线性代数期中试题
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期中考试试卷
线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。
7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。
8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。
9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。
10. 线性变换的像空间是变换的_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。
12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。
14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。
五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。
大学线性代数试卷-XX..线代期中(A类)答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一． 计算题（共50分）1．（6分）设211,()3323A f x x x -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦,计算()f A . 解（1）()2113321f A A A E --⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦。
2. （6分）计算4阶行列式0000a b aa ab A b a a a b a =.解()()11100221000100a b aa b a a b a a b b bA a b a b a a bb a b a a ba---=+=+----()200aa b b a a b bb a a ba---=+----()()()22224.a b a a b b b b a b aa--=+-=---3. （6分）设,A B 都是n 阶矩阵，且2A AB E -=，求3BA AB A -+的秩.解 由2A AB E -=即()A A B E -=可知矩阵,A A B -均为可逆矩阵，且1A A B -=-，因此()()A A B A B A E -=-=， 故AB BA =，从而()()()33R BA AB A R A R A n -+===.厦门大学《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿4. （6分）计算行列式11222211n n nna b a b a b c d c d c d .解 ()()()11112222n n n n D a d c b a d c b a d c b =---5.（6分）设A 是m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，问O A C B O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是否为可逆矩阵？若可逆，求其逆矩阵.解 由A 是m 阶可逆矩阵和B 是n 阶可逆矩阵可知0,0A B ≠≠,因此()()110mnmnO AB OC A B B OOA==-=-≠，故C 是可逆矩阵.设1XY C ZW -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由 1O A X Y AZAW E O CC B O Z W BX BY O E -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得,,,AZ E AW O BX O BY E ====，解得 11,,,Z A W O X O Y B --====，因此111.O B C AO ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6.（20XXXX 分）求111211132373a a A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩. 解 1111121102211320223730433a a a a a A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦, 当1a =时，111111000023023000046000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时()2R A =. 当1a ≠时，11112102102200104330031a a A a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 因为131a a ++和不同时为零，因此()3R A =.综合有2,1()31a R A a =⎧=⎨≠⎩.7（20XXXX 分）设1315011,130424210a A b a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，线性方程组AX b =有解，求常数a 的值.解 []213151315011011,130400112421000422a a A b a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,显然1a =或2a =时方程组有解. 当1a ≠且2a ≠时[]131513151315011011011,0021001100213002100110002aa a Ab a a a -⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.所以3a =-时方程组有解.故1,2,3a =-时方程组有解.二. （20XXXX 分）计算112312231233123(0,1,2,,)n n n i n na a a a a a a a A a a a a i n a a a a λλλλλ++=+≠=+.解 1123121310000n na a a a A λλλλλλλ+-=--1111123232323++++000=000n n nna a a a a a a λλλλλλλλλλ+11111232323=++++n n n a a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭312123123=1++++.n n n aa a a λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭三.（15分）已知矩阵10202-1010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和010110011B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若矩阵X 和Y 满足：2,()X XY E A X Y B E +=+=，求Y .解 由2X XY E +=即()X X Y E +=可得1X Y X -+=，故1Y X X -=-. 由()A X Y B E +=可得1AX B E -=，故X BA =,即01010202111002-1121011010031X BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由[]021*********,121010010101031001001302X E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦行可知1514101302X --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 因此1513220333Y X X ---⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.四. （20XX 分）设1102,2,211a αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若3T T X X αββγβ=+，求此方程组的通解.解 由于[]11221,2,242112T a a a a αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，[]102120,2,104202T a a a βγ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，故方程组3T T X X αββγβ=+为14132822612223a a X a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.对增广矩阵作初等行变换，有1413141328226022133122230000a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，当1a ≠-时，上式可化为14131413101328226021302131222300000000a a a a a a a --+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为()132313,23x a x x x ⎧++=-⎨-=⎩ 此时线性方程组的通解为()123133,.2x a c c x c x c =-+-⎧⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎩其中为任意常数当1a =-时，上式可化为14131423282260000122230000a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为 123423x x x +-=，此时线性方程组的通解为112211232423,.x c c x c c c x c =-++⎧⎪=⎨⎪=⎩其中,为任意常数五.(5分) 设A 为反对称矩阵()T A A =-， （I ）证明对任意n 维列向量α恒有0T A αα=.（II ）证明对任意非零常数c ，矩阵A cE +恒可逆，其中E 为n 阶单位矩阵. 证明 (I)因为T A αα是一个数，故()TT T T T T A A A A αααααααα===-，故0T A αα=.(II)(反证法)如果矩阵A cE +是不可逆的，则齐次线性方程组()0A cE x +=有非零解，设其为η，则,0A c ηηη=-≠，左乘T η，得T T A c ηηηη=-.因为η是非零向量，c 为非零常数，故0T T A c ηηηη=-≠， 与结论（I ）矛盾，故矩阵A cE +是可逆的.。
《线性代数》期中考试试卷
《线性代数》期中练习一、选择题（只有一个正确答案，每小题3分） 1. 行列式D = 0的必要条件是（ ）(A) D 中有两行（列）元素对应成比例；(B) D 中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0； (C) D 中有一行元素全为0；(D) D 中任意一行各元素都可用行列式的性质化为0.2. 若,0333231232221131211≠==m a a a a a a a a a D 则3332313123222121131211111254254254a a a a a a a a a a a a D ---==( ) (A) –40m (B) 40m (C) –8m (D) 20m 3. 设A ,B 均为n 阶方阵，则必有（ ）.(A) |A+B | = |A |+|B | (B) AB = BA (C) |AB | = |BA | (D) (A+B ) –1 = A –1 +B –1 4. 设A , B 均为n 阶非零矩阵，且AB = 0, 则R(A )，R(B )满足( ).(A) 必有一个等于0； (B) 都小于n; (C) 一个小于n ，一个等于n; (D) 都等于n.5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100'2B A =( ).(A) (–2)n |A ||B –1| (B) –2|A '||B | (C) –2|A ||B –1| (D) (–2)2n |A ||B –1|6. 设A , B , C 为n 阶方阵，AB = BA ，AC = CA ，则( )不一定成立.(A) ABC = BCA (B) ABC = CBA (C) ABC = BAC (D) CBA = CAB 7. 设向量组(I)为 α1=(a 11, a 12, a 13)，α2=(a 21, a 22, a 23)，α3=(a 31, a 32, a 33)，向量组(II)为β1=(a 11, a 12,a 13, a 14), β2=(a 21, a 22, a 23, a 24)，β3=(a 31, a 32, a 33, a 34), 则( )(A) (I)组线性相关⇒(II)组线性相关； (B) (I)组线 性无关⇒(II)组线性无关； (C) (II)组线性无关⇒(I)组线性无关； (D) (I)组线性无关⇔(II)组线性无关. 8. 已知β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( ).(A) α1，α2，α3线性相关； (B) α1，α2，α3线性无关； (C) α1可用β，α2，α3线性表示； (D) β可用α1，α2线性表示.9. 若向量β可由向量组A : α1, α2, … αm 线性表示, 那么向量组B : α1, α2, … αm , β的秩( )(A) 大于A 的秩 (B) 小于A 的秩 (C) 等于A 的秩 (D) 与A 的秩无关 10. 设C m ⨯n = A m ⨯s B s ⨯n , 则( ).(A) C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示； (B) C 的列向量组可由B 的列向量组线性表示； (C) A 的行向量组可由C 的行向量组线性表示； (D) B 的行向量组可由C 的行向量组线性表示. 二、填空题（每小题3分）1. 设xxxx x x x f 412412102132)(=，则x 3项的系数为_____________.2. n 阶行列式ab b a a b a b a 0000000000000000 =________________________.3. 方程02781941321111132=x xx 的全部根是___________________.4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62111402a A ，且R (A )=2，则a =____________.5. 设A 为3阶方阵，且|A |=4，则|A *-6A -1|=______________.6. 设3阶方阵A , B 满足A 2B -A -B =E , 其中E 为三阶单位矩阵，若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102020101A ，则|B |=_________________.7. A 是4⨯3矩阵，R (A )=3, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301120201B , 则R (AB ) =____________.8. 设α1=(1, 0, 3, 5), α2=(1, 2, 1, 3), α3=(1, 1, 2, 6), α4=(1, λ, 1, 2)线性相关, 则λ=___________.9. 若矩阵A =(α1, α2, α3, α4)经初等行变换变为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00005100302102001，那么向量组α1, α2, α3, α4的一个最大线性无关组为______________, 其余向量由此最大无关组线性表示的关系式为________________________.10. 设3阶矩阵A = (α, γ 1, γ 2), B = (β, γ 1, γ 2), 且|A |=3, |B |=5, 则|A+B | =_________.三、(6分)计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x .四、（8分）用克莱姆法则解方程组.52453⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++z y x z y x z y x五、（10分）设n 阶方阵A 和B 满足条件A+B = AB ,(1) 证明A - E , A +E 都为可逆矩阵，其中E 为n 阶单位方阵；(2) 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B , 求矩阵A .六、（8分）求向量组α1 = (1,0,2,1) , α2 = (1,2,0,1) , α3 = (2,1,3,0) , α4 = (2,5, -1,4) , α5 = (1,-1, 3, -1) 的一个最大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组线性表出.七、（8分）设向量组(I): α1, α2, …, αm ；(II): β1, β2, …, βm; (III): γ1, γ2, … , γm的秩分别为s1, s2, s3. 如果γi=αi-βi, (i=1,2,… , m), 证明s1≤s2+s3, s2≤s1+s3, s3≤s2+s1.。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
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5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
2019-2020线性代数期中试卷 (1)
= 9.
(10分)
2301
3
六. (10分) 设
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
,
3 6 −9 7 9
求矩阵A的秩, 并求A的一个最高阶非零子式.
解: 对矩阵A作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
∼
1 0 0
解: 对增广矩阵B = (A, b)作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
B
=
1+λ 1
1 1+λ
1 1
0 3
∼
1 0
1 λ
1+λ −λ
λ 3−λ
(3分)
1 1 1+λ λ
0 0 −λ(3 + λ) (1 − λ)(3 + λ)
(1) 当λ ̸= 0且λ ̸= 3时, R(A) = R(B) = 3, 方程组有唯一解; (2分)
C. A, B中至少有一个不可逆; D. A + B = O.
4. 设A∗为n阶方阵A的伴随矩阵, 则下列说法不正确的是(C ).
A. 若|A| ̸= 0, 则|A∗| ̸= 0;
B. 若|A| = 10, 则|A∗| = 10n−1;
C. 若R(A) = n − 2, 则A∗ ̸= O;
D. AA∗ = |A|E (其中E 为n阶单位矩阵).
A = EA = (A∗)−1A∗A = (A∗)−10 = 0,
从而与A ̸= 0矛盾. (4分)
(2) 由(1) A ̸= 0, 在A∗A = A E 两侧同时求行列式, A∗ A = A n, 从而 A∗ = A n−1. (3分)
2017-2018线性代数期中考试
2017-20181 线性代数一、填空题（每小题4分，共20分）1．四阶行列式中含有441221a a a 的项为__________；2．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ； 3． 设 1112131111121321222321212223313233313132333403434a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a --=≠--=--，则 _________； 4．设A 为3阶方阵，且4A =，则*126A A --=_______________；5．已知()()()T T T123=1,-2,-1,1=2,0,,0=-4,5,2t ααα-，，0,，且3α能由12, αα线性表示，则t =______________；二、选择题（每小题4分，共20分）1.设n 阶方阵A 满足220A A E --=，则必有（ ）A. 2A E =B. A E =-C. A 不可逆D. A E -可逆 2.行列式01221≠--k k 的充分不必要条件是（）（A ）-1k ≠（B ）3k ≠（C ）3k -1k ≠≠且（D ）3k -1k ≠≠或3.设A , B 均为n 阶方阵，则下列正确的是（ ）A. B A B A +=+B. BA AB =C. BA AB =D. 111)(---+=+B A B A4. 两个n 阶初等矩阵的乘积一定为 （ ）（A ）初等矩阵；（B ） 单位矩阵；（C ） 可逆阵；（D ） 不可逆阵。
5.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出)D s ααα,,,21 中有一部分线性无关期中考试试题 学期 学年三．（13分）（1计算行列式D=ab b b ba b b b b a b bb b a（2）计算行列式D= y y x x-+-+1111111111111111四．（10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4321,6063324208421221b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。
x09线性代数期中考试卷及答案详解
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)； 解：由于 A = 8. (B)； 解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作 初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)； 解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。 故选项(C)正确。
线性代数期中测验
线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。
云南财经大学《线性代数》10-11期中试卷答案
云南财经大学20201010至20201111学年第二学期《线性代数》课程期中考试试卷答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．行列式512312123122x x x D x x x=的展开式中含3x 的系数是－5；2．若行列式1023145x x 的代数余子式121A =−，则代数余子式21A =－4；3．设11,0,,0,22⎛⎞=⎜⎟⎝⎠α⋯为1n ×矩阵，矩阵T =−A E αα，2T =+B E αα，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB =E ；4．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ,111222333a b d a b d a b d ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，且4=A ，1=B ，则A+B =20；5．设矩阵310121342⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ，110225341−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，则−=AB BA 1461717391816−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠；6．设A 为n 阶非奇异矩阵，E 为n 阶单位矩阵，α为1n ×矩阵，b 是常数，记分块矩阵*||⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠T E O P A A α，⎛⎞=⎜⎟⎝⎠TAQ b αα，则PQ =1−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠()T A O A A b ααα；7．齐次线性方程组1231231232000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩只有零解，则a 应满足41≠−≠a a 且；8．如A 是n 阶方阵，满足22A A E O −+=，则1(2)A E −+=149()E A −；9．若向量(1,2,)T t =β可由向量组1(2,1,1)T =α，2(1,2,7)T =−α，3(1,1,4)T =−−α线性表出，则t =5；10．设向量组1(1,0,5,2)T =α，2(3,2,3,4)=−−T α，3(1,1,,3)T t =−α．若该向量组线性相关，则t =1；若该向量组线性无关，则t ≠1．二、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）11．设ij D a =为六阶行列式，则下列选项中为D 中带负号的项是（①）；①615243342516a a a a a a ；②1223344655a a a a a ；③213243165564a a a a a a ；④213243546566a a a a a a ．12．设i j M ，i j A 分别是4阶行列式1012110311101254i jD a −==−中元素i j a 的余子式与代数余子式（,1,2,3,4i j =），则D =（③）；①31323334+++A A A A ；②31323334254+++−A A A A ；③1333435++A A A ；④1424344414243444(1)(1)(1)(1)++++−+−+−+−M M M M ．13．用j A 表示三阶行列式i ja 的第j列(3,2,1=j )，且T ijam =，则1322(,25,3)−=A A A A （④）；①30m ；②15m −；③6m ；④6m −．14．设A 是任一n 阶矩阵，则下列交换错误的是（③）；①∗∗=A A A A ；②m p p m =A A A A （,m p 为正整数）；③T T =A A A A ；④()()()()+−=−+A E A E A E A E ．15．设111213212223313233a a a a A a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，131211122322212233323132a a a a B a a a a a a a a ⎛⎞+⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠，1100110001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，3001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则B =（②）；①12A P P ；②13A P P ；③31A P P ；④23A P P ．16．设A ，B 为n 阶方阵，则下列结论中正确的是（③）；①若A B O =，则A O =或B O =；②若A O ≠且B O ≠，则A B O ≠；③若A B O =，则0A =或0B =；④若A B O ≠，则0A ≠且0B ≠．17．设A 为n 阶可矩逆阵，A *是A 的伴随矩阵，k 为实数，则下列结论中不正确的是（①）．①()A A ∗∗=n k k (n 为正整数)；②2()A A A −∗∗=n (n 为正整数)；③()()A A ∗∗=T T ；④11()()A A ∗−−∗=．18．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列命题中正确的是（④）；①向量组12+αα，23+αα，34+αα，41+αα线性无关；②向量组12−αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关；③向量组12+αα，23+αα，34−αα，41−αα线性无关；④向量组12+αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关．19．如向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则（③）；①向量α必可由向量组,,βγδ线性表示；②向量β必不可由向量组,,αγδ线性表示；③向量δ必可由向量组,,αβγ线性表示；④向量δ必不可由向量组,,αβγ线性表示．20．对于n 元非齐次线性方程组A X B =和对应齐次方程组A X O =，正确的命题是（②）．①如A X O =只有零解，则A X B =有唯一解；②如A X B =有两个不同的解，则A X O =有非零解；③A X B =有唯一解的充分必要条件是0A ≠；④如A X O =有非零解，则A X B =有无穷多组解．三、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21．计算n 阶行列式012211000100000100n n n a a x a xD a x a x −−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．解：从第一行起，每行乘x加到下一行，得0122110010000010n n n a a x a x D a x a x−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯010221100001000001000n n a a a x a xa x a x−−−+−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0102210221011000010000000001000−−−−−+−++==+++−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n n n n a a a xa a x a x a a x a x ax010221022101120100001000000000100n n n n n n a a a xa a x a x a a x a x a a x a x −−−−−−−+−++=+++−+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1112010000100()(1)001001n n n n a a x a x −+−−−−=+++−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111120()(1)(1)n n n n n a a x a x −+−−−=+++−−⋯12120()(1)n nn n a a x a x −−−=+++−⋯1121200121n n n n n n n a a x a x a x a x a x a −−−−−−−=+++=++++⋯⋯11n n i i i a x −−−==∑22．设1111121113A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求1()A ∗−．解：****A A A A A E ==**11A A A A E A A ⎛⎞⎛⎞⇔==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠*11()A A A −⇔=又1(),A E −111100121010113001⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮⋮⋮111100010110002101⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮11110001011000112012⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1103201201011000112012−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1110052112010110(,())00112012E A −−−−⎛⎞⎜⎟→−=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮从而有11()−−=AA 5211211012012−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠于是有1||2A =，故*152********()1102201212012101A A A −−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠四、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题8分，共16分）23．已知向量组1(1,1,2,3)=T α，2(1,1,1,1)=−T α，3(1,3,3,5)T =α，4(4,2,5,6)=−T α，5(3,1,5,7)=−−−−T α．求：（1）该向量组的一个极大无关组；（2）并将其余向量表为该极大无关组的线性组合；（3）该向量组的秩．解：以51234,,,,T T T T Tααααα为行构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换，化为梯矩阵，得11212313414551112311231111111113351335425642564315731573T TTTT T TTT TTT TT A ⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=→−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−−−−−−−⎝⎠⎝⎠+αααααααααααααα1213141511123021202120636402123T T T T T T T T T ⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟−−−⎜⎟−⎜⎟⎝⎠+ααααααααα121312141215121112302120000()000043()00003()T T TT T T TT T T T T T T T⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎝⎠++−ααααααααααααααα121213121412151211()211231()0112220000()000043()00003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα121213121412151211()2103251()0112220000()000043()0003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα（1）梯矩阵非零的前两行对应的两个向量12,TTαα即12,αα就是该向量组的一个极大无关组；（2）将其余向量表为该极大无关组的线性组合，后三行分别对应3123121312()22T T T T T T T O −+−=⇒=−⇒=−αααααααααα412412141243()33T T T T T T T O −−−=⇒=+⇒=+αααααααααα51255121123()22T T T T T T T O ++−=⇒=−−⇒=−−αααααααααα（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα解法2：以12345,,,,ααααα为列构造矩阵12345(,,,,)A =ααααα，再对矩阵A 施行初等变换,将其化为行简化阶梯形矩阵，得12345(,,,,)A =ααααα11143113212135531567−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠11143022620113102262−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠11143022620000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠11143011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10212011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠则（1）12,αα是该向量组的一个极大无关组；（2）312412512232⎧=−⎪⎪=+⎨⎪=−−⎪⎩ααααααααα；（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα24．设(1,2,3,4)=α，(1,1,1,1)=β均为14×矩阵，试求：（1）T A =αβ；（2）T B =βα；（3）n A （n 为正整数）．解：（1）TA =βα12(1,1,1,1)34⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1111222233334444⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠（2）1211111112131434⎛⎞⎜⎟⎜⎟===×+×+×+×⎜⎟⎜⎟⎝⎠(,,,)()TB αβ11(10)10×==（3）由矩阵的幂及矩阵乘法的结合律，并利用（1）、（2）的结果，得()()()()n T n T T T A αβαβαβαβ==⋯()()()T TTTαβαβαβαβ=⋯111()1010TTTn n Tn αβαβαβαβ−−−===1111122221033334444n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.五、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题10分，共20分）25．设矩阵方程AB =A +2B ，且矩阵301110014A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，并计算矩阵B ．解：由题设，知22(2)AB A BAB B A A E B A=+⇔−=⇔−=而30110010121102010110014001012A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因10110110121100110111012012001A E−=−=−−=−−=−0≠于是，矩阵(2)A E −可逆故，矩阵方程(2)A E B A −=有唯一解1(2)B A E A−=−对分块矩阵(2,)A E A −作一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E ，这时右半部分就是1(2)XA E A −=−，即(2,)A E A −101301110110012014⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211012014⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211001223⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮1((2)),E A E A −=−求出矩阵方程(2)A E X A −=的解为1(2)XA E A −=−522432223−−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦26．讨论,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x a x +++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩无解，有唯一解，有无穷多解?有解时求其所有解．解：（1）“解的判断”：对其增广矩阵111100122101323211a b aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−−⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001221013201231a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−−−⎢⎥−−−−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001*********0010a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮因此当1a =，且1b ≠−时，()2()3r r A A=≠=⇔该方程组无解；当1a ≠时，()()3r r A A==⇔该方程组有唯一解；当1a =，且1b =−时，()()23r r A A==<⇔该方程组有无穷多组解.（2）“回代”求解：对其有解的情形，利用高斯（Gauss）消元法，对其增广矩阵变换化为行简化梯矩阵，再导出同解方程组.讨论如下①当1a ≠时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010(1)(1)00010b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1100(1)(1)010012(1)(1)0010(1)(1)00010b a b a b a −+−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1000(1)(1)1010012(1)(1)0010(1)(1)0010b a b a b a +−−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮即，该方程组的唯一解为1234(1)(1)112(1)(1)(1)(1)x b a x b a x b a x =+−−⎧⎪=−+−⎪⎨=+−⎪⎪=⎩②当1a =，且1b =−时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮10111012210000000000−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮导出同解方程组1342341122x x x x x x =−++⎧⎪⎨=−−⎪⎩令3142,x c x c ==（12,c c 为任意数），求出原方程组的无穷多组解为11221231421122x c c x c c x c x c =−++⎧⎪=−−⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,c c 为任意数）六、证明题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）27．设A 是n 阶可逆矩阵，且T A A =−，求证：11()()()()TE A E A E A E A E −−⎡⎤⎡⎤−+⋅−+=⎣⎦⎣⎦．证明：11[()()][()()]TE A E A E A E A −−−+−+11[()()][()]()T TE A E A E A E A −−=−++−11()()[()]()T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()T T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()E A E A E A E A −−=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−−++11()()()()E A E A E A E A −−=−++−11[()()][()()]E A E A E A E A −−=−++−E E E==28．已知向量组123,,ααα线性无关，求证：向量组1223+αα，23−αα，123++ααα线性无关．证明：11223βαα=+，223βαα=−，3123βααα=++设11223x x x Oβββ++=1122233123(23)()()x x x O ααααααα⇔++−+++=1311232233(2)(3)()x x x x x x x O ααα⇔+++++−+=由于向量组123,,ααα线性无关，故只有当131232320300x x x x x x x ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪−+=⎪⎩时，上式才能成立，齐次线性方程组的系数行列式33201211213113211(1)22131032011001+==×−=×−×=≠−由此可知，该齐次线性方程组仅有零解，从而向量组123,,βββ线性无关，即向量组1223αα+，23αα−，123ααα++线性无关.29．设A 为n 阶矩阵(n ≥2)，若r(A )=n －1，证明：r(A *)=1．证明：因为r(A )=n －1，所以A 中至少有一个n －1阶子式不为零，即A *中至少有一个元素不为零，故r(A *)≥1．又因r(A )=n －1，A 不是满秩矩阵，于是|A |=0．由*||=AA A E 知，*=AA O ，有*r()r()n +�A A ，把r(A )=n －1代入，得r(A *)≤1．综上所得r(A *)=1．。
2019线性代数考试_期中
2019~2020年第一学期《线性代数》期中考试专业 学号 姓名一、单选题（每题3分,共15分）⑴ 如果四阶行列式中每一列的四个元素之和等于0，则行列式的值为 A ．1 B. 4 C. 0 D. 不能确定⑵ 若三阶行列式D=1321321321-=z z z y y y x x x ，则三阶行列式=---------321321321222222z z z y y y x x x （ ） A ． 8- B ．8 C ．4- D ．4⑶ 若矩阵()()(),,,m n ij n l ij lm ijc C b B a A ⨯⨯⨯===则下列运算中（ ）无意义。
A ． ABCB ．BCAC ．A+BCD ．BC A T+ (4) 设A 为n 阶方阵，且2A A =，则（ ）成立（A ）0A =； （B ）若A 不可逆则0A = （C ）A E = （D ）若A 可逆则A E =(5) n 阶方阵A 经过若干次初等变换后化为矩阵B ，则 .A. 必有||||B A =；B. 必有||||B A ≠；C. 若0||=A 则必有0||=B ；D. 若0||>A 则必有0||>B . 二、填空题（每题3分,共15分）（1） 若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=241241A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=253121B ，则积ABC =的元素=12c （2） =⎪⎪⎭⎫⎝⎛53001(3) 已知四阶行列式D 中第二行上元素分别是4201，，，-，第三行上的元素的余子式分别为421，，，a ，则=a ⑷ 已知二阶方阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2131A ，则二阶方阵A 的逆矩阵=-1A ⑸ 已知线性方程组B AX =，其中系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1201A ，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210X 为它的解，则常数项矩阵=B三、利用行列式的性质计算下列各行列式：（每题10分，共20分）1．2164729541732152-----2．111111111111-----+---xx x x x x x四、计算下列n 阶行列式：（每题10分，共20分）1．ab b a a b a b a 00000000000000002．abab b a b aD n=2五、问μλ、取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解？（10分）六、求解下列矩阵方程： （10分）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--X 30230241⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-312七 证明下列等式：（每题10分，共20分） 1．A B A B B A 1111)()(----+=+2．若A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明1*-=n AA。
线性代数期中卷 线性代数讲解
扬州大学试题纸( 2008－2009学年第 二 学期)学院 08级 课程 线性代数 期中试卷 班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．设三阶矩阵()()2121,,,3,2,γγβγγα==B A ，其中21,,,γγβα均为三维列向量，且2,18==B A ，则=-B A 2设A 为n 阶方阵，且2=A ，则()=-*TT A A A 133．四阶行列式中，含有2413a a 的项有 . 4．设向量()()a ,6,4,5,3,2-=-=βα 线性相关，则=a .5．已知向量组321,,ααα线性无关，而向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组43214,3,2,αααα的一个极大无关组为6．设A 是34⨯的非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=937251B ，如果O AB =（零矩阵），则秩（A ）= ..二. 单项选择题(3618''⨯=)1．设B A ,同为n 阶方阵，则 成立， ( ) (A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C)BA AB = (D) ()111---+=+B A B A___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2．设A 是n m ⨯矩阵且n m <，则对于线性方程组B AX =，下列结论正确的是 （ ）(A)0=AX 仅有零解 (B) 0=AX 有非零解 (C) B AX =有惟一解 (D) B AX =有无穷多解 3．设向量组321,,:αααI 与向量组21,:ββII 等价，则必有 （ A ） (A)向量组I 线性相关 (B) 向量组II 线性无关 (C) 向量组I 的秩大于向量组II 的秩 (D) 3α不能由21,ββ线性表示4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-432121A ，则 =A （ ）(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43212 (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (C) 143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=500043200101A ，则A 中 （ ）(A) 所有2阶子式都不为零 (B)所有2阶子式都为零(C) 所有3阶子式都不为零 (D)至少有一个3阶子式不为零 6．设321,,ααα是四元非齐次线性方程组b AX =的三个解向量，且秩)(A =3，()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ααα，c 表示任意常数，则线性方程组b AX =的通解=X （ ） (A)()()TTc 1,1,1,14,3,2,1+ (B) ()()TTc 3,2,1,04,3,2,1+(C) ()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+ (D) ()()TTc 6,5,4,34,3,2,1+三. 计算题(6530''⨯=)1．计算下列行列式的值1111112113114111 =630003200301041113000301032004111=----=---2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求X（教材78页23）3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-5230121011A ，求A 的伴随矩阵*A4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300002000010A ，求1-A5．已知矩阵A 与B 等价，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11210321,221320101x B A ，求x四.解答题(8324''⨯=)1．求a 的值，使向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,02,12321αααa a 线性相关。
2015-2016(一)线性代数期中试题(解答)
西南交通大学2015－2016学年第(一)学期（半期）考试试卷课程代码 2100024 课程名称 线性代数 考试时间 120分钟阅卷教师签字考生注意1．请在密封线左边填写清楚班级、学号、姓名；2．所有题目的答案写在题后答题纸上指定位置处。
一．选择题：（每小题2分，共计18分） 1．下列矩阵中是行最简形矩阵的是（ C ）（A ）2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （B ）0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （C ）1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （D ）1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 2．下列矩阵中不是初等矩阵的是（ D ）（A）-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦102010001；（B ）⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦001010100；（C ）⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦100060001；（D ）⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦010001100． 3．下列方程组中是线性方程组的是（ B ）（A ）sin 0,1.x y x y +=⎧⎨-=⎩;（B ）345,2 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩;（C ）1,23 2.y x y ⎧=⎨+=⎩;（D ）⎧+=⎨-=⎩230y x e x y ．4．下面哪个命题与“n 阶方阵A 可逆”不是等价命题（ C ） （A ）()rank A n =; （B ）A 等于有限个初等阵的乘积； （C ）Ax b =有无穷多解； （D ）0A ≠．5．设A ,B 均为3阶可逆方阵，则下列选项中正确的是（ D ）（A ）AB BA =；（B ）A B +可逆；（C ）A B A B +=+；（D ）AB BA =．班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线6．已知1α，2α，3α线性无关，则下列向量组中也线性无关的是（ D ） （A ）122331+αααααα+-，，； （B ）1223123+ 2++3+ααααααα，，； （C ）121223+3+2+3ααααααα-，，； （D ）1312123++2++3ααααααα，，． 7．下列集合S 是的3R 子空间有（ C ）．（1）121233230x S x x x x x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=++=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （2）1212330x S x x x x x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥=++=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭（3）121233x S x x x x x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥===⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （4）123123x S x x x x x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥==+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个． 8．下列向量组，构成3R 的标准正交基有（ C ）． （1）[][][]===123:1,0,0,0,1,0,0,0,1TTTA ααα； （2）[][][]=-=-=123:1,1,1,1,1,1,1,1,2TTTA ααα;（3）⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦123184814447:,,,,,,,,999999999TTTA ααα; （4）⎤⎡⎤===⎥⎢⎥⎣⎦⎦123221:,,,,,333TTT A ααα. （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个． 9．,A B 均为n 阶矩阵，且=+AB A B ，则（1）若A 可逆，则B 可逆； （2）若B 可逆，则+A B 可逆； （3）若+A B 可逆，则AB 可逆； （4）-A E 一定可逆． 上述命题中，正确的命题共用（ D ）（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个． 二．填空题：（每空2分，共计16分）10．已知=n x a aa x a D aa xL LM MM L，求：11n i i A ==∑ ()1n x a -- ．11．设4元非齐次线性方程组Ax b =有解123,,ααα，其中()11,2,3,4Tα=，()232,3,4,5Tαα+=且秩()3r A =，则Ax b =的通解为：0112,2334x c c R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦其中．12．若向量组121:1k k A k k αα+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，线性相关，则k 的取值为k =±．13．已知124333123312331310100000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则-13-63003-63003-60003⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ．14．已知0010023********⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2A ，则 =1-A 752200-003-2-32002-100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ．15．已知0-110A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，存在可逆阵P 使得AP PB =，则=2022-B A 3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 16．已知行向量 []12311,23αβ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，，1，，，则1111232()(2,3,)32133312T n n n αβ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 17．已知[][]==-1,1,1,2,2,1TTαβ，则α到β的数量投影=λ 1 ；和向量投影=γ 232313⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭．三．判断下列命题是否正确，并说明理由．（每题5分，共10分） 18．若向量组中任意两个向量线性无关，则整个向量组线性无关．解 此命题错误.例如，向量组12311===0101ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，中任意两个向量线性无关，但是整个向量组线性相关.19．若方阵A 的行列式为零，则A 中必有两列元素对应成比例．解 此命题错误.例如，行列式112123=0134，该行列式中没有任何两列元素对应成比例.四．计算题：（22分）20．计算行列式=44333343333433334D ．（4分）解 34-11000100==-10100010-10010001211211311444333433313333343313.33433334-+-+-+==r r c c r r c c r r c c D21.计算n 阶行列式 200212020022012n D -=-L LM MM M L L（4分） 解：+=+++2221221120022220020202120222002200220012222000222222n n n nn n n D ---+-=-+++=+++=-LL L L M M M M MM M M L L L LL LL22．设A 、B 均为3阶矩阵，E 是3阶单位矩阵，已知2,AB A B =+202040202B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 求矩阵1()A E --．（8分）解：因为，2AB A B =+-222()2()2AB B A E E A E B A E E=-+---=()(2)2A E B E E --=所以，--E)-1002001112)02001022200100A B E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（（23．问λ为何值时线性方程组 +313123123422642x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪++=+⎨⎪++=⎩有解？并求出其通解．（8分）解 对增广矩阵进行初等行变换[]A --3-2-42131461011014122012261423013--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+−−−→+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r r r r b λλλλλλ --30-321010122001-⎡⎤⎢⎥−−−→+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦r r λλλ从而，当=1λ的时候该线性方程组有解，此时由于[]1--10010110111014122412301261423614500⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦rA b λλλ 因此，可取1=-10*⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦η为该方程组的特解，-121⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ为该方程组导出的齐次线性方程组的基础解系,从而该线性方程组的通解可表示为-1-121.10*⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x k k k R ξη，五．解释题：（6分）24．设122b R αα∈，，（如下图所示），矩阵[]21A αα=，.问方程组Ax b =是否有解.解 由图示可知12αα，线性无关，又12b αα，，线性相关，因此，b可由12αα，线性表示，即线性方程组Ax b =有解.六．证明题：（14分）25.（8分）设向量组123,,ααα内3R 的一个基，=+11322k βαα，==++223132,(1)k βαβαα.（I ） 证明向量组123,,βββ为3R 的一个基；（II ）当k 为何值时，存在非O 向量ξ在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标相同，并求所有的ξ.证 （1） 因为 [][]122010202k k+112330βββααα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，因为2010240201k k =≠+；又因为123,,ααα内3R 的一个基；所以，123(,,)3r βββ= 所以，向量组123,,βββ为3R 的一个基；（2）()=c +c 111223312323,,c c c c ξαααααα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭()()()=c +c +c 111223312323113123212323132012,,020,,22012(1)c c c c c c c c k k c kc k c ξββββββαααααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，所以，13122133222(1)c c c c c kc k c c+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩可以得到132100c c c kc =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，当10c =时，不合题意舍去；故 当0k =，而10c ≠时，符合题意，0t t ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中，0t ≠ 。
西南交通大学2020-2021 线性代数B 期中试卷
西南交通大学2020－2021第1学期期中测试卷课程代码MATH000112课程名称线性代数B 考试时间90分钟题号一二三四总成绩得分阅卷教师签字：一．选择题（每题5分，共20分）1.设有n 阶方阵A 与B 等价，则（）.(A)B A =(B)B A ≠(C)若0≠A ，则必有0≠B (D)B A -=2.行列式111213212223313233a a a D a a a a a a =，则行列式111112132121222331313233343434a a a a a a a a a a a a ----=--（）.(A)12D (B)-12D (C)-3D (D)3D 3.多项式212100()10102002x x x f x -=--的常数项是（）.(A)4(B)2(C)-2(D)-44.设A ,B 均为n 阶可逆方阵，则下列关系正确的是（）.(A)3113)()(--=A A (B)111)(---+=+B A B A (C)22))((B A B A B A -=-+(D))0( )(11≠=--k kA kA 二．填空题（每题5分，共20分）5.在5阶行列式中，含有513413a a a 且带有负号的项是_______.班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线6.设3阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ,且21=A ，则=+-*12A A ___________.7.设)2,1,1(T -=α，)1,1,1(T -=β，T αβ+=E A ，则=n A ______________.8.______________.三、计算题（每题12分，共48分）9.已知ij A 和ij M 为如下行列式D 中ij a 的代数余子式和余子式，2135111242312513D -=,(1)计算44434241A A A A +++(2)计算444342412M M M M -+-10.计算行列式100011000110001100011x x x x x x x xx---------.11.求解矩阵方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---132321433312120X .12.当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=-+14312312321321321x x x x x x x x x λλλ有唯一解；无解；无穷多解.并在有无穷多解时求出所有的解.四、证明题（每题6分，共12分）13.设T 2αα-=E A ，其中α为n 维向量，且1T =αα.证明：(1)A 是对称矩阵；(2)EA =214.设A ,B 均为n 阶非零矩阵，且O AB =，证明n A <)(R 且n B <)(R .。
线性代数期中考试试题
2010—2011学年第一学期线性代数期中考试试卷2010.11Part 1．Multiple-choice test ( 3 points/each)1. Let A= 2222011100010001and ij A be the cofactor of the (i, j) entry. Then,1n ij i j A ==∑________A .2 B. 1 C. 0 D. -22. If all the solutions of the system of equations 0AX = are solutions of 0BX =, then rank(A)_____rank(B)A. =B. ≥ C .not deteremined D. ≤3. A sufficient and necessary condition under which the homogeneous linear equations 0AX = has nonzero solutions is _______A. rank(A)<n-1B. rank(A)= n-1C. rank(A) ≤n-1D. rank(A)=n4. Let12,,s ααα (A) 12,,t βββ (B)be two vector sets and suppose that (B) can be linearly expressed by the vector set (A). If ________,then the vector set (B) must be linearly dependent.A. s>tB. s<tC. s t ≥D. s t ≤5. Let 1213A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1012B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, which one of the following is right?________ A. AB=BA B. 222()2A B A AB B +=++C. 22()()A B A B A B +-=- D. none of the above is right6. Assume that A and B are square matrices with the same size, if 0AB =, then_________A. 0A =or 0B =B. 0A =and 0B =C. ||0A = or ||0B =D. none of the above is right7.Determine which one of the following sets form subspaces of 2R ?___________ A. {}1212(,)|0T x x x x = B. {}1212(,)|T x x x x =C. {}121122(,)|T x x x x x x =D. {}1212(,)|0T x x x x +=8. Let A be an n n ⨯matrix and 0322=--I A A . Then 1)(--I A =___________A )(4I A - B.)(41I A -. C. I 21± D. not determined Part 2． Sutmnmy completion ( 3 points/each)1. Let ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-403212221 and ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11a α. If },{ααA is a linear dependent set, then a= _________.2. For any n n ⨯ matrix A , let B be an n n ⨯ matrix, when B equals _______, we have AB BA =.3. Given the vectors 123(3,2,4),(3,2,4),(6,4,8)T T T x x x =-=--=--, the dimension of Span 123(,,)x x x is _________.4. If ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a c b c a 0,0,0 is a basis for 3R . Then c b a ,, satisfies ________. 5. Let )(ij a A = be a 33⨯ orthogonal matrix and 111=a and T b )0,0,1(=. Give all solutions for the linear system of b Ax = in vector form. ______________.6. If 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, then X equals ___________. 7. The rank of the matrix A= 1001120131041451⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭equals___________. 8. The coordinator of a vector T )3,4,3(=ξ with respect to the basis T T T ),1,1,1(,)1,1,0(,)0,1,1(===γβα in 3R is _______________. Part 3. CALCULATE (5 points/each)1. Discuss the following system and give all solutions in vector form whenever thesystem has infinite many solutions.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00003321432143214321ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax . 2. Find 23,,k A A A , if 101A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3. Let 423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2AB A B =+. Find B4. Let two subspaces }211,311,201{⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a span U and⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,412,321a a span V Determined a such that U=V and V U ≠5. Determine the nullspace of each of the following matrices. (a) 12312463--⎛⎫ ⎪--⎝⎭(6) 111222311105-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭6. Consider a nonhomogeneous system of linear equations 12312321232222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩What value does λ take on such that the system has a solution? Part 4. PROVE1. Let {}...,,,21k ααα.is a basis for the homogneeous linear system 0=Ax . If 0≠βA , then the set }{ββαβαβα,,,,21+++k is a linear independent set. (7 points)2. (1) Let A be an n n ⨯ matrix, the elements of A are real numbers.Prove:0AX = and 0T A AX = have the same solutions. (4 points)(2). Prove that )()(A rank AA rank T =. (4 points)3. Suppose a system of fundamental solutions of the system 0s n A X ⨯= is 1,,r n αα+ ,in other words, { 1,,r n αα+ } is a basis for null space of sn A . .we expand them to the base of n R :1,,n αα , let 1(,,)r B αα= . Prove: rank of AB = the number of columns of AB . (7 points)。
线代期中试题EWord版
线性代数期中考试试卷E班级 学号 姓名 成绩 一、判断下列各题是否正确(每小题3分共15分)1．若A 、B 都是n 阶方阵，则||||AB BA =。
( ) 2．若矩阵A 、B 的乘积O AB =，则一定有O A =或O B =。
( ) 3．设A 为n 阶反对称阵，若n 为偶数，则||0A ≠。
( ) 4．若n 阶行列式D 中非零元素的个数小于n ，则0D =。
( ) 5．任意n 阶方阵都可以表示一系列的初等矩阵的乘积。
( ) 二、选择题（每小题3分共15分）1．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，若由AB AC =能推出B C =，则A 应满足下列条件中的( )。
A ．A O ≠；B ．A O =；C ．||0A ≠；D ．||0A =。
2．设32214514r s a a a a a 是五阶行列式D 中的项，则下列中,r s 的值及该项的符号均对的是( )。
A ．3,5r s ==，符号为正；B ．3,5r s ==，符号为负；C ．5,2r s ==，符号为正；D ．5,3r s ==，符号为负。
3．设D 为n 阶行列式，则D 为零的充分必要条件是( )。
A ．D 中有两行(列)的对应元素成比例；B ．D 中有一行(列)的所有元素均为零；C ．D 中有一行(列)的所有元素均可以化为零；D ．D 中有一行(列)的所有元素的代数余子式均为零。
4．设A 是反对称阵，k 为正整数，则k A =( )。
A ．不是对称矩阵就是反对称矩阵，两者必居其一；B ．必为反对称阵；C ．必为对称阵；D ．既不是反对称矩阵也不是对称矩阵。
5．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式中成立的是( )。
A ．AB BA I ==； B ．1111()()kAB k B A k R ----=∈；C ．11,A A B B --==；D ．111||||A B BA ---=。
三、计算题(每小题10分共50分)1．. 求多项式()x a a a a x aa f x aax a--=-的根。
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学院_______________ 班级__________ 学号___________ 姓名____________
2009—2010学年第二学期《线性代数B 》期中试卷
一
填空题（每小题3分）
阶方阵，且2=A ，则行列式=--*A A 31
________________.
2 设A 为3阶方阵,且*A A
T
-=，其中*A 为A 的伴随矩阵，则=A
________________. 3
)n n αα221>元（是，设齐次线性方程组
=Ax 的基础解系，则
=)A (R ________________.
4 设方阵B ,t A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=11
3
34
221
为三阶非零矩阵，且,O AB =则=t _____________. 5 向量组
m
ααα，，， 21线性无关，向量
β不能由它们线性表示，则向量组
β
αααm ，，，， 21的秩为_____________.
6 设
b Ax = 为四元非齐次线性方程组，3=)A (R ,且21ηη，为它的两个不同
解，则该方程组的通解为____________.
二、单项选择题（每小题3分）
1
A 为n 阶方阵，则
0=A 的必要条件是（ ）.
（A ）A 中有两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中必有一行（列）元素全为零； （C ）A 中各行（列）元素之和为零； （D ）齐次线性方程组
0=Ax 有非零解 .
（共6页 第1页）
2 若向量组γβα，，线性无关，σβα，，线性相关，则（ ）. （A ）α必可由 σγβ，，线性表示；
（B ）
β必可由σγα，，线性表示；
（C ）σ必可由γβα，，线性表示； （D ）γ必可由σαβ，，线性表示.
,a a a a a a a a a A ⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=333231
232221
1312113
设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡+++=13131211
33333231
23232221
222a a a a a a a a a a a a B
,P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00
1
100
010
1,P ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=12
010001
2则=B （ ）. （A ）
;AP P 21(B) ;P AP 21(C)
;P AP 12 (D) .AP P 12
4 设n m A ⨯为矩阵，设m n B ⨯为矩阵，则（ ）.
（A ）当n m >时，必有0≠AB ;（B ）当n m >时，必有0=AB ; （C ）当m n
>时，必有0≠AB ;（D ）当m n >时，必有0=AB .
5 向量组321ααα，，是齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，
则该方程组的基础解系还可表示为（ ）. （A ）；，，133221
αααααα--- (B)与321ααα，，等秩的向量组；
（c ）；，，321211αααααα+++（D ）与321ααα，，等价的向量组. 6 若n m
A ⨯为矩阵，0=Ax 为b Ax =所对应的齐次线性方程组，则下面结论
正确的是（ ）. （A ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解； （B ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解； （C ）若
0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解；
（共6页 第2页）
（D ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解.
三、解答题（每小题9分）
1.求
3
3221111
110011001
b b b b b b D ------=
的值.
2. 设3阶方阵B A 、满足E B A B A =--2
，且⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10
2
020101A ，求B .
（共6页 第3页）
3. 设4321αααα，，，为4维非零列向量组，
()4321ααααA ，，，=，
A *A 为的伴随矩阵，已知线性方程组 0=Ax 的通解为(),,,,k T
0101-其中 k
为任意常数，求线性方程组 0=x *A 的一个基础解系.
4 设矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+----=p p A 2
1
3
1075162312311，问当 p 为何值时，矩阵A 的列向量组线性相关，在此时求A )A (R 及的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无关组的向量用极大无关组线性表示.
（共6页 第4页）
5. 问 a ,b 为何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=--b ax x x x x x x x x 3
213
2132122331
2有唯一解？无解？有无
穷多解？并求出有无穷多解时的通解.
6. 设P A 、均为3阶方阵，且,AP P T ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=00
010
001
若()321αααP ，，=，()3221ααααQ ，，+=，求.AQ Q T
（共6页 第5页）
四 证明题（10分）
设⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31
232221131211
a a a a a a
a a a A 为实对称矩阵，且可逆，矩阵,la ka la ka la ka B ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=33322322131200
（1）证明
A 的伴随矩阵*A 为实对称矩阵，且可逆；
（2）计算.B *A （共6页 第6页）。