专题7 函数的奇偶性和周期性(解析版)

专题7 函数的奇偶性和周期性专题知识梳理1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．2．奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．(4)若函数f(x)是偶函数，则有__f(|x|)＝f(x)__．(5)奇函数在对称区间上的单调性__相同__，偶函数在对称区间上的单调性__相反__．3．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注1：函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注2：函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．考点探究考向1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ＜0）－x 2＋x （x ＞0）； (5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2． 【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x 2－9≥0，得x ＝±3．所以f (x )的定义域为{－3，3}，此时f (x )＝0．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0．即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x ≥0，1＋x ≠0，得－1<x ≤1．因为f (x )的定义域(－1，1]不关于原点对称．所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由⎩⎨⎧4－x 2≥0，||x ＋3－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0．所以f (x )的定义域为[2,0)(0,2]-，关于原点对称．此时，有f (x )＝4－x 2()x ＋3－3＝4－x2x ，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (x )是奇函数．(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(5)函数f (x )的定义域为R ．当a ＝0时，f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－2|a |＋2．f (a )≠f (－a )，且f (a )＋f (－a )＝2(a 2－|a |＋2)＝2(|a |－12)2＋72≠0，∴f (x )是非奇非偶函数．综上，当a ＝0时，f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数． 题组训练1.下列函数中为偶函数的是________．①y ＝1x②y ＝lg|x | ③y ＝(x －1)2 ④y ＝2x【解析】 ①中的函数是奇函数；②中，函数y ＝lg |x|的定义域为{x|x≠0}且lg |－x|＝lg |x|，∴函数y ＝lg |x |是偶函数； ③和④中的两个函数都是非奇非偶函数．故填写②．2.下面的定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是________． 【解析】根据奇函数和偶函数的定义，易得y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x 为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2．3.（易错题）试判断函数()f x=的奇偶性．1||10x x x+>++>对一切实数x恒成立，∴函数()f x的定义域为R关于原点对称．又()f x===，∴()()f x f x-====-，即()f x是奇函数．考向2 函数奇偶性与单调性的综合应用【例1】（1）若函数为偶函数,则______．（2）已知偶函数在∞单调递减,,若,则x的取值范围是______．【解析】（1）为偶函数,,,,,,,．故答案为1．（2）偶函数在∞单调递减,,不等式等价为,即,,解得,故答案为：.【例2】(1) 设函数f(x)＝a·2x＋a－22x＋1(x∈R)为奇函数，求实数a的值；(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．【解析】(1) 要使f(x)为奇函数，∵ x∈R，∴需f(x)＋f(－x)＝0．∵ f(x)＝a －22x ＋1，∴ f(－x)＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1．由⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2x ＋12x ＋1＝0，得2a －2（2x＋1）2x＋1＝0，∴ a ＝1． (2) 由f(x)的定义域是()－1，1，知⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<4－a 2<1，解得3<a<5． 由f(a －2)－f(4－a 2)<0，得f(a －2)<f(4－a 2)． ∵ 函数f(x)是偶函数，∴ f(|a －2|)<f(|4－a 2|)．由于f(x)在(0，1)上是增函数，∴ |a －2|<|4－a 2|，解得a<－3或a>－1且a≠2． 综上，实数a 的取值范围是3<a<5且a≠2． 题组训练1.设函数 为偶函数,则 ______ ． 【解析】因为函数 , 要函数 为偶函数,有所以 对 成立, 因此 ,解得． 故答案为．2.已知 是奇函数,且 ,若 ,则 ______． 【解析】由题意, 是奇函数,且 , 所以 解得 所以 故答案为： ．3.已知 是定义在R 上的偶函数,且在区间 ∞ 上单调递增,若实数a 满足 ,则a 的取值范围是______．【解析】 是定义在R 上的偶函数,且在区间 ∞ 上单调递增, 在区间 ∞ 上单调递减,则 ,等价为 , 即 , 则,即, 故答案为：4.若函数为奇函数,则的值为______．【解析】为奇函数,设,则,时,,,,,,,故答案为：1．5.设为奇函数,a为常数．求a的值；判断并证明函数在∞时的单调性；若对于区间上的每一个x值,不等式恒成立,求实数m取值范围．【解析】由条件得：,,化简得,因此,,当时,,不符合题意,因此经检验,时,是奇函数．判断函数在∞上为单调减函数；证明如下：设∞,,∞,,,,, 又,,,,又 ,,即 , 函数 在 ∞ 上为单调减函数；不等式为 恒成立, 在 上单调递减, 在 上单调递增, 在 上单调递减, 当 时取得最小值为 , ．考向3 函数的奇偶性与周期性的综合应用【例1】定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f(x)＝3x9x ＋1．求f(x)在[－2，2]上的解析式．【解析】当－2＜x ＜0时，0＜－x ＜2，f(－x)＝3－x 9－x ＋1＝3x9x ＋1，又f(x)为奇函数，∴ f(x)＝－f(－x)＝－3x1＋9x ．当x ＝0时，由f(－0)＝－f(0)⇒f(0)＝0，∵ f(x)有最小正周期4，∴ f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)⇒f(－2)＝f(2)＝0．综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x9x＋1，0＜x ＜2，0，x ∈{－2，0，2}，－3x 9x＋1，－2＜x ＜0.【例2】（2019·江苏卷）设 ， 是定义在R 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且 是奇函数 当 时， ，其中 若在区间 上，关于x 的方程 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______． 【解析】作出函数 与 的图象如图，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于x的方程有8个不同的实数根，则，与，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，两点，连线的斜率，．即k的取值范围为故答案为：题组训练1.若是周期为2的奇函数,当时,,则______．【解析】是周期为2的奇函数,可得,,则,由当时,,可得,则．故答案为：．2.奇函数的周期为4,且,,则的值为________．【解析】函数 是奇函数,则 , 由 , 知 , , 又 的周期为4,所以 ． 故答案为 ．3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．【解析】∵f (x )为奇函数并且f (x －4)＝－f (x )．∴f (x －4)＝－f (4－x )＝－f (x )，即f (4－x )＝f (x )，且f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数．∵f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (x )在[－2，2]上是增函数， 在[2，6]上为减函数，据此可画出y ＝f (x )的图象，其图象也关于x ＝－6对称，∴x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8．4.（拔高题）设函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：① f (x 1-x 2)=1221()()1()()f x f x f x f x +- (x 1≠x 2)；② 存在正常数a ，使得f (a )=1．求证：（1） f （x ）是奇函数； （2） f （x ）是周期为4a 的周期函数． 【解析】（1）令x =x 1－x 2，则f （－x ）=f （x 2－x 1）=2112()()1()()f x f x f x f x +=-2121()()1()()f x f x f x f x +=-=－f （x 1－x 2）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数．（2） ∵f （x +a ）=f ［x －（－a ）］=()()1()()f x f a f a f x -+=--()11()f x f x -+=--1-2()1f x +，∴f （x +2a ）=1－2()1f x a =++1－2211()1f x =-++1－()1()f x f x +==－1()f x ，∴f（x+4a）=－1()(2)f xf x a=+．∴f（x）是周期为4a的周期函数．。