重积分9-1

D
在薄片所占闭区域D 平面薄片的质量是面密度ρ ( x, y )在薄片所占闭区域D上的 二重积分： 二重积分： = ∫∫ ρ ( x, y )dσ . M
D
4 二重积分的几何意义： 1）如果 f ( x , y ) ≥ 0 , 则二重积分 ∫∫ 柱体的体积。 为曲顶柱体的体积。 2）如果 f ( x , y ) ≤ 0 , 则二重积分 ∫∫ f (x, y)dσ 解释 ）
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ ± ∫∫ g( x, y)dσ
D D D
性质3 区域可加性 如果闭区域D被有限条曲 区域可加性) 性质 (区域可加性 如果闭区域 被有限条曲 线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积 线分为有限个部分闭区域，则在 上的二重积 分等于在个部分闭区域上的二重积分的和. 分等于在个部分闭区域上的二重积分的和
(ξ i ,η i ) ，
作乘积 并作和
f (ξ i ,η i ) ∆σ i ，
( i = 1,2,L , n ) ，
∑ f (ξ i ,η i )∆σ i ，
i =1
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 λ 趋近于零 时， 这和式的极限存在， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数 f ( x , y ) 上的二重积分 二重积分， 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 ∫∫ f ( x , y )dσ ，
第一节 二重积分的概念及性质
一 二 三 四 问题的提出 二重积分的定义 二重积分的性质 小结
一、问题的提出
1 曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面 z = f ( x , y ) D,求此曲顶柱体的体积 求此曲顶柱体的体积。 底面为平面区域 D,求此曲顶柱体的体积 解：对区域D进行网状分割（如图） 对区域D进行网状分割（如图）
性质5 若在D上 f 性质 若在 上， ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则：
∫∫
D
f ( x , y )d σ ≤
∫∫
D
g ( x , y )d σ ,
特别地， 特别地，
Q − f ( x, y ) ≤ f ( x, y ) ≤ f ( x, y )
∴
∫∫
D
f ( x , y )d σ ≤
第九章 重积分
一元函数定积分是求与定义在某一区 间上的函数有关的某种总量的数学模型， 间上的函数有关的某种总量的数学模型， 作为推广， 作为推广，二元函数的二重积分是求与定 义在某一平面区域上的函数有关的某种总 量的数学模型， 量的数学模型，三元函数的三重积分是求 与定义在某一空间区域上的函数有关的某 种总量的数学模型， 种总量的数学模型，这些模型的数学结构 相同，都是和式的极限。 相同，都是和式的极限。
B(1,1)
解：BC的方程 的方程 D内 1 ≤ x + y ≤ 2, 内 所以
x+y=2
0 ≤ ln(x + y) < 1
A(1,0)
C(2,0)
ln( x + y )dσ ≥ ∫∫ [ln( x + y )]2 dσ ∫∫
D D
性质6（估值定理） 设在D上 的最大值为M， 性质 （估值定理） 设在 上f(x,y)的最大值为 ，最 的最大值为 小值为m， 为 的面积 的面积， 小值为 ，A为D的面积，即
例如 D = D1 + D2 , 则
∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ
D D1 D2
性质4 性质
如果在D上 如果在 上 f ( x, y) = 1
∫∫ 1d σ = ∫∫ d σ
D D
=σ
σ 为D 之面积
（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于 高为 的平顶柱体的体积在数值上等于 柱体的底面积。） 柱体的底面积。）
∆σ i
∆σ i = ∆x j ∆y k
故在直角坐标系中， 故在直角坐标系中，
直角坐标系下面积元素 dσ 图示
y
dσ = dxdy,
∫∫ f ( x , y )dσ
D
∫∫ f ( x, y )dxdy
D
D
∆σ i
0
∆x j
x
存在性： 在闭区域D上连续时， 2 存在性：当 f ( x, y )在闭区域D上连续时，函数 f ( x, y ) 在D上的二重积分必定存在。以后总假定f ( x, y ) D上 上的二重积分必定存在。 在 的二重积分是存在的。 3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数f ( x, y ) 由二重积分的定义可知： 在D上的二重积分 V = ∫∫ f ( x, y )dσ ,
x+y=1
(0,1)
3
y D . (3,0) x
∴∫∫( x + y) dσ ≤ ∫∫( x + y) dσ
2 D D
0 (1,0)
2） ∫∫ ln( x + y )dσ 与
D
[ln( x + y )]2 dσ,其中区域 D为 其中区域 为 ∫∫
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。 ， 的三角形闭区域。 顶点为 ， ， ， 的三角形闭区域
m≤
1
σ
∫∫
D
f ( x , y )d σ ≤ M
根据据闭区域上连续函数的介值定理， 根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少 上至少 存在一点 ( ξ , η ),
使得
f (ξ ,η ) =
∫∫ f ( x, y )dσ σ
D
1
即
∫∫ f ( x , y )dσ =
D
f (ξ ,η )σ
四、小结
1 区域D可分割成 n个小区域： ） 个小区域： L σ 1，σ 2， σ i ,L ,σ n
z
z = f ( x, y)
o x
D
n
•
y
(ξi ,ηi )
∆σ i
曲顶柱体的体积 V = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i .
λ →0
i =1
2）近似： 每个个小区域 ∆σ i 内任取一点 (ξ i ,ηi ), 近似： 则每个小曲顶柱体的体积近似为： 则每个小曲顶柱体的体积近似为： ∆Vi ≈ f (ξi ,ηi ).∆σ i 3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 求和： n n 积之和为 ∑ ∆Vi ≈∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i
D
是矩形闭区域： 0 其中 D是矩形闭区域： ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2
解：
f ( x, y) = x + y
D内的最大值为 内的最大值为4，最小值为1 在D内的最大值为4，最小值为1 区域D的面积为 的面积为2 区域 的面积为 所以由性质6得 所以由性质 得
2 ≤ ∫∫ ( x + y + 1)dσ ≤ 8
D
即 ∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i )∆σ i .
D
n
λ → 0 i =1
被 积 分 区 域 被 积 函 数 积 积 分 表 变 达 量 式
面 积 元 素 积 分 和
注： 1 在二重积分定义中，对区域D的划 在二重积分定义中，对区域D 分是任意的， 分是任意的，故 如果在直角坐标系中用平 行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含， 则除了包含， 边界的一些小闭区域外， 边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域 都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 都是矩形闭区域。 的边长为 ∆ x j 和 ∆ y k , 则
i =1 i =1
4）取极限： 取极限：
V = lim ∑ f (ξ i ,η i ) ⋅ ∆σ i
λ →0
i =1
n
其中 λ = max{∆σ i的直径}
1≤i ≤ n
2 平面薄片的质量 设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点 设平面薄片占有xoy面上的区域为D xoy面上的区域为 )处的密度为 （ x , y )处的密度为r ( x , y ) 求：此薄片的质量
D
为曲顶柱体体积的负值。 为曲顶柱体体积的负值。 3）如果 f ( x , y )既有正又有负 , 则二重积分∫∫ f (x, y)dσ ）
D
解释为曲顶柱体体积的代数和。 解释为曲顶柱体体积的代数和。 面上方柱体的体积取正， （其中xoy面上方柱体的体积取正， 其中 面上方柱体的体积取正 xoy面下方柱体的体积取负）。 面下方柱体的体积取负） 面下方柱体的体积取负
D
f ( x , y ) 在闭区域 则在D上至少存在一 D连续， 为 之面积 则在 上至少存在一 点 ( ξ , η ) 连续， 连续 σ 之面积,则在 使得： 使得：
性质7(中值定理 性质 中值定理) 中值定理
设函数
∫∫ f ( x, y)dσ = f (ξ ,η ).σ
D
证明：由性质 得 证明：由性质6得，
∫∫
D
f ( x , y ) dσ
比较下列积分的大小： 例1 比较下列积分的大小：
1） ∫∫ ( x + y) dσ 与
2 D
(x + y)3 dσ ∫∫
D
其中D: 其中 ( x − 2) 2
+ ( y − 1) ≤ 2
2
解：在区域 D内，显然有 内
x + y ≥ 1, 故在 内 故在D内
( x + y )2 ≤ ( x + y )3
三、二重积分的性质
性质1 性质 被积函数的常数因子可以提到二重 积分号的外面， 积分号的外面，即：
∫∫ kf ( x , y )dσ = k ∫∫ f ( x, y )dσ
D D
性质2 函数的和（或差） 性质 函数的和（或差）的二重积分等于 各个函数的二重积分的和（或差）。 各个函数的二重积分的和（或差）。