江西省新余第四中学2020届高三数学9月月考试题文(含解析)

江西省新余第四中学2020届高三数学9月月考试题 文（含解析）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{|32,},6,8,10,12,14A x x n n N B ==+∈=，则集合A B ⋂中的元素个数为( ) A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】由已知得A B ⋂中的元素均为偶数，n ∴ 应为取偶数，故{}8,14A B ⋂= ，故选D.2.复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 试题分析：1(1)1i i iz i i i i++===-⨯，对应点的坐标为(1,1)-，在第四象限内. 考点：1.复数的计算；2.复数与点的对应关系.3.“若αβ>，则sin sin αβ>”的逆否命题是（ ） A. 若αβ<，则sin sin αβ< B. 若sin sin αβ>，则αβ> C. 若αβ≤，则sin sin αβ< D. 若sin sin αβ≤，则αβ≤【答案】D 【解析】 【分析】利用逆否命题的定义作出判断即可【详解】因为原命题：若A ，则B ，则对应的逆否命题：若非B ，则非A ； 所以若αβ>，则sin sin αβ>”的逆否命题是若sin sin αβ≤，则αβ≤; 答案选D【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于基础题4.设实数,x y 满足约束条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则24x y z =⨯的最大值为（ ）A. 1B. 4C. 8D. 16【答案】D 【解析】 【分析】把24x y z =⨯化简为22x y z +=，然后令2h x y =+，然后作图，找出可行域，即可根据图象找出答案.【详解】作图可得，可行域为阴影部分，对于24x y z =⨯，可化简为22x y z +=， 令2h x y =+，明显地，当直线2h x y =+过()0,2时， 即当24x y +=时，h 取最大值4，则24x y z =⨯的最大值为16. 答案选D【点睛】本题考查线性规划的求最值问题，属于基础题5.“0a b >>”是“22a a b b +>+”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解. 【详解】先考虑充分性.2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,=))()=()(1)a b a b a b a b a b +-+--++（（， 因为0a b >>，所以()(1)0a b a b -++>，所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”的充分条件. 再考虑必要性.2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,=))()=()(1)0a b a b a b a b a b +-+--++>（（， 不能推出0a b >>. 如：a=-3,b=-1.所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”的非必要条件. 所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的图象如图所示，若函数()()1h x f x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12||x x -的最小值为（ ）A.23π B.2π C.43π D. π【答案】A 【解析】 【分析】根据图象求三角函数解析式，再根据余弦函数性质得零点，最后求12||x x -的最小值. 【详解】由图象可知，2A =，214362T πππ=-=，2T π∴=，1ω=，()2cos()f x x ϕ∴=+， ()2cos()266f ππϕ=+=Q ，且1||2ϕπ<，6πϕ∴=-，()2cos()6f x x π=-，令()()12cos()106h x f x x π=+=-+=，可得1cos()62x π-=-，解可得，2263x k πππ-=+，或4263x k k Z πππ-=+∈，， 526x k ππ=+，或322x k k Z ππ=+∈，，则12||x x -的最小值为352263πππ-=， 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数解析式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.7.如图在梯形ABCD 中，2,BC AD DE EC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，设,BA a BC b ==u u u v u u u v v v ，则BE =u u u r（ ）A. 1124a b +r rB. 1536a b +vvC. 2233a b +v vD. 1324a b +r r【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则得出AC u u u r ，进而求出CE u u u r ，最后利用BE BC CE =+u u u r u u u r u u u r，即可求解【详解】AC AB BC a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ，AC AD DC -=u u u r u u u r u u u r22b b a b a =-+-=-+u r r r r r ，224CD a b CE ==-u u u r r r u u u r ，24a b BE BC CE b =+=+-r ru u u r u u u r u u u r r 1324a b =+r r ，答案选D【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线2310x y --=对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( ) A.13B.3C.23D.3【答案】B 【解析】 【分析】由于两点,M N 关于直线2310x y --=对称，且已知MN 中点的纵坐标为23，可求出中点，且直线MN 与直线2310x y --=垂直，利用点差法化简即可得离心率 【详解】由MN 中点的纵坐标为23，且中点必在直线2310x y --=上，可得中点坐标为32,23⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线MN 的斜率为k ，直线MN 与直线2310x y --=垂直，则有32k =-， 设()11,M x y ，()22,N x y ，得22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，利用点差法可得223924b k a =-=-⋅，得2223b a =，则e ==，答案选B【点睛】本题考查点差法和离心率的e =的运用，属于基础题9.函数()2ee cos ()xx x f x x--=的部分图象大致是A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，再根据特殊点即可判断出()f x 的图象。

【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，()()f x f x -=- ，函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以C 、D 不正确；又因为2()()0e e f ππππ---=< ，所以A 不正确，故选B 。

【点睛】本题主要考查利用函数的性质识别函数的图象。

10.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）6π B. 6π C. 9π D. 24π【答案】B 【解析】 【分析】由题意，作图，利用补型法可得该四棱锥可补型成长方体，然后利用公式可求出球的直径,进而可求解球的表面积【详解】如图，该几何体为四棱锥P ABCD -，ABCD 为矩形，其中PD ⊥平面ABCD ，1,2,1AB AD PD ===，则该阳马的外接球的直径是以,,DA DC DP 为相邻棱的长方体的对角线114=6PB =++2646ππ⨯=⎝⎭，故选B【点睛】本题考查球的表面积问题，结合长方体的外接球直径为其对角线长即可求解，属于基础题11.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数()y f x =在123,,x x x x x x ===()123x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替:()()()11121f x y k x x k x x =+-+-()2x x -，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令120,2x x π==，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是( ) A.1425B.35C.1625D.1725【答案】C 【解析】 【分析】设()sin y f x x ==，利用120,2x x π==，3x π=然后分别求出1230,1,0y y y ===，进而代入3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---，求出k ，最后即可求解sin 5π的值【详解】设()sin y f x x ==，120,2x x π==，3x π=，则有1230,1,0y y y ===，则11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由()()()()2111212244f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+16sin525π≈，答案选C 【点睛】本题考查函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题12.函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取值范围是A. {}(0]2-∞U ，B. {}[0)2+∞-U ，C. (0]-∞，D. [0)+∞，【答案】A 【解析】 【分析】先转化为y=f(x)与y=x-a 只有一个交点，再分析y=x-a 与1y (1)x ex -=≤只有一个交点，得a≤0，再分析y=ln(x-1)(x>1)与y=x-a 只有一个交点，即得a=2. 【详解】因为g(x)=f （x ）-x+a 只有一个零点， 所以y=f(x)与y=x-a 只有一个交点， 作出函数y=f(x)与y=x-a 的图像， y=x-a 与1y (1)x ex -=≤只有一个交点，则-a≥0，即a≤0，y=ln(x-1)(x>1)与y=x-a 只有一个交点，它们则相切，因11,=12,2,011y x x x ==--'令，则故切点为（）， 所以0=2-a,即a=2,综上所述，a 的取值范围为(]{}02-∞⋃，. 故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查零点问题，考查直线和曲线的位置关系，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题关键有两点，其一是准确画出y=f(x)与y=x-a 的图像，其二是分析y=x-a 与1y (1)x ex -=≤只有一个交点，和y=ln(x-1)(x>1)与y=x-a 只有一个交点得到a 的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本小题共4题，每小题5分 13.在ABC ∆中，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则角B =______. 【答案】6π 【解析】 【分析】利用正弦定理可求得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，然后化简可得1sin cos sin cos 2A C C A +=，进而利用三角形的关系可以求解 【详解】1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，两边同时除以2R ，由正弦定理可得， 1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，由于sin 0B ≠，两边同时除以sin B 可得1sin cos sin cos 2A C C A +=，化简得()1sin sin 2A CB +==，又由a b >，B 为锐角，可得角6B π=，答案：6π 【点睛】本题考查正弦定理的应用，难点在于确定角B 为锐角，属于基础题14.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_____．【答案】2 【解析】 【分析】根据程序框图，一步步计算即可求解【详解】①1i =，3273log 22i s ≤−−→=+=−−→2i = ②2i =，3273log 22i s ≤−−→=+−−→3i = ③3i =，322734log log 4223i s ≤−−→=+=−−→4i = ④4i =，32log 42i s >−−→==，输出2s = 【点睛】本题考查程序框图，注意每一步运行成立的条件即可，属于基础题15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =现有如下四个结论：AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确；对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误． 综上知①②③正确，故答案为①②③【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.16.已知函数()211x x f x x --=+，()1ln x g x e x a -=--+对任意的[]11,3x ∈，[]21,3x ∈恒有()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是_____． 【答案】12a ≤ 【解析】 【分析】利用及函数的单调性求解两个函数的最值，然后结合已知条件列出不等式求解a 的范围即可【详解】()211x x f x x --=+1131x x =++-+231≥-=-，当且仅当0x =时取等号，因为[]11,3x ∈，所以，由函数的单调性可得函数的最小值为：()112f =-，()1ln x g x e x a -=--+对任意的[]21,3x ∈，求导可得，在[]1,3x ∈上，()'0g x <，所以，该函数是减函数，所以函数的最大值为：()11g a =-+，函数()211x x f x x --=+，()1ln x g x e x a -=--+对任意的[]11,3x ∈，[]21,3x ∈恒有()()12f x g x ≥成立，可得112a -≥-+，12a ≤，答案：12a ≤【点睛】本题考查利用函数的单调性求最值以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立问题转化为求出函数的最值问题是解题的关键.三、解答题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-.（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(I) (2)nn a =- (Ⅱ) 1(31)(2)299n n n T ++-=--【解析】 【分析】（I ）根据已知求出1,a q ，即可求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求{}n b 的前n 项和n T .【详解】解：（I ）设{}n a 的公比为q ，由题意()121(1)216a q a q q +=⎧⎪⎨++=-⎪⎩， 解得2q =-，12a =-，故(2)nn a =-.（Ⅱ）(2)nn n b na n ==-，123(2)2(2)3(2)(2)n n T n =-+⋅-+⋅-++-L L ， 23412(2)2(2)3(2)(2)n n T n +-=-+⋅-+⋅-++-L L ，两式相减得12313(2)(2)(2)(2)(2)n n n T n +=-+-+-++---L L ，121(2)3(2)1(2)n n n T n +⎡⎤---⎣⎦=----，1(31)(2)299n n n T ++-=--.【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知函数f (x21cos cos 2222x x x -+. （I ）求函数f (x )的单调递减区间；（II ）若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=12，asin B =2sin C ，求c .【答案】（Ⅰ）25[2,2]33k k ππππ++，k Z ∈ （II ）1c = 【解析】 【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式可将函数化为()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再写出单调区间；（2）由f (A )=12，可求3A π=，结合余弦定理即可解决。