对数与对数运算
知识讲解_对数及对数运算_基础
(2)
log a
M
logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则 有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a
log c
M
，
即b
logc M logc a
，即 log a
M
logc M logc a
(c
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作 为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3
log8
3)(log3
2
log 9
27
32
；(3)
91 2
log3
2
log 3 2
2 )
5 6
log 2
3
3 2
log 3
2
5 4
；
(2) log8
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
对数运算与对数函数
对数运算与对数函数在数学的广袤世界里，对数运算与对数函数就像隐藏在迷雾中的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
它们不仅是数学理论中的重要组成部分，更在实际生活和科学研究中有着广泛而深刻的应用。
让我们先从对数运算说起。
对数运算其实就是一种数学运算方式，它是指数运算的逆运算。
想象一下，如果有一个等式 a^b ＝ N，那么对数运算就是要找出 b 的值，我们记为logₐN ＝ b。
比如说，2³＝ 8，那么 log₂8 ＝ 3。
这就像是在解一个谜题，已知结果和底数，要找出指数。
为什么要有对数运算呢？这是因为在很多实际问题中，直接处理指数形式的数量关系可能会非常困难，但通过对数运算，就能将复杂的问题简单化。
例如，在测量声音强度时，我们使用的单位是分贝（dB），而分贝的计算就涉及到对数运算。
再来说说对数的一些基本性质。
首先是对数的乘法法则：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN。
这意味着，如果要计算两个数的乘积的对数，就可以转化为这两个数的对数的和。
同样，还有除法法则：logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN。
而对数函数则是基于对数运算构建起来的一类函数。
常见的对数函数形式为 y ＝logₐx，其中 a 被称为底数，且 a ＞ 0 且a ≠ 1。
当 a ＞ 1时，对数函数是单调递增的；当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数是单调递减的。
对数函数的图像具有一些独特的特征。
以底数 a ＞ 1 为例，函数图像经过点(1, 0)，并且逐渐向右上方延伸，越来越陡峭。
而当 0 ＜ a ＜1 时，图像经过点(1, 0)，逐渐向右下方延伸，变得越来越平缓。
对数函数在解决实际问题中发挥着巨大的作用。
比如在金融学中，计算复利增长；在物理学中，描述某些自然现象的变化规律；在计算机科学中，分析算法的时间复杂度等等。
举个简单的例子，假设你在银行存了一笔钱，年利率为 r，经过 t年后，本金和利息的总和 A 与初始本金 P 之间的关系可以表示为 A ＝P(1 ＋ r)＾t。
对数与对数运算
(2).(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
3) log4 3 log9 2 log1 4 32
2
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震 能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量 的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线 的振幅就越. 这就是我们常说的里氏震级M，其 计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的 最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准 振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的 偏差）.
温故知新
对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n n loga M (n R)
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪 记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算是。7.6级地 震的最大振幅上是5级地震的最大振幅多少倍？（精确 到1）；
例题解析
例３ 生物机体内碳14的“半衰期”为 5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7％，试推算马王堆古墓的年代.
2.2.1对数与对数的运算性质(3)
温故知新
1、对数的定义： 如果ax=N（a>0，a≠1）那么数x叫做以a为底 N的对数。 记作: x=logaN ， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x=logaN 叫做对数式．
对数运算与对数函数
对数运算与对数函数已知底数和指数求幂的运算称为指数运算.如求23=？那么当已知底数和幂，求指数的 运算则称为对数运算.指数运算与对数运算互为逆运算.【对数运算的相关问题】1.定义. 若a b =N(a>0且a ≠1,N >0)，则称b 是以a 为底N 的对数.记作b=log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.2指数式与对数式的互化如图1.10—1所示.②互换规则：底数不变，指数 与对数互换，幂与真数互换. 3.对数恒等式：①. ②.证明:①设log a N=b (1)，则a b =N (2)，将(1)代入(2)得. ②设a b =N(3)，则b=log a N(4)，将(3)代入(4)得.此结论说明任何一个实数b 都可以用一个对数表示.说明：为什么零与负数无对数？为什么要求指数、对数的底数 a >0且a ≠1？由a b =N ，N >0说明b=log a N 中的真数必须大于0.∴ 零与负数无对数. 又∵ 由1b=1知b 的取值是无法确定的,再如在实数范围内是无意义的.故底数a >0且a ≠1.例1.化简下列各式：(1). (2).解: (1)原式=31×=3×6=18. (2)原式=.4.对数运算性质 如果 (1).(2)=.(3)．5.换底公式及推论 ①换底公式：.②推论1：.a b =N b=log a N ⇔ 指数式← →对数式 底数指数 对数 幂 真数 ①.指数式与对数式 的互化. 图1.10—1③推论2：．例2.已知f(x)是R上以2为周期的奇函数，当x∈[0,1]时f(x)=2x，求f(log0.523)的值. 解：∵f(x)是R上以2为周期的奇函数，∴f(log0.523)=f()=f(-log223)=-f(log223-4)= -f(),又∵当x∈[0，1]时f(x)=2x，∴f(log0.523)= .例3.求值.(1).(2)lg52++lg5lg20+lg22.解:(1)法1.原式=lo()=lo2= lo()3=3.法2.原式=(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22=2(lg2+lg5)+(lg2+lg5)2=3.例4.(1)已知log189=a，18b=5. 求log3645.(2)若26a=33b=62c..求证：3ab-2ac=bc.(3)若.求的值.解:(1)法1.由log189=a,得a=log18又由18b=5,得b=log185, ∴log3645=法2. log189=a,得，再由b=log185=∴log3645=(2)设26a=33b=62c.=k>0，则6a=log2k，∴6log k2，同理，3log k 3，2log k 6，∴(3)由说明：(1)第一题的解法2更具有一般性.其一般方法是将底数、真数、幂都分解成质因数幂的形式，以其中一个质因数3为底，求出以另两个质因数2和5为真数的对数，再将所求式都换成以3为底的对数，化简即可.对于此题我们也可以都转换为以2或5为底，同样可行.读者不妨试试.(2)在利用对数的运算性质进行变形时，要注意从左到右会使真数的取值范围缩小，而从右到左则会使真数的取值范围扩大.因此，在变形时要注意保持其等价性， 如上述(3).想一想①：1.设a 、b 同号，且a 2-2ab -9b 2=0，求lg(a 2+ab -6b 2)-lg(a 2+4ab+15b 2)的值．2.化简(1) (lg2)3+(lg5)3+3lg2•lg5. (2)(log 25+log 4)(log 52+log 25).3.若a ，b ，c 是不为1的正数，a x =b y =c z 且 1x +1y +1z=0. 求证: abc=1.【对数函数的图像及性质】1.定义：形如y=log a x(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是{x|x >0,x ∈R},值域为R.请问，下列函数中哪些是对数函数：(1)y=log 2(x+1)；(2)y=2log 3x ； (3)y=log 4x+1；； (4)y=log 4x 2； (5)y=log x x .； (6)y=log (2a -1)x(a>)答案：只有(6)是对数函数.2.对数函数与指数函数的关系：它们互为反函数，其图像关于直线y=x 对称.3.图像与性质列表a>1 0<a<1图像定义域 x ∈(0，+∞) 值 域 y ∈(-∞，+∞) 性 质(1)过定点(1，0)(2)对称性,既不是中心对称图形，也不是轴对称图形.(3)单调性 (0，+∞)是增函数. (0，+∞)是减函数.说明：1.函数y=log a x 与函数y=lo的图像关于x 轴对称，且a 的值越大图像越靠近x 轴(越陡).2.在同一直角坐标系中若给出了多条对数函数的图像，确定其底数大小时，可作直线y=1， 其底数大小从左向右依次增大.y xyo1xo 1例5.求证：函数f(x)=log a x(0<a<1)，在(0，+∞)上是减函数.证明:设任意的x 1，x 2∈(0，+∞),且x 1<x 2.∵ f(x 1)-f(x 2)=log a , 又∵0<x 1<x 2， ∴，由0<a<1，知f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).由定义知函数f(x)=log a x(0<a<1)，在(0，+∞)上是减函数.例6.对于函数f(x)=lo (x 2-2ax+3)，解答下述问题：(1)若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数在[-1，+∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数的定义域为(-∞，1)(3，+∞)，求实数a 的值；解:(1)由已知x 2-2ax+3>0对任意的x ∈R 恒成立，令u(x)= x 2-2ax+3，则函数y=f(x)的图像恒在x 轴的上方，∴ < 0,.(2)若函数y=f(x)的值域为R ，则u(x)= x 2-2ax+3必须取遍所有的正数，由于u(x)=x 2-2ax+3轴至少有一个交点. ∴≥0,(3)由函数在内有意义， ∴ u (x)=x 2-2ax+3>0对任意的 x ∈恒成立，即u (x)=x 2-的图像在上恒在x 轴的上方. 如图1.11—2.∴.(4)若函数的定义域为，即不等式x 2-2ax+3>0的解为 ∴u(x)= x 2-2ax+3的两个零点为1和3，由韦达定理知a=2.想一想②：1.函数y=log a (x+2)+3必过定点 .2.若函数f(x)=ln(a x -a -x )(a>1)，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.4.对数函数单调性的应用①比较大小例7.(1)比较大小：①log 316与4log 52； ②lo与lo； ③0.42，log 20.6，20.75.(2)已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，(x 0且x ≠1)，比较f(x)与g(x)的大小. 解:(1)① ∵ log 316>log 39=2，而4log 52=log 524=log 516<log 525=2. ∴ log 316>4log 52. ②∵ lo > lo，lo< lo=1， ∴ lo> lo. 或 由lo=log 23>log 22=1，lo =log 32<log 33=1，∴ lo> lo.③∵ 0<0.42=0.16<1，log 20.6<0，而20.75>1. ∴ log 20.6<0.42<20.75.yx o-1 · 图1.10—2yxo-1 ·(2)∵f(x)-g(x)=1+log x3-2log x2=log x.①当0<x<1时，0<<1，∴f(x)>g(x).②当1<x≤时，0<<1，∴f(x)≤g(x). ③当x>时，>1，∴f(x)>g(x).综上所述知，当0<x<1或x>时，f(x)>g(x).当1<x≤时，f(x)≤g(x).(当且仅当x=时取等号).②求函数的值域或最值例8.(1)已知2lo.求函数y=的最值.(2)求函数f(x)=lo g2(x-1)+g2(p-x)的值域.解:(1)由2lo，.又∵y=(log2x-1)(log2x-2)=log22x-3log2x+2，∴y min=(x=)；y max=2(x=8).(2)此函数的定义域由给定.由于函数的定义域不能为空集，∴，(1)当1，即时，上单调递减，∴，值域为.(2)当1<，即p>3时，值域为.(3)当，即p<-1时，不满足p>1.综上所述知，当时，值域为；当p>3时，值域为.③讨论函数的单调性例9.(1)若函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，则a∈( ).A.(1,2).B.(0，1).C.(0，2).D.[2,+∞).(2)求函数y=log2(x2-x-2)的单减区间.解:(1)令f(x)=log a u，u=2-ax>0，∵函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，且a>0, ∴u=2-ax是x的减函数，则f(x)=log a u是u的增函数，∴ a>1.又∵f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]有意义，∴故应选A.(2)令y=log2u，u= x2-x-2>0，∵y=log2u是u的增函数，∴当u= x2-x-2>0单减时，函数y=log2(x2-x-2)的单减. 故函数y=log2(x2-x-2)的单减区间为(-∞,-1).④解不等式例10.(1)若log a<1,则实数a的取值范围是.(2)设a＞0且a≠1，解不等式解:(1)原不等式可化为log a<log a a，当a>1时，当0<a<1时，综上所述知a∈(0,)∪(1,+∞).(2)令log a x=t，则得当0<a<1时，由指数函数的单调性，有4-t2<1-2t , t2-2t-3＞0, (t+1)(t-3)＞0, t<-1，或t>3,从而log a x<-1或log a x>3，解得x>或x<a3.当a>1时，则有4-t2>1-2t, t2-2t-3<0,(t+1)(t-3)<0, -1<t<3.从而 -1<log a x<3，解得<x<a3.综上所述知，当0<a<1时，x∈当a>1时，x∈(). 想一想③：1.若log a >1，求实数a 的取值范围.2.函数f(x)=log 0.5|x 2+2x -3|的单增区间是( ).3.解不等式log (x+1)(x 2-x -2)>1.【与图像、方程有关的综合问题】例11.(1)若定义在R 上的偶函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，且当x ∈[0，1]时，f(x)=x.则函数y=f(x)-log 3|x|的零点个数为( ).A.4.B.3.C.2.D.1. (2)若方程x+log 2x=5与x+2x =5的根分别为，则=( ). (3)对于函数f(x)=log 2(x -1)，当x 1，x 2均大于1时，你能得出[f(x 1)+f(x 2)].解:(1)∵ 当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，又y=f(x)是定义在R 上 的偶函数，且周期为2，故可得函数y=f(x)的图像， 如图1.10—3所示.由于函数y=f(x)-log 3|x|的零点即为 函数y=f(x)与y=log 3|x|图像交点的横坐标，结合图 像易知两图像有四个不同的交点.故应选A.(2)由x+log 2x=5得log 2x=5-x.再由x+2x =5得2x=5-x.在同一直角坐标系中同时作出函数y=log 2x 、y=2x、 y=5-x 的图像，如图1.10—4.其中为函数y=log 2x与y=5-x 的图像交点的横坐标；为函数y=2x与y=5-x的图像交点的横坐标.由于函数y=log 2x 与y=2x、的图像都关于直线y=x 对称，易求得 =5. (3)作出函数的图像，如图1.10—5所示.对于任意的x 1、x 2由梯形中位线的性质，结合图像易知想一想④：1.方程log 2(x+4)=3x 的根的个数为( ).2.不等式log 2(-x)＜x+1的解集为( ).3.类比上例(3)，对于f(x)=3x 你能得出怎样的结论.习题1.101.若log 2[]= log 3[]= log 5[]=0，则x 、y 、z 的大小关系是( ).A.z<x<y.B.x<y<z.C.y<z<x.D.z<y<x. 2.若y= -log 2(x 2-ax -a)在区间()上是增函数，则实数a 的取值范围是( ). A.[2-2，2]. B.[ 2-2，2). C.( 2-2，2]. D.( 2-2，2).3.已知函数y =lo (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围( ). A.a>1.B.0≤a<1.C.0<a<1.D.0≤a ≤1.xy o图1.10—455xyo 1 2 3 -2 -3 -1图1.10—3xy ox 1x 22)()(21x f x f +221x x +f(x 2f(x 1))2(21x xf +4.函数y=(lo x)2－lo x2＋5在2≤x≤4时的值域为．5.已知lg2=a，lg3=b，将用a ，b表示为.6.已知函数f(x)=log2(x2-2)的定义域为[a，b]，值域为[1，log214]，求ab的值.7.已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？8.设0<x<1，a>0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．9.已知函数f(x)=log a(a－a x)(a>1).求函数的定义域和值域.10.在对数函数y=log2x的图像上(如图1.10—6)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．11.设a，b，c分别是方程2x= 的实数根，则有( ).A.a<b<c.B.c<b<a.C.b<a<c.D.c<a<b.12.设a=log54，b=(log53)2，c=log45. 则( ).A.a<c<b.B.b<c<a. C,a<b<c. D.b<a<c.13.函数f(x)=ln(x-)的图像只可能是( ).14.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图像是( ).【参考答案】想一想①：1. -.2.(1)1.(2)3.略想一想②：1.(-1,3).2.由已知函数f(x)=ln(a x-a-x)(a>1),当x∈(1，+∞)时是增函数，∴ x∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，只需f(1)≥0即可. 由ln(a-a-1) ≥0， a-a-1≥1，解得a.想一想③：1. ().2.(-∞,-3)，[-1,1).3.x∈(3，+∞).想一想④：图1.10—6。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数运算和对数函数
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。
题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。
对数与对数的运算
对数与对数运算基础知识扫描：1、概念：一般地，如果ba N =)1,0(≠>a a ，那么数b 叫做以a 为底 N 的对数. 记作 ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2、重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵log 1________a =，log a a =⑶对数恒等式log __________________.a N a =n a na =log 3、对数的运算法则：如果 a ＞0，a ≠ 1，M ＞0， N ＞0 有：=)(log MN a ，=NMalog ，=n a M log ．log a N n=nlog a N (n ∈R)知识点一 对数的概念 1、如果a 的b 次幂等于N ： ，其中隐藏条件为a ＞0, a ≠1 N ＞0 2、常用对数：通常把常用对数10log N 简记为lg N 例如：5log 10简记作lg5；3、自然对数: 以e=2.71828……e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数N e log 简记作N ln 例1、求使对数)5(log 2a b a -=-有意义的a 取值范围.例2、将下列指数式写成对数式，对数式写成指数式．（1）62554=； （2）73.531=m）（ ； （3）416log 21-= ； （4）303.210ln =知识点二 对数的化简、求值 例3、求下列各式中的x 的值．（1）32log 64-=x ； （2）68log =x ； （3）x =100lg ； （4）x e =-2ln例4、计算．（1）27log 9； （2）81log 3； （3）125log 5； （4）()()32log 32-+例5、计算.(1) 18lg 7lg 37lg 214lg -+-； (2) 5lg 2lg )5(lg 2⋅+.例6、已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求108lg ．_____(01)a b c =>≠换底公式：log 且c log log 1a b b a ∙=log log m na a nN N m=⇔=N a b例7、计算. （1）;25log 20lg 100+ (2) 3log 12.05+； （3）4log 16log 327.例8、已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用b a ，表示42log 56.巩固练习一：一、选择题 1、25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a2、log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ）A 、31B 、321 C 、221 D 、3313、nn ++1log（n n －＋1）等于（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－24、已知32a=，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 5、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 6、若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<n<m<1D 、0<m<n<17、若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ） A 、a<b<c B 、 a<c<b C 、c<b<a D 、c<a<b 二、填空题8、若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________ 9、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 11、若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________________12、lg25+lg2lg50+(lg2)2= 三、解答题13、222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+14、若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(ba ab ⋅的值。
对数与对数运算学生版
2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a ≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．(2)(3)(4)当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式log a Na N＝．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( ) A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5 【例1－2【例1－3】求下列各式中(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②loga MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a ＞0，且a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log log log a a a x xy y=；⑤(log a x )n ＝log a x n ；⑥1log log a a x x=-；⑦log log a a x n=其中式子成立的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【例2－2】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求．析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．(2)公式推导： 设log log c c b x a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ， ∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a NN a=，ln log ln a NN a=，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值． (4)换底公式的三个推论：①log log m n a a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b＝1log b a (a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a ma N n N n N a m m ==．②log ab ＝log 1log log b b b b a a=．③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32 C ．1 D ．2【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A ．12B ．9C ．18D ．274．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数，即>0,>0,1,N a a ⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是__________．【例4－2】若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝__________．5．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log 5＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log 5＋log 35＝39log 55⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝log 39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N ，lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x＝log23，求332222x xx x----的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x xx x--⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a＝4b＝36，求21a b+的值．析规律与对数式有关的求值问题的解决方法(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x和log b y等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log a MN＝log a M －log a N ； log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a +B ．a b b +C ．a a b +D ．b a b +【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)。
对数与对数函数
A. ①③
4.若 0<a<1, 则函数 y=loga(x+5)的图象不经过( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如果 loga3>logb3>0, 则( B ) A. 0<a<b<1 B. 1<a<b C. 0<b<a<1 D. 1<b<a
6.函数 f(x)=ax+loga(x+1) 在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a, 则 a 的值为( B ) 1 A. 1 B. C. 2 D. 4 2 4
1.化简下列各式: (1) (lg5)2+lg2· lg50; (2) 2(lg 2 )2+lg 2 · lg5+ (lg 2 )2-lg2+1 ; (3) lg5(lg8+lg1000)+(lg2 3 )2+lg 1 +lg0.06. 6 解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 =(lg5+lg2)2 =1. (2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 -1)2 =lg 2 (lg2+lg5)+(1-lg 2 ) =lg 2 +1-lg 2 =1. (3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2 =1.
三、对数恒等式
alogaN=N(a>0 且 a1, N>0).
对数与对数运算
一、对数 1．对数的概念：一般地，如果 a x = N (a 0, a 1) ，那么数 x
叫做以．a 为．底．N 的对数，记作： x = log a N （ a — 底数，
N — 真数， log a N — 对数式） 说明：① 注意底数的限制 a 0 ，且 a 1；
② a x = N log a N = x ； ③注意对数的书写格式． 两个重要对数： ①常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； ②自然对数：以无理数 e = 2.71828为底的对数的对数 ln N ． ③对数的性质：（1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零： loga 1 = 0 ；（3）
A .56
B.2152
C.94
D．以上都不对
4、已知 2x＝5y＝10，则1x＋1y＝________.
5、求下列各式的值： (1)(lg 5)2＋lg 50·lg 2； 8；
(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 1
(3)log1327－log139；
(4)log89×log332.
( ) （5） log3
（６） lg 3 + 5 + 3 − 5
（7）
1－log63 2＋log62·log618 log64
例５ （１）lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ，求 lg 45 ；（２）已知 log5 35 = m ，试用 m 表示 log 7 1.4 .
7 a 例６
计算：（１）
1−log
4
27 3
log
5
4
1 2
log
2
10
−
3
3
2 3
−
7
log
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
对数与对数运算
2019高考专题复习：对数与对数运算对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N .对数与指数的关系当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N .对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)．(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1).对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M ，(n ∈R )换底公式log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b >0)． 温馨提示 常用结论(1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n mlog a b ； (3)log a b ·log b a ＝1；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .指数式与对数式的互化将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100； (3)e a ＝16；(4)6431＝14； (5)log 39＝2；(6)log x y ＝z .解 (1)log 214＝－2. (2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a ，即ln 16＝a .(4)log 6414＝－13. (5)32＝9.(6)x z ＝y .下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．831＝2与log 82＝13C ．log 24＝2与421＝2D ．log 33＝1与31＝3 答案 C 解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4.＝3化为对数式是( )2x A ．x ＝log 32 B ．x ＝log 23C ．2＝log 3xD ．2＝log x 3答案 B解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，∴②不正确，其余正确．知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n ＝________. 已答案 1解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105＝lg10＝1.对数基本性质的应用求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 4x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x . 解 (1)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝20＝1，∴x ＝41＝4.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)12＋1＝x ， ∴(2－1)x ＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值．(1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2. 解 (1)由log 2x ＝－12，得221＝x ， ∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.。
知识讲解_对数及对数运算_基础(学生)
对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ．2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >；（2）1的对数为0，即log 10a =；（3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ，log a （M·N ）=log a M·log a N ，log aNM N M a a log log =．要点三、对数公式1．对数恒等式： log log a b N a a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n aa M M n log log =． （2）)1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ． 【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -； （2）(1)log (2)x x -+； （3）2(1)log (1)x x +-．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log 164=； （2）13log 273=-； （3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x（4）2-2ln e x = 【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++-举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0）．类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式举一反三：【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185ba ==，求36log 45．35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z yz举一反三：【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++； （2）32log 9log 278⋅；（3）31log 529-．类型六、对数运算法则的应用例6．计算 （1）34331654()log log 8145-++ （2）7lg142lg lg 7lg183-+-（3）)36log 43log 32(log log 42122++ （4）353log 21log 235++-举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++； （2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++．【变式2】已知1,(1,0)()44,(0,1)x x x f x x ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，则4(log 3)f = ．。
2.2.1.对数与对数运算
对数的定义:
一般地,如果子
a N (a 0, a 0)
x
那么x叫做以a为底N的对数(LOGARITHM),记为:
x=
loga N
指数式与对数式的比较
a N
x
x loga N
) )
)
指数式中的X在对数式中叫: ( 指数式中的幂N在对数式中叫:( 指数式中底数a在对数式中叫:
3:
负数和0没有对数.
完成下列练习
1:将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. 1 4 (1). 34 81 (2) 2 16
1m (30.5 16 4
1 log2 ( ) 6 64
lg 0.001 3
(6)
2:求下列各式中的x的值. (1)
(
2 log64 x 3
(2)
logx 8 6
ln e x
2
(3)
lg 0.001 x
(4)
(5)
3
log x
4
81
2
(6)
log( x1)
( 32 x )
指数式与对数式的比较
a N
x
x loga N
) )
)
指数式中的X在对数式中叫: ( 指数式中的幂N在对数式中叫:( 指数式中底数a在对数式中叫:
(
常用对数与自然对数. 我们将底数是10的对数叫做常
用对数. 记为: log10 N lg N 我们把以e为底的对数称为自然 对数. 记为: loge N ln N
几个特殊的对数:
1: 1的对数等于0,即
loga 1 0
2: 底数的对数等于1,即:
对数与对数运算
换底公式推导
根据对数定义及指数运算规则，可以 推导出换底公式。具体过程略。
换底公式在简化计算中作用
化简复杂对数式
利用换底公式可以将复杂对数式转化为简单对数式，从而简 化计算过程。
复合函数处理方法
• 对于形如$f(g(x))$的复合函数，若外层函数$f(x)$和对内层函数$g(x)$都可导，则复合函数可导。在处理复合 对数函数如$\ln(\sin x)$、$\log_2(\cos x)$等时，需利用链式法则求导。
04
换底公式推导及应用技巧
换底公式介绍和推导过程
换底公式定义
形如$a^x+b^x=c$或$a^x \times b^x = c$等 更复杂的方程。
利用对数性质解指数方程步骤梳理
第一步
确定方程类型，选择合适的对数性质进行转 换。
第二步
应用对数性质，消去指数，将方程转化为代 数方程。
第三步
解代数方程，求得$x$的值。
第四步
验根，将求得的解代入原方程进行验证，确 保解的正确性。
统一底数
在实际问题中，有时需要将不同底数的对数式统一为一个底 数，以便进行计算和比较。换底公式可以实现这一目的。
实际应用案例展示
案例一
求解log5(25)+log2(32)-log3(9)。通过换 底公式，可将原式转化为以10为底的对数 式进行计算。
案例二
比较log0.5(0.4)与log0.4(0.5)的大小。通过 换底公式将两个对数式转化为以10为底的
运算性质总结
正对数性质
若$a>0, a\neq1, M>0, N>0$，则$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M\log_a N$，$\log_a M^n=n\log_a M$。
对数与对数运算
x>－23
x≠0
所以 x 的取值范围是{x|－23<x<12且 x≠0}．
01 小结：
02 对数的定义
03
对数式与指数式互 化
04
三种运算：求对数 求真数 求底数
abN loaN gb
练习（1）2 5 32 化为对数式
log325 2
（ 2）3 4 81 化为对数式 log814 3
（ 3）log 125 3 化为指数式 53 125 5
a bN loN g b a
1．如何准确理解对数概念？
0
0
0
1
1
1
一．若a<0，则N 因此，规定a≠0. 思考：
(2取)若某些a＝数值0，时，则
x不存在，为
对数符号logaN只 有在a>0，且a≠1
NN此 规≠ ＝定a00不时 时能小， ，于l则o0.glaoNg不 aN存 有在 无数个值，不同 意能时 义N，确>这0定是时为才什有. 么？
(3)若 a＝1， 0NN1 ≠ ＝11时 时因 此， ，N >则 则0 .llooggaaNN不 有存 无在 数个值，不能确定
例4 计算
3
(1) l og9 27
2
16
(2) l og4 3 81
(3 )lo 2 g 32 13
(4)
log 3 54
6253
abN loaN gb
解： 由题意得
11求－ －l22oxxg>≠(101－2x⇒)(3xx<≠＋1220)中的x⇒的取－值23<范x<12.
3围x＋．2>0
思考：
1 ( )4 16 2
27 128
对数与对数运算
8
3 2
,则
x的值为
3、已知4a 2, lg x a,则x
4、已知a2 m, a3 n,求2 loga m loga n
2.三个结论 (1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
1、解方程：
(1) log2 log5 x 0;(2) log3 (lg x) 1
积的对数等于对 数的和;商的对数
等于对数的差
下列各式成立吗？
(1) lg(MN) lg M lg N
错
（2）lg M lg M
错
N lg N
(3)lg(M N) lg Mlg N
错
(4) lg M lg N lg M lg N
错
例1.计算：
(1) log3 (92 35 );
1
(2)lg 1005.
lgab
lg lg
b a
lg lg
a b
的值。
6、关于x的方程lg x2 lg 2 lg 3lg x lg 2 lg 3 0的两根为
x1, x2 , 求x1 x2的值
三、换底公式
一般地，logb
N
loga N loga b
lg N lg b
ln N ln b
,
其中b 0且b 1, N 0, a 0且a 1。
1 16
(9) log3
27 lg 25 lg 4 7log7 2
8
1 3
27
(10)2 log3
2
log3
32 9
log3
8
5log5 3
(11) log2 1 2 3 log2 1 2 3
对数与对数运算
1 2
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
x a N x loga N. 当a＞0，a≠1时，
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数 的如下结论：
负数和零没有对数：
loga 1 0, loga a 1.
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指 数式：
lg 2 lg 2
3
3 lg 2 lg 2
=3
例4.用
loga x, loga y, loga z 表示下列各式：
(2) loga x2 y
3
xy (1)log ; a z
z
xy log a ( xy ) log a z 解： (1) log a z
loga x loga y loga z
于是 x＝－2.
巩固练习：（教材P74 练习1﹑2﹑3﹑4）
对数的运算 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
（ 1 ） loga (M N) loga M loga N M （2） loga loga M loga N N n （3） loga M n loga M(n R)
1.求下列各式的值： （1）log2 6 log2 3 （2）lg 5 lg 2
1
1
1 0 （3）log 5 3 log 5 3
（4）log3 5 log3 15 1
2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式： （1） lg( xyz) ＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
xy （2） lg z 3 xy （3） lg z
2
＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；
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1 1 (3)log 27－log 9； 3 3 (4)log89×log332. 【解析】 (1)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 10 5
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. 7 2 (2)方法一：原式＝lg(2×7)－2lg ＋lg 7－lg(3 ×2) 3 ＝lg 2＋lg 7－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0
a2－5ab＋4b2＝0，解得 a＝b 或 a＝4b，
a>0， 又b>0， a－2b>0
a 所以 a>2b>0，故 a＝4b，log2 ＝log24＝2， b
a 即 log2 的值是 2. b 【答案】 2
3
【解析】 【答案】
27＝log 3( 3)6＝6.
1 1 6．已知 2x＝5y＝10，则 ＋ ＝________. x y 【解析】 由 2x＝5y＝10 得 x＝log210，y＝log510，
1 1 1 1 ＋ ＝ ＋ x y log210 log510 ＝lg2＋lg5＝1. 【答案】 1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 7．求下列各式的值： (1)(lg 5)2＋lg 50·lg 2； (2)lg 14－2lg 7 ＋lg 7－lg 18； 3
7 方法二：原式＝lg 14＋lg 2＋lg 7－lg 18 3 ＝lg 14×7 ＝lg 1＝0. 72 ×18 3 127 1 ＝log 3＝－1. 39 3
(3)原式＝log (4)原式＝
lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 × ＝ × ＝ . lg8 lg3 3lg2 lg3 3
【解析】 【答案】
2．若 lg 2＝a，lg 3＝b，则 A. C. 1＋a＋b 2a＋b 1－a＋b 2a＋b C B. D. 1＋a＋b a＋2b 1－a＋b a＋2b
【答案】
3．已知 a＝log32，用 a 表示 log38－2log36 是( A．a－2 B．5a－2 D．3a－a2－1
)
C．3a－(1＋a)2 【解析】 －2. 【答案】 A
由 log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a
4．(log43＋log83)(log32＋log98)等于( A. C. 5 6 9 4 B. 25 12
)
D．以上都不对 log38 log33 log33 ＋ 原式＝ ·log32＋ log39 log34 log38
2 3 8．已知 m ＝a，m ＝b，m>0 且 m≠1，求 2logma＋logmb.
【解析】 由 m2＝a，m3＝b，m>0 且 m≠1，得 logma＝2，logmb＝3； ∴2logma＋logmb＝2×2＋3＝7. a 9．(10 分)已知 ln a＋ln b＝2ln(a－2b)，求 log2 的值． b 【解析】 因为 ln a＋ln b＝2ln(a－2b)，解得 ab＝(a－2b)2.
∴x＝log336，y＝log436， 1 1 1 ∴ ＝ ＝ ＝log363， x log336 log3636 log363 1 1 1 ＝ ＝ ＝log364， y log436 log3636 log364
2 1 ∴ ＋ ＝2log363＋log364 x y ＝log36(9×4)＝1. 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1．(2009 年湖南卷)log2 2的值为( A．－ 2 B. 2 C．－ 1 2 D. 1 2 1 1 log2 2＝ log22＝ .故选 D. 2 2 D lg 15 等于( lg 12 ) )
对数与对数运算
1．log123＋log124 等于( A．7 C．1 B．12 D．log127 log123＋log124＝log12(3×4)＝1.故选 C. )
【解析】
【答案】 C 2．log52·log25 的值为( A. C. 1 2 3 2 B．1 D．2 log52·log25＝log52· log55 ＝1.故选 B. log52 )
【解析】
【答案】 B 3．已知 lg2＝a，lg7＝b，那么 log898＝________. lg98 lg(7 ×2) 【解析】 log898＝ ＝ lg23 lg8 lg72＋lg2 2lg7＋lg2 ＝ ＝ 3lg2 3lg2 ＝ 2b＋a . 3a 2b＋a 3a
2
【答案】
2 1 4．设 3x＝4y＝36，求 ＋ 的值． x y 【解析】 (1)∵3x＝36,4y＝36，
【解析】
1 3log32 1 ＋ ＝ ·log32＋ 2 2log32 3log32 ＝ 5 5 25 × log32＝ .故选 B. 6log32 2 12 B
10 分) 5．log
3
27＝________. log 6