P1模糊推理与模糊逻辑控制
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➢交集 C ( x ) A ( x ) B ( x ) m A ( x ) B ( x ) , i
CA B
➢并集 C ( x ) A ( x ) B ( x ) m A ( x ) B ( x , ) a
CAB
基本运算（续）
与模糊推理有关的重要运算
➢直积 AB A B ( x , y ) m A ( x ) B ( i y , ) n A B ( x ,y ) A ( x )B ( y )
✓核
m xXax A(x)1
核 ( A ) x |A ( x ) 1
有关名词术语（续）
分界点、交叉点
A(x)0.5
凸模糊集合 A x 1 1 x 2 m A ( x 1 ) A ( i x 2 , ) n x 1 ,x 2 X , 0 ,1
单点模糊集合
~ 是函数T的二元算子。这种模糊交算子被 称作T-范式（三角范式）算子，满足以下 要求：
✓T(0,0)=0, T(a,1)=T(1,a)=a
（有界）
✓T(a,b) ≤ T(c,d) a≤ c and b ≤ d （单调性）
✓T(a,b)=T(b,a)
（交换性）
✓T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c)
第一部分
模糊推理与模糊逻辑控制
参考书目
1. 孙增忻 智能控制理论与技术
清华大学出版社
2. 章为国 模糊控制理论与应用
西北工业大学出版社
3. 张曾科 模糊数学在自动化技术中的应用
西安电子科技大学出版社
1. 李人厚 智能控制理论和方法
西安电子科技大学出版社
1 预备知识
1.1 模糊集合的概念
模糊集合的特点
✓结合律
(A B)CA(BC) (AB)CA(BC)
基本运算的性质(续)
与普通集合不同的性质
x排中律
AAU
x矛盾律
A A
1.2.3 其他运算
与模糊推理有关的重要运算
✓代数积
A B ( x ) A ( x )B ( x )
A B A B ( x ) A ( x ) B ( x )
dx
高斯型
g(x;c,)e1 2(xc)2
c： 中心
： 宽度
wenku.baidu.com 钟形
bel(lx;a,b,c) 1
1 xc2b
a
钟形
二维隶属度函数
❖ 论域：
➢ 积空间
XY
➢ 隶属度函数 A(x,y)
❖ 类型 ： ➢ 复合式 ➢ 非复合式
二维隶属度函数 例
二维隶属度函数 例(复合式)
✓ （x,y)接近（3,4)
数学上可以证明
T d ( a , b p ) T b ( a , b p ) T a ( a , b p ) T m ( a , b ) in
最常用的T-范式算子
更一般的模糊并的运算
一般的模糊并可以由函数 S :[ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ]
来确定，表示为 A B S ( A ( x ) B ( x ) , A ( ) x ) ~ B ( x )
基本运算（续）
➢ 相等 AB
A (x )B (x )
➢ 包含 AB
A (x )B (x )
➢ 空集 A
A0
➢ 补集 BA
B1A
交集、并集、补集 图解
1.2.2 基本运算的性质
与模糊推理有关的重要性质
✓分配律
A (B C )(A B ) (A C ) A (BC )(A B )(A C )
1.2.4 更一般的模糊基本运算
二个模糊集合A和B的“交”可以一般 地用函T 数:[ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ] 来确定， 它将两个隶属度函数按下式进行集结
A B T ( A ( x ) B ( x ) , A ( ) x ) ~ B ( x )
T-范式（三角范式）算子
AU Ax(x)
A
N
A(xi
)
i1 xi
例1
✓ 模糊集合“大苹果”
例2
✓ “年轻”和“年老”的隶属度函数
1.1.2 模糊集合的有关名词术语
台集合、支集
截集
A s x A (x ) 0
✓强 截集
✓弱 截集
A x A(x) 0,1 A x A(x) 0,1
有关名词术语（续）
正则模糊集合
A (x ,y ) ex (x 2 p 3 )2 [(y 4 )2 ]
ex (x p 3 )2 []ex (y p 4 )2 []
2
1
二维隶属度函数 例(非复合式)
✓ （x,y)接近（3,4)
A(x,y)1x31y42.5
1.2 模糊集合的运算
1.2.1 基本运算
与模糊推理有关的重要运算
✓模糊集合的台集合仅为一个点，且 A 1
图解1
图解2
1.1.3 隶属度函数（MF）
一维隶属度函数
三角形
0 x a trig(x;a,b,c) cbax c b 0
xa a xb
b xc cx
梯形
0
xa
trap(
x;a,b,c,d0
b
1
a
d x
d c 0
xa a xb b xc c xd
（结合性）
最常用的T-范式算子
交（极小） T m (a i,n b ) a b m a ,b i)n(
代数积 T a(p a,b)abab
有界积 T b ( a p ,b ) a b m 0 ,a a b x 1 )(
强积
Tdp(a,b)a bba0
b1 a1 others
最常用的T-范式算子
➢ ~是函数S的二元算子。这种模糊并算 子被称作T-协范式（协三角范式）或S 范式，满足以下四个基本条件：
1.1 定义
所谓给定论域(非空集)U上的一个模糊集合A，
是指对任何 x都U 有一个数 A (x) [0,与1]之
对应，并称之为x属于模糊集合A的隶属程度； 即指的是映射
A :U [ 0 , 1 ]x ; A ( x )
而映射 A(x)称为A的隶属度函数。
模糊集合的表示方法
A ( x ,A ( x )|x ) U
不同于普通集合 主观性 特征函数 CA(x)
模糊集合的特点
➢ 设给定论域(非空集)U和一个资格函数把U中
每个元素x和区间[0,1]中的一个数 A(x)结合 起来。以A(x)表示x在A中的资格的等级。
此处的A即所谓U的一个模糊集合（模糊子
集）,而A(x)相当于普通集合的特征函数，
不过其取值不再是0和1，而是扩展到中[0,1] 的任一数值。
CA B
➢并集 C ( x ) A ( x ) B ( x ) m A ( x ) B ( x , ) a
CAB
基本运算（续）
与模糊推理有关的重要运算
➢直积 AB A B ( x , y ) m A ( x ) B ( i y , ) n A B ( x ,y ) A ( x )B ( y )
✓核
m xXax A(x)1
核 ( A ) x |A ( x ) 1
有关名词术语（续）
分界点、交叉点
A(x)0.5
凸模糊集合 A x 1 1 x 2 m A ( x 1 ) A ( i x 2 , ) n x 1 ,x 2 X , 0 ,1
单点模糊集合
~ 是函数T的二元算子。这种模糊交算子被 称作T-范式（三角范式）算子，满足以下 要求：
✓T(0,0)=0, T(a,1)=T(1,a)=a
（有界）
✓T(a,b) ≤ T(c,d) a≤ c and b ≤ d （单调性）
✓T(a,b)=T(b,a)
（交换性）
✓T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c)
第一部分
模糊推理与模糊逻辑控制
参考书目
1. 孙增忻 智能控制理论与技术
清华大学出版社
2. 章为国 模糊控制理论与应用
西北工业大学出版社
3. 张曾科 模糊数学在自动化技术中的应用
西安电子科技大学出版社
1. 李人厚 智能控制理论和方法
西安电子科技大学出版社
1 预备知识
1.1 模糊集合的概念
模糊集合的特点
✓结合律
(A B)CA(BC) (AB)CA(BC)
基本运算的性质(续)
与普通集合不同的性质
x排中律
AAU
x矛盾律
A A
1.2.3 其他运算
与模糊推理有关的重要运算
✓代数积
A B ( x ) A ( x )B ( x )
A B A B ( x ) A ( x ) B ( x )
dx
高斯型
g(x;c,)e1 2(xc)2
c： 中心
： 宽度
wenku.baidu.com 钟形
bel(lx;a,b,c) 1
1 xc2b
a
钟形
二维隶属度函数
❖ 论域：
➢ 积空间
XY
➢ 隶属度函数 A(x,y)
❖ 类型 ： ➢ 复合式 ➢ 非复合式
二维隶属度函数 例
二维隶属度函数 例(复合式)
✓ （x,y)接近（3,4)
数学上可以证明
T d ( a , b p ) T b ( a , b p ) T a ( a , b p ) T m ( a , b ) in
最常用的T-范式算子
更一般的模糊并的运算
一般的模糊并可以由函数 S :[ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ]
来确定，表示为 A B S ( A ( x ) B ( x ) , A ( ) x ) ~ B ( x )
基本运算（续）
➢ 相等 AB
A (x )B (x )
➢ 包含 AB
A (x )B (x )
➢ 空集 A
A0
➢ 补集 BA
B1A
交集、并集、补集 图解
1.2.2 基本运算的性质
与模糊推理有关的重要性质
✓分配律
A (B C )(A B ) (A C ) A (BC )(A B )(A C )
1.2.4 更一般的模糊基本运算
二个模糊集合A和B的“交”可以一般 地用函T 数:[ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ] [ 0 ,1 ] 来确定， 它将两个隶属度函数按下式进行集结
A B T ( A ( x ) B ( x ) , A ( ) x ) ~ B ( x )
T-范式（三角范式）算子
AU Ax(x)
A
N
A(xi
)
i1 xi
例1
✓ 模糊集合“大苹果”
例2
✓ “年轻”和“年老”的隶属度函数
1.1.2 模糊集合的有关名词术语
台集合、支集
截集
A s x A (x ) 0
✓强 截集
✓弱 截集
A x A(x) 0,1 A x A(x) 0,1
有关名词术语（续）
正则模糊集合
A (x ,y ) ex (x 2 p 3 )2 [(y 4 )2 ]
ex (x p 3 )2 []ex (y p 4 )2 []
2
1
二维隶属度函数 例(非复合式)
✓ （x,y)接近（3,4)
A(x,y)1x31y42.5
1.2 模糊集合的运算
1.2.1 基本运算
与模糊推理有关的重要运算
✓模糊集合的台集合仅为一个点，且 A 1
图解1
图解2
1.1.3 隶属度函数（MF）
一维隶属度函数
三角形
0 x a trig(x;a,b,c) cbax c b 0
xa a xb
b xc cx
梯形
0
xa
trap(
x;a,b,c,d0
b
1
a
d x
d c 0
xa a xb b xc c xd
（结合性）
最常用的T-范式算子
交（极小） T m (a i,n b ) a b m a ,b i)n(
代数积 T a(p a,b)abab
有界积 T b ( a p ,b ) a b m 0 ,a a b x 1 )(
强积
Tdp(a,b)a bba0
b1 a1 others
最常用的T-范式算子
➢ ~是函数S的二元算子。这种模糊并算 子被称作T-协范式（协三角范式）或S 范式，满足以下四个基本条件：
1.1 定义
所谓给定论域(非空集)U上的一个模糊集合A，
是指对任何 x都U 有一个数 A (x) [0,与1]之
对应，并称之为x属于模糊集合A的隶属程度； 即指的是映射
A :U [ 0 , 1 ]x ; A ( x )
而映射 A(x)称为A的隶属度函数。
模糊集合的表示方法
A ( x ,A ( x )|x ) U
不同于普通集合 主观性 特征函数 CA(x)
模糊集合的特点
➢ 设给定论域(非空集)U和一个资格函数把U中
每个元素x和区间[0,1]中的一个数 A(x)结合 起来。以A(x)表示x在A中的资格的等级。
此处的A即所谓U的一个模糊集合（模糊子
集）,而A(x)相当于普通集合的特征函数，
不过其取值不再是0和1，而是扩展到中[0,1] 的任一数值。