2020年浙江省杭州市临安区八年级(上)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（）A. 1，2，1B. 4，5，9C. 6，8，13D. 2，2，42.到三角形三边的距离相等的点P应是三角形的三条（）的交点．A. 角平分线B. 高C. 中线D. 垂直平分线3.如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（）个A. 3B. 4C. 5D. 64.不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.5.若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（）A. 4cmB. 6cmC. 4cm或8cmD. 8cm6.对于命题“若a×b=0，则a=b=0”，以下所列的关于a，b的值，能说明这是一个假命题的是（）A. a=1，b=3B. a=1，b=0C. a=0，b=0D. a=b=37.若x-3＜0，则（）A. 2x-4＜0B. 2x+4＜0C. 2x＞7D. 18-3x＞08.m、n两数在数轴上的位置如图所示，设A=m+n，B=-m+n，C=m-n，D=-m-n，则下列各式正确的是（）A. B＞D＞A＞CB. A＞B＞C＞DC. C＞B＞A＞DD. D＞C＞B＞A9.如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC=BC，∠DBA=20°，则∠DCE的度数是（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°10.如图，已知等边三角形△ABC边长为a，等腰三角形△BDC中∠BDC=120°，∠MDN=60°，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连结MN，则△AMN的周长为（）A. aB. 2aC. 3aD. 4a二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为______．12.已知命题“全等三角形的面积相等．”写出它的逆命题______，该逆命题是______命题（填“真”或“假”）．13.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=60°，那么∠A=______°．14.直角三角形两边长分别为6cm和8cm，则此直角三角形斜边上的中线长为______ ．15.如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．16.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1=（∠2+∠3）；（2）∠1=2（∠3-∠2）；（3）∠4=（∠3-∠2）；（4）∠4=∠1．其中有两个式子是正确的，它们是______和______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.（1）若x＞y，比较-3x+5与-3y+5的大小，并说明理由；（2）若x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，求a的取值范围．18.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1．（1）以图中点A为一个顶点画△ABC，使AB=5，AC=，BC=，且点B、点C都在小正方形的顶点上；（2）判断所画的△ABC的形状，并给出证明．19.如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是______；（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．20.如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．21.如图，过点B，D分别向线段AE作垂线段BQ和DF，点Q和F是垂足，连结AB，DE，BD，BD交AE于点C，且AB=DE，AF=EQ．（1）求证：△ABQ≌△EDF；（2）求证：C是BD的中点．22.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？23.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB=4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为______；（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB′的长度为______；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB′面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，知A、1+1=2，不能够组成三角形，故本选项错误；B、4+5=9，不能够组成三角形，故本选项错误；C、6+8＞13，能够组成三角形，故本选项正确；D、2+2=4，不能够组成三角形，故本选项错误．故选C．2.【答案】A【解析】解：在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形的三条角平分线的交点，故选：A．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．4.【答案】D【解析】解：∵x≥1，∴1处是实心原点，且折线向右．故选：D．根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．5.【答案】A【解析】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形，②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．故选：A．分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立，说明命题为假命题.本题中a、b的值满足a×b=0，但a=b=0不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可.【解答】解：A.当a=1，b=3时，a×b≠0，故A选项不符合题意；B.当a=1，b=0时，a×b=0，但a=b=0不成立，故B选项符合题意；C.当a=0，b=0时，a×b=0，但a=b=0成立，故C选项不符合题意；D.当a=b=3时，a×b≠0，故D选项不符合题意；故选B.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到结论．【解答】解：∵x-3＜0，∴x＜3，A、由2x-4＜0得x＜2，故错误；B、由2x+4＜0得x＜-2，故错误；C、由2x>7得，x>3.5故错误；D、由18-3x＞0得，x＜6，故正确；故选：D．8.【答案】A【解析】解：由数轴可知-2＜m＜-1＜0＜a＜1，∴-m+n＞-m-n＞m+n＞m-n，即B＞D＞A＞C，故选：A．根据数轴得出各个数之间的关系，再根据它们之间的关系化简解出A、B、C之间的大小关系即可．本题主要考查了数轴上点的大小关系和有理数的加减运算．解题的关键是明确数轴上的数左边的永远小于右边的数．9.【答案】A【解析】解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，∴ED=EB=AB，∴∠EDB=∠DBA=20°，∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=40°，∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点，AC=BC，∴EC=AB，CE⊥AB，∴∠DEC=130°，ED=EC，∴∠DCE=25°，故选：A．根据直角三角形的性质得到ED=EB=AB，EC=AB，等量代换得到ED=EC，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求出∠DEC=130°，计算即可．本题考查的是直角三角形的性质和三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°，∵△ABC是边长为a的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC，∴Rt△BDF≌Rt△CDN（HL），∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边，∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a，故选：B．要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．此题主要考查全等三角形的判定与性质，利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．11.【答案】2x-3≥0【解析】解：由题意得：2x-3≥0．故答案为：2x-3≥0．首先表示出x的2倍与3的差为2x-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x-3≥0．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．12.【答案】面积相等的三角形是全等三角形假【解析】解：命题“全等三角形的面积相等．”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，故答案为：面积相等的三角形是全等三角形；假．根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．13.【答案】75【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A-∠B=60°，∴2∠A=150°，∴∠A=77°，故答案为：75．根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题．本题考查直角三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．14.【答案】5cm或4cm【解析】解：①当6cm和8cm均为直角边时，斜边=10cm，则斜边上的中线=5cm；②当6cm为直角边，8cm为斜边时，则斜边上的中线=4cm．故答案为：5cm或4cm．先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求其斜边上的中线，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的综合运用．15.【答案】【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．16.【答案】（1）（3）【解析】解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，∴∠BAD=∠BAC，∠AHE=90°，∴∠1=90°-∠BAD=90°-∠BAC，而∠BAC=180°-∠2-∠3，∴∠1=90°-（180°-∠2-∠3）=（∠2+∠3）；又∵∠1=∠2+∠4，∴∠4=∠1-∠2=（∠2+∠3）-∠2=（∠3-∠2）；故答案为：（1），（3）．由AD平分∠BAC，EG⊥AD，根据三角形的内角和定理得∴∠1=90°-∠BAD=90°-∠BAC，而∠BAC=180°-∠2-∠3，于是∠1=90°-（180°-∠2-∠3）=（∠2+∠3）；再根据三角形外角性质得∠1=∠2+∠4，得到∠4=∠1-∠2=（∠2+∠3）-∠2=（∠3-∠2）；由此得到正确答案．本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也考查了角平分线和垂线的性质以及三角形外角的性质．17.【答案】解：（1）∵x＞y，∴不等式两边同时乘以-3得：（不等式的基本性质3）-3x＜-3y，∴不等式两边同时加上5得：5-3x＜5-3y；（2）∵x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，∴a-3＜0，解得a＜3．即a的取值范围是a＜3．【解析】（1）先在x＞y的两边同乘以-3，变号，再在此基础上同加上5，不变号，即可得出结果；（2）根据题意，在不等式x＜y的两边同时乘以（a-3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a-3＜0，解此不等式即可求解．主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．18.【答案】解：（1）如图所示：△ABC即为所求作的图形．（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵AC2+BC2=（）2+（）2=25，AB2=52=25∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形．【解析】（1）在正方形网格中找对点B、C，构造一个直角三角形即可；（2）根据勾股定理的逆定理即可证明．本题考查了应用与设计作图，解决本题的关键是熟练运用勾股定理和勾股定理的逆定理．19.【答案】解：（1）PA=PB=PC.（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-2×70°=40°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°，∵PA=PB=PC，∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．【解析】【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键，属于中档题．（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∵EP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案为：PA=PB=PC；（2）见答案.20.【答案】（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D为AC中点，∴DM=DC，∴△DMC是等腰三角形．【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．本题主要考查等腰三角形的判定和性质及直角三角形的性质，由条件得到M为BC的中点及AM⊥BC是解题的关键．21.【答案】证明：（1）∵AF=EQ，∴AQ=EF，在Rt△ABQ和Rt△EDF中，∴△ABQ≌△EDF（HL）；（2）∵△ABQ≌△EDF，∴BQ=DF，且∠BQC=∠DFC=90°，∠BCA=∠DCE，∴△BCQ≌△DCF（AAS）∴BC=DC，∴点C是BD中点．【解析】（1）由“HL”可证△ABQ≌△EDF；（2）由全等三角形的性质可得QB=DF，由“AAS”可证∴BCQ≌△DCF，可得BC=DC，即可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABQ≌△EDF是本题关键．22.【答案】解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，∴t=12÷2=6（秒）；（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），∴t=13÷2=6.5（秒）；（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），t=13÷2=6.5（秒）；综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．【解析】（1）先由勾股定理求出△ABC的斜边AB=10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．23.【答案】解：（1）4；（2）5；（3）如图3中，结论：面积不变．∵B，B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC∥BB′，∴S△ACB′=S△ACB=•82=16．（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，∵PA=2，∠PAE=60°，∴PE=PA•sin60°=，∴B′E=6+，∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．【解析】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=AC=8，∵PB=4，∴PB′=PB=PA=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB=5，B，B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∵OB=PB•sin60°=，∴BB′=5；故答案为5．（3）见答案；（4）见答案．【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，设直线l交BC于点E，连接BB′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；（3）如图3中，结论：面积不变，证明BB′∥AC即可；（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，求出B′E即可解决问题．本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。