线性代数5.2-5.3节(3学分)

g (λ ) =| λ E − A |=
λ − a11
−a12
− a21 λ − a22 所以g (λ )展开后λ的系数为 − (a11 + a22 ) 常数项为 g (0) =| − A |=| A | .
= ( λ − a11 )( λ − a22 ) − a12 a21
另一方面, 因为λ1和λ2是g (λ )的所有根, 所以g (λ ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ). 所以g (λ )展开后λ的系数为 −(λ1 + λ2 ), 常数项为 g (0) = λ1λ2 所以λ1 + λ2 = a11 + a22且λ1λ2 =| A | .
AA* =| A | E. | A |= 1 ⋅ ( −1) ⋅ 2 = −2 ≠ 0.
所以A可逆, 且A* =| A | A−1 = −2A−1 . . ϕ ( x) = −2 x −1 + 3x − 2 则ϕ ( A) = −2 A−1 + 3 A − 2 E= A* + 3 A − 2 E . ϕ ( A)的特征值 是ϕ (1) = −1, ϕ ( −1) = −3, ϕ (2) = 3 . 所以 | A* + 3 A − 2 E |= (−1) ⋅ (−3) ⋅ 3 = 9
设λ1 , λ2 ,L, λm是m个互不相等的特征值, 且
例3.(Ex9) 设A2 − 3 A + 2 E = 0. 证明 A 的特征值只能取 1 或 2. . 设λ0 A的特征值 ϕ. ( x) = x 2 − 3 x + 2. 证: ϕ (λ0 ) ϕ ( A) = 0的特征值 , 的特征值
ϕ (λ0 ) = 0. λ0 = 1或2.
小结: 小结: 1. 求矩阵特征值与特征向量的步骤： (1).计算的特征多项式| A–λE | ; (2). 求特征方程| A–λE | = 0的全部根λ1, λ2, ···, λn, 也就 是A的全部特征值; (3). 对于特征值λi, 求齐次方程组(A–λiE )X = 0 的非零 解, 也就是对应于λi 的特征向量. (重点) 2. 特征值和特征向量的三个性质. 3. 利用特征值求行列式.
定理. 定理 若 n 阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项式相同, 从而 A与B 相同的特征 , 相同的 式, 相同的 , 相似 矩阵 相同的 . 相似矩阵的特征 相同.
存在可逆矩阵 P, 使 P −1 AP = B. 证: 所以 | B − λ E | =| P −1 AP − λ E | =| P −1 AP − P −1 (λ E ) P | . =| P −1 ( A − λ E ) P | =| P −1 | ⋅ | A − λ E | ⋅ | P | =| A − λ E |
(2) 当A可逆时, 则λ −1是逆阵A-1的特征值; ψ (λ )是ψ ( A)的特征值. , .
定理: 定理 若λ1 ,L , λn是矩阵A的所有特征值, ϕ (x)是个一元多项式,
则ϕ (λ1 ),L , ϕ (λn )是ϕ ( A)的所有特征值. 所以
解:
ϕ ( A) = ϕ (λ1 )Lϕ (λn ). * 例2. 设3阶矩阵A的特征值为1, −1,2. 求 | A + 3 A − 2 E | .
性质3. 性质 设λ1 , λ2 ,L , λm是m个互不相等的特征值, pi是特征值λi的 特征向量1 ≤ i ≤ m, 则p1 , p2 ,L, pm线性无关. 根据这个结论我们知道属于不同特征值的特征向量线性无关. 证: 要证k1 p1 + L + km pm = 0 ⇒ k1 = L = km = 0. 假设k1 p1 + L + km pm = 0 等式两边同时左乘As ( 0 ≤ s ≤ m − 1) s 则有0=As (k1 p1 + L + km pm ) = λ1s k1 p1 + L + λm km pm λ1s = (k1 p1 ,L, km pm ) M ( 0 ≤ s ≤ m − 1) s λm 1 λ1 L λ1m −1 m −1 所以(k1 p1 ,L , km pm ) K = 0, 其中K = 1 λ2 L λ2 . M M M m −1 1 λm L λm
因为λ1 , λ2 ,L , λm互不相等,
所以 | K |=
1≤ j < i ≤ n
∏
(λi − λ j ) ≠ 0
所以(k1 p1 ,L , km pm ) = 0 ⋅ K −1 = 0 所以K 可逆.
所以ki pi = 0(1 ≤ i ≤ m). 但是pi ≠ 0, 所以ki = 0(1 ≤ i ≤ m). 所以p1 , p2 ,L, pm线性无关.
当λ1 = −1时, 解方程组( A − λ1 E ) X = ( A + E ) X = 0. −1 1 1 1 0 −1 0 3 0 → 0 1 0 , x1 − x3 = 0 A+ E = . x = 0 −4 1 4 0 0 0 2 1 x1 1 令x3 = 1, 求得 = . 所以p1 = 0 是( A + E ) X = 0的基础解系. 1 x2 0 所以λ1 = −1的所有特征向量为kp1 (k ≠ 0).
−2 1 1 例1. 求矩阵 0 2 0 的特征值和特征向量. −4 1 3 −2−λ 1 1 2 解: A − λ E = 0 2−λ 0 按第二行展开 − (1+λ )(2 − λ ) .
−4 1 3−λ
所以A的特征值为:λ1 = −1, λ2 = λ3 = 2. (特征值2是2重根)
根按重数计算). (若f (λ0 ) = 0, 则称λ0为多项式f (λ )的根.) 所 以A有n个特征值λ1 ,L, λn . (1)λ1 + λ2 L + λn = a11 + a22 + L + ann . (其中a11 + a22 + L + ann 称为矩阵A的迹, 记为tr ( A). ) (2)λ1λ2 L λn =| A | . 证:我们只验证n = 2的情况, 一般情况类似可证. 记g (λ ) =| λ E − A | .
− 1 4 − 1 4
−4 1 1 1 0 0 0 → 0 A − 2E = −4 1 1 0
所以对应于λ2 = λ3 = 2的所有特征向量为 k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为零).
性质2. 性质 设λ是矩阵A的特征值, ϕ (x)=a0 + a1 x + L + am x m , ψ ( x) = a− s x − s + L + a−1 x −1 + a0 + a1 x + L + am x m . 则 (1) λ k 是矩阵Ak的特征值( k ≥ 1); ϕ (λ )是矩阵多项式ϕ ( A)的特征值. 证: 存在ξ ≠ 0 ∈ R n 使得Aξ = . λξ . 2 2 3 2 2 3 A ξ = A( A ξ ) = λ Aξ = λ ξ (1) A ξ = A( Aξ ) = .λ Aξ = λ ξ . Ak ξ = λ k ξ λ k 是矩阵Ak的特征值(k ≥ 1) . . ϕ (λ )是矩阵多项式ϕ ( A)的特征值 可 ϕ ( A), ξ = ϕ (λ )ξ . Aξ = 0. (2) A可逆 则λ ≠ 0. 则λ = 0. Aξ = λξ . . , 是A可逆 ξ =0 Aξ = λξ ⇒ ξ =. A−1 Aξ = λ A−1ξ . A−1ξ = λ −1ξ λ −1是A-1的特征值 . 可 ψ ( A)ξ = ψ (λ )ξ . ψ (λ )是ψ ( A)的特征值
⇔ R( A − λ E ) < n ⇔ A − λ E = 0. f (λ ) = A − λ E 是一个关于λ的多项式, 称之为A的特征多项式. ξ 是A的属于特征值λ的一个特征向量 ⇔ ξ 是( A − λ E ) X = 0的非零解.
性质1. 性质 设A为n阶矩阵, 则f (λ ) = A − λ E 在复数范围内有n个根(重
−1 定义. 定义 设 A, B 是 n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵 P, 使 P AP = B, 则称 A 与 B 相似. 若存在对角矩阵Λ, 使得 A 和对角矩
§3 相似矩阵
阵Λ相似, 则称 A 可对角化. 我们之所以研究矩阵可对角化, 因为对角矩阵是最简单的矩 阵, 如果矩阵相似于某个对角矩阵, 我们就可以利用这个对角矩 阵去研究原来矩阵的性质.
当λ2 = λ3 = 2时, 解方程组( A − λ2 E ) X = ( A − 2 E ) X = 0.
1 1 0 0 , x1 − x2 − x3 = 0 4 4 0 0 1 x2 4 令 = 求得x1 = 1, 令p2 = 4 , x3 0 0 1 x2 0 令 = 求得x = 1, 令p = 0 , 3 1 x3 4 4 所以p2 , p3是( A − 2 E ) X = 0的基础解系.
§2 方阵的特征值与特征向量
念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用.
矩阵的特征值和特征向量给出了矩阵的重要信息, 这些概
定义. 定义 设A是n阶矩阵, 如果存在数λ和n维非零列向量ξ 使Aξ = λξ ,
(即使得向量Aξ 和ξ 线性相关), 则λ (两个列向量的比值)称为 方阵A的特征值, ξ 称为A的属于特征值λ的一个特征向量. 注意特征向量一定是非零向量. λ是n阶矩阵A的特征值 ⇔ 存在n维非零列向量ξ 使Aξ = λξ . ⇔ AX = λ X 有非零解 ⇔ ( A − λ E ) X = 0有非零解