拓扑空间

算子拓扑空间

1..算子拓扑空间：

设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个算子，记Ω={A∈2Χ|A=TA}。

定义1.若ζ⊂Ω，则称T为X的一个强算子，Ω中元素称为强算子开集，如果T进一步还是一个保并算子（算子运算与并运算可交换次序的算子），则称Ω为X的一个强

算子拓扑。

定义2.若ø≠Ω⊂ζ则称T为X的一个弱算子，Ω中的元素称为弱算子开集，如果T进一步还是一个保并算子，则称Ω为X的一个弱算子拓扑。

强算子开集和弱算子开集统称为算子开集，或称T开集。

强算子拓扑和弱算子拓扑统称为算子拓扑，又称T拓扑。

我们约定：下文讨论的算子开集均指强算子开集，算子拓扑均指强算子拓扑。

由算子开集的定义显然有：

（1）{X，ø} ⊂Ω；

（2）Ω中任意多个成员的并仍在Ω中；

事实上，设Γ⊂Ω，因T（⋃

A∈ΓA）=⋃

A∈Γ

TA=⋃

A∈Γ

A,故⋃

A∈Γ

A∈Ω

（3）Ω中两个成员的交集不一定在Ω中。

定义 3. 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个保并算子，Ω={A∈2Χ|A=TA}，若ζ⊂Ω，则称（X，Ω）为一个算子拓扑空间。

一般地，若ζ

1和ζ

2

都是X上的拓扑，则ζ

1

∩ζ

2

是X上的拓扑。对算子拓扑也有

类似结论：

命题1.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1∩Ω2是X上的算子拓扑。

T

1（A）∩T

2

（A），A∈Ω

1

∩Ω

2

证：令TA=

ø A ∉Ω1∩Ω2

一方面当A∈Ω

1∩Ω

2

时，TA= T

1

（A）∩T

2

（A）=A∩A=A 所以，A∈Ω；

另一方面当A ∉Ω

1∩Ω

2

时，TA≠A，所以，A∉Ω；

可见Ω

1∩Ω

2

=Ω是由T诱导的拓扑。

命题2.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1⋃Ω2是X上的算子拓扑。

T

1（A）， A∈Ω

1

证：令TA= T

2（A）， A∈Ω

2

类似地可证Ω

1⋃

Ω

2

=Ω是由T诱导的算子拓扑。

ø A ∉Ω1且A ∉Ω2

2.算子连续映射：

有了算子拓扑空间，我们可以在这个空间上讨论算子连续映射，就像在拓扑空间中讨论连续映射可以得到一系列连续映射的等价刻划那样，我们将会得到算子连续映射的一系列等价刻划。

参考文献：[1] 尤承业基础拓扑学讲义[M] 北京：北京大学出版社，1997

[2] 钱有华，陈胜敏杨忠道定理在算子开集理论下的推广[J] 浙江科技学院

学报，2004，16（1）：1-3

[3] 钱有华，关于算子紧空间[J] 浙江师范大学学报（自然科学版），2003，

26（4）：333-336