贵州专版2017秋九年级数学下册27.2.1第4课时两角分别相等的两个三角形相似作业课件
人教版九年级数学下册27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 教案
27.2.1 相似三角形的判定第4课时 两角分别相等的两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B 和∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比AB A ′B ′，AC A ′C ′，BC B ′C ′相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流． 二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AB 边上一点，且∠ADE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长．解析：(1)由题有∠B ＝∠C ＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD ＝∠CDE ，即可证明△ABD ∽△DCE ；(2)根据△ABD ∽△DCE ，列出比例式，即可求出△ABC 的边长．(1)证明：在△ABD 中，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，又∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE .在△ABD 和△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABD ∽△DCE ；(2)解：设AB ＝x ，则DC ＝x －3，由△ABD ∽△DCE ，∴AB DC ＝BD DE ，∴x x －3＝32，∴x ＝9.即等边△ABC 的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】 添加条件证明三角形相似如图，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一个条件为____________．解析：∵∠ABC ＝∠AED ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ，故添加条件∠ABC ＝∠AED 即可求得△ABC ∽△AED .同理可得∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB可以得出△ABC ∽△AED .故答案为∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB. 方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题【类型三】 相似三角形与圆的综合应用如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点G ，弦CE 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD＝AB AE ，∴BF 7＝810，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m 2?(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m 2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH 5，∴NH ＝t ，∴S △AMN ＝ 12t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m 2.(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532时，S 最大值＝752m 2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。
人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗？
相似三角形的判别方法： 两角分别相等的两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的，那么它们是否 一定相似？
相似三角形的判别
用数学符号表示： ∵∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE) (或者∠C＝∠AED)
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
27.2.1 第4课时 相似三角形的判定定理3
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
THANKS
则AB=kA'B'，AC=kA'C'
由勾股定理得
∴
∴
∴
Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
符号语言：
归纳：
例1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长.
解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又∠C=90 °， ∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴
在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B＇，∠C=∠C＇，那么能否判定这两个三角形相似？
猜想：△ABC∽△A'B'C'
问题1： 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
一、两角分别相等的两个三角形相似
探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
27.2 相似三角形
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
第4课时两角分别相等的两个三角形相似PPT课件
证明:连接AC，DB. ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角 ∴ ∠A= ∠D 同理 ∠C= ∠B ∴ △PAC ∽ △PDB
∴ P A P C 即PA·PB=PC·PD
PD PB
-
10
2、如图，PA、PN分别为⊙O的切线和割线，求证：PA2 =PM•PN
变:1：若割线不过圆心呢？下图中PA2 =PM•PN还成立吗？说明理由。
过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵∠A=∠A′, AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC
-
6
归纳：
A
A'
B
C B'
C'
相似三角形的识别
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
成比例后，如何找夹角？？横？竖？发现∠C公共。得证。
结论：三角形的两高得到两垂足，连这两垂足，得到的三
角形与原三角形相似。
-
13
活动2：探究利用“HL”判定两直角三角形相似
对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等，那么， 满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
A A'
B B'
-
11
结论：切割线定理
变式2：若PA不是切线，而也是割线呢？你 能得到什么结论？？
结论？？自己归纳。
-
12
3、△ABC中，AD、BE为高，求证： △CDE∽△CAB
分析方法1：四点共圆， 外角等于内对角，角角 相似，简单。
27.2.1.3两角分别相等的两个三角形相似教案
2.教学难点
（1）判定两个三角形相似时，学生容易混淆AAS与AAA（两个角和它们之间的对边相等）的判定方法；
（2）在证明两个三角形相似的过程中，学生可能难以理解如何正确找出相应的对应角和对应边；
（3）将相似三角形的性质应用于解决实际问题时，学生可能不知道如何建立数学模型。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、AAS判定方法以及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
，二、核心素养目标
《27.2.1.3两角分别相等的两个三角形相似》核心素养目标：
1.几何直观：通过观察和探索，使学生能够发现并理解两角分别相等的两个三角形之间的相似关系，培养空间想象力和直观感知力。
2.逻辑推理：通过引导学生运用AAS（两个角和它们之间的对边相等）判定方法，培养学生严密的逻辑推理能力和证明技巧。
3.数学抽象：帮助学生从具体的三角形相似实例中提炼出一般的数学规律，形成数学抽象思维。
4.数学建模：培养学生将相似三角形的性质应用于解决实际问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解和掌握两角分别相等的两个三角形相似的条件，即AAS判定方法；
（2）运用AAS判定方法证明两个三角形相似；
（3）应用相似三角形的性质解决实际问题。
27.2.1+第4课时+两角分别相等的两个三角形相似(2)2024-2025学年人教版九年级数学上册
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
学习目标
1. 掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定 方法.(重点)
2. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算与推理.（难点）
自主学习 知识点 1 两角分别相等的两个三角形相似
问题1： 观察学生与老师的直角三角板相似吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：∵∠BAC =∠1 +∠DAC，∠DAE =∠3 + ∠DAC，
∠1 =∠3，
∴ ∠BAC =∠DAE.
∵ ∠C =∠AOD－∠2， ∠E =∠AOD－∠3， ∠2 =∠3，
∴ ∠C =∠E. ∴ △ABC∽△ADE.
A
13
E
O
2
BD
C
两角分别相等的 两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
A A'
思考： 对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定
它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的 两个直角三角形相似吗？
活动3：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = 90°， ∠C′ = 90°， AB AC ．求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
AB AC
证明：设 AB AC = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′ .
∴△ABC∽△A'B'C'.
B'
C' B C
合作探究
考 点 利用两角相等判断三角形相似
活动1： 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，
∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：