精品高考数学二轮复习大题专项练习一三角函数与正余弦定理文
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∴tan∠BAM＝ ，
∴tanB＝tan(∠AMC－∠BAM)
＝
＝ ＝－ ，
又B∈(0，π)，∴B＝ .
(2)由(1)可知B＝ ，∠BAC＝ ，∴∠C＝ ，
∴AB＝BC，
设BM＝x，∴AB＝2x，
在△AMB中，由余弦定理得：
AB2＋BM2－2AB·BM·cosB＝AM2，
∴7x2＝21，解得x＝ ，
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sin2A＝ ，又A∈(0，π)，sinA>0，
∴sinA＝ ＝ .
(2)在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ，所以BC＝ ＝ ，所以△BCD的面积为S＝ ×BD×BC×sin∠CBD＝ ×1× × ＝ .
4．解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得
＝ .
即 ＝ ，所以sin∠ADB＝ .
∴S△ABC＝ ×4x2·sin ＝3 .
6．解析：(1)证明：∵bsinAcosC＋csinAcosB＝acsinB，
∴sinBsinAcosC＋sinCsinAcosB＝csinAsinB，
∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，
∴sinBcosC＋sinCcosB＝csinB，
∴sin(B＋C)＝csinB，
sinB＋sinC＝ ＋ ＝10× ＝ .
3．解析：(1)解法一：在△ABD中，AB＝3，BD＝1，
∠DBA＝60°，
由余弦定理，得：AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos60°＝7.
∴AD＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，
∴sinA＝ ＝ ＝ .
解法二：在△ABD中，
由正弦定理，得 ＝ ，
∴ ＝ ，
即3sinA＝sin(A＋60°)，∴5sinA＝ cosA，
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2 ，求BC.
5．[2018·哈尔滨第六中学第三次模拟]如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝ ，tan∠AMC＝－ .
(1)求角B的大小；
(2)若角∠BAC＝ ，BC边上的中线AM的长为 ，求△ABC的面积．
6．[2018·辽宁重点高中第三次模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinAcosC＋csinAcosB＝acsinB.
∴sinA＝csinB，
∴a＝bc.
(2)∵c＝3，cosC＝ ，∴a＝3b，
∴由余弦定理，得
9＝a2＋b2－2abcosC，
∴b2＝1，∴b＝1.∴a＝3，∴a＝c，
∴AC边上的高为 ＝ .
∴2sinBcosA＝sin(A＋C)，
∴2sinBcosA＝sinB，
在△ABC中，0<B<π，sinB≠0，∴cosA＝ ，
∵0<A<π，∴A＝ .
(2)S△ABC＝ bcsinA＝ bc＝ ，∴bc＝25，
又a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴25＝b2＋c2－25，∴b2＋c2＝50，
∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝100，∴b＋c＝10.
大题专项练习(一)三角函数与正余弦定理
1．[2018·湖南长沙模拟]已知函数f(x)＝2sin cos ＋ sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间 上的最值及相应的x值．
2．[2018·江苏赣榆5月模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝ ，且a＝5，求sinB＋sinC.
3．[2018·莆田一中月考]如图，在△ABC中，AB>BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1.
(1)求sinA；
(2)求△BCD的面积．
4．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)证明：bc＝a；
(2)若c＝3，cosC＝ ，求AC边上的高．大题项练习(一)三角函数与正余弦定理
1.解析：f(x)＝2sin cos ＋ sin2x
＝sin ＋ sin2x
＝cos2x＋ sin2x
＝2sin ，
(1)由T＝ ＝π，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤ ，
∴ ≤2x＋ ≤ ，－ ≤sin ≤1，
∴－1≤f(x)≤2.
当x＝ 时，f(x)max＝f ＝2，
当x＝ 时，f(x)min＝f ＝－1.
2．解析：(1)∵b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA，
∴2bccosA＝accosC＋c2cosA，
∴2bcosA＝acosC＋ccosA，
由正弦定理得，2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，
由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ ＝ .
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝ .
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2 × ＝25.
所以BC＝5.
5．解析：(1)∵cos∠BAM＝ ，∴sin∠BAM＝ ，
∴tanB＝tan(∠AMC－∠BAM)
＝
＝ ＝－ ，
又B∈(0，π)，∴B＝ .
(2)由(1)可知B＝ ，∠BAC＝ ，∴∠C＝ ，
∴AB＝BC，
设BM＝x，∴AB＝2x，
在△AMB中，由余弦定理得：
AB2＋BM2－2AB·BM·cosB＝AM2，
∴7x2＝21，解得x＝ ，
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sin2A＝ ，又A∈(0，π)，sinA>0，
∴sinA＝ ＝ .
(2)在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ，所以BC＝ ＝ ，所以△BCD的面积为S＝ ×BD×BC×sin∠CBD＝ ×1× × ＝ .
4．解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得
＝ .
即 ＝ ，所以sin∠ADB＝ .
∴S△ABC＝ ×4x2·sin ＝3 .
6．解析：(1)证明：∵bsinAcosC＋csinAcosB＝acsinB，
∴sinBsinAcosC＋sinCsinAcosB＝csinAsinB，
∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，
∴sinBcosC＋sinCcosB＝csinB，
∴sin(B＋C)＝csinB，
sinB＋sinC＝ ＋ ＝10× ＝ .
3．解析：(1)解法一：在△ABD中，AB＝3，BD＝1，
∠DBA＝60°，
由余弦定理，得：AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos60°＝7.
∴AD＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，
∴sinA＝ ＝ ＝ .
解法二：在△ABD中，
由正弦定理，得 ＝ ，
∴ ＝ ，
即3sinA＝sin(A＋60°)，∴5sinA＝ cosA，
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2 ，求BC.
5．[2018·哈尔滨第六中学第三次模拟]如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝ ，tan∠AMC＝－ .
(1)求角B的大小；
(2)若角∠BAC＝ ，BC边上的中线AM的长为 ，求△ABC的面积．
6．[2018·辽宁重点高中第三次模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinAcosC＋csinAcosB＝acsinB.
∴sinA＝csinB，
∴a＝bc.
(2)∵c＝3，cosC＝ ，∴a＝3b，
∴由余弦定理，得
9＝a2＋b2－2abcosC，
∴b2＝1，∴b＝1.∴a＝3，∴a＝c，
∴AC边上的高为 ＝ .
∴2sinBcosA＝sin(A＋C)，
∴2sinBcosA＝sinB，
在△ABC中，0<B<π，sinB≠0，∴cosA＝ ，
∵0<A<π，∴A＝ .
(2)S△ABC＝ bcsinA＝ bc＝ ，∴bc＝25，
又a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴25＝b2＋c2－25，∴b2＋c2＝50，
∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝100，∴b＋c＝10.
大题专项练习(一)三角函数与正余弦定理
1．[2018·湖南长沙模拟]已知函数f(x)＝2sin cos ＋ sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间 上的最值及相应的x值．
2．[2018·江苏赣榆5月模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝ ，且a＝5，求sinB＋sinC.
3．[2018·莆田一中月考]如图，在△ABC中，AB>BC，∠ABC＝120°，AB＝3，∠ABC的角平分线与AC交于点D，BD＝1.
(1)求sinA；
(2)求△BCD的面积．
4．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)证明：bc＝a；
(2)若c＝3，cosC＝ ，求AC边上的高．大题项练习(一)三角函数与正余弦定理
1.解析：f(x)＝2sin cos ＋ sin2x
＝sin ＋ sin2x
＝cos2x＋ sin2x
＝2sin ，
(1)由T＝ ＝π，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤ ，
∴ ≤2x＋ ≤ ，－ ≤sin ≤1，
∴－1≤f(x)≤2.
当x＝ 时，f(x)max＝f ＝2，
当x＝ 时，f(x)min＝f ＝－1.
2．解析：(1)∵b2＋c2－a2＝accosC＋c2cosA，
∴2bccosA＝accosC＋c2cosA，
∴2bcosA＝acosC＋ccosA，
由正弦定理得，2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，
由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ ＝ .
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝ .
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2 × ＝25.
所以BC＝5.
5．解析：(1)∵cos∠BAM＝ ，∴sin∠BAM＝ ，