高考数学 课本例题习题改编 新人教A版选修2-1(学生版)
人教版高中数学全套教材例题习题改编(高考必做,高考题来源)
人教版高中数学全套教材例题习题改编 人教A 版必修1课本例题习题改编1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={}{}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，， 改编 已知集合4x x M xN N **⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且10，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．20x MN x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭D ．40x MN x N *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭解：{}20,M x x k k N *==∈， {}40,N x x k k Z ==∈，故选D .2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1，2}，则这样的集合B 有 个.改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来．解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合A 、B 有9对.改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n个，真子集个数有21n-个 改编3 满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=*C(B)C(A)当C(A),C(B)C(B)C(A)当C(B),C(A)B A ,若{}{}02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==，且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构成的集合S = .解：由{}2C(A)1,2A ==得，而1B A =*，故3C(B)1C(B)==或．由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或．当1C(B)=时，方程02)ax ax )(x(x 22=+++只有实根0x =，这时0a =．当3C(B)=时，必有0a ≠，这时0ax )(x 2=+有两个不相等的实根a x 0,x 21-==，方程02)ax (x 2=++必有两个相等的实根，且异于a x 0,x 21-==，有0,8a Δ2=-=∴22a ±=，可验证均满足题意，∴{}22,0,22-=S ．4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快， 答案选C ．改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 （ ）解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A ．5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=改编设函数D(x)= 则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D正确. 答案：C ．6.原题（必修1第二十四页习题 1.2A组第十题）改编已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4A B==．定义映射:f A B→，则满足点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A fB fC f构成ABC∆且=AB BC的映射的个数为.解：从A到B的映射有3464=个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且=AB BC，结合图形可以分析得到满足(3)(1)(2)f f f=≠即可，则满足条件的映射有114312m C C=⋅=个．7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为{}38,5x x x-≤≤≠且，值域为{}12,0y y y-≤≤≠的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点P（x,y）的坐标满足38x-≤≤，12y-≤≤，那么其中哪些点不能在图像上？改编若函数()y f x=的定义域为{}38,5x x x-≤≤≠，值域为{}12,0y y y-≤≤≠，则()y f x=的图象可能是（）A B C D解：根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除C；由定义域为1,x0,x⎧⎨⎩为有理数，为无理数，0,x01,x>0;≤⎧⎨⎩，{}38,5x x x -≤≤≠排除A 、D,选B.8.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）函数[x]f(x)=的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，4]5.3[-=-；2]1.2[=；当(]35.2， -∈x 时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．改编 1 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如2[2]=；2]1.2[=；3]2.2[-=-．函数[x]y =叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则]26[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333++++ 的值为 ． 解：由题意得，∵130=， ３１=3，９２=3，２73３=．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故原式＝422181602=⨯+⨯+⨯． 改编2已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.若关于x的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .111111111111A.[1,)(,]B.(1,][,)C.[,)(,1]D.(,][,1)243243342342- -⋃ - -⋃ - -⋃ - -⋃解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k 的取值范围为111(1,][,)243- -⋃ . 答案：B ．改编 3对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．这个函数[]x 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，（1）[]2log 1+[]2log 2+[]2log 3+[]2log 4+……+[]2log 1024= （2）设()[][],1,3f x x x x ⎡⎤=⋅∈⎣⎦，则()f x 的值域为 解：（1）[]2log 1=0，[]2log 2=[]2log 3=1，[]2log 4=[]2log 5=[]2log 6=[]2log 7=2，[]2log 8=[]2log 9=……=[]2log 15=3，[]2log 16=[]2log 17=……=[]2log 31=4，……[]2log 512=[]2log 512=……=[]2log 1023=9，[]2log 1024=10，则原式=234912223242++92+10⨯+⨯+⨯+⨯⨯，用“错位相减法”可以求出原式的值为8204.（2）[)[]()[)[]()1,21,1;2,2.52,4x x f x x x f x ∈==∈==时，时，；[)[]()[]()2.5,32,5;33,9x x f x x x f x ∈=====时，时，；故[]1,3x ∈时()f x 的值域为{}1,4,5,9答案：（1）8204； （2）{}1,4,5,9． 改编4 函数()[][]2,2f x x x x ⎡⎤=∈-⎣⎦，的值域为 .解：当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，(]()[]22,4,2{2,3,4}x f x x -∈=-∈；当[)1,0x ∈-时，[]1x =-，(]()[]0,1,{01}x f x x -∈=-∈，；当[)0,1x ∈时，[]0x =，()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]1x =，()[]=1f x x =；当=2x 时，()[]4=4f x =；∴值域为{0,12,3,4}，.答案：{0,12,3,4}，.9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：x1x f(x )2+=．改编 关于函数0)(x x1x lg f(x)2≠+=，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x >时，f(x)是增函数；当0x <时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．解： 0)(x x 1x lg f(x)2≠+=为偶函数，故①正确；令x 1x u(x)2+=，则当0x >时，x1x u(x)+=在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编 已知定义在[-2, 2]上的偶函数f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 若f (1-m )<f (m ), 则实数m 的取值范围是 .解：由偶函数的定义, (1)(|1|)()(||)f m f m f m f m -=-⎧⎨=⎩, 又由f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 所以10|||1|2m m m ≤<- ≤2⇒ -1≤<.答案：12m -1≤<.11.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第四题）已知集合A={x|2x =1}，集合B={x|ax=1}，若B ⊆A ，求实数a 的值.改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B ，则实数a 等于 。
新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)
新编人教版精品教学资料2015版人教A 版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 ****************1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==． 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++1221322382=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．这个几何体的体积121332ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．O OO 'O '22OO在Rt BB C''∆中，BC '==cos BB BC θ'===' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm )，所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm )．3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。
高中数学人教A版选修2-1高考真题(二)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）第二章 圆锥曲线与方程本章归纳整合高考真题1．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ( )． A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0及点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解①②得b 2＝5，a 2＝20，故选A.答案 A2．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2 左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )． A.14 B.35 C.34D.45 解析 ∵a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34，故选C. 答案 C3．(2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由定义知|MF |＝2＋p 2， ∴p 2＋2＝3，∴p ＝2，∴y 20＝2p ·2＝4p ＝8， ∴y 0＝±22，∴|OM |＝22＋y 20＝ 12＝ 2 3.答案 B4．(2012·课标全国)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )． A.12 B.23 C.34 D.45 解析 设直线x ＝32a 与x 轴交于点Q ， 由题意得∠PF 2Q ＝60°，|F 2P |＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2Q |＝32a －c ， ∴32a －c ＝12×2c ，e ＝c a ＝34，故选C. 答案 C5．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A.14B.55C.12D.5－2 解析 在椭圆中，易知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，∵|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，∴(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，则e ＝55，故选B.答案 B6. (2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝ 1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝40 3，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，解得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.7．(2012·福建) 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解 法一 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．法二 (1)同解法一．(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2， MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M .。
高中数学选修2-1人教A同步练习及答案解析-第2章2.2.1同步练习
高中数学人教A 版选2-1 同步练习1.若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 225＋y 29＝1上一点，则三角形PF 1F 2的周长等于( ) A ．16 B ．18C ．20D ．不确定解析：选B.由椭圆的定义知2a ＝10，2c ＝225－9＝8，所以三角形PF 1F 2的周长等于10＋8＝18. 2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P (2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝12()（2＋1）2＋0＋（2－1）2＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 3.已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．解析：由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4，2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 4.椭圆x 24＋y 2m＝1的焦距为2，则m 等于__________． 解析：∵2c ＝2，∴c ＝1.当椭圆的焦点在x 轴上时，由4－m ＝1得m ＝3；当椭圆的焦点在y 轴上时，由m －4＝1得m ＝5.答案：3或5[A 级 基础达标]1.若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 5 B ．2 3C ．4 5D ．4 3解析：选D.将点(－2，3)代入椭圆方程求得b 2＝4，于是焦距2c ＝216－4＝4 3.2.已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( )A.x 213＋y 212＝1 B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C.x 213＋y 2＝1 D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 解析：选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．3.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D.由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6a ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0a >－6 ⇔a >3或－6<a <－2.故选D.4.椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝1 5.(.·烟台高二检测)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为__________．解析：由已知c ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝41.根据椭圆定义可得：△ABF 2的周长为4a ＝441.答案：4416.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3，2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3，2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵2a ＝8，∴a ＝4.又点P (3，2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12. ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16，2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. [B 级 能力提升]7.(.·宜宾质检)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.m >n >0⇒1n >1m>0⇒方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；反之，若方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m >n >0.8.已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选 B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．9.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角，则|PF 1||PF 2|＝__________． 解析：两焦点的坐标分别为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100. 而|PF 1|＋|PF 2|＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝196，100＋2|PF 1|·|PF 2|＝196，|PF 1||PF 2|＝48.答案：4810.已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1， 得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)， 把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15. 故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 11.(创新题)已知椭圆中心在原点，两焦点F 1、F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝ （－4＋5）2＋32＋ （－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。
人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答
高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。
高中数学人教A版选修2-1数学·选修2-1(人教A版)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）数学·选修2－1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x, 都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x, 都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：将“存在”改为“任意”，将“x＞1”改为“x≤1”，则命题的否定为“对任意实数x, 都有x≤1”．故选C.答案：C2．已知非零向量a、b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b，反之若a∥b，不一定有a＋b＝0.故选A.答案：A3．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为()A.x225＋y29＝1 B.x29＋y225＝1C.x225＋y216＝1 D.x216＋y29＝1答案：A4．设|a|＝3，|b|＝6, 若a·b＝9，则〈a，b〉等于() A．90°B．60°C．120°D．45°答案：B5．以双曲线x29－y216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0解析：因为c ＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线的右焦点为(5,0)，渐近线为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，点(5,0)到渐近线的距离为d ＝|4×5|42＋32＝4，所以所求圆的半径为r ＝d ＝4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16.故选A.答案：A6．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM→＝OA →＋OB →＋OC → B.OM →＝2OA →－OB →－OC → C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC → D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →答案：D7．已知向量a ＝(1,1，－2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，1x ，若a·b ≥0，则实数x的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 答案：C8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，若在椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝120°，则椭圆离心率的范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1解析：设椭圆一个短轴的顶点为B ，则∠F 1PF 2是椭圆上的点与焦点连线所成角的最大角，依题意有60°≤∠F 1PF 2<90°，所以sin∠F 1PF 2≥ sin 60°＝32，即c a ≥32，又c a ＜1，所以32≤ca＜1.故选D.答案：D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)9．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率为________．答案：3510．已知a ＝(2，－3,1)，b ＝(4，－6，x )，若a ⊥b ，则x 等于________．答案：－2611．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3”的逆否命题为______________________．答案：若x ≠1且x ≠3，则x 2－4x ＋3≠012．以下命题：①以直角三角形的边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③一个平面截圆锥．得到一个圆锥和一个圆台． 其中真命题的个数是________个． 答案：013．若圆C 以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，则圆心到准线的距离为2，则圆的半径为22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝13，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝13.答案：(x －1)2＋y 2＝1314. 下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x2＋x －13是有理数；③∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.所有真命题的序号是________．解析：①②显然正确；对于③，若α＝π2，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，所以③正确；对于④，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，所以④正确．故填①②③④.答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4≥0对于一切x ∈R 恒成立，命题q ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对于一切x ∈R 恒成立，所以g (x )函数的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，所以－2＜a ＜2.若q 为真命题，a ≤x 2恒成立，即a ≤1.由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞1，所以1＜a ＜2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ≤1，所以a ≤－2；综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜2或a ≤－2}．16．(本小题满分12分)直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：x 2＋y 22＝1交于A 、B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB (O 为坐标原点)，如右图所示．(1)当k ＝－1时，求AB 的长； (2)当k 变化时，求点P 的轨迹方程．解析：(1)当k ＝－1时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，2x 2＋y 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝43，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A 、B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43，(1,0)．∴ |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＝423.(2)设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2，整理得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 由此得x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点E 是AB 的中点，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k k 2＋2，y ＝4k 2＋2，消去k 得2x 2＋y 2－2y ＝0，这就是点P 的轨迹方程．17．(本小题满分14分)如右图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、 CD 的中点.(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明：面AED⊥面A1FD1.方法一以点D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)．→＝(0,1，－2)，AE→＝(0,2,1).∴AD→＝(－2,0,0)，D1F→＝0，(1)证明：∵AD→·D1F∴ AD⊥D1F.→＝0，(2)解析：∵AE→·D1F∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明：由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.方法二(1)证明：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴AD⊥面CDD1C1，又D1F⊂面CDD1C1，∴AD⊥D1F.(2)解析：如下图，取AB中点G，连接A1G，FG.因为F是CD的中点，所以GF与AD平行且相等．又A1D1与AD平行且相等，所以GF与A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，∴A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角或其补角．因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE.所以∠GA1A＝∠GAH，从而∠AHA1＝90°，即直线AE与D1F所成的角为直角．(3)证明：由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.18．(本小题满分14分)(2013·广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．答案：(1)证明：在图2中连接AO交DE于点G，在图2中连接A′G，因为A′G⊥DE，OG⊥BC，BC∥DE，A′G∩OG＝G，所以BC⊥平面A′OG，又A′O⊂平面A′OG，所以BC⊥A′O.连接OD，在△OCD中，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos 45°＝32＋2－2×3×2×22＝5，所以OD ＝5，因为AC ＝AB ＝32，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2， 所以A ′O ⊥OD ，OD ∩OG ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)解析：以O 点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)，设平面A ′CD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．由图2知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n |·|OA ′→|＝33×5＝155，所以二面角A ′CDB 的平面角的余弦值为155.19.(本小题满分14分)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63. (1)求椭圆方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝3.求证：直线AB 过定点，并求出直线AB 的斜率k 的取值范围．解析：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b2a＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t ，代入椭圆方程，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋1，x 1·x 2＝t 2－3k 2＋1，由k 1＋k 2＝3，得y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝3，①又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，②由①，②得2k ＋(t －1)·2kt 3＝3，化简，得t ＝2k －33.则直线AB 的方程为y ＝kx ＋2k －33＝k (x ＋23)－1， 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－1.又由于直线AB 和椭圆有两个不同的交点， 则Δ＝36k 2t 2－12(3k 2＋1)(t 2－1)＞0，又t ＝2k －33，解得直线AB 的斜率的取值范围是k ＜－1223或k ＞0 .20．(本小题满分14分)(2013·福建卷)如图，在抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心|OC |为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解析：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 416＋y 20， 即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0， 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆的半径为332.。
最新-高考数学 课本例题习题改编 新人教A版选修2-1 精
人教A 版选修2-1课本例题习题改编1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设M （x ，y ），则10BM y k x -=- (x ≠0)，(1)0AM y k x --=-(x ≠0)，BM AM k k =-t ，10y x -- ∙(1)0y x ---=-t(x ≠0)，整理得221x y t+=1(x ≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且以双曲线1322=-y x 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1).4,3,122222=+=∴==b a c b a 故双曲线1322=-y x 的两焦点),0,2(),0,2(21F F -过2F 向l 引垂直线‘l ：2-=x y ，求出2F 关于l 的对称点2‘F ，则2‘F 的坐标为（4，2）（如图）， 直线21‘F F 的方程为023=+-y x 。
∴⎩⎨⎧=-+=+-.04,023y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,25y x ∴)23,25(M 即为所求的点.此时，=+21MF MF 2'1MF MF +2'1F F ==102(2)设所求椭圆方程为12222=+by a x ，∴,2,10==c a ∴.6410222=-=-=c a b ∴所求椭圆方程为161022=+y x . 3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第八题）改编 已知椭圆与双曲线22221x y -=0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为221122x y -=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为22221x y a a +-=10），∴22201a a +-=1，即2a =2，∴椭圆方程为222x y +=1． （2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b ，弦的中点坐标为（x ，y ），则 y=2x+b且 222x y +=1得2298220x bx b ++-=，∴1289b x x +=-，1229b y y +=．即x=49b -，y=9b ，两式消掉b 得 y=14-x ．令△=0，226436(22)0b b --=，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y=1-x （4-≤x≤4）． 解：∵双曲线2211620x y -=得：a=4，由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8，|P 1F |=9， ∴|P 2F |=1＜（不合，舍去）或|P 2F |=17，故|P 2F |=17．5．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B 组第四题）改编 经过点A （2，1）作直线L 交双曲线2212y x -=于1P ，2P 两点，求线段1P 2P 的中点P 的轨迹方程． 解：设直线L 的方程为y=k （x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=，（2）； 又设1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ），P(x ，y)，则1x ，2x 必须是（2）的两个实根，所以有1x +2x =22422k k k -- (2k -2≠0)．按题意，x=122x x +，∴x=2222k k k --．因为(x ，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1=222(2)2k k k k ---+1=22(21)2k k --．再由x ，y 的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为2214()8(1)2177y x ---=，这就是所求的轨迹方程． 6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于不同的两点A 、B ，试确定实数a 的取值范围，使||2AB p ≤． 解：由题意，直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,， ∴221221)()(||y y x x AB -+-=]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-． 故]4,2(p p a --∈时，有||2AB p ≤． 7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A 组第六题）改编 直线l 与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，O 为抛物线的顶点，若OA ⊥OB ．则直线l 过定点解：设点A ，B 的坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ）（I ）当直线l 存在斜率时，设直线方程为y=kx+b ，显然k ≠0且b ≠0．联立方程得：2,2y kx b y x =+=消去y 得222(22)0k x kb x b +-+=，由题意：1x 2x =22b k ，12122()()b y y kx b kx b k =++=，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即 2220b b k k+=，解得b=0（舍去）或b=-2k ，故直线l 的方程为：y=kx-2k=k （x-2），故直线过定点（2，0）（II ）当直线l 不存在斜率时，设它的方程为x=m ，显然m ＞0，联立方程2,2x m y x ==解得y =即1y 2y =-2m ，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即22m m -=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l 方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B 组第一题）改编 已知F 1、F 2分别为椭圆191622=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ∆的面积.解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为94⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，此时21F PF ∆的面积为479；当以点P 为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为3779>，舍去。
高中数学人教A版选修2-1高考真题(一).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 常用逻辑用语本章归纳整合高考真题1．(2012·重庆)命题“若p 则q ”的逆命题是( )． A ．若q 则p B ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q 解析 原命题的逆命题是交换原命题的条件和结论．故选A.答案 A2．(2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4 解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C. 答案 C3．(2012·山东)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ( )．A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.答案 C4．(2012·湖北)设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的 ( )． A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件解析 ∵abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ac ＋1ab， ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴1bc ＋1ac≥2 1abc 2＝2· 1c ＝2c ，① 同理1bc ＋1ab ≥2b，② 1ac ＋1ab ≥2a，③ 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．①＋②＋③得a ＋b ＋c ≥1a ＋1b ＋1c ， 故abc ＝1是1a ＋1b ＋1c≤ a ＋b ＋c 的充分条件． 再令a ＝2，b ＝c ＝1，满足a ＋b ＋c ≥1a ＋1b ＋1c ， 但abc ≠1，故abc ＝1不是1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c 的必要条件．故选A. 答案 A 5．(2012·天津)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 因为{x |2x 2＋x －1＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞12或x ＜－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞12{x |2x 2＋x －1＞0}，故选A.答案 A6．(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )． A ．x ＝－12B ．x ＝－1C．x＝5 D．x＝0解析a⊥b⇔a·b＝0，a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0，故选D.答案 D7．(2012·上海)对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当m＜0，n＜0时，mn＞0，但mx2＋ny2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m＞0，n＞0，即mn＞0.故选B.答案B。
人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答
高中数学选修2-1课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习(P4)1、例：(1)若J+x-2=0,贝1J x=1;(2)若x=1,贝1+》一2=0.2、(1)真；(2)假；(3)真；(4)真.3、(1)若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题.(3)若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题.练习(P6)1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称.这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.练习(P8)证明：证明：命题的逆否命题是：若a—b=1,则a2~b2+2a—4b—3a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2<(i-b\-2?当。
一力=1时原式—ci+b-Q.-2.b-?>-b1—所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1A组(P8)1、(1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.2、(1)逆命题：若两个整数。
与人的和a+b是偶数，则都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数。
，力不都是偶数，则a+b不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数。
与人的和a+b不是偶数，则。
，力不都是偶数.这是真命题.(2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，贝血＞0.这是假命题.否命题：若m＜Q,则方程x2+x-m=0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2+x-m=0没有实数根，则m＜0.这是真命题.3、(1)命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.(2)命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形.这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等.这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形.这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题.所以，原命题也是真命题.习题1.1B组(P8)证明：要证的命题可以改写成“若p,则0”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设A3,CD是。
高中数学选修2-1人教A同步练习及答案解析-第2章2.4.2同步练习
高中数学人教A 版选2-1 同步练习1.顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y解析：选D.顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p >0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y ，x 2＝－16y .2.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：选B.由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.3.抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB |＝43，则焦点到弦AB 的距离为__________．解析：不妨设A (x ，23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1，0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.答案：24.过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线有__________条．解析：可知点(2，4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2，4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．答案：2[A 级 基础达标]1.(.·奉节调研)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D.设切线方程为2x －y ＋m ＝0，与y ＝x 2联立得x 2－2x －m ＝0，Δ＝4＋4m ＝0，m ＝－1， 即切线方程为2x －y －1＝0.2.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p 2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2， ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．3.抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15B ．215 C.152 D ．15解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1 y 2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， ∴|AB |＝（1＋22）（x 1－x 2）2＝5[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝15.4.抛物线y 2＝4x 上的点P 到焦点F 的距离是5，则P 点的坐标是________．解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，∴x 0＝4，∴y 20＝16，∴y 0＝±4.答案：(4，±4)5.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为__________．解析：设抛物线C 的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x 得交点坐标为A (0，0)，B (a ，a )，而点P (2，2)是AB 的中点，从而有a ＝4，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x6.若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求P 点横坐标及抛物线方程．解：设P (x ，y )，则∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9 p ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 p ＝18∴P 点横坐标为9或1， ∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .[B 级 能力提升]7.以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定解析：选C.|PF |＝x P ＋p 2，∴|PF |2＝x P 2＋p 4，即为PF 的中点到y 轴的距离．故该圆与y 轴相切． 8.等腰Rt △AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)．O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：选B.∵抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 是等腰直角三角形，∴由反射线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ， y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0 y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ， y ＝2p . ∴A 、B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )，∴|AB |＝4p ，S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.9.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0 y ＝ax 2，得ax 2－x ＋1＝0， 由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 答案：1410.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解：由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为：y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称，所以点A 与B 关于x 轴对称，∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23，∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得： (3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是：y 2＝3x 或y 2＝－3x .11.(创新题)某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图．某卡车在空车时能过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车能否通过此隧道，说明理由．解：如图建立直角坐标系．设抛物线标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(3，－3)在抛物线上，求得p ＝32，上拱抛物线方程为x 2＝－3y ，箱宽3(米)，故当x ＝1.5(米)时，y ＝－0.75(米)，即B (1.5，－0.75)，那么B 点到底的距离为5－0.75＝4.25(米)，而车与箱的高为4.5(米)，故不能通过．。
高考数学 课本例题习题改编 新人教A版必修2
O OO 'O '22OO人教A 版必修2课本例题习题改编1.原题（必修2第二十八页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
改编 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm)，所求体积221121233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=+3(cm )．2.原题（必修2第三十页习题1.3B 组第二题）已知三棱柱ABC- A B C '''的侧面均是矩形，求证：它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积。
（提示：依据三角形任意两边之和大于第三边即可得证）改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为a,b,c,（a>b>c ）。
分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S 1，S 2，S 3和V 1,V 2,V 3.则它们的关系为 ( ) A.S 1>S 2>S 3, V 1>V 2>V 3 B.S 1<S 2<S 3, V 1<V 2<V 3 C.S1>S2>S 3, V 1=V 2=V 3 D.S 1<S 2<S 3, V 1=V 2=V 3解：()a a bc V c b a S 21131,bc ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ 222231,c b V c c a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=πππcb V b b a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=232331,πππ 则选B3.原题（必修2第三十二页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：(1)(2)(3)(4)解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）。
高中数学 2.2.1课时同步练习 新人教A版选修2-1
第2章 2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8解析： 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 25－m ＞0m ＋9＞0m ＋9＞25－m ，解得8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是8＜m ＜25，故选B.答案： B2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1D.y 24＋x 2＝1解析： c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案： A3．已知(0，－4)是椭圆3kx 2＋ky 2＝1的一个焦点，则实数k 的值是( )A ．6 B.16C ．24 D.124解析： ∵3kx 2＋ky 2＝1，∴x 213k ＋y 21k＝1.又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a 2＝1k ，b 2＝13k ，c 2＝a 2－b 2＝1k －13k ＝23k ＝16，∴k ＝124.答案： D4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为() A ．12 B ．10C ．9D ．8解析： ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a .又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|2＋|PF 2|2＝64 ①|PF 1|＋|PF 2|＝10 ②②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝102－64，∴|PF 1|·|PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为9.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________． 解析： 由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－2722×4×2＝－12， 所以∠F 1PF 2＝120°.答案： 2 120°6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．解析： 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )，则x 24＋y 23＝1， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.答案： 6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧ 22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1. 8．已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．解析： 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y .因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，所以x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入，得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. 所以点M 的轨迹是一个椭圆．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程． 解析： 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝－4＋52＋32＋－4－52＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。
【2024版】新人教a版高中数学选择性必修第二册课后习题
可编辑修改精选全文完整版新人教a版高中数学选择性必修第二册课后习题一、函数：（1）若函数y=f(x)的导函数y′=f′(x)>0，则函数y=f(x)的增长速度随x 的增加而____。
A. 减小B. 增加C. 改变D. 不变（2）若三次函数y=ax3+bx2+ cx+d(a≠0)向左右两边移动，则在图象上表现为____。
A. 横移B. 整体上下移动C. 整体左右移动D. 整体改变大小（3）设函数f （x ）=ax2+bx+c （a＞0），如果关于x的方程f（x）=0有两个不等实数根，则称f（x）为____。
A. 偶函数B. 奇函数C. 增函数D. 减函数二、无理数：（1）无理数π可以表示为比值____的形式。
A. a：bB. a+bC. abD. a·b（2）无理数的最小正有理数逼近值可以用比值____表示。
A. a：bB. a+bC. abD. a·b（3）若不存在非0 的整数a，b使得a/b=√2, 则√2是一个____数。
A. 有理 B. 无理 C. 整 D. 实三、指数函数：（1）指数函数y=b^x(b>0，b≠1)的曲线上的任意一点都关于____有极大的对称性。
A. 原点B. x轴C. y轴D. 直线 y=b^x（2）指数函数y=2^x可以表述为____。
A. x的立方B. x的平方C. 2的x次方D. 2的乘方（3）请求解2^(3x+1)=1，则与实数x满足的条件是____。
A. x=1/3B. x=-1/3C. x=0D. x=1。
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第2章 2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0m ＋9＞0m ＋9＞25－m，解得8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是8＜m ＜25，故选B. 答案： B2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析： c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案： A3．已知(0，－4)是椭圆3kx 2＋ky 2＝1的一个焦点，则实数k 的值是( )A ．6 B.16 C ．24D.124解析： ∵3kx 2＋ky 2＝1， ∴x 213k ＋y 21k＝1. 又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a 2＝1k ，b 2＝13k ，c 2＝a 2－b 2＝1k －13k ＝23k ＝16，∴k ＝124.答案： D4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析： ∵PF1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64 ①|PF 1|＋|PF 2|＝10 ②②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝102－64， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为9. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析： 由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2， 则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27. 由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－722×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°. 答案： 2 120°6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．解析： 椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )， 则x 24＋y 23＝1，OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2 ＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 答案： 6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1. 8．已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．解析： 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y .因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，所以x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入，得x 2＋9y 2＝9， 即x 29＋y 2＝1. 所以点M 的轨迹是一个椭圆． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解析： 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝－4＋2＋32＋－4－2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。
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第三章空间向量与立体几何本章归纳整合高考真题1．(2012·天津)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，P A＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．解如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)． (1)证明：易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)， 于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD . (2)PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]． 由此得BE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h . 由CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2，所以，310＋20h2＝cos 30°＝32， 解得h ＝1010，即AE ＝1010. 2．(2012·北京)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． (1)证明 因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC . 所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD .所以DE ⊥平面A 1DC .所以DE ⊥A 1C .又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE . (2)解 如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ， 则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0. 又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3. 所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM →＝(0,1，3)，所以sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n ||CM →|＝48×4＝22.所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)解 线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0.又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，所以⎩⎨⎧2y －23z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3. 所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．3．(2012·课标全国)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC . 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD . BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC .(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1， 则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)． 则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→＝(－1,0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0.可取n ＝(1,1,0)．同理，设m 是平面C 1BD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0.可取m ＝(1,2,1)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32.故二面角A1－BD －C 1的大小为30°.4. (2012·大纲全国)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．解 (1)以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎫423，0，23，B ( 2，－b,0)．于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝⎛⎭⎫23，b ，23，DE →＝⎝⎛⎭⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP →＝0， m ·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0， 令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0， n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b， n ＝⎝⎛⎭⎫1，－2b ，2.因为面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)，cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°. 5．(2012·重庆)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点． (1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ，又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直，以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )， 由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，h ＝2 2. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝(0，5，0)． 设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即⎩⎨⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)．设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎨⎧5y 2＝0，22z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22＋1×1＝63.所以二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值为63.。
高中数学人教A版选修2-1高考真题(二).docx
第二章 圆锥曲线与方程本章归纳整合高考真题1．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ( )．A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0及点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解①②得b 2＝5，a 2＝20，故选A.答案 A2．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2 左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )． A.14 B.35 C.34D.45 解析 ∵a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34，故选C. 答案 C3．(2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由定义知|MF |＝2＋p 2， ∴p 2＋2＝3，∴p ＝2，∴y 20＝2p ·2＝4p ＝8， ∴y 0＝±22，∴|OM |＝22＋y 20＝ 12＝ 2 3.答案 B4．(2012·课标全国)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )． A.12 B.23 C.34 D.45 解析 设直线x ＝32a 与x 轴交于点Q ， 由题意得∠PF 2Q ＝60°，|F 2P |＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2Q |＝32a －c ， ∴32a －c ＝12×2c ，e ＝c a ＝34，故选C. 答案 C5．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A.14B.55C.12D.5－2 解析 在椭圆中，易知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，∵|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，∴(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，则e ＝55，故选B. 答案 B6. (2012·安徽)如图，F1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝ 1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝40 3，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，解得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.7．(2012·福建) 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解 法一 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．法二 (1)同解法一．(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2，MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M .。
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（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习+单元测试卷汇总第一章 1.1课时作业1一、选择题1．下列语句不是命题的是()A. 3是15的约数B. 15能被5整除吗？C. 3小于2D. 1不是质数解析：因为B选项中为疑问句，故不是命题．答案：B2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，故都不是命题．答案：A3．下列语句中假命题的个数是()①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤9的平方根是3或－3；⑥2不是质数；⑦2既是自然数，也是偶数．A．2B．3C．4D．5解析：④⑥是假命题，②③不是命题，①⑤⑦是真命题．答案：A4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案：B二、填空题5．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__________．解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．答案：①④6．命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；当m>0时，且Δ＝m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意；当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立．综上知0≤m<12.答案：[0,12)7．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．②是假命题，数0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句，不是命题．答案：②③④④三、解答题8．将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)同弧所对的圆周角不相等．解：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除(真命题)．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称(真命题)．(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等(假命题)．9．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：若命题p 为真命题，则可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.第一章 1.1 课时作业2一、选择题1．[2013·江西九江一模]命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A. “若x <y ，则x 2<y 2” B. “若x >y ，则x 2>y 2” C. “若x ≤y ，则x 2≤y 2” D. “若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．答案：C2．命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数D ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数．答案：A3．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：命题“若p ，则q ”的否命题为“若綈p ，则綈q ”，而“是”的否定是“不是”，故选B.答案：B4．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：原命题和它的逆否命题为真命题． 答案：C 二、填空题5．命题“若x >y ，则x 3>y 3－1”的否命题是________． 答案：若x ≤y ，则x 3≤y 3－1，将条件、结论分别否定即可．6．[2014·江西省临川一中月考]命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a 满足a >2，则a 2≥4”，这是一个真命题．答案：真7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立， 则m －1<x <m ＋1也成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2] 三、解答题8．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于0； (2)当x ＝2时，x 2＋x －6＝0； (3)对顶角相等．解：(1)原命题：“若a 是正数，则a 的平方根不等于0”． 逆命题：“若a 的平方根不等于0，则a 是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)垂直于同一个平面的两直线平行．(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．第一章 1.1课时作业3一、选择题1．命题“若¬p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是()A．若p，则¬q B．若q，则¬pC．若¬q，则p D．若¬q，则¬p解析：命题“若¬p，则q”的逆否命题为“若¬q，则p”．答案：C2．有下列四个命题：①“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：3．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：利用四种命题真假性关系可知D正确．答案：D4．[2014·济南教学质量检测]下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B. “若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C. 命题“任意的x∈R，都有2x2－1<0成立”为真命题D. 命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题解析：A不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；B正确，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然成立；C不正确，当x＝1时，2x2－1<0不成立；D不正确，因为命题“若cos x＝cos y，则x＝y”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．答案：B二、填空题5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，其逆命题为“若A∩B≠A则A∪B≠B”，否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”，逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”，全为真命题．答案：46．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系，便不难判断．答案：③和⑥，②和④①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．解析：①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD－A1B1C1D1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D 1四点共面，所以①的逆命题不真；②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题．答案：② 三、解答题8．命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0. 逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．9．[2013·咸阳模拟]给出命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a －1)x ＋a 2－2≤0的解集不是空集，则a ≤3”，判断其逆否命题的真假．解：先判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a －1)x ＋a 2－2≤0的解集不是空集，则 Δ＝(2a －1)2－4(a 2－2)≥0，解得a ≤94.当a ≤94成立时，a ≤3恒成立，所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题是真命题．第一章 1.2 课时作业1一、选择题1．“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x (y －2)＝0，则x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立，反之， 若x 2＋(y －2)2＝0，则x ＝0且y ＝2，一定有 x (y －2)＝0，因此，“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A. 答案：A2．“m ＝1”是“函数y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当m ＝1时，y ＝x 1－4＋5＝x 2，是二次函数；反之，若y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数，则m 2－4m ＋5＝2，即m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝1或m ＝3，因此，“m ＝1”是“y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0D ．b <0解析：由于函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x ＝－b2，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－b2≤0，即b ≥0，故选A.答案：A4．方程“ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实根”的充要条件是( ) A ．－1≤a <0 B ．a >－1C ．a ≥－1D ．－1≤a <0或a >0解析：a ＝0时，方程ax 2＋2x －1＝0有一正根，排除A 、D 两项；a ＝－1时，方程化为x 2－2x ＋1＝0，即(x －1)2＝0，x ＝1>0. 答案：C 二、填空题5．不等式x 2－3x ＋2<0成立的充要条件是________． 解析：x 2－3x ＋2<0⇔(x －1)(x －2)<0⇔1<x <2.答案：1<x <26．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或47．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．答案：底面是平行四边形 两组相对侧面分别平行 三、解答题8．求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解：(1)当a ＝0时，解得x ＝－1，满足条件；(2)当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a <0； 若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a>0－1a <0Δ＝1－4a ≥0⇒0<a ≤14.综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤14.反之，若a ≤14，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(充分性)当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，且n ＝1时也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (p ≠0且p ≠1)，即{a n }为等比数列．(必要性)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0且p ≠1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，又{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝p ，故p (p －1)p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，求得q ＝－1. 综上可知，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．第一章 1.3 课时作业6一、选择题1．如果命题“p 为假”，命题“p ∧q ”为假，那么则有( ) A ．q 为真 B ．q 为假C ．p ∨q 为真D ．p ∨q 不一定为真解析：∵p 假，p ∧q 假，∴q 可真可假，当q 真时，p ∨q 为真；当q 假时，p ∨q 为假． 答案：D2．“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ∧q 是真命题⇒p 是真命题，q 是真命题⇒p ∨q 是真命题；p ∨q 是真命题p ∧q 是真命题．答案：A3．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( ) A ．p 为真命题，p ∧q 为假命题 B ．p 为假命题，q 为假命题 C ．q 为假命题，p ∨q 为真命题 D ．p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题． 答案：D 4．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；由于方程x 2－2x －4＝0的判别式大于0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆(A ∪B )，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．答案：D 二、填空题5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是__________． 解析：x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题， 所以1≤x <2，即x ∈[1,2)． 答案：[1,2)6．“p 是假命题”是“p ∨q 为假命题”的__________条件．解析：p 假时，p 或q 不一定假，但p 或q 假时，p 一定假，所以“p 是假命题”是“p 或q 是假命题”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．若p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－ba }，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，且“p ∧q ”真命题，则a ，b 满足________．解析：因命题“p ∧q ”为真命题，所以p 、q 均为真命题，于是a >0，且a <b . 答案：0<a <b 三、解答题8．写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”形式的命题，并判断其真假． (1)p ：集合中的元素是确定的，q ：集合中的元素是无序的； (2)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边平行相等． 解：(1)“p ∧q ”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题． “p ∨q ”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．(2)“p ∧q ”：梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题． “p ∨q ”：梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．9．[2014·四川省绵阳中学期中考试]已知命题p ：对任意x ∈R ，函数y ＝lg(x 2＋m )有意义，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是增函数．若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：由于p ∧q 为真，则p 真且q 真．当p 为真时，即对任意x ∈R ，函数y ＝lg(x 2＋m )有意义． 即对任意x ∈R ，x 2＋m >0恒成立， 即m >－x 2恒成立，又－x 2≤0，所以m >0.当q 为真时，函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数， 所以有5－2m >1，解得m <2.解不等式组⎩⎨⎧m >0m <2得0<m <2，所以实数m 的取值范围是0<m <2.第一章 1.3 课时作业7一、选择题1．已知p ：2＋2＝5，q ：3>2，则下列判断中，错误的是( ) A ．p ∨q 为真，¬q 为真 B ．p ∧q 为假，¬p 为真 C ．p ∧q 为假，¬q 为假 D ．p ∧q 为假，p ∨q 为真解析：由于p 是假命题，q 是真命题，所以p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 真，¬q 假，由此可知，A 不正确，故选A.答案：A2．[2014·北京四中月考]若¬p∨q是假命题，则()A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ¬q是假命题解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假性判断．由于¬p∨q是假命题，则¬p 与q均是假命题，所以p是真命题，¬q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，故选A.答案：A3．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨(¬q)”表示()A. 甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B. 甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C. 甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D. 甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的意义以及在生活中的应用．¬q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨(¬q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，若命题p：a∈(A∩B)，则命题“¬p”是()A．a∈AB．a∈∁U BC．a∈(A∪B)D．a∈(∁U A)∪(∁U B)解析：∵p：a∈(A∩B)，∴¬p：a∉(A∩B)，即a∈∁U(A∩B)．而∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，故选D.答案：D二、填空题5．[2014·江西省临川一中月考]“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________，否命题是________．解析：本题主要考查命题的否定与其否命题的区别．命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除6．命题p ：{2}∈{1,2,3}，q ：{2}⊆{1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p ∨q 为真，②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假；⑤¬p 为真；⑥¬q 为假．其中判断正确的序号是__________．(填上你认为正确的所有序号)解析：由已知得p 为假命题，q 为真命题，所以可判断①④⑤⑥为真命题． 答案：①④⑤⑥7．若命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若¬p 是假命题，则a 的取值范围是__________．解析：¬p 是假命题，则p 是真命题，因此问题就是求p 真时a 的取值范围． 要使函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上单调递减，只需对称轴1－a ≥4，∴a ≤－3.答案：(－∞，－3] 三、解答题8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z ，若p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的值． 解：由x 2－x ≥6得x 2－x －6≥0，解之得x ≥3或x ≤－2， 即p ：x ≤－2或x ≥3，q ：x ∈Z ， 若¬q 假，则q 真， 又p ∧q 假，则p 假． 当p 假，q 真时，有－2<x <3 且x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1,2.9．已知：p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 且q 为假，¬p 为假，求m 的取值范围．解：p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0. 解得1<m <3.∵p 且q 为假，¬p 为假． ∴p 为真，q 为假，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3， ∴m 的取值范围为[3，＋∞).第一章 1.4 课时作业8一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．答案：B2．[2014·湖南师大附中月考]命题“∃x ∈R ，x 2>3”不可以表述为( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3解析：本题主要考查特称命题．“∃”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C 的表述不正确，故选C.答案：C3．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1解析：当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使 ax 20＋2x 0＋a <0；当a >0时，必需Δ＝4－4a 2>0， 解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1. 答案：A4．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1，0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：对于①，这是全称命题，由于 Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题； 对于③，这是特称命题，当x 0＝0或x 0＝1时，有x 20≤x 0成立，故③为真命题； 对于④，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C. 答案：C 二、填空题5．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________． ①正方形的四条边相等； ②有些等腰三角形是正三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知，0<a 2－1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<1a 2－1>0，即⎩⎨⎧a 2<2a 2>1，∴⎩⎨⎧－2<a <2a >1或a <－1，∴1<a <2或－2<a <－1. 答案：(－2，－1)∪(1，2)7．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．①∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)； ③∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ④∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．解析：由题意：x 0＝－b2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．答案：③ 三、解答题8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假： (1)所有的对数函数都是单调函数； (2)对某些实数x ，有2x ＋1>0； (3)∀x ∈{3,5,7},3x ＋1是偶数；(4)∃x 0∈Q ，x 20＝3. 解：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，且是真命题． (2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题． (3)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x ＋1，得10,16,22都是偶数，因此，该命题是真命题． (4)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．由于使x 2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．9．若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)．令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立．又f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，(1＋a )2＋2－a 2，a <－1. 因为f (x )的最小值f (x )min ≥a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，2－a 2≥a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，(1＋a )2＋2－a 2≥a⇒－1≤a ≤1或－3≤a <－1，得a ∈[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0. 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥0成立． 所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(2－a )>0，a <－1，f (－1)≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2. 所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．第一章 1.4课时作业9一、选择题1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．答案：D2．[2013·四川高考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则()A. ¬p：∀x∈A,2x∉BB. ¬p：∀x∉A,2x∉BC. ¬p：∃x∉A,2x∈BD. ¬p：∃x∈A,2x∉B解析：因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为¬p：∃x∈A,2x∉B.故选D.答案：D3．下列命题的否定是真命题的是()A．有理数是实数B．有些平行四边形是菱形C．∃x0∈R,2x0＋3＝0D．∀x∈R，x2－2x>1解析：根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.答案：D4．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011B ．存在整数m 0，n 0，使得m 20≠n 20＋2011C ．任意整数m ，n ，使得m 2≠n 2＋2011D ．以上都不对解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词． 答案：C 二、填空题5．[2014·山东滨州二模]命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是________． 解析：本题主要考查全称命题的否定．本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图象关于y 轴不对称6．若关于x 的函数y ＝x 2＋x ＋m 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是__________．解析：由题意知应满足的条件为x 2＋x ＋m ≥0恒成立，只需Δ＝1－4m ≤0，解得m ≥14.答案：[14，＋∞)7．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即不等式ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1对∀x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋(a －1)≥0恒成立．当a ＋2＝0时，不符合题意；故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ≤0，解得a ≥2.答案：[2，＋∞) 三、解答题8．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)p ：所有的正方形都是菱形；(3)p ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0； (4)p ：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．解：(1)是全称命题，¬p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0.因为对于任意的x ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，所以¬p 为假命题．(2)是全称命题，¬p ：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以¬p 为假命题．(3)是特称命题，¬p：∀x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬p为假命题．(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，¬p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，¬p为真命题．9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m>－4，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．第二章 2.1课时作业10一、选择题1．[2014·广东省中山一中期中考试]方程(2x－y＋2)x2＋y2－1＝0表示的曲线是() A．一个点与一条直线B．两条射线或一个圆C．两个点D．两个点或一条直线或一个圆。
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人教A 版选修2-1课本例题习题改编
1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．
2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且
以双曲线132
2
=-y x 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．
3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第八题）改编 已知椭圆与双曲线22
221x y -=
0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
线2
2
12y x -=于1P ，2P 两点，求线段1P 2P 的中点P 的轨迹方程．
6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于不同的两点A 、B ，试确定实数a 的取值范围，使||2AB p ≤．
7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A 组第六题）改编 直线l 与抛物线22y x =相交于
A 、
B 两点，O 为抛物线的顶点，若OA ⊥OB ．则直线l 过定点
8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B 组第一题）改编 已知F 1、F 2分别为椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ∆的面积.
9. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知B A O 、、三点共线，且OB n OA m OP += )0(>∈mn R n m 且、，则
n 4m 1+的最小值为 .。