离散数学-新第七章

小元素是唯一的。如果<L；≤>有最大元素，则最大元 素也是唯一的。
证明 设 a 1 和 a2都是<L；≤>的最小元素，则有
a 1 ≤ a2 ，且 a2 ≤ a 1 ，得 a 1 ＝a2。
9
二、 格
1．格的定义
定义7-4 设<L；≤>是一个偏序集，如果L中
任意两个元素都存在着最大下界和最小上界，则称<L； ≤>是格。
6 4
3
1
(6∧3)∨(6∧4)= 3∨1= 3
于是 6∧(3∨4)≠(6∧3)∨(6∧4)
21
定理7-10 设<L；≤>是格，则对任意
l1,l2,l3 L ,有
(a ) l1 (l2 l3)(l1 l2) (l1 l3) (b ) l1 (l2 l3)(l1 l2) (l1 l3)
由 (54) al1,al2l3 , 且 l2l3l2 , l2l3l3 ,
由传a递 l2,性 al3 ,
又 a l 1 由 ,a l 2 和 5 － 5 ） （ a l 1 有 l 2 ,
由 a l 1 l 2 和 a l 3 和 5 5 ） ， a （ ( l 1 l 2 ) l 3 , 即 a b . 类似的方法b可 a以 。证 于明 是由反a对 b.称 17
∧都是二元运算，满足交换律，结合律和吸收律，则在L上必 存在一偏序关系，使得<L ; ≤ >是一个格。
③ => ① 设 l2 l1 ,
由自反l性 1 l1, 因此 l1l1, l1l2,
由 5 － 5 （ ） l1 l1 l2,
又7 由 4 ） l（ 1 l2l1.
故由反对 l1称 l2性 l1 .定理结论得
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定义7-5 设<L；≤>是格，P是包含 格的元素和符号=、≤、≥，∧ ，∨的命题， 将P中的≤、≥，∧和∨分别替换成≥、 ≤、 ∨和∧所得的命题PD称为P的对偶。
是可传递的。Βιβλιοθήκη 由上证得 ~也是偏序关系。
2
例1 设 A=1,2,3,6，定义 A 上的整除关系 ：
当旦仅当 a 整除 b 时，有 a b 。
由定义 = ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ,( 1 , 3 ) , ( 1 , 6 ) ,2 , 2 ) ( ( 2 , 6 , ) ( 3 , 3 ) ,( 3 , 6 , ) ( 6 , 6 , )
第七章 格
一偏序集
1.偏序集
定义7-1 集合L和定义在 L 上的偏序关系 “≤”
一起称为偏序集，用<L；≤ >表示。
<R；≤>，<I：≤>，<2U；>和<N；|>都是偏 序集。
~
若 是集合A上的偏序关系，则 的逆关系 也必是Ａ上的偏序关系，证明如下：
1
１．对任意的 a Ａ，因为 自反，所以有
定理7-9 （格的保序性）
设＜L；≤＞是格，则对于任意 l1,l2,l3,l4L ，有
（ 1 ） l2 若 l3,则 l1 l2l1 l3,l1 l2l1 l3
（ 2 ） l1 若 l3,l2l4 ,则 l1 l2l3 l4,l1 l2l3 l4
证明 （1）
l1l3l1 l1l3l3
根据逆关系的定义
~ p= ( 1 , 1 ) ( 2 , 1 ) , ( 3 , 1 ) , ( 6 , 1 ) , 2 , 2 ) ( ( 6 , 2 , ) ( 3 , 3 ) ,( 6 , 3 , ) ( 6 , 6 , )
的次序图如下
~ p的次序图如下
6
1
2
3
1
2
3
6
3
若<L； >是一个偏序集，则对于任意元素
由 传 递 性 l1， l2 l有 3l4
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例4 设 L = 1,3,4,6,1 2 ，L上的整除关系
与L构成一个格，记作<L；≤>，
12
3∨( 6 ∧ 4 ) = 3 ∨ 1= 3 (3∨6)∧(3∨4) = 6 ∧ 12 = 6 于是 3∨(6∧4)≠(3∨6)∧(3∨4)
6∧(3∨4) = 6∧12 = 6
1
2
两个元素，如果 1 和 有glb,则glb是唯一的，
2
如果
和 1
有l ub，则lub是唯一的。 2
证明 设 a 1 和 a2 都是 1和 2 的glb，
由定义7-1，则 a2 ≤ a1, a1 ≤ a2 ,于是有 a1= a。2
类似地可以证明, 1 和 2 若存在lub，则
由于6 12，6 18，6 6，因此，lub（2，3）=6。
6 ≤ 12，6 ≤ 18；2 ≤ 12，2 ≤ 18；3 ≤ 12，3 ≤ 18；1 ≤ 12,1 ≤ 18；
因1 ≤ 6，2 ≤ 6，3 ≤ 6，所以glb(12,18)＝6。
6
例3 设A= 1,2,3,1,1 8,2 36，整除关系是A上
证明 （a）由(5-4)有
2l3l2, 2l3l3
于是，根据定理5-19有 l1(l2l3)l1l2
又由（5-4）有
l1(l2l3)l1l3
l1 (l2 l3 ) (l1 l2 ) (l1 l3 ) 22
7．2 格是一种代数系统
定理7-10 设<L;∨,∧ >是一个代数系统，其中∨和
最小上界，简记作b=lub( 1, 2)
5
例2 设A= 1,2,3,6,9,1,1 2,2 87“整除”关系是A上
的偏序关系，其次序图如下，因此，它们构成一个
27
偏序集<A； >。
12 18
lub(2,3)=？， glb(12,18)=?， lub(18,27)=?
6
9
2
3
1
有2 6，3 6；2 12，3 12；2 18，3 18。
1, 2, 3 L，有以下六个关系式成立：
1 1
若 1 2 ，2 1，则 1= 2
（7-1） （7-2）
若 1 2 ，2 3，则 1 3 1 1
(7-3)
(7- 1 )
若 1 2 ， 2 1，则 1= 2 (7- 2 )
(7 4) (75 ) (74 ) (75 )
(71)~(75)、(71)~(75)这十个 关系式代表了格。 的定义
12
2．格的性质
定理7-3 在格<L；≤>中，对于任意 1,2L
以下三式中若任意一式成立，那么其它两式也成立.
( 1 )( l 1 l 2 l 1 )( 2 ; )( l 1 l 2 l 2 )( 3 ; ) ( l 2 l 1 )
lub也一定是唯一的。 8
3 最小元素和最大元素
定义7-3 设<L；≤>是一偏序集。
(1) 如果存在元素aL，使得对于所有的元素 L，
有a ≤ ，则称a是<L；≤>的最小元素。
(2) 如果存在元素bL，使得对于所有的元素 L，
有 ≤b，则称b是<L；≤>的最大元素。 定理7-2 如果偏序集<L；≤>有最小元素，则最
设 1和 2是偏序集<L；>中的两个元素,
元素a L，如果满足a 1,a 2 ,则称a是 1和 2的
下界。
如果元素a是 1和 2的下界。且对于任意 aL，若 a 也是 1和 2的下界，便有 a a ,则称a是 1和 2的 最大下界，简记作a=glb( 1 , 2).
证明 ① =＞ ② 设 l1l2 l1 ，
由7（ 4）l有 2l1,又由自 l2反 l2, 性
于是 75 由 ） l2 （ l1l2.
另一方面 由(7， 4) l1 l2 l2 , 故由反对称 l1 性 l2 有 l2
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② => ③ 设 l1l2l2,
由 ( 5 4 )l 1 l2 l 1 ,即 l2 l 1
定理7-6 （吸收律）
设＜L；≤＞是格，则对任意 l1 , l2 L ，有
( a ) l 1 ( l 1 l 2 ) l 1 ; ( b ) l 1 ( l 1 l 2 ) l 1
证明 (b) 由（5-4） l1 (l1 l2 ) l1 (1 )
另一方面，由（5-1）l1l1,由 (54)l1l1l2
（a,a）,于是（a,a）~，因此 ~
也是自反的。
２．对任意 a ,b A ，若（a,b）~且（b,a）~ ，
则有（b,a） 且（a,b） ，必有a = b，
因此 ~是反对称的。
３．对任意a,b,c A,若（a,b）~,(b,c）~，
则有（c,b）且（b,a），必有 （c,a），于是（a,c）~ ，因此 ~
定义7-2 设 1和 2是偏序集<L； >中的两个元素，
元素 b L ,如果满足 1 b， 2 b，则称 b是 1 和 2的上界。
如果元素 b是 1和 2的上界，且对于任意bL，若 b
也是 1和 2的上界，便有b b，则称 b 是 1和 2的
的偏序关系，其次序图如下
36
试问 glb(18,12)=?, lub(2,3)=?
2≤18，2 ≤ 12；3 ≤ 18，3 ≤ 12，1 ≤ 18，1 ≤ 12。
18
12
2
3
1
但glb(18,12)不存在。
类似地，12，18 和 36 均是 2 和 3 的上界， 但 lub（2，3）不存在。
7
定理7-1 设 和 是偏序集<L；≤>的
若 1 2 ， 2 3，则 1 3 (7- 3)