g27.2.2相似三角形的应用举例
详细版27.2.2相似三角形的应用举例1.ppt
.精品课件.
1
光线在直线传播过程中，遇到不透 明的物体，在这个物体的后面光线不能 到达的区域便产生影。
光屏
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2
太阳光线可以看 成是平行光线。
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3
在平行光线的照 射下，物体所产生的 影称为平行投影。
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4
在阳光下，在同一时刻，物体的高度与 物体的影长存在某种关系：物体的高度越高， 物体的影长就越长
家庭作业： 基础训练p64~p67 探索与思考选作
.精品课件.
25
A
AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x
毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
PE N
所以 因此
AE AD 80–x 80
PN
= BC
B Q DM C
x =
120
，得 .精x品=课4件8（. 毫米）。答：-------。 24
作业：
课堂作业： 课本p56 10 P57 11 P8 8
8
埃及著名的考古专家穆罕穆德决 定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个 烈日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德 来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14 岁的小穆罕穆德.
给你一条1米高的 木杆,一把皮尺, 你 能利用所学知识
来测出塔高吗?
1米木杆 皮尺
.精塔
高度的方法:如图所示,为了测量金字塔的高 度OB,先竖一根已知长度的木棒O’B’,比较棒 子的影长A’B’ 与金字塔的影长AB,即可近似 算出金字塔的高度OB.
在平行光线的照射下，不同物体的物高 与影长成比例
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5
一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在 阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长 为10.5米,这棵水杉树高为 ( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
27.2.2相似三角形的应用精品
（分析：如图，要想求厚 度x，根据条件可知，首先 得求出内孔直径AB。而在 图中可构造出相似形，通 过相似形的性质，从而求 出AB的长度。）
S
A' B' C'
h O
A B C
6.如图：小明想测量一颗大树AB的高度， 发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地 面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成 30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米， 那么树的高度是多少？
A
D
B
C
10.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他 走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到 路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时， 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是 D C 多少？
A F
D
4m
H 20m
E
C
B
1m 1.8m
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的 中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证： AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3， 求BC的长。
证明(1) 四边形ABCD是矩形,MAE NCE, AME CNE, 又E为AC的中点,即AE EC , AME CNE; AM CN .
(2)解 : CEN 90 , ACB NCE , Rt ABC NEC , EN CE 2 9 , 又EC 3, BC . AB BC 3 2
27.2.2相似三角形的应用2
1. 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么? 2. 谈一谈你对这堂课的感受?
3. 你还想解决什么问题吗?
3.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD， ∠B=90°， MN∥AB，AB=6，BC=4，CD=3，设DM=x. (1)设MN=y，用x的代数式表示y. (2)设梯形MNCD的面积为S，用x 的代数式表示S. (3)若梯形MNCD的面积S等于梯 形ABCD的面积的1/3，求DM. 【解析】(1)过D作DE⊥AB于E点交MN于F， MN=MF+FN=MF+3，在Rt△DAE中,AD= 由MN∥AB
(3)如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求出大运河的大致 宽度AB。 A 解：∵∠ADB=∠EDC， ∠ABC=∠ECD=90° ∴ΔABD∽ΔECD AB BD ∴ , C B D EC CD BD EC 120 50 E
解得，AB CD 60 100(m).
FG=8米
A E G F B
C
H D
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 2 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻 物高与影长的比例”的原理解决
二、测高的方法
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解 解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使 AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=30m，DC=30m，DE=40m,那么你能算 出池塘的宽AB吗?
因为 ∠ACB＝∠DCE , A D E B ∠CAB＝∠CDE=90°, 所以 △ABC∽△DEC ， AB AC 那么 DE DC
初中数学(新增3页)课件：27.2.2相似三角形应用举例第1课时(人教版九年级下)_1-8
PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适
当的点T，确定PT与过点Q垂直
P
PS的直线b的交点R，如果测得
QS=45m，ST=90m，QR=60m. 求河的宽度PQ.
Q Rb
S
精品课件
T
a
解析：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST. PQ：PS=QR:ST，
即PQ：（PQ+QS）=QR：ST， PQ：（PQ+45）=60:90, PQ×90=(PQ+45) ×60， 解得PQ=90.
9
27.2.2 相似三角形应用举例
第1课时
精品课件
1.能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题； 2.了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能 力.
精品课件
相似三角形的判定 （1）通过平行线. （2）三边对应成比例. （3）两边对应成比例且夹角相等 . （4）两角相等.
精品课件
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1) ∠A=120°，AB=7 ，AC=14 ∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6 (2) AB=4 ，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21 (3) ∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°
精品课件
【例1】据史料记载，古希腊数 学家、天文学家泰勒曾利用相似 三角形的原理，在金字塔影子的 顶部立一根木杆，借助太阳光线 构成两个相似三角形，来测量金 字塔的高度.如图，如果木杆EF 长2m，它的影子FD长为3m测得OA 为201m，求金字塔的高度BO.
如何测量OA的 长？
精品课件
解析：太阳光是平行光线，
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
27.2.2_相似三角形应用举例
？
D
0.5m 1m O A (第1题) 第 题
┛
.(深圳市中考题 深圳市中考题) 3 .(深圳市中考题) 小明在打网 球时，使球恰好能打过网， 球时，使球恰好能打过网，而且 落在离网5米的位置上， 落在离网5米的位置上，求球拍击 球的高度h.(设网球是直线运动) h.(设网球是直线运动 球的高度h.(设网球是直线运动)
分别根据上述两种不同方 法求出树高（精确到 法求出树高（精确到0.1M） ） 请你自己写出求解过程， 请你自己写出求解过程， 并与同伴探讨， 并与同伴探讨，还有其 他测量树高的方法吗？ 他测量树高的方法吗？
B A D
E
F
1.小华为了测量所住楼房的高度，他请来 小华为了测量所住楼房的高度， 小华为了测量所住楼房的高度 同学帮忙， 同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长 和楼房的影长分别是0.5米和 米和15米 和楼房的影长分别是 米和 米．已知小 华的身高为1.6米 华的身高为 米，那么他所住楼房的高度 为 米．
1.8 x = 3 60 60 ×1.8 x= 3 x = 36
楼高36米 答:楼高 米. 楼高
给我一个支点我可以撬起整个地球! 给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德 阿基米德
2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当 2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当 如图 1m,长臂长16m, 短臂端点下降0.5m 0.5m时 短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 8 m。 B 16m C
2、相似三角形有什么性质？ 、相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边的比相等 对应角相等，
如图所示,△ 如图所示 △ABC∽△A′B′C′， ∽ ， 其 中 AB=10, A′B′=5, BC=12, 那么 B′C′=__________？ ？
27.2.2 相似三角形的应用举例(2)
CD=12 m，两树根部的距离BD=5 m.一个身高1．6 m的
人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当 他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较 高的树的顶端点C？
三、提出问题
你能设计方案，利用相似三角形的知识测量 旗杆的高度吗？ 方法一：利用阳光下的影子
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处, 测出该同学的影长和此时旗杆的影长． 点拨：把太阳的光线看成是平行的.
四、运用提高
如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m， 求河宽AB.
100 m.
五、课堂小结
谈谈你在本节课的收获.
六、布置作业
1.必做题：
教材第55,56页习题27.2第10、11题. 2.选做题： 教材第56页习题27.2第16题.
3.备选题：
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该
∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB， ∴∠AEB＝∠CBD. ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD. ∴
AB BE CD BD
.即CD=
AB BD . BE
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再 知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
方法二：利用镜子的反射
单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为
警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.
∴∠B＝∠D＝90°.
AB BE ∴ . CD DE
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的 距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的 高度．
方法三：利用标杆测量旗杆的高度
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间 的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自 己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直 线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的 距离即可求出旗杆的高度. 点拨：人、标杆和旗杆都垂直于地面．
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
27.2.2相似三角形应用举例(二)
审核：初三数学组
初三数学导学提纲
第 3 页 (共 2 页)初三数学导学提纲第 4 页 (共 2 页)
(二)深入学习 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m， 但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部 分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地面部分的影长 2.7m，他求得的树高是多少？
课海拾 贝/ 反思纠 错
(三)迁移运用 1.如图：小明想测量一颗大树 AB 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 CB 上，测得 CD=4m,BC=10m，CD 与地面成 30 度角，且测得 1 米竹杆 的影子长为 2 米，那么树的高度是多少？
A B D
当堂检测
1.（路灯距地面高度为 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部（点 O）20 米 的点 A 处，沿 AO 所在的直线行走 14 米到点 B 时， 人影的长度变化是___ AM、BN 分别表示人影长） __（填“增大”或“减小”）__ _____米． （线段
第 1 题 2. 如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB=1.125m，蹲下来，则身影 分析： （见教材 P49 页） 解： 注意 ：认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的 场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给 出， 先经历这一抽象的过程． 如果你们对于如何用数学语言表述有一定的困难， 应与老师一起认真板书解答过程．
（第 8 初三数学导学提纲 第 1 页 (共 2 页) 初三数学导学提纲 第 2 页 (共 2 页) 题）
AC=0.5m，已知小明的身高 AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯 离地面的高度 PH.
27.2.2相似三角形应用举例
Ｃ
解:∵太阳光是平行光线 12 1.5 ∴ BC 1.2 ∴BC=9.6 ∵9.6＞9 ∴乙的采光会受影响．
Ａ
12
可以计算出甲投在乙 墙壁上的影长吗？ 1.5
∵EC=9.6-9=0.6 ∴
DE 1.5 0.6 1.2
D
C
1.2
Ｂ
9.6
E
0.6
∴DE=0.75
5.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离 是40米.求塔高AB? A 解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
A
解:∵太阳光是平行光线
D E E F A B B C
∴ AB=8
D
D 1
1.5 C
B 12
1
E
E
1.5 F
4.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得
小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学 楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一 部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米， 墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? 解：作DE⊥AB于E A 得
尝试画出影子
A
甲
D
乙 丙
B
E C
F
如何运用“三角形的相似知识”来说明 “平行光线的照射下，同一时刻物高与影 长成比例”？
想一想
怎样利用相似三角形的有关知识 测量旗杆的高度?
测高是本课重点学习的内容
利用影长来测 高
Ｏ
怎样测量旗杆 的高度呢？ Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法:
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形2相似三角形应用举例第1课时习题课件新人教版
【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，∴ B C 即A B .
DC ED
∴AB=870 m.
290 AB . 10 30
答：湖两岸的距离AB是870 m.
【想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为1.6 m的小明站 在离墙1 m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地 面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2 m，同时他 又量得附近一棵大树的影子长为10 m，求这棵大树的高度.
【互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？
提示:利用相似三角形的性质，得到MN=4 r,在Rt△OMN中应用
3
勾股定理列方程求解.
【总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤 1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形. 2.测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应 边的长度. 3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出 未知量. 4.检验并得到答案.
知识点 2 应用相似三角形测量宽度 【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个 目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再 选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得 BD=110 m，DC=55 m，EC=52 m，求两岸间的大致距离AB.
x 30
路灯甲的高为9 m. 答案:9
3.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点 下降0.5 m时，长臂端点升高____m（杆的宽度忽略不计）．
【解析】设长臂上升的高度为x m,根据题意得 0 .5 1 ,
x 16
解得x=8. 答案:8
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了 一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点， 若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小 明计算一下楼房的高度（精确到0.1 m）．
27.2.2相似三角形的应用举例
27.2.2 相似三角形的应用举例(第1课时)清流县城关中学罗雪华一、教学目标1．进一步巩固相似三角形的知识．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．二、重点、难点1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．3．难点的突破方法（1）本节主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度及盲区问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用．初三学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．（2）在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解．在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。
另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力．（3）课上可以通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．（4）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，可以设2课时，本节是第1课时。
三、例题的意图相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) ．本节课通过教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是测量金字塔高度问题；P50例4——是测量河宽问题的讲解，使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力．应让学生多见些不同类型的有关相似三角形的应用问题，便于学生理解：世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：运用相似三角形相似比的相关知识解决问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法．四、课堂过程（一）复习三角形相似的性质和判定（二）新课探究：探究1（教材P50例4——测量河宽问题）解法一：利用以前所学两三角形全等 解法二：如图构造相似三角形如图所示测得测５得BD ＝120m ，DC ＝60m ，EC ＝50m ，求河宽AB?解法三：略（见教材P50）分析：设河宽PQ 长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有ST QR PS PQ =，即906045x x =+．再解x 的方程可求出河宽． 探究2（教材P49例3——测量金字塔高度问题）故事导入 ： 问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：略（见教材P49）问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等） 解法二：如图用镜面反射（如图，点A 是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略）探究3：知识升华（教材68P 活动1）（三）、练习巩固（附后）（四）、小结：灵活地应用相似三角形的性质、判定解决实际生活中的问题．思路：只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段比例来求解（五）、布置作业 必做题：P56习题27·2题8、9、10、11选做题：P57习题27·2题15练习巩固（附后）1．(07宁德中考)阿基米德说：“给我一个支点我可以撬起整个地球!”.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m 时,长臂端点升高___ m 。
27.2.2相似三角形应用举例(2)
教学过程设计
生活中还有哪些类似的例子？
上一节课我们学会了用相似三角形的知识去测量金字塔的高度和河流
的宽度，这节课我们继续用相似三角形这一数学模型解决实际生活类似于
上面中的问题。
的位置称为视点；
FD称为视线；
仰角：在进行测量时，从下向上看，视线FD与水平线FH的夹角
俯角：在进行测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角；
盲区：观察者看不到的区域称为盲区．
，根据对应边成比例可求得FH=8。
当他与左边的树的距离小于8m的时候，由于这
31
DE
ADF ，
DE=40m.
）之间竖立着一块35m长且平行于公
．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的
60km/h匀速行驶的汽车经过
，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路
某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一
米，因大树靠近一栋建筑物，大树的
影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高
板书设计
相似三角形应用举例（盲区问题）
32。
27.2.2.2相似三角形应用举例(2)
(2)当x=0.5时,y最大值=2.
因此
A
P Q E N C
80–x
80
=
x
D M
120
，得 x=48（毫米）。答：-------。
如图、在正△ABC中，边长为 2cm，P为AB上一 点，作矩形PMNQ内接于△ABC，又Q在AC上，P 在AB上，M、N在BC上，高AD分别交PQ 、 BC于 E 、 D，设PM=x， 矩形PMNQ的面积为y。 ①求出y与x之间的函数关系式？试确 定x的取值范围。 ②当PM为多少时，矩形的面积有 最大值？并求之。
(1)设线段BP为xcm,线段CQ为ycm,求y关于x 的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)求当BP=CQ时,S△BQC与S△PAB的面积的比. (3)当P在什么位置时,BP+CQ=13cm,并求此时
Q到BC的距离.
A Q
P
D
B
O
C
例3.如图, △ABC中,BC=4, ∠B=450,AB=3 ,M,N分别为AB,AC上的 点,MN∥BC,并设MN=x, △MNC的面积为s, (1)求出s与x间的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)是否存在平行线段MN,使△MNC的面积 等于2.若存在求出MN的长;若不存在,请说 明理由.
A M E
N
B
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
挑战自我
３.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。设 正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC AE PN = 所以 B AD BC
(完整word版)相似三角形应用举例
教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图创设情境揭示课题如图，小区门口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m。
在实际生活中，我们测量高度时，经常要借助相似三角形。
揭示课题——27.2.3相似三角形的应用举例。
学生独立分析、解决问题。
请学生指出哪两个三角形相似，如何证得，最后如何利用相似三角形的性质解决问题。
由简单的相似三角形在实际问题中的应用入手，让学生感知相似三角形的知识贴近生活。
测量旗杆一、常识认知同一时刻，物体在太阳光下的影子与物体的高度之间的比是固定的。
二、思考探索每周我们都要举行升旗仪式，每次看着国旗迎风飘扬，我们的爱国之情便会由心而生。
你能测得旗杆的高度吗？测量旗杆探索方法（一）构造相似三角形。
利用身高，人影与杆影求得旗杆高度。
问题1：两个三角形相似吗？如何证得？问题2：如何利用两个相似三角形计算旗杆高度呢？（二）利用标杆，测旗杆高度。
问题1：给出标杆高度和人眼离地面的距离，你能计算FH的长度吗？问题2：这种方法与第一种方法有什学生独立思考后以小组合作交流方式交换意见，并寻求解决方案。
一方面为后续相似三角形的实际应用做知识储备。
另一方面激发学生的爱国情感，并引发学生的思考。
引导学生体会数学建模的思想。
么区别？需要注意什么问题？（三）利用平面镜反射原理，计算旗杆高度。
问题1：得出的两个三角形相似吗？为什么？问题2：如果没有平面镜，你还能利用生活中的条件“创造”平面镜来测量旗杆高度吗？（利用平静的水面）归纳方法，并得出构造相似三角形的基本方法学以致用一、学以致用例4据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔的顶部立一根木杆，借助太阳光构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
分析：问题1：哪条线段表示金字塔的影长？如何测得？问题2：此时，哪两个三角形相似？问题3：如何计算金字塔的高度？教师板演求解过程引导学生利用在测旗杆高度时得出的方法，找出相似三角形并利用相似三角形的相关知识解决问题。
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相似三角形的判定 （1）通过平行线。 （2）三边对应成比例. （3）两边对应成比例且夹角相等 。 （4）两角相等。 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等 （2）相似三角形的周长比等于相似比 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
复习
• 1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ • (1) ∠A=120°，AB=7 ，AC=14 ∠A′=120°，A′B′=3 ，A′C′=6 • (2) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 A′B′=12 ， B′C′=18 ，A′C′=21 • (3) ∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62° • 2、在△ABC中，在△ABC中， A DE∥BC，若AD：DB=1：3，DE=2， D E 则BC的长为（ ）
在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长 为90m，这栋高楼的高度是多少？
练习
D
A
F
E
C
B
练习
如图，小明为测量一铁塔的高度，他在自 己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子上 做了一个标记O，然后他看着镜子来回移动，直 至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重 合，这时，他测得AO=3米，OB=27米，又知他 身高CA=1.75米，请你帮他算出铁塔DB的高度。
点击中考
（07 山东）如图，晚上，小亮走在大街上， 他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并 且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线 时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为 1.5米，又自已身高1.80米，两盏路灯之间的距 离是12米，求路灯的高度。
A E B M 、天文学家泰勒曾 利用相似三角形的原理， 在金字塔影子的顶部立一 根木杆，借助太阳光线构 成两个相似三角形，来测 量金字塔的高度。 如图，如果木杆EF长2m， 它的影子FD长为3m测得 OA为201m，求金字塔的 高度BO。 如何测量OA 的长？
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用 “在同一时刻物高与影长成正比例”的原 理解决 ：
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的 位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上。 ∵AB⊥ι，CD⊥ι， ∴AB∥CD，△AFH∽△CFK， ∴FH：FK=AH：CK， 即 FH 8 1.6 6.4 ，
FH 5
12 1.6
10.4
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高 的树的顶端点C。
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST。 P PQ：PS=QR:ST， 即PQ：（PQ+QS）=QR：ST， PQ：（PQ+45）=60:90, PQ×90=(PQ+45) ×60， Q 解得PQ=90. 因此河宽大约为90m。 S
R
b
T
a
练习
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC= 50m，求河宽AB。 解：∵∠B=∠C=90°， A ∠ADB=∠EDC， ∴△ABD∽△ECD， AB：EC=BD：DC， AB=50×120÷60 B =100（m）
物高 ：物高 = 影长 ：影长
解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO= ∠ EDF ， 又 ∠ AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF BO：EF=OA：FD
OA EF 201 2 BO 134 . FD 3
因此金字塔的 高为134m。
例4 如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸定一个目标点P， 在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着 在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q 垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR= 60m。求河的宽度PQ。
D
C
A O B
练习
1（07 湖南）如图，某同学利用标杆测量学校旗 杆的高度，当人望旗杆顶部的视线正好经过标杆的顶部 时，就可以测量旗杆的高度。已知标杆高度CD=3m， 标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高 度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆 A 的高度。 说明：这种测量方 法比用影长测量有一定 优势，比如，受天气原 因等。
C E F
G D
H
B
点击中考
（06 湖北）如图,赵亮同学想 利用影子测量 学校旗杆的高度,他在某一时刻立1米长的标杆, 测得其影长为1.2米,此时,旗杆的投影一部分在地 面上,另一部分在某一建筑物的墙上,分别测得其 长度为9.6米和2米,求学校旗杆的高度为多少?
A E
D
B
地面
C
2.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的 一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测 量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左 眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物 遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食 指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方 建筑物的高度吗？请说出你的思路。
D
C
E
例5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路ι 从左向右前进，当他与左边 较低的树的距离小于多少时， 就不能看到右边较高的树的顶 端点C？ 设观察者眼晴的位置（视点） 为F，∠CFK和∠AFH分别是 观察点C、A的仰角，区域Ⅰ 和区域Ⅱ都在观察者看不到 的区域（盲区）之内。