关于矩阵函数微分学的一个注记

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矩阵微积分规则

矩阵微积分规则
矩阵微积分是对矩阵进行微积分运算的一种方法，它包括了一系列的规则和定理。

以下是一些常见的矩阵微积分规则：
1. 矩阵加法规则：对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的
和用A + B表示，其中每个对应位置上的元素相加。

2. 矩阵标量乘法规则：给定一个矩阵A和一个实数k，矩阵A 乘以k表示每个元素都乘以k。

3. 矩阵乘法规则：对于两个矩阵A和B，它们的乘积用A × B
表示，其中结果矩阵的每个元素都是A的对应行与B的对应
列的乘积之和。

4. 转置规则：给定一个矩阵A，它的转置用A^T表示，即将
A的行和列互换。

5. 矩阵求导规则：对于一个矩阵函数f(X)（其中X是一个矩阵），它的导数用∂f(X)/∂X表示，是一个与X相同维度的矩阵，其中每个元素都是f关于X中对应元素的导数。

6. 行列式规则：对于一个n×n的矩阵A，它的行列式用|A|表示，表示一个数字，它的计算涉及矩阵的元素和它们的代数运算。

7. 逆矩阵规则：对于一个n×n的可逆矩阵A，它的逆矩阵用
A^(-1)表示，满足AA^(-1) = A^(-1)A = I，其中I是单位矩阵。

这些规则是矩阵微积分中常用的一些基本规则，可以用于求导、解方程、计算行列式等各种问题。

关于矩阵理论中一个定理证明的注记

ｋＯ（ｌｌ）＋２ｔ）＋… ＋ｋａ（＝０ｔｋｏ（２．），（）１
（） … ００ … ０） … Ⅱ ‘ ’ ） … 口 ‘ ’ （），）（（（一（）
ａｌ） … （
０ａ（） … ，）１（
’ ‘一’ ０，（） … ０１‘一（） … ０（）
１引言
众所周知，向量组的线性相关性是高等代数的重要内容之一，是线性方程组理论、阵理论的基它矩础．函数向量组的线性相关性又是研究线性微分方程组的理论基础，然而，判断一个常数向量组是否线性相关的方法并不适用于函数向量组．例如，在中，向量组（００，，… ，，（，，… ，ａ）ａ）００，… ，（，，… ，线性相关，向量组（，，… ，）００００ａ）但００，（，，…，），… ，（，，… ，）任何一个区间００在［，］ａｂ上都是线性无关的．文献 …、］、［、］中均介绍了函数向量组线性相关性的概念并给出了判断其是否线性无关的充要条［［件、充分条件，但在定理的证明中个别地方有些欠妥．为了叙述方便，把函数向量组线性相关性的概先
念叙述如下．
定义１设有定义在［，］的ｍ个连续函数向量ａｂ上
ｄ（ｆ）＝（ｎ）ａ）ａ（，（，… ，（）ａ），矗ｄ（１１）＋２２）＋… ＋ｍｍ）＝，ｋｄ（矗ｄ（０ｉ１２＝，，… ，ｎ，，

矩阵微积分基础知识

矩阵微积分基础知识矩阵微积分是数学中重要的分支之一，它将矩阵理论与微积分方法相结合，为解决实际问题提供了强大的工具。

本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的微分和积分等内容，帮助读者更好地理解和应用矩阵微积分。

一、矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数，是数的一个矩形排列。

一般形式为m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵通常用大写字母表示，如A、B、C等。

矩阵中的每一个元素都可以用下标表示，如Aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。

例如，设矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，则A + B = [8 10 12; 14 16 18]。

2. 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以一个数。

例如，设矩阵A = [1 2; 3 4]，数k = 2，则kA = [2 4; 6 8]。

3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。

例如，设矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，则AB =[19 22; 43 50]。

三、矩阵的微分矩阵的微分是矩阵微积分中的重要内容，它可以帮助我们求解矩阵函数的导数。

设矩阵函数F(X) = [f1(X), f2(X), ..., fn(X)]，其中X是一个矩阵变量，fi(X)表示矩阵X的第i个元素函数。

则矩阵函数F(X)的微分定义为：dF(X) = [df1(X), df2(X), ..., dfn(X)]其中dfi(X)表示fi(X)对X的微分。

矩阵函数的微分满足线性性质和Leibniz法则。

四、矩阵的积分矩阵的积分是矩阵微积分中的另一个重要内容，它可以帮助我们求解矩阵函数的不定积分和定积分。

设矩阵函数F(X) = [f1(X),f2(X), ..., fn(X)]，则矩阵函数F(X)的不定积分定义为：∫F(X)dX = [∫f1(X)dX, ∫f2(X)dX, ..., ∫fn(X)dX]其中∫fi(X)dX表示fi(X)对X的不定积分。

矩阵微积分基础知识

矩阵微积分基础知识矩阵微积分是微积分的一个重要分支，它将微积分的概念和方法应用于矩阵和向量的运算中。

在矩阵微积分中，我们可以通过对矩阵进行微分和积分来研究矩阵的性质和变化规律。

本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的导数、矩阵的积分和矩阵微分方程等内容。

一、矩阵的导数在矩阵微积分中，我们可以定义矩阵的导数。

对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别求导来得到矩阵的导数。

具体而言，如果f(X)的每个元素都是可导的，那么矩阵f(X)的导数就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数。

例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [x1^2 x2^2; x3^2 x4^2]。

那么矩阵f(X)的导数就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数，即f'(X) = [2x1 2x2; 2x3 2x4]。

二、矩阵的积分与矩阵的导数类似，我们也可以定义矩阵的积分。

对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别积分来得到矩阵的积分。

具体而言，如果f(X)的每个元素都是可积的，那么矩阵f(X)的积分就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分。

例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。

那么矩阵f(X)的积分就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分，即∫f(X)dX = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。

三、矩阵微分方程矩阵微分方程是矩阵微积分中的一个重要概念。

它是描述矩阵函数与其导数之间关系的方程。

一般而言，矩阵微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。

常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一个注记

常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一
个注记
微分方程是一门学科中重要的概念之一，它能够描述物体
的动态变化特性，其中一类特别重要的是常系数线性微分方程组。

它能够用来描述定义域上的函数变化趋势，也能够描述物
理系统的运动变化特性。

关于常系数线性微分方程组，有一种
求解解析解的方法就是基解矩阵法。

基解矩阵法是一种有效求解常系数线性微分方程组的方法。

他能够有效快速地求解它们的解析解，其操作过程是一种非常
完善的矩阵表示技术。

对于计算量复杂的系统，根据其系统的
特征，首先通过μ（s）这个特征方程，使微分方程组求出μ（s）的特征多项式，然后将这个特征多项式展开，求出特征
根以及相应的特征矢，最后将特征根和特征矢作为基解矩阵的
元素，建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。

基本步骤是，首先求出系统的特征方程μ（s），将它写
成矩阵形式，然后根据其系统特征，将其求解为特征多项式；
接着将特征多项式展开，将其求解为特征根μ1，μ2……μn
以及特征矢α1，α2……αn；最后将特征根和特征矢作为基
解矩阵的元素建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。

它是一个非常有效率的求解常系数线性微分方程组的方法，由于其计算简便、操作快速，它在物理学、数学、计算机、工
程等多个领域都受到广泛使用。

基解矩阵法将极大地改善系统
计算的效率，为科学家解决复杂问题提供了一种得力的方法。

矩阵函数知识点总结

矩阵函数知识点总结
一、矩阵函数的概念
矩阵函数指的是以矩阵为自变量的函数。

在矩阵函数中，矩阵被视为一个整体，即矩阵的元素相对整体而言是自变量，而不是单独的变量。

矩阵函数可以使用不同的方法来进行计算，比如按照矩阵的规定进行运算或者使用矩阵分解等方法。

矩阵函数在很多领域都有着广泛的应用，比如线性代数、微分方程、概率统计、物理学等等。

二、矩阵函数的性质
矩阵函数的性质包括可加性、齐性、乘积法则等。

其中可加性指的是如果一个函数的自变量是两个矩阵的和，那么函数值就等于这两个矩阵各自作为自变量的函数值的和；齐性指的是函数值的倍数等于自变量的倍数与函数值的积；乘积法则指的是函数值乘以一个矩阵的乘积等于矩阵乘积分别作为函数值的乘积。

三、求导、积分和极限
对于矩阵函数的求导、积分和极限等运算，在矩阵分析中都有着一些特殊的方法和规则。

比如对于矩阵函数的求导，使用分量法则可以将矩阵函数的求导规则推广到矩阵函数的情况；对于矩阵函数的积分，可以使用行列式和矩阵的性质来进行计算；而对于矩阵函数的极限，需要根据矩阵函数的性质和定义来进行推导和计算。

总之，矩阵函数是一种以矩阵为自变量的函数，它具有可加性、齐性、乘积法则等性质，并且在求导、积分和极限等运算中有着一些特殊的方法和规则。

矩阵函数在数学和实际问题中都有着广泛的应用，在线性代数、微分方程、概率统计、物理学等领域都有着重要的地位。

希望通过这篇文章的介绍，读者能够对矩阵函数有更深的理解，并且能够应用到实际问题中去。

矩阵求微分方程

矩阵求微分方程一、引言微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。

矩阵求微分方程是解决微分方程的一种常见方法，它可以将微分方程转化为矩阵形式进行求解。

本文将介绍矩阵求微分方程的基本思路和具体步骤。

二、基本概念1. 线性微分方程线性微分方程指的是具有以下形式的微分方程：y' + p(t)y = q(t)其中p(t)和q(t)都是已知函数，y表示未知函数。

2. 矩阵矩阵是由数个数构成的矩形数组，其中每个数称为元素。

矩阵可以表示为：A = [a_ij]其中i表示行号，j表示列号，a_ij表示第i行第j列的元素。

3. 线性代数基础知识在进行矩阵求解时需要掌握线性代数基础知识，如矩阵加减、乘法、转置等运算规则。

三、矩阵求解步骤1. 将线性微分方程转化为向量形式将未知函数y及其导数y'看作向量，并将p(t)和q(t)看作常向量，则线性微分方程可以表示为：y' = Ay + b其中A是一个n阶矩阵，b是一个n维常向量。

2. 求解齐次线性微分方程将b置为零，即求解齐次线性微分方程：y' = Ay其通解可以表示为：y(t) = c_1e^(λ_1t)v_1 + c_2e^(λ_2t)v_2 + ... + c_ne^(λ_nt)v_n其中λ_i和v_i分别表示A的特征值和对应的特征向量，c_i是任意常数。

3. 求解非齐次线性微分方程将b不为零时的情况加入通解中，即可得到非齐次线性微分方程的通解：y(t) = y_h(t) + y_p(t)其中y_h(t)是齐次线性微分方程的通解，y_p(t)是非齐次线性微分方程的一个特解。

4. 求解特解求解非齐次线性微分方程的特解需要根据b的形式进行分类讨论。

一般情况下，可以采用常数变易法或待定系数法求解。

具体步骤如下：(1) 常数变易法设特解为y_p(t) = u(t)v，其中u(t)和v都是未知函数。

将y_p(t)代入非齐次线性微分方程中，并求解u(t)和v的值。

矩阵微积分中的微分与积分

矩阵微积分中的微分与积分矩阵微积分是微积分在矩阵领域的推广和应用，它将微积分中的微分和积分概念扩展到矩阵和向量上。

在矩阵微积分中，微分与积分是非常重要的概念，它们有着广泛的应用和深远的理论背景。

本文将介绍矩阵微积分中的微分和积分，探讨它们的定义、性质和应用。

一、矩阵微分在矩阵微积分中，微分是研究函数变化率的工具。

与传统微积分类似，矩阵微分也涉及到导数和偏导数的概念。

对于一个矩阵函数F(X)，其微分可以表示为dF(X)。

矩阵微分的计算可以通过求导数的方式进行，即通过求偏导数来计算微分。

具体来说，对于一个矩阵函数F(X)，其微分dF(X)可以通过以下公式计算：dF(X) = ∇F(X) · dX其中，∇F(X)表示F(X)的梯度，dX表示X的微小变化量。

这个公式表明，微分dF(X)可以看作是F(X)对X的梯度∇F(X)与X的微小变化量dX的乘积。

这种计算微分的方法在矩阵微积分中被广泛应用，可以用来求解矩阵函数的导数和对函数进行近似。

矩阵微分具有许多重要的性质和规则，与传统微积分中的微分类似。

例如，矩阵微分满足线性性质、乘法规则和链式法则等性质。

这些性质使得矩阵微分成为了研究矩阵函数变化率的有力工具。

二、矩阵积分矩阵微积分中的积分是研究曲线面积和函数累积量的工具。

在矩阵微积分中，矩阵积分可以表示为∫F(X)dX的形式，其中F(X)表示要积分的矩阵函数，dX表示积分变量。

与矩阵微分类似，矩阵积分的计算也可以通过求原函数的方式进行。

对于一个矩阵函数F(X)，如果存在一个矩阵函数G(X)，使得dG(X)/dX = F(X)，那么G(X)就是F(X)的原函数。

在矩阵微积分中，原函数的概念可以用来计算矩阵积分。

具体来说，矩阵积分的计算可以通过以下公式进行：∫F(X)dX = G(X) + C其中，G(X)表示F(X)的原函数，C为常数。

这个公式表明，矩阵积分可以通过求原函数来计算，得到的结果再加上一个常数C。

计算矩阵指数函数的一点注记

ｅＡｔ — Ｅ＋＋者Ａ＋ … ＋者Ａ＋ … ，
指数矩阵ｅ定义为
１１
（１）
（２）
（３）
ｅＡ — Ｅ＋Ａ＋Ａ。＋－・＋者Ａ＋ … ・
定理如果存在可逆矩阵Ｐ使得
ＰＡＰ＝Ｊ— ｄｉａｇ（Ｊ１， …，Ｊ），
便方法，文［８］用此结论来计算矩阵指数函数，但其中的结论和例题都有错误．鉴于矩阵指数函数的重要
性，本文简要讨论ｅ和的关系，并指出文［８］中的错误．
２矩阵ｅＡ与ｅ之间的关系
矩阵指数函数ｅ定义为
ＰＡＰ＝Ｊ— ｄｉａｇ（Ｉ，１， … ，Ｊ＾），
其中Ｊ ”，Ｉ，为特征值
” ，各自对应的Ｊｏｒｄａｎ块．那么
Ｐ（ｔ）ＡＰ＝ｊ— ｄｉａｇ（Ｊ１， … ，Ｊ），
其中Ｊ ”，Ｊ为特征值ｔ， …，１＇ｋｔ各自对应的Ｊｏｒｄａｎ块．由矩阵ｅ与的定义可知，等式（４），（５）
ｂｎＡ＋ … ＋ｂＡ＋ｂ。Ｅ＝Ｏ．
显然，等号左端的矩阵书写不规范，且必有最高次项系数ｂ一１．若条件为１１＇ｒＥ—Ａｌ一６Ａ十 …
其中Ｊ一，ｌ，为特征值
并且
一，各自对应的Ｊｏｒｄａｎ块，那么
ｅ＝ｐｅＳｐ一一Ｐｄｉａｇ（ｅＪｌ，ｅＪ２， … ，ｅＪ）Ｐ＿。，（４）

矩阵微积分

在网上看到有人贴了如下求导公式：Y = A * X --> DY/DX = A'Y = X * A --> DY/DX = AY = A' * X * B --> DY/DX = A * B'Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. 行向量Y'对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。

重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对行向量X’求导：转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。

注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = Ad(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

矩阵在微积分中的应用

矩阵在微积分中的应用
矩阵是数学中一个重要的概念，它被广泛应用于各个领域，包括微积分。

在微积分中，矩阵可以用来处理多元函数和向量值函数，简化求导、积分等运算。

首先，矩阵可以用来表示多元函数的偏导数。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为一个n维列向量，而这个列向量可以用一个n×1的矩阵表示。

通过这种方式，我们可以将多元函数的偏导数转化为矩阵运算，从而简化计算。

其次，矩阵还可以用来表示向量值函数的导数。

向量值函数是指将一个或多个自变量映射为向量的函数。

例如，对于一个向量值函数f(x)，其导数可以表示为一个矩阵，即雅可比矩阵。

雅可比矩阵可以用来计算向量值函数在某一点处的导数，从而求解最优化问题等。

此外，矩阵还可以用来表示微分方程的解。

微分方程是描述自然现象的一种数学模型，而矩阵可以用来表示微分方程的系数矩阵，从而求解微分方程的解析解或数值解。

综上所述，矩阵在微积分中具有广泛的应用，可以用来简化多元函数的偏导数计算、向量值函数的导数计算、微分方程的求解等运算。

熟练掌握矩阵在微积分中的应用，可以提高计算效率和准确性，为各个领域的数学问题提供更好的解决方案。

- 1 -。

矩阵论基础笔记

二次型：数域F上任意二次型都可以经过非退化线性变换化为标准型。

如在复数域上考虑，可进一步化为规范型，且规范型是唯一的。

行列式行列式值不变行列式与其转置行列式的值相等行列式某一行（列）的元素的若干倍加到另外一行（列）的对应元素上，行列式的值不变行列式值改变交换行列式两行（列）对应元素位置，行列式的值反号把行列式某一行（列）的元素同时乘以数k，等于用数k乘这个行列式行列式等于零某一行元素全0，行列式为0两行元素对应成比例，行列式为0矩阵可逆（以下命题等价）行列式不为0满秩矩阵可以表示成若干个初等矩阵之积列（行）向量组线性无关初等矩阵任意矩阵可经过一系列初等变换化为标准型。

行列初等变换初等行变换可把矩阵化为行阶梯型或行最简型再经过初等列变换可以化为标准型相似矩阵与A相似的矩阵并不唯一，也不一定是对角矩阵矩阵相似对角化（以下命题类似）N阶方阵A相似于N阶对角矩阵的充要条件是A有N个线性无关的特征向量A的每个k重特征值r对应有k个线性无关的特征向量线性变换T可以对角化的充分必要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积实对称矩阵存在正交矩阵P，使得P-1ＡＰ＝Ｖ，其中Ｖ是以Ａ的ｎ个特征值为对角元的对角矩阵上三角阵和下三角阵行列式均等于对角线乘积对角行列式也等于对角线乘积线性方程组线性方程组Ａｘ＝ｂ有解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）（B为增广矩阵）；当都等于ｎ时，有唯一解；当＜Ｎ时，有无穷多个解线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩Ｒ＜Ｎ矩阵极大线性无关组个数与线性无关特征向量个数无关特征值在复数范围内，n阶方阵就有n个特征值，重根按重数计算特征值与特征向量不同特征值对应的特征向量线性无关实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交都与对角矩阵相似实对称矩阵一定可以对角化线性空间线性空间作为向量集合。

空间中任一向量可用一组线性无关的向量表示，则称这组向量作为空间的一组基。

基就是向量集合的极大线性无关组Vn(F)中向量组线性相关的充分必要条件是其坐标向量组是Fn中的线性相关组过渡矩阵过渡矩阵一定是可逆矩阵，因为变换前后的基矩阵的秩都是n，则过渡矩阵必然满秩生成空间V中一组向量，则由它们一切线性组合构成的集合是V的一个子空间维数公式dimW1+ dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1 n W2)不含零向量的正交向量组是线性无关的向量和变换矩阵在两组基下线性空间向量在两组基坐标分别为X,Y 则X=CY线性变换在两组基下的矩阵分别为A和B,则B=C-1AC线性变换在不同基下的矩阵是相似的V分解为不变子空间的直和，取每个子空间的基构成空间的基，T在这组基下的矩阵为准对角矩阵Jordan标准型主对角线上的元素就是A的全部特征值Jordan矩阵构造矩阵A有k个互异的特征值，则可以分为k个约当矩阵；每个约当矩阵有m个线性无关的特征向量，则约当矩阵可以分为m个约当块。

关于矩阵方程AXB-C=0的最佳逼近解的一个注记

关于矩阵方程AXB-C=0的最佳逼近解的一个注记作者：宋传宁许庆祥来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2018年第01期A note on the best approximate solution of theequation AXB-C=0Song Chuanning， Xu Qingxiang（Mathematics and Science College，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）Abstract：A counterexample is constructed which shows that with respect to the 2-norm，there exist matrices A，B andC such that A CB fails to be the best approximate solution of the equation AXB-C=0，where A and B are the Moore-Penrose inverses of A and B，respectively.Key words：Moore-Penrose inverse; Frobenius norm; 2-normCLC number： O 151.21Document code： AArticle ID： 1000-5137（2018）01-0022-02摘要：举反例说明：对于矩阵的2-范数，存在矩阵A，B和C，使得ACB不是矩阵方程AXB-C=0的最佳逼近解，其中A和B分别是A和B的Moore-Penrose逆.关键词：Moore-Penrose逆; Frobenius 范数; 2-范数Received date： 2017-02-25Foundation item： The National Natural Science Foundation of China （11671261）Biography： Song Chuanning（1962-），female，associate professor，research area：Matrix and operator theory.E-mail：songning@引用格式：宋传宁，许庆祥.关于矩阵方程AXB-C=0的最佳逼近解的一个注记 [J].上海师范大学学报（自然科学版），2018，47（1）：22-23.Citation format： Song C N，Xu Q X.A note on the best approximate solution of the equation AXB-C=0 [J].Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences），2018，47（1）：22-23.Throughout this note，Cn×n is the set of n×n complex matrices.For any A∈ Cn×n，let A be its Moore-Penrose inverse[1-2].Let ·F and ·2 be the Frobenius norm and 2-norm （spectral norm） on Cn×n，respectively.Definition[2]Let · be any norm on Cn×n，and A，B，C be given in Cn×n.A matrix X0∈Cn×n is said to be the best approximate solution （with respect to the norm ·） of the equation F（X）=defAXB-C=0，if for any X∈Cn×n，either F（X）>F（X0），or F（X）=F（X0）and X≥X0.It is known from [2，Corollary 1] that with respect to the Frobenius norm ·F，the matrixX0=ACB is the unique best approximate solution of the equation F（X）=0.A similar conclusion was asserted in item （b） of [1，Theorem 2.1] for the 2-norm.In this note，we will show that item（b） of [1，Theorem 2.1] is actually incorrect.Our counterexample is as follows：ExampleLet A=B=1000，C=-1-1-1-1 and X=-2x12x21x22 for any x12，x21，x22∈C.ThenAACBB-C2=01112=1+52，AXB-C2-11112=2，so AACBB-C2>AXB-C2.RemarkIn view of the counterexample above，the 2-norm A（1，3）Y，KL2 appeared in [1，Lemma 2.3] should be replaced by the Frobenius norm A（1，3）Y，KLF.References：[1]Damm T，Stahl D.Linear least squares problems with additional constraints and an application to scattered data approximation [J].Linear Algebra and its Applications，2013，439：933-943.[2]Penrose R.On best approximate solutions of linear matrix equations [J].Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1956，52：17-19.。

关于微分学中值定理的几个注记

关于微分学中值定理的几个注记
值定理是一个非常重要的微积分原理。

它可以用来证明函数与其微分之间的重
要关系。

一般来说，值定理是指当一个函数f在a和b之间可微（即兂其导数存在）时，下面的等式成立：
f(b) - f(a) = ∫^b_af'(x)dx
值定理的意义是，函数f在a和b之间的变化量等于函数f的导数在a和b之
间的积分积分。

从此可以看出，由函数f的求微分可以得到函数f的求区间积分，反过来也是一样，从函数f的求区间积分可以得到函数f的求微分。

值定理有几个重要的注记：
1、值定理是一个基本定理，可以帮助我们证明函数和微分之间的关系。

2、值定理只适用于可微函数，也就是说，函数f的导数必须在a和b之间存在。

3、由值定理可以知道，函数f的求微分可以得到函数f的求区间积分，反过
来也一样。

4、值定理有一定的变种，其中一个十分重要的变种就是刘维尔定理，他把值
定理推广到定量函数上。

在学习微分学原理时，学习值定理是非常必要的，它能够帮助我们更好的理解
和应用微积分原理。

关于矩阵迹的几个等式的注记

关于矩阵迹的几个等式的注记
矩阵迹是一个重要的矩阵概念，它可以用来表示矩阵的不变量。

它可
以通过对矩阵进行特征分解或者对角化来求解。

矩阵迹有几个重要的
性质，这里给出几个等式的注记。

对角线元素之和：如果矩阵A是一个n*n的矩阵，则矩阵迹Tr(A)等于矩阵A的对角线元素之和，即Tr(A)=∑A[i][i]，i=1,2,...,n。

矩阵
乘法：如果矩阵A和B是n*n的矩阵，则有Tr(AB)=Tr(BA)。

矩阵加法：如果矩阵A和B是n*n的矩阵，则有Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)。

线性变换的迹：如果矩阵A是n*n的矩阵，k是一个标量，则有
Tr(kA)=kTr(A)。

对角线矩阵的迹：如果矩阵D是一个n*n的对角线矩阵，则有Tr(D)=∑D[i][i]，i=1,2,...,n。

希望这些注记能帮助你理解矩阵迹的性质。

矩阵的幂的迹：如果矩阵A 是n*n的矩阵，k是一个正整数，则有Tr(A^k)=∑(λ_i)^k，其中
λ_i是A的特征值。

对角矩阵的特征值的迹：如果矩阵D是一个n*n的对角线矩阵，则有
Tr(D)=∑D[i][i]，i=1,2,...,n。

矩阵的行列式的迹：如果矩阵A是
一个n*n的矩阵，则有det(A)=Tr(A)。

矩阵的逆的迹：如果矩阵A是一个n*n的矩阵，则有Tr(A^(-
1))=Tr(A)^(-1)。

这些等式都是关于矩阵迹的重要性质，在矩阵计算
和线性代数的应用中都很有用。

matrix数学笔记

matrix数学笔记
矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和应用领域中都有着
广泛的应用。

我将从以下几个角度来介绍矩阵的相关知识。

1. 定义和基本概念，矩阵可以被定义为一个按照矩形排列的数（或者其他可计算对象）的集合。

通常用大写字母表示，比如A。

一个m×n的矩阵有m行n列。

矩阵中的每一个数称为元素，可以用
a_ij表示第i行第j列的元素。

2. 矩阵的运算，矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算。

矩阵
加法和数乘的定义都比较直观，而矩阵乘法则需要满足一定的条件。

矩阵乘法的定义是，若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p的矩阵。

3. 矩阵的特殊类型，在矩阵的研究中，有一些特殊类型的矩阵
非常重要，比如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、
正交矩阵等。

这些特殊类型的矩阵在实际问题中有着重要的应用，
比如对称矩阵在物理学中有着重要的地位。

4. 矩阵的应用，矩阵在现代数学中有着广泛的应用，比如在线
性代数、微积分、概率论、统计学、物理学、工程学等领域都有着重要的应用。

在计算机科学领域，矩阵也被广泛运用在图形学、人工智能、数据处理等方面。

总的来说，矩阵作为线性代数中的重要概念，其在数学和应用领域中都有着广泛的应用。

通过深入学习矩阵的相关知识，可以更好地理解和应用线性代数的理论，从而更好地解决实际问题。

希望这些内容能够对你有所帮助。

矩阵论教学的几点注记

éê ０
ùú
ꎬ故有Ａ＝０.
⋱
êë
úû
０
结论６设矩阵Ａ为幂等且为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵ꎬ则Ａ＋＝Ａ.
证因Ａ２＝Ａꎬ则Ａ的特征根为０或１ꎬ又Ａ为Ｈｅｒｍｉｔｅ
矩阵ꎬ Ａ可酉对角化ꎬ 即存在酉阵Ｕꎬ 使得ＵＨＡＵ＝
Ｉｒ × ｒ０
于 λ 的特征向量ꎬ 则Ａξ ＝ λξꎬ 于是由ＡＨ＝Ａ－１ ꎬ 得到
ξ ＨＡＨ＝ λξ Ｈ ꎬ因而ꎬ有 ξ Ｈ ξ ＝ ξ ＨＡＨＡξ ＝ λλξ Ｈ ξꎬ但 ξ Ｈ ξ≠０ꎬ这
就推出λλ ＝１ꎬ即 λ 的模为１. 又Ａ为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵ꎬ则Ａ的
ｉ＝１ꎬ２ꎬꎬｎ.
λ２ｉ＝ λ ｉ ꎬ
结论２设Ａ为正规矩阵ꎬ 且Ａ２＝Ａꎬ 证明: Ａ为
Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵.
证设 λ 为矩阵Ａ的任一特征根ꎬξ 是Ａ的属于 λ 的
特征向量ꎬ则Ａξ ＝ λξꎬ所以Ａ２ ξ ＝ λＡξ ＝ λ２ ξꎬ从而 λ２＝ λꎬ所
分析[ Ｊ] . 学位与研究生教育ꎬ２０１３(２) :１－５.
[６] 赵礼峰. 工科研究生矩阵论课程教学改革研究与实
特征根均为实数ꎬ故Ａ的特征根为１或－１.
结论５设矩阵Ａ为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵ꎬ若对正整数ｍꎬ有
Ａｍ＝０ꎬ则Ａ＝０.
证因Ａｍ＝０ꎬ则Ａ的特征根均为零. 又Ａ为Ｈｅｒｍｉｔｅ
矩阵ꎬ Ａ可酉对角化ꎬ 即存在酉阵Ｕꎬ 使得ＵＨＡＵ＝
高教视野

09矩阵微分方程

x(t ) = [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]T b(t ) = [b1 (t ), b2 (t ),, bn (t )]T
11
a11 a12 a a22 A = 21 an1 an 2
方程组化为矩阵方程
a1n a2 n ann
d dA dB [ A(t ) ± B (t )] = ± dt dt dt
2
d dA dB [ A(t ) B = (t )] B+ A dt dt dt d da dA （3） [ a (t ) A = (t )] A+ a dt dt dt d d （4） ( etA ) = AetA = etA A ( cos ( tA) ) = − A sin ( tA) dt dt d ( sin ( tA) ) = A cos ( tA) dt
3 解方程
o
jt g ( λ1 ) = f ( λ1 ) = e = cos t + j sin t =+ c0 jc1 − jt g (λ2 ) = f (λ2 ) = e = cos t − j sin t =− c0 jc1
c0 = cos t c1c0 I + c1 A = = = f ( A) e tA
r1 cos t + r2 sin t x1 (t ) r cos t − r= x (t ) sin t 2 2 2 1
三、一阶线性非齐次常系数微分方程组
10
dx1 = dt dx2 = dt n dx = dt
表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确。
dx1 = x2 x (0) r dt 例：求解微分方程组，初始条件为 1 = 1 x2 (0) r2 dx2 = − x 1 dt

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第２６卷第１期
２１００年２月
大学数学
Ｃ（ＩＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩ）ＭＣＳ
Ｖｏｌ函数微分学的一个注记
江其保
（南大学数学系，京２０９）东南１０６
数ｌ嚣 ” 厂一Ｐ是微分或导数ｄｘ）ｆ（＋ｄ一ｆ（的展开式中的线性部分Ｌ（Ｘ）其中：ｆ（是ＸＸ）ｘ）ｃ，ｌ
Ｌ：：
一
是一个线性算子．注意，ｆＸ）ｄ（一Ｌ（Ｘ）般不能写成某个矩阵与ｄ的乘积，ｄ一Ｘ参见下面
ｃｘｇ一ｄ・＋ｘ・Ｙ，ｄ一（Ｘ），ｄｔ（］ｒｄ，ｄｄａ（］ｉｇｄ，（）ｔ）Ｘｙ（ｄＸｄＥｒＸ）一ｔ（Ｘ）ＥｉｇＸ）一ｄａ（Ｘ）１
ｄ＝一ｘ～ｄ・Ｘ・Ｘｘ～，ｄＸｌｌＩｔ（・ｘ） — ・ｒＸＪｄ，（）２其中ｔ（表示矩阵ｘ的迹，ｉ（是由矩阵的主对角线排列而的对角阵．些公式的证明很容易．ｒＸ）ｄｇＸ）ａ这
素是常数，ｄ中同一位置上的元素ｄ．别地，数矩阵的微分是零，角矩阵的微分是对则Ｘｘ一０特常对
角阵．们用风我表示全体 ×”矩阵所组成的Ｂｎｃａａｈ空问．照Ｂｎｃ按ａａｈ空间的微分学，意矩阵函任
［收稿日期］２０４２；［改日期ｊ２０９２０７０ — ３修０７０５
１８８
大学数学
第２６卷
说ｄ是自由的．Ｘ此时，ｔ（由ｒＡ・ｄ＝０可得Ａ一０如果ｄ是对称矩阵并且｛ｘ ≤ 中的各个元Ｘ）．Ｘｄ：｝素相互独立，则称ｄＸ是自由的对称矩阵．在这种情况下，们由ｔ（・ｄ＝０可得Ａ＋Ａ＝０类似我ｒＡＸ）．地，如果ｄ是对角阵并且对角线上的元素相互独立，称ｄ是自由的对角阵．时，们由Ｘ则Ｘ这我
这证明了（）的第二个公式．２中矩阵函数的极值问题的求解只需应用矩阵微分．给出具体的例子之前，们必须研究形如在我ｔ（・ｄ一０的方程的解．涉及到ｄ中自由变元的个数．ｒＡｘ）这Ｘ如果ｄ的各个元素相互独立，么我们ｘ那
［摘要］介绍了以矩阵为变元的函数的微分及其运算法则．通常的求导运算相比，与这里介绍的微分运
算理论上更加自然、洁，用起来更加容易、加方便．实上，阵导数应当视为由微分运算派生出来的运简使更事矩
’
一
Ｍ－并且（）一Ｉ一．而，ｄｒ一Ｍｘ１．从由展开式（）我们得到３，
１
Ｊ
ｄｌ＝∑ ｆ ”ｊ，ｌＸ（，ｄ－ｘ
ｉ１一
，）一∑ Ｍｄ。 …，ｌ。ｘ
７Ｊ１一一
＝ｔ［Ｍ・ｘ一ｆｌｔ（～ｄ．ｒ（）ｄ］Ｘ・ｒ・Ｘ）
ｄｘｌ计算公式．ｆ的
如果ｄＺ＝Ｌ（ｌ，Ｙ＝Ｌ（）则ｄｄ，ｄ）ｄ，ｚ＝Ｌ。ｄ．就是一阶微分的形式不变性，是求导运Ｌ（ｘ）这也算的链规则．这一性质以及下列基本的计算公式是微分演算过程中用到的主要工具：
—
Ｉ＋＞：（，，ｘＩｌ …
ｉ— ｌ
，ｘ，，）＋高阶项．ｄｚ …，Ｉ
（）３
令Ｍ是在行列式Ｉ中的代数余子式．据线性代数，们有ｌｚ，，＂，ｘ，７ … ，）ｆｘ根我（ … ５１ｄ０一，ｌ２
算．［键词ｊ矩阵函数；数；分关导微
［图分类号］Ｏ１１２中５．１
［献标识码］Ｃ文
［章编号］１７５（０００ —１７０文６２１４２１）１０８２４
矩阵函数的导数及相关的计算公式是统计学中的重要工具．多教材［。此都有专门的介绍．许１对。在这里，我们介绍矩阵函数的微分及其运算法则．我们把微分理解为无穷小改变量．因此，阵ｘ一（的微分应当是ｄ矩ｚ）ｘ一（ｘ）如果ｘ中某个元ｄ．
首先，一行中的所有公式应当是显然的．了证明（）第为２中的第一个公式，我们只需对单位矩阵Ｘ求Ｘ微分，的计算要麻烦一些．ｘ一（，，，）我们有展开式ｄｘｌｌ设 … ，
ｌｄ — ｆ＋ｄ＂，＋ｄ … ，＋ｄｌＸ＋ＸＩ（３２ｘ，１ｘ）