函数思想在中学数学中的应用_4
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用数学科组 周晓兰函数是中学数学中最为重要的内容。
函数思想更是中学数学的一种基本思想，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
下面我就结合近几年全国各地高考题来具体谈谈函数在解题中的应用。
1 利用函数的单调性证明不等式例1 （2010年高考数学辽宁卷﹒文）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 分析：（1）略；（2）当我们看到要证明的不等式时，有绝对值，就要利用第（1）问分析出的单调性却绝对值，转化后再引入辅助函数帮助证明。
解：(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x当x ∈(0, 时, ()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0故f (x )在（0,+∞）单调减少. (Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2,即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-. 2 利用函数的单调性求参数的取值范围例2 （2011年高考数学北京卷﹒理）18.已知函数k xe k x xf 2)()(-=.(1)求)(x f 的单调区间； (2)若对0(∈∀x ，)∞+，都有ex f 1)(≤，求k 的取值范围。
浅谈函数思想在解数学题中的应用
蔬 菜 烟 叶
每亩地所需 职工数 每亩地预计产值
１
２
例 已 知 。 ， 尺 ， 求 证 ： 斟 ≤ Ｔ ＋ ．
证明： 从不等式的结构上看， 易构造函数 ， （ ） ＝ — ．
易证 ） 在 ＋ 上是增 函数 。
・ ． ‘
１ １ ０ ０兀 ７ ５ ０ ７ ｔ ；
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☆目 ■ ■■ ，
浅谈函数思想在解数学题中的应用
江西省南康市 中英文学校 函数思想是 解决这些数学 问题 的最常用 、最 有利的工具 。 目前 ， 有许多专 家学者对 函数思想进行过研 究 ， 并且取得 了很多 的成果 。本文精选一些实例 ， 通过对例题的分析 、 探讨 、 梳理 、 归 纳出函数思想在 中学数学 中的应用。
１
３
ｌ
小麦
１
４
６ ０ ０ ３ ｒ Ｅ
Ｉ 叶６ Ｉ ≤Ｉ 。ｌ ＋ Ｉ ６ Ｉ ，
・
．
．
ｌ 叶６『 ） Ｉ ｏ ｂ １ ） ．
从 而 有 钳 ≤ 打
＝ 可 研 ＋ 可
即 一 ≤ ＋
工都有工作 ， 且使农作物 预计 总产值最大 。 解： 设种植蔬菜 亩 ， 种植 烟叶 Ｙ亩 ， 则小麦为 ５ ０ 一 亩 。
解 ：设 Ｐ在 Ｂ Ｃ上 ， ｐ在 Ｂ Ｄ
上．
首先 ， 在应用函数 思想 之前 ， 要掌握 函数 的概念 。什么是 函 数？ 函数 的定义有哪几种？ 它们的区别 和联 系有 哪些 ？ 只有真正
掌握了函数 的概念 ， 才能深入理解 函数思想 ， 进 而能很好地应用 函数思想来解题 。其次 ， 在应用 函数思想解题的过程中 ， 要时刻 将函数的单 调性 ， 有界性等性质 置于脑海 中， 并灵 活地应用这些 性质 。再次 ， 应用 函数思想解题 时 ， 要有意识地与函数图象结合 起来。函数图象的直 观性可 以很好地将抽象问题直观化 ，使解 题思路更广阔而清晰。另外 ， 应用函数思想解题 时 ， 要有开阔的
函数与方程思想在数学解题中的应用
遗忘 Ｂ ＝ Ｏ这一特殊情形 ：再分别利 用方程 求根 公式及 韦达定
理 求解 ，最后 答案必须进行检验 ．否则解 的取值可能扩大．
三、函数 与方 程思想在不等式 中的应用
≠ ＝ 一 １ 隹［ １ ３ ］ ，
，
。 ．
ｆ 例３ Ｉ 已知二次函数． 厂 （ ） ＝ ∞ｚ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ．
当Ｂ ＝ ０时 ，即 ２ ＋ ２ （ 叶１ ） ＋ 一 １ ＝ ０无实根 ，由 △＜ ０ ，
即４ （ ａ ＋ １ ） 一 ４ （ 一 １ ） ＜ ０ ，解 得 一 １ ；
的零点． 因此 ．许多有关方程 的问题可 以用 函数的方法去解决 ；
反之 ，许多有关 函数 的问题也可用方程的方法去解决． 函数与 方程思想 在解题 中应用广 泛 ：如 函数与方 程两 者
８ ＝ ０ ……① （ 方法一 ）记 ） ＝ ２ ＋ ４ ａ ｔ ＋ ａ 一 ８ ，则原 问题 转化 为， （ ） ＝ ０ 在 ［ 丁 １ ３ ］内有解 （ 即有一解或两解 ） ，留意到 ） 的对称轴
，
细审题 ，防止解 的取 值扩 大或 缩小． 本题 考查 了方程 思想、分
类讨论思想． 首 先 要 确 定 对 集 合 Ｂ 多种 情 况 的 讨 论 ． 千 万 不 能
ＧＵＡＮＧ ０ＯＮＧ Ｊ｜ Ａ０ Ｙｕ ＧＡＯ ｚＨｏＮＧ
函数 与方程 思想在数 学解题 中的应 用
●袁 海军
函数与方程的思想是 中学数学的基本思想 。是高 中数学的
一
明显 看 出利 用分 离常数 求函数值 域更 为简单 ，这 更加体现 函 数思想在解题 中的 实效性． 二、函数与方程思想在 集合中的应用
一
当 ｛ ｝ 时， 由根与系数的关系 ： － ＇ ４ ＝ － ２ （ 叶１ ） ， （ ） × （ ＿ ４ ） ＝
函数在整个中学数学知识体系中的地位及作用
函数在整个中学数学知识体系中的地位及作用函数是中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
我本节课说课的内容是高中数学第一册第二章第六节“指数Array函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。
我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
我将以此为基础从教材分析，教学目标分析，教法学法分析和教学过程分析这几个方面加以说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
2、教学的重点和难点根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识。
为此，在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程以及图象和性质是这一堂课的突破口。
因此，指数函数的图像、性质及其运用作为教学重点，本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。
3、课前思考与准备包括学生在学习新课前的知识储备，和能力储备，这不意味着我们形式化的给予学生一个预习任务，所以我将通过课前思考题让问题引领学生自觉地投入对新知识的探究之中。
例谈函数在中学数学中的应用
为调增数又 （＝＋ 一 一一 单递 函・，）１去 １ ２＝
。 故 ｆ ｎ ＞Ｏ ＇ （） ，
所 以 １ １十 ＋ １十 １＋・ ＋ ‘ ．
（≥２ ）
函数 的思想 看待 问 题 ， 示其 内在联 系 ， 决 问 揭 解 题． 以下 是 作 者在 平 时 的 教 学 中 总结 的 函数 思 想在 中学 数 学应 用 的几 个方 面．
２０ 年第 ３ ０６ 期
数 学 教 育 研 究
・ ９ ２ ・
例谈 函数在 中学数学 中的应 用
邵 珠 莲 （ 省 第 学 ２ ５ ） 山东 滕州 一中 ７ｏ ７ｏ
“ 函数” 中学数 学 中最 基 本 、 重要 的概 是 最 念， 它是 以运 动 变 化 的 观 点对 现 实 世 界 数量 关 系 的一种 刻 画 ， 概 念 和思 维方 法 渗透 在 高 中 其 数 学 的各 个 部 分 ，是 学 生 进 一 步 学 习 的 基 础 ， 因此 函数 是 构建 整个 中学 数学 的主旋 律． 函数 作 为 高 中数 学 的 重 点 ， 内容 丰 富 ， 其 应 用广泛 ， 综观历 年全 国各地 的高 考试 题 ，以函 数 为核心 编 制而 成 的综 合 题 立 意新 颖 ，知识 覆 盖 面广 ， 活机动性 强 ， 灵 具有 特别理想 的选拔功 能 ． ２０ 如 ０ ４年全 国高考福 建卷 中的“ 修路 总费用 最低 ” 问题 ；０ ４年 全 国 高 考北 京 卷 的“ 作 总 ２０ 制 面积 给定 的框 架用 料最 省 ” 问题 ；０ ５年 全 国高 ２０ 考湖 南卷 的“ 最优 捕 鱼 ” 问题 ；０ ５年 全 国高 考 ２０ 例 已知是 大 于 ２的数 求 证 ：１ ＋—
３ 函数 思 想 在 复 数 中 的应 用
第7讲-方程与函数思想在初中数学中的应用
第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 【典型例题】【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=． 则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本． 【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′． 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)； （2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得： 当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。
函数思想在中学数学中的应用
函数思想在中学数学中的应用在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.一，利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举例来看一下:例1.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，m，k∈N *，且m≠k，若S m=S k=a, 则S m+k =().-2a D. 0A. aB. 2aC.解析：由于{a n}是等差数列，所以S n是关于n的二次函数，设S n=f(n)=An 2+Bn(A≠0)，∵S m=S k=a，∴f(m)=f(k)，∴f(n)的对称轴为n=m+k2，∴f(m+k)=f(0)=0，即S m+k =0，选 D .评析：解本题的关键是建立目标函数f(n)，因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的对称性就可以解出这道题．二．利用函数思想解决解析几何问题在解析几何中常遇到动态型的问题。
在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题例2.若抛物线y=-x 2+mx-1和两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．解析：线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)由y=-x 2+mx-1, y=-x+3(0≤x≤3）消去y得x 2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).∵抛物线和线段AB有两个不同的交点，∴方程x 2-(m+1)x+4=0在［0,3］上有两个不同的解.设f(x)=x 2-(m+1)x+4，则f(x)的图像在［0,3］上与x轴有两个不同的交点，∴Δ=(m+1) 2-16＞0,0＜m+12＜3,f(0)=4＞0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0.解得3＜m≤10三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.已知不等式7x-2>m(x 2-1)对m∈［-2,2］恒成立,求实数x的取值范围．解析：设f(m)=(x 2-1)m-7x+2，f(m)是关于m的一个函数，其图像是直线.依题意，f(m)<0对m∈［-2,2］恒成立.当-2≤m≤2时，y=f(m)的图像是线段，该线段应该全部位于x轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即f(-2)＜0， f(2)＜0，解得12＜x＜72.即适合题意的x的取值范围是（12,72）四。
方程函数思想在初中数学中的应用
方程函数思想在初中数学中的应用方程函数是数学中的重要思想和工具，具有广泛的应用。
在初中数学教学中，方程函数思想被广泛运用于各个章节和知识点，如代数基础、线性方程与不等式、二次函数、比例与相似等。
本文将就方程函数思想在初中数学中的应用进行详细介绍。
一、代数基础在初中数学教学中，方程函数思想首先运用在代数基础中。
对于代数表达式的简化与展开，通过数学符号和运算来描述实际问题，并通过方程函数的思想解决这些问题。
例如：1.简化与展开代数式：通过方程函数思想，我们可以简化和展开各种代数式，使其更加简明和易于理解。
比如，将多项式进行因式分解、将代数式进行化简等。
这些操作都涉及到方程函数的思想和运算。
2.代数方程的建立与求解：通过将实际问题转化为代数方程，再通过方程函数的求解方法解决问题。
例如，小明的年龄是小红年龄的三倍减去2，用方程函数表示就是3x-2=5，解得x=2，即小明的年龄是2岁。
二、线性方程与不等式线性方程和不等式是初中数学中的重要内容，方程函数思想也被广泛应用于相关的知识点。
1.线性方程的解：通过方程函数的思想，我们可以解线性方程，找到方程的解集。
例如，2x+3=7，通过方程函数解得x=2，即方程的解集是{x=2}。
2.线性不等式的解集：通过方程函数的思想，我们可以解线性不等式，找到不等式的解集。
例如，3x-2>4，通过方程函数解得x>2，即不等式的解集是x的全部大于2的实数。
三、二次函数在二次函数的学习中，方程函数思想发挥了重要作用。
1. 求解二次方程：二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程。
通过方程函数的思想，我们可以解二次方程，找到方程的解集。
例如，x^2-5x+6=0，通过方程函数解得x=2或x=3，即方程的解集是{x=2, x=3}。
2.二次函数图像与性质：通过方程函数的思想，我们可以求解二次函数的图像、顶点、对称轴等性质。
例如，y=x^2-4x+3，通过方程函数解得函数的顶点坐标是(2,-1)，它的对称轴是x=2，函数的图像是开口向上的抛物线。
--函数思想在解题中的应用
函数思想在解题中的应用摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。
关键词：函数思想；解题；应用；引言函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明．1、 利用函数的单调性解题单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛．例1 解不等式05110)1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。
观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 5125)12(33+>+⋅++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+=∵3x 及x 5均为增函数．∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()12(x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+12． 解得11<<-x 或2-<x ,此即为原不等式的解． 例２解方程0)3)12(2)(12()392(322=+++++++x x x x 解：构造函数)32()(2++=m m m f ，则方程变为)3()12(x f x f -=+又因)(m f 在R 上是单调递增函数，故有x x 312-=+．解得51-=x ．经检验知51-=x 是方程的解．规律概括：不等式问题往往可通过构造函数的方法将问题转化为函数的图像或单调性问题．２、利用函数的奇偶性解题奇偶性是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．例３已知：4040221052345234)57473()57473(x a x a x a a x x x x x x x x ++++=-++---++ 试求4020a a a +++ 的值．分析：设52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f ．即可知)()(x f x f =-即)(x f 是偶函数,从而使问题获解．解：构造函数52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f . ∵52345234]5)(7)(4)(7)(3[]5)(7)(4)(7)(3[)(--+-+-------+-+-=-x x x x x x x x x f 52345234)57473()57473(-++---++=x x x x x x x x)(x f =∴)(x f 为偶函数．∴404022104040332210x a x a x a a x a x a x a x a a ++++=++-+-从而039531=====a a a a∴1024)57473()57473()1(554020=-++---++==+++f a a a规律概括：仔细观察目标式的结构特征，运用构造函数的方法，将问题转化为函数问题是一种常用的解题策略．本题正是通过构造函数，并利用函数的奇偶性从而使问题顺利获解．3、 利用函数值域解题求函数的值域,涉及到众多的数学知识,构成了中学数学的重要横向知识体系,同时也为利用函数值域解题提供了广阔天地．尤其对某些含参数的不等式,在分离参数的基础上,通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围,从而避免了对参数的繁琐讨论． 例4 当m 为何值时,方程02122=--+m x x 有实根 分析：x x m 2122-+=则方程有根的条件,即转化为函数的值域问题． 解：方程变形为x x m 2122-+=． 令)0(12,212≥-=-=t t x x t 则则45)21(1222+--=++-=t t t m ∵4545)21(,02≤+--≥t t 则 ∴452≤m 解得2525≤≤-m 即当2525≤≤-m 时，原方程有实根． 规律概括：如果函数用解析式表示)(x f y =，则解析式可看作关于y x ,的方程，反之，方程0)(=-y x f 又可看作函数)(x f y =，于是使关于x 的方程0)(=-y x f 有解的y 的范围，即是函数)(x f y =的值域．４、利用一次函数的保号性解题某些数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数)(x f 在区间],[b a 上函数值的符号问题,从而使问题获解．例５ 设c b a ,,为绝对值小于１的实数，求证：01>+++ca bc ab证明：∵11,11,111)(1<<-<<-<<-+++=+++c b a bc a c b ca bc ab 且∴当0=+c b 时，有0112>-=+++c ca bc ab ．当0≠+c b 时，构造函数1)()(+++=bc x c b x f ，由0)1)(1(1)1(>++=+++=c b bc c b f ；0)1)(1(1)1(>--=++--=-c b bc c b f ．知对11<<-x ，都有0)(>x f 成立，所以0)(>a f ，即01>+++ca bc ab ．规律概括：不等式问题通常可以通过构造一次函数的方法将问题转化为一次函数在某一区间上的函数值的符号问题从而使问题得以解决．５、利用二次函数的性质解题二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如q mn p n m ==+,的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决．例６已知b a c R a +>∈+2,，求证：ab c c a ab c c ab c -+<<-->222;．证明：构造函数0,0)1(,2,2)(2><+>+-=a f b a c b cx ax x f 又因知由，故函数图像与x 轴在1=x 的两边各有一个交点，从而有0442>-=∆ab c ，即ab c >2．解方程02)(2=+-=b cx ax x f ，得a ab c c x a ab c c x -+=--=2221,． ∴aab c c a ab c c -+<<--221，即ab c c a ab c c -+<<--22 规律概括：将目标式构造成二次函数，并利用二次函数的性质解题是一种重要的方法，往往是利用二次函数的图像与x 轴的交点和判别式来求解．总结：从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思想的应用相当广泛，函数思想在解题当中所具有神奇力量也可见一斑．但这些方面都涉及到最基础知识．构造函数，利用函数思想解题，需要解题者不断强化训练，在解题过程当中“悟出”函数来．只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果．。
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
【核心要点突破】要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
数学与应用数学毕业论文--函数与方程思想在中学数学中的应用
毕业论文（设计）文献综述毕业论文（设计）翻译文章函数与方程思想在中学数学中的应用目录中文摘要、关键词 (Ⅰ)1引言 (1)2 方程中的函数思想 (1)3 函数中的方程观点 (3)4函数与方程思想在中学数学中的应用 (5)4.1函数与方程思想在数列中的应用 (6)4.2函数与方程思想在三角中的应用 (7)4.3函数与方程思想在不等式中的应用 (8)4.4函数与方程思想在解析几何中的应用 (8)4.5函数与方程思想在二项式定理中的应用 (12)4.6函数与方程思想在概率中的应用 (12)4.7函数与方程思想在多元问题中的应用 (13)4.8讨论方程f(x)=0在某个区间上根的个数 (13)4.9函数与方程思想在复数问题中的应用 (14)参考文献 (15)英文摘要、关键词 (Ⅱ)函数与方程思想在中学数学中的应用摘要：函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。
和函数有必然联系的是方程，方程f (x)＝0的解就是函数y＝f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y＝f (x)也可以看作二元方程f (x)-y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量。
这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
在中学数学中，函数与方程是相互联系不可分割的，涉及这两个方面的问题可以相互转化。
许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往须转化为方程来求解。
因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题。
关键词函数思想，方程思想，应用1引言函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决。
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在高中数学中的运用摘要：本文着重从两大方面论述了在数学解题中如何恰当的运用函数思想：①借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.关键词：函数、求值、不等式、方程、最大值和最小值、存在性、取值范围．我们在教学的过程中会感觉到，学生会在不知不觉之中就能够解答许多数学问题，也许他们叫不上所用的方法的名字，有时也不需要知道它的名字，很多复杂的数学问题，在他们那很快屡出头绪，得以解决．他们的数学能力增强了，这就是数学方法的魅力．也是我们在教学过程中要教给学生的最重要的内容．函数是中学数学的一个重要概念，函数知识贯穿中学数学的始终，它一直是高考的热点、重点内容．函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、最大值和最小值、图象变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性．在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键．对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型．就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题．让我们来看下面的例题：例1．设x ，y 为实数，满足)()(1200313-+-x x =1-，)()(1200313-+-y y 1=，则=+y x ． 解：令t t t f 20033+=)(，则)(t f 为奇函数且在R 上为增函数，由11-=-)(x f =)()(y f y f -=--11，则y x -=-11，故2=+y x ．例2．设函数||||)(112--+=x x x f ，求使22≥)(x f 的x 的取值范围．解：由于x y 2=是增函数，22≥)(x f 等价于2311≥--+||||x x ． ① （1）当1≥x 时，||||11--+x x =2，∴①式恒成立．（2）当11<<-x 时，||||11--+x x x 2=，①式化为232≥x ，即143<≤x ． （3）当1-≤x 时，||||11--+x x 2-=，①式无解．综上，x 的取值范围是),[+∞43．例3．设n a a a ,,, 21都是正数，证明对任意的正整数n ，下面的不等式成立：)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ ．证明： 下面的不等式对任意的*∈∈N n R x ,都成立：)(22221n a a a +++ 2x + x a a a n )(+++ 212n +0≥，即011122221≥++++++)()()(x a x a x a n ．构造二次函数=)(x f )(22221n a a a +++ 2x +x a a a n )(+++ 212n +．0>i a ，n i ,,, 21=．4=∆∴221)(n a a a +++ 4-)(22221n a a a +++ n 0≤，得)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ ．注：本题是柯西不等式的一个特例，还有其他的证法，但惟有辅助函数法是最简捷、最透彻的证法． 例4．讨论xx 224sin sin +的最值．[分析]本题不能利用基本不等式作出解答“x x 224sin sin +xx 2242sin sin ⋅≥4=”，因为等号只能在22=x sin 时才能取到，而这是不可能的，可构造函数tt t f 4+=)(试解本题．解：显然102≤<x sin ，设x t 2sin =．下面证明当],(10∈t 时，tt t f 4+=)(是减函数． 当1021≤<<t t ，))(()()(21212141t t t t t f t f --=-．021<-t t ，1021<<t t ， 04121<-t t ，021>-∴)()(t f t f ，)()(21t f t f >∴，即)(t f 是],(10上的减函数． )(1f ∴是函数t t t f 4+=)(在],(10上的最小值，又5411=+=)(f ． 54≥+∴t t ，即5422≥+xx sin sin ． 例5．已知a 、b 为不全为0的实数，求证：方程0232=+-+)(b a bx ax 在),(10内至少有一个实根．证明：若0=a ，则0≠b ，此时方程的根为21=x ，满足题意．当0≠a 时，令=)(x f )(b a bx ax +-+232．（1）若0<+)(b a a ，则a a b a f f 4141210=-+-=))(()()()(b a + 0<，所以)(x f 在),(210内有一实根．（2）若0≥+)(b a a ，则)()()(b a a f f +-=241121 041412<+--)(b a a a ，所以)(x f 在),(121内有一实根． 例6．若抛物线22++=ax x y 与连接两点),(10M 、),(32N 的线段（包括M 、N 两点）有两个相异的交点，求a 的取值范围．解：易知过点),(10M 、),(32N 的直线方程为1+=x y ，而抛物线22++=ax x y 与线段MN 有两个交点就是方程122+=++x ax x ，在区间],[20上有两个不等实根．令112+-+=x a x x f )()(，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+=≥=>--=∆<--<.)(,)(,)(,032201004122102a f f a a解不等式组，得a 的范围是123-<≤-a ． 从以上的几个例子，我们看到，在解题时要从各种复杂的函数中划分出基本函数类，这些基本函数是最常见的、最有用的、最基本的函数，研究和总结基本函数的图象、性质及其解题的模式（方法），然后把实际问题或其他复杂函数化归为基本函数来解决，这就是基本函数模型方法．二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.让我们来看下面的例题例7．求使不等式)(1122->-x m x 对于2≤||m 的一切实数m 都成立的x 的取值范围．我们习惯上把x 当作自变量，构造函数m x mx y -+-=122，于是问题转化为：当2≤||m 时，0<y 恒成立，求x 的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.如果把m 看作自变量，x 视为参数，构造函数)()(1212---=x m x y ，则y 是m 的一次函数，就非常简单.即令)()()(1212---=x m x m f .函数)(m f 的图象是一条线段，要使0<)(m f 恒成立，当且仅当02<-)(f 且02<)(f ，解这个不等式组即可求得x 的取值范围是.本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.解：构造函数)()()(1212---=x m x m f ，],[22-∈m ．0<)(m f 在],[22-∈m 上恒成立⎩⎨⎧<-->-+⇔⎩⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-⇔01220322012120121202022222x x x x x x x x f f )()()()()()(213217+<<-⇔x ．∴所求x 的取值范围是),(213217+-． 本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.这是利用变量相对的观点来构造辅助函数的，从中可以看到数学的自由思考的特点．在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的n a 、n S 都可以看作是n 的函数而应用函数思想以获得新的解法．看下面的例题：例8．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知012>S ，013<S ，（1）n 为何值时n S 最大？为什么？（2）求证：121S S >．[解法一]（1）设数列}{n a 的公差为d ，由012>S 且013<S ，可知0≠d ，于是n S 是n 的二次函数，可设)(022x n n d S n -=，其中0x 是抛物线n S y =的顶点的横坐标． 由012>S 且013<S ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-⋅>-⋅0213132021212200)()(x d x d ①当0>d 时，解①得60<x 且560.>x ，这是不可能的．0<∴d ，即知抛物线的开口向下；且解①，得5660.<<x ，而*∈N n ，根据二次函数的最值性，得6S 最大．（2）056212112100000<-=---=---).()(||||x x x x x ，即<-||10x ||120-x ，根据二次函数的图象，得121S S >．[解法二]（1）⎩⎨⎧>+<+⇔⎩⎨⎧+=+=006561211311211213113a a a a a a S a a S )()(.⎩⎨⎧>+=+<+=⇒002121761317a a a a a a a ⎩⎨⎧><⇒.0067a a 根据一次函数n a 的单调性，得：当6≤n ，0>n a ；当7≥n 时，0<n a ．6S ∴最大．（2）)()()(d a d a a a a a a S S 5665656771211211121+---=--=+-=-711a -= 0>，∴121S S >．注：本例是利用一次函数、二次函数的性质解决数列问题．所给两个解法，说明此类等差数列问题既可用二次函数n S 求解，也可用一次函数n a 求解．哪个方法简捷，要由问题的条件来分析．建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的。
函数思想在中学数学中的应用
函数思想在中学数学中的应用韩伟摘 要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用.关键词: 函数思想 数列 不等式 最值一、知识回顾1.引言在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.2.函数的概念(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x 和y .如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量.(2)集合说:给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,对于A 中任何一个数x ,在集合B 中都存在唯一确定的数()f x 与之对应,那么就把对应关系f 叫做定义在A 上的函数,记作f :A →B 或(),y f x x A =∈.此时x 叫做自变量,集合A 叫做函数的定义域,集合{()f x |x A ∈}叫作函数的值域,习惯上称y 是x 的函数.(3)映射说:设A ,B 是两个非空数集,f 是A 到B 的一个映射,那么映射f :A →B 称为A 到B 的函数.3.函数的本质函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.4.函数的性质(1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的.(2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1x ,2x ∈A ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <(或12()()f x f x >),就称函数()y f x =在数集A 上是增加的(或减少的).(3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()()f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么函数()f x 叫做偶函数.(4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期.二. 利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:例1．若数列{n a }的通项公式为n a =38⨯n 1()8-3⨯n 1()4+1()2n (其中*n N ∈),且该数列中最大项为m a ,求m 的值.分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式n a 的形式特点,不难发现它可以变形为:n a = 38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n ，此时若令x =1()2n ∈1(0,]2,则n a 所对应的函数为()f x =32833x x x -+, x ∈1(0,]2.这样由函数()f x 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为m a 中的m 的值.解: 由已知,得n a =38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n ， (*n N ∈) 令()f x =n a , x =1()2n , 则x ∈1(0,]2,且()f x =32833x x x -+,则'()f x =2861x x -+=8(x -21)(x -41). 令'()f x ≥0,得x ∈1(0,]4 , 所以该函数在1(0,]4上是单调递增的; 令'()f x ≤0,得x ∈11[,]42 , 所以该函数在11[,]42上是单调递减的. 故x =41为其极大值点,即2n =时该数列取得最大项,所以2m =. 例2.设数列{n a }的首项为156a =-,且1n n a a +-=12 (1,2,n =……),求此数列到第几项的和最先大于100？解: 由已知1n n a a +-=12，可知数列{n a }为等差数列,且112,56d a ==-.所以该数列通项公式为56(1)121268n a n n =-+-=-.则56n S n =-+2)1(-n n 12⨯2662n n =-. 令100n S >, 得26621000n n -->, 即2331500n n -->⇒n <6156131-(0)<,或n >6156131+(7.11≈). 由于*n N ∈,所以满足上述条件的最小正整数为12.故此数列到第12项的和最先大于100.注：此类题是利用等差数列前n 项和公式n S =n 1a +2)1(-n n d =2d 2n +(1a -2d )n = 2d211()2a n d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦-2d 211()2a d -是关于n 的二次函数来解题的.当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值 .由于n 取正整数，因而当(12-1a d)不是正整数时，n S 的最小值或最大值不等于-2d 211()2a d -，此时n 取最接近于(12-1a d)的正整数时，才是n S 的最小值或最大值.值得注意的是接近于(12-1a d )的正整数有时是一个，有时有两个.三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.<135212462n n -⋅⋅⋅⋅<(1,)n n N >∈.分析：此不等式的证明若用一般的方法难以证明，仔细观察不等式的特点，可利用函数y =1x x +在(1,)-+∞上的单调增加性质可得1112k k k k k k -+<<++,k =1,2,...,21n -.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明. 证明：令c =135212462n n -⋅⋅⋅⋅,利用函数y =1x x+在(1,)-+∞上的单调增加性质， 1112k k k k k k -+<<++，k =1,2,...,21n -. ∴ 123234<<, 234345<<, ……, 2221221221n n n n n n --<<-+, 又 2c =1133552121()()()()22446622n n n n--⋅⋅⋅⋅, ⇒ 11232221()()()2234212n n n n --⋅⋅⋅-<2c <1234212()()()2345221n n n n -⋅⋅⋅+, ⇒ 12211221c n n ⋅<<+ 即c <<. 例4.已知实数a b e >>,其中e 是自然对数的底，证明b a <a b .分析：欲证b a <a b ，只需证ln ln b a a b <,即b b a a ln ln <.由此联想到函数()f x =xx ln 在(,)e +∞上若是严格递减的即可证明结论.证明: 对于函数()f x =x x ln 在(,)e +∞上，其导函数'()f x =2ln 1x x -0<. ∴()f x 在(,)e +∞上是严格递减的.∴对∀a b e >>，都有()()f a f b < ,即bb a a ln ln <. 故ln ln b a a b <,从而b a <a b . 四．利用函数思想解决最值问题求最值问题是函数思想的重要应用，此类题综合性强，知识面覆盖广，尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:例5．已知0a >,0π2<≤x ,函数y =2cos sin x a x b -+的最大值是0，最小值是4-，求使y 取得最大值和最小值的x 值以及a 和b 的值. 解: 设sin x t =,t 1≤,则21y t at b =--++=-(t +2a )2+42a +b +1.因为(t +2a )20≥ ，所以-(t +2a )20≤ . 因此y ≤42a +b +1. 故当t +2a =0时，y 最大值=42a +b +1=0. 又0a >, t 1≤ ，所以当1t =时,(t +2a )有最大值， 从而 114y ab b a =--++=-=-最小值.所以由 42a +b +1=0,4b a -=-， 解得 2,2a b ==-. 综上可得y 取最小值时，1t = 即 sin 1x = ，所以x =2π; y 取最大值时，1t =-即sin 1x =-，所以x =23π. 例6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (0k >).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）(1) 2()24k m km y x m =--+写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 求鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.解： (1)由题意，得()m x y kx m -=,即(1)x y kx m=-，0x m <<. （2）2()24k m km y x m =--+. 因为0x m <<, 所以当2m x =时，y 有最大值4km . （3）依题意，得0x y m <+<,即02m <+4km m <. 解得22k -<<, 又0k >,所以02k <<.五．总结函数思想是研究问题的重要思想，用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用，来体会函数思想在中学数学中的应用.当然，函数思想在中学数学中的应用远远不止这些，至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.参考文献:[1] 钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999年7月.84-90.[2] 李永新，滕文凯.中学数学教材教法[M].长春：东北师范大学出版社，2005年6月.100-107.[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.The Application of Function Thinking in MathematicsName: Jia Liping Student Number: 2003405456Advisor: Yang ShaohuaAbstract: The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics.Key word: function thinking sequence inequality most value。
函数与方程思想在中学数学中的运用
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程 与 函数 这 种 相 互 转 化 的关 系 十分 重 要 ， 函
数 与方 程 的思 想 方 法 ， 乎 渗 透 到 中 学数 学 几 的各个 领域 ， 解题 中有 着 广泛 的应 用 ． 我 在 从 国几 十 年 来 教材 的变 革 来 看 ， 函数 的地 位 始 终 是 非 常 突 出 的 ， 为 中学数 学 的 主干 知 识 成 之一 ， 已成 为共识 ． 而作 为 与 函数相 伴 而生 的 方程， 无论作 为 一种 数学 思想 ， 还是 作 为处 理
（ ＞０ ６ ） 右焦 点 为 Ｆ（ ， ） ｆ Ｏ ， ｃ 口 ，＞Ｏ ， ｃＯ （＞ ）则 ２
第３ Ｏ卷第 １ ２期
２１ 年 ｌ ０１ ｚ月
数 学 教 学 研 究
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函数思想在中学数学应用论文
函数思想在中学数学的应用【摘要】数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。
而函数思想作为一种重要的数学思想，贯穿于中学数学的各个分支，因此，它对提高学生的综合素质有着重要的作用。
本文简要探讨函数思想在中学数学的应用。
【关键词】函数思想各个分支近年的高考试题明确以能力立意，侧重考查学生的数学思想方法，因此培养学生应用函数思想解决问题则显得更为重要。
由于函数思想分散于中学数学的各个分支中，因而必须寓函数思想于平时的教学中，下面将分类说明函数思想的作用。
1 方程和不等式中的函数思想由于方程或不等式与函数是相互联系的，在一定的条件下可互相转化，因而二者为函数思想的应用提供了广阔的空间。
1.1方程中的函数思想例1 已知方程(x-2k)2=ax(k n)，在区间［2k-1,2k+1］上有两个不等的实根，求a的取值范围。
分析：本题属于根的分布问题，若直接解答其过程非常繁琐，如我们变换一个角度，从函数思想出发，把方程的两边各看成一个函数，f(x)=(x-2k)2，g(x)=ax,x∈［2k-1,2k+1］,(k n)，则方程的解转化为两个函数在同一坐标系中的交点的横坐标，因此原方程在［2k-1,2k+1］上有两个不等的实根等价于两图象在［2k-1,2k+1］上有两个不同的交点，而a的取值范围则等价于直线l1.2不等式中的函数思想例2 求使2x-1＞m(x2-1)对满足｜m｜≤2的一切实数m恒成立，求x的取值范围。
分析：本题为恒成立问题，且对参数m有所限制，如我们把不等式加以变形，看成一个函数，f(x)=(x2-1)m-(2x-1)，(｜m｜≤2)，则此问题转化为:f(m)＜0对｜m｜≤2讨论的方法即可。
2 数列中的函数思想数列是一种特殊的函数，运用函数思想来解数列方面的题实质上是将一静态问题放到动态背景中加以考察。
注意到等差数列、等比数列的通项公式及求和公式都可以看作n数思想来解决数列问题不仅能夯实基础，而且有助于学生创新思维能力的培养与提高。
浅谈函数思想在高中数学中的应用
浅谈函数思想在高中数学中的应用函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.标签：函数思想；一元二次函数；数学模型就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；（3）选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。
下面我们结合几个具体的例子来看看函数思想在高中数学中的具体应用。
例1.已知，（、、），则有（）A. B. C. D.【点拨】解法一通过化简，敏锐地抓住了数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有根的充要条件求得；解法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题.【解答过程】解法一：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴∴故选B.解法二：去分母，移项，两边平方得：∴故选B.【易错点】不能合理地转化为是、的函数或构造来解题。
例2.已知，若关于的方程有实根，则的取值范围.【点拨】求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围。
【解答过程】方程即，即当时，变为，故无解当时，变为，故当时，变为，故无解总之，的取值范围是例3.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（3）如果，且，证明.【点拨】（1）利用导数，列出表格，求函数的单调性与极值；（2）首先根据对称性求出的解析式，再构造函数，转化为只需利用单调性证明；（3）首先判断的范围，再利用前两问的结论单调性，要证，只需证【解答过程】（1）解：，令，解得当变化时，，的变化情况如下表：1+ 0 -极大值所以在内是增函数，在内是减函数。
如何运用函数思想对中学数学进行教学
如何运用函数思想对中学数学进行教学发表时间：2014-05-05T10:37:12.547Z 来源：《读写算(新课程论坛)》2013年10期（下）供稿作者：黄先刚[导读] X叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
”◇黄先刚(万源市职业高级中学万源 636350）【摘要】：数学思维蕴涵于数学思想之中，数学思想蕴涵于数学知识，数学方法和技能技巧之中，数学思想能使数学内容达到更高层次的和谐与统一。
【关键词】：函数中学数学教学运用在中学数学教学之中，不断加强数学思想的指导作用，不仅可以加深学生对所学知识的理解和掌握，而且可以提高学生的数学修养，发展思维能力，是提高数学教学质量的有效途径之一。
然而，我认为，在现代重要的数学思想中，在中学数学教学中的地位最高、作用最大的当属函数思想，现从以下几个方面谈点粗浅认识。
一、函数思想的特点函数思想集中体现在函数概念之中，初中课本里给出的函数定义是：“如果在变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某一个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。
X叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x 的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
”在高中课本里又用映射概念来阐明函数。
“上面所说的函数实际上就是集合A到集合B 的映射，其中，A、B都是非空数的集合。
”这两个定义都有局限性，前者属于函数的原始古典定义，突出“变量”，变量总是与时间有关，而时间在数学中还没有很好地定义过，因而，“变量”的含义也比较模糊，后者，突出了“映射”，更加接近于函数的近代定义，但强调“A、B是数的集合”即数集，使很多实际问题不好解释，显得狭隘，一个把“y”叫做x的函数，另一个把映射“f”叫做函数，显得有矛盾。
不是的，“y”是由定义域中的x通过对应法则来确定；而作为函数的映射f是指从定义域到值域的映射，理解函数总是把定义域(A)，值域(B)对应法则（映射）三个要素作为一个整体来加以有机认识，因此，这两种说法，就无多在妨碍，把变量y作为x的函数，更具体，便于理解，对学生来讲是非常适宜的。
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函数思想在中学数学中的应用韩伟摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用.关键词:函数思想数列不等式最值一、知识回顾1.引言在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.2.函数的概念(1)对应说:在变化过程中,有两个变量x 和y .如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量.(2)集合说:给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,对于A 中任何一个数x ,在集合B 中都存在唯一确定的数()f x 与之对应,那么就把对应关系f 叫做定义在A 上的函数,记作f :A →B 或(),y f x x A =∈.此时x 叫做自变量,集合A 叫做函数的定义域,集合{()f x |x A ∈}叫作函数的值域,习惯上称y 是x 的函数.(3)映射说:设A ,B 是两个非空数集,f 是A 到B 的一个映射,那么映射f :A →B 称为A 到B 的函数.3.函数的本质函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.4.函数的性质(1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的.(2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1x ,2x ∈A ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <(或12()()f x f x >),就称函数()y f x =在数集A 上是增加的(或减少的).(3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()()f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么函数()f x 叫做偶函数.(4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期.二.利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:例1．若数列{n a }的通项公式为n a =38⨯n 1()8-3⨯n 1()4+1(2n (其中*n N ∈),且该数列中最大项为m a ,求m 的值.分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式n a 的形式特点,不难发现它可以变形为:n a =38⨯31 ()2n -3⨯21()2n +1()2n ，此时若令x =1()2n ∈1(0,]2,则n a 所对应的函数为()f x =32833x x x -+,x ∈1(0,]2.这样由函数()f x 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为m a 中的m 的值.解:由已知,得n a =38⨯31 ()2n -3⨯21(2n +1()2n ，(*n N ∈)令()f x =n a ,x =1()2n ,则x ∈1(0,]2,且()f x =32833x x x -+,则'()f x =2861x x -+=8(x -21)(x -41).令'()f x ≥0,得x ∈1(0,],所以该函数在1(0,上是单调递增的;令'()f x ≤0,得x ∈11[,]42,所以该函数在11[,]42上是单调递减的.故x =41为其极大值点,即2n =时该数列取得最大项,所以2m =.例2.设数列{n a }的首项为156a =-,且1n n a a +-=12(1,2,n =……),求此数列到第几项的和最先大于100？解:由已知1n n a a +-=12，可知数列{n a }为等差数列,且112,56d a ==-.所以该数列通项公式为56(1)121268n a n n =-+-=-.则56n S n =-+2)1(-n n 12⨯2662n n =-.令100n S >,得26621000n n -->,即2331500n n -->⇒n <6156131-(0)<,或n >6156131+(7.11≈).由于*n N ∈,所以满足上述条件的最小正整数为12.故此数列到第12项的和最先大于100.注：此类题是利用等差数列前n 项和公式n S =n 1a +2)1(-n n d =2d 2n +(1a -2d )n =2d211()2a n d ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦-2d 211(2a d -是关于n 的二次函数来解题的.当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值.由于n 取正整数，因而当(12-1a d )不是正整数时，n S 的最小值或最大值不等于-2d 211(2a d -，此时n 取最接近于(12-1a d )的正整数时，才是n S 的最小值或最大值.值得注意的是接近于(12-1a d )的正整数有时是一个，有时有两个.三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3<135212462n n -⋅⋅⋅⋅ <(1,)n n N >∈.分析：此不等式的证明若用一般的方法难以证明，仔细观察不等式的特点，可利用函数y =1x x +在(1,)-+∞上的单调增加性质可得1112k k k k k k -+<<++,k =1,2,...,21n -.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明.证明：令c =135212462n n -⋅⋅⋅⋅ ,利用函数y =1x x +在(1,)-+∞上的单调增加性质，1112k k k k k k -+<<++，k =1,2,...,21n -.∴123234<<,234345<<,……,22212n n n --<<-+,又2c =1133552121()()()()22446622n n n n --⋅⋅⋅⋅ ,⇒11232221()()2234212n n n n --⋅⋅⋅- <2c <1234212()(()2345221n n n n -⋅⋅⋅+ ,⇒12211221c n n ⋅<<+即c <<.例4.已知实数a b e >>,其中e 是自然对数的底，证明b a <ab .分析：欲证b a <a b ，只需证ln ln b a a b <,即b b a a ln ln <.由此联想到函数()f x =x x ln 在(,)e +∞上若是严格递减的即可证明结论.证明:对于函数()f x =x x ln 在(,)e +∞上，其导函数'()f x =2ln 1xx -0<.∴()f x 在(,)e +∞上是严格递减的.∴对∀a b e >>，都有()()f a f b <,即b b a a ln ln <.故ln ln b a a b <,从而b a <ab .四．利用函数思想解决最值问题求最值问题是函数思想的重要应用，此类题综合性强，知识面覆盖广，尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:例5．已知0a >,0π2<≤x ,函数y =2cos sin x a x b -+的最大值是0，最小值是4-，求使y 取得最大值和最小值的x 值以及a 和b 的值.解:设sin x t =,t 1≤,则21y t at b =--++=-(t +2a )2+2a +b +1.因为(t +a )20≥，所以-(t +a )20≤.因此y ≤42a +b +1.故当t +2a =0时，y 最大值=42a +b +1=0.又0a >,t 1≤，所以当1t =时,(t +2a )有最大值，从而114y a b b a =--++=-=-最小值.所以由42a +b +1=0,4b a -=-，解得2,2a b ==-.综上可得y 取最小值时，1t =即sin 1x =，所以x =π;y 取最大值时，1t =-即sin 1x =-，所以x =23π.例6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (0k >).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）(1)2()24k m km y x m =--+写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)求鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.解：(1)由题意，得()m x y kx m -=,即(1)x y kx m=-，0x m <<.（2）2(24k m km y x m =--+.因为0x m <<,所以当2m x =时，y 有最大值4km .（3）依题意，得0x y m <+<,即0m <+km m <.解得22k -<<,又0k >,所以02k <<.五．总结函数思想是研究问题的重要思想，用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用，来体会函数思想在中学数学中的应用.当然，函数思想在中学数学中的应用远远不止这些，至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.参考文献:[1]钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999年7月.84-90.[2]李永新，滕文凯.中学数学教材教法[M].长春：东北师范大学出版社，2005年6月.100-107.[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.The Application of Function Thinking in MathematicsName:Jia Liping Student Number:2003405456Advisor:Yang ShaohuaAbstract :The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics.Key word :function thinking sequence inequality most value。