十三 点、线、面的位置关系及判定与性质(逻辑推理)

点、线、面之间的位置关系及判定与性质（逻辑推理）
一、空间的点、直线、平面之间的位置关系
1 平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.（三个推论）
推理1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。

推理2：两条相交直线确定一个平面。

推理3：两条平行直线确定一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线.
2 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

3 异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

（2）性质：两条异面直线既不相交也不平行。

（3）判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

（4）异面直线所成的角：
例1有下列命题：①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别与α交于P 、Q 、R 三点，则P 、Q 、R 三点共线；②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 与A 、B 、C 三点，则这四条直线共面；③空间的五个点最多确定10个平面。

其中正确的命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
例2 给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a 、b 都平行。

其中正确的命题为（ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ① ③
例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点。

（1）求证：AC ⊥平面BDD 1;
(2)求BD 1与CE 所成角的余弦值。

例4 如图所示，E 、F 在AD 上，G 、H 在BC 上，图中8条线段所在的直线，互为异面直线的有 对。

二 直线、平面平行的判定与性质
1直线与平面平行的判定与性质
（1）判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行。

2 两个平面平行的判定和性质
（1）定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行。

（2）两个平面的位置关系：①两个平面平行—没有公共点；②两个平面相交—有一条公共直线。

（3）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（4）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

例5 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题是真命题的是（ ）
A.若m,n 与α所成的角相等，那么m ∥n;
B.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n;
C.若m ⊥
α,m ⊥n,则n ∥α D.若n m ,α⊂∥α,则m ∥n.
例6 若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A 若m ∥α,n ∥α,则m ∥n;
B 若n n m ,,αα⊂⊂∥β，m ∥β则α∥β
C 若α ⊥β，m ⊂
α,则m ⊥β D 若α⊥β，m ⊥β,α⊄m ,则m ∥α
三 直线、平面垂直的判定与性质
1直线与平面垂直和线面角
（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线l 与平面α互相垂直。

记作：l ⊥
α
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

（4）直线与平面所成的角：平面的一条斜线和斜线在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。

（5）三垂线定理及逆定理：
2 二面角与面面垂直
（1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

记二面角α—l —β（α、β为两个半平面，l 为二面角的棱。

（2）二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角。

（3）两平面垂直
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说两平面垂直。

判定定理：一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

例7 设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是（ ）
A. a ⊥α,b ∥β, α⊥β
B. a ⊥α,b ⊥β, α∥β
C. a ⊂α,b ⊥β,
α∥β D. a ⊂α,b ∥β, α⊥β
例8 在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形，PD=DC,F 是PB 的中点，求证：
（1）DF ⊥AP; (2)在线段AD 上是否存在点G,使GF ⊥平面PBC?若存在说明G 点的位置，并证明；若不存在，说明理由。

例9 在直三棱柱111C B A ABC -中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C,求证：
（1）EF ∥平面ABC; （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C.
练习：
1已知：空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且DC CH BC CG 3
1,31==。

求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三直线FH 、EG 、AC 共点。

2 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）个。

A 3
B 4
C 6
D 7
3 已知1111D C B A ABCD -是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE=FC 1=B 1G=1,H 是B 1C 1的中点。

（1）求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；（2）求证平面A 1GH ∥平面BED 1F.
4 （1）已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

其中，为真命题的是（ ）
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ②和④
5 已知正三棱柱111C B A ABC -，若过AB 1与BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的边A 1C 1于点D 。

（1）确定D 的位置，并证明；（2）证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D.
点、线、面之间的位置关系及判定与性质参考答案
例1 D
例2 C
15
例3 （1）略（2）
15
例4 12
例5 D
例6 D
例7 C
例8 （1）略（2）G为AD中点
练习
1. 略
2. D
3. 略
4. （1）B （2）D
5 略。