§5 对角矩阵
线性代数3-6
0 −a A = 12 L − a1n
都是反对称矩阵． 都是反对称矩阵． 可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵． （2）可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵． 奇数阶反对称矩阵不可逆， （3）奇数阶反对称矩阵不可逆，因为奇数阶的反 对称矩阵的行列式等于零． 对称矩阵的行列式等于零． 两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵． 注意 两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵．
2
0 A1 0 0 A3 0
0 A2 0
2
0 A12 0 0 = A3 0
0 A2 2 0
0 0 A3 2
1 2 3 8 2 A1 = 9, A2 = = 4 11 , A3 = 25, 1 3
（2）对角矩阵的转置仍是对角矩阵，且 对角矩阵的转置仍是对角矩阵， 并且它们是可以交换的． 并且它们是可以交换的．
AT = A.
（3）任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵， 任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵， （4）对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元 素都不等于零． 素都不等于零．且
即主对角元都不为零． 即主对角元都不为零． 当主对角元都不为零时， 当主对角元都不为零时，有
1 a1 a1−1 O O = O an a n −1 1
于是
a1−1 −1 A = O −1 an
a11 a 21 A= L a n1
0 L 0 a22 L 0 , L L L an 2 L ann
a11−1 则 A −1 = L *
a22 −1
L
0 . L L −1 L ann
第四章矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分, 它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用, 而且在其他学科、工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用. 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵的相似对角化问题, 并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题, 往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题. 特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要, 而且也可直接用来解决实际问题.一、特征值和特征向量的基本概念 先看一个例子设31,51⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 取1,1α⎛⎫= ⎪⎝⎭可验证31144.5114αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A这说明矩阵A 作用在向量α上变成了常数倍. 我们把具有这种性质的非零向量α称为矩阵A 的特征向量, 数4称为对应于α的特征值.对于一般的n 阶矩阵, 引入如下概念：定义1. 1 设A 是n 阶矩阵, 如果存在数λ和n 维非零向量,α使得,αλα=A则称数λ为矩阵A 的特征值, α是A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量.根据定义, n 阶矩阵A 的特征值, 就是使齐次线性方程组()λ0E A x -= 有非零解的λ的值, 即满足方程0-=E A λ的λ都是矩阵A 的特征值. 在复数域上n 次方程有n 个根（重根按重数计算）, 因此n 阶矩阵A 在复数域上有n 个特征值.方阵A 的对应于特征值λ的特征向量就是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解.定义1. 2 设n 阶矩阵(),⨯=ij n n A a 则()f =λ-E A λ111212122212n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---称为矩阵A 的特征多项式, -E A λ称为A 的特征矩阵, 0-=E A λ称为A 的特征方程.根据上述定义, 求n 阶A 的特征值与特征向量的求法可按如下步骤进行： （1）由()0f E A λλ=-=求出矩阵A 的全部特征值12,,,,n λλλ其中0)(=λf 的t重根, 对应A 的t 个数值相同的特征值.（2）对于A 的每一个特征值,i λ求解齐次线性方程组(),λ-=0i E A x 设它的一个基础解系为12,,,n r ξξξ-（其中()i r R E A λ=-, 则A 的属于i λ的全部特征向量为1122,n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,n r k k k -是不全为零的任意实数.例1. 1 求1124-⎛⎫=⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为-=E A λ11(2)(3),24λλλλ-=----故A 的特征值为122,3λλ==．对特征值12λ=, 解方程(2)-=0E A x , 由(2)-E A 1111,2200⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求得(2)-=0E A x 基础解系为11,1ξ-⎛⎫=⎪⎝⎭故111(0)k k ξ≠是对应于12λ=的全部特征值向量．对特征值23λ=, 解方程(3)-=0E A x , 由2121(3),2100⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E -A求得(3)-=0E A x 基础解系21,21ξ⎛⎫- ⎪= ⎪⎝⎭所以222(0)k k ξ≠是对应于23λ=的全部特征向量．例1. 2 设211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 求A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为221102(2)(1)413E A λλλλλλ+---=-=-+--,所以A 的特征值为1232, 1.λλλ===-对特征值122λλ==, 解方程(2)-=0E A x , 即41100000,4110x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为12114,0,04ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故对应于122λλ==的全部特征向量为112212(,k k k k ξξ+不同时为0).对特征值31λ=-, 解方程()--=0E A x , 即11100300,4140x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为310,1ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故对应于31λ=-的全部特征向量为333(0)k k ξ≠.例1. 3 求n 阶数量矩阵a aa ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量. 解 ()0,n aaa aλλλλλ---==-=-EA故A 的特征值为12.n a λλλ====把a λ=代入()λ-=0E A x 得1200,00,,00.n x x x ⋅=⋅=⋅=这个方程组的系数矩阵是零矩阵, 所以任意n 个线性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组12100010,,,001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 作为基础解系, 于是A 的全部特征向量为1122 n n k k k ++εεε(12,,,n k k k 不全为0) .注 特征方程0E A λ-=与特征方程0A λ-=E 有相同的特征根, A 的对应于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解, 也是()λ0A E x -=的非零解. 因此, 在实际计算特征值和特征向量时, 以上两种形式均可采用.二、特征值与特征向量的性质性质1. 1 设A 为n 阶矩阵, 则A 与A T有相同的特征值.证明 因为()T T E A E A E A λλλ-=-=-所以A 与A T有相同的特征多项式, 故它们的特征值相同.性质1. 2 设n 阶方阵()A ⨯=ij n n a 的n 个特征值为12,,,,n λλλ则（1）121122;n nn a a a λλλ+++=+++（2）12.n A λλλ=其中A 的主对角线的元素之和1122nn a a a +++称为矩阵A 的迹, 记为().A tr证明 由行列式的定义可知1112121222121122() =()()()n nn n nnnn a a a a a a f a a a a a a λλλλλλλλ------=-=------+E A其中一项是主对角线n 个元素的乘积, 而省略的各项至多含有2-n 个主对角线上的元素,因此特征多项式中含nλ与1n λ-的项只能在主对角线元素乘积项中出现, 显然nλ的系数为1,1n λ-的系数为1122().nn a a a -+++又因为, 在特征多项式中令0λ=可得其常数项为(0),f A =-故11122()()(1).n n n nn f a a a A λλλ-=-+++++-另一方面, 由于12,,,n λλλ是A 的n 个特征值, 所以1211212()()()() ()(1).n nn nn n f λλλλλλλλλλλλλλλλ-=-=-⋅--=-+++++-E A在上述两式中, 比较1n λ-的系数和常数项, 可得121122n nn a a a λλλ+++=+++和12.n A λλλ=推论 n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 的n 个特征值都不为零. 例1. 4 设n 阶方阵A 满足等式2A A =, 证明A 的特征值为1或0. 证明 设λ为A 的特征值, 则存在非零向量α, 使,αλα=A 因此2(),ααλαλα=2A =A(A )=A由题设知22,A λαααλα===A即2()0.λλα-=因为0α≠. 所以20λλ-=, 即1λ=或0.例1. 5 设λ是方阵A 的特征值, α为对应于特征值λ的特征向量, 证明 （1）k λ是A k 的特征值（k 为任意常数）； （2）对正整数,m m λ是m A 的特征值（m 为正整数）； （3）若A 是可逆的, 则1λ-是1A -的特征值. 证明 由题意, 对向量0,α≠有,A αλα=（1） 因为()()(),kA k A k ααλα==所以k λ是A k 的特征值. （2）由112()(),m m m m m A A A A A A ααλαλαλα---=====知m λ是mA 的特征值.（3）当A 可逆时, 由推论可知, 0,λ≠用1A -左乘A αλα=两边, 得1,A αλα-=即11,A αλα--=所以1λ-是1A -的特征值.用例1. 5的方法, 读者可自证：若λ是方阵A 的特征值, ()g A 是矩阵多项式, 即1110()k k k k g A a A a A a A a E --=++++,则矩阵()g A 有特征值1110().k k k k g a a a a λλλλ--=++++例1.6 设三阶方阵A 的三个特征值分别为2, 3, 7, 求行列式5A E +.解 当i λ是A 的特征值, 可知, （51i λ+）为5A E +的特征值, 即5A E +有特征值521⨯+, 531⨯+, 571⨯+所以由性质1. 2知51116366336.A E +=⋅⋅=定理1.1 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征值, 12,,,m ααα是A 的分别属于12,,,m λλλ的特征向量, 则12,,,m ααα线性无关.证明 用数学归纳法对特征向量个数m 进行归纳证明.当1m =时, 由于10,α≠因此1α线性无关. 假设对1m -个互异的特征值定理成立, 即121,,,m ααα-线性无关.对向量组12,,,m ααα, 设有数12,,,m k k k 使11220.m m k k k ααα+++= （4. 1）两端左乘,A 并利用条件,i i i A αλα=得1112220m m m k k k λαλαλα+++= (4. 2)将m λ·（4. 1）－（4. 2）, 得11122211()()()0m m m m m m k k k λλαλλαλλα---+-++-=由归纳假设, 121,,,m ααα-线性无关, 因此()0, 1,2,, 1.i m i k i m λλ-==-又()0,m i λλ-≠从而0(1,2,,1),i k i m ==- 代入（4. 1）, 得0,m k = 从而12,,,mααα线性无关.推论 如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值, 则A 有n 个线性无关的特征向量. 类似地可以证明： 定理 1.2 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个互不相同的特征值, 12,,,i i i is ααα是A 的属于特征值(1,2,,)i i m λ=的线性无关的特征向量, 则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,m s s m m ms ααααααααα线性无关定理1.3 设λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值, 则λ对应的线性无关的特征向量至多有t 个.习题4. 11．求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.2. 已知方阵A 满足2+23,A A E =试确定A 的特征值的可能取值.3. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 0, 4, 又知2,A B E +=求B 的特征值.4. 设矩阵122212,221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的特征值. （2）求矩阵1A E -+的特征值.5. 设矩阵0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量, 求,x y 应满足的条件.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算最方便. 自然要问, 对于一个n 阶矩阵,A 是否可化为对角矩阵, 且保持矩阵A 的一些重要性质不变, 本节将讨论这个问题.一、相似矩阵的概念与性质定义2. 1 设A 和B 都是n 阶方阵, 如果存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=则称B 是A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似, 记为,A B ～可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 对A 进行的运算1P AP -称为对A 进行相似变换. 相似是方阵之间的一种关系, 这种关系具有下列三个性质： （1）自反性：;A A ～（2）对称性：若,A B ～则;B A ～ （3）传递性：若,A B ～,B C ～则.A C ～即它是一种等价关系. 彼此相似的矩阵具有一些共性, 也称为相似不变性．定理2. 1 若n 阶矩阵A 与B 相似, 则 （1）()();R A R B =（2）;A B =（3）A 和B 的特征多项式相同, 即,E A E B λλ-=-从而A 和B 的特征值相同；（4）k k A B ～(k 为正整数)； （5）11A B --～ (A 可逆时).证明 这里仅证（3）, 其余留给读者自行证明. 因为,A B ～ 故存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=于是11()E B E P AP P E A P λλλ---=-=-1.P E A P E A λλ-=-=-从而A 和B 的特征值相同.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似, 则12,,n λλλ是A 的n 个特征值.从定理2. 1可以看出相似矩阵有许多共同的性质, 若一个矩阵与一个简单矩阵相似, 可以通过研究简单矩阵的性质来得到原来矩阵的一些性质, 最简单的矩阵就是对角阵. 下面来研究矩阵A 满足什么条件与对角阵相似.定义2. 2 对n 阶方阵,A 若存在可逆矩阵,P 使1,P AP -=Λ则称A 相似于对角矩阵, 也称矩阵A 可相似对角化.如果方阵A 能够对角化, 则可简化许多运算过程. 但并不是每个矩阵都能对角化, 即矩阵的可对角化是有条件限制的. 下面将从特征向量的角度来刻画矩阵可对角化的条件.二、矩阵可对角化的条件 定理2. 2 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似（A 可对角化）的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．证明 必要性设A 可对角化, 即存在可逆矩阵P 和n 阶对角阵Λ,使121.n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭设12(,,,),n P ααα=由1,P AP -=Λ得AP P =Λ, 即121212121122(,,,)(,,,)(,,,) =(,,,) n n n n n n AP A A A A ααααααλλαααλλαλαλα==⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此, (1,2,,)i i i A i n αλα==. 由于P 可逆, 所以0, 1,2,,.i i n α≠=故12,,,nααα分别是属于特征值12,,,n λλλ的特征向量, 且由P 可逆知12,,,n ααα线性无关.充分性 设12,,,n ααα为A 的分别属于特征值为12,,,n λλλ的n 个线性无关的特征向量, 则有(1,2,,)i i i A i n αλα==取12(,,,),n P ααα=因为12,,,n ααα线性无关, 所以P 可逆, 于是有12,n AP P λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 即121,n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Λ 因此A 可对角化.注 因特征向量不是唯一的, 所以矩阵P 不具有唯一性．推论 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值, 则A 必相似于对角矩阵．定理2. 3 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个i t 重特征值i λ对应i t 个线性无关的特征向量, 即()i i R E A n t λ-=-这里121, ,,,mim i tn λλλ==∑是A 的所有互异的特征值.定理2.2不仅给出了一个矩阵可对角化的充要条件, 而且定理证明的本身给出了对角化的具体方法. 将这种方法总结如下：(1)求出矩阵A 全部互不相等的特征值12,,,,m λλλ它们的重数依次为1212,,()m m t t t t t t n +++=，.(2) 求A 的特征向量.对每个特征值λi , 求出齐次线性方程组()0i E A x λ-=的一个基础解系, 设为12,,, (1,2,,) ,i i i is i m ξξξ=(3)判断A 是否可对角化.若A 的i t 重特征值有i t 个线性无关的特征向量(1,2,,)i m =, 则A 可对角化, 否则A不可对角化.例2. 1 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵P ．（1）200110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, （2）122212.221B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征多项式为2(2)(1),E A λλλ-=--故A 的特征值2,1321===λλλ．其中121==λλ为二重特征值, 又100(1)100,110E A -⎛⎫⎪⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)2,3(1)321,R E A R E A ⋅-=-⋅-=-=故1=λ只对应一个线性无关的特征向量, 故矩阵A 不能相似于对角阵．（2）B 的特征多项式为2(1)(5)0E B λλλ-=+-=故B 的特征值5,1321=-==λλλ．其中1-为B 的二重特征值, 又 当1-=λ时222111(1)222000,222000E B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭所以3()312,R B E -+=-=故1-=λ对应2个线性无关的特征向量, 即B 可对角化, 且121-==λλ对应的线性无关特征向量为.)1,0,1(,)0,1,1(T T --由于53=λ为单特征值, 它有且仅有一个线性无关的特征向量, 由(5)0E B x -=,得线性无关的特征向量(1,1,1).T取111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是111.5P BP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题4. 21. 设方阵12422421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭与50000004y ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似, 求,.x y2. 设A B 、都是n 阶方阵, 且0A ≠, 证明AB 与BA 相似．3. 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵.P（1）220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭； （2）421201.110B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 当k 为何值时, 方阵25141001k A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭可相似对角化？§4.3 向量的内积与正交矩阵本节主要讨论向量的内积、长度、正交矩阵等概念, 并介绍它们的性质. 若不特别说明, 本章讨论的向量都是实数域上的.一、向量的内积 定义3. 1 设n 维向量1122,,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ 令 []1122,,αβ=++n n x y x y x y称[],αβ为向量α与β的内积.由于内积是两个向量间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积可用矩阵记号可表示为[],.T =αβαβ容易证明内积满足下列运算性质（其中,,αβγ为n 维向量, k 为实数）：(1) [][],,;αββα= (2) [][],,;k k =αβαβ (3) [][][],,,;+=+αβγαγβγ(4) 当0=α时, [],0;=αα当0≠α时, [],0.>αα定义3. 2 令||||α==称||||α为n 维向量α的长度（或范数）．当||||1α=时, 称α为单位向量． 对nR 中的任一非零向量α, 向量||||αα是一个单位向量, 因为1.||||=αα用非零向量α的长度去除向量α, 得到一个单位向量, 这一过程通常称为把向量α单位化.向量的长度具有下述性质：(1) 非负性 ||||0,≥α且||||00;=⇔=αα (2) 齐次性 |||||||||;k k =αα(3) 三角不等式 ||||||||||||.+≤+αβαβ另外, 可以证明向量的内积满足柯西-施瓦兹（Chauchy-Schwarz ）不等式[][][]2,,,,≤αβααββ这里不予证明. 由此成立[],1|||| ||||≤αβαβ （当,≠≠00αβ时）,于是, 可定义向量的夹角．定义3. 3 当||||0,||||0≠≠αβ时, 称[],arccos|||| ||||=αβθαβ为n 维向量α与β的夹角．定义3. 4 当向量α与β满足[],αβ=0时, 则称向量α与β正交． 显然, 若,=0α则α与任何向量都正交． 定义3. 5 若12,,,r ααα是一个非零向量组, 且12,,,r ααα中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组．例如, nR 中单位向量组()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是正交向量组.定理3. 1 若n 维向量12,,,r ααα是一组两两正交的非零向量, 则该向量组线性无关．证明 设有12,,,r k k k 使得11220,r r k k k ++=ααα用(1,2,,)i i r =α与上式两端作内积, 得1122(,)(0,),r r i i k k k ++=ααααα即1122(,)(,)(,)(,)0.i i i i i r r i k k k k ++++=αααααααα由于i α与1211,,,,i i r -+ααααα均正交, 即,0,1,2,,1,1,,,i j j i i r ⎡⎤==-+⎣⎦αα所以有[],0i i i k =αα, 再有0,i ≠α得0, 1,2,,.i k i r ==所以, 12,,,r ααα线性无关．例3. 1 已知3维向量空间3R 中两个向量()()121,1,1,1,2,1TT==-αα正交, 试求一个非零向量3α, 使123,,ααα两两正交．解 记 12111,121T T A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα则3α应满足齐次方程=0Ax , 即1231110,1210x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭由111101,121010A ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得132,0,x x x =-⎧⎨=⎩ 从而有基础解系()1,0,1T-．则取()31,0,1Tα=-即为所求．定义3. 6 设n 维向量12,,,r e e e 是向量空间()n V V R ⊂的一个基, 如果12,,,r e e e两两正交, 且都是单位向量, 则称12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基（或标准正交基）．例如 n 维向量()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是n R 的一个规范正交基．再如1234,,,⎫⎫⎛⎛====⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝T T T Te e e ε就是4R 的一个规范正交基．若12,,,r e e e 是V 的一个规范正交基, 那么V 中任一向量α都能由12,,,r e e e 线性表示, 设表示式为1122,αλλλ=+++r r e e e为求出其系数(1,,)i i r λ=, 可用i e 与上式两端作内积, 有[],.=i i e λα这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式．利用这个公式能方便的求出向量的坐标, 因此, 我们在给向量空间取基时常常取规范正交基．设12,,,r ααα是向量空间V 的一个基, 要求V 的一个规范正交基. 也就是要找一组两两正交的单位向量12,,,,r e e e 使12,,,r e e e 与12,,,r ααα等价. 该过程称为把12,,,r ααα规范正交化．我们可以用以下的办法把12,,,r ααα规范正交化, 具体的步骤为：(1) 正交化：取[][][][][][][][]112122111121121112211;,;,,,,,,,,----==-=----r r r r r r r r r βααββαββββαβαβαβαβββββββββ容易验证12,,,βββr 两两正交, 且12,,,βββr 与12,,,r ααα等价．(2) 单位化：取112212111,,,,===r r re e e ββββββ则12,,,r e e e 就是向量空间V 的一个规范正交基．上述从线性无关向量组12,,,r ααα导出正交向量组12,,,βββr 的过程称为施密特正交化过程．它不仅满足12,,,βββr 与12,,,r ααα等价, 还满足：对任何(1)≤≤k k r ,向量组12,,,βββk 与12,,,k ααα等价．例 3. 2 设1231142,3,1,110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解 正交化：取[][][][][][]112122111313233121122;1,51;,311,,20.,,1=-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭βααββαβββαβαββαββββββ再单位化, 取3121231231112,1,0,111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪======⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭e e e ββββββ 则123,,e e e 即为所求．二、正交矩阵定义3. 7如果n 阶实矩阵A 满足T AA E =（即1T A A -=）,那么, 称A 为正交矩阵, 简称正交阵. 显然, n 阶单位矩阵E 是正交矩阵.由正交矩阵的定义, 显然有下面的的性质：(1) 如果A 为正交矩阵, 则1TA A -=；(2) 如果A 为正交矩阵, 则1()TA A -也是正交矩阵；(3) 如果,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵． (4) 正交矩阵的行列式等于1或－1．定理3. 2 n 阶矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是它的列（行）向量组是单位正交向量组．证明 设A 是实矩阵, 它的列向量组为12,,,n ααα, 则A 与T A 可表示为1212(,,,),,T T T n T n A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααααα于是[][][][][][][][][]111212122212,,,,,,,,,,n n T n n n n A A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα因此, T A A E =的充分必要条件是1,;,0,.i j i j i j =⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩αα当当即A 的列向量组是单位正交向量组．又A 正交时, T A 也正交, 因此A 是正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组是单位正交向量组．例3. 3 判断下列矩阵是否为正交阵 (1) 1001⎛⎫⎪-⎝⎭； (2) 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) 184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；(4) 0⎛ ⎝； (5) 1112310121112⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(6) 0⎛ ⎝． 解 (1)、(2)、 (3)、 (4)都是正交矩阵．因为它们的列向量组都是单位正交向量组． (5)、（6）都不是正交矩阵．因为它们的第一列都不是单位向量． 定义3. 6 若P 为正交矩阵, 则线性变换=y Px 称为正交变换.设=y Px 为正交变换, 则有||||||||.y x =====这说明正交变换后向量的长度保持不变, 这是正交变换的优良特性.习题4. 31. 已知()()1,2,1,1,2,3,1,1,TT=-=-αβ求[][],,32,23,--αβαβαβ||||α||||,βα与β的夹角．2. 设()()1,1,2,1,0,1,TT=-=-αβ求与,αβ等价的标准正交向量组.3. 设()()()123123,3,3,3,3,,3,,3,(,,),TTTk k k A m ====αααααα求,,m k 使A 为正交阵.§4. 4实对称矩阵的对角化从上一节我们看到, 一般的矩阵并不一定可对角化. 本节专门讨论一种特殊的方阵——实对称矩阵，这种矩阵一定可对角化, 并且还能正交相似于对角矩阵. 定理4.1 实对称矩阵的特征值为实数.证明 设λ是实对称矩阵A 的特征值, α为对应的特征向量. 即,0,A αλαα=≠以λ表示λ的共轭复数, α表示α的共轭复向量,则()().A A A αααλαλα====于是有(),T T TA A ααααλαα==及()()(),TTTTT TA A A ====ααααααλααλαα以上两式相减, 得 ()0,Tλλαα-=因为0,≠α所以0.Tαα≠，故λλ=即λ为实数.对实对称矩阵A , 因其特征值λi 为实数, 故方程组()0i A E x -=λ是实系数方程组,由0i A E -=λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理 4.2 设12,λλ是实对称矩阵A 的两个特征值, 12,αα 依次是它们对应的特征向量. 若12,≠λλ则1α与2α 正交.证明 111,=A αλα222,=A αλα 12,≠λλ 故12212().T TA ααλαα=因A 对称, 故1212112112()()(),T T T T A A ααααλααλαα===于是()12120.T λλαα-=因12≠λλ，故120,=Tαα即1α与2α正交.定理 4.3设A 为n 阶对称矩阵,λ是A 的特征方程的t 重根, 则矩阵-A E λ的秩()-=-λR A E n t ，从而特征值λ恰有t 个线性无关的特征向量. 证明 略定理4.4 设A 为n 阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使1P A P Λ-=, 其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.证明 设A 的互不相等的特征值为12λλλm ，，，，它们的重数依次为12,,m t t t ，， 于是12m t t t n +++=. 根据定理4. 1及定理4. 3知, 对应特征值i λ恰有i t 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化, 即得(1,2,,)i t i m =个两两正交的单位特征向量, 由12m t t t n +++=知这样的特征向量恰有n 个. 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交, 故这n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成正交矩阵,P 并有1.P A P Λ-=其中对角矩阵Λ的对角元素含i t 个(1,2,,),i i s =λ恰是A 的n 个特征值.根据定理4. 3及定理4. 4, 我们有下述把对称阵A 对角化的步骤：（1）求出A 的全部互不相等的特征值12m λλλ，，，，它们的重数依次为1212,,().m m t t t t t t n +++=，（2）对每个i t 重特征值i λ, 求方程()0-=i A E x λ的基础解系, 得i t 个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化, 得i t 个两两正交的单位特征向量. 因12,m r r r n +++=故总共可得n 个两两正交的单位特征向量.（3）把这n 个两两正交的单位特征向量为列构成正交阵,P 便有1.TP AP P AP -==Λ 注 Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应.例4. 1 设500021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一正交矩阵P 使得1.P AP -=Λ解 A 的特征多项式为500021(1)(3)(5),012A E λλλλλλλ--=-=----故A 的特征值为12313 5.===，，λλλ 对11=λ, 由12340000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得10.p ⎛⎫⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ 对23=λ, 由12320000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得20.p ⎛⎫⎪= 对35=λ, 由12300000310,0130x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12310,0x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得30.0p ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭将123,,p p p 构成正交矩阵123001(,,)0,0⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭P p p p 则 .5311⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-AP P AP P T例4. 2设111111111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求一正交矩阵P 使1-=ΛP AP .解 A 的特征多项式为2111111(3),111A E λλλλλλ--=-=--故A 的特征值为1230, 3.===λλλ对120==λλ, 解齐次线性方程组(0)0,-=A E x 求得基础解系为:12111,0,01ξξ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭经过施密特正交化, 再单位化得12,.0⎛⎛--==- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p 对33=λ, 解齐次线性方程组3)0,-=A E x （求得基础解系为31,1ξ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭单位化得3.=p 取123(,,),0P p p p ⎛== ⎝则.3001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-AP P AP P T例4. 3 设2112-⎛⎫=⎪-⎝⎭A , 求nA解 因A 对称, 故A 可对角化, 即有可逆矩阵P 及对角阵Λ, 使1.Λ-=P AP 于是1,Λ-=A P P 从而1.Λ-=n n A P P由 22143(1)(3),12λλλλλλλ---==-+=----A E得A 的特征值为121, 3.==λλ于是1010,0303ΛΛ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n 对应11,=λ 由()0,-=A E x 解得基础解系为111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应23,=λ 由(3)0,-=A E x 解得基础解系为211ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭.并有1211(,)11ξξ⎛⎫==⎪-⎝⎭P , 再求出1111.112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭P 于是1111011131311110311221313-⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n nnn n n A P P Λ. 习题4. 41. 试求一个正交矩阵P , 将下列对称矩阵化为对角矩阵.(1) 400031013⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭; (2) 222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭. 2. 设A 为三阶实对称矩阵, 特征值是1,1,0.-而11=λ和21=-λ的特征向量分别是21,1,113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a a a a 求矩阵A . 3. 设三阶对称矩阵A 的特征值为6,3,3,特征值6 对应的特征向量为1(1,1,1),=Tp 求A .4. 设142034,043⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 求100.A§4.5 应用举例例5. 1 社会调查表明, 某地劳动力从业转移情况是：在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作, 在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作. 到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5, 试预测到2015年底该地劳动力从业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．解 到2011年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比分别为1114;45205⨯+⨯31194.45205⨯+⨯ 如果引入2 阶矩阵(),ij A a =其中121/20a =表示每年非农从业人员中有1/20改为从农工作. 213/4a =表示每年从农人员中有3/4改为从事非农工作. 于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20/194/320/14/1A再引入 2 维列向量, 其分量依次为到某年底从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比．如向量1/54/5X ⎛⎫=⎪⎝⎭表示到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5．那么, 2011年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出1/41/201/53/419/204/5AX ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1114452053119445205⎛⎫⨯+⨯⎪= ⎪ ⎪⨯+⨯ ⎪⎝⎭9/10091/100⎛⎫= ⎪⎝⎭于是, 到2015年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为5,A Xk 年后该地劳动力的从业情况可由计算k A X 而得.矩阵A 的特征多项式)1)(15(20194320141||--=--=-λλλλλE A得A 的特征值121/5, 1.λλ==所以A 能与对角矩阵相似.求特征值11/5λ=对应的特征向量为：11⎛⎫⎪-⎝⎭求特征值21λ=对应的特征向量为：115⎛⎫⎪⎝⎭取矩阵11,115P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则P 为可逆矩阵, 且使得11/50.01P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为11511,1116P --⎛⎫=⎪⎝⎭所以 555111/50(1/5)0,0101A X P P X P P X --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)5/1(151115⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11115161⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5/45/1 66111151116155⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪- ⎪⎝⎭类似的, 第k 年底该地劳动力的从业情况为111511/5(1/5)01115114/51601kk A X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++11511155111161545151515511155115151161k k k k k k 按此规律发展, 多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于16/10011594/10016⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的6/100 和 94/100.例5. 2 在1202年, 裴波那契在一本书中提出一个问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖, 每个月生出一对后代, 现在有一对新生兔子, 假设兔子只繁殖, 没有死亡, 那么问每月月初会有多少兔子？解 假设这对兔子出生时记为零月份, 这时只有一对兔子, 一个月后即1月初, 这对兔子还未开始繁殖, 所以依然是一对兔子, 2月初, 它们生了一对兔子, 因此, 此时有两对；3月初, 它们又生了一对兔子, 而在1月初生下的那对兔子还未繁殖, 故此时共有3对, ……, 依次下去, 有1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …,这一数列称为裴波那契数列.设第n 月初有n x 对兔子, 则有12.n n n x x x --=+这是一个递推公式, 显然01 1.x x == 将上式用矩阵表示, 有11101.11n n n n n n n x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记101,,11n n n x X A x +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么0011,1x X x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且21201.1n n n n n X AX A X A X A --⎛⎫===⋯== ⎪⎝⎭易知A的特征值为121122-==λλ 属于1λ的特征向量为()111,T =ξλ属于2λ的特征向量为()221.T=ξλ令()121211,P ⎛⎫== ⎪⎝⎭ξξλλ那么1120.0P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭λλ而21112211211111,111P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλλλλλλλ于是1111212212211111212222212121211111111 =,n n n n n n n n n n n n X A P P -++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪---⎝⎭⎭λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以111112).n n n n n x ++++⎛⎫⎪=-=-⎪⎝⎭⎝⎭⎭λλ 这就是裴波那契数列的卢卡斯通项公式.习题四1. 求与()()()1231111,1111,2113TTTααα=-=--=正交的单位向量．2. 试用施密特正交化方法把下列向量组正交化：(1) 1231021,1,0123ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2) 123111011,,101110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 判断下列矩阵是不是正交矩阵, 并说明理由.(1)10;332263⎛ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(2)11123111.2211132⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭4. 设,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵.5. 求下列矩阵的特征值与特征向量（1）211031;213-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）001010;100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）11111111;11111111⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭ （4）10000100;00010000a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6. 设,A B 为n 阶方阵, A 可逆, 证明AB 与BA 有相同的特征值．7. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 2, 1, 求*32A A E ++.8. 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1p 和2p , 证明12p p +不是A 的特征向量.9. 设21253,102A b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭已知A A ,1-=的伴随矩阵*A 特征值0λ所对应的特征向量T )1,1,1(--=α, 求0λ和b 的值.10. 已知111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵21153143A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量. (1) 求参数,a b 及特征向量p 所对应的特征值; (2) 问A 能不能相似对角化？并说明理由.11. 设110220,421A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求kA12. 设n 阶方阵A 的秩为,r A A =2． （1）求A 的特征值;（2）证明E A -的秩为();n R A -（3）证明A 可相似于对角矩阵, 并写出对角矩阵.13. 设A 为3阶矩阵, 12,αα为矩阵A 的分别属于特征值 1和1 的特征向量, 3α满足323A ααα=+, 证明 123,,ααα线性无关.。
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
第5章矩阵对角化自测题答案 (4)
内容提要：一、方阵的特征值与特征向量 1、定义：)0(≠=ξλξξA 2、特征值与特征向量的求法（1）求特征多项式E A λ-的全部根，它们就是A 的所有特征值。
（2）对于A 的每个特征值λ，解方程组0)(=-X E A λ，A 的属于λ的全部特征向量就是该齐次线性方程组的全体非零解。
3、特征值与特征向量的性质 （1）若λ是A 的特征值，则n n n n a a a a f ++++=--λλλλ1110)( 必为=)(A f E a A a A a A a n n n n ++++--1110 的特征值。
（2）设A 为可逆矩阵，λ是A 的特征值，则0≠λ，并且λ1是1-A 的特征值，λA是*A 的特征值。
（3）若n n ij a A ⨯=)(为n 阶方阵，n λλλ ,,21是A 的n 个特征值，则 1) ）的迹（trA 221121A a a a nn n →+++=+++ λλλ 2)A 21=n λλλ（4）设A 为n 阶方阵，则A 的属于不同特征值的特征向量必线性无关。
二、相似矩阵1、定义：B AP P =-1，记作B A ~。
2、相似矩阵的性质（1）相似矩阵具有相同的秩和相同的行列式。
（2）相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。
3、方阵对角化（1）方阵相似于对角矩阵的条件：n 阶方阵A 相似于对角矩阵⇔A 的k 重特征值λ有k 个线性无关的特征向量。
（2）求与方阵A 相似的对角矩阵及相似变换矩阵。
《线性代数》单元自测题答案第五章 矩阵对角化一、 填空题：1．设方阵A 的行列式0=A ，则 0 一定是A 的特征值． 分析 设n λλλ ,,21是A 的特征值，因为A 21=n λλλ ， 若0=A ，则n λλλ 21 中至少有一个等于0.2．设A 为3阶方阵，A 的三个特征值为1，2，3，则A A 42-= -36 ． 分析 设A A A f 4)(2-=，因为A 的三个特征值为1，2，3，于是)(A f 的特征值为,3141)1(2-=⋅-=f ,4242)2(2-=⋅-=f ,3343)3(2-=⋅-=f故A A 42-=.36)3)(4)(3(-=---3．设A 的每行元素的和均为6，则 6 必为A 的一个特征值，及 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 为一个属于此特征值的特征向量．分析 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，则 .1116666111111212222111211212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 4. 若方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=26025041a A 可对角化，则=a -2 ． 分析 )23)(1(2625)1(26025041||2+--=-----=------=-λλλλλλλλλλaE A)2()1(2---=λλ 故A 的特征值为.2,1321===λλλ当121==λλ时，解方程组0)(=-X E A ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00036024040321x x x a 。
矩阵的对角化
§6.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A为n阶方阵，若数和n维非零列向量x , 使
Ax x (1)
则称为A的特征值, x为A的对应于特征值 的. 特征向量.
(1)式改写：(A E)x 0
1 1
,
1
AE 0
E
1 0
0 1
,
1 (1 )2 ,
1
1
E E 0
0 (1 )2 ,
1
而与E相似的矩阵仍为E, [P1EP E]
但A E, 故A不可能与E相似.
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
O
n
相似，则 1, 2 ,L , n 即为A的n个特征值.
1
则称为A的特征值, x为A的对应于特征值 的. 特征向量.
(1)式改写：(A E)x 0
(2)
齐次线性方程组有非零解 A E 0 (3) 即：
(特征方程)
注： A的特征值即为A的特征方程的根，在复数范围内，
n阶方阵A有n个特征值（重根按重数计）.
二、特征值与特征向量的求法
(1) 求出Ann的特征多项式 A E (2) 求出特征方程 A E 0的全部根1, 2 , L n ,
证：" " 设有可逆矩阵P，使P1AP diag{1, 2 ,L , n}
P各列依次记为：p1, p2 ,L , pn ,
则：A( p1, p2,L , pn ) ( p1, p2 ,L , pn ) diag{1, 2 ,L , n} ( Ap1, Ap2 ,L , Apn) (1 p1,2 p2L, ,n pn) 即 Api i pi , (i 1, 2,L , n)
5 线性变换的对角矩阵
, n , 写出 在这个
23
(4) 将所有基础解系的解向量1 ,2 ,
,n 作列
向量构成矩阵C , 则C 可逆, 且C 1 AC 为对角阵,
的主对角线上元素就是A的所有特征值. (5) 于是 在基1 ,2 , ,n 下矩阵是对角阵 .
而 (1 ,2 , ,n ) (1 , 2 , , n )C .
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8
在一个线性变换没有n个不同的特征值的情形 如何判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形?
为此,把定理 8 推广为
定理 9 设1 , 2 , 特征值, i 1 , i 2 , 向量, i 1, 2, , k1 ,
, k 是线性变换 的不同的 , 1r1 , 21 , , 2 r2 ,
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10
推论 3 设 是n维线性空间V 的线性变换, 1 ,
2 ,
, r 是 的全部不同的特征值, 则 在某一组 ,Vr 的维数之和等于空间的维数n.
1 A . n
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基下的矩阵成对角形的充要条件是 的特征子空 间V1 ,V2 ,
如果 在V 的一组基下的矩阵是对角矩阵, 则 称 可对角化. 设A P
n n
, 如果存在可逆阵X , 使得
2
X 1 AX 是对角矩阵, 则称A可对角化.
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二、对角化的条件
定理7 设 是n维线性空间V 的一个线性变换,
在V 的某组基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条 件是 有n个线性无关的特征向量. 证 设 在基 1 , 2 , , n下具有对角矩阵
第5-6章矩阵对角化习题课
第5-6章习题课
7/38
即
rank( A 2 E ) rank( A 3E ) 5.
而 rank(A 2E) 2, 故 rank(A 3E) 3. 因 A 为实对称矩阵, 故可对角化, 从而, 每个特征值的代数重数等于其几何重数. 由 rank(A 2E) 2 知 2 的几何重数、代数重数为 3. 由 rank(A 3E) 3 知 3 的几何重数、代数重数为 2.
第5-6章习题课
一、 基本要求
二、典型例题分析
第5-6章习题课
2/38
一、 基本要求
1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 熟 练掌握求特征值和特征向量的方法. 2. 理解相似矩阵的概念和性质, 了解相似对角化的条 件, 掌握相似对角化的方法. 3. 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质, 掌
握实对称矩阵的正交相似对角化方法.
第5-6章习题课
3/38
4. 理解二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念,
理解合同矩阵的概念.
5. 理解二次型的标准形, 掌握化实二次型为标准形的
正交变换法, 会用配方法化二次型为标准形, 知道
用合同初等变换法. 6. 理解实二次型的规范形, 了解惯性定理以及实二次 型的正惯性指数、负惯性指数.
其中0 , 1,
于是
, n1为 A 的特征值.
第5-6章习题课
18/38
A 0 E P diag(0 , 1, , n1 ) P 1 P(0 E) P 1 Pdiag(0, 1 0 , , n1 0 ) P 1, ( A 0 E)2 Pdiag(0,(1 0 )2 , ,(n1 0 )2 ) P 1 .
线代教案第5章 矩阵的相似对角化
x1λ1 p1 + x2λ2 p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ x p k+1 k+1 k+1 = 0
（2）
λk+1 × (1) 式有： x1λk+1 p1 + x2λk+1 p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + λ x p k+1 k+1 k+1 = 0
（3）
（2）-（3）： x1 (λ1 − λk+1 ) p1 + x2 (λ2 − λk+1 ) p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xk (λk − λk+1 ) pk = 0
a11 − λ 方程 A − λE = a21
a12 a22 − λ
a1n a2n = 0 是关于 λ 的一元 n 次方程，称
an1
an2
为 A 的特征方程。
ann − λ
f (λ) = A − λE 是关于 λ 的一个 n 次多项式，称为 A 的特征多项式。
这样一来，特征值 λ 就是特征方程的根，也是特多项式的零点。若求出 A 的
因 p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅ pk 线性无关，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 x1 (λ1 − λk+1 ) = x2 (λ2 − λk+1 ) = ⋅ ⋅ ⋅ = xk (λk − λk+1 ) = 0
x1 = x2 = ⋅ ⋅ ⋅ = xk = 0 ，进一步，由（1）有 xk+1 = 0
故 p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅ pk , pk+1 线性无关。另一证法：见教材。
ϕ( A) = 0 ⇔ ϕ(λ) = 0
（7）设 λ1, λ2 , , λn是n 阶方阵 A = (aij ) 的全部特征值，则
矩阵对角化问题
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2 (2) A E
3
1 3 0
2 3 2
5 1
2 1 2 A 5 3 3 1 0 2
1 0
3 A E 5 1
1 2 3 1.
2
2 4 2
(1) A E 2
2 7 0
得 1 2 2, 3 7
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当 1 2 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
1 2 2 1 2 2 A 2 E 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 2 2 p1 1 , p2 0 . 得基础解系 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 1 0 8 2 2 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
(1)求出A的所有特征值 1 , 2 ,, t , 其重数分别为 n1 , n2 ,, nt , (2)对每一个 i , 求出 (i E A) x 0的基础解系 i 1 , i 2 ,, i ,
ni
从而得对应 i 的 ni 个线性无关的特征向量
i1 , i 2 ,, i , 其中i 1,2,, t.
第五章 矩阵对角化问题
1. 方阵对角化的概念 对n 阶矩阵 A ， 寻找相似变换矩阵 P ，使
P 1 AP (为对角阵)
这就称为把方阵 A 对角化. 说明 如果能找到可逆矩阵 P ，使 P 1 AP ，则 A可对角化；
§5.2相似矩阵与相似对角化
《线性代数》
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定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； (2)相似矩阵的行列式相等； (3)相似矩阵的迹相等； (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似.
结束
充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 从而有 (Ax1, Ax2, , Axn) =(l1x1, l2x2, , ln xn)，
l1 0 0
-3 -6 1
1
0
1
且有Ax1=-2x1， Ax2=x2， Ax3=x3，向量组是A的线性无关的
特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
P-1AP= diag(-2, 1, 1) .
《线性代数》
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
=(l2)2(l-4)=0，
矩阵A的特征值为
l1=l2=-2, l3=4，
对于特征值l1=l2=-2, 解线
性方程组(-2E-A)X=o，
1
-1
得其基础解系x1= 1 , x2= 0 .
0
1
解：(1) 矩阵A的特征方程为
3
-1 1 1
所以
线性代数第5章 矩阵的特征值与矩阵的对角化
特征向量为 kp1 (k 0)
为
x1 x2
x3 0
0
即
x1 x2
x3 0
对 2 3 2 ，解 方程组
取 x3 为自由未知量，并令 x3 =c
x1 则 x2
x3
c 0 即 c
x1 x2 x3
1
c
10
取
p1
1 0 1
而
(A 2E)x 0
4
A
2E
0
1 0
1 0
P的列向量组 p1, p2 ,..., pn 就是与特征值 1,2 ,...,n 相对应
的A的线性无关特征向量。
推论. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A相 似于对角阵。
若A可对角化，求对角阵及相似变换矩阵P的方法，如下：
（1）求出A的全部特征值 1,2 ,...,n ，得到对角阵的 主对角线上的元素。
1 0
同解方程组为 x1 x2 0 ，取基础解系为 p2 (1,1)T , 取
则有
1
P
(
p1 ,
p2
)
2
1
1 1
1 2 A 4 3
P1 AP
5 0
0 1
23
第三节 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的对角化 相关示例
一. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵 可取为正交矩阵。
特征向量在中的位置要相对应，即对角阵中第i行j列的特 征值i ，相应的特征向量 pi 应位于P中的第i列。
二. 相关示例
例.
设
A
1 4
2 3
求P，使 P1AP为对角矩阵。
解：（1）求A的特征值及相应的线性无关特征向量。
对角矩阵(高等代数课件)
1 2 D
n
则 1） 的特征多项式就是
f ( ) 1 2
n
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一
确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算).
§7.5 对角矩阵
三、对角化的一般方法
1 0 0 0 1 0 ; 0 0 1
§7.5 对角矩阵
1 0 1 0 1 0 . 1 ,2 ,3 1 , 2 , 3 1 0 1
即基 1 , 2 , 3 到 1 ,2 ,3 的过渡矩阵为
设 为维线性空间V的一个线性变换， 1 , 2 ,
为V的一组基， 在这组基下的矩阵为A.
, n
步骤:
1° 求出矩阵A的全部特征值 1 , 2 ,
, k .
2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组
i E A X 0,
i 1.2.
k
的一个基础解系（此即 的属于 i 的全部线性无关 的特征向量在基 1 , 2 ,
解: A的特征多项式为
3 2 1 E A 2 2 2 3 6 1
12 16 2 4
3 2
得A的特征值是2、2、-4 1 2 1 x1 0 2 4 2 x 2 0 3 6 3 x 0 3
1 , 2 , n 就是 的n个线性无关的特征向量.
§7.5 对角矩阵
反之，若 有 n 个线性无关的特征向量 1 ,2 ,
,n ,
那么就取1 ,2 ,
是对角矩阵.
,n 为基，则在这组基下 的矩阵
考研数学线代5矩阵的对角化
a1b1 a2b2 an bn ，再由前面特征值
的性质： 1 2 n a11 a22 ann 从而可得：
T
a1b1 a2b2 an bn 是 A 的特征值，重数是 1，而 0 特征值其重数
0 特征值对应的特 a1b1 a2b2 an bn 对应的特征向量是 k；
2 3 2 0，注意 0， 2 3 2 0 1或 2 。
例2 设
A是n阶矩阵（A是实对称矩阵）P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A 的属于
特征值 的特征向量，则矩阵 P 1 AP 属于特征值 的特征向量是：
T
（1） P 1 ； （3） P ；
矩阵的对角化
一 、矩阵的特征值和特征向量 1 定义： A 是一个 n 捷矩阵， 是一个非零列向量，若存在一个数 0 ，使得：
A 0
则称 0 是 A 的特征值， 称为属于 0 的特征向量。 2 相关的概念 （1）特征矩阵： E A; （2）特征多项式： f ( )
E A ; E A 的根，也就是特征值；
1 2 n a11 a22 ann tr ( A)
1 2 n A
4 A 可逆的充分必要条件是 A 的特征值均不为 0；
，n 是 A 的特征值，则 E kA 的特征值为 k1， - k2 , - kn ， 5 若 1，2， E kA k1 k2 kn ；
， n 与 1， 2， ， n 的对应关系； 注意：上述中 P 的列向量 P的列向量 1， 2，
由此可以得到：
4 相似变换矩阵 P 不是唯一的，对角矩阵的形式不是唯一的。
对角矩阵、单位矩阵
对⾓矩阵、单位矩阵import numpy as np'''------------------------------------创建矩阵---------------------------''''''创建矩阵： 2维数组'''#a = np.mat("1,2,3;4,5,6;7,8,9")a1 = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])#使⽤mat()将array形式转换为矩阵a = np.mat(a1)print(a)'''[[1 2 3][4 5 6][7 8 9]]'''print(a.__class__)#<class 'numpy.matrix'>print("-----\n")'''tril和triu都是返回array形式'''''' ------------------------------- triu()上三⾓矩阵 -------------------------''''''triu():提取矩阵上三⾓矩阵 (upper triangle of an array.)triu（m, k=0）m：表⽰⼀个矩阵k：表⽰对⾓线的起始位置（k取值默认为0）'''#k=0表⽰正常的上三⾓矩阵b = np.triu(a,0)print(b)'''[[1 2 3][0 5 6][0 0 9]]'''print(b.__class__)#<class 'numpy.ndarray'>b1 = np.mat(b)print(b1.__class__)#<class 'numpy.matrix'>print("-----\n")#k=1表⽰对⾓线的位置上移1个对⾓线c = np.triu(a,1)print(c)'''[[0 2 3][0 0 6][0 0 0]]'''print("-----\n")#k=-1表⽰对⾓线的位置下移1个对⾓线d = np.triu(a,-1)print(d)'''[[1 2 3][4 5 6][0 8 9]]'''print("-----\n")''' ------------------------------- tril()下三⾓矩阵 -------------------------''''''tril():提取矩阵下三⾓矩阵 (lower triangle of an array.)'''#k=0表⽰正常的下三⾓矩阵e = np.tril(a,0)print(e)'''[[1 0 0][4 5 0][7 8 9]]'''print(e.__class__)#<class 'numpy.ndarray'>print("-----\n")#k=1表⽰对⾓线的位置上移1个对⾓线e = np.tril(a,1)print(e)'''[[1 2 0][4 5 6][7 8 9]]'''print("-----\n")#k=-1表⽰对⾓线的位置下移1个对⾓线g = np.tril(a,-1)print(g)'''[[0 0 0][4 0 0][7 8 0]]'''print("-----\n")''' -------------------------------------对⾓线--------------------------''''''diagonals:处理对⾓线函数numpy.diag()返回⼀个矩阵的对⾓线元素numpy.diag(v,k=0)返回：以⼀维数组的形式返回⽅阵的对⾓线（或⾮对⾓线）元素两次使⽤：np.diag()将数组类型转化为矩阵:mat()'''print(a)'''[[1 2 3][4 5 6][7 8 9]]'''print(a.__class__)#<class 'numpy.matrix'>print("-----\n")'''使⽤⼀次np.diag()：⼆维数组提取出对⾓线上的元素返回⼀维数组'''#k=0 正常的对⾓线的位置h = np.diag(a, k=0)print(h)#[1 5 9]#返回⽅阵的对⾓线元素print(h.ndim) #1print(h.__class__)#<class 'numpy.ndarray'>#将数组转为矩阵形式h1 = np.mat(h)print(h1.__class__)#<class 'numpy.matrix'>print("-----\n")#k=1表⽰对⾓线的位置上移1个对⾓线i = np.diag(a, k=1)print(i)#[2 6]print(i.__class__)#<class 'numpy.ndarray'>print("-----\n")#k=-1表⽰对⾓线的位置下移1个对⾓线j = np.diag(a, k=-1)print(j)#[4 8]print("-----\n")'''使⽤两次np.diag() 获得⼆维矩阵的对⾓矩阵先将主对⾓线的元素提取出来，形成⼀维数组再将⼀维数组中的每个元素作为主对⾓线上⾯的元素形成⼆维数组'''print(k)'''[[1 0 0][0 5 0][0 0 9]]'''#除对⾓线以外的元素均为零print(k.ndim) #2print("-----\n")'''⼀维数组'''#⼀维数组将数组中的每个元素作为对⾓线上元素形成⼆维数组; l = np.array([1,2,3,4])l1 = np.diag(l)print(l1)'''[[1 0 0 0][0 2 0 0][0 0 3 0][0 0 0 4]]'''print("-----\n")l2 = np.diag(l1)print(l2)#[1 2 3 4]print("-----\n")m1 = np.tril(a, k=0)print(m1)'''[[1 0 0][4 5 0][7 8 9]]'''print("-----\n")m2 = np.tril(a, k=1)print(m2)'''[[1 2 0][4 5 6][7 8 9]]'''print("-----\n")m3 = np.tril(a, k=-1)print(m3)'''[[0 0 0][4 0 0][7 8 0]]'''print("-----\n")m4 = m1-m2print(m4)'''[[ 0 -2 0][ 0 0 -6][ 0 0 0]]'''print("-----\n")'''正常的下三⾓减去下三⾓'''m = m1 - m3print(m)'''[[1 0 0][0 5 0][0 0 9]]'''print("-----\n")'''--------------------------------------单位矩阵----------------------------''' '''创建单位矩阵借助identity（）函数n*n的单位数组返回数组类型help(np.identity)'''identity(n, dtype=None)接受的参数有两个:第⼀个是n值⼤⼩，第⼆个为数据类型（默认float） out : ndarray`n` x `n` array with its main diagonal set to one,and all other elements 0.主对⾓线元素为1，其他元素均为零'''print("-----\n")n = np.identity(3)print(n)'''[[1. 0. 0.][0. 1. 0.][0. 0. 1.]]'''。
矩阵的对角化及二次型
第五章矩阵的对角化及二次型说明与要求:在矩阵分析和一些经济问题的计算中往往可归结为如下的数学问题：对于n⨯n矩阵A，求数λ和非零的n维向量α，使关系式Aα=λα成立．这样的数称为A的特征值，α称为特征向量．本章介绍矩阵的特征值及特征向量的概念、计算方法以及它们的一些基本性质，并讨论一些与它们有关的矩阵问题．本章的中心问题是研究矩阵的相似对角化，而在研究过程中，矩阵的特征值和特征向量是一个有力的工具，而且这些概念本身也是很重要的．我们要深刻理解矩阵的特征值和特征向量的概念、熟练掌握求特征值和特征向量的方法．对于抽象给出的矩阵要会用定义求解(实际是求特征值的取值范围)；对于具体数字给出的矩阵，一般先从特征方程|λA-E|=0求出特征值，再解齐次线性方程组(λA-E)X=0，基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量．相似对角化是重点，要掌握相似矩阵的概念和矩阵对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别．既要能求出矩阵A的相似对角矩阵Λ(当A可对角化时)，又要会用特征值、特征向量、相似、可对角化等确定A的参数．会利用对角化求A m．知道非负矩阵的定义及有关性质．二次型指的是数域P上的n元二次齐次多项式，它的研究起源于解析几何中化二次曲面的方程为标准形式的问题．二次型不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到．在这一章里，我们用学过的矩阵知识来讨论二次型的一些最基本的性质．二次型与实对称矩阵之间有一一对应的关系．一方面，二次型的问题可以用矩阵的理论与方法来研究；另一方面，实对称矩阵的问题也可转化成二次型的思想方法来解决．本章的另一中心问题是化二次型为标准形和二次型的正定性．学习时，应在掌握二次型的矩阵表示的基础上，熟练掌握化标准形的方法(配方法、初等变换法和正交变换法)．以及二次型正定的充要条件和正定性的判定．用正交变换法化二次型为标准形与实对称矩阵正交相似对角形是同一个问题，而以两种形式出现．若用正交变换化二次型X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ既相似又合同，Λ由A的特征值所组成．若用配方法化X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ仅仅是合同．此时对角矩阵Λ的元素不唯一．。
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推论2 推论2
在复数域上的线性空间中，如果线性变换A 的特 征多项式没有重根，则A 在某组基下的矩阵是对角形 的. 证明： 证明：由复数域上任一个n次多项式都有n个根， 及推论1立得.
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定理9 定理9
如果 λ1 , λ2 ,L, λk 是线性变换A 的不同的特征值， 而 α i1 ,L,α iri 是属于特征值 λi 的线性无关的特征向量，
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代入(1)式得
ak +1ξ k +1 ≠ 0.
又因为ξ k +1 ≠ 0, 所以有 从而
ak +1 = 0.
故ξ1 , ξ 2 ,L, ξ k 线性无关. 根据归纳法原理，定理得证.
a1 = L = ak = ak +1 = 0,
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推论1 推论1
如果在n维线性空间V中，线性变换A的特征多项 式在数域 P中有n个不同的根，即A 有n个不同的特征 值，则A 在某组基下的矩阵是对角形的. 证明： 证明：由定理8立得.
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则A 就有n个线性无关的特征向量组 ξ11 ,L, ξ1r1 ,L, ξ s1 ,L, ξ srs . 此时A 在上述向量组构成的基下的矩阵为对角形. 若
r1 + r2 + L + rs < n, 则A在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.
于是A在某一组下的矩阵成对角形的充分必要条 件是
注 A 在一组基下为对角形，即
λ1 λ2 A(ε1 , ε 2 ,L , ε n ) = (ε1 , ε 2 ,L , ε n ) O λn
基即为特征向量组， 对角矩阵上的对角元正好与特征向量的顺序一致.
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定理8 定理8
属于不同特征向量是线性无关的. 证明：对特征值的个数作数学归纳法. 证明：对特征值的个数作数学归纳法. 由于特征向量是不为零的，所以单个特征向量必 然是线性无关的. 现设属于k 个不同特征值的特征向量线性无关， 下证属于k +1个不同特征值 λ1 , λ2 ,L, λk +1 的特征向量 ξ1 , ξ 2 ,L, ξ k +1 也线性无关. 设 a1ξ1 + a2ξ 2 + L + ak +1ξ k +1 = 0, (1)
的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无 关的.即 设A 的所有两两不同的特征值分别为 λ1 , λ2 ,L, λs , 属于特征值 λi (i = 1,2,L, s ) 的线性无关的特征向量为
ξi1 ,L, ξir (i = 1, 2,L, s),
i
显然，它就是特征子空间 Vλi 的一组基，i = dimVλi 即为 r 特征值 λi 的几何重数，若 r1 + r2 + L + rs = n,
dimVλ1 + dimVλ2 + L + dimVλs = n.
即所有特征子空间的维数之和等于n.
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注2
根据注1的分析，结合特征多项式的根的个数的 讨论，我们可以得到一个线性变换的矩阵能为对角形 的必要条件. 当线性变换A在一组基下的矩阵A是对角形时： A = diag(λ1 , λ2 ,L, λn ). A的特征多项式就是 | λ E − A |= (λ − λ1 )(λ − λ2 )L (λ − λn ). 因此，如果线性变换A在一组基下的矩阵是对角形， 则主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正 是A的特征多项式全部的根（重根按重数计算）. 即A的特征值的个数（重数按重数计）为 n.
§5 对角矩阵
前面我们在引入特征值与特征向量之前，分析过 一个线性变换的矩阵可以在某一组基下为对角形的充 分必要条件.
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定理7 定理7
设A 是n维线性空间V 的一个线性变换，A 的矩阵 可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，A 有n个线性无关的特征向量. 证明： 证明： 设A 在基 ε1 , ε 2 ,L, ε n下具有对角矩阵
i = 1,2,L, k , 则
也线性无关.
α11 ,L,α1r ,L,α k1 ,L,α kr
1
k
证明： 证明：与定理8证明相类似，注意两点： （1） 对k用数学归纳法； （2）等式两边先用A作用，再用 λk +1 乘以等式两 端，比较两个等式即可用归纳假设.
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注1 对于一个线性变换，求出属于每个特征值
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例如，对于实数域上的线性空间，若线性变换A 的特征多项式只有 k 个根（重根按重数计算）. 当 k < n时，可以肯定A 的矩阵不可能是对角形. 但这仅仅一个是必要条件，换句话说，如果A的 特征多项式有n 个根（重根按重数计算），并不能肯 定A的矩阵就可以是对角阵. 转换为矩阵语言，一个n级矩阵的特征多项式有n 个根（重根按重数计算），A未必能相似于某个对角 1 1 形. 例如： A= . 0 1 A特征多项式为(λ − 1) 2 , 它有二重根1. 但显然A不能 相似于对角形. （为什么？） 为什么？）
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注3 一个线性变换的的矩阵能不能在一组基下
是不是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于 一个对角阵的问题. 本节所讨论的是前一个问题，当然这些结论都可 以平移到后一个问题.
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例 在§4的例2中，已经算出线性变换A 的特征 值是－1（二重）与5，而对应的特征向量是 ξ1 = ε1 − ε 3 , ξ2 = ε 2 − ε 3 , ξ3 = ε1 + ε 2 + ε 3 . 由此可见，A在基 ξ1 , ξ 2 , ξ3 下的矩阵为对角阵
(2) (3)
a1 (λ1 − λk +1 )ξ1 + a2 (λ2 − λk +1 )ξ 2 + L + ak (λk − λk +1 )ξ k +1 = 0,
由归纳假设， 1 , ξ 2 ,L, ξ k 线性无关，所以 ξ ai (λi − λk +1 ) = 0, i = 1,2,L, k . 但 λi − λk +1 ≠ 0(i ≤ k ), 所以 ai = 0, i = 1, 2,L, k .
1 0 1 而由 ε1 , ε 2 , ε 3 到ξ1 , ξ 2 , ξ3 的过渡矩阵是X = 0 1 1 . −1 1 1 于是， = X −1 AX . B
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−1 B= −1 . 5
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上式两端用A 作用得 A (a1ξ1 + a2ξ 2 + L + ak +1ξ k +1 ) = 0, 即 a1λ1ξ1 + a2λ2ξ 2 + L + ak +1λk +1ξ k +1 = 0, 另一方面，（1）式两端乘以 λk +1 得 a1λk +1ξ1 + a2λk +1ξ 2 + L + ak +1λk +1ξ k +1 = 0, (2)－(3)得
即 Aε i = λiε i , i = 1,2,L, n. 因此，1 , ε 2 ,L, ε n 就是A 的n个线性无关的特征向量. ε
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若A 有n个线性无关的特征向量 ε1 , ε 2 ,L, ε n , 则就取 ε1 , ε 2 ,L, ε n 为基，在这组基下A 的矩阵就是对 形.
λ1 λ2 O λn
即 ( Aε 1 , Aε 2 , L , Aε n )
= A (ε1 , ε 2 ,L , ε n ) = (ε1 , ε 2 ,L , ε n )diag(λ1 , λ2 ,L , λn ) = (λ1ε1 , λ2ε 2 ,L , λnε n )