数论基础

1948年，匈牙利的兰恩尼证明了"1+C"，其中C很大；
1956年，中国的王元（1930~ ）证明了“3+4”；1957年，他 又先后证明了“3+3”和“2+3”；
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1962年，中国的潘承洞（1934~ ）和苏联的巴尔巴恩证明了 “1+5”； 1962年，中国的王元证明了“1+4”；1963年，中国的潘承洞和苏 联的巴尔巴恩也证明了“1+4”； 1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉夫及意大利的波波里 证明了―1+3‖； 1966后，中国的陈景润证明了"1+2"。
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哥德巴赫猜想
哥德巴赫（1690-1764）是德国数学家；曾在英国牛津大学学
习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所
以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年到俄国， 同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科 学院会议秘书；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
最终将由哪个国家的哪位数学家攻克大偶数表为两个素数之和 （即"1+1"）的问题，现在还无法予测。
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费马大定理
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难 题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费 马(1601—1665)。
费马大定理，这个著名的猜想产生于1673年，费尔马在读
丢蕃图《算术》时，在第二卷问题8的页边写下如下的注解： “分一立方数为两个立方数，分一个四次幂（或者一般地，任 何次幂）为两个同次幂，这是不可能的，我确实找到了一个极 妙的证明，但是页边太窄，写不下．”费尔马是否真有此问题 的一个完善的证明，也许将永远是个谜！
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汉密尔顿在证明庞加莱猜想中有过杰出贡献。 俄罗斯数学家佩雷尔曼于2002年发表的两篇论文，为庞加莱猜想的 最终获证带来了曙光。获得2006年度素有数学界诺贝尔奖之称的菲 尔兹奖。 2006年，朱熹平和曹怀东运用汉密尔顿、佩雷尔曼的理论，第一次成 功处理了猜想中“奇异点”的难题，发表了300多页的论文，给出了庞
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可得（ck m k c1m）－（d l m l d1m）＝d 0 c0 由于m整除左边，所以也应有 m | (d 0 c0 ) 而0 d 0 m, 0 c0 m, 所以必定有d 0 c0，从而上式变为 （c k m
k 1
c2 m）－（d l m
现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想
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二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了
艰辛的劳动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也
没有被推翻的命题。
十九世纪数学家康托（1845~1918）耐心地试验了1000以内所 有的偶数，奥培利又试验了1000~2000的全部偶数，他们都肯 定了在所试验的范围内猜想是正确的。 后来甚至有人一直验算到三亿三千万这个数，都肯定了猜想
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整数的表示法
带余除法: 设a, b是整数，b0. 则a可唯一地表为
a = bq+r
其中q, r为整数并且0 r < |b|.
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整数1987可以表示为：
1103 9 102 8 10 7
在计算机中，则常用以2为基，即二进制数。也可以用 其他整数作为基。
定理 设m是大于1的正整数，则每一个正整数n可唯
一表示：
n ck mk ck 1mk 1 c1m c0
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证明 用x 表示不大于x的最大整数。 设 n0 n, 令n1 n0 / m ，则 n0 n1m c0 , 其中c0为余数 n j 1 , j 1,2, , k 1 n 则有 j m n n 0 其中nk 1 0。于是有 n n1m c0 n1 n2 m c1 nk 1 nk m ck 1 nk nk 1m ck ck
( a, b ) = ( b, r )＝ ( r, r1)
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庞加莱猜想
任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有封闭曲线都可
以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球——这就 是法国数学家庞加莱于1904年提出的猜想。 庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨-米尔理论等一样， 被并列为七大数学世纪难题之一。2000年5月，美国的克莱
数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。
即
gcd {a, b} = gcd {b, r}
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定理2 每一双不全为0的整数，必有一个正的最大公因数
证明：不失一般性，设 a 和 b 为正整数，且a > b。 令 a = b q + r, 0 ≤ r < b，由定理1可得： ( a, b ) = ( b, r ) 又令 b = r q1 + r1, 0 ≤ r1 < r，则：
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代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数 学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立 了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创 和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什 么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数 的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。由 于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基 础才能深入研究。 解决“庞加莱猜想”所用的方法就属于 几何数论。
gcd {a, b} = gcd {b, r}
注意：gcd {a, b} 又可以表示为(a, b)
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证明： 设 d = ( a, b ), d’ = ( b, r )，则 d | (a - bq), 即d | r 所以 d 是 b 和 r 的公因数，即 d | d’。 类似地，由 d’ | ( bq + r) 得 d’ | a, 所以 d’ | d 所以 d = d’
是正确的。
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1900年，德国数学家希尔伯特（1862.1.23~1943）在巴黎国际 数学家大会上提出了几十个研究题目。其中第二十三个最重要 的问题供二十世纪的数学家来研究。第八问题为素数问题；
在提到哥德巴赫猜想时，希尔伯特说这是以往遗留的最重要
的问题之一。
1921年，英国数学家哈代（1877~1947）在哥本哈根召开的数 学会议上说过，哥德巴赫猜想的困难程度可以和任何没有解
决的数学问题相比。
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近一百年来，哥德巴赫猜想吸引着世界上许多著名的数学 家，并在证明上取得了很大的进展。 苏联人什尼列尔曼(1905~1938)第一个取得了成果，他指出任
何整数都可以用一些素数的和来表示，而加数的个数不超过
800000。 1937年，苏联数学家维诺格拉夫（1891~1983）取得了进一步 的成果，他证明了任何一个相当大的奇数都可以用三个素数的 和来表示。
加莱猜想的完全证明。
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朱熹平教授和曹怀东教授
在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了长
达300多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密 尔顿-佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。
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素数分布
费马数Fn = 2
2n
+1, n = 0,1,2,…
n = 0，1，2，3，4时，Fn是素数。 人们进而希望解决的问题是：是否存在着无限 多个费马素数。这也是一个至今未解决的难题。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。

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随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和： 77 = 53+17+7
再任取一个奇数，比如461，
461= 449+7+5 也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个 素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之 和。
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数的因数分解
整除、素数、合数、因数、公因数 、倍数、 公倍数 互素 最大公因数 (greatest common divisor) gcd. 最小公倍数 (least common mutiple) lcm.
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引理
如果 r 是一正整数，那么gcd(r, 0)=r.
定理1 若a = bq + r，则
数论知识
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什么是数论
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整
数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数等。利用
整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数 学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学 家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数 论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说， 数论就是一门研究整数性质的学科。
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欧拉回信说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严 格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶 数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。 不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，
任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：
2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4. 若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是 奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数， 哥德巴赫的猜想成立。
关于大偶数可表示为s个素数之积与t个素数之积的和的
"s+ t"问题的研究进展情况如下：
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1920年，挪威的布龙证明了"9+9"； 1924年，德国的拉特马赫证明了"7+7"； 1932年，英国的埃斯特曼证明了"6+6"； 1937年，意大利的蕾西先后证明了"5+7"、"4+9"、"3+15" 和"2+366"； 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了"5+5"，1940年他又证 明了"4+4"；