抛物线复习Microsoft Word 文档

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(word版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案,文档

抛物线y22px y22px x22py x22py(p0)(p0)(p0)(p0)y y yy l l lF OxOF x F O xO x Fl定义范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1,y1)焦点弦长AB平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MMF=点M 到直线l 的距离}x0,y R x0,y R xR,y 0 xR,y 0关于x 轴对称关于y 轴对称(p,0) ( p,0)(0,p)(0, p )2222焦点在对称轴上 O(0,0) e=1pxpppxy2 y222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

p 2 ppAFppAFpAFx 1x 1AFy 1y 12222(x 1 x 2) p (y 1 y 2) p (y 1 y 2) p (x1 x2) p焦点弦AB的几条性质A(x1,y1)假设AB的倾斜角为B(x2,y2)切线y0yp(xx0)方程yAx1,y1o Fxx2,y2以AB为直径的圆必与准线l相切，那么AB2p假设AB的倾斜角为，那么2p sin2ABcos2 x1x2p224y1y2p11AFBF AB2AF BF AF?BF AF?BF py0y p(xx0)x0xp(yy0)x0x p(yy0)一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；〔2〕当k≠0时，＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

〔3〕假设直线与抛物线只有一个公共点 ,那么直线与抛物线必相切吗?〔不一定〕二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：y kxb抛物线，(p0)①联立方程法：y kx bk2x22(kbp)xb20y22px设交点坐标为(,y1),B(x2,y2)，那么有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出Ax1y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方相交弦AB的弦长AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2a或AB11y211(y1y2)24y1y21k2k2y1k2ab.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y122px1y222px2将两式相减，可得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)y1y22px1x2y1y2a. 在涉及斜率问题时，k AB2py1y2在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1y22p2p p，x1x2y1y22y0y0即k AB p，y0同理，对于抛物线x22py(p0)，假设直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，那么有k ABx1x22x0x02p2p p〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P在抛物线y2=4x上，那么点 P到点Q〔2，－1〕的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。

(完整word)抛物线专题复习讲义和练习

抛物线专题复习讲义及练习★知识梳理★1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质（0>p )：2.①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2P y +；② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径。

其长度为2p.③ AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 42p，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++3。

px y 22=的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)，py x 22=的参数方程为⎩⎨⎧==222pt y ptx (t 为参数)。

★重难点突破★重点：掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识问题1:抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ） A.1617B. 1615C.87 D 。

02。

求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 3。

研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路" 问题3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切★热点考点题型探析★考点1 抛物线的定义题型利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换［例1 ］已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【新题导练】1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有（）A ．321x x x =+B ． 321y y y =+C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+2。

(word完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点,文档

左老师备战考高基础复习资料椭圆〔焦点在 x 轴〕〔焦点在 y 轴〕标准x 2y2y 2x2方程22 1(a b 0)1(a b 0)a b a 2b2第必然义：平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于定长〔定长大于两定点间的距离〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。

M MF1MF22a 2a F1F2定义范围极点坐标对称轴对称中心焦点坐标离心率准线方程y yMF2MF1O F2x O xF1第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。

yyM MF2MF1F2xF1xMx a y b x b y a(a,0)(0,b)(0, a)(b,0)x 轴，y轴；长轴长为2a，短轴长为 2b原点O(0,0)F1 (c,0)F2 (c,0)F1 (0, c)F2 (0, c)焦点在长轴上， ca2b2；焦距： F1F22cec( 0 e 1), e2 c 2 a 2b2，a a 2ae 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。

xa2ya 2c c左老师备战考高基础复习资料准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：2a2 c极点到极点 A1〔 A2〕到准线 l 1〔 l 2〕的距离为a2ac准线的距离〕到准线 l2〔 l1〕的距离为a2极点 A1〔 A2ac焦点到焦点 F1〔 F2〕到准线l1〔l2〕的距离为a2cc准线的距离〕的距离为a2焦点 F1〔 F2〕到准线 l 2〔 l1cc椭圆上最大距离为： a c到焦点最小距离为： a c的最大相关应用题：远日距离 a c〔小〕距近期距离 a c离椭圆的x a cos 〔x b cos 〔参数方为参数〕为参数〕程y bsin y a sin椭圆上利用参数方程简略：椭圆x a cos0 的的点到y〔为参数〕上一点到直线 Ax By C b sin给定直|Aa cos Bb sin C|线的距离距离为： dA2B2椭圆 x 2y21与直线 y kx b 的地址关系：a 2b2直线和x2y21利用a2b2转变成一元二次方程用鉴识式确定。

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章平面解析几何第7讲抛物线 Word版含答案

第7讲抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )，又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度．高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)．即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4）＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)．所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.。

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1抛物线专题复习一：知识总结1、抛物线的定义:平面内点到定点的距离等于点到定直线的距离：即：PF d = 其中点F 为抛物线的焦点。

2、抛物线的标准方程、几何性质标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p pxyxyO Fl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2px -=1=e02x p PF +=)(21x x p AB ++=PFQOxy23、抛物线的焦半径 ①()022>=p px y焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x焦半径：y pPQ PF +==2；④()022>-=p py x焦半径：y pPQ PF -==24、直线与抛物线的位置关系（1）当直线与对称轴平行时⇒有一个交点⇒相交（2）当直线与对称轴不平行时，则有① ② ③ ①当0∆>⇒两个焦点⇒相交； ②当0∆=⇒一个焦点⇒相切； ③当0∆<⇒没有焦点⇒相离；题型一：抛物线的定义应用1、抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 1615C.87D. 02、已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为。

()022>-=p pxyxyO F l()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p2p x =1=e 02x pPF -=)(21x x p AB +-=()022>=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2py -=1=e02y p PF +=)(21y y p AB ++=()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y =1=e 02y pPF -=)(21y y p AB +-=PF OQxyPFQO xy PFOQxyOxyFFOxyOxy FOxyFOxyF33、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P成等差数列，则有（） A ．321x x x =+ B ．321y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+4、已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时，M 点坐标是A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-题型二：利用抛物线定义求轨迹方程1、一动点P 到y 轴距离比到点)0,2(M 的距离小2，则此动点P 的轨迹方程;2、求与圆C ：22(2)1x y ++=外切，且与直线1x =相切的动圆圆心M 的轨迹方程；3、已知动圆M 经过点)0,3(M 且与直线3:-=x l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是；4、已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程；（参考：222880x y xy x y +---=；y x =；(00)，）题型三：距离问题1、已知F 是抛物线24y x =的焦点，点Q(2,2)，在抛物线上找一点P 使PQ PF +最小，求点P 的坐标；2、抛物线28y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ；（1）当||||MA MF + 为最小时，求M 点的坐标；（2）当||||||MA MF -为最大时，求M 点的坐标；43、定长为4的线段AB 的端点A B 、在抛物线22y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 的中点M 坐标；4、求抛物线22y x =上到直线03=+-y x 距离最短距离，且求出此时的点的坐标；5、在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标；（），（121）6、已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ．（1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小；题型四：焦半径和焦点弦（一）焦半径公式①()022>=p px y 焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y 焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x 焦半径：y pPQ PF +==2； ④()022>-=p py xPF OQxyPF QO x y PFQ O xyPFOQxy5焦半径：y pPQ PF -==2（二）焦点弦公式（1）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且直线AB 的倾斜角为a ，则apAB 2sin 2= （2）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且点()()1122,,,A x y B x y ，则有 ①12AB x x p =++ ②pBF AF 211=+ ③2124p x x =④221p y y -=（3）通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴）最短；当90α= ，2sin 1α=，p ap AB 2sin 22==最小1、已知抛物线2y x =上一点M 到焦点F 的距离为2，求点M 的坐标；（参考：77(,)24±） 2、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，且621=+x x ，求||AB A 、10 B 、8 C 、6 D 、43、如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（）A 、5B 、6C 、7D 、94、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线（） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、1条或2条 D 、不存在5、过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+ （） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、a46、已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为。

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题型1抛物线定义的应用21.已知F 是抛物线y二X 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点, 的中点到y轴的距离为22.设抛物线y=8x的焦点为F ，准线为1，点P 为该抛物线上一点，PA 丄1，点A 为垂方程是6.已知抛物线过点P （—3,2），则该抛物线的标准方程为7.已知抛物线的焦点F 在直线x-2y-4=0上，则该抛物线的标准方程为其准线方程为抛物线AF| + BF =3，则线段 AB足，如果直线AF 的斜率为-屈，那么PF3.已知以F 为焦点的抛物线 2 ------------------------------------------ -------- 'y =4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ，则弦AB 的中点到准线的距离为题型2:求抛物线的方程4.设抛物线的顶点在坐标原点, 准线方程为X = -2，则该抛物线的方程是5.设抛物线的顶点在坐标原点, 焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的，其准线方程为8.已知动圆与圆A : 外切，且与y轴相切，则动圆圆心M的轨迹方程为2 9.若抛物线y 2 2=2Px（ p >0）的焦点恰好是双曲线x-y =2的右焦点，则P=10.若抛物线2 C C 2 2.y =2PX （P >0）的准线经过双曲线X —y =1的一个焦点，则p=2 211.已知抛物线的焦点是双曲线16x"9y =144的左顶点，则该抛物线的标准方程为12.已知抛物线的焦点F在X轴上，直线y = -3与该抛物线交于点A，并且AF =5，则该抛物线的标准方程为题型3:抛物线的性质213.已知抛物线C：y =2PX（P〉0）过点A（h-2），与抛物线C有公共点的直线1平行于OA（0为坐标原点），并且直线OA与1之间的距离等于5，则直线1的方程为14.过抛物线x—2Py（P >0）的焦点作斜率为1的直线1与该抛物线交于A、B两点，A、B在x轴上的正射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为1212，则P =215.过点M(0,6)且与抛物线y =-12x有一个公共点的直线方程为16.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。

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抛物线专题复习焦点弦长 AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k ox ()22,B x yFy ()11,A x y设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r 为5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK∆的面积为7、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>则该抛物线的方程是。

抛物线专题复习

§9.7 抛物线一、基础知识 1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(定点F 不在直线上)． 2．抛物线的标准方程与几何性质1.抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简． 2．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)． 3．抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．4. 抛物线的标准方程与几何性质的记忆规律：（1）标准方程的二次项系数为1；（2）焦点在一次项对应的坐标轴（系数为正就在正半轴，系数为负就在负半轴）；（3）焦点的非零坐标为一次项系数的14 ；（4）准线与焦点非零坐标互为相反数5．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 6.求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．7．抓住抛物线的定义与几何性质，结合问题熟练运用坐标法、待定系数法、方程思想、数形结合思想等数学思想和方法，分析清楚题中所给几何图形的性质，选择适当方法简捷求解． 8．抛物线y 2＝2px 上的点常设为 .9．抛物线的焦半径、焦点弦问题，常转化为点到准线的距离．（借助图像理解） 10．抛物线方程的四种标准形式，可以合并为两个：y 2＝mx ，x 2＝my (m ≠0)．三、基础训练1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案 y 2＝4x 解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案 4 解析因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.3． (2012·重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.答案 56 解析由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎫x －122＝2x ， ∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝14.而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.4． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B 解析由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]答案 C 解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1. 四、经典题题型题型一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为求|P A |＋d 的问题．解将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1C.54D.74答案 C 解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.题型二抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．解由题意，抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧，则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为 y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2.∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ② ②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .题型三直线与抛物线的位置关系例3 (2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8.(2)证明设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．五、综合应用：直线与抛物线的位置关系问题解答方法（步骤）第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点) 第三步：建立关于所求问题的目标函数；第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况．温馨提醒解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点： (1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法； (2)不要忽略对Δ>0的限制或验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解．典例：(12分)(2011·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．审题视角 (1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l 1的斜率为k ，依题设条件可求出AD →·EB →关于k 的解析式，利用基本不等式求最值．规范解答解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．[5分](2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.[7分] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.[9分] 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.[11分]当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.[12分]A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y答案 D 解析由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C 解析不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16答案 B 解析设P ⎝⎛⎭⎫y 28，y ，则A (－2，y )，由k AF ＝－3，即y －0－2－2＝－3，得y ＝43， |PF |＝|P A |＝y 28＋2＝8.4．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15答案 B 解析由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10，选B.二、填空题(每小题5分，共15分)5．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是_______．答案 x 2＝12y 解析由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.答案 3 解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.7．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为______．答案5 解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于|PB |＋|PF |.如图，|PB |＋|PF |≥|BF |，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值，此时|BF |＝(－1－1)2＋(1－0)2＝ 5. 三、解答题(共22分)8． (10分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解如图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝±4x .9． (12分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA →，FO →∥OP→(其中O 为坐标原点)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )． ∵AE →·AF →＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0， ∴y E ·y F ＝－4，①又EP →＝(x ＋1，y －y E )，FO →＝(1，－y F )，且EP →∥OA →，FO →∥OP →，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－yx ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2＝4x 消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM →·AN →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫y 1y 242－(y 1＋y 2)24＋32y 1y 2＋1 ＝12k ＋1<0，∴－12<k <0，则实数k 的取值范围为(－12,0)．B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为 ( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)答案 C 解析依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3答案 B 解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)答案 D 解析如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |， ∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF ) ＝3，∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， ∴y 24＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)．二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是________．答案 92 解析设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0，又点A ⎝⎛⎭⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连接F A 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________．答案2 解析由抛物线定义可知|BM |＝|BF |，又由平面几何知识得|BM |＝|BA |，所以点B 为AF的中点，又B ⎝⎛⎭⎫p 4，1在抛物线上，所以12＝2p ×p4，即p 2＝2，又p >0，故p ＝ 2. 6．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________. 答案212p 解析过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p . ∴|OA →|＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 7． (13分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC →＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )；则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )．∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0.①由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ， ∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x .∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)，由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97，∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.②将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0.∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点，∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2>0，即－24<k <24，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝16k 2－4k 2，x 1x 2＝64. 代入②式得：64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k 2＋1＋64k 2＝97. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12. ∵k ＝±12∉⎝⎛⎭⎫－24，24， ∴这样的直线l 不存在．。

九年级数学期中考试复习知识抛物线的性质-word

九年级数学期中考试复习知识抛物线的性质
大家一定要在平时的练习中不断积累，查字典数学网小编为大家准备了九年级数学期中考试复习知识，希望同学们不断取得进步!
1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数
(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
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(word完整版)抛物线及其性质知识点大全,文档

抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到必然点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义张口方向标准方程焦点位置焦点坐标准线方程范围对称轴极点坐标离心率通径焦半径 A(x1 , y1)焦点弦长AB 焦点弦长AB的补充A(x1, y1 ) B( x2 , y2 )参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，张口越阔.右左上下y2 2 px( p 0)y22px( p0)x22py( p0)x2 2 py( p 0) X 正X 负Y 正Y 负(p,0)(p,0)(0,p)(0,p) 2222 p p pyp x x y2 222x 0, y R x 0, y R y 0, x R y 0, x R X 轴X 轴Y 轴Y 轴〔0,0〕e12pAFpAF x1pAF y1pAFp x122y1 22 ( x1x2 ) p(x1 x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 ) p以 AB 为直径的圆必与准线l 相切假设 AB 的倾斜角为， 2 p假设 AB 的倾斜角为，那么AB2 pAB2cos2sinx1 x2p2y1 y2p2411AF BF AB2AF BF AF ?BF AF ?BF p3．抛物线y2 2 px( p 0) 的几何性质：(1) 范围：由于 p>0，由方程可知 x≥ 0，因此抛物线在y 轴的右侧，当 x 的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无量延伸．1(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定张口方向．(3) 极点〔 0， 0〕，离心率： e 1，焦点 F ( p ,0) ，准线 xp，焦准距 p ．22(4) 焦点弦：抛物线 y 22 px( p 0) 的焦点弦 AB ， A(x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 那么 | AB | x 1 x 2 p ．弦长 |AB|=x 1+x 2+p, 当 x 1=x 2 时，通径最短为 2p 。

3-3-2 第2课时抛物线的几何性质及应用 Word版含答案

A级基础巩固1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为()A.y2=13x B.x2=3yC.x2=13y D.y2=3x解析:因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),所以抛物线y2=3x 关于直线y=x对称的抛物线方程为x2=3y.答案:B2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于a2+2a+3(a∈R),则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有一条或两条D.不存在解析:设A(x A,y A),B(x B,y B),则|AB|=x A+x B+p=a2+2a+5=(a+1)2+4≥4,而通径的长为4,所以有1条或2条.答案:C3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.[-12,12] B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:由题意,得准线方程为x =-2,所以Q (-2,0).设直线l :y =k (x +2),由{y =k (x +2),y 2=8x ,得k 2x 2+4(k 2-2)x +4k 2=0.当k =0时,x =0,即交点为(0,0);当k ≠0时,Δ≥0,-1≤k <0或0<k ≤1.综上,k 的取值范围是[-1,1].答案:C4.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-√3,那么|PF |= ( )A.4√3B.8C.8√3D.16解析:设P (x 0,y 0),则A (-2,y 0).又因为F (2,0),所以y 0-2-2=-√3,所以y 0=4√3.由y 02=8x 0得8x 0=48,所以x 0=6.从而|PF |=6+2=8.答案:B5.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点作直线l 交抛物线于点M ,N ,交抛物线的准线于点P ,若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PF⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l 的倾斜角为π3或2π3. 解析:如图①②,过点M 作MB ⊥l ,B 为垂足.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知F 为PM 的中点,所以|BM |=2p ,即|FM |=2p , 所以|PF |=2p =2|AF |,所以∠PFA =π3,所以直线l 的倾斜角为π3或2π3.① ②故答案为π3或2π3.6.过抛物线y 2=8x 的焦点作倾斜角为45°的直线l ,交抛物线于A ,B 两点.求:(1)被抛物线截得的弦长|AB |;(2)线段AB 的中点到直线x +2=0的距离.解:(1)由已知,得抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),准线方程为x =-2. 所以直线l 的方程为y =x -2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由方程组{y =x -2,y 2=8x ,得x 2-12x +4=0,所以x 1+x 2=12,x 1x 2=4,所以|AB |=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2×√122-4×4=16, 所以被抛物线截得的弦长|AB |=16. (2)设线段AB 中点的坐标为(x ,y ),则x =x 1+x 22=6,y =6-2=4,所以线段AB 的中点坐标为(6,4),点(6,4)到直线x +2=0的距离,即到直线x =-2的距离,为6-(-2)=8. 所以线段AB 的中点到直线x +2=0的距离为8.B 级拓展提高7.抛物线y =2x 2上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1x 2=-12,则m 的值为 ( )A.32B.2C.52D.3解析:设A ,B 所在直线的方程为y =-x +b ,代入y =2x 2,得2x 2+x -b =0,所以x 1+x 2=-12,x 1x 2=-b2=-12,所以b =1,即A ,B 所在直线的方程为y =-x +1.设AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-14,代入y 0=-x 0+1,得y 0=54.又因为M (-14,54)在直线y =x +m 上,所以54=-14+m ,所以m =32.答案:A8.若双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)交于A ,O ,B 三点(O 为坐标原点),且直线AB 经过抛物线C 2的焦点,则该双曲线的离心率为 ( )A.√3B.√5C.3D.5解析:由题意,得A ,B 关于x 轴对称,设点A 在x 轴上方,可得A (p2,p),因为双曲线的两条渐近线方程为bx -ay =0,bx +ay =0,点A 在双曲线的渐近线上,且在x 轴上方,所以点A 在直线bx -ay =0上,将点A 的坐标代入得pb2-pa =0,即b =2a ,可得c 2-a 2=4a 2,所以双曲线的离心率为e =ca=√5.答案:B9.设抛物线x 2=12y 的焦点为F ,经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,又知点P 恰为AB 的中点,则|AF |+|BF |=8.解析:分别过点A ,B ,P 作抛物线准线的垂线,垂足分别为M ,N ,Q (图略),根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF |+|BF |=|AM |+|BN |=2|PQ |=8.10.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,则|AF |·|BF |的最小值是4.解析:由题意,知抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),当AB 所在直线的斜率k 存在时,设AB 所在直线的方程为y =k (x -1), 由{y 2=4x ,y =k (x -1),得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1.依据抛物线的定义,得|AF |·|BF |=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1, 所以|AF |·|BF |=2k 2+4k 2+2=4+4k2>4.当AB 所在直线的斜率k 不存在时,|AF |·|BF |=2×2=4. 综上所述,|AF |·|BF |的最小值是4.11.在平面直角坐标系中,已知直线l :x -y -2=0,抛物线C :y 2=2px (p >0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程;(2)若抛物线C 上存在相异的两点P 和Q 关于直线l 对称,求p 的取值范围.解:(1)因为直线x -y -2=0与x 轴的交点坐标为(2,0), 所以抛物线的焦点为(2,0),所以p2=2,即p =4,故抛物线C 的方程为y 2=8x. (2)设点P (y 122p,y 1),Q (y 222p,y 2),故k PQ =y 1-y2y 122p -y 222p=2p y 1+y 2.又因为P ,Q 关于直线l 对称, 所以k PQ =-1,即y 1+y 2=-2p ,所以12(x 1+x 2)=12(y 1+y 2)+2,即x 1+x 2=4-2p.又因为x 1+x 2=y 12+y 222p,所以y 12+y 22=8p -4p 2,故y 1y 2=4p 2-4p.所以y 1,y 2是关于y 的方程y 2+2py +4p 2-4p =0的两个不同的实数根, 因此Δ=(2p )2-4(4p 2-4p )>0, 解得0<p <43.12.已知抛物线y 2=-x 与直线y =k (x +1)相交于A ,B 两点(O 为坐标原点).(1)求证:OA ⊥OB ;(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值. (1)证明:由{y 2=-x ,y =k (x +1)消去x ,得ky 2+y -k =0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得 y 1y 2=-1,y 1+y 2=-1k .因为点A ,B 在抛物线y 2=-x 上,所以y 12=-x 1,y 22=-x 2,所以y 12·y 22=x 1x 2.因为k OA ·k OB =y 1x 1·y2x 2=y 1y 2x 1x 2=1y 1y 2=-1,所以OA ⊥OB.(2)解:设直线y =k (x +1)与x 轴交于点N ,如图所示,显然k ≠0.令y =0,得x =-1,即N (-1,0).因为S △OAB =S △OAN +S △OBN =12|ON ||y 1|+12|ON ||y 2|=12|ON |·|y 1-y 2|,所以S △OAB =12×1×√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12√(-1k)2+4. 因为S △OAB =√10,所以√10=12√1k 2+4,解得k =±16.C 级挑战创新13√3的直线l 经过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F ,与抛物线C 交于点A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线C 的准线交于点D ,若|AB |=8,则以下结论正确的是 ( )A.1|AF |+1|BF |=1 B.|AF |=6C.|BD |=2|BF |D.F 为AD 的中点解析:根据题意作出示意图,如图所示,过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为A 1,B 1.因为直线l 的斜率为√3,即∠xFA =60°, 则∠FDA 1=30°.设|BD |=x ,则在Rt △DBB 1,Rt △DAA 1中,|BB 1|=x 2,|AA 1|=4+x2,所以|BB 1|=|BF |=x 2,|AA 1|=|AF |=4+x2,所以|AB |=|AF |+|BF |=4+x 2+x2=4+x =8,解得x =4,所以|BF |=2,|AF |=6,所以选项B 正确;1|AF |+1|BF |=16+12≠1,所以选项A 不正确;因为|BD |=4,满足|BD |=2|BF |,所以选项C 正确;而|DF |=|BD |+|BF |=4+2=6=|AF |,所以选项D 正确.故选BCD . 答案:BCD14,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为y =√3(x -1),|AB |=163.解析:由题意,得F (1,0),准线方程为x =-1,过点B 作准线的垂线,垂足为E ,则|BE |=|FB |.因为FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|BC |=2|BE |,由勾股定理,得|CE |=√3|BE |,所以直线AB 的斜率k =√3,所以直线AB 的方程为y =√3(x -1),由{y 2=4x ,y =√3(x -1),得3x 2-10x +3=0,解得x 1=3,x 2=13,结合抛物线方程可得,A (3,2√3),B (13,-23√3),所以|AB|=√(3-13)2+(2√3+23√3)2=163.。

抛物线复习文档

《抛物线》复习习题课
一、知识总结：
1、抛物线的定义：
平面内到定点F 的距离等于它到定直线的距离相等，若定点不在定直线上，轨迹是抛物线。

2、抛物线的标准方程：
抛物线的标准方程中，一次项决定开口方向和焦点的位置；解决抛物线问题注意定义的应用；抛物线22y px =的焦半径公式为12
p AF x =+，过焦点的弦长12AB x x p =++；2
2
1212,4p y y p x x =-= 3、通过焦点与对称轴垂直的弦叫通经，抛物线的通经长为2p 。

4、求最值一般方法：数形结合（选择、填空），建立函数或不等式。

建立不等式常用椭圆、双曲线、抛物线的范围。

5、直线与抛物线相交问题：
最基本的出发点是组成方程组—一元二次方程—△（结合图形判断是否必要）——韦达定理，但首先应设而不求，探索出如何应用韦达定理，
二、习题：。

抛物线 Microsoft Word 文档

抛物线1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．2. 抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________．3. 抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．4. 抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x ＝________．5. 已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．6、抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．7、抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________．8、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x －y －4＝0上，求抛物线的标准方程．9、已知Rt △AOB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，求该抛物线的方程．10、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上．(1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；11. 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．12. 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．13. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________．14. 已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．求抛物线D 的方程；15. 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p>0)上．求抛物线E 的方程；1. (文)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切2. (文)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是________．答案：2±33. (文)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．答案：y 2＝3x4. (文)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．(1) 过点(－3，2)；(2) 焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1) 设所求抛物线的方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py(p ＞0)．∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或9＝2p·2.∴p ＝23或p ＝94.∴所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ，前者的准线方程是x ＝13，后者的准线方程是y ＝－98. (2) 令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，p 2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的方程为y 2＝16x ；焦点为(0，－2)时，p 2＝2，∴p ＝4，此时抛物线的方程为x 2＝－8y.∴所求抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ，对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2.。

《抛物线》全章复习与巩固—重点题型巩固练习

《抛物线》全章复习与巩固—重点题型巩
固练习
抛物线全章复与巩固—重点题型巩固练
第一章：抛物线的基础知识
本章主要讲解抛物线的定义、性质、一般式及相关公式等内容，是理解抛物线的基础。

在备考时，需要掌握以下一些知识点：
- 抛物线的概念与性质；
- 求解抛物线的方程；
- 抛物线上的点及其坐标；
- 抛物线的判别式。

第二章：抛物线的图像与方程
通过研究本章的内容，可以让学生掌握抛物线的图像特征、在
平面直角坐标系中的位置与方程的求解方法。

考生需要重点掌握以
下知识点：
- 抛物线的焦点与准线；
- 抛物线的离心率；
- 抛物线方程的求解方法。

第三章：抛物线的性质与应用
本章主要讲解抛物线的性质、应用和相关题。

在备考时，考生需重点掌握以下知识点：
- 抛物线在生活中的应用；
- 抛物线的极性；
- 抛物线的演化史；
- 抛物线的相关定理。

练
每章结束后都有大量的题，供学生巩固所学知识，增强自己的应试能力。

另外，模拟试卷也是为考生进行自我测试的好方法。

总结
通过学习抛物线这一知识点，可以让学生加深对数学概念和知识的理解，提高数学应用能力，为日后进行更深入的学习打下坚实的基础。

抛物线.知识框架普通高中数学复习讲义Word版

抛物线的定义与性质要求层次重难点抛物线的定义及标准方程 C由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质抛物线的简单几何性质 C直线与抛物线的位置关系要求层次重难点抛物线的定义与性质 C判别式和韦达定理的应用；直线与抛物线相交截得的弦长直线与抛物线的位置关系C1．平面内与一个定点F 和一条定直线l ()F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是(0)2p，，准线方程是2px =-，其中p 是焦点到准线的距离．3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）：⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p >，抛物线方程的四种形式如下：标准方程图形对称轴焦点坐标准线方程知识内容高考要求模块框架抛物线.知识框架5．抛物线)标准方程：22(0)y px p =>；焦点：02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，通径2AB p =；准线：2p x =-；焦半径：12pCF x =+，过焦点弦长121222p pCD x x x x p =+++=++，2212124p x x y y p ==-，6．0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．7．弦长公式同椭圆和双曲线．。

抛物线常用性质总结(可编辑修改word版)

AFBF2结论一：若 A B 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点弦（过焦点的弦），且 A (x , y ) ， B (x , y ) ，则：1 12 2x x = p ， y y = - p 2 。

1 2 41 2结论二：已知直线 AB 是过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 焦点 F ，求证： 1 。

+ 1 = 2p结论三：（ 1）若 AB 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为α，则AB =2P （α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

sin 2结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

AF BFAF BF AB1证明结论二：例：已知直线 AB 是过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 焦点 F ，求证：1 + 1 p为定值。

p 证明：设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，由抛物线的定义知： AF = x 1 + 2， BF p 2= x 2 + 2，又AF + BF = AB ，所以 x 1 + x 2 = AB -p ，且由结论一知： x 1 x 2 = 4。

则： 1 + 1 == = (x + p )(x + p ) AB p p 2= AB p 2p= 2 p 2 p（常数1 2 2 2 x 1x 2 + 2 (x 1 + x 2 ) + 4+ ( AB - p ) + 4 2 4证明：结论四：已知 AB 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的过焦点 F 的弦，求证：（1）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过 A 、B 做准线的垂线，垂足为 M 、N ，求证：以 MN 切。

抛物线.参考教案.学生版普通高中数学复习讲义Word版

一、抛物线的方程【例1】抛物线24x y=上一点A的纵坐标是4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．5B．4C．3D．2【例3】已知点(10)M，，直线:1l x=-，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【例4】如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线11C D的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线1AA【例5】⑴抛物线240x y+=的焦点坐标为_______，准线方程为_______；⑵抛物线240x y+=的焦点坐标为________，准线方程为_____．⑶抛物线2(0)x ay a=≠的焦点坐标为_______，准线方程为_______．【例6】如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点M在A上，且13AM AB=，点P在平面ABCD上，且动点P到直线11A D的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是．A抛物线.参考教案【例7】抛物线2x ay =的准线方程为2x =，则a 的值为_________．【例8】一动点到y 轴的距离比到点(20)，的距离小2，这动点的轨迹方程是．【例9】若抛物线2x my =的焦点是20m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，则m 的值为_________．【例10】 ⑴抛物线2y x =-的焦点坐标为________，准线方程为________；⑵已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上一点(3)P a -，到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【例11】已知点(2,8)A ，11(,)B x y ，22(,)C x y 在抛物线22y px =上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）⑴写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； ⑵求线段BC 中点M 的坐标． ⑶求BC 所在直线的方程．【例12】抛物线的焦点F 在x 轴正半轴上，直线3y =-与抛物线相交于点A ，5AF =，求抛物线的标准方程．【例13】已知抛物线22(0)y px p =>有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直角边所在的直线方程为2y x =，斜边长为，求抛物线的方程．【例14】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切． ⑴求a 与b ；⑵设该椭圆的左、右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y轴垂直，2l 交1l 于点P ．求线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．【例15】在直角坐标系中，已知点0(0)2p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切． ⑴点A 的轨迹C 的方程；⑵PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 和QB 与曲线C 的位置关系．⑶12M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线1FM 与2BM 的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上．二、抛物线的几何性质【例16】抛物线24y x =上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（）A ．3B ．2C ．1.5D ．1【例18】抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（）A ．84ABO AB S ==△，B ．82AOB AB S ==△，C ．42AOB AB S ==△，D ．44AOB AB S ==△，【例19】过点(12)M ，且以y 轴为准线的抛物线的焦点的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【例20】抛物线24y x =的弦AB 过定点(20)，，则AOB ∠是（）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都可能【例21】已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A ()02，的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A B ．3 CD ．92【例22】设抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且||||AK AF ，则AFK △的面积为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【例24】过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．【例25】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(02)A ，．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为．【例26】已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为()22M ，，则ABF ∆的面积等于．【例27】过抛物线24y x =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+=_______【例28】抛物线229y x =上一点M 到焦点的距离为738，则点M 到抛物线顶点的距离是．【例29】过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于A B ，两点，交其准线于C 点．若53CB BF =，则直线l 的斜率为_________．【例30】过抛物线216y x =上的动点P 向圆22(4)1x y -+=引切线，则切线长的最小值是_______．【例31】如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF PF PF +++=_____．【例32】定长为3的线段AB 的两个端点在2y x =上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离．【例33】设抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．【例34】自抛物线24y x =上一点(12)A ，引两弦AM 、AN ，已知两弦的斜率之和为零，求AMN △面积的最大值．【例35】证明：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形．【例36】抛物线22(0)y px p =>的弦PQ 的端点与顶点O 的连线成直角时，直线PQ 过定点(20)p ，；反之，抛物线22(0)y px p =>的弦PQ 过定点(20)p ，时，有OP OQ ⊥．。

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抛物线
1．抛物线28y x =的准线方程是（）
(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =-
2. 抛物线28y x =-的焦点坐标是( ).
A ．（2，0）
B ．（- 2，0）
C ．（4，0）
D ．（- 4，0）
3. 抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .
4. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（）
（A ）28y x =- （B ）24y x =- (C) 28y x = (D) 24y x =
5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是
( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
6. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.24y x =±
B.28y x =±
C. 24y x =
D. 28y x =
7. 已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为
8．已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a =
9. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =____
10. 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为
垂足，如果直线AF 斜率为PF = ( )
（A ）（B ） 8 （C ）（D ） 16
11．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
（A ）1x = (B)1x =- (C)2x = (D)2x =-
12. 已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为( )
A.18
B.24
C.36
D.48
13.过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,
则这样的直线( )
(A)有且仅有一条 (B) 有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在
14. 直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为
（A ）36 （B ）48 （C ）56 （D ）64
15.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .
16.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

若FB FA 2=,则k = ( )
Ａ.31 Ｂ.32 Ｃ.32 Ｄ.3
22 17．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C
上且
AK =，则AFK ∆的面积为( )
（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32
18．过抛物线()220x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B
两点(点A 在y 轴左侧)，则FB
AF ＝． 19．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．
20.设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M
0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCF ACF
S S ∆∆=( ) A.45 B.23 C.47 D.12
21.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是
A ．[－21，21]
B ．[－2，2]
C ．[－1，1]
D ．[－4，4]
22.与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是
（） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x
23. 设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为
10. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.115
D.3716
24. 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A B ．3 C D ．92
25.已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）
A. （
41，－1） B. （4
1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 26.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为
( ) （A ）12 （B ）1 （C ）2 （D ）4 27.设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( )
(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞)
28.已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x 圆C
相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .
29．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，
的距离小1，则点P 的轨迹为（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
30. 已知 F 是抛物线2y x = 的焦点，A ．B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A) 34 (B)1 (C) 54 (D) 74
31. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（）
A 、
B 、
C 、4
D 、32. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =
33.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，33
3()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+ 则有（）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．22212
3FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．221
3FP FP FP =· 34.（07全国2理12）设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则||||||FA FB FC ++=
(A)9 (B) 6
(C) 4 (D) 3 35.双曲线2
213
y x -=，过点()2,1P 作一直线交双曲线于,A B 两点，且P 为,A B 的中点，则AB K =__________
36.双曲线中心在原点，且一个焦点为)F
，直线1y x =-与该曲线交于,M N 两点，线段MN 中点的横坐标为23
-，则双曲线的方程为____________________。