第十节抛物线(二)
抛物线的全部知识点
抛物线的全部知识点抛物线是数学中非常重要的曲线之一，它在物理、工程和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
以下是抛物线的全部知识点：1. 抛物线的定义：抛物线是平面上各点到一个定点（焦点）与该定点所在直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
通常我们用二次函数的标准形式来表示抛物线：y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数，且a≠0。
2.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上到该点的距离与抛物线与x 轴的距离之比为常数的点。
准线是与焦点等距的直线。
3.抛物线的对称轴：对称轴是通过焦点和抛物线上其它任意一点的直线，它将抛物线分成两部分，且两部分是对称关系。
4.抛物线的顶点：顶点是抛物线上曲线最高或最低点的坐标。
在标准形式的二次函数中，顶点的x坐标为-x轴的对称轴的值，y坐标为函数的极值。
5.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
6.抛物线的焦距和直径：焦距是焦点到准线的距离，直径是准线上两个焦点之间的距离，直径是焦距的两倍。
7. 抛物线的标准形式和顶点形式转换：通过平移和缩放，可以将二次函数转换为标准形式或顶点形式。
标准形式的抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数；顶点形式的抛物线方程为y = a(x-h)^2 + k，其中(a,b)为顶点的坐标，h为顶点的x坐标，k为顶点的y坐标。
8. 抛物线的焦点和准线的坐标计算：焦点的坐标为(x,y)，其中x = -b/2a，y = (4ac-b^2)/4a。
准线的方程为x = -b/2a。
9.抛物线的性质：抛物线是连续曲线，没有断点；抛物线是光滑曲线，没有拐点；对于开口向上（a>0）的抛物线，它是上升曲线；对于开口向下（a<0）的抛物线，它是下降曲线。
10.抛物线的切线和法线：切线是曲线上其中一点的切线，与曲线在该点的切点重合。
法线是与切线垂直的直线。
11.抛物线的渐近线：抛物线的对称轴和渐近线没有交点，但抛物线的顶点离开对称轴趋近于无穷远时，它会与对称轴越来越接近，近似成为渐近线。
《抛物线》经典课件人教版2
·2007·
x2 2 py （
0,
p) 2
y p 2
口诀：
一次项定 轴，系数 定方向； 焦点与方 程一次项 系数同号， 准线与方 程一次项 系数异 号．
《抛物线》经典课件人教版2
《抛物线》经典课件人教版2
三、实践感知
例1：（口答）
（1）已知抛物线标准方程是 y2 6x，
3
则它的焦点坐标为
( 2
,0)，准线l 的方程为
《抛物线》经典课件人教版2
《抛物线》经典课件人教版2
（三）推导抛物线的标准方程
yy
问题一：
H
·M
C 如何建立坐标系呢？
y 0 0 ·F
xx
l e=1
0
x
《抛物线》经典课件人教版2
《抛物线》经典课件人教版2
问题二：抛物线的标准方程的推导
如图所示，取经过点F 且垂直l 的直线为x 轴，垂足为K，以FK 的中点O为原点，
《抛物线》经典课件人教版2
l
（四）数形结合思考： 《抛物线》经典课件人教版2
在方程 y22p(xp0)中，因为一次项含x且其系数为 2p ，
p
可以得到焦点坐标
( ,0) 2
。
可以说：一次项x的系数是 2我p 们通，过则图焦象点可在 x轴 上，
且焦点的横坐标等于一次项x的知系，数这p 的个四抛分物之线一， 同时也可以得到准线方程 x 的示 标开 准口2 方向程右。只的表抛 y
y22px（ , p0) y22px（ , p0) x22py（ , p0) x22py（ , p0)
《抛物线》经典课件人教版2
《抛物线》经典课件人教版2
课后再做好复习巩固.
完整版)抛物线知识点归纳总结
完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。
以下是对抛物线知识点的详细总结。
1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上一点的距离的轨迹。
2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。
3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，由方程x=-b/2a给出。
6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。
7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。
8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对称轴是直线x=-b/2a。
9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴的纵坐标最小（或最大）的点。
10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一个交点的直线。
11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。
12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +c = 0得到。
13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。
14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。
15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。
16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。
17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。
18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。
抛物线知识点总结(二)2024
抛物线知识点总结（二）引言概述抛物线是一个常见的数学曲线，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍关于抛物线的知识点，包括焦点、直角坐标系中的方程、顶点、开口方向以及抛物线与直线的交点等内容。
正文内容一、焦点1. 定义：焦点是抛物线上所有点到准线的距离都相等的点。
2. 焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。
3. 焦点的坐标：对于纵轴开口的抛物线，焦点的坐标为(p, 0)；对于横轴开口的抛物线，焦点的坐标为（0, p）。
4. 焦半径：焦点到顶点的距离被称为焦半径，记为r。
5. 焦半径的性质：焦半径与焦距之间存在着特定的关系，即r=p/2。
二、方程1. 横轴开口的抛物线方程：y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为顶点坐标，纵轴对称轴为x=h。
2. 纵轴开口的抛物线方程：x=a(y-k)²+h，其中(h, k)为顶点坐标，横轴对称轴为y=k。
3. 抛物线的一般方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且B² - 4AC ＜ 0。
4. 方程的性质：根据方程的形式，可以确定抛物线的开口方向、顶点坐标以及是否与坐标轴相交等信息。
5. 方程的变形：通过配方法或平方完成平方项，可以将抛物线方程转化为标准方程。
三、顶点1. 定义：顶点是抛物线上的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。
2. 顶点的坐标：顶点的横坐标即为方程中的h，纵坐标即为方程中的k。
3. 求顶点的方法：对于已知抛物线方程，可以通过将方程转化为标准形式，得到顶点的坐标。
4. 顶点与焦点的关系：焦点和顶点都是抛物线上的特殊点，它们之间有一定的几何关系。
5. 顶点的性质：顶点是抛物线的最值点，也是对称轴的中点。
四、开口方向1. 横轴开口：当抛物线以横轴为开口时，抛物线的方程为y=a(x-h)²+k。
2. 纵轴开口：当抛物线以纵轴为开口时，抛物线的方程为x=a(y-k)²+h。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线是数学中的一种曲线，其形状像一个弯曲的弧形。
在高三数学中，我们学习了
抛物线的相关知识，包括定义、性质、方程、图像、焦点和准线等。
下面是抛物线的知识
点总结。
一、定义和性质：
1. 抛物线是平面解析几何的一个曲线，定义为动点P到定点F 的距离等于动点到定
直线l的距离的平方，即PF=PM^2，其中F为焦点，l为准线，M为动点P的投影点。
2. 抛物线对称轴是准线的垂直平分线，焦点到抛物线对称轴的距离称为焦距。
3. 抛物线的顶点是抛物线与对称轴的交点，对称轴的方程为x=h，其中h为顶点的横坐标。
二、方程和图像：
1. 抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2. 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a，f) ，其中f为抛物线的最小值或最大值，当a>0时，f为最小值，当a<0时，f为最大值。
4. 抛物线与y轴的交点为y轴截距，即(0，c)。
三、焦点和准线：
1. 抛物线的焦点坐标为(F，0)，其中F为焦距。
2. 抛物线的焦点到顶点的距离等于焦点到准线的距离，即PF=pl，其中P为抛物线上的任意一点，l为准线的斜率。
四、其他知识：
1. 抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a为焦距的一半。
2. 抛物线的参数方程为x=t，y=2at^2，其中t为参数。
3. 抛物线的弧长公式为L=∫sqrt(1+(dy/dx)^2)dx，其中∫为积分符号。
抛物线知识点公式大全
抛物线知识点公式大全抛物线是二次函数的图像形状，由于其独特的特征和广泛的应用，它是初等数学中一个重要的概念。
在本文中，我将介绍抛物线的知识点、公式和相关内容。
1.抛物线的定义：抛物线是平面解析几何中，距形是点到给定直线距离与点到给定点距离之差保持不变的点轨迹，这个点轨迹是一个曲线。
2.抛物线的方程：一般式方程：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其中a、b、c为常数。
顶点推导式方程：(x-h)^2=4a(y-k)或(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为顶点坐标。
3.抛物线的顶点：顶点是抛物线的最高或最低点，在一般式方程中顶点坐标为：(-b/2a，f(-b/2a))。
顶点坐标也可以由顶点推导式方程中的参数(h，k)得到。
4.抛物线的焦点：焦点是指点到抛物线到定点的距离与点到抛物线到定直线的距离相等时的点。
抛物线的焦点坐标为(F，0)，其中F=1/4a。
5.抛物线的对称轴：对称轴是指抛物线的形状关于其中一直线对称。
抛物线对称轴的方程为x=-b/2a。
6.抛物线的辅轴：辅轴是与抛物线的顶点相垂直并通过焦点的直线。
辅轴的方程为y=k。
7.抛物线的几何性质：a)抛物线是上下对称的；b)对于一条抛物线，顶点是最低点或最高点，且对称轴上没有其他点；c)抛物线开口方向由二次项系数a的正负决定，a>0代表向上开口，a<0代表向下开口；d)抛物线在顶点处达到最值，最值为k的值；8.抛物线的图像与平移：抛物线的图像可以通过平移来改变其位置。
给定抛物线y = ax^2 +bx + c，当把抛物线沿x轴平移h单位，y = a(x-h)^2 + b(x-h) + c；当把抛物线沿y轴平移k单位，y = a(x-h) + b(x-h)^2 + c。
9.抛物线的图像与缩放：抛物线的图像可以通过缩放来改变其形状。
给定抛物线y = ax^2 +bx + c，当把抛物线在x轴方向上缩放r倍，y = a(rx)^2 + b(rx) + c；当把抛物线在y轴方向上缩放r倍，y = a(x^2) + b(x) + rc。
抛物线(2023版ppt)
04
抛物线在物理中的应用
01
抛物线在弹道 学中的应用： 描述炮弹、火 箭等物体的运 动轨迹
02
抛物线在光学 中的应用：描 述光线在介质 中的传播和反 射
03
抛物线在力学 中的应用：描 述物体在重力 作用下的运动 轨迹
04
抛物线在电学 中的应用：描 述电场和磁场 中的电荷运动 轨迹
抛物线在工程中的应用
抛物线的变形
抛物线的平移： 沿x轴或y轴平移， 改变抛物线的位
置
抛物线的伸缩： 沿x轴或y轴伸缩， 改变抛物线的形
状和大小
抛物线的旋转： 绕原点旋转，改 变抛物线的方向
和形状
抛物线的反射： 关于x轴或y轴反 射，改变抛物线
的位置和形状
抛物线的推广
01
抛物线方程：y =
ax^2 + bx + c
抛物线的焦点坐标 为（0, c），这是 抛物线的顶点到准
线的距离。
抛物线的性质
抛物线是二次函数y=ax^2+bx+c的图像，其中a、 b、c为常数。
抛物线的形状由a决定，a>0时，抛物线开口向上； a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），顶 点的横坐标为-b/2a，纵坐标为c-b^2/4a。
抛物线的准线
01 抛物线的准线是抛物线与它的焦点之间的 垂直距离。
02 抛物线的准线方程为：x = -p/2，其中p 是抛物线的焦参数。
03 抛物线的准线与抛物线的顶点之间的距离 为：p/2。
04 抛物线的准线与抛物线的对称轴之间的距 离为：p。抛物线的顶点 Nhomakorabea01
定义：抛物线 的顶点是抛物 线与x轴的交 点
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结1. 定义- 抛物线是二次函数的图像，具有一个顶点和一个对称轴。
- 它是平面上所有与一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）距离相等的点的集合。
2. 标准方程- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中 (h, k) 是顶点的坐标，a 是抛物线的开口系数。
- 一般形式：y = ax^2 + bx + c其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
3. 图像特征- 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，开口向下。
- 对称性：抛物线关于其对称轴（垂直于 x 轴的直线）对称。
- 焦点和准线：焦点是抛物线上所有点到准线距离的最小值点，准线是与抛物线焦点等距的一条直线。
4. 焦点和准线的性质- 焦点：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，焦点坐标为 (h, k+ 1/(4a))。
- 准线：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，准线的方程为 y =k - 1/(4a)。
5. 顶点- 顶点是抛物线的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
- 顶点坐标可以通过方程的顶点形式直接获得。
6. 对称轴- 对称轴是一条垂直线，其方程为 x = h。
7. 抛物线的变换- 水平变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上平移来改变位置。
- 垂直变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上缩放来改变大小。
8. 应用- 物理：抛物线运动（如物体在重力作用下的抛射运动）。
- 工程：建筑设计中的拱形结构。
- 经济学：成本和收益分析中的收益最大化问题。
9. 求导与极值- 对于一般形式 y = ax^2 + bx + c，求导得到 y' = 2ax + b。
- 顶点处的导数为零，即 y'(h) = 0，这是找到顶点的方法。
10. 抛物线与直线的交点- 通过解方程组 {y = ax^2 + bx + c, y = mx + n} 可以找到抛物线与直线的交点。
抛物线PPT优秀课件2
课前复习
1、y = x 2 是什么函数？ 它的图象是什么？
答：二次函数；抛物线
2、试在同一坐标系内画 出函数 y = ±x 2的图象.
y 4 y = x2
1
- 12 1
x
- 4 y = -x2
学习内容
教 学 目 标 抛物线定义 标 准 方 程 练习与提高
小结思考
学习目标
13、、通掌过握现抛实物生线活中标的准例方子程的的引推入导，；让同 学于4坐、们生标已体活及会。知准数抛线学物方概线程念方来；程源反，于过会生来求活知，其道又焦焦运点点用 2、坐通标过或抛准物线线方概程念，的会学求习，抛让物同线学方们程体。 会系会抛，灵物从活线而运与进用椭一圆步定、认义双识解圆曲题锥线。曲之线间的的本内质在。联
提示：点P到定点M（2，0）的距离 等于它到定直线 x + 2 = 0 的距离。
.
Mx
x+2=0
能力训练
2、已知点H（-2，3）与抛物线 y 2 = 2px （p > 0 )的焦点的距离是5，则 p
的值是（ A ）（96年高考）
A、4 B、8 C、6 D、12
提示：依题意，可知点H（-2，3）到焦
．y A
代入x2 =2py，得p= 9/4
当焦点在x轴的负半轴上时，
O
x
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
y或y2 =
4
x。
2
3
能力训练
1、动点P到直线 x +4 =0 的距离与它到点
M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨
高中数学抛物线知识点
高中数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个非常重要的知识点，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
如果抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；如果焦点在 x 轴的负半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；若焦点在 y 轴的正半轴上，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2；焦点在 y 轴的负半轴上时，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2。
这里的 p 叫做焦准距，是焦点到准线的距离。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、＼（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），其焦点在 x 轴的正半轴上，开口向右。
2、＼（y^2 ＝－2px （p>0)＼），焦点在 x 轴的负半轴上，开口向左。
3、＼（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的正半轴上，开口向上。
4、＼（x^2 ＝－2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下。
对于给定的抛物线方程，我们可以通过其形式迅速确定抛物线的开口方向、焦点位置和准线方程。
三、抛物线的性质1、对称性抛物线关于其对称轴对称。
例如，＼（y^2 ＝2px\）关于x 轴对称，＼（x^2 ＝ 2py\）关于 y 轴对称。
2、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。
在标准方程中，顶点坐标分别为：＼（y^2 ＝ 2px\）的顶点为（0, 0)；＼（x^2 ＝ 2py\）的顶点也为（0, 0)。
3、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1，这意味着抛物线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等。
4、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（y^2 ＝ 2px\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ x_0 ＋p/2\）；若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（x^2 ＝ 2py\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ y_0 ＋ p/2\）。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十节抛物线(二) 理
第十节 抛物线(二)基础自测1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2.圆x 2＋y 2－6x －7＝0，可化为(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4.又抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，∴3＋p2＝4，解得p ＝2.故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线的焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A.94B.178 C ．5 D ．4解析：抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)．直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 由弦长公式可得，截得的线段长为1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×22－－＝5.故选C.答案：C3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，所以36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.答案：2或184．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________.解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x1．(2013·安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋y －a 2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解析：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .1．设抛物线y 2＝4x 的准线为l ，F 为抛物线的焦点．P 为抛物线上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若△PQF 的面积与△POF 的面积之比为3∶1，则点P 坐标是________________．答案：(2，－22)或(2,22)2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与拋物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求拋物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解析：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，所以y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，所以拋物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0得k <－4或k >0，所以x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x－2k )，所以b ＝2(k ＋1)2，所以b >2.即b 的取值范围为(2，＋∞)．。
抛物线及其标准方程 课件
（一）抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 （定点F不在定 直线l 上）
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经
过定点F，则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义，
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
（二）抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想：求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系？
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考： 抛物线是一个怎样 的对称图形？
求抛物线的方程
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
2015届高考数学总复习 第七章 第十节抛物线(二)课时精练试题 文(含解析)
1．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D.10解析：取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ， ①y ＝x 2＋1， ②将①式代入②式并整理，得ax 2－bx ＋a ＝0.由题意可得，Δ＝b 2－4a 2＝0，∴b 2a 2＝4，则双曲线的离心率e ＝ 1＋b 2a2＝ 5.故选C.答案：C2．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ( )A ．3 3B ．2 3C ．2 D. 3解析：抛物线的准线为x ＝3，双曲线的两条渐近线y ＝±33x .所求三角形的面积S ＝12³23³3＝3 3.故应选A.答案：A3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．7解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°. 又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°.又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8. 答案：B4．(2013²江阴模拟)P 为抛物线y 2＝4x 上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M (4,5)，则PQ 与PM 长度之和的最小值为( ) A.34＋2 B.34＋1 C.34－1 D.34解析：焦点F (1,0)，PM ＋PQ ＝PM ＋PF －1，而PM ＋PF 的最小值是MF ＝34，所以答案为34－1.答案：C5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54. 答案：C6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，点P 到l 2的距离等于点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得点P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|5＝2.故选A.答案：A7．(2012²山东卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2得c ＝2a ，又因为抛物线焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线渐近线ay ＝±bx 的距离⎪⎪⎪⎪⎪⎪ap 2a 2＋b 2＝ap22a＝2，所以p ＝8，即抛物线C 2的方程为x 2＝16y .故选D.答案：D8．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是______．解析：焦点F (1,0)，准线方程x ＝－1， ∴焦点到准线的距离是2. 答案：29．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝______.解析：由题意可知过焦点的直线方程为y ＝x －p2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2⇒x 2－3px ＋p 24＝0，又|AB |＝＋12p2－4³p 24＝8⇒p ＝2.答案： 210．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12³6³12＝36.答案：3611．(2013²北京顺义区高三第一次统练)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝____________.解析：抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，又tan 60°＝y A1－－，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.答案：412．(2012²陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽____________m.解析：设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，代入点A 得p ＝1，设水位下降1 m 后水面与桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝－2³(－3)，x 0＝±6，所以水面宽度为2 6 m.答案：2 613．(2013²东城检测)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .(1)解析：依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线， 因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1²k 2＝14x 1²14x 2＝116x 1²x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .14．(2012²潮州期末)已知圆心为P 的动圆与直线y ＝－2相切，且与定圆x 2＋(y －1)2＝1内切，记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设斜率为22的直线与曲线E 相切，求此时直线到原点的距离．解析：(1)设圆心P (x ，y )，∵圆P 与直线y ＝－2相切， ∴圆P 的半径R ＝|y ＋2|.又∵圆P 与定圆x 2＋ (y －1)2＝1内切，∴|y ＋2|－1＝|FP |，∴|y ＋1|＝|FP |，∴点P 到直线y ＝－1和点(0,1)距离相等，∴点P 的轨迹是以点(0,1)为焦点，以直线y ＝－1为准线的抛物线，∴曲线E 的方程是x 2＝4y .(2)设斜率为22的直线方程为y ＝22x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝22x ＋m ，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－82x －4m ＝0，由直线与曲线E 相切，得Δ＝(－82)2＋16m ＝0, 解得m ＝－8，所以直线方程为y ＝22x －8，即22x －y －8＝0.所以原点到该直线的距离为d ＝|－8|22＋1＝83.15．(2013²广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x－y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |²|BF |的最小值．解析：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322结合c ＞0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝⎛⎭⎪⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0， 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3) 由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |²|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |²|BF |＝y 1y 2＋ (y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2，所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时， |AF |²|BF |取得最小值，且最小值为92.。
高二数学抛物线知识精讲2 人教版
高二数学抛物线知识精讲2 人教版一. 本周教学内容：抛物线二. 重点、难点：1. 定义：平面内到定点F 与到定直线l 距离相等的点的轨迹为抛物线。
2. 标准方程：px y 22±= py x 22±=（0>p ） 3. 性质：（1）对称性：px y 22±=关于x 轴对称 py x 22±=关于y 轴对称 （2）顶点：（0，0） （3）离心率：1=e4. 参数方程：)0(22>=p px y⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）[例1] 求焦点在直线01243=--y x 上的抛物线标准方程。
解：l 与坐标轴交点为（4，0）（0，3-） ∴ 所求抛物线方程x y 162= y x 122-=[例2] 焦点在x 轴的抛物线与圆01422=+-+x y x 相交，它们在x 轴上方交点为A 、B ，线段AB 的中点在直线0=-y x 上，求抛物线的方程。
解：01)4(0142222=+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=x m x x y x mx y 0)2)(6(4)4(2>--=--=∆m m m① ),6(∞+∈m 方程的根为负数与mx y =2矛盾 ② )0,(-∞∈m 方程的根为正数与mx y =2矛盾 ∴ )2,0(∈m A ),(11y x B （22,y x ）m x x -=+421 121=⋅x x21221212121])[()(x x m x x m mx mx y y +⋅=+=+=+m m x x x x m -=++=6)2(212121AB 中点（24m -，26m m -）若中点在0=-y x 上⎪⎩⎪⎨⎧∈-⋅=-)2,0(2624m mm m )177(21-=m ∴ x y )177(212-=线方程。
解：01)2(2412222=+-+⇒⎩⎨⎧+==x a x x y axy 151)22(541221=--⋅=-+=a x x AB42=-a 2-=a 或6=a∴ x y 122=或x y 42-=[例5] 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B ，求证：221p y y -=⋅。
高中数学抛物线知识点(2)
mn
则
等于（
mn
） A.
1 B.
1
C. 2a D. a
2a
4a
4
uuur uuur 47、 设抛物线 y2 2 x 与过其焦点的直线交于 A, B 两点，则 OA ? OB 的值（ ）
A3
B3
C3
D3
4
4
48、 如图，已知 O 是坐标原点，过点 P (5, 0) 且斜率为 k 的直线 l 交
抛物线 y 2 5 x 于 M (x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2) 两点 .
B
．6
C
37、过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于
．4
D
．3
A(x 1,y 1),B(x 2 ,y 2), 如果 x1+x2=6, 那么 |AB|=( )
A.8 B.10 C.6 D.4
38、设抛物线 x2 4 y 的焦点为 F , 经过点 P (1,2) 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点 , 又知点 P 恰好为 AB 的中
A．
B
．
C
．
D
．
x2 10、 已知椭圆 a2
y2 b2
x2 1 ( a＞ b＞ 0) ，双曲线 a2
y2 b2
1和抛物线 y2
2 px ( p＞ 0 ) 的离心率分别为
e3，则（
） A. e1e2 ＜e 3
B.
e1e2 ＝e3
C.
e1e2＞ e3
D.
e1 e2≥e3
e1、 e2、
抛物线曲线几何意义
11、动点 P 到点 F (2,0) 的距离与它到直线 x 2 0 的距离相等 , 则 P 的轨迹方程为 ____.
抛物线知识点总结2篇
抛物线知识点总结2篇【抛物线知识点总结（一）】抛物线是平面解析几何中的一种曲线，被广泛应用于物理、数学、工程、建筑等领域。
在学习抛物线这一曲线时，我们需要掌握以下几个知识点：一、抛物线的基本概念和定义抛物线是平面内到定点F的距离与到确定直线L的距离相等的所有点的轨迹。
其中，定点F称为焦点，确定直线L称为准线，直线FL称为焦弦，焦点与准线的距离称为焦距。
抛物线可以分为开口向上的抛物线和开口向下的抛物线两种。
二、抛物线的数学表示一般地，抛物线的数学表示可以使用以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
对于开口向上的抛物线，a>0；对于开口向下的抛物线，a<0。
三、抛物线的焦点坐标和准线方程对于以顶点为原点的标准方程y = ax^2，抛物线的焦点坐标可以表示为(F,0)，其中，F = (0, 1/4a)。
根据几何定义可知，准线方程为y = -1/4a。
四、抛物线的性质1. 对称性：抛物线以顶点为对称轴对称。
2. 切线性质：抛物线上任意一点的切线垂直于通过该点的准线。
3. 焦点性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
4. 焦半径性质：从抛物线上任意一点引垂线到准线，其长度等于该点到焦点的距离。
五、抛物线的应用抛物线在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 炮弹轨迹：炮弹发射后的运动轨迹可以近似为抛物线，因此抛物线方程可以用于预测炮弹的落点。
2. 太阳能反射：在太阳能反射型抛物面反射器的设计中，抛物线方程被用来描述反射器的曲面形态。
3. 桥梁设计：抛物线的对称性和准线方程被用来设计桥梁，保证桥梁的稳定性和安全性。
【抛物线知识点总结（二）】在学习抛物线的过程中，我们还需要掌握以下几个知识点：一、焦散性质与抛物线相关的还有焦散性质，其主要表现为抛物线上任意一点到焦点的线段和焦点到准线的距离成反比。
这个性质在光学中有着广泛应用，例如抛物面反射器。
二、标准方程参数的确定对于一般的抛物线方程y = ax^2 + bx + c，我们可以从方程中确定以下参数：1. 抛物线口方向：通过判别式delta = b^2 - 4ac的正负号可以确定抛物线的开口方向。
抛物线知识点
抛物线知识点抛物线是一种常见的二次函数图像，在数学中具有重要的应用。
抛物线的图像呈现出一个类似于弯曲的碗的形状，非常具有美感和几何特征。
以下是关于抛物线的一些基本知识点。
首先，抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c都是实数，a不等于0。
这个方程中的x的二次项决定了抛物线的形状，a的正负决定了抛物线的开口向上还是向下。
其次，抛物线的顶点是其最高点或者最低点，也称为抛物线的极值点。
抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y' = 0来得到，其中y'是抛物线的导数。
具体地，根据导数求解的方法，可以得到顶点的横坐标为-x轴的系数b的二分之一倍，纵坐标为把横坐标代入抛物线方程计算得到。
第三，抛物线的对称轴是通过抛物线的顶点且垂直于x轴的一条线。
它可以通过方程x = -b / (2a)来得到。
通过对称轴，抛物线在x轴两侧的点对应的y值是相等的。
第四，抛物线的焦点是抛物线上所有离定点（称为焦点）的距离等于定直线（称为准线）的距离的点的集合。
一个抛物线有一对焦点。
它们的横坐标可以通过方程x = -b / (2a)得到，纵坐标可以通过把横坐标代入抛物线方程计算得到。
第五，抛物线的直径是通过抛物线顶点并且垂直于抛物线的对称轴的一条线段。
一条直线段的两个端点都在抛物线上。
第六，抛物线的焦点和直径之间有一个重要的关系，即焦点到抛物线上的任意一点的距离都等于直径的一半。
这个性质被称为焦准关系，对于准线的距离也成立。
最后，抛物线在物理学、科学、工程等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线被用来描述抛体的运动轨迹；在光学中，抛物线被用来设计反射器和抛物面镜等光学仪器；在工程中，抛物线被用来设计桥梁、折射塔和喷泉等结构。
总结起来，抛物线是一个经典的二次函数图像，具有许多特点和应用。
了解和掌握抛物线的基本知识点，有助于理解抛物线在数学、物理和工程等领域的应用和解决问题的方法。
抛物线的美学特征和几何特性让人们对它产生了浓厚的兴趣和探索的欲望。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行线，与抛物线在第一象限的交点为 G，已知抛物线在点 G的 切线经过椭圆的右焦点F1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端 点，试探究在抛物线上是否存在点 P，使得△ ABP为直角三角 形．若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由 ( 不必具
y(或x)的二次方程，则Δ＞0，直线与抛物线相交，Δ＝0，
直线与抛物线相切，Δ＜0，直线与抛物线相离．
高考总复习•数学（理科）
(2)弦长公式： 若直线 y＝kx＋b 与圆锥曲线相交于两点 A， B， 且 x1，x2 分别为 A，B 的横坐标，则|AB|＝ 1＋k2· |x1－x2|，若 y1， 1 y2 分别为 A，B 的纵坐标，则|AB|＝ 1＋k2|y1－y2|，若弦 AB 所 在直线方程设为 x＝ky＋b，则|AB|＝ 1＋k2|y1－y2|.
高考总复习•数学（理科）
变式探究
2．(2013· 江苏金陵中学模拟)已知直线y＝2x＋k被拋物 线x2＝4y截得的弦长AB为20，如图所示，O为坐标原点． (1)求实数k的值； (2)问点C位于拋物线上 何处时，△ABC面积最大？
高考总复习•数学（理科） 解析：(1)将y＝2x＋k代入x2＝4y得x2－8x－4k＝0，由Δ
高考总复习•数学（理科）
第七章
第十节 抛 物 线 （二）
高考总复习•数学（理科）
直线与抛物线相切问题 【例1】 方程． 自主解答： 过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切
线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，求抛物线
高考总复习•数学（理科）
1 2 x 解析：x ＝2py 变形为 y＝2px ，所以 y′＝p.
2
x1 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 y′|x＝x1＝ p . x1 所以切线 AM 方程为 y－y1＝ p (x－x1)， x1 x2 1 即 y＝ p x－2p. x2 x2 2 同理 BM 方程为 y＝ p x－2p. 又(2，－2p)在两条直线上， 2x1 x2 2x2 x2 1 2 所以－2p＝ p －2p，－2p＝ p －2p.
高考总复习•数学（理科） 变式探究
x2 y2 3．(2013· 韶关二模)已知椭圆 2＋ 2 ＝1(a＞1)的左右焦点 a a －1
为F1，F2，抛物线C：y2＝2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M(x1， y1)、N(x2，y2)，点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切． (1)求抛物线C的方程和点M、N的坐标； (2)设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别
高考总复习•数学（理科）
1 即2p(16＋8p2)＝12，解得 p＝1 或 p＝2. 所以抛物线方程为 x2＝2y 或 x2＝4y.
点评：直线与抛物线的相切问题，可用两种方法求斜率： (1)设切线方程为 y ＝kx＋b(斜率存在)，将切线方程代入抛
物线方程中，消去x(或y)，由Δ＝0得到斜率(或斜率的关系式)，
2 2 ∴△＝(x2 1＋1) －4x1＝0，∴x1＝1.
所以 M、N 的坐标分别为(1,2)、(1，－2)．
高考总复习•数学（理科）
(2)直线 AB 的斜率为定值－1. 证明如下：设
y2 y2 1 2 A 4 ，y1，B 4 ，y2.
y1－2 4 4 则 kMA＝y2 ＝ ，同理 kMB＝ ， y ＋ 2 y ＋ 2 1 1 2 － 1 4 因为△MPQ 是以 MP，MQ 为腰的等腰三角形， ∴kMA＝－kMB. 4 4 即 ＋ ＝0， y1＋2 y2＋2 化为 y1＋y2＋4＝0 得 y1＋y2＝－4.
斜率不存在的情况，由图形确定切线方程． (2)若抛物线方程为y＝ 切线的斜率． ，用求导法得过抛物线上某点的
高考总复习•数学（理科）
变式探究 1. (2012· 辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点
P，Q的横坐标分别为 4，－2，过P，Q分别作抛物线的切 线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________． 解析：∵点P，Q的横坐标分别为4，－2，代入
体求出这些点的坐标)
高考总复习•数学（理科）
1 2 解析：(1)由 x ＝8(y－b)得 y＝8x ＋b，
2
当 y＝b＋2 时，得 x＝± 4，∴点 G 的坐标为(4，b＋2)． 1 由 y′＝4x，y′|x＝4＝1 得 过点 G 的切线方程为 y－(b＋2)＝x－4， 即 y＝x＋b－2， 令 y＝0 得 x＝2－b， ∴点 F1 的坐标为(2－b,0)． 由椭圆方程得点 F1 的坐标为(b,0)， ∴2－b＝b，即 b＝1，即椭圆和抛物线的方程分别为 x2 2 2 ＋ y ＝ 1 和 x ＝8(y－1)． 2
高考总复习•数学（理科） (1)解析：设直线l的方程为y＝x＋b， 由于直线不过点P，因此b≠0. 由
y＝x＋b， 2 得x ＋(2b－4)x＋b2＝0， 2 y ＝4x
由Δ>0，解得b<1. 所以直线l在y轴上截距的取值范围是(－∞， 0)∪(0,1)．
高考总复习•数学（理科）
＝64＋16k>0可知k>－4，又弦长AB = 5× 64＋16k＝20，解 得k＝1. (2)当k＝1时，直线为y＝2x＋1，要使得内接△ABC面
积最大，则只需使得y′C＝ ×2xc＝2，即xC＝4，即C位 于点(4,4)处时，△ABC面积最大．
高考总复习•数学（理科）
抛物线与其他圆锥曲线知识的综合
(2)证明：设 A，B
m2 n2 坐标分别为 4 ，m， 4 ，n.
因为 AB 斜率为 1，所以 m＋n＝4. 设点 D
y2 D 坐标为 4
ห้องสมุดไป่ตู้，yD
，
因为 B，P，D 共线，所以 kPB＝kDP， 8 －2 n 2 m 得 yD＝ ＝ ， 2－n m－2 yD －m m2 ∴直线 AD 的方程为 y－m ＝ y2 m2x－ 4 ， D 4 －4
高考总复习•数学（理科）
y2－y1 4 4 所以 kAB＝y2 y2＝ ＝ ＝－1. y1＋y2 －4 2 1 － 4 4 所以直线 AB 的斜率为定值－1.
高考总复习•数学（理科） 直线与抛物线的位置关系 【例 2】 已知抛物线 y2 ＝ 4x 及点 P(2,2) ，直线 l 的斜率
为1且不过点P，它与抛物线交于A，B两点．
(1)求直线l在y轴上截距的取值范围； (2) 若 AP ，BP 分别与抛物线交于另一点 C ， D ，证明： AD，BC交于定点． 自主解答：
1 2 2 1 4 5 2 2 → → ∴PA· PB＝x －2＋8x ＋1 ＝64x ＋4x －1＝0.
关于 x2 的二次方程有一大于零的解， ∴ x 有两解，即以 ∠APB为直角的Rt△ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形．
高考总复习•数学（理科）
点评： 高考中，有时对抛物线与圆、椭圆进行综 合考查，涉及的知识包括椭圆、抛物线的定义、几何性 质，直线与圆锥曲线的关系等，涉及到的思想方法包括 等价转化思想、方程思想、数形结合思想．这就要求考 生熟练掌握相关知识和思想方法．
p 所以2＝1，解得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程：y2＝4x. 因为点 M(x1，y1)在抛物线 C 上， 所以 y2 1＝4x1，直线 y1 F1M 的方程为 y＝ (x＋1)． x1＋1
高考总复习•数学（理科）
2 2 代入抛物线 C 得 y2 1(x＋1) ＝4x(x1＋1) ，
即 4x1(x＋1)2＝4x(x1＋1)2. 所以 x1x2－(x2 1＋1)x＋x1＝0， 因为 F1M 与抛物线 C 相切，
交于点 P ， Q.△MPQ 是以 MP ， MQ 为腰的等腰三角形，探究直线 AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．
高考总复习•数学（理科）
解析：(1)由椭圆方程得半焦距 c＝ a2－a2－1＝1. 所以椭圆焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)． 又抛物线 C
p 的焦点为2，0，
抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.
1 2 由 x ＝2y，则 y＝2x ，∴y′＝x，
2
高考总复习•数学（理科） ∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，－2， ∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y＝4x－8， y＝－2x－2，联立方程组解得x＝1，y＝－4，故点A的纵 坐标为－4.
答案：－4
高考总复习•数学（理科）
(2)∵过点 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P， ∴以∠PAB 为直角的 Rt△ABP 只有一个， 同理以∠PBA 为直角的 Rt△ABP 只有一个． 若以∠APB 为直角，设点 P
1 2 坐标为x，8x ＋1，
A，B 两点的坐标分别为(－ 2，0)和( 2，0)，
高考总复习•数学（理科）
x2 2x 所以 x1，x2 是方程2p－ p －2p＝0 两根， 即 x2－4x－4p2＝0. 所以 x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2. 1 2 2 所以 y1＋y2＝2p(x1＋x2) 1 ＝2p[(x1＋x2)2－2x1x2] 1 ＝2p(16＋8p2)． 又因为线段 AB 的中点纵坐标为 6，所以 y1＋y2＝12，
高考总复习•数学（理科）
2 my 2 m D 当x＝0时，y = ＝ ＝2， 2 yD＋m 2m＋m －2m 即直线AD与y轴的交点为(0,2)，同理可得BC与y轴的交
点也为(0,2)，所以AD，BC交于定点(0,2)． 点评：(1)判断直线与抛物线的位置关系，用方程思想， 即将直线方程代入抛物线方程中，消去 x( 或 y) ，得到关于