(7)人教A版必修一同步训练1.2.1函数的概念
【金版新学案】高一数学人教A版必修一练习：1.2.1函数的概念(含答案解析)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！ )一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 ) 1．以下各组函数中，表示同一函数的是( )x 2－ 9A ． y ＝ x － 3 与 y ＝ x ＋ 3B ． y ＝ x 2－ 1 与 y ＝ x － 1C ． y ＝ x 0(x ≠ 0)与 y ＝ 1(x ≠ 0)D ． y ＝ 2x ＋1， x ∈ Z 与 y ＝ 2x －1， x ∈ Z分析： A 项中两函数的定义域不一样； B 项， D 项中两函数的对应关系不一样．应选 C.答案：C2．以下会合 A 到会合 B 的对应 f 是函数的是 () A ． A ＝ { － 1,0,1} ， B ＝ {0,1} ， f ： A 中的数平方 B ． A ＝ {0,1} ， B ＝ { － 1,0,1} ， f ： A 中的数开方 C ． A ＝ Z ， B ＝ Q ， f ： A 中的数取倒数D ． A ＝R ， B ＝ { 正实数 } ， f ： A 中的数取绝对值分析：依据函数定义，选项B 中，会合 A 中的元素1 对应会合 B 中的元素 ±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应独一的函数值的条件；选项 C 中，会合 A 中的元素 0 取倒数没存心义， 也不切合函数定义中会合A 中随意元素都对应着独一函数值的要求；选项 D中，会合 A 中的元素 0 在会合 B 中没有元素与其对应，也不切合函数定义．只有选项 A 符合函数定义．答案：Ax 2－ 1＝ ( )，则 f13．设 f(x)＝ x 2＋ 1f2A ． 1B ．－ 133C.5D ．－ 522－ 1 3分析：f＝22＋ 1 ＝5＝3×－5＝－ 1.1 1 2－1 3 53f 22 －41 2＋ 152 4答案：B4．若函数 y＝ f(x)的定义域M ＝{ x|－ 2≤x≤ 2}，值域为 N＝ { y|0 ≤y≤ 2}，则函数 y＝ f(x)的图象可能是 ()分析： A 中定义域是 { x|－ 2≤x≤0}，不是 M＝ { x|－ 2≤x≤2}， C 中图象不表示函数关系，D中值域不是 N＝ { y|0 ≤y≤2}．答案： B二、填空题 (每题 5 分，共 15 分 )5．已知 f( x)由下表表示x123f(x)211则函数 f(x)的定义域是 ________，值域是 ________．分析：察看表格可知函数f(x)的定义域是 {1,2,3} ，值域是 {1,2} ．答案：{1,2,3}{1,2}6．若 [ a,3a－ 1]为一确立区间，则 a 的取值范围是 ________．分析：由题意知1 3a－ 1>a，则 a> .2答案：1，＋∞21，则 f(f(a))＝ ________.7．设 f(x)＝1－x 分析：f( f(a))＝1＝1＝a－ 11 a.1－ a－11－1－ a1－ a 答案：a－ 1a ( a≠0，且 a≠ 1)三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 ) 8．求以下函数的定义域．(1)y＝2x＋ 1＋3－ 4x；1 (2)y ＝|x ＋ 2|－1.12x ＋1≥0? x ≥－ 2，分析：(1)由已知得33－ 4x ≥0? x ≤ ，413∴函数的定义域为 － ，.(2)由已知得：∵ |x ＋ 2|－ 1≠0，∴ |x ＋ 2| ≠1，得 x ≠－ 3， x ≠－ 1.∴函数的定义域为 (－ ∞，－ 3)∪ (－ 3，－ 1)∪ (－ 1，＋ ∞)．69．已知函数 f(x)＝ － x ＋ 4，(1)求函数 f(x)的定义域；(2)求 f(－1), f(12)的值．分析：(1)依据题意知 x － 1≠0且 x ＋4≥0，∴ x ≥－ 4 且 x ≠1，即函数 f(x)的定义域为 [－ 4,1)∪ (1，＋ ∞)．6－ 1＋ 4＝－ 3－ 3.(2)f(－ 1)＝－ 2－6－ 12＋4＝ 6 －4＝－38f(12)＝ 12－ 11111.。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第一章 1.2.1 函数的概念 Word版含答案[ 高考]
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1．2函数及其表示1．2.1函数的概念[学习目标] 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点).3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)一、函数的有关概念f，使对于集合A中的任意的一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应结论称f：A―→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 相关概念定义域x的取值范围A值域函数值的集合{}f（x）|x∈A二、两个函数相等的条件1．定义域相同；2．对应关系完全一致．三、区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.特殊区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y .( ) (3)f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 2．已知f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( )A ．2B ．4C ．±6D ．10 【解析】 ∵f (x )＝x ＋1，∴f (3)＝3＋1＝2.【答案】 A 3．函数f (x )＝11－2x有定义域是________(用区间表示)． 【解析】 由题意，需1－2x ＞0，解得x ＜12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 4．集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为________． 【解析】 集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为(1，10]． 【答案】 (1，10]预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)(2014·长沙高一检测)设M ＝x －2≤x ≤2，N ＝}y 0≤y ≤2，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数y ＝f (x )的图象为( )(2)下列函数中，f (x )与g (x )相等的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 (3)判断下列对应是否为函数． ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x 2；②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；④A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4.【解析】 (1)由函数定义可知任意作一条直线x ＝a 与函数图象至多有一个交点，故选项C 错误．由题设定义域中有元素－2，2知选项A 错误．由值域为{}y |0≤y ≤2知选项B 错误． (2)对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{}x |x ≥0，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B ，g (x )＝x 2＝|x |，与f (x )＝x 的对应关系不相同，所以不是相等函数；对于C ，g (x )＝x 2－4x －2＝x ＋2(x ≠2)，与f (x )＝x ＋2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D ，g(x)＝3x3＝x，与f(x)＝x的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数，故选D.【答案】(1)D(2)D(3)①因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，在对应关系f：x→y＝1x2之下，在B 中没有元素与之对应，因而不能构成函数．②对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．③对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0∉B，从而不能构成函数．④依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤：(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A是任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤：(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.【思路探究】解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．【解】 (1)∵x ≠2时，分式1x －2有意义，∴这个函数的定义域是{}x |x ≠2. (2)∵3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2才有意义，∴这个函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (3)∵要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{}x |x ≥－1且x ≠2.1．求解析式给出的函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值集合．已知函数y ＝f (x )：(1)若f (x )为整式，则定义域为R ；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是由几个部分的数字式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；5．若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(2014·济宁高一检测)函数y ＝1－x2x 2－3x －2定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 【解析】 要使函数y ＝1－x 2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2，所以x ≤1且x ≠－12，故选D.【答案】 Df (2x ＋1)的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为[1，3]，求函数f (x )的定义域．【思路探究】 (1)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，而非2x ＋1，解不等式1≤2x ＋1≤3即可．(2)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，本题实质是知1≤x ≤3，求2x ＋1的取值范围． 【解】 (1)∵函数f (x )的定义域为[1，3]，即x ∈[1，3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，∴2x ＋1∈[1，3]，∴x ∈[0，1]， 即函数f (2x ＋1)的定义域是[0，1]． (2)∵x ∈[1，3]，∴2x ＋1∈[3，7]， 即函数 f (x )的定义域是[3，7]．若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域为(0，1)，则f (2x )的定义域为__________．【解析】 因为f (x )的定义域为(0，1)，所以要使f (2x )有意义，须使0＜2x ＜1，即0＜x ＜12，所以函数f (2x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，12已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值．【思路探究】 (1)令x ＝2代入f （x ），g （x ）→得出f （2），g （2） (2)求g （3）→求f [g （3）] 【解】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13， 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)g (3)＝32＋2＝11，∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x ，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x 中f (3)＝2×3＝6.2．求f {f [f (x )]}时，一般要遵循由里到外的原则．在题设条件不变的情况下，求g [f (3)]的值． 【解】 ∵f (3)＝11＋3＝14， ∴g [f (3)]＝g ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2＝3316.1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只须两个函数的定义域和对应关系一致即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，“y＝f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f 与x的乘积”．3．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，这是求某函数定义域的依据．相等函数判断中的误区下列各组函数相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝|x|＋1和y＝(x－1)2＋1 C．y＝2x和y＝2x(x≤0) D．y＝x2＋1和y＝t2＋1【易错分析】 易失分点一：忽视函数定义域，误认为y ＝x 2－1x －1＝x ＋1，而误选A.易失分点二：忽视对应关系，误认为定义域和值域相同就是相等函数，而误选B. 【防范措施】 1.判断函数相等时，对较为复杂的函数解析式的化简要慎重，注意其等价性，本例对选项A 中第二个函数解析式的化简易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数．2．定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数才相等．【解析】 A 错误，由于函数y ＝x 2－1x －1中要求x －1≠0，即x ≠1，故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．B 错误，虽然定义域和值域相同，但对应关系不相同，因而不是相等函数．C 错误，显然定义域不同，因此不是相等函数．D 正确，虽然表示自变量的字母不同，但它们定义域和对应关系相同，因此是相等函数． 【答案】 D——[类题尝试]————————————————— 下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝（x ＋1）（x －1） B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1D ．f (x )＝（x ）4x 与g (t )＝⎝⎛⎭⎫t t 2 【解析】 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝（x ＋1）（x －1）的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不相等．D 中，f (x )＝（x ）4x ＝x (x＞0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎫t t 2＝t (t ＞0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．【答案】 D。
高中数学 1.2.1函数的概念同步测试 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
第一章1.21.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2xC ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考某某卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·某某高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值X 围是________．[答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的X 围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的X 围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．。
高一数学人教A版必修一精品教案：1.2.1函数的概念 Word版含答案
课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P 20例1解：（略）说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
函数及其基本性质-人教A版高中数学必修1课时训练(含答案)
1.2.1函数的概念双基达标 (限时20分钟)1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )． A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析 对A ，由x ＝y 2＋1，得y ＝±x －1，即当给定一个自变量值(如x ＝4)，有两个y 值与之对应，不符合函数定义． 答案 A2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )． A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析 由⎩⎨⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1，故选D.答案 D3．与y ＝|x |为相等函数的是( )． A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎨⎧x (x >0)－x (x <0)D ．y ＝3x 3解析 对A ，定义域不同；对C ，定义域不同；对D ，值域不同． 答案 B4．给出下列函数：①y ＝x 2－x ＋2，x >0；②y ＝x 2－x ，x ∈R ；③y ＝t 2－t ＋2，t ∈R ；④y ＝t 2－t ＋2，t >0.其中与函数y ＝x 2－x ＋2，x ∈R 是相等函数的是________．解析 对①④定义域不同；对②，对应关系不同，对③，虽然表示自变量的字母不同，但函数三要素相同，故③与该函数是相等函数． 答案 ③5．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析 由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ， 故函数值域为{1,2,3,4}． 答案 {1,2,3,4}6．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋5，f (a )＝10，求a 的值． 解 由f (a )＝10，得a 2－4a ＋5＝10， 即a 2－4a －5＝0， ∴(a －5)(a ＋1)＝0， ∴a ＝5或a ＝－1.综合提高 (限时25分钟)7．下列各组函数表示相等函数的是( )． A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析 A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应关系不同，C 中定义域与对应关系都相同． 答案 C8．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )．A ．1B ．－1 C.35 D ．－35解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35，∴f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.答案 B 9．y ＝x ＋4x ＋2的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧x ＋4≥0，x ≠－2，∴x ≥－4且x ≠－2.答案 {x |x ≥－4且x ≠－2}10．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． 解析 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． 答案 [－1,0)∪(1,2] 11．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解 要使函数式有意义，需满足⎩⎨⎧x ＋2≥06－2x ≥06－2x ≠1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2x ≤3x ≠52⇔－2≤x ≤3，且x ≠52.∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2≤x ≤3，且x ≠52.用区间表示为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，52∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3.12．(创新拓展)若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域． 解 要使g (x )有意义，必须有 ⎩⎨⎧ －2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即⎩⎨⎧－2≤x ≤1，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1，∴g (x )的定义域为[－1,1]．1.2.2函数的表示法双基达标 (限时20分钟)1．若g (x ＋2)＝2x ＋3，g (3)的值是( )． A ．9 B ．7 C ．5 D ．3解析 令x ＋2＝3，则x ＝1，∴g (3)＝2×1＋3＝5. 答案 C2．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( )．A．y＝12x B．y＝24xC．y＝28x D．y＝216x解析正方形的对角线长为24x，从而外接圆半径为y＝12×24x＝28x.答案 C3．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()．解析对C，当x＝0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象．答案 C4．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________．解析∵f(2x＋1)＝3x－2＝32(2x＋1)－72，∴f(x)＝32x－72，∴f(a)＝4，即32a－72＝4，∴a＝5.答案 55．已知f(x)与g(x)分别由下表给出那么f(g(3))＝________.解析∵g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 答案 16．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得⎩⎨⎧c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋52，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝3，b ＝－5.所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.综合提高 (限时25分钟)7．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )． A.B.C.D.解析 A 中，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N (Z ，Q )，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确． 答案 C8．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( )． A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4 解析 令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1. 答案 C9．下列图形中，可以是函数y ＝f (x )图象的是________．答案：①②③10．若f (2x )＝4x 2＋1，则f (x )的解析式为________． 解析 f (2x )＝4x 2＋1＝(2x )2＋1，∴f (x )＝x 2＋1. 答案 f (x )＝x 2＋111．作出下列函数的图象：(1)f (x )＝x ＋x 0；(2)f (x )＝1－x (x ∈Z ，且－2≤x ≤2)． 解 (1)如图1 (2)如图212．(创新拓展)已知函数f (x )对任意实数a 、b ，都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立． (1)求f (0)与f (1)的值； (2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )；(3)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，求f (36)的值． (1)解 令a ＝b ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令a ＝1，b ＝0，得f (0)＝f (1)＋f (0)，解得f (1)＝0. (2)证明 令a ＝1x ，b ＝x ，得f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )． (3)解 令a ＝b ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p ， 令a ＝b ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q . 令a ＝4，b ＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p ＋2q .1.2.2分段函数与映射双基达标 (限时20分钟)1．下列对应不是映射的是( )．解析 应满足一对一或多对一，且M 中元素无剩余． 答案 D2．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段； ③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1、D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅.其中正确的论断有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数是特殊的映射，由此知①正确；②中的定义域为{－2，－1，0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点，因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确． 答案 C3．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b (a ≥b )，a (a <b )，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)解析 由题意知f (x )＝⎩⎨⎧2－x (x ≥1)，x (x <1)，当x ≥1时，2－x ≤1；当x <1时，x <1，∴f (x )∈(－∞，1]． 答案 A4．下列图形是函数y ＝⎩⎨⎧x 2， x <0x －1，x ≥0的图象的是________．解析 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形③符合． 答案 ③5．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析 当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案 46．作出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)，x (x ≥1)的图象，并求其值域．解 当0<x <1时，y ＝1x 的图象是反比例函数图象的一部分． 当x ≥1时，图象为直线y ＝x 的一部分． 如图所示，由此可知，值域y ∈[1，＋∞)．综合提高 (限时25分钟)7．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1 (x ≥1)，1－x (x <1)，其图象为B.答案 B8．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x解析 判断是否是映射，只需判断集合P 中任何一个元素能否在集合Q 中找到唯一确定的元素与它对应．由于是选择题，可直接找出不是映射的对应．通过对比发现，在对应关系f ：x →y ＝23x 的作用下，4×23＝83>2.故选C. 答案 C9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2 (x ≤2)，2x (x >2)，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 当x >2时，有2x 0＝8，得x 0＝4；当x ≤2时，有x 20＋2＝8，得x 0＝－6或6(舍去)． 综上x 0＝4或x 0＝－ 6. 答案 4或－ 610．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________． 解析 由⎩⎨⎧x －y ＝3，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，即对应点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12 11．已知f (x )＝⎩⎨⎧x (x ＋4) (x ≥0)，x (x －4) (x <0)，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)，当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解． 综上可知a ＝－1.12．(创新拓展)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)． 解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252)1.3.1函数的单调性双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )． A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析 画出y ＝－x 2在R 上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．答案 A2．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )． A ．函数f (x )先增后减 B ．函数f (x )先减后增 C ．函数f (x )是R 上的增函数 D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析 由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数． 答案 C3．下列说法中正确的有( )．①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数； ④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 答案 A4．函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________．解析 二次函数f (x )的对称轴是直线x ＝m4，又二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，则m 4≤1或m4≥4，即m ≤4或m ≥16.答案 (－∞，4]∪[16，＋∞)5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0)，作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，326．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)<f (1－3x )，求x 的取值范围．解由题意可得⎩⎨⎧－1≤x －1≤1，－1≤1－3x ≤1，x －1<1－3x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤x ≤23，x <12，∴0≤x <12.综合提高 (限时25分钟)7．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )． A ．必是增函数 B ．必是减函数 C ．是增函数或减函数 D ．无法确定单调性解析 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x 在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性． 答案 D8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3. 答案 C9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案 －1≤x <1210．已知函数y ＝8x 2＋ax ＋5在[1，＋∞)上递增，那么a 的取值范围是________． 解析 函数y ＝8x 2＋ax ＋5的对称轴为－a 16.结合函数图象知－a16≤1，即a ≥－16.答案 a ≥－1611．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围． 解 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和(a ，＋∞)上分别单调，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上单调，只需a ≤1或a ≥2(其中当a ≤1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增；当a ≥2时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减)，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)． 12．(创新拓展)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． (1)解 ∵f (1)＝0，f (3)＝0，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明 ∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1<x 2，由f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22＋4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2<0，x 1>2，x 2>2， ∴x 1＋x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．1.3.1函数的最值双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )．A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析 由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2. 答案 C2．函数y ＝1x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )．A.14 B ．－1 C ．4 D ．－4解析 显然y ＝x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，故y ＝1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递减，∴y max ＝4.答案 C3．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )． A ．42,12 B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－14 解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，x ∈(－5,5)，∴当x ＝－32时，f (x )有最小值－14，f (x )无最大值． 答案 D4．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________． 解析 ∵x ∈N *，∴y ＝2x 2＋1≥3. 答案 35．若函数y ＝kx (k >0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________．解析 因为k >0，所以函数y ＝k x 在[2,4]上是减函数，所以当x ＝4时，y ＝k4最小，由题意知，k4＝5，k ＝20. 答案 206．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )．A ．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析 y ＝2x 在[2,4]上是减函数，∴y max ＝1，y min ＝12. 答案 A 8．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )．A.45B.54C.34D.43 解析 f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43.答案 D9．已知函数y *f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．解析 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数 ∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34答案 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3410．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，f (x )在[1，a ]内是单调递减的，又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a ≤3. 答案 (1,3]11．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元． (1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)租金增加了900元．所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆，租车公司的月收益为y 元． y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－60x ， 其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理得：y ＝－60x 2＋3 100x ＋284 000 ＝－60⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15562＋972 1253，当x ＝26时，y max ＝324 040，此时，月租金为：3 000＋60×26＝4 560元．即当每辆车的月租金为4 560元时，租车公司的月收益最大，为324 040元． 12．(创新拓展)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴方程为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调的，故－a ≤－5，或－a ≥5. 即实数a 的取值范围是a ≤－5，或a ≥5.1.3.2函数奇偶性的概念双基达标 (限时20分钟)1．已知y ＝f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( )． A ．5 B ．10 C ．8 D ．不确定解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－4)＝f (4)＝5， ∴f (4)＋f (－4)＝10. 答案 B2．对于定义域是R 的任意奇函数y ＝f (x )，都有( )．A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0解析对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选C.答案 C3．已知函数f(x)＝1x2(x≠0)，则这个函数()．A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析∵x≠0，∴f(－x)＝1(－x)2＝1x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案 C4．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.解析函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.答案 15．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y＝f(x)为偶函数，那么a＝________.解析因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称，所以2－a＝－4，∴a ＝6.答案 66．如图是偶函数y＝f(x)在x≥0时的图象，请作出y＝f(x)在x<0时的图象．解偶函数的图象关于y轴对称，由对称性可以作出函数y＝f(x)在x<0时的图象，如图中y轴左边的部分．综合提高 (限时25分钟)7．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即(－x ＋1)(－x －a )＝(x ＋1)(x －a )， ∴x ·(a －1)＝x ·(1－a )， 故1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 答案 C8．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )． A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a解析 ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )．∴选C. 答案 C9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a 的值为________．解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称， ∴a －1＝－2a ，a ＝13. 答案 1310．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立， 即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2恒成立． 所以m ＝0，即f (x )＝－x 2＋2.因为f (x )的图象开口向下，对称轴为y 轴， 所以f (2)<f (1)<f (0)，即f (－2)<f (1)<f (0)． 答案 f (－2)<f (1)<f (0) 11．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2x －1＋1－2x ； (2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2－x 2－2(x >0)，(x ＝0)，(x <0)；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1.解(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，不关于原点对称．该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称，f (1)＝2，f (－1)＝0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，故其既不是奇函数也不是偶函数． (3)定义域为R ，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0.故该函数为奇函数．(4)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，不关于原点对称． 所以函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．12．(创新拓展)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，求f (6)的值． 解 ∵f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2) ＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)． ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.1.3.2函数奇偶性的应用双基达标(限时20分钟)1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于()．A．0 B．－1 C．3 D．－3解析由题知，f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，所以－f(1)＝3，f(1)＝－3.答案 D2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()．A．0 B．1 C．2 D．4解析∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.答案 A3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点，③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0.其中正确命题的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．4解析偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f(x)＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.答案 A4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析设x<0，则－x>0，f(－x)＝－x＋1，又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－－x －1.因此，当x <0时，f (x )的解析式为f (x )＝－－x －1. 答案 －－x －15．若函数f (x )＝－x ＋abx ＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________．解析 f (x )为[－1,1]上的奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f (0)＝0，故a ＝0，则f (x )＝－x bx ＋1.又f (－1)＝－f (1)，所以－－1－b ＋1＝1b ＋1，故b ＝0，于是f (x )＝－x .函数f (x )＝－x 在区间[－1,1]上为减函数，当x 取区间左端点的值时，函数取得最大值1. 答案 16．已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (0)＝0，即b1＋02＝0， ∴b ＝0， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12a1＋14＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2. 综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝1－x 2＋91＋|x |是( )． A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 先求定义域，由⎩⎨⎧1－x 2≥01＋|x |≠0⇒－1≤x ≤1.∴定义域为[－1,1]．定义域关于原点对称． 又f (－x )＝1－(－x )2＋91＋|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 答案 B8．设偶函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )． A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析 因为当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以有f (2)<f (3)<f (π)．又f (x )是R 上的偶函数，故f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)<f (－3)<f (π)． 答案 A9．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)． 解析 由f (a )＋f (b )>0，得f (a )＞－f (b ) ∵f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴f (a )>f (－b )，又f (x )为减函数， ∴a <－b ，即a ＋b <0. 答案 <10．若y ＝f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f (－2)＝0，则不等式x ·f (x )<0的解集为________． 解析 根据题意画出f (x )大致图象：由图象可知－2<x <0或0<x <2时，x ·f (x )<0. 答案 (－2,0)∪(0,2)11．已知奇函数y ＝f (x )在[－1,1]上为增函数，解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)>0.解 ∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2>f (1－x )．又∵f (x )为定义在[－1,1]上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x2≤1，－1≤1－x ≤1，x 2>1－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，0≤x ≤2，x >23.即23<x ≤2.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x ≤2.12．(创新拓展)已知y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2. (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x 2＋2x －2，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2－x 2＋2x ＋2(x <0)，(x ＝0)，(x >0).(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为(－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及(1，＋∞)．。
人教版高中数学必修1学案：1.2.1函数的概念(2)
1．2.1函数的概念(2)一、三维目标：知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
掌握判别两个函数是否相等的方法。
情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。
二、学习重、难点：重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。
四、知识链接：1. 写出函数的定义：注：（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a 时的函数值。
（2）定义域是自变量x 的取值范围；（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。
2.集合的表示方法有： 。
五、学习过程：A 问题1. 区间的概念 （1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做 ,表示为 ；（3）满足不等式b x a <≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（4）满足不等式b x a ≤<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用 表示包括在区间内的端点，用 表示不包括在区间内的端点；实数集R 也可以用区间表示为 ，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+∞”读作“ ”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的集合分别表示为 。
贵州省高中数学人教新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念
贵州省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.2.1 函数的概念姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共16题；共32分)1. （2分）已知（）A . 9iB . 9+3iC . -9iD . 9-3i2. （2分）下列两个变量之间的关系是函数关系的是（）A . 光照时间和果树产量B . 降雪量和交通事故发生率C . 人的年龄和身高D . 正方形的边长和面积3. （2分） (2018高一上·长安月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·浙江期中) 下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·通榆月考) 对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（）A .B .C .D .6. （2分）设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）A .B .C .D .7. （2分）设U=R，,，则A .B .C .D .8. （2分）函数的值域是（）A . [0，2]B . [0，]C . [－1，2]D . [－1，]9. （2分）设函数y=f(x)，当自变量x 由改变到时，函数的改变量是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·赣州期中) 函数y= 的定义域为（）A . [﹣1，0）B . （0，+∞）C . [﹣1，0）∪（0，+∞）D . （﹣∞，0）∪（0，+∞）11. （2分）设函数，，则函数的值域为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·长春月考) 下列各组函数中,表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . ,与 ,13. （2分） (2016高一上·呼和浩特期中) 设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表1 映射f的对应法则原像1234像3421表2 映射g的对应法则原像1234像4312则与f[g（1）]相同的是（）A . g[f（1）]B . g[f（2）]C . g[f（3）]D . g[f（4）]14. （2分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则CU(A∩B)=（）A . {1，2，3，4}B . {1，2，4，5}C . {1，2，5}D . {3}15. （2分） (2016高一上·邹平期中) 函数y= 的定义域是（）A . （1，2]B . （1，2）C . （2，+∞）D . （﹣∞，2）16. （2分） (2016高三上·临沂期中) 函数y= （a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga +loga =（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共7题；共8分)17. （2分） (2019高一上·嘉善月考) 若函数定义域为 ,则函数定义域为________,函数定义域为________.18. （1分）(2018高一上·遵义月考)________19. （1分）下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．20. （1分） (2017高一上·靖江期中) 函数f（x）= 的定义域是________．21. （1分）定义一个对应法则f：P（m，n）→p′（m，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A（﹣2，6）与点B（6，﹣2），点M是线段AB上的动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 时，点M的对应点M′经过的路线的长度为________．22. （1分）函数y=ln（x2﹣2）的定义域为________23. （1分） (2016高三上·台州期末) 若函数f（x）=（2x2﹣ax﹣6a2）•ln（x﹣a）的值域是[0，+∞），则实数a=________三、解答题 (共6题；共75分)24. （10分） (2019高一上·白城期中) 求下列函数定义域（1）（2）25. （15分）已知函数g(x)＝，（1）点(3，14)在函数的图像上吗？（2）当x＝4时，求g(x)的值；（3）当g(x)＝2时，求x的值.26. （15分）已知f（x）＝（x≠－2），h（x）＝x2＋1．（1）求f（2），h（1）的值；（2）求f[h（2）]的值；（3）求f（x），h（x）的值域．27. （15分） (2018高一上·扬州期中) 已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）是否存在实数，使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数、，用表示集合中定义域为区间的函数的集合.定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”，的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.28. （10分）(2018高一上·会泽期中)（1）已知，求 .（2）求下列函数的定义域:29. （10分） (2018高三上·荆门月考) 海康威视数字技术股份有限公司在习主席“企业持续发展之基、市场制胜之道在于创新”的号召下，研制出了一种新产品。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1第一章1.2-1.2.1函数的概念
第一章 集合 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念A 级 基础巩固一、选择题 1．若f (x )＝2xx 2＋2，则f (1)的值为( ) A.13 B ．－13 C.23 D ．－23 解析：f (1)＝2×112＋2＝23.答案：C2．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果集合B ＝{1}，则集合A 不可能是( )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ．{－1，0}解析：由函数的定义可知，x ＝0时，集合B 中没有元素与之对应，所以，集合A 不可能是{－1，0}．答案：D3．已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1，5]，则在同一坐标系中，函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1解析：因为1在定义域[－1，5]上，所以f (1)存在且唯一． 答案：B4．下列四组函数中相等的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x解析：A项，因为f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(x)2(x≥0)两个函数的定义域不一致，所以两个函数不相等；B项，因为f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，所以两个函数不相等；易知C正确；D项，f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x两个函数的定义域不一致，所以两个函数不相等．故选C.答案：C5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()解析：A中值域不是N，B中当x＝1时，N中无元素与之对应，易知C满足题意，D不满足唯一性．答案：C二、填空题6．集合{x|－1≤x<0或2<x≤5}用区间表示为________．解析：结合区间的定义知，用区间表示为[－1，0)∪(2，5]．答案：[－1，0)∪(2，5]7．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，则g(f(2))＝________．解析：因为f(2)＝2×22＋2＝10，所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112.答案：1128．函数y ＝x ＋2－3x 2－x －6的定义域是___________________．解析：要使函数有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，即x >－2且x ≠3.所以函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞)．答案：(－2，3)∪(3，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝3x 2＋5x －2. (1)求f (3)，f (a ＋1)的值； (2)若f (a )＝－4，求a 的值．解：(1)易知f (3)＝3×32＋5×3－2＝40， f (a ＋1)＝3(a ＋1)2＋5(a ＋1)－2＝3a 2＋11a ＋6. (2)因为f (a )＝3a 2＋5a －2，且f (a )＝－4， 所以3a 2＋5a －2＝－4，所以3a 2＋5a ＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝－23.10．求下列函数的值域． (1)y ＝x －1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0，3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.解：(1)因为x ≥0，所以x －1≥－1. 所以y ＝x －1的值域为[－1，＋∞)．(2)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①)，可得函数的值域为[2，6)．图①(3)y ＝2x ＋1x －3＝2（x －3）＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②)，可得原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.图② B 级 能力提升1．函数y ＝x －1＋3的定义域和值域分别为( ) A ．[0，＋∞)、[3，＋∞) B ．[1，＋∞)、[3，＋∞) C ．[0，＋∞)、(3，＋∞) D ．[1，＋∞)、(3，＋∞)解析：由于x －1≥0，得x ≥1，所以函数y ＝x －1＋3的定义域为[1，＋∞)；又因为x －1≥0，所以y ＝x －1＋3≥3，所以值域为[3，＋∞)． 答案：B2．若f (x )＝ax 2－2，a 为正实数，且f (f (2))＝－2，则a ＝________．解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2， 所以f (f (2))＝a ·(2a －2)2－2＝－2， 所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正实数，所以2a －2＝0，所以a ＝22.答案：223．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f (5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值；(2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值．(1)解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝（－2）21＋（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1. f (5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝521＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1521＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1.(2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x2＋11＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1.。
高中数学 1.2.1函数的概念同步练习 新人教A版必修1
高考数学 1、2、1函数的概念 同步练习一、选择题1、已知,,a x y R ∈，集合1{(,)|},{(,)|}P x y y Q x y x a x====那么集合P ∩Q 中所含元素的个数是 （ ）A 、0；B 、1；C 、0或1；D 、1或22、下列函数中，定义域与值域相同的函数是 （ ）A 、y ＝log2x2；B 、y ＝2x ；C 、y ＝log2(x2＋1)；D 、12y x -=3、下列函数中，与函数y=2x2-3(x ∈R)有相同的值域的是 （ ）A 、y=-6x ＋3x2 (x ≥-1)；B 、y=3x-9(x ≤-2)C 、y=-x2＋1(x ≥2)；4、下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（ ）5、函数||1()2x y =的值域是 （ ） A 、(0，1]；B 、(0，1)；C 、(0，＋∞)；D 、[1，＋∞)6、在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A 、f （x ）＝x －1，g （x ）＝112＋－x x B 、f （x ）＝｜x ＋1｜，g （x ）＝⎩⎨⎧≥1111＜－－－－＋x x x x C 、f （x ）＝x ＋1，x ∈R ，g （x ）＝x ＋1，x ∈ZD 、f （x ）＝x ，g （x ）＝2)(x7、国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式，n ＝yx （x ：人均食品支出总额），且y ＝2x ＋475、 各种类型家庭：李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5％，该家庭在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下均少支出75元，则该家庭2002年属于……（ ）A 、贫困B 、温饱C 、小康D 、富裕8、拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）＝1.06×（0.5·［m ］＋1）（元）决定，其中m ＞0，［m ］是大于或等于m 的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（ ）A 、3.71元B 、3.97元C 、4.24元D 、4.77元二、填空题 9、函数0y =的定义域是__________________。
高一数学人教A版必修1同步练习：1.2-1函数的概念第一
1.2函数及其表示1．2.1函数的概念第一课时函数的定义及区间的概念知识点一：函数的概念1．如下图，可表示函数y＝f(x)的图象的只能是2．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(1)y是x的函数；(2)对于不同的x值，y的值也不同；(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；(4)f(x)一定可以用一个具体式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列四个等式中，能表示y是x的函数的是(1)x－2y＝2(2)2x2－3y＝1(3)x－y2＝1(4)2x2－y2＝4A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(1)(4)4．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N*，x∈A，y∈B，使B中元素y＝3x＋1和A中的元素x对应，则a＝________，k＝________.知识点二：区间及无穷大的概念5．以下对区间表示正确的是A．[30,1] B．[3,1] C．(－2，∞) D．(－∞，－1] 6．(改编题)用区间符号表示下列集合：(1){x|－2≤x≤3}：________；(2){x|－2＜x＜3}：______；(3){x|－2≤x＜3}：________；(4){x|－2＜x≤3}：________；(5){x|x＜－2}：____________；(6){x|x≥12}：__________.7．函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域是(用区间表示)__________． 8能力点一：函数及相等函数的判定 9．下列说法正确的是A ．y ＝f(x)与y ＝f(x ＋1)不可能是同一函数B ．定义域和值域都相同的函数是同一函数C ．f(x)＝1与f(x)＝x 0表示同一函数D ．y ＝f(x)与y ＝f(t)表示同一个函数10．下列函数中，与函数y ＝x(x ≥0)有相同图象的一个是A ．y ＝x 2B ．y ＝(x)2C ．y ＝3x 3D ．y ＝x 2x11． f(x)是定义在区间D 上的函数，那么直线x ＝a(a ∈D)与f(x)的图象有__________个交点．A ．0B ．1C ．无数D ．不确定12．从甲地到乙地的火车票价为80元，儿童乘火车时，按照身高选择免票、半票、全票，选择票种的规则如下：(1)若儿童身高h 为输入值，相应的购票款为输出值，则1.0→________，1.3→________，1.5→________.(2)若购票款为输入值，身高h 为输出值，则0→__________，40→__________. 能力点二：根据解析式的意义求函数值13．函数f(x)＝x ＋6，则f(3)等于A ．2B ．3C ．－3D ．9 14．设f(x)＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f (12)等于A ．1B ．－1 C.35 D ．－3515．设f(x)＝11＋x，g(x)＝x 2－1，则f(2)＝__________；f[g(2)]＝__________.16．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ＋1，x ＞0，若f(a)＝10，则a ＝__________.17.已知f(x)＝21＋x(x ∈R ，x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f[g(2)]的值； (3)求f[g(x)]的解析式．能力点三：抽象函数求值问题18．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x ，y ∈R )，f(1)＝2，则f(－2)等于A ．2B ．3C ．6D ．9 19．已知函数f(x)，g(x)则f[g(1)]的值为__________；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x 的值为________．20．(改编题)设函数f 1(x)＝x 12，f 2(x)＝x －1，f 3(x)＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2 010)))＝__________.21．(创新题)已知函数f(x)对任意实数a ，b 都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立． (1)求f(0)和f(1)的值； (2)求证：f(1x)＝－f(x)；(3)若f(2)＝p ，f(3)＝q(p ，q 均为常数)，求f(36)的值．22．(改编题)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“孪生函数”共有A．10个B．9个C．8个D．7个23．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面答案与解析基础巩固1．D由函数的定义知对任意的x值都有唯一的y值与其对应，故选D.2．B(2)不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时，y＝1；(4)不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子表示．3．A(1)可化为y＝12x－1，表示y是x的一次函数；(2)可化为y＝23x2－13，表示y是x的二次函数；(3)y＝±x－1，如x＝5，则y＝2或y＝－2，不符合唯一性，故y不是x的函数；(4)y＝±2x2－4，如果x＝2，则y＝±2，故y不是x的函数．4．2 5 按照对应法则y ＝3x ＋1，B ＝{4,7,10,3k ＋1}＝{4,7，a 4，a 2＋3a}， 而a ∈N *，a 4≠10，∴a 2＋3a ＝10，a ＝2，3k ＋1＝a 4＝16，k ＝5.5．D 对于区间的表示[a ，b]，其中要满足a ＜b ，故A ，B 错误；C 应为(－2，＋∞)；D 正确．6．(1)[－2,3] (2)(－2,3) (3)[－2,3) (4)(－2,3] (5)(－∞，－2) (6)[12，＋∞)7.[－1,2)∪(2＋∞) 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，2－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.8．3 x ＝6∈(5,10]，故y ＝3.能力提升9．D 两个函数是否是同一函数与所取的字母没有关系，判断两个函数是否相同，主要是看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，故A 是错误的；对于B ，如y ＝|x|和y ＝x 2的定义域和值域都相同，但不是同一函数，故B 错；对于C ，其定义域不同，前者的定义域为R ，后者为{x|x ≠0}；所以选D.10．B 由已知得函数y ＝x(x ≥0)的值域为{y|y ≥0}，对于A ，y ＝x 2＝|x|与y ＝x(x ≥0)的对应法则不同；对于C ，函数y ＝3x 3的定义域和值域都为R ；对于D ，函数y ＝x 2x的定义域为{x|x ≠0}，故选B.11．B 由函数定义知当a ∈D 时，必有f(a)是唯一的，故直线x ＝a(a ∈D)与f(x)的图象有一个交点．12．(1)0 40 80 (2)h ≤1.1 1.1＜h ≤1.413．B f(3)＝3＋6＝9＝3.14．B f (2)f (12)＝22－122＋1(12)2－1(12)2＋1＝35－3454＝35×(－53)＝－1.15.13 14 f(2)＝11＋2＝13； ∵g(2)＝22－1＝3， ∴f[g(2)]＝11＋3＝14.16．－3 若a 2＋1＝10，得a ＝±3，故a ＝－3；若－2a ＋1＝10，则a ＝－92，舍去．17．解：(1)f(2)＝21＋2＝23，g(2)＝22＋2＝6； (2)f[g(2)]＝f(6)＝21＋6＝27；(3)f[g(x)]＝f(x 2＋2)＝21＋(x 2＋2)＝2x 2＋3. 18．A 令x ＝y ＝＝0，令x ＝y ＝＝2f(1)＋2＝6；令x ＝2，y ＝－2，得0＝f(2－2)＝f(2)＋f(－2)－－2)＝8－f(2)＝8－6＝2，故选A.19．1 2 因为g(1)＝3， 所以f[g(1)]＝f(3)＝1.因为f[g(1)]＝1＜g[f(1)]＝3， f[g(2)]＝3＞g[f(2)]＝1， f[g(3)]＝1＜g[f(3)]＝3，所以满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x 值为2.20.12 010 f 3(2 010)＝2 0102，f 2(f 3(2 010))＝(2 0102)－1＝12 0102，所以f 1(f 2(f 3(2 010)))＝(12 0102)12＝12 0102＝12 010. 21．(1)解：令a ＝b ＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令a ＝1，b ＝0，得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.(2)证明：令a ＝1x ，b ＝x ，得f(1)＝f(1x )＋f(x)＝0，∴f(1x)＝－f(x)．(3)解：令a ＝b ＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p ，令a ＝b ＝3，f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q ，令a ＝4，b ＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p ＋2q.拓展探究22．B 由x 2＝1得x ＝±1；由x 2＝4得x ＝±2.故函数的定义域所有的可能为：{1,2}，{1，－2}，{1,2，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2，－2}，共9个．23．A 由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0、t 1时刻，甲车均在乙车前面，选A.。
高一数学人教A版必修1同步训练：1.2-1函数的概念 含解
1.2 函数及其表示1．2.1 函数的概念1．对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2( )A.4 B ．3 C 3．已知函数f(x)＝x 2＋|x －2|，则f(1)＝________. 4．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x －2；(2)f(x)＝3x ＋2；(3)f(x)＝x ＋1＋12－x.课堂巩固1．下列两个函数相等的是( )A ．y ＝x 2与y ＝xB ．y ＝4x 4与y ＝|x| C ．y ＝|x|与y ＝3x 3D ．y ＝x 2与y ＝x 2x2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x|x ≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≥1或x ≤0}D ．{x|0≤x ≤1}3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x>0.若f(x)＝17，则x 等于… ( )A ．4B ．－4C ．4或－4D ．4或－4或－1724．已知两个函数f(x)和g(x)，其定义如下表：5．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为__________．6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.7．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x＋1)的定义域是________．8．求下列函数的定义域：(1)y＝2x－1－7x；(2)y＝(x＋1)0 |x|－x.1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②2．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费，由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为()A．3.71元B．3.97元C．4.24元D．4.77元3.已知a是实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1( )A ．90元B ．80元C ．70元D ．60元 5．对于两种运算：＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b)2，则函数f(x)＝(x ⊗2)－2的解析式为( )A ．f(x)＝4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f(x)＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f(x)＝x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f(x)＝－4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3,9}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．7个7．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x<2，2x ，x ≥2，若f(x)＝3，则x ＝______.8．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋23)的定义域为__________．9．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？10．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，边坡的倾斜角是45°.(1)试将横断面中水的面积A(m 2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．答案与解析1．2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念课前预习1．B ②不对，如f(x)＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．2．B x ＝6∈(5,10]，故y ＝3. 3．2 f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2.4.解：(1)∵x －2＝0，即x ＝2时，分式1x －2无意义，∴这个函数的定义域是{x|x ≠2}．(2)当3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2有意义，∴这个函数的定义域是{x|x ≥－23}．(3)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{x|x ≥－1且x ≠2}．课堂巩固1．B y ＝x 2＝|x|，它与y ＝x 的对应关系不同，与y ＝x 2x＝x(x ≠0)的定义域不同．y＝3x 3＝x ，它与y ＝|x|的对应关系不同．2．D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.3．B 当x ≤0时，由x 2＋1＝17，得x ＝－4；当x>0时，由－2x ＝17，得x ＝－172不合题意．综上可知x ＝－4.4．3 2 1 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 5．{－1,1,3,5,7} ∵x ＝1,2,3,4,5， ∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 6.73 令3x ＋2＝4，得x ＝23，则2x ＋1＝2×23＋1＝73，∴a ＝73. 7．[－1,1] 由函数的对应关系知0≤x ＋1≤2，解得－1≤x ≤1.8．解：(1)要使函数解析式有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤17，∴0≤x ≤17.∴函数的定义域为{x|0≤x ≤17}．(2)要使函数解析式有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x|－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x<0，∴x<0且x ≠－1. ∴函数的定义域为{x|x<0，且x ≠－1}．课后检测1．C ①的定义域不是M ；④不是函数．2．C ∵m ＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式，得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 3．C 在f(x)＝ax 2＋x ＋1中，当a ＝0时，函数是一次函数，定义域和值域都是R . 4．C 当每间住房定价为90元时收入4 500元；当每间住房定价为80元时收入4 800元；当每间住房定价为70元时收入4 900元；当每间住房定价为60元时收入4 800元；当每间住房定价为50元时收入4 500元．5．D ∵＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2＝|x －2|，∴f(x)＝4－x 2|x －2|－2.∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|≠2， ∴x ∈[－2,0)∪(0,2]，f(x)＝－4－x 2x.6．B 由2x 2＋1＝3，得x ＝±1；由2x 2＋1＝9，得x ＝±2.将其一一列出，可组成9个“孪生函数”．7.3 按区间不同分别讨论，x ＋2＝3，x ＝1，这与x ≤－1相矛盾；x 2＝3，x ＝±3， ∵－1<x<2，∴x ＝3；2x ＝3，x ＝1.5，这与x ≥2相矛盾．8．[0，13] 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎨⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]． 9．解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形． 点评：判断一幅图象是不是函数图象，关键是看对给定的定义域内的任意一个x 是否都有唯一确定的函数值y 与之对应．若存在一个x 对应两个或两个以上y 的情况，就不是函数图象．函数图象是数形结合的基础．10．解：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h) m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h)]h 2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0＜h ＜1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h(0＜h ＜1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A ＜6.84.故值域为{A|0＜A ＜6.84}．(3)函数图象如下确定． 由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h ＜1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．点评：建立函数解析式的关键是找到自变量、对应关系和函数值．对于实际问题，函数的定义域除了使解析式有意义外，还要考虑到它的实际意义．。
2014年秋季高一数学新学期同步训练1.2.1《函数的概念》(人教A版必修1)
一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案： B2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋|x 2－1|x ＋2的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B ．(－2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析： 要使函数式有意义，必有x －12≠0 且x ＋2>0，即x >－2且x ≠12. 答案： C3．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( )A ．5B ．－5C ．6D ．－6解析： 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝0，4＋2p ＋q ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－3，q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.答案： C4．若函数g (x ＋2)＝2x ＋3，则g (3)的值是( )A ．9B ．7C ．5D ．3解析： g (3)＝g (1＋2)＝2×1＋3＝5.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝x 2－2x ＋5定义域为A ，值域为B ，则集合A 与B 的关系是________．解析： 显然二次函数的定义域为A ＝R ，又∵f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，∴B ＝[4，＋∞)，∴A B .答案： A B 6．设f (x )＝11＋x，则f [f (x )]＝________. 解析： f [f (x )]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x ＝11＋11＋x＝x ＋1x ＋2(x ≠－1且x ≠－2)． 答案： x ＋1x ＋2(x ≠－1且x ≠－2) 三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断下列各组函数是否是相等函数．(1)f (x )＝x －2，g (x )＝x －2；(2)f (x )＝x 3＋x x 2＋1，g (x )＝x . 解析： (1)∵f (x )＝x －2＝|x －2|，g (x )＝x －2， ∴两函数的对应关系不同，故不是相等函数．(2)∵f (x )＝x 3＋x x 2＋1＝x ， g (x )＝x ， 又∵两个函数的定义域均为R ，对应关系相同，故是相等函数．8．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4， (1)求函数f (x )的定义域；(2)求f (－1), f (12)的值．解析： (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．(2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3. f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？并证明你的发现． (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013. 解析： (1)∵f (x )＝x 21＋x 2， ∴f (2)＝221＋22＝45， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝15， f (3)＝321＋32＝910， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝110. (2)由(1)发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1. 证明如下：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. (3)f (1)＝121＋12＝12. 由(2)知f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1， …，f (2 013)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＝1， ∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋1 2 012个＝2 012＋12 ＝4 0252.。
【探究导学课】人教版高中数学必修1课时练：1.2.1函数的概念(含答案解析)
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课后提高作业六函数的观点(45 分钟70 分)一、选择题 (每题 5 分，共 40 分 )1.(2016 ·上海高一检测)某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩，则以下选项中必定正确的选项是()A.y 是 x 的函数B.z 是 y 的函数C.w 是 z 的函数D.x 是 z 的函数【分析】选 B. 姓名不是数集，故A，D 不建立，成绩 w 可能与多个身高z 对应，不可以组成函数 .学号会合到身高会合的对应是数集间的对应，且任一个学号都对应独一一个身高，所以z 是 y 的函数 .2.若 f(x)=，则 f(1) 的值为()A. B.- C.D.-【分析】选 C.由 f(x)=，得 f(1)== .【延长研究】此题条件不变，若f(a)=，则 a 的值为多少？【分析】由 f(a)=，得=，整理得： a2-2a+2=0，即 (a-)2=0，所以 a=.3.(2016 ·潍坊高一检测 )函数 f(x)=-的定义域是()A.-，1B.C.D.【分析】选 B. 由 1-x>0 ， 3x+1>0 可得， - <x<1 ，进而得 B 答案 .4.(2016 ·唐山高一检测2)已知 f(x)= π (x∈ R) ，则 f( π )的值是 ()A. π2B. πC.D.不确立【分析】选 B. 由函数分析式可知该函数为常函数，所以自变量取随意实数时函数值不变，均为π .所以 f( π2 )=π.5.(2016 ·平湖高一检测)以下几个图形中，能够表示函数关系y=f(x) 的图象的是()【分析】选 A.A 中知足每一个自变量对应独一的函数值； B ， C， D 中关于某一部分自变量值对应两个函数值，所以不可以组成函数关系.6.以下函数中与函数y=定义域同样的是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=【分析】选 A.y=的定义域为{x|x>0}.关于 A ，由得x>0，故f(x)=的定义域为{x|x>0}.关于 B， f(x) 的定义域为 {x|x ≠ 0}.关于 C， f(x)=|x| 的定义域为R.关于 D，由得x≥ 1，故定义域为{x|x≥ 1}.7.(2016 ·东莞高一检测)设 A={x|0 ≤ x≤ 2} ，B={y|1 ≤y≤ 2} ，以下图形表示会合 A 到会合 B 的函数的图象的是()【解题指南】认真察看图形，正确选项中x 的取值范围一定是[0， 2]， y 的取值范围一定是[1， 2]，由此进行选用 .【分析】选 D.A 和 B 中 y 的取值范围不是 [1， 2]，不合题意，故 A 和 B 都不建立；C 中 x 的取值范围不是 [0， 2]， y 的取值范围不是 [1，2] ，不合题意，故 C 不建立；D 中， 0≤ x≤2，1≤y≤ 2，且关于定义域中的每一个x 值，都有独一的y 值与之对应，切合题意 .8.以下函数中，不知足 f(2x)=2f(x) 的是 ()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【分析】选 C.关于 A ， f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)建立，关于 B ， f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x)建立，关于 C， f(2x)=2x+1≠ 2f(x) ，关于 D ，f(2x)=-2x=2f(x) 建立 .二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )9.(2015 ·汕头高一检测 )函数 y=f(x) 的图象与直线 x=1 的公共点有个 .【分析】设函数的定义域为[a， b]，由函数的定义知，函数的定义域中含有元素 1 时， y 有独一的一个值与之对应，此时函数 y=f(x) 的图象与直线x=1 有一个交点 (如图①所示 )；定义域中不包括 1 时，函数图象与 x=1 没有交点 (如图②所示 ).答案： 0或1【误区警告】此题简单忽略 1 可能不在函数y=f(x) 的定义域中的状况.10.(2016 ·肇庆高一检测 )已知定义域为R，函数 f(x) 知足 f(a+b)=f(a) ·f(b)(a ，b∈R)，且 f(x)>0 ，若 f(1)=，则f(-2)等于.【解题指南】函数f(x) 知足 f(a+b)=f(a) ·f(b)(a ，b∈ R)，且 f(x)>0 ，令 x=0 可求 f(0) ，而后由f(1)=可求f(2)，而后由f(0)=f(2)f(-2) 可求 f(-2).【分析】由于函数f(x) 知足 f(a+b)=f(a) · f(b)(a ， b∈ R)，且 f(x)>0 ，2所以f(0)=f (0)，所以 f(0)=1 ，由于 f(1)=，所以f(2)=f(1)· f(1)=，所以 f(0)=f(2)f(-2)=1 ，所以 f(-2)=4.答案： 4三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )11.(2016 ·重庆高一检测) 已知f(x)=，计算f(1)+f(2)++f(2016)+f+f+ +f.【解题指南】先计算f(x)+f的值，再对式子分组，而后乞降.【分析】 f(x)+f=+=+=1，故 f+f(2)=1，f+f(3)=1 ，， f+f(2016)=1 ，又 f(1)==，所以 f(1)+f(2)+ +f(2016)+f+f+ +f=f(1)+++ += +2015=.12.求函数 y=的定义域，并用区间表示.【分析】要使函数分析式存心义，需知足：即所以 -2≤ x≤ 3 且 x≠.所以函数的定义域是.用区间表示为-2，∪， 3 .【能力挑战题】若函数f(x)=的定义域为R，求m 的取值范围.【分析】要使函数f(x) 存心义，一定mx2+x+3 ≠ 0.2又由于函数的定义域为R，故 mx +x+3 ≠0 对一确实数x 恒建立 .当 m=0 时， x+3≠ 0，即 x≠ -3，与 f(x) 定义域为R 矛盾，所以m=0 不合题意 .当 m≠ 0 时，有=12-12m<0 ，得 m>.综上可知m 的取值范围是.封闭Word文档返回原板块。
2021人教A数学必修1配套训练：1.2.1 函数的概念
[A 组 学业达标]1．下列说法正确的是( ) A ．函数的定义域和值域可以是空集 B ．函数的定义域和值域一定是数集C ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：A 不正确，因为定义域和值域均为非空数集．C 不正确，如在函数f (x )＝x 2中，f (－2)＝f (2)＝4.D 不正确，因为函数的值域是由定义域和对应关系确定的．答案：B2．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析：x ＝0时，y ＝0；x ＝1时，y ＝－1；x ＝2时，y ＝0；x ＝3时，y ＝3. 答案：A3．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：f (2)＝22－122＋1＝4－14＋1＝35.f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1＝14－114＋1＝－35.∴f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝－1.答案：B4．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同． 答案：C5．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( ) A ．[－1,2)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.所以，函数的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．答案：D6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是__________． 解析：由题意3a －1>a ，得a >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 7．函数f (x )＝11－2x的定义域是__________(用区间表示)． 解析：函数f (x )＝11－2x 的定义域应满足1－2x >0，即x <12，用区间表示该数集为⎝⎛⎭⎫－∞，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12 8．设函数f (x )＝41＋x，若f (a )＝2，则实数a ＝__________. 解析：由题意知41＋a ＝2，解得a ＝1.答案：19．求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋1＋3－4x ； (2)y ＝1|x ＋2|－1.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，3－4x ≥0，∴⎩⎨⎧x ≥－12，x ≤34，∴－12≤x ≤34，∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，34.(2)由已知得：∵|x ＋2|－1≠0， ∴|x ＋2|≠1，∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x ＋1x ，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值． 解析：(1)要使函数有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.[B 组 能力提升]1．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正实数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f [f (－1)]＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去)． 答案：A2．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∈R )的值域是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：由于x ∈R ，所以x 2＋1≥1,0＜1x 2＋1≤1，即0＜y ≤1.答案：B3．已知函数f (x )的定义域为(0,1)，则f (2x )的定义域为__________．解析：因为f (x )的定义域为(0,1)，所以要使f (2x )有意义，须使0＜2x ＜1，即0＜x ＜12，所以函数f (2x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 4．若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝__________. 解析：由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞) 5．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)与f ⎝⎛⎭⎫13； (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系？并证明你的发现； (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 019. 解析：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＝221＋22＝45，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝15，f (3)＝321＋32＝910，f⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝110. (2)由(1)发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1.(3)f (1)＝121＋12＝12.由(2)知f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1， ∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋1＝2 018＋12＝4 0372.。
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1.2.1函数的概念
1、下列（1）、（20、（3）是否满足函数定义
(1) 若物体以速度v作匀速直线运动，则物体通过的距离S与经过的时间t的关系是S = vt.
(2) 某水库的存水量Q与水深h(指最深处的水深)如下表：
水深h(米)
5
10
15
20
25
存水量Q(立方)
20
40
90
160
275
（3）设时间为t，气温为T(℃)，自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点的温度曲线如下图.
老师引导学生分析例1、例2、例3是否满函数的定义. 并指明对应法则和定义域.
1、解、（1）的对应法则f：t→s = Vt，定义域t∈[0, +∞).
（2）的对应法则一个表格h→Q，定义域h∈{0, 5, 10, 15, 20, 25}.
（3）的对应法则f：一条曲线，t∈[0，24]. 对任意t，过t作t轴的垂线与曲线交于一点P (t, T)，即t→T.
2、函数y = f (x)表示（）
A．y等于f与x D．对于不同的x，y值也不同
2、解、由函数的定义，选C。
3、下列四种说法中，不正确的是（）
A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
3、解、由函数的定义域和值域知，选B。
4、已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = ，f (–1) = .
4、解、2.7；2
5、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（）
5、【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D.选B。
1.2.1函数的概念（第二课时。
函数的三要素）
1、求下列函数的定义域.（1）；（2）；（3）.
1、解：（1）x –2≠0，即x≠2时，有意义，∴这个函数的定义域是{x | x≠2}.
（2）3x + 2≥0，即x≥时，有意义，∴函数y =的定义域是，+∞).
（3），∴这个函数的定义域是{x | x≥–1}∩{x | x≠2} = [–1，2)∪(2，+∞).
注意：函数的定义域常用二种方法表示：集合、区间.
2、（1）已知f (x) = 2x + 3，求f (1)，f (a)，f (m + n)，f [f (x)].
（2）①已知f (x) = x2 + 1，则f (3x + 2) = ；②已知f (x) = 2x3 –1，则f (–x) = .（3）已知函数
f (x) =，
则f {f [f (–1)]} = .
（4）在函数
f (x) =中，若f (x) = 3，则x的值是（）
A．1 B．1或C．±D．
2、解：（1）f (1) = 2×1+3=5.
f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3.
f (m + n) = 2×(m + n) + 3
= 2 (m+n) + 3.
f [f (x)] = 2×f (x) + 3
= 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9.
（2）①9x2 + 12x + 5；②–2x3–1.
（3）；（4）D.
3、求下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）(a为常数).
3、【解析】（1）x∈R；（2）要使函数有意义，必须使x2 –4≠0，得原函数定义域为{x | x ∈R且x≠±2}；（3）要使函数有意义，必须使x + |x|≠0，得原函数定义域为{x | x＞0}；（4）要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4}；
（5）要使函数有意义，必须使得原函数定义域为{x | –2≤x≤2}；
（6）要使函数有意义，必须使ax –3≥0，得当a＞0时，原函数定义域为{x | x≥}；
当a＜0时，原函数定义域为{x | x≤}；当a = 0时，ax –3≥0的解集为，故原函数定义域为.
4、（1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x2)的定义域.
（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域.
（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x2 –2)的定义域.
4、【解析】（1）∵f (x)的定义域为(0, 1)，
∴要使f (x2)有意义，须使0＜x2＜1，即–1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f (x2)的定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t = 2x + 1，∴1＜t＜3，∴f (t)的定义域为1＜x＜3，∴函数f (x)的定义域为{x | 1＜x＜3}.
（3）∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t = x + 1，∴–1≤t≤4，
∴f (t)的定义域为–1≤t≤4.
即f (x)的定义域为–1≤x≤4，要使f (2x2 –2)有意义，须使–1≤2x2 –2≤4，∴≤x≤或≤x≤.
函数f (2x2 –2)的定义域为{x |–≤x≤或≤x≤}.
注意：对于以上（2）（3）中的f (t)与f (x)其实质是相同的.。