《等差数列的前n项和》参考课件2
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等差数列前n项和的性质 课件(第2课时)
寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
高中数学《等差数列前n项和(2)》课件
例3.等差数列{an}满足a1 0, S9 S12,求使Sn最小的n值. 解：
等差数列{an
}满足ad1
0 ,
0
Sn
存在最大
值；
等差数列{an
}满足ad1
0 ,
0
Sn
存在最小
值.
Sn最值问题解决的两条基本途径 1.Sn f (n),从二次函数最值条件入 手； 2.Sn a1 a2 an ,从通项的符号变化入手.
最大值.
思考：若n对
21，n取何 6
值时，Sn取最大
？
Sn
(4, S4 )
an
•
y 3x2 23x
•
•
• • (4,a4 ) •
y 6x 26
•
•
•
•
•
•
n
n对
23 6
•
O
n
O
• (5,a5 ) •
an 20 (n 1)(6) 6n 26 a4 2,a5 4
a1,a2 ,a3 ,a4 0 a5 0
此时数列{an}是以A B为首项，2A为公差的等差数列 .
特别的，当A 0时，数列{an}是常数列 .
例2.等差数列20，14，8,前n项和为Sn ,求使Sn最大的序号n.
解： a1
20, d
6，Sn
20n
n(n 2
1)
(6)
3n2 23n
n对
23 6
当n取与23 6
最接近
的整
数
4
时
，Sn取
y
y x4
9
8
•
7
•
6
•
5 4
an n 4
• •
等差数列{an
}满足ad1
0 ,
0
Sn
存在最大
值；
等差数列{an
}满足ad1
0 ,
0
Sn
存在最小
值.
Sn最值问题解决的两条基本途径 1.Sn f (n),从二次函数最值条件入 手； 2.Sn a1 a2 an ,从通项的符号变化入手.
最大值.
思考：若n对
21，n取何 6
值时，Sn取最大
？
Sn
(4, S4 )
an
•
y 3x2 23x
•
•
• • (4,a4 ) •
y 6x 26
•
•
•
•
•
•
n
n对
23 6
•
O
n
O
• (5,a5 ) •
an 20 (n 1)(6) 6n 26 a4 2,a5 4
a1,a2 ,a3 ,a4 0 a5 0
此时数列{an}是以A B为首项，2A为公差的等差数列 .
特别的，当A 0时，数列{an}是常数列 .
例2.等差数列20，14，8,前n项和为Sn ,求使Sn最大的序号n.
解： a1
20, d
6，Sn
20n
n(n 2
1)
(6)
3n2 23n
n对
23 6
当n取与23 6
最接近
的整
数
4
时
，Sn取
y
y x4
9
8
•
7
•
6
•
5 4
an n 4
• •
等差数列的前n项和(二) 课件
例 2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前 n 项和 Sn 的最小值．
解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2. ∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….
∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42. 方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12. ∴Sn＝na12＋an＝n2－13n＝n－1232－1649. ∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42. 小结 在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一 项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆 取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn 为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．
＋c]＝2an－a＋b.
∴an＝a2＋ anb－＋ac＋b
n＝1 n≥2 .
只有当c＝0时，a1＝a＋b＋c才满足an＝2an－a＋b，数列{an}
才是等差数列．
探究点二 等差数列前 n 项和的最值 问题 由于 Sn＝na1＋nn2－1d＝d2n2＋(a1－d2)n，当 d＝0 时，Sn
d ＝na1；当 d≠0 时，此解析式可以看作二次项系数为 2 ，一次
和Sn取到最值时序号n的规律. 序号 等差数列 基本量
1,3,5,7,9， a1＝1 ，
1
…，
d＝2 .
前n项和Sn Sn＝ n2
Sn的最值 (Sn)min＝1，
此时n＝ 1 .
2
－5,－3， －1,1,3，
a1＝ -5 ， d＝ 2 .
Sn＝
n2－6n
(Sn)min＝ -9 ，－2， a1＝4 ， 3 －4，…， d＝ -2 .
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
北师大版高中数学必修5：等差数列的前n项和_课件2(2)
方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0， 故n＝13时，Sn有最大值169.
方法四：由 d＝－2，知 Sn 对应的二次函数图像开口向
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来 一堆钢管的总数为6×42＋9＝39.
一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?
1．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
则aa1200＝ ＝aa11＋ ＋91d9＝ d＝305， 0， ∴ad1＝＝212， . ∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 以及 a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程 242＝12n＋nn－ 2 1×2， 即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11，或 n＝－22， ∵n∈N＋，∴n＝11.
方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458， 所以 a1＋2d＝254. 所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×254＝24.
[时求题，a后n，a感1＝最悟后S]1，验已求证知得a1前a是1，n否项再符和由合Snna求≥n，2通时若项，符aan合n，＝则先Sn统－由一Snn＝用－11 一个解析式表示．若不符合，则通项公式应用分 段式表示．
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
人教版高中数学选修二4.2.2等差数列的前n项和公式(二)课件
故{an}的通项公式为 an＝34－2n.
法二：(结构特征法)由 Sn＝－n2＋33n 知 Sn 是关于 n 的缺常数项的二次
d
2＝－1，
型函数，所以{an}是等差数列，由 Sn 的结构特征知
a1－d＝33，
2
解得 a1＝32，d＝－2，所以 an＝34－2n.
(2)法一：(公式法)令 an≥0，得 34－2n≥0，所以 n≤17，
故数列{an}的前 16 项或前 17 项的和最大．
(3)由(2)知，当 n≤17 时，an≥0；
当 n≥18 时，an<0.
所以当 n≤17 时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当 n≥18 时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
课堂小结
等差数列前 n 项和 Sn 的最值
(1)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或 0)，所以将这些项相加即
小
得{Sn}的最 值．
(2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或 0)，所以将这些项相加即
得{Sn}的最大 值．
特别地，若 a1>0，d>0，则S1 是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则 S1是{Sn}的
{Sn}中最大项为 S6，D 不正确．
故正确的是 AB]
2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差 d>0，则使得前 n 项和 Sn 取得最小
值的正整数 n 的值是________．
【答案】6 或 7
[由|a5|＝|a9|且 d>0 得 a5<0，a9>0，且 a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒
法二：(结构特征法)由 Sn＝－n2＋33n 知 Sn 是关于 n 的缺常数项的二次
d
2＝－1，
型函数，所以{an}是等差数列，由 Sn 的结构特征知
a1－d＝33，
2
解得 a1＝32，d＝－2，所以 an＝34－2n.
(2)法一：(公式法)令 an≥0，得 34－2n≥0，所以 n≤17，
故数列{an}的前 16 项或前 17 项的和最大．
(3)由(2)知，当 n≤17 时，an≥0；
当 n≥18 时，an<0.
所以当 n≤17 时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当 n≥18 时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
课堂小结
等差数列前 n 项和 Sn 的最值
(1)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或 0)，所以将这些项相加即
小
得{Sn}的最 值．
(2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或 0)，所以将这些项相加即
得{Sn}的最大 值．
特别地，若 a1>0，d>0，则S1 是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则 S1是{Sn}的
{Sn}中最大项为 S6，D 不正确．
故正确的是 AB]
2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差 d>0，则使得前 n 项和 Sn 取得最小
值的正整数 n 的值是________．
【答案】6 或 7
[由|a5|＝|a9|且 d>0 得 a5<0，a9>0，且 a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒
4.2.2等差数列的前n项和公式(2)课件高二下学期数学人教A版选择性
内容索引
(1) 在等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值； (2) 在等差数列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值．
【解析】 (1) 因为a1＝13，S3＝S11， 所以 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，所以 d＝－2， 所以 Sn＝13n＋nn－ 2 1×(－2)
由③－②，得10d＋10d＋…＋10d＝S－910，
所以S－910＝600，所以S＝1 510，
即第21项到第30项的和为1 510.
内容索引
例4 有一等差数列共有2n(n∈N*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30 ，若最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数．
内容索引
内容索引
(3) 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63. 因为{an}是等差数列，所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， 所以4(a1＋an)＝25＋63＝88，即a1＋an＝22. 因为 Sn＝a1＋2ann＝286，所以 n＝26.
内容索引
【解析】 (1) ba35＋＋ba1113＝ab11＋＋ab1155＝TS1155＝7×151＋5＋3 2＝11087.
(2) ab53＋ ＋ab1124＝ab11＋ ＋ab1166＝TS1166＝7×161＋6＋3 2＝11194. (3) 设Tn＝(7n＋2)k，Sn＝(n＋3)k，k≠0， 所以a5＝T5－T4＝37k－30k＝7k， b6＝S6－S5＝9k－8k＝k， 所以ab56＝7kk＝7.
【解析】 由题意知Sa偶2n－－Sa奇1＝＝n2dn＝－61，d＝10.5， n＝4，
解得d＝23. 因为 a1＋a3＋a5＋a7＝4a1＋12d＝24， 所以 a1＝32. 故此数列的首项 a1＝32，公差 d＝32，项数 2n＝8.
(1) 在等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值； (2) 在等差数列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值．
【解析】 (1) 因为a1＝13，S3＝S11， 所以 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，所以 d＝－2， 所以 Sn＝13n＋nn－ 2 1×(－2)
由③－②，得10d＋10d＋…＋10d＝S－910，
所以S－910＝600，所以S＝1 510，
即第21项到第30项的和为1 510.
内容索引
例4 有一等差数列共有2n(n∈N*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30 ，若最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数．
内容索引
内容索引
(3) 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63. 因为{an}是等差数列，所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， 所以4(a1＋an)＝25＋63＝88，即a1＋an＝22. 因为 Sn＝a1＋2ann＝286，所以 n＝26.
内容索引
【解析】 (1) ba35＋＋ba1113＝ab11＋＋ab1155＝TS1155＝7×151＋5＋3 2＝11087.
(2) ab53＋ ＋ab1124＝ab11＋ ＋ab1166＝TS1166＝7×161＋6＋3 2＝11194. (3) 设Tn＝(7n＋2)k，Sn＝(n＋3)k，k≠0， 所以a5＝T5－T4＝37k－30k＝7k， b6＝S6－S5＝9k－8k＝k， 所以ab56＝7kk＝7.
【解析】 由题意知Sa偶2n－－Sa奇1＝＝n2dn＝－61，d＝10.5， n＝4，
解得d＝23. 因为 a1＋a3＋a5＋a7＝4a1＋12d＝24， 所以 a1＝32. 故此数列的首项 a1＝32，公差 d＝32，项数 2n＝8.
高中数学课件：第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用
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法三：由法一可知，d＝－123a1.要使 Sn 最大， 则有aann≥＋1≤0，0， 即aa11＋＋nn－－1123a－1≤1230a，1≥0， 解得 6.5≤n≤7.5，故当 n＝7 时，Sn 最大．
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法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 故a7＋a8＝0，由于a1>0，可知d≠0， 所以a7>0，a8<0.所以当n＝7时，Sn最大．
高中数学课件：第二章23 等差数列的前n项和第二课 时等差数列前n项和的应用
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令25n2＋225n＝4 750， 即n2＋9n－190＝0. 而n是正整数， ∴n＝10. ∴到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米.
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等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3 ＝S11，那么当n为多少时，Sn最大．
[解] 法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的 观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用 求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大．
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n值，再分段求和．
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[通一类] 2．在等差数列中，a10＝23，a25＝－22，
(1)该数列第几项开场为负； (2)求数列{|an|}的前n项和．
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解：设等差数列{an}中，公差为 d，由题意得 a25－a10＝15d＝－45， 23＝a1＋10－1×d， ∴ad1＝＝－503，.
法三：由法一可知，d＝－123a1.要使 Sn 最大， 则有aann≥＋1≤0，0， 即aa11＋＋nn－－1123a－1≤1230a，1≥0， 解得 6.5≤n≤7.5，故当 n＝7 时，Sn 最大．
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法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 故a7＋a8＝0，由于a1>0，可知d≠0， 所以a7>0，a8<0.所以当n＝7时，Sn最大．
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令25n2＋225n＝4 750， 即n2＋9n－190＝0. 而n是正整数， ∴n＝10. ∴到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米.
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等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3 ＝S11，那么当n为多少时，Sn最大．
[解] 法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的 观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用 求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大．
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n值，再分段求和．
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[通一类] 2．在等差数列中，a10＝23，a25＝－22，
(1)该数列第几项开场为负； (2)求数列{|an|}的前n项和．
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解：设等差数列{an}中，公差为 d，由题意得 a25－a10＝15d＝－45， 23＝a1＋10－1×d， ∴ad1＝＝－503，.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
等差数列的前n项和公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(2) S10 10 2
2
2 2
n n(n 1)
1
(3) S n
( ) 5
2
2
6
整理得 n 2 7n 60 0
解得n 12或 5(舍)
(−1)
（2）可以先利用1和2的值求出，再利用公式＝1 +
求和；
2
（3）已知公式＝1 +
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
∗
若＋＝＋(，，， ∈ )，则＋＝＋，常与求和公
( + )
式＝
结合使用．
10(a1 a10 ) 10 (5 95)
(1) S10
5 100 500;
2
2
50 49
S
10
p 10q 310
10 p q 31
10
则
, 即
,
2
S 20 20 p 20q 1220 20 p q 61
联立得10 p 30, p 3, q 1.
前n项和S n 3n 2 n
方程思想，知三求二
[练习2](P23) 在等差数列 {an }中， S n为其前 n项的和，若 S 4 6， S8 = 20，求 S16 .
的前n项和吗？
目的：把不同的数求和转化为n个相同的数求和
倒序
n个相同的数(n+1)
倒序相加法
探究：等差数列前n项和的推导
类似地，对于任意等差数列{an}，不妨用以下两种方式表示Sn：
S n 1 2 ( n 1) n
S n a1 a2 an 1 an ①
2
2 2
n n(n 1)
1
(3) S n
( ) 5
2
2
6
整理得 n 2 7n 60 0
解得n 12或 5(舍)
(−1)
（2）可以先利用1和2的值求出，再利用公式＝1 +
求和；
2
（3）已知公式＝1 +
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
∗
若＋＝＋(，，， ∈ )，则＋＝＋，常与求和公
( + )
式＝
结合使用．
10(a1 a10 ) 10 (5 95)
(1) S10
5 100 500;
2
2
50 49
S
10
p 10q 310
10 p q 31
10
则
, 即
,
2
S 20 20 p 20q 1220 20 p q 61
联立得10 p 30, p 3, q 1.
前n项和S n 3n 2 n
方程思想，知三求二
[练习2](P23) 在等差数列 {an }中， S n为其前 n项的和，若 S 4 6， S8 = 20，求 S16 .
的前n项和吗？
目的：把不同的数求和转化为n个相同的数求和
倒序
n个相同的数(n+1)
倒序相加法
探究：等差数列前n项和的推导
类似地，对于任意等差数列{an}，不妨用以下两种方式表示Sn：
S n 1 2 ( n 1) n
S n a1 a2 an 1 an ①
等差数列前N项和课件2
探究发现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界 七大建筑奇迹之一。陵寝以宝石镶饰， 图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相 同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层 （见左图），奢靡之程度，可见一斑。
310
a1
a10
62
①
S20
20(a1 a2020
122②
两式相减得
a20 a10 60
d 6 a1 4
Sn
a1n
（ n n 1）d 2
3n2
n
课堂小结
等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an
)
Sn
na1
n(n 1) 2
d
公式的推证用的是倒序相加法
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元 素,结合通项公式就可求出另两个元素.
整理得 n2－6n－27=0.
解得 n=9, n=－3(舍弃).
因此等差数列－10, －6, －2, 2 , …前9项的和是54.
例3.已知一个等差数列的前10项和是310,
前20项的和是1220,由这些条件能确定这
个等差数列的前n项和的公式吗?
解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代
入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
可得
2100aa1114950dd
310 1220
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
例3.已知一个等差数列的前10项和是310,
4.2.2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性
为
210
.
解：设等差数列{an }的前n项和为Sn , 则S10 , S20 S10 , S30 S20 , 也是等差数列,
由题意可得S10 30, S20 S10 100 30 70, S30 S20 S30 100 110, S30 210.
结论：等差数列{an }的依次n项的和,即 Sn , S2n Sn , S3n S2n , S4n S3n , 也构成一个等差数列, 其公差为n2d .
Tn 3n 1 b9
a9 2a9 a1 a17 S17 2 17 3 37 . b9 2b9 b1 b17 T17 3 17 1 50
已知两个等差数列{an
},
{bn
},
它们的前n项和分别是Sn
,
Tn
,
则
an bn
S2n1 T2n1
.
性质2 : ① a1 an Sn ; b1 bn Tn
该数列的公差为2,设其前n项和为Sn ,则有
S20
800,即
20a1
20
2
19
2
800,解得a1
21.
∴第1排应安排21个座位.
课本P24 1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以 选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领 取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你 认为哪种领奖方式获奖者受益更多?
(4)在等差数列{an}中， ①若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)(an，an＋1 为中间两项)； S 偶－S 奇＝nd；SS奇 偶＝aan＋n 1. ②若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S 奇－S 偶＝an；SS奇 偶＝n－n 1. (5)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前 n 项和分别是 Sn 和 Tn，则abmm＝TS22mm－－11.
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：等差数列的前n项和二课件
题型二 利用Sn求an
例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－8n＋10，求通项公式an，
并判断数列是否为等差数列；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝
1 3
n
－1，求其通项公式an.
方法归纳
利用Sn求an的方法 已知数列{an}的前n项和求通项公式an，一般要使用公式an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，但必须注意它成立的条件是n≥2，除此之外还要注意以下几 点：
解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.
4．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟 走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开 始运动后_____7___分钟相遇．
解析：设n分钟后相遇，依题意，有2n＋n
n−1 2
＋5n＝70，整理得n2＋13n－140
S1 n = 1 ， − Sn−1 n ≥ 2
．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋n，求该数列的通项 公式．
解析：当n＝1时，a1＝－12； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋n－[－32(n－1)2＋(n－1)]＝－3n＋52 又∵a1＝－12适合上式 ∴an＝－3n＋52.
两式相减得an＝an－an－1＋2n－1，即an－1＝2n－1，也即an＝2n＋1.又因为a1＝3 适合上式，所以{an}的通项公式为an＝2n＋1.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则其通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝2n－1
C．an＝2n＋1 D．an＝2n－1－1
答案：B
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝ 21－1＝1适合上式，故an＝2n－1(n∈N＋).
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解法5：
把问题1看成a1=1,d=1,n=100的等差数 列，则根据等差数列的中项公式，得 1+99=2×50，2+98=2×50，3+97=2×50, … ， … ， … , 47+53=2×50,48+52=2×50,49+51=2×50, 1+2+3+4+5+···+100 =49×2×50+50+100 =5050
对问题1转换点看
用数列观点：求等差数列 1，2，3，4，5，6，…，n,… 的前100项的和. 从而研究等差数列：
a1 ,a2 ,a3 ,…an ,… 设求等差数列{an }的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+a3+…+an
用倒序求和法1
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
证明猜想1
证明：∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
,
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 ∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+… +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) ∵1+n=2+n-1=3+n-2=… =n-2+3=n-1+2=n+1
算术法
代数法（倒序求和）
解决疑难问题
定理 ：数列{an}是等差数列，m,n,p,q分别为自然数 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 证明：设等差数列首项为a1，公差为d,则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1 )d =2a1+(m+n-2)d ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d = 2a1+(p+q-2)d ∵ m+n=p+q, ∴ m+n-2=p+q-2 ∴ am+an=ap+aq
由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=… =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) ∴ 2Sn=n(a1+an) ∴ sn=n(a1+an)/2
∴ sn=n(a1+an)/2
由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=… =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) ∴ 2Sn=n(a1+an) ∴ sn=n(a1+an)/2
用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则
Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , 由（1）+（2）得 n个 ∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an) =n (a1+ an)
S=100+99+98+97+·· ·+4+3+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ ·· ·(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050
注：此法称倒序求和（属代数法）
解法1与解法3的比较
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2 ∵an=a1+ +(n-1)d ∵ Sn=n[a1+ an ]/2
例1
如图3-4，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层 放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放 一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放 着多少支铅笔？
解：
由题意可知，这个V形架上共放着120 层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差 数列，即为{an }，其中a1 =1, a120 =120.根 据等差数列前n项和的公式， 得 ,S120=120×(1+120)/2=7260.
算术法
解法1与解法3的比较
解法1：
∵1+100=101， 2+ 99=101， ·· ， · 49+52=101， 50+51=101. ∴1+2+3+4+5+·· ·+100 =50×101 =5050.
解法3：
设：∵S= 1+2+· +99+100 , · ·
S=100+99+·· ·+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ·· ·+(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
∴ sn=n(a1+an)/2
由定理 得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=… =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) ∴ 2Sn=n(a1+a2) ∴ sn=n(a1+an)/2
∴ sn=n(a1+an)/2
解法4：
1+2+3+4+…+100 =3+3+4+…+100 =6+4+…+100 =… =5050
解法2
∵1+99=100 ， 2+98=100 ， 3+97=100 ， … ， … ， … ， 47+53=100 ， 48+52=100 ，49+51=100 ， ∴ 1+2+3+4+5+· +100 · ·
=49×100+150 =5050
解法3
设：∵S= 1+2+3+4+· +97+98+99+100 , · ·
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则
Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , 由（1）+（2）得 n个 ∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)
(1) (2)
用倒序求和法2
等差数列的前n项和
问题1
1+2+3+4+5+·· ·+100=？
高斯
德国著名数学家高斯（Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年），10岁时曾很快求出它的结果！
解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ·· · ， ·· ， · 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+·· ·+100 =50×101 =5050.
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=na1+n(n-1)d/2
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+… +[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d] ∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2 ∴Sn=na1+n(n-1)d/2
算术法
解法3
设：∵S= 1+2+3+4+· +97+98+99+100 , · ·
S=100+99+98+97+·· ·+4+3+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ ·· ·(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100×101 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050
(1) (2)
Sn=n[a1+ an ]/2
等差数列的前n项和公式
Sn=n[a1+ an ]/2