复变函数 第五章 留数
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
0
的去心邻域内的罗朗展开式为：
sin z
1 z2
z4
L
1n z2n
L
z
3! 5!
2n 1!
故负幂次项 z1的系数 C1 0 ，即
Res
sin z
z
, 0
0
若孤立奇点z0为f (z)的可去奇点，则
Res f (z), z0 0
例1.3
函数
f
(z)
1 z(z 1)2
在
z
1 处有一个
二级极点，这个函数又有下列罗朗展开式：
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
Cm 0
Байду номын сангаас
g z Cm Cm1 z z0 L C1 z z0 m1
C0 z z0 m L
在点 z0 是解析的，且 g z0 Cm 0
由
f
z
gz z z0 m
，有 z
z0 m
f
z
gz
上式两端对 z 求导 m 1 次，并取极限（z z0），
得
lim
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
复变函数第五章1留数
证明： 若z0是f (z)的m阶零点 即 f (z) (z z0 )m(z)
((z)在 z0 处解析, 泰勒级数：(z) a0 a1(z z0 ) )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f (z) a0 (z z0 )m a1 (z z0 )m1 a2 (z z0 )m2
f (z0 ) f (z0 ) f (m1)(z0 ) 0, f (m)(z0 ) a0 0.
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如：f (z) sin 1 以z 1为它的本性奇点
因为sin
1
1 z
在z 1的去心邻域0 z 1 上的罗朗展式为
1
1
z
sin
(1)n ( 1 )2n1
1 z n0 (2n 1)! 1 z
1 ( 1 ) 1 ( 1 )3 (1)n ( 1 )2n1
z 1是f (z)的本性奇点.
或 z沿实轴从点1的右侧趋向于1
z沿实轴从点1 的左侧趋向于1
1
lim e z1极限不存在，且不为 z 1
z 1是f (z)的本性奇点课. 件
1
lim e z1
z1
1
lim e z1 0,
z1
9
综上所述:
定理5.1 若函数f (z)在0 z z0 R内解析，则
z 1是(z2 1)( z 2)3的一级零点
z 2是(z2 1（) z 2）3的三级零点，
z 1是f (z)的二级极点，(见例7,m 1 3 n)
z 2是可去奇点， (见例7,m 3 n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见例7, m 0 3 n)
k
课件
3
5.1.1 孤立奇点的定义及分类
复变函数第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
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《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
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《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
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《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数 第五章留数
F(t)
c
n
t
n
cnt
n
(2)
n 1
n0
第五章 留数
相应地规定：如果 t = 0 是 F(t) 的可去奇点、m 级极点或本
性奇点，则称z 是 f (z) 的可去奇点、m 级极点或本性奇点。
将式（1）写成
f
(z)
c
n
z
n
c0
cn zn
(3)
n 1
n 1
将式（2）写成
F(t)
cn t n
c0
cnt
( n 0, 1, 2, , m 1)
f
(m) (z0 ) m!
a0
0
故必有 f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 cm2 (z z0 )m2
(z z0 )m[cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ]
(z z0)m (z)
根据 0 z z0 内 f (z) 的 Laurent 级数的不同，孤立奇点 分为三种类型。
第五章 留数
1、可去奇点
如果 Laurent 级数中不含 z z0 的负幂项，孤立奇点 z0 称为 f (z) 的可去奇点。
即
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
在 0 z z0 内收敛于 f (z) 。
lim f (z)
zz0
或
lim f (z)
z z0
第五章 留数
如果 f (z)以 z0为其孤立奇点，则下列四个条件是等价的。 它们中的任何一条都是 m 级极点的特征：
（1） f (z) 在以 z0 点为中心的去心邻域内的 Laurent 级数只 有有限多个 z z0 的负幂项；
复变函数之留数定理
∫ f
( z )在a点的留数：Res [
f
(z), a]
=
a−1
=
1
2π
i
f (ζ )dζ ，
C
它是f (z)在a的充分小去心邻域内洛朗展式中 z−1a 的系数。
故∫C f (ζ )dζ = 2π i Res[ f (z), a]，
C：在a的使f (z)解析的去心邻域K 内 < 任一条围绕 a 的正向闭路。
第五章 留数及其应用
留数是复变函数又一重要概念，有着非常广泛的应用.
5.1 留数定理
一 、留数的定义和计算
设 a 是 f (z) 的孤立奇点， 则∃δ > 0,使得
f (z)在K : 0 < z − a < δ 解析，f (z)在K内可展为洛朗级数：
∑+∞
f (z) =
an(z − a)n,
n=−∞
留数定理(P103定理1)：设f (z)在闭路C上解析， y
C
∫ ∑ 在C内部除n个孤立奇点a1, a2 ,, an外解析,则 n
a1 C1 a2 C2
C
f (z)d z
=
2π
i Res f (z), ak 。
k =1
0 a3 C3
证明 ∀k =1, 2,n, 以ak为圆心作充分小的圆周Ck ,
an Cn
x
使得C1,C2 ,,Cn都在C 的内部,且它们彼此完全分离(如图)。
由多连通区域柯西积分定理和留数定义得
n
n
∫ ∑ ∫ ∑ C
f (z)d z =
k =1
Ck
f (z)d z = 2π i Res f (z), ak 。#
k =1
复变函数第五章1留数
sinz lz i0mz4
lz i0m((szi4)zn)' '
cosz lz im0 3z3
z 1为极点。
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11
5.1.2 零点与极点的关系
定义5.1：设f(z)在z0的邻域内解f析 (z0)， 0若 ，
则称 z0为解析函 f(z)数 的零点 m阶零点: 若不恒等于零的解析数函 f (z)能表示成
z a为(z)(z)的 mn阶零 . 点
2)(z)(z)(za)m n 1 1((z z))
当 mn时z， a为 ((zz))的 (mn)阶零点， 当 202m 0/6/1 6 n时 当mz， na时 为 ， z((zz))的 a为 (n ((m zz)))阶 的可 极去 点 . 奇 ， 点 16
7!
z 0为可去奇点 .
或
(sizn z) 0,(sizn z)' 0,
z0
z0
(sizn z)' 0,(sizn z)(3) 0
z0
z0
z0是(sinzz)的三级零点。
z 0是z3的三级零点。
z 0为可去奇点 . (见7,例 m3n)
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3) f(z） (z2(s1)in(zz)32)3
问 1 ） (z)(z)、 2 )(z)(z)在 z a有何性质？
解 可设 (z） (za)m 1(z)(z） (za)n 1(z)
其 1 ( z ) 中 1 ,( z ) 在 z a 解（ 1 析 a )1 ( a ) ， 0 . 1 ） ( z )( z ) ( z a ) m n1 ( z )1 ( z ),
类似z， i为f(z)的一阶极点。
问题z： 是 1 的几阶极点？
05第五章 留数理论
证明：设圆盘 |z|<ρ包含 b1, b2, …, bn
n
∫ ∑ 留数定理
è
|z|= ρ
f (z)dz
=
2π i
Res f (bk )
k =1
| z |= ρ
∞处留数的定义 è
∫ f (z )dz = − 2π i Res f (∞ ) |z|= ρ
n
∑ Res f (bk ) + Res f (∞) = 0
f ( z )dz
C
k =1 |z−bk |=δ
bn
n
= ∑ 2πi Res f (bk ) (留数定义)
k=1
L
b2 δ
4
2. 孤立奇点 ∞ 处的留数
∞
∑ 洛朗展开 f (z) = Ck zk , r <| z | k = −∞
定义 f(z) 在 z=∞ 处的留数 = z−1 的系数×(–1)
等价定义：
∫ def
Res f (∞) =
−1
f (z)dz (r < ρ)
2π i |z|=ρ
ρ r×0
• 若 f(z) 是偶函数，则 Res f (∞), Res f (0) 有定义时必为零
5
Ø全平面留数之和为零
设函数 f (z) 在整个复平面上只有奇点 b1, b2, …, bn，则 f (z) 在这些点及 ∞ 的留数之和为零
i
−
(b0 + 4a 4
b1 )
=
2π 2a 3
∫ +∞ 0
x
4
1 +
a4
dx
=Q= 2
2π 4a3
ΓR
b1
b0
-R b2
复变函数 第五章 留数
z 0 为 f (z ) 的极点。 若负幂次项的次数绝对值的 的极点。
最大值为m 则称z 级极点。 最大值为 ，则称z0为m级极点。 级极点 ╬
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返回
（3）本性奇点 ）
若 f (z ) 在 z 0 处的洛朗级数为： 处的洛朗级数为：
f (z) =K+c−m(z − z0)−m +c−m+1(z − z0)−m+1 +K+c−1(z − z0)−1 +c0 +c1(z − z0) +K
lim ( z − z 0 ) m −1 f ( z ) = ∞
lim ( z − z 0 ) m f ( z ) ≠ ∞
级极点。 则 z 0 为m级极点。 级极点
z → z0
例如： 例如：
z−2 f (z) = ( z − 1) 3 ( z 2 + 1)
lim f ( z ) = ∞ ,
z →1
解：因为
处解析， 且 z 2 在 z = −1 处解析，z 2
2
z = −1
≠0
所以 z = −1 为３级极点。 级极点。
返回
╬
sin mz （2）z 2 + 2 z + 2 ）
解：由 z 2 + 2 z + 2 = 0 ⇒ z = −1 ± i 为奇点
1 1 Q f ( z) = ⋅ ⋅ sin mz, z − (−1 − i ) z − ( −1 + i )
处无定义， 若 f (z ) 在 z 0 处无定义， 或 f (z ) 在 z 0 处不为 c0 ,
f ( z ), z ≠ z 0 ，从而 g (z ) 在 z 处解析。 可以补充定义， 可以补充定义， ( z ) = 0 处解析。 g z = z0 c0 ,
复变函数留数定理
复变函数留数定理复变函数留数定理（Residue Theorem）是复分析中的重要概念，用于计算对应于奇异点（singular point）的留数（residue）。
留数定理提供了计算复变函数沿闭曲线的积分的一种有效方法，它与复分析中其他重要的定理和方法相辅相成，对于解决实际问题具有重要意义。
一、留数的定义设函数f(z)在点z=a附近解析且具有洛朗展开式f(z)=∑(n=-∞)^∞ a(n)(z-a)^n其中a(n)是复数，令C为以a为圆心的半径为R的圆周，且其方向与实轴正方向一致。
如果函数f(z)在圆盘界上的点（除去a点）上解析，则称a点是函数f(z)的奇异点。
奇异点主要有三种形式：可去奇点、极点和本性奇点。
对于函数f(z)一个奇异点a，定义留数Res[f(z), a]为Res[f(z), a] = a(-1)即留数等于洛朗展开式的一次项系数a(-1)。
二、留数的求解方法1. 求可去奇点的留数当a点是函数f(z)的可去奇点时，即a点是f(z)的解析点，那么留数等于0。
2. 求一阶极点的留数当a点是函数f(z)的一阶极点时，即a点是f(z)的奇异点且它的最低零次是-1次，要求a(-1)≠0。
此时留数可以通过以下方法求解：Res[f(z), a] = lim(z→a) (z-a)f(z)3. 求高阶极点的留数当a点是函数f(z)的高阶极点时，即a点是f(z)的奇异点且它的最低零次大于等于-1次。
此时留数可以通过以下公式计算：Res[f(z), a] = a(-1) = 1/(n-1)! * d^(n-1)/dz^(n-1) [(z-a)^n * f(z)]其中，n为a点的零次。
三、留数定理的表述留数定理的基本表述为：设函数f(z)在闭合曲线C的内部除有限个奇异点外是全纯的，则有积分公式成立：∮[C] f(z)dz = 2πi * ∑ Res[f(z), a]其中，[C]代表C内部的积分，∑代表对所有奇异点求和。
留数-复变函数
0
是函数
1
ez,
sin
z
的孤立奇点.
z
z
1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
3
例2 指出函数 f (z)
z2 1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1 (k 1, 2,) k
因为 lim 1 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim ez 1 lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点.
z
9
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m , 即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1
z 2是(z2 1)(z 2)3的三级零点，
那末 z 2 是 f (z) 的可去奇点.
lim
z2
f (z)
(z2 1)(z 2)3
lim
z2
(sin z)3
3 3
,
32
当z 时，
因为
f
1
(1 2 )(1 2 5 sin3
)3
,
0, n
1 n
使分母为零，
n
1 为 f 1 的极点，
13
复变函数(余家荣)5
显然在z -1有三阶极点。
如果在正实数上沿，则 ((Lnz)2 )0 ln x (实函数）.
如果在正实数下沿，则 (Lnz)2 (ln x 2i) 2.
r
r
C(r, )
(Lnz)2 (1 z)3
dz
r
(ln x)2 (1 x)3
dx
(Lnz)2 r (1 z)3 dz
r
(ln x (1
证明 由引理5.1知，f (z)在D内至多有有限个零点和极点. 设这些零点 和极点分别为a1, a2 , , an和b1,b2 , , bm. 则
推论 设 D是有界区域，边界曲线为c由有限条简单闭曲线构成. f (z) 在D 上解析且在c上没有零点，那么f (z)在D内的零点数
若f (z)在D上解析，在边界曲线c上不等于a,那么 表示什么意思？
引理 设 f (z)在区域 D {z a rei :1 2 ,0 r r0}内解析， r表示弧z a rei (1 2 ), 如果
则 证明
r
2
•a
1
当
时，
例 计算积分 解
因为
R
r
R
r r
R
因为
所以令 r 0, R , 得
R sin x dx
R eix eix dx i
设D是有界区域，边界曲线为c. f (z)是D内的亚纯函数. f (z)在边界曲线c 上解析且没有零点，那么
(1) f (z)在D内能否有无限多个零点？ （2） f (z)在D内能否有无限多个极点？
答： （1） 零点不能有无限个. 否则，零点集合在D 上有极限点z0. z0必为奇点，(为什么？) 且为本性奇点，(为什么？) 矛盾.
2. 设a e, 证明ez azn在 | z | 1内有n个根. 解令
复变函数第五章留数学习方法指导
第五章 留数留数（Residue ）理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物，它既是复积分问题的延续，又是复级数应用的一种体现，它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用．例如，它能给复积分的计算提供一种有效的方法，能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具．另外，它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助．本章，我们首先引进孤立奇点处留数的定义，利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法，以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法．在此基础上，再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理，从而有效地解决“大范围”积分计算的问题．其次，介绍留数定理的两个方面的应用．一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法，另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法，即幅角原理与儒歇定理．一．学习的基本要求1．掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法，即洛朗展式法．注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点∞处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异．并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数． 2．熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点∞处留数的的两种具体计算方法：洛朗展式法：1Res ()z f z β-=∞=-，其中1β-为()f z 在∞处的洛朗展式中1z 的系数．化为有限点处的留数：2011Res ()Res()z z f z f z z=∞==-． 3．了解有限可去奇点处的留数与可去奇点∞处的留数的差异，理解为什么函数在可去奇点∞处的留数一般不一定为零？4．掌握留数定理以及含∞的留数定理（即留数定理的推广），并能熟练地运用它们计算函数沿封闭曲线的积分．能用留数定理导出第3章中的柯西定理和柯西积分公式，从而正确地认识为什么留数定理可以看成柯西定理和柯西公式的统一．5．了解利用留数计算实积分的基本思想或基本原理：通过适当方法将实积分转化为适当复变函数沿封闭曲线的积分．熟悉将实积分转化为适当复变函数沿适当封闭曲线的积分的两种途径：途径一：通过适当变量替换． 途径二：作适当补充路径．6．熟悉补充积分路径计算积分时，常用的如下三个引理：引理0 设函数()f z 在角形闭区域上连续，且lim ()z z Dz f z A →∞∈⋅=，记 0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，R Γ的方向是逆时针，则21lim()d ()RR f z z i A θθΓ→+∞=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到0lim()()z z Dz z f z A →∞∈-=，2101d ()Rz i z z θθΓ=--⎰以及00210()()()()()d ()d d RRR z z f z A z z f z Af z z i A z z z z RθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．引理1 设函数()f z 在闭区域:D 1020arg()z z θθπ≤≤-≤≤，00r z z ≤-<+∞上连续，记0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，0m >，R Γ的方向是逆时针，若lim ()0z z Df z →∞∈=，则lim()d 0Rimz R f z e z Γ→+∞=⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到其中用到了约当不等式：当02πθ≤≤时，2sin θθθπ≤≤．引理2 设函数()f z 在圆环形闭区域:D 1020arg()2z z θθπ≤≤-≤≤，000z z r ≤-≤上连续，记0{,}r z z z r z D Γ=-=∈，r Γ的方向是逆时针，且00lim()()z z z Dz z f z A →∈-=，则210lim ()d ()rr f z z i A θθ+Γ→=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到2101d ()rz i z z θθΓ=--⎰，以及 00210()()()()()d ()d d rrrz z f z A z z f z Af z z i A z z z z rθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．7．熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法① 形如20(cos ,sin )d R πθθθ⎰或(cos ,sin )d R ππθθθ-⎰的积分，其中(cos ,sin )R θθ是三角有理函数，且分母函数在[0,2]π或[,]ππ-上恒不为零． 特别，当(cos ,sin )R θθ是偶函数时，还可考虑积分(cos ,sin )d R πθθθ⎰．注意：● 当被积函数是2cos θ或2sin θ的有理函数时，可先用公式21cos (1cos 2)2θθ=+或21sin (1cos 2)2θθ=-降次，再计算．● 当被积函数是(cos ,sin )cos R m θθθ⋅或(cos ,sin )sin R m θθθ⋅时，可利用欧拉公式将积分先化为 再计算．② 形如()d R x x +∞-∞⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分()d R x x +∞⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．③ 形如()d imxR x e x +∞-∞⋅⎰或()cos d R x mx x +∞-∞⋅⎰或()sin d R x mx x +∞-∞⋅⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数，0m >．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分0()cos d R x mx x +∞⋅⎰；当()R x 是奇函数时，也可考虑积分()sin d R x mx x +∞⋅⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．④ 被积函数含有因子ln x ，x α注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，常选择相应多值函数的支割线的两沿以及单独围绕各支点的适当圆周作为补充积分路径． 8．理解对数留数1()d 2()C f z z i f z π'⎰的几何意义，掌握对数留数的计算公式．并掌握下面的一个结论：若0z 是函数()f z 的m 阶零点或m 阶极点，则0z 必为()()f z f z '的一阶极点，且当0z 是函数()f z 的m 阶零点时，0()Res()z z f z m f z ='=； 当0z 是函数()f z 的m 阶极点时，0()Res()z z f z m f z ='=-． 9．正确理解幅角原理与儒歇定理的条件和结论，并能熟练地运用幅角原理和儒歇定理来讨论区域内函数的零点和极点的分布情况或者方程根的分布情况．10．附：孤立奇点处留数的常用计算方法；合理使用留数定理计算复积分的技巧；补充积分路径利用留数计算实积分的基本思路；用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路．●孤立奇点处留数的常用计算方法我们仅对函数的孤立奇点才定义留数，对有限孤立奇点处的留数的计算归纳起来，主要有下面的三种常用方法，① 洛朗展式法，即若()f z 在其孤立奇点a 的去心邻域0z a R <-<内的罗郎展式为 则1Res ()z af z c -==，其中1c -是罗郎展式中1z a-这一项的系数。
复变函数 第五章 留数
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
【复变函数】第五章留数(工科2版)
(
z)
证明: 因为z0为f(z)的一级极点, 所以
f (z) c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) K
(z z0 ) f (z) c1 c0 (z z0 ) c1(z z0 )2 K
Res[
f
(z),
z0 ]
c1
lim(z
zz0
z0 )
f
(z)
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即:展开式中不含(z-z0)的负幂次项, 则称z0为可去奇点.
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(2). 极点: 若f(z)在z0处的洛朗级数为
f (z) cm(z z0)m cm1(z z0)m1 K c1(z z0)1 c0 c1(z z0) K , cm 0
即:展开式中只有有限个(z-z0)的负幂次项, 则称z0为f(z) 的极点. 若负幂次项的次数绝对值的最大值为 m, 则称z0为m 级极点。
解: z =±i , 1 是孤立奇点.
因为 z - 2 在 z =±i , 1处解析, 且不是零点
z =±i 是分母的 1 级零点，所以是 f (z) 的1级极点; z = 1 是分母的 3 级零点，所以是 f (z) 的 3 级极点 .
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(2)
f
(z)
ez 1 z2
解: z = 0是孤立奇点.
1
ze z
z
1
(
1) z
1 (1)2 2! z
K
z 1 1 (1)K 2! z
Res[
f
(z), 0]
c1
1 2
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3. 极点的留数
z0为f(z)的极点, 则有如下法则 (1). 法则1: z0为f(z)的一级极点, 那么
复变函数第五章2留数的一般理论
2020/6/3
1 !z idz
1 4 e12
定理5.5(留数定理） 设D是复平面上一个有界闭区域，
若函 f(z)数 在区 D内 域除有限个 z1,z2,孤 ,zn立 外 处 奇处 点解
且它D 在的边C界上也解析n ，则
f(z)d z2iRefs(z)[,zk].
C
k1
证明：分别z围 1,z2, 绕 ,zn构造小c1的 ,c2,圆 ,cn 周
z0是 f(z)的一阶 zi极 是 f(z)的 点二 ，阶
Re f(zs )0 [,]lifm (z)z z 0
lim
z0
eiz (z2 1)2
1
Rfe(z)si],[1lid m {f(z)(z i)2}
1 !z idz
d
eiz
lim { zi dz z(z
i)2}
3 4e
类似地，Rfe (z)s ,i] [1lim d{f(z)(z i)2 }
z0
f(z)在z0的去心 0邻 z域 上的罗朗级数
1
(fn( z0)zn11z)e(zzn 0n1z!1(11z)zn)e 1z(z zz 2 (n 0zz3 n ) (n) 01 ( n 1!1 z( 1z)2 1 n!)z 1 2 3 1 !z 1 3 )
z1的系数 c1
1 2!
解：ez在z 0的去心邻域内的罗 数朗 为级 ：
1
ez
1 (1)n
n0 n! z
ce1 zd zc {n 0n 1 !(1 z)n}d zc { 11 z2 !1 z2 }d z
2i
2020/6/3
2
二.留数定义
（一般情 计形 算） 积 cf(z分 )d， z 其 c为 中 z0去心邻
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例2
f (z)
极点, 则有一些对求 c1有用的规则.
2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则
Res[ f ( z ), z0 ] 1 (m 1)! z z0 d z lim d
求 f (z)
z
zne 11 Nhomakorabea( n 0 )的 极 点 。
z
1 n
1
z 2! z
z
m 1
m!
z 0 为 1 n阶 极 点 .
z 2 k i 为 e 1的一阶零点
(k 0)
z 2 k i为 f ( z )的 一 阶 极 点 ( k 0 ) .
如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有 lim f ( z ) .
z z0
例如, 对有理分式函数f ( z )
z2 ( z 1)( z 1)
2 3
,
z 1是它的三级极点, z i是它的一级极点.
问 题 ：z = 0 是 e 1 z
3 z
的几级极点？
3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多zz0的负幂项, 则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
称C1为 f (z)在 z0 的留数, 记作 Res[ f (z), z0], 即
Res[ f ( z ), z0 ]
f ( z ) d z, 2 i
C
1
Res[ f ( z ), z0 ] c1
定理一(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立 奇点 z1, z2, ..., zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线, 则
f ( z ) d z 一般就不等于零.
C
因此 f (z) = ... +cn(zz0)n+...+c1(zz0)1
+c0+c1(zz0)+...+cn(zz0)n+... 0<|zz0|<R 两端沿C逐项积分: f ( z ) d z 2π ic1.
C
即 C 1是 积 分 过 程 中 唯 一 残 留 下 来 的 L a u re n t 系 数 ,
第五章 留数
§1 孤立奇点 函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|zz0|<d内处处解析, 则z0称为 f (z)的孤立奇点.
例如函数 1
1
和 e z 都以z 0为孤立奇点.
z 不应认为函数的奇点都是孤立的. 例如 z=0 是函数
f ( z)
1 sin 1 z
的非孤立奇点。换句话说, 在 z=0 的不论
怎样小的去心领域内总有 f (z)的奇点存在.
将函数 f (z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|zz0|<d内展 开成洛朗级数. 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.
1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含zz0的负幂项, 则孤
lim j w
w 0
z
f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型
等价于j (w)在w=0的奇点类型。
即z=是f (z)的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看极限
lim f ( z )
z
是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不是
无穷大来决定.
例题1 例题2 例题3
f ( z ) ( z 2 )( z 1) . z 为 唯 一 奇 点 ： 阶 极 点 . 3
m 1
{( z z0 ) f ( z )} m 1
m
事实上, 由于 f (z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+c1(zz0)+..., (zz0)m f (z)=cm+cm+1(zz0)+...+c1(zz0)m1+c0(zz0)m+...,
立奇点z0称为 f (z)的可去奇点. 这时, f (z)= c0 + c1(zz0) +...+ cn(zz0)n +.... 0<|zz0|<d
显然 lim f ( z ) c0 , 补充定义 f z0 c0 ，
则在圆域|zz0|<d 内就有 f (z)=c0+c1(zz0)+...+cn(zz0)n +..., 从而函数 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.
z 0
综上所述:
如果z0为f ( z )的可去奇点 lim f ( z )存在且有限;
z z0
如果z0为f ( z )的极点 lim f ( z ) ;
z z0
如果z0为f ( z )的本性奇点 lim f ( z )不存在且不为.
z z0
我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的 类型.
k 1 n
即
C
注意定理中的条件要满足。例如
求积分
z
1 ln 1 dz 2 z
不能应用留数定理。
求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中 (zz0)1 项的系数 c1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对 求留数可能更有利. 如果 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Res[f(z),z0]=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展开. 如果 z0 是
z z0
例如 z 0是
sin z z
的可去奇点。因为这个函数在
z 0的去心邻域内的洛朗级数 sin z z 1 z (z 1 3! z
3
1 5!
z ) 1
5
1 3!
z
2
1 5!
z
4
中不含负幂的项.如果约定 则 sin z z
sin z z
在 z 0的值为 1,
如 f (z)在z0解析, 则z0是 f (z)的m级零点的充要条件是 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 .
这是因为, 如果 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开 为泰勒级数: f (z)=c0+c1(zz0)+...+cm(zz0)m+…， 易证 z0是 f (z)的m级零点的充要条件是前m项系数
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
f ( z ) d z 2 π i Res[ f ( z ), z
C k 1
n
k
].
D
zn C3 z3 Cn z1 z2
C1
C2
C
[证] 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z.
| w | 1 R .
映射成扩充w平面上原点的去心邻域：0
f (z) f ( 1 w ) j (w)
.这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+
1 R
对f (z)的研究变为在0 | w |
内对j (w)的研究.显然j (w)
在 0 | w |
lim f
z
1 R
内解析, 所以w=0是孤立奇点.
2
f (z) e
f (z) e
z
1 z
. z 0与 均 为 本 性 奇 点 .
. lim f ( z ) 1 为 f ( z )的 可 去 奇 点 .
z
ta n
1 z
zk
1 1 k 2
k
0 , 1, 2 , 为本性奇点
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
在z 0就成为解析的了 .
2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个zz0的负幂项, 且其中关于(zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即 f (z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+c1(zz0)+... (m1, cm0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成
f ( z) 1 ( z z0 )
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.