高等数学C试卷A答案

一． 单选题（在每小题的四个备选题答案中选出一个正确答案，并将答案的序号填入题后的括号内。

共24分，每小题3分。

）1．()f x 在[,]a b 上连续，()()xax f t dt ϕ=⎰，则（ A ）。

A ．()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数 B ．()f x 是()x ϕ在[,]a b 上的一个原函数 C ．()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数 D ．()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数 2．下列积分正确的是（ D ）A 111211[]2dx x x--=-=-⎰ B222sin 2sin 2xdx xdx πππ-==⎰⎰C22sin 1xdx ππ-=⎰D122π-==⎰⎰3．级数11(1)ln nn n∞=-∑（ B ）。

A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判断4． 展开得幂级数231(,)!2!3!!n nn x x x x x x n n ∞==+++++∈-∞+∞∑，的函数()f x 是（ C ）。

A. ()e x f x =B. ()e 1x f x =+C. ()e 1x f x =-D. ()e x f x -= 5．函数yx yx z --+=11的定义域为（ A ）A ．}),{(x y x y x <<-B ．}),{(x y x y x -<<C ．},),{(x y x y y x ->>D ． },),{(x y x y y x -<< 6．=∂∂),(00),(y x x y x f （ D ）。

A ．y y x f y y x x f y ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B ．x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000C ． yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000D ．x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim000007． 如果积分区域D 是圆环：2214x y ≤+≤，则二重积分d Dx y =（ B ）。

A.2π21d d θρρ⎰⎰ B.2π2201d d θρρ⎰⎰ C.2π401d d θρρ⎰⎰ D.2π4201d d θρρ⎰⎰8．考虑二元函数),(y x f 的以下性质：①),(y x f 在点),(00y x 处连续；②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续； ③),(y x f 在点),(00y x 处可微；④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在。

则有（ C ） A ．①⇒②⇒③ B ．①⇒③⇒② C ．②⇒③⇒① D ．①⇒④⇒③二、填空题（每小题3分，共18分）1．极限(,)(2,0)tan()limx y xy y→= 2 。

2．化二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(为二次积分⎰⎰211),(xdy y x f dx ， 其中D 是由直线1=y 、2=x 及x y =所围成的闭区域，再改换二次积分的次序得⎰⎰212),(ydx y x f dy 。

3．比较积分的大小σd y x D⎰⎰+2)( ≥σd y x D⎰⎰+3)(),(≥≤，其中D 由x 轴、y轴及直线1=+y x 围成。

4．级数∑∞=11n p n，当 1>p 时，级数收敛。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 三 阶微分方程。

三、计算题：（共42分，每小题6分）1．求定积分1|ln |eex dx ⎰。

解：原式111ln ln eexdx xdx =-+⎰⎰()111ln (ln )e e x x x x x x -=-++-122e =－－（6分）2．求极限 2200lim1cos xtx te dt x→-⎰。

解：2200lim 1cos xt x te dtx →-⎰220lim sin x x xe x→=1= （6分）3．求微分方程xex y y sin cos -=+'的通解。

解：x e x Q x x P sin )( ,cos )(-== 从而通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dxx P dx x P )()()( x xxe Cesin sin --+= （6分）4．求幂级数23123n nn x x x x x nn∞==+++++∑的收敛半径及收敛域，并求它的和函数()S x 。

解： 1111lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a an nn n ， 所以收敛半径1=R当1=x 时，级数∑∞=11n n 发散； 当1-=x 时，级数∑∞=-11)1(n n n 收敛，所以收敛域为)1,1[- （3分） 设和函数为)(x s ，那么在)1,1(-内和函数可导，并有 xx n x x s n n n n-=='='∑∑∞=-∞=11)()(111所以)1ln(11)0()(0x dx xs x s x--=-+=⎰)11(<≤-x (3分)5．设(,)z z x y =是由方程333()e 1x y z x y z -++++=-确定的隐函数，求 1）z z x y ∂∂∂∂，；2）(0,0,0)(0,0,0)z zxy∂∂∂∂，解：1）设333()(,,)e 1x y z F x y z x y z -++=++-+那么2()3x y z x F x e -++=+ 2()3x y z y F y e -++=+ 2()3x y z z F z e -++=+所以2()2()33x y z x x y z z F z x e x F z e -++-++∂+=-=-∂+ 2()2()33x y z y x y z zF z y e y F z e -++-++∂+=-=-∂+ （4分） 2）(0,0,0)1z x∂=-∂，(0,0,0)1z y∂=-∂ （2分）6．求函数)1ln(22y x z ++=，当2,1==y x 时的全微分值。

解： 2221z x x x y ∂=∂++ 2221z y y x y ∂=∂++1,213x y z x==∂=∂1,223x y z y ==∂=∂ dy dx dy y z dx x z dz y x y x 3231][|2,12,1+=∂∂+∂∂=====(6分) 7．计算积分：D22{(,)20}|D x y x y y =+≤≥，。

解：在极坐标系中，D 可以表示为 20≤≤ρ，πθ≤≤0D=0(2d ππ=⎰ （6分）四、解答题（每小题8分，共16分）1．讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(22y x y x y x xy y x f 在)0,0(处（1）是否连续？（2）是否偏可导？ 解：（1）极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在，这是因为当),(y x P 沿着直线kx y =趋于点)0,0(时，22220220,01lim limkkkx x kx y x xy x kx y x +=+=+→→=→ 它随着k 值的不同而改变。

所以在点)0,0(处不连续。

(4分) （2）在点)0,0(处对x 的偏导数为 00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00==∆-∆+=→∆→∆x x x xf x f f 00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00==∆-∆+=→∆→∆y y y yf y f f 偏导数存在 (4分)2．在[0,]2π上，求曲线sin y x =，cos y x =与y 轴所围的图形面积及其绕x 轴旋转所得的立体体积。

解：面积A=4400(cos sin )(sin cos 1x x dx x x ππ-=+=⎰(4分)体积2240(cos sin )V x x dx ππ=-⎰440cos2sin 222xdx xπππππ===⎰。

( 4分)。