(,0)7Q -. -----------------------11分（Ⅲ）填写以下四个答案之一均给予满分3分①过椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴右端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点())0,(2222b a b a a P +-.②过椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴左端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点())0,(2222ba b a a P +--.③过椭圆()222210x y a b a b +=>>的短轴上端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点()),0(2222ba b a b P +--.④过椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴下端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点()),0(2222ba b a b P +-.方法二：（Ⅰ）同方法一.(Ⅱ)①若直线MN 垂直于x 轴，则由直线AM 的方程为(2)y k x =+和椭圆的方程联立易解得点M 的横坐标为27-，此时直线MN 经过x 轴上的一点2(,0)7-.②当直线MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为：y kx n =+.则由22222,(34)841203412,y kx n k x knx n x y =+⎧+++-=⎨+=⎩. --------------6分 设11(,)M x y ，22(,)N x y 则有122834knx x k -+=+，212241234n x x k -⋅=+122634ny y k+=+，2212231234n k y y k -⋅=+， ------------------------8分而1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+，由题意可知， AM AN ⊥，即得1212122()4AM AN x x x x y y ⋅=++++2227164034n kn k k++==+， 即2271640n kn k ++= 解得：2n k =-或27n k =-. 当2n k =-时，直线MN 的方程为(2)y k x =+过点A 与题意不符，舍去；当27n k =-时，直线MN 的方程为2()7y k x =+，显然过定点2(,0)7Q -, 即直线MN 一定经过x 轴上一定点2(,0)7Q -.---------------------------11分（Ⅲ）同方法一.。
2011年高考数学福建文(word版含答案)
【选择题】【1】．若集合M =｛-1，0，1｝，N =｛0，1，2｝，则M N 等于（ ）（A ）｛0，1｝（B ）｛-1，0，1｝ （C ）｛0，1，2｝ （D ）｛-1，0，1，2｝ 【2】．i 是虚数，单位1+i 3等于（ ）（A ）i（B ）-i（C ）1+i（D ）1-i【3】．若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件【4】．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 【5】．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）（A ）3 （B ）11（C ）38（D ）123【6】．若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的 取值范围是（ ） （A ）（-1,1）（B ）（-2,2）（C ）（-∞，-2）∪（2，+∞）（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）【7】．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随 机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）（A ）14 （B ）13（C ） 12（D ） 23【8】．已知函数()f x =2,0,1,0.x x x x ⎧>⎨+⎩≤若()()10f a f +=,则实数a 的值等于（ ）（A ）-3（B ）-1（C ）1（D ）3【9】．若α∈（0，π2），且sin 2α+cos2α=14，则tan α的值等于（ ）（A ）（B ）（C （D 【10】．若0,0a b >>，且函数()f x =3242x ax bx --在x =1处有极值，则ab 的最大值等于（ ）（A ）2（B ）3（C ）6（D ）9【11】．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF = 4:3:2，则曲线Γ的离心率等于（ ）（A ）1322或 （B ）223或 （C ）122或 （D ）2332或【12】．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[]{}5|k n k n =+∈Z ，k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1] ②-3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数,a b 属于同一‘类’的充要条件是“a b -∈[0]”. 其中正确结论的个数是（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4【填空题】【13】．若向量a =（1,1），b =（-1,2），则a b 等于_____________． 【14】．若△ABC 的面积为3，BC =2，C =︒60，则边AB 的长度等于_______．【15】．如图，正方体ABCD -1111A B C D 中，AB =2.，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面1ABC ，则线段EF 的长度等于________．【16】．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()bb a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()c a -是()b c -和()b a -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于_____________．【解答题】【17】．已知等差数列{}n a 中，1a =1，3a = -3．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和k S = -35，求k 的值．【18】．如图，直线l ：y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .（I ）求实数b 的值；（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【19】．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求,,a b c 的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为123,,x x x 等级系数为5的2件日用品记为12,y y 现从12312,,,,x x x y y 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.【20】．如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .（I ）求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若1PA AB ==，3AD =，CD =，∠CDA =45°，求四棱锥P -ABCD 的体积【21】．设函数f()θcos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(),Px y ，且0πθ≤≤.（1）若点P的坐标为1(,22，求()f θ的值； （II ）若点(),P x y 为平面区域Ω：111x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥，≤，≤，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.【22】．已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数()()ln ,e 2(e f x ax b ax x f =-++==2．71828…是自然对数的底数）.（1）求实数b 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当a =1时，是否同时存在实数m 和()Mm M <，使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()1,e e y f x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由.【参考答案】【1】． A提示：集合,M N 有共同的元素0，1，则{0,1}M N =.【2】． D提示： 321i 1i i 1i +=+⋅=-，. 【3】． A提示：由1a =可得||1a =,但||1a =可得1a =±，即1a =⇒||1a =，但||1a =≠>1a =，故选（A ）. 【4】．B提示：高二年级的学生应抽取的人数为640830⨯=. 【5】．B提示：当1a =时，10a <成立，执行循环体，即22a a =+3=，此时3a =,a <10成立，继续执行循环体， 21110a a =+=>2，循环结束，故输出a 的值为11. 【6】． C提示：由240m ∆=->得22m m ><-或. 【7】． C提示：因点E 为边CD 的中点，故所求的概率12ABE P ABCD ∆==的面积矩形的面积.【8】． A提示：当0a >时，()(1)22a f a f +=+>恒成立，原方程无解；当0,a ≤时由()(1)120f a f a +=++=，得3a =-.【9】． D 提示：∵22221sincos 2sin (12sin )cos 4ααααα+=+-==，又(0,),2πα∈ 1cos 2α∴=，则3πα=，tan3π∴=【10】． D 提示：2()1222f x xax b '=--，由函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，得(1)0f '=，即12220a b --=，整理得6a b +=，又0,0a b >>，2()92a b ab +∴=≤，当且仅当3a b ==时，取等号.故选(D).【11】． A提示：设圆锥曲线的离心率为e ，因1122||:||:||4:3:2PF F F PF =，则 若圆锥曲线为椭圆，由椭圆定义，则有 1212||31||||422F F e PF PF ===++；若圆锥曲线为双曲线，由双曲线定义，则有1212||33||||422F F e PF PF ===--；综上，所求的离心率12或32． 【12】． C提示：2011被5除余数为1，故①对；-3被5除余数为2，故②是错误的； ∵{}{}{}{}{}5|51|52|53|54|n n n n n n n n n n ∈+∈+∈+∈+∈Z Z Z Z Z =Z[][][][][]=01234，∴③是正确的；∵整数,a b 属于同一“类”{}5|a b n n ⇔-∈∈Z[]0a b ⇔-∈，∴④是正确的.【13】． 1提示：121⋅=-+=a b . 【14】． 2提示：由01sin 602BC CA ⋅⋅=CA =2，则ABC ∆为等边三角形，故2AB =. 【15】．提示：在正方体1111ABCD A BC D -中，2,AB AC =∴=1//,//EF AB C EF AC ∴平面，则12EF AC ==【16】．提示：由已知得2()()()c a b c b a -=--①；c a x b a -=-②，则2b c x b a -=-b a a c b a-+-=-21,1a c x x b a -=+=--即210,01x x x ∴+-=<<又，故x =. 【17】．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1).n a a n d =+-由121,312 3.a a d ==-+=-可得解得d =-2.从而，1(1)(2)32.na n n =+-⨯-=-（2）由（1）可知32n a n =-，所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==-进而由235,235,kS k k =--=-可得即22350k k --=，解得7 5.k k ==-或 又k ∈*N,7k =故为所求.【18】．解：（1）由22,4404y x b x x b x y=+⎧--=⎨=⎩得，（*） 因为直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0,b ∆=--⨯-=解得b =-1.（2）由（1）可知()21,440b x x =-*-+=故方程即为，解得x =2，代入24, 1.xy y ==得故点A （2，1），因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y =-1的距离， 即|1(1)|2,r =--=所以圆A 的方程为22(2)(1) 4.x y -+-=【19】．解：（1）由频率分布表得0.20.451,a b c a b c ++++=++即=0.35， 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件， 所以30.15,20b == 等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==， 从而0.350.1a b c =--= 所以0.1,0.15,0.1.a b c ===（2）从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件， 所有的可能结果为：12131112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y ，设事件A 表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率4()0.4.10P A == 【20】．（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， 所以.PA CE ⊥因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD . （2）由（1）可知CE AD ⊥，在Rt ECD ∆中，DE CD =cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒= 又因为1,//AB CE AB CE ==， 所以四边形ABCE 为矩形，所以1151211.222ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆=+=⋅+⋅=⨯+⨯⨯=矩形四边形 又PA ⊥平面ABCD ，PA =1， 所以11551.3326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四棱锥四边形 【21】． 解：（1）由点P的坐标和三角函数的定义可得sin 1cos .2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是1()cos 2.22f θθθ=+=+= （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示，其中A （1，0），B （1，1），C （0，1）. 于是π0.2θ≤≤又π()cos 2sin()6f θθθθ=+=+，且ππ2π,663θ+≤≤故当πππ,623θθ+==即时，()f θ取得最大值，且最大值等于2；当ππ,066θθ+==即时，()f θ取得最小值，且最小值等于1.【22】．解：（1）由(e)22,f b ==得（2）由（1）可得()2ln .f x ax ax x =-++从而'()ln .f x a x =0a ≠因为，故：①当0,()0101a f x x f x x ''>>><<<时由得,由()0得; ②当0,'()001,()0 1.a fx x f x x '<><<<>时由得由得综上，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞， 单调递减区间为（0，1）；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为(1,)+∞.（3）当a =1时，()2ln ,()ln .f x x x x f x x '=-++=由（2）可得，当x 在区间1(,e)内变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：又22,()([,e])e ef x x -<∈所以函数的值域为[1，2]. 据此可得，若1,2m M =⎧⎨=⎩，则对每一个[,]t m M ∈，直线y t =与曲线1()([,e])e y f x x =∈都有公共点；并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞，直线y t =与曲线1()([,e])ey f x x =∈都没有公共点.综上，当a =1时，存在最小的实数m =1，最大的实数M =2，使得对每一个[,]t m M ∈，直线y t = 与曲线1()([,e])ey f x x =∈都有公共点. 【End 】。
2011年漳州市5月份普通高中毕业班质量检查(文科)含答案word版.
2011年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），本试卷共5页.满分150分.考试 时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差 锥体体积公式s V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i(1i)--等于 A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ． 1i -+2．已知集合{}2,0,2A =-，{}22B x x =-<≤，则AB 等于A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,2D. {}0 3．命题“对任意的2,10x x x ∈-+≥R ”的否定是A. 存在2,10x x x ∈-+<R B.存在2,10x x x ∈-+≤RC.不存在2,10x x x ∈-+≥RD. 对任意的2,10x x x ∈-+<R 4．右面是计算3331021+++ 的程序框图，图中的①、②分别是A. 3,1s s i i i =+=+ B.31,i i s s i =+=+C. 3,1s i i i ==+D. 31,i i s i =+= 5．为了得到函数sin()4y x π=+的图像，只需把sin()4y x π=- 的图像上所有的点A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移2π个单位长度 D.向右平移2π个单位长度6．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且a ∥b ，则b 等于7．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象 可能是8．已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{},,a b c，其定义如下表：则[()]g fa 的值为A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对9.已知双曲线22219x y a -=的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为 A ．34 B. 54 C. 53 D.4310．下面给出四个命题：①已知直线,,a b c ，若,a b b c ⊥⊥，则a ∥c ；②,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 不一定是异面直线；侧视图俯视图③过空间任一点，有且仅有一条直线和已知平面α垂直； ④平面α//平面β，点P α∈，直线PQ //β，则PQ α⊂； 其中正确的命题的个数有A ．0B ．1C ．2D ．3 11. 函数()f x 的图象如右图所示，下列结论正确的是A ．(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<-B ．(2)(2)(1)(1)f f f f ''<-<C ．(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<-D ．(2)(1)(1)(2)f f f f ''-<<12．已知函数()f x 对任意自然数,x y 均满足:22()()2[()]f x y f x f y +=+，且(1)0f ≠，则(2012)f 等于A ．2012B ．2011C ．1006D ． 1005第Ⅱ卷 （非选择题共90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置.13．某公司共有员工500名，现须新设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取50人，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .14．设变量x ,y 满足约束条件1,1,2,x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值为 .15．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数.下列函数：①()cos f x x =； ②12()f x x =； ③()xf x e =；④()f x x =，其中是一阶格点函数的有 .16．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的λ倍(01)λ<<.已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的12，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知直线:l y ax b =+，其中实数{},1,1,2a b ∈-. (Ⅰ)求可构成的不同的直线l 的条数；(Ⅱ)求直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点的概率.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，首项11a =，且139,,a a a 成等比． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设()2na n nb a n *=⋅∈N ，求数列{}n b 的前n 项和nT ．19.（本小题满分12分）已知4π-和4π是函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的相邻的两个零点． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（II ）在△ABC 中，若2sin sin cos sin B C A A =，求函数()f A 的值域．20．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>. （Ⅰ）当1λ=时，求证：DP ⊥平面11ABC D ；（Ⅱ）问当λ变化时，三棱锥1D PBC -的体积是否为定值； 若是，求出其定值；若不是，说明理由．21. （本小题满分12分）已知2=x 是函数2(2)e ,0()3, 0x x ax x f x x x ⎧->=⎨≤⎩的极值点．(Ⅰ)求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当m ∈R 时，试讨论方程()0f x m -=的解的个数．22. （本小题满分14分）已知椭圆E的方程为：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点坐标为（1，0），点3(1,)2P在椭圆E上．（I）求椭圆E的方程；（II）过椭圆E的顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）两点,M N；试探究直线MN与x轴的交点是否为定点；若是，求出定点坐标；若不是，说明理由；（Ⅲ）请你根据（II）的探究，写出关于一般椭圆的正确的一般性结论（不必证明）．2011年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解答供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分．1.A2. C3. A4.A 5 .C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．20 14．5 15．①③ 16．2112211222λλλ⎧+<⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩ 三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：(Ⅰ)由于实数对(,)a b 的所有取值为：(1,1)--,(1,1)-,(1,2)-,(1,1)-,(1,1),(1,2),(2,1)-,(2,1),(2,2),共9种.所以直线l 共有9条．………………………… 6分(Ⅱ)设直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点的事件为A ．直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点，1>，即221b a >+， …………………………………………8分∴满足条件的实数对(,)a b 的所有取值为：(1,2)-,(1,2),共2对. 即满足条件的直线有2条， ∴2()9p A =. …………………………………………………………11分 所以直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点的概率为29． ………12分18解：（Ⅰ）依题意得2319a a a =,即2(12)18d d +=+，∴2d d =，又0d ≠，∴1d =．∴1(1)n a a n d n =+-=()n *∈N ． ………………………………… 6分（Ⅱ）()2n a n n b a n *=⋅∈N ，又n a n =，∴2nn b n =⋅．∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，…………① ∴234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，………②由① - ②得，2311112(12)22222222212n n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=--⋅-，∴1(1)22n n T n +=-+．…………………………………………………………… 12分19解：（Ⅰ）依题意得，函数()f x 的周期2[()]44T ππ=--=π， 0ω>，∴22ωπ==π， ……………………………………………2分 又sin(2())04ϕπ⨯-+=，∴()2k k ϕπ=+π∈Z ，0ϕπ<<，∴2ϕπ=， ………………………………………………5分∴()sin(2)cos 22f x x x π=+=． ………………………………………6分（II ）∵2sin sin cos sin ,B C A A =由正弦定理和余弦定理得，22222b c a bca bc+-=，即2223b c a +=，……8分 ∴2222222221()223cos 22323b c b c b c a b c A bc bc bc +-++-+===⨯≥，∴2cos 13A ≤<， …………………………………………………………10分 ∴21()2cos 1[,1)9f A A =-∈-，故()f A 的值域为1[,1)9-． ………12分20证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ，又11AB ABC D ⊂，∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………2 分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， ………………4分 又∵平面11ABC D 平面11AA D D 1AD =，∴DP ⊥平面11ABC D ． …………………………………6分 （Ⅱ）三棱锥1D PBC -的体积恒为定值．…………………………7分 ∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点， ∴三角形1PBC 的面积为定值，即11122PBC S ∆==，………9分 又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC的距离为定值，即h =， ………………10分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即1111133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯=．也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16．…………12分 21．解 (Ⅰ)当0x >时，2()(2)xf x x ax e =-，∴2()[2(1)2]xf x x a x a e '=+--． ………………2分由已知得，0f '=，∴220a +-=，解得1a =． …………………….………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)可知，当0x >时，2()(2)xf x x x e =-，∴2()(2)xf x x e '=-．当x ∈时，()0f x '<；当)x ∈+∞时，()0f x '>．∴()f x的递增区间为：()-∞+∞；递减区间为：．……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，()f x的递增区间为：()-∞+∞；递减区间为：，()=(0)0,()=(2f x f f x f ==-极大值极小值综上可知，当(,(2(0,)m ∈-∞-+∞时，方程()0f x m -=有1解；当(2m =-0m =时，方程()0f x m -=有2解；当((2m ∈-时，方程()0f x m -=有3解．…………………………12分 22．解析：方法一：（Ⅰ） 椭圆E 右焦点为(1,0)，∴1=c , 又点)23,1(P 在椭圆E 上,∴423)11(23)11(2222221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=PF PF a ， 2=∴a ，322=-=c a b ，所以椭圆方程为13422=+y x .----------------------4分(Ⅱ)设直线AM 方程为(2)y k x =+.则有222222(2),(34)16161203412,y k x k x k x k x y =+⎧+++-=⎨+=⎩，-----------7分 解得2226812(,)3434k k M k k -++，同理可得2226812(,)3434k kN k k --++；若222268683434k k k k --=++，则得21k =即直线MN 的方程为， 27x =-，此时过x 轴上一点2(,0)7Q -.---------------------------------9分当21k ≠时，假设直线MN 过x 轴上一定点 (,0)Q m ，则有//QM NQ ，22222268126812(,),(,)34343434k k k kQM m NQ m k k k k --=-=-++++，则由//QM NQ ，解得27m =-. 所以直线MN 过x 轴上一定点 2(,0)7Q -. -----------------------11分 （Ⅲ）填写以下四个答案之一均给予满分3分①过椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴右端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点())0,(2222ba b a a P +-. ②过椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴左端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点())0,(2222ba b a a P +--. ③过椭圆()222210x y a b a b +=>>的短轴上端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点()),0(2222ba b a b P +--. ④过椭圆()222210x y a b a b +=>>的短轴下端点A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点()),0(2222ba b a b P +-. 方法二：（Ⅰ）同方法一.(Ⅱ)①若直线MN 垂直于x 轴，则由直线AM 的方程为(2)y k x =+和椭圆的方程联立易解得点M 的横坐标为27-，此时直线MN 经过x 轴上的一点2(,0)7-. ②当直线MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为：y kx n =+.则由22222,(34)841203412,y kx n k x knx n x y =+⎧+++-=⎨+=⎩. --------------6分 设11(,)M x y ，22(,)N x y 则有122834knx x k-+=+，212241234n x x k -⋅=+ 122634ny y k+=+，2212231234n k y y k -⋅=+， ------------------------8分 而1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+，由题意可知， AM AN ⊥，即得1212122()4AM AN x x x x y y ⋅=++++2227164034n kn k k++==+， 即2271640n kn k ++= 解得：2n k =-或27n k =-. 当2n k =-时，直线MN 的方程为(2)y k x =+过点A 与题意不符，舍去；当27n k =-时，直线MN 的方程为2()7y k x =+，显然过定点2(,0)7Q -, 即直线MN 一定经过x 轴上一定点2(,0)7Q -.---------------------------11分（Ⅲ）同方法一.。
2011年福建高考数学文科试卷(带答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的.1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ∩等于 （ ）． A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2- 【测量目标】集合的交集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合交集. 【参考答案】A【试题解析】{}0,1M N =∩．故选A2．i 是虚数单位31i +等于 （ ）. A ．i B ．i - C ．1i + D ．1i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】对给出的复数进行化简. 【参考答案】D【试题解析】31i 1i +=-．故选D3．若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系. 【参考答案】A【试题解析】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，（步骤1） 反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．（步骤2） 故选A ．4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 （ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12【测量目标】分层抽样【考查方式】给出总体容量，要求用分层抽样的方法，求出样本容量数 【参考答案】B 【试题解析】640830⨯=．故选B ． 5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 （ ）． A ．3B ．11C ．38D ．123 【测量目标】循环结构程序框图【考查方式】给定程序框图，通过推理判断得出输出的结果. 【参考答案】B【试题解析】运行相应的程序是第一步：212310a =+=<，（步骤1） 第二步：2321110a =+=>，输出11．（步骤2）故选B (第5题图) 6．若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞∪D ．()(),11,-∞-+∞∪ 【测量目标】一元二次方程的根与系数关系【考查方式】给出一元二次方程，利用根与系数关系，求未知系数. 【参考答案】C【试题解析】因为关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则2Δ40m =->，（步骤一）解得2m <-或2m >．（步骤二） 故选Ｃ． 7．（同理 4）如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE △内部的概率等于（ ）． A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【测量目标】几何概型 （第7题图）【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率. 【参考答案】C【试题解析】因为12ABE ABCD S S =△，则点Q 取自ABE △内部的概率12ABE ABCD S P S ==△,故选C ．8．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩…，()()10f a f +=，则实数a 的值等于 （ ）．A ．3-B ．1-C ．1D ．3 【测量目标】分段函数的性质【考查方式】给出分段函数关系式，求满足条件的未知数的值. 【参考答案】A【试题解析】因为()120f =>，则由()()10f a f +=得()2f a =-， 于是12a +=-，3a =-．故选A ． 9．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于 （ ）． A ．2 B．3CD【测量目标】三角函数恒等式变换【考查方式】给出确定取值范围的未知角正弦、余弦关系式，求角的正切值. 【参考答案】D【试题解析】由21sin cos 24αα+=得221sin 12sin 4αα+-=，（步骤1） 所以211sin 4α-=，即21cos 4α=，1cos 2α=±，（步骤2）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2α≠-，（步骤3） 于是1cos 2α=，π3α=，所以πtan tan 3α==．（步骤4） 故选D ．10．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值 等于 （ ）．A ．2B ．3C ．6D ．9 【测量目标】导数的几何意义，导数在不等式计算中的应用.【考查方式】给出含有未知参量的函数关系式，通过给出的已知极值点，求未知参量. 【参考答案】D【试题解析】()21222f x x ax b '=--，（步骤1）因为()f x 在1x =处有极值，则()112220f a b '=--=，于是6a b +=，（步骤2）因为0,0a b >>，292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭…，当且仅当3a b ==时，等号成立．（步骤3） 此时()()()()2212666216121f x x x x x x x '=--=--=-+，因此1x =是一个极值点.所以ab 的最大值等于9．（步骤4） 故选D ．11．（同理7）设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于 （ ）． A ．12或32 B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【测量目标】圆锥曲线的性质【考查方式】通过给出圆锥曲线上的点与两个交点之间的线段长度比例关系，求圆锥曲线的离心率.【参考答案】A【试题解析】因为1122::4:3:2P F F F P F =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．（步骤1） 若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩所以12c e a ==．（步骤2）若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩所以32c e a ==．故选A ．（步骤3）12.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论：① []20111∈； ② []33-∈③ [][][][][]01234=Z ∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为 （ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【测量目标】集合的性质，常用逻辑关系用语【考查方式】用描述法给出集合，判断元素与集合之间的关系是否成立. 【参考答案】C【试题解析】[]2011540211=⨯+∈，所以①正确；（步骤1）()[]35123-=⨯-+∉，所以②不正确；（步骤2） [][][][][]01234=Z ∪∪∪∪， ③正确；（步骤3） 若整数,a b 属于同一“类”，则5a m k =+，5b n k =+，0,1,2,3,4k =， 则()[]500a b m n -=-+∈，所以④正确．（步骤4）由以上，①，③，④正确，故选C ．第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上. 13.若向量()1,1=a ，()1,2=-b ，则⋅a b 等于_____________． 【测量目标】平面向量数量积运算. 【考查方式】给出两个向量，求它们的乘积. 【参考答案】1【试题解析】()()()1,11,211121⋅=-=⨯-+⨯= a b .14．若ABC △的面积为3，2BC =，60C ∠=︒，则边AB 的长度等于___________． 【测量目标】三角形的边角关系【考查方式】给出三角形的面积大小及一边长、一个角的大小，通过三角形的边角关系求一条未知边的长.【参考答案】2【试题解析】11sin 22222ABC S CA CB C CA =⋅=⨯⨯==△2CA =，(步骤1)又2BC =，60C ∠=︒，所以ABC △是等边三角形，于是2AB =．（步骤2）15．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若//EF 平面1ABC ，则线段EF 的长度等于_____________． 【测量目标】立体几何空间线线、线面的位置关系及平行判定 【考查方式】给出正方体棱长及线面关系，求线段长度.(第15题图)【试题解析】因为//EF 平面1ABC ，EF ⊂平面ABCD ，且平面1ABC 与平面ABCD 的交线为AC ，所以//EF AC ，（步骤1）又点E 为AD 的中点，所以EF 为ΔDAC 的中位线，所以12EF AC =，（步骤2）因为2AB =，ABCD 为正方形，所以AC =EF =（步骤3）16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b a >）以及常数x （01x <<）确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()c a -是()b c -和()b a -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于___________． 【测量目标】等比数列的性质.【考查方式】给出关于等比数列知识的实际问题，利用等比数列相关关系解决实际问题.【试题解析】由()c a x b a =+-得c ax b a-=-，（步骤1） 设c a m -=，b a n -=，b c p -=．则p n m =-．（步骤2） 由题设，2m np =，则()2m np n n m ==-，c a mx b a n-==-， 即220m mn n +-=，2210m mn n+-=，（步骤3）于是210x x +-=，12x -=，因为01x <<，所以12x =．（步骤4） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值． 【测量目标】等差数列的性质及通项、前n 项和公式.【考查方式】通过给出等差数列两项的值，利用等差数列的性质及公式求通项公式. 【试题解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ，则()11n a a n d =+-，（步骤1）由题设，313212a a d d =-=+=+，所以2d =-． ()()11232n a n n =+-⨯-=-．（步骤2） （Ⅱ）因为()()()113223522k k k a a k k S k k ++-===-=-，（步骤3） 所以22350k k --=，解得7k =或5k =-．因为k +∈N ，所以7k =．（步骤4）18.（本小题满分12分）如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A ．第18题图（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 【测量目标】抛物线的性质，直线与圆的位置关系【考查方式】给出抛物线方程和含未知量的直线方程，利用直线与抛物线的位置关系，求未知量的值及圆的方程.【试题解析】（Ⅰ）解法1．由24,,x y y x b ⎧=⎨=+⎩得2440x x b --=，（步骤1）因为直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切，所以()()2Δ4440b =--⨯-=，解得1b =-．（步骤2）解法2．设切点()00,A x y ，由214y x =得12y x '=，（步骤3） 所以切线l 在点A 处的斜率为012k x =，因为切线l 的斜率为1，则0112k x ==，02x =，（步骤4） 又A 在抛物线上，所以2200112144y x ==⨯=，于是A 的坐标为()2,1A ，（步骤5） 因为A 在直线l 上，所以12b =+，1b =-．（步骤6）（Ⅱ）由（Ⅰ），1b =-，则由24,1,x y y x ⎧=⎨=-⎩解得2,1x y ==，于是A 的坐标为()2,1A ，（步骤7）设以点A 为圆心的圆A 的方程为()()22221x y r -+-=，（步骤8）抛物线2:4C x y =的准线为1y =-，而圆A 与抛物线C 的准线相切．则()112r =--=，（步骤9） 所以圆A 的方程为()()22214x y -+-=．（步骤10）19.（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（Ⅰ）若所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，等级系数为5的恰有2件，求,,a b c 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为123,,x x x ，等级系数为5的2件日用品记为12,y y ，现从这5件日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【测量目标】简单随机抽样，古典概型【考查方式】利用抽样方法及事件发生的概率，求未知事件的概率.【试题解析】（Ⅰ）由频率分布表得 0.20.451a b c ++++=，即0.35a b c ++=．（步骤1）因为所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，所以30.1520b ==，（步骤2） 又因为所抽取的20件日用品中，等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==，（步骤3） 于是0.350.150.10.1a =--=． 所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．（步骤4）（Ⅱ）从5件日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}1213111223,,,,,,,,,x x x x x y x y x x ，{}{}{}{}{}2122313212,,,,,,,,,x y x y x y x y y y ．所以所有可能的结果共10个.（步骤5）设事件A 表示“从这5件日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，等级系数恰好相等”则A 包含的事件为{}{}{}121323,,,,,x x x x x x ，{}12,y y 共4个，（步骤6）所以所求的概率为()40.410P A ==．（步骤7）20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且//CE AB ．(第20题图)（Ⅰ）求证：CE ⊥平面P AD ；（Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，CD =45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【测量目标】立体几何中线线、线面垂直判定，四棱锥的体积.【考查方式】给定四棱锥的棱长之间的关系和长度以及线面关系，求线面关系和立方体体积. 【试题解析】因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥．（步骤1）因为AB AD ⊥，//CE AB ，所以CE AD ⊥．又PA AD A =∩，所以CE ⊥平面P AD ．（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ），CE AD ⊥，在Rt ECD △中，sin sin 451CE CD CDA =⋅∠⋅︒=，cos 451DE CD =⋅︒=，（步骤3）又因为1AB =，则AB CE =，又//CE AB ，AB AD ⊥， 所以四边形ABCE 为矩形．四边形ABCD 为梯形．（步骤4） 因为3AD =，所以2AE AD ED =-=，（步骤5）()()115231222ABCD S BC AD AB =+⋅=⨯+⨯=，（步骤6） 115513326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=．于是四棱锥P ABCD -的体积为56．（步骤7）21．（本小题满分12分）设函数()cos f=+θθθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(),P x y ，且0πθ剟．（Ⅰ）若点P的坐标为1,22⎛ ⎝⎭，求()f θ的值；（Ⅱ）若点(),P x y 为平面区域1,:1,1.x y Ωx y +⎧⎪⎨⎪⎩………，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值．【测量目标】两角和的正弦，三角函数的定义域、最值，极坐标方程的变换，线性规划的实际应用.【考查方式】转化极坐标与直角坐标，求函数值；给出变量约束条件，求目标函数在约束条件内的最值.【试题解析】（Ⅰ）因为P的坐标为12⎛ ⎝⎭，则1cos ,2sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1） ()1cos 222f =+=+=θθθ．（步骤2）（Ⅱ）作出平面区域1,:1,1.x y Ωx y +⎧⎪⎨⎪⎩………，则Ω为图中的ΔABC 的区域，（步骤3）(第21题Ⅱ图)其中()1,0A ，()1,1B ，()0,1C ．因为P Ω∈， 所以π02θ剟．（步骤4） ()πcos 2sin 6f θθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π663θ+剟，（步骤5） 所以1πsin 126θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭剟，()12f θ剟．（步骤6） 所以当ππ62θ+=，即π3θ=时，()f θ取得最大值，且最大值为2； 当ππ66θ+=，即0θ=时，()f θ取得最小值，且最小值为1．（步骤7）22.（本小题满分14分）已知,a b 为常数，且0a ≠，函数()ln f x ax b ax x =-++，()e 2f =（e=2.71828 是自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =时，是否同时存在实数m 和M （m M <），使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1,e e x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．【测量目标】对数函数的图象与性质，利用导数判断函数的单调区间，利用导数求函数的最值.【考查方式】考查函数的单调区间，数形结合思想的应用.【试题解析】(Ⅰ)由()e e elne 2f a b a =-++=，得2b =；（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ），()2ln f x ax ax x =-++．定义域为()0,+∞．从而()ln f x a x '=，（步骤2） 因为0a ≠，所以(1) 当0a >时，由()ln 0f x a x '=>得1x >，由()l n 0f x a x '=<得01x <<；（步骤3）(2) 当0a <时，由()ln 0f x a x '=>得01x <<，由()l n 0f x a x '=<得1x >；（步骤4）因而， 当0a >时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1， 当0a <时，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞．（步骤5） （Ⅲ）当1a =时，()2ln f x x x x =-++．()ln f x x '=．（步骤6） 令()0f x '=，则1x =．（步骤7）当x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：（步骤8）因为222e -<，所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内值域为[]1,2．（步骤9） 由此可得， 若1,2m M =⎧⎨=⎩，则对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1,e e x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都有公共点，并且对每一个()(),,t m M ∈-∞+∞∪，直线y t =与曲线()y f x =1,e ex ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都没有公共点．（步骤10）综合以上，当1a =时，存在实数1m =和2M =，使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1,e e x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都有公共点．（步骤11）。
福建省普通高中文科数学质量检查
2011年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学参考公式：祥本数据的标准差锥体体积公式其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U= {0,1,2,3,4,5},集合A= {0,2,4},B = {0，5},则等于A. {0}B. {2,4}C. {5}D. {1,3}2. 在等差数列中，a1+ a5 = 16,则a3等于A.8B. 4C. -4D. -83. 已知圆的圆心在直线x+y= l上则D与E的关系是A. D+E=2B. D+E = 1C.D+E= -1D.D+E= -24. 设P(x,y)是函数图象上的点x + y的最小值为A.2B.C.4D.5. 已知三棱锥的正视图与俯视图如右图,俯视图是等腰直角三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为6. 已知向量a = (l，2)，b= ( -1，0),若（）丄a则实数等于A. -5B.C.D.57. 运行右图所示框图的相应程序,若输入a,b的值分别为和,则输出M的值是A.0B.1C. 2D. -18. 设m,n是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，当时,下列命题正确的是A.若，则B.若，则C若,则 D.若，则9. 已知平面区域.在区域D1内随机选取一点P,则点P恰好取自区域D2的概率是A. B. C. D.10.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c。
且，面积S=2,则b等于A.5B.C.D.2511.已知函数在（，0]是单调函数，则的图象不可能是12. 已知函数（n>2且）设是函数的零点的最大值,则下述论断一定错误的是A. B.C. D._第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共化分.把答案填在答题卡相应位置.13. 复数(1+i)(1- i) =_________14已知函数则,= ________15. 若椭圆（a >b >0)的焦点及短轴端点都在同一圆上，则椭圆的离心率等于________16. 如图,有8个村庄分别用表示.某人从A1出发,按箭头所示方向（不可逆行）可以选择任意一条路径走向其他某个村庄，那么他从A1出发,按图中所示方向到达A8（每个村庄至多经过一次)有________种不同的走法.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分）已知函数(I)求的值；(II)试讨论函数f(x)的基本性质(直接写出结论).18. (本小题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(I )在乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；(II)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关.19.(本小题满分12分）如图,在RtΔABC中,AB = BC =4，点E在线段AB上,过点E作EF//BC交AC于点F，将ΔAEF沿EF折起到的位置(点A与P重合），使得.(I )求证：EF丄PB;(I I )试问：当点E在何处时,四棱锥P一 EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P-EFCB的体积甲班(A方式）乙班(B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 1.323 2.072 2. 706 3. 841 5. 02420（本小题满分12分）为进一步保障和改善民生,国家“十二五”规划纲要提出,“十二五”期间将提高住房保障水平,使城镇保障性住房覆盖率达到20%左右.某城市2010年底有商品房a万套,保障性住房b 万套(b<).预计2011年新增商品房r万套,以后每年商品房新增量是上一年新增量的2倍.为使2015年底保障性住房覆盖率达到20%,该城市保障性住房平均每年应建设多少万套？()21. (本小题满分12分）已知函数.(I)求的单调区间与极值；(II)是否存在实数a使得对于任意的，且，恒有成立？若存在,求a的范围,若不存在,说明理由.22. (本小题满分14分）已知拋物线C:上的一点Q(m,2)到其焦点F的距离为3.(I)求拋物线C的方程；(II)过坐标平面上的点作拋物线C的两条切线l1和l2,分别交x轴于A,B两点.(i)若点F’的坐标为（0, -1),如图，求证：的外接圆过点F;(ii)试探究：若改变点F'的位置,或拋物线的开口大小,（i)中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i)中的结论成立的命题,并加以证明.（温罄提示：本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分,但若给出的命题是假命题，本小题不得分）。
福建省福州市2011届高三高中毕业班高质量检查试卷数学文(word版)
2011年某某市高中毕业班质量检查数学文科试卷1.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={3,4,5}，如此()B A C U ⋂等于( ).A.{1，2，3，4}B.{1，2，4，5}C.{1，2，5}D.{3}2.某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进展调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进展编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进展调查,如此这两种抽样的方法依次为( ).A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样, 分层抽样C.分层抽样,系统抽样D.简单随机抽样,系统抽样 3.如下各选项中，与sin2011°最接近的数是〔〕A.12-B.12C.2D.2- 4.等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是〔〕 A ．65B ．70C ．130D ．2605.假如曲线y=x 2+ax+b 在点(0,b )处的切线方程是x －y +1=0，如此 ( ) A.a =－1,b =1B .a =－1,b =－1 C.a =1,b =－1D.a =1,b =16.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据,A.y ＝2x －2 B.y ＝(12)x C.y ＝log 2x D.y ＝12(x 2－1)7. 给出如下四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线； ②假如一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④假如两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．俯视图左视图主视图其中为真命题的是〔 〕A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④8.双曲线221169x y -=上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是〔 〕 A. 0个； B. 2个； C. 3个； D. 4个. 9.对任意非零实数a ，b ，假如a b ⊗的运算规如此如右图的程序框图所示，如此(32)4⊗⊗的值是( ).A.0B.12C.3210.12,a a 均为单位向量，那么131,22a ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭是()123,1a a +=的〔 〕11.在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，如此使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为〔〕A.1－8π B.1－4π C.1－2π D.1－34πf (x +1)是定义在R 上的奇函数，假如对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，如此不等式f (1－x )<0的解集为( ).A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(－∞,0)D.(－∞,1)二．填空题〔本大题共4小题，每一小题4分，共16分，将正确答案填写在答题卷相应位置．〕 13.复数iiz -+=11〔i 是虚数单位〕，如此=||z . 14.命题“∃x ∈R ,e x>x 〞的否认是.15.四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图所示,根据图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为.16.将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作),(*N j i a ij ∈，如第2行第4列的数是15，记作2415a =，如此有序数对()2882,a a 是.1 4 5 16 ……23 6 15 …… 9 8 7 14 …… 10 11 12 13 …… …………………… 三、解答题17.等差数列{}n a 中，12,341==a a ，〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假如42,a a 分别为等比数列{}n b 的第1项和第2项，试求数列{}n b 的通项公式与前n 项和n S .18.“石头、剪刀、布〞是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规如此是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头〞胜“剪刀〞，“剪刀〞胜“布〞，“布〞胜“石头〞；双方出示的手势一样时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．〔Ⅰ〕写出玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果； 〔Ⅱ〕求出在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率． 19.函数1()cos 2f x x x ππ=+, x R ∈． 〔Ⅰ〕求函数f (x )的最大值和最小值； 〔Ⅱ〕如图,函数f (x )在[－1,1]上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P,求PM 与PN 的夹角的余弦．20.〔本小题总分为12分〕如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A ''A A ⊥平面ABCD〔I 〕计算：多面体A 'B 'BAC 的体积；〔II 〕求证：C A '//平面BDE ；(Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE 21. 〔本小题总分为12分〕椭圆122=+ny m x 〔常数m 、+∈R n ，且n m >〕的左右焦点分别为21,F F ，M 、N 为短轴的两个端点,且四边形F 1MF 2N 是边长为2的正方形． (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)过原点且斜率分别为k 和－k 〔k ≥2〕的两条直线与椭圆221x y mn的交点为A 、B 、C 、D 〔按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内〕，求四边形ABCD 的面积S 的最大值．.22.〔本小题总分为14分〕对任意的实数m ,直线0=++m y x 都不与曲线)(3)(3R ∈-=a ax x x f 相切． 〔I 〕某某数a 的取值X 围；〔II 〕当]1,1[-∈x 时，函数y=f (x )的图象上是否存在一点P ,使得点P 到x 轴的距离不小于14.试证明你的结论．2011年某某市高中毕业班质量检查数学文科试卷参考答案和评分标准一.选择题二.填空题 13.1 14.,x x R e x ∀∈≤ 15.6 16.〔51，63〕17.解：〔I 〕设数列{}n a 的公差为d ，由有⎩⎨⎧=+=123311d a a …………2分解得3=d …………4分()n n a n 3313=-+=∴…………6分〔Ⅱ〕由〔I 〕得,12,642==a a 如此12,621==b b ，…………8分 设{}n b 的公比为,q 如此212==b b q ，…………9分 从而n n n b 23261⋅=⋅=-…………11分所以数列{}n b 的前n 项和()()12621216-=--=n nn s …………12分 18.解：〔Ⅰ〕玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：〔石头，石头〕；〔石头，剪刀〕；〔石头，布〕；〔剪刀，石头〕；〔剪刀，剪刀〕；〔剪刀，布〕；〔布，石头〕；〔布，剪刀〕；〔布，布〕．…………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，根本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的根本事件分别是：〔石头，石头〕；〔石头，剪刀〕；〔剪刀，剪刀〕；〔剪刀，布〕；〔布，石头〕；〔布，布〕，共有6个．所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率6293P ==．…………12分 19.解：(Ⅰ)∵1()cos 22f x x x ππ=+ =sin()6x ππ+…………2分∵x R ∈∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，—1． …………4分(Ⅱ)解法1：令()sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈, ∵[1,1]x ∈-∴16x =-或56x =∴15(,0),(,0),66M N -…………6分由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x =∴1(,1),3P …………8分∴11(,1),(,1),22PM PN =--=-…………10分∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅35=．…………12分解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,如此||1,PA = 由三角函数的性质知1||12MN T==, …………6分 ||||2PM PN ==,…………8分 由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅…………10分=521345524⨯-=⨯．…………12分解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,如此||1,PA = 由三角函数的性质知1||12MN T ==,…………6分||||PM PN ==…………8分 在RtPAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===…………10分∵PA 平分MPN ∠∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-232(155=⨯-=．…………12分 20.解：〔I 〕多面体A 'B 'BAC 是一个以A 'B'BA 为底,C 点为 顶点的四棱锥，由条件，知BC ⊥平面A 'B 'BA ， ∴3211333C A B BAA B BA a V S BC a a ''''-=⋅=⋅⋅=……3分 〔II 〕设AC 交BD 于M ，连结ME ．ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点，又E 为A A '的中点∴ME 为AC A '∆的中位线 C A ME '//∴……………………………………5分又BDE C A BDE ME 平面平面⊄⊂' , //'C A ∴平面BDE ．………………7分(Ⅲ)ABCD BD AC ∴⊥为正方形………………………… 9分.''.','AC A BD A A A AC BD A A ABCD BD ABCD A A 平面又平面平面⊥∴=⊥∴⊂⊥ ……………………11分'.BD BDE A AC BDE ⊂∴⊥平面平面平面…………………………………………12分21.解:(Ⅰ)依题意:42m n nm n -=⎧=⎧⎪∴⎨⎨==⎪⎩⎩,所求椭圆方程为22142x y +=.………………………3分 (Ⅱ)设A (x,y ).由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得A .………………………6分 根据题设直线图象与椭圆的对称性,知…………8分2164().122kS k k==≥+…………9分 ∴16().122S k k k=≥+设1()2,M k k k =+如此21()2,M k k '=-当2k ≥时，21()20M k k'=->∴()M k 在[)2,k ∈+∞时单调递增，∴[]min 9()(2),2M k M ==………11分 ∴当2k ≥时，max 1632992S ==.………………………12分 22.解：〔I 〕),3[33)(2+∞-∈-='a a x x f ，…………2分∵对任意R ∈m ，直线0=++m y x 都不与)(x f y =相切， ∴),3[1+∞-∉-a ，a 31-<-，实数a 的取值X 围是31<a ；…………4分 〔II 〕存在，证明方法1：问题等价于当]1,1[-∈x 时，41|)(|max ≥x f ，…………6分 设|)(|)(x f x g =，如此)(x g 在]1,1[-∈x 上是偶函数， 故只要证明当]1,0[∈x 时，41|)(|max ≥x f ， ①当]1,0[)(,0)(,0在时x f x f a ≥'≤上单调递增，且0)0(=f ，)()(x f x g =41131)1()(max >>-==a f x g ；…………8分 ②当,310时<<a ))((333)(2a x a x a x x f -+=-='，列表：(f 注意到(0)0f f ==，且13<<a a ，∴)3,0(a x ∈时，)()(x f x g -=，)1,3(a x ∈时，)()(x f x g =， ∴)}(),1(max{)(max a f f x g -=，…………12分 由1(1)134f a =-≥与103a <<，解得104a <≤，此时(1)f f -≤成立． ∴max 1()(1)134g x f a ==-≥．由124f -=与103a <<，解得1143a ≤<，此时(1)f f -≥成立．∴max 1()24g x f =-=≥． ∴在]1,1[-∈x 上至少存在一个0x ，使得41|)(|0≥x f 成立．…………14分 〔II 〕存在，证明方法2：反证法假设在]1,1[-∈x 上不存在0x ，使得41|)(|0≥x f 成立，即∀]1,1[-∈x ，41|)(|0<x f ， 设|)(|)(x f x g =，如此)(x g 在]1,1[-∈x 上是偶函数， ∴]1,0[∈x 时，41|)(|max <x f ，…………6分 ①当]1,0[)(,0)(,0在时x f x f a ≥'≤上单调递增，且0)0(=f ，)()(x f x g =4131)1()(max <-==a f x g ，41>a 与0≤a 矛盾；…………8分②当,310时<<a ))((333)(2a x a x a x x f -+=-='，列表：(f 注意到(0)0f f ==，且13<<a a ，∴)3,0(a x ∈时，)()(x f x g -=，)1,3(a x ∈时，)()(x f x g =， ∴)}(),1(max{)(max a f f x g -=，……………12分 注意到103a <<，由： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=≤-4131)1(31)1()(a f a f a f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<41410a a 矛盾；⎪⎩⎪⎨⎧<=--=≥-412)(31)1()(a a a f a f a f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥4141a a 矛盾；∴∀]1,1[-∈x ，41|)(|0<x f 与31<a 矛盾，∴假设不成立，原命题成立．…………14分。