高一数学最值问题教案

教育一对一个性化辅导教案1．答案：A2．故选A．3. 答案：D4．答案：A5．答案：B6．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数． 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化． 15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．4、函数的最大值与最小值变式训练考考自己1. 当x =2. 函数[]21,2,023y x x x =∈-++的最大值是，此时x =；最小值是，此时x = 3. 函数()2210,1,1x x y x x -+=∈+∞-的最小值是，此时x = 4. 已知221x y +=，则22x y +的最大值是，此时x =；最小值是，此时x = 解答：1x =时，最大值是1解答：()max min 111;23y x y ==-=（0x =或2x =-） 解答：6；4解答：2；1；2-；1-✧函数最大值的定义是解答：一般地，设函数()yf x =在0x 处的函数值是()0f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式()()0f x f x ≥都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作()min 0y f x =函数最小值的定义是解答：一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是()0f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式()()0f x f x ≤都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作()max 0y f x =✧考点1 与二次函数有关的最值问题例题1 求函数()[]223,3,4f x x x x =++∈-的最大值与最小值 分析：二次函数求最值的方法是配方后结合图像求解解答：()()[]222312,3,4f x x x x x =++=++∈-[]13,4-∈-∴当1x =-时，()min 2f x =；当4x =时，()max 27f x =评注：二次函数的最值求法是整个高中求最值问题的基本方法，需牢固掌握 例题2 求函数()[]224,,0,2f x x mx m m R x =-+∈∈的最大值与最小值 分析：配方后，根据对称轴与[]0,2的相对关系进行分类解答：()()2222423f x x mx m x m m =-+=--，[]0,2x ∈（1） 当21m ≤即12m ≤时，()()2max 284f x f m m ==-+ 当21m >即12m >时，()()2max 0f x f m == （2） 当20m <即0m <时，()()2min 0f x f m ==当022m ≤≤即01m ≤≤时，()()2min 23f x f m m ==-当22m >即1m >时，()()2min 284f x f m m ==-+例题3求函数()[]223,2,f x x x x a a =++∈-，a R ∈的最大值与最小值 分析：配方后，根据[]2,a a -与对称轴1x =-的相对关系进行分类解答：()()[]222312,2,f x x x x x a a =++=++∈-（1） 当[]12,a a -∈--即11a -≤≤时，()()min 12f x f =-=当21a ->-即1a >时，()()2min 223f x f a a a =-=-+ 当1a <-时，()()2min 23f x f a a a ==++（2） 当11a -≥-即0a ≥时，()()2max 23f x f a a a ==++当11a -<-即0a <时，()()2max 223f x f a a a =-=-+评注：带参数的二次函数中移轴和移区间情况的讨论是一个难点，关键在于如何分类 考点2 与基本不等式有关的最值问题例题4 分别在下列定义域范围内，求函数24x y x+=的最值（1）0x > （2）[]1,2x ∈ （3）[]1,4x ∈ （4）[]()1,1x a a ∈>分析：利用基本不等式和函数(),0by ax a b x=+>的图像与性质求解 解答：244x y x x x+==+ （1）04x y >∴≥ （当且仅当2x =时等号成立）min 4y ∴=（2）4y x x=+在[]1,2x ∈上单调递减 ∴当2x =时，min 4y =；当1x =时，max 5y =（3）4y x x=+在[]1,2x ∈上单调递减，在[]2,4x ∈上单调递增 ∴当1x =时5y =；当2x =时，4y =；当4x =时，5y =()min max 42;5y x y ∴===（1x =或4x =）（4） 4y x x=+在[]1,2x ∈上单调递减，在[]2,x ∈+∞上单调递增∴当12a <≤时，()()max min 451;y x y a x a a===+= 当24a <≤时，()()max min 51;42y x y x ==== 当4a >时，()()max min 4;42y a x a y x a=+=== 评注：函数(),0by ax a b x=+>的图像与性质求解时，特别注意单调区间转折点的坐标的求法 例题5 求函数()[]2412,2,51x x f x x x -+=∈-的最大值与最小值 分析：本题是上题的推广，利用换元法解决解答：设11t x x t =-⇒=+，[][]2,51,4x t ∈∴∈∴()()2221411*********t t x x t t y t x t t t+-++-+-+====+--函数92y t t=+-在[]1,3上单调递减，在[]3,4上单调递增 又1t =时，8y =；3t =时，4y =；4t =时，174y =()()min 44f x f ∴==；()()max 28f x f ==评注：在求(),0by ax a b x=+>与其它函数的复合函数最值时，换元法是常用方法，但需注意x 范围的代换考点3 函数最值在恒成立问题上的应用例题7 已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞ （1） 当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2） 若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围 分析：对于给定范围内的恒成立问题，可利用变量分离转化成基本形式解答：（1） 2a =()222222x x f x x x x++∴==++≥（当且仅当x =()min 2f x f∴==+（2） 对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立即220x x ax++>对任意[)1,x ∈+∞恒成立221124a x x x ⎛⎫⇒>--=-++ ⎪⎝⎭对任意[)1,x ∈+∞恒成立[)211,1,24y x x ⎛⎫=-++∈+∞ ⎪⎝⎭的最大值是2-2a ∴>-评注：恒成立问题的基本形式：()()f x g a ≥对x M ∈上恒成立()()min f x g a ⇔≥； ()()f x g a ≤对x M ∈上恒成立()()min f x g a ⇔≤一．填空题：1. 函数[]243,1,1y x x x =-+∈-的最大值是，最小值是2. 函数y =3. 函数212810y x x =-+的最大值是，此时x = 4. 函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是，最大值是 5. 函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是，最大值是 6. 函数[]3,1,3y x x x=+∈的最小值是，最大值是 7. 函数2y =的最小值是，此时x =8. 函数()22,22y x x x =+<-的最大值是，此时x = 9. 函数sin cos 2y x x =+的最大值是，此时x =最小值是，此时x =10. 已知函数243y x x =-+在区间[]0,m 上有最大值是3，最小值是1-，则m 的取值范围是二．选择题：11. 设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ） （A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数12. 若奇函数()x f 在区间[]3,1上是减函数且最大值为5，则()x f 在[]1,3--上是（ ） （A ）增函数且最小值为5-（B ）增函数且最大值为5-（C ）减函数且最小值为5- （D ）减函数且最大值为5-13. 函数xx y 22sin 2sin +=的最小值是（ ）（A ）22 （B ）3 （C ）4 （D ）不存在14. 若实数y x ,满足等式()3222=+-y x ，那么xy的最大值是（ ） （A ）21 （B ）33 （C ）23（D ）3 三．解答题：15. 求函数()[]221,0,1f x x ax x =-++∈的最大值与最小值16. 求函数()[]241,,2,f x x x x t t t R =++∈+∈的最大值与最小值17. 求函数()[]225,2,41x x f x x x -+=∈+的最大值与最小值18. 已知实数,x y 满足224x y +=， （1） 求2222x y y ++的最大值与最小值； （2） 求34x y +的最大值与最小值求函数最值的常见方法有：1. 利用常见的函数（如一次函数，二次函数，反比例函数及()0,0by a x a b x=+>>，()0,0by ax a b x=->>等等）的最值求法； 2. 利用函数的单调性；3. 利用基本不等式：若,a b R ∈，则222a b ab +≥；若,a b R +∈，则a b +≥； 4. 换元法；5. 数形结合法（适用于函数解析式的几何意义，如：斜率，距离等等）1.解答：8；02.解答：0；43.解答：12；24.解答：92；113 5.解答：12-；2 6.解答： 4 7.解答：52；0 8.解答：0；1 9.解答：98；()()11arcsin ,4kk k Z π+-∈；2-；()2,2k k Z ππ-∈ 10.解答：[]2,411.解答：选()A 12.解答：选()C 13.解答：选()B 14.解答：选()D15.解答：()()[]222211,0,1f x x ax x a a x =-++=--++∈（！）当0a <时，()()min 01f x f ==当01a ≤≤时，()()2min 1f x f a a ==+ 当1a >时，()()min 12f x f a == （2）当12a ≤时，()()max 12f x f a == 当12a >时， ()()max 01f x f == 16.解答：()()[]224123,,2,f x x x x x t t t R =++=+-∈+∈（3） 当2t >-时，()()2min 41f x f t t t ==++当22t t ≤-≤+即42t -≤≤-时，()()min 23f x f =-=-当22t +<-即4t <-时，()()2min 2813f x f t t t =+=++（4） 当12t +≥-即3t ≥-时，()()2max 2813f x f t t t =+=++当12t +<-即3t <-时，()()2max 41f x f t t t ==++17解答：设11t x x t =+⇒=-，[][]2,43,5x t ∈∴∈∴()()2222115252588251t t x x t t y t x t t t---+-+-+====+-+函数825y t t=+-在[]3,5上单调递增，且3t =时，113y =；5t =时，335y =()()min 1123f x f ∴==；()()max 3345f x f ==18.解答：（1）[]22224402,2x y x y y +=⇒=-≥⇒∈-∴()2222222413x y y y y y ++=++=++ ∴当1y =-时，2222x y y ++的最小值是3；当2y =时，2222x y y ++的最大值是12 （2）由224x y +=可设2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩∴346cos 8sin x y αα+=+=410sin arctan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴min3410x y+=-；max3410x y+=。