【原创】19.3用函数观点看方程(组)与不等式
19.3.2一次函数与方程、不等式、方程组〔2〕
（1）当销售量为6吨时，销售收入＝ 6000 元， 销售成本＝ 5000 元， 利润＝ 1000 元。 （2）当销售量为 4吨 时，销售收入等于销售成本。 销售收入和销售成本都是4000元 y/元 l1 销售收入
6000 5000
l2 销售成本
4000
3000
2000
1000
O
ห้องสมุดไป่ตู้
1
2
3
4
5
6
x/吨
（3）当销售量 大于4吨 时，该公司赢利(收入大于成本)；
当销售量 小于4吨 时，该公司亏损(收入小于成本)；
你还有什么发现？
y/元
6000 5000 4000 3000 2000 1000
l1 销售收入 l2 销售成本
P
O
1
2
3
4
5
6 6
7
8 x/吨
一次函数
二元一次 方程
直
线
二元一次方程的一般式: ax+by+c=0 (a ≠ 0,b ≠0)
一次函数的解析式: 图像是 直线
转化
a c y x b b
过(0, b ),( 点的直线。
b k ,0)
.
y=kx+b (k ≠0)
2x y 5 图象法 x2 解得： 解方程组： x y 1 y 1
x 2y 3 2x y 6
解:原方程组可转化为两个函数:
3 x y 2 2 y 2x 6
两个函数图象的交点就是原方程组的解.
y
0 1 2 -2
x
如图:两函数图象的交点是(3,0)
所以原方程组的解是
x3 y0
用函数观点看方程(组)与不等式知识点讲解
５万 吨 ，乙地 需水 １ Ｉ１ ３万 吨 ， Ｂ 两水库 各可调 出水 １ Ａ， ４万 吨 ．
任何一个一元一次不等式都可 从 Ａ 水 库 到 甲地 ５ ０千 米 ， 乙地 ３ 到 ０千 米 ； Ｂ 水 库 到 甲 地 ６ 从 ０ 化简成 似 ＋ ＞ 或 似 ＋ ＜ ａ≠ ． 千 米 到 乙地 ４ ｂ ０ ｂ ０ Ｉ ５千米 ． 你设 计 一个 调运 方 案使 水 的调 运 量 请
０
每 个 二 元 一 次 方 程 组 都 对 应
两 个函数 ． 是 也 对应 两 条 直线 ． 于 从 “ ” 角 度 看 ． 方 程 组 相 当 于 数 的 解 考虑 自变 最 为 何 值 时 两 个 函 数 值 相 本地 通 话 费 ０４ ． ０元 ／ 分 ０６ ． ０元 ／ 分
００ ． ｘ＋５ ４ ０元 ， 神州 行月 消费 ． Ｙ＝０６ ｘ元． ． ０
在 同一坐标 系 中画 出这两 个一 次 函数 的图像 ．
解 程 【 ・ ＋０ Ｉ ＝５ 方 ｆ ｏ ｘ． ５ ｙ０． ，得ｆ ２， ４ ｌ０ Ｙ＝ ６０ Ｙ＝ ５ Ｏ．
６
Ｔ ｅｂ ｓ ｙｏ ｅ ｐ ｎ ｔ ｓｔ ｅ ｐ ａｈ ａ ｔ ｏ ｎ ． ｈ ｅ ｔ ｗａ ｆ ｅ ｉｇｆ ｋ ｅ ｅ ｒ ｙ ｕ ｇ ｋ ｉ ｉ ｏ
．
０ ， 常 ） 形 其 恰 就ｊ 万 千米、 ｝ ，ｂ 数 的 式， 解 好 吨． 景， ０为 ｒ ＞
常） 值于小 数的 ：霎矗大或于 欠 ７函
，
自 ；
解 设 调 量 万吨・ 米Ａ 库 往 地 Ｙ 万 千米，水库调往甲地水 解 运 为 ． ， 调 甲 水 ７ 设总调 运量为Ｙ 吨千 水
Ｙ＝（ ．０ ０４ ｘ＋５ ）一０６ ｘ ０ ．０ ．
用函数观点看方程(组)与不等式
【本讲主要内容】用函数观点看方程（组）与不等式1. 一次函数与一元一次方程的关系2. 一次函数与一元一次不等式的关系3. 一次函数与二元一次方程（组）的关系【知识掌握】【知识点精析】一. 一次函数与一元一次方程的关系由于任何一元一次方程都可以转化为ax b+=0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看这相当于已知直线y ax b=+，确定它与x轴交点的横坐标的值．二. 一次函数与一元一次不等式的关系由于任何一元一次不等式都可以转化为ax b+>0或ax b+<0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．从图象上看，解ax b+>0相当于已知直线y ax b=+在x轴上方时，自变量x 相应的取值范围；解ax b+<0相当于已知直线y ax b=+在x轴下方时，自变量x相应的取值范围．三. 一次函数与二元一次方程（组）的关系每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．【解题方法指导】例1. （2006年重庆市中考题）（课改实验区考生做）如图，已知函数y ax b y kx=+=和的图像交于点P，则根据图像可得，关于x y、的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是______．∴l2的函数表达式为y x=-10075（2）乙车先到达B地．3001007515 4=-∴=x x，设l1的函数表达式是y k x=1O图像过点()154300，∴k 1=80．即y x =80当y =400时，400805=∴=x x ， ∴-=519414（小时）键性词语；三要有一定的生产、生活常识，对当前市场经济条件下各种常见的现象有所了解，能抓住它们的本质和规律，恰当地构建出数学模型．【典型例题分析】例1. （2006年云南省课改实验区中考题）如图，直线l l 12与相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．若x y ==23，，则0621342..⨯+⨯=（万元）∴电视台选择15秒广告播放4次、30秒广告播放2次的方式，收益较大． 点评：本题综合应用了二元一次方程与一次函数的知识解决实际问题．例3. （2006年浙江省中考题）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996~2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP y（亿元）与建设用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）∴-=≈x x21460022.（万亩）即年GDP每增加1亿元，需增加建设用地约0.022万亩．例4. （2006年云南省中考题）云南省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展．某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划购买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元．（1）设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元），求y与x之间的函数表达式；（2）若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？解：（1）设购买大型客车x辆，则购买中型客车()10-x辆．由题意得：y x x=+-251510()，即y x=+10150（2）1015018010150200xx+≥+≤⎧⎨，解得xx≥≤⎧⎨35，∴≤≤35x（山西省课改实验区）如图，是某函数的图象，则下列结论中正确的是（的取值是-325，B. 当y=-3时，x的近似值是0，2C. 当x=-32时，函数值y最大D. 当x>-3时，y随x的增大而增大2. （太原市）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l l12、如图所示，他解的这个方程组是（）2xy+-=,2（黄冈市课改实验区）如图，在光明中学学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的（秒）之间的函数关系图像分别为折线OABC正确的是（）A. 乙比甲先到达终点B. 乙测试的速度随时间增加而增大C. 比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快二. 填空题：某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服用后，（1）服药后________小时，血液中含药量最高，达每毫升______毫克，接着逐步衰减； （2）服药5小时，血液中含药量_______毫克；（3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是___________； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是___________；（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是_________小时．三. （昆明市课改实验区）如图，直线l 1与l 2相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．四. （河北省课改实验区）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了__________h．开挖6h时甲队比乙队多挖了______m；（2）请你求出：①甲队在06x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤②乙队在26x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？五. （2004年黑龙江省中考题）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．（l）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．【综合测试答案】一. 选择题：1. B2. D3. C4. C二. 填空题：（1）2，6； （2）3 （3）y x =3（4）y x =-+8 （5）4三. 解：设点P 坐标为（-1，y ），代入y x =+23，得y =∴1,点P （-1，1）设直线l 2的函数表达式为y kx b =+，把P （-1，1）、A （0，-1）分别代入y kx b =+，得11=-+-=⎧⎨⎩k b b∴=-=-⎧⎨⎩k b 21，∴直线l 2的函数表达式为y x =--21．四. 解：（1）2，10；（2分）（2）①设甲队在06≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x =1， 由图可知，函数图像过点（6，60）， ∴=6601k ，解得k y x 11010=∴=,（4分）②设乙队在26≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x b =+2， 由图可知，函数图像过点（2，30），（6，50）， ∴+=+=⎧⎨⎩23065022k b k b ,解得k b 2520==⎧⎨⎩,∴=+y x 520 （6分）（3）由题意，得10520x x =+，解得x h =4()． ∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．五. 解：（1）设取奶站建在距A 楼x 米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y 米， ①当040≤≤x 时，y x x x x =+-+-=-+207040601001108800()()∴当x =40时，y 的最小值为4400②当40100<≤x 时，y x x x x =+-+-=+20704060100303200()()，此时，y 的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处 （2）设取奶站建在距A 楼x 米处，①当040≤≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =-<32030（舍去）②当40100<≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =80 因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80米处 （3）设A 楼取奶人数增加a 人，第11页 版权所有 不得复制 11①当040≤≤x 时，()()()20601007040++-=-a x x x ， 解得x a =-+320030（舍去），②当40100<≤x 时， ()()()20601007040++-=-a x x x 解得x a =-∴8800110,当a 增大时，x 增大，∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式数学是研究现实世界的量的关系的学科——恩格斯。
由于数学概念、理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程(方程组)及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系(一)从关系式上看。
一次函数的关系式为:y=ax+b(a≠0),一元一次方程的一般形式为:ax+b=0(a≠0)从形式上可以看出,当把一次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;反之,把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y就可将方程式转化为函数式。
同理,二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),当把二次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;将方程式右边的0换成一个变量y则方程式变为函数式。
(二)从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线,这条直线必与x轴相交,其交点坐标为(-,0),也就是当因变量y=0时其自变量x=-,这个x的值就是方程ax+b=0(a≠0)的解,换句话说,方程ax+b=0(a≠0)的解就是相对应函数的图象直线y=ax+b上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标;二次函数的图象是一条抛物线,这条抛物线与x轴的位置关系有三种情况:当抛物线与x轴有一个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个相等的实数根x1=x2=-,当抛物线与x轴有两个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=,x2=,当抛物线与x轴没有交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
换句话说,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是相对应抛物线上无数个点中的与x轴相交的那一点或两点的横坐标。
二、函数与二元一次方程组的关系当把二元一次方程组中每个方程右边的0改写成变量y,就可将方程组转化为两个一次函数式。
用函数观点看方程(组)与不等式(解答应用)
用函数观点看方程(组)与不等式（解答应用）一、解答题1.作出函数y=-x+5的图象，观察图象回答下列问题：(1)x___________时，-x+5≤0；(2)x___________时，-x+5≥0；(3)x___________时，-x+5<2；(4)x___________时，-x+5>3.2.若正比例函数2m -21)x -(2m y =中，y 随x 的增大而减小，求这个正比例函数.3.已知3x+y=2，当y 取何值时，-1<x ≤2？4.【2008·浙江台州】在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：(1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：①___________；②___________；③___________；④___________；(2)如果点C 的坐标为(1，3)，那么不等式11b x k b kx +≥+的解集是_________ ．5.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2. (1)求y 与x 的函数关系式；(2)求当x=-1时的函数值；(3)如果y 的取值范围是0≤y ≤5，求x 的取值范围.6.已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4)求：(1)m 为何值时，y 随x 的增大而减小；(2)m 、n 分别为何值时，函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下方？(3)m 、n 分别为何值时，函数图象经过原点？7.一次函数y=-3x+12与x 轴的交点坐标是多少，当函数值大于0时，x 的取值范围是多少，当函数值小于0时，x 的取值范围是多少？8.【2007·山东日照】某水产品市场管理部门规划建造面积为24002m 的集贸大棚，大棚内设A 种类型和B 种类型的店面共80间，每间A 种类型的店面的平均面积为282m ，月租费为400元；每间B 种类型的店面的平均面积为202m ，月租费为360元.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%.(1)试确定A 种类型店面的数量；(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，A 种类型店面的出租率为75%，B 种类型店面的出租率为90%.为使店面的月租费最高，应建造A 种类型的店面多少间？9.用作图象的方法解方程组⎩⎨⎧==-12y -x 1y -x .10.作出函数y=-4x+2的图象，并回答下列问题：(1)x 取什么值时，y 大于-2？(2)x 取什么值时，y 小于-2？(3)x 取什么值时，y 等于0？11.已知2-2x y x 5y 21+=+=，.当x 取何值时，21y y ≥？12.作出函数12x 512-y +=的图象，观察图象并回答下列问题： (1)x 取何值时，y>0？(2)x 取何值时，y=0？(3)x 取何值时，y<0？13.利用图象求出二元一次方程2x-y=2的两个整数解.二、应用题14.【2008·四川广安】“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象.(1)根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式(不写出自变量的取值范围)；(2)写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？(3)试求出出租车出发后多长时间赶上客车？15.某辆汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶50km耗油9L.设汽车行驶路程为xkm时，油箱剩余油量为yL.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)汽车行驶多少千米时，油箱剩余油量不足55L？16.某校计划购买若干台微机，现从两家商场了解到同一型号的微机每台报价均为a元，甲商场经理说：“第一台按原价收费，其余每台优惠25%”，乙商场经理说：“每台优惠20%”.(1)分别写出两家商场收费的函数关系式；(2)试讨论该校到哪家商场买微机较优惠.17.如图，L1表示某机床公司一天的销售收入1y与机床销售量x之间的函数关y与机床销售量x之间的函数关系.系，L2表示该公司一天的销售成本2(1)1y关于x的函数关系式是______________，2y关于x的函数关系式是______________；(2)求出一天的销售利润y关于销售量x之间的函数关系式(销售利润=销售收入-销售成本)；(3)要使一天的销售利润不低于3万元，则一天的销售量应是多少？18.【2008·湖南益阳】乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.19.【2008·浙江衢州】1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/千克.经测算，椪柑的销售价格定为2元/千克时，平均每天可售出100千克，销售价格降低，销售量可增加，每降低0.1元/千克，每天可多售出50千克.(1)如果按2元/千克的价格销售，能否在60天内售完这些椪柑？按此价格销售，获得的总毛利润是多少元(总毛利润=销售总收入-库存处理费)？(2)设椪柑销售价格定为x(0<x≤2)元/千克时，平均每天能售出y千克，求y关于x的函数解析式；如果要在2月份售完这些椪柑(2月份按28天计算)，那么销售价格最高可定为多少元/千克(精确到0.1元/千克)？20.文具商场画夹每个定价20元，水彩每盒5元. 为了促销，商场制定了两种办法：一种是买一个画夹送一盒水彩；另一种是画夹和水彩一律按九折付款. 小王需购画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒)，哪种方法对他来说更优惠？21.【2005·云南(课改实验区)】某单位团支部组织青年团员参加登山比赛.比赛奖次所设等级分为：一等奖1人，二等奖4人，三等奖5人.团支部要求一等奖奖品单价比二等奖奖品单价高15元，二等奖奖品单价比三等奖奖品单价高15元.设一等奖奖品的单价为x(元)，团支部购买奖品总金额为y(元).(1)求y与x的函数关系式(即函数表达式)；(2)因为团支部活动经费有限，购买奖品的总金额应限制在：500≤y≤600.在这种情况下，请根据备选奖品表提出购买一、二、三等奖奖品有哪几种方案？然后本着尽可能节约资金的原则，选出最佳方案，并求出这时全部奖品所需总金额是多少？备选奖品及单价如下表(单价：元)备选奖品足球篮球排球羽毛球拍乒乓球拍旱冰鞋运动衫象棋围棋单价(元) 84 79 74 69 64 59 54 49 4422.某移动通讯公司开设两种通讯业务：“全球通”用户先交25元月租费，5元来电显示费，然后每通话1分钟，再付话费0.20元；“乡情卡”不交月租费，而交5元来电显示费，每通话1分钟，付话费0.3元.若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为1y和2y元.(1)写出1y，2y与x之间的函数关系式；(2)一个月内通话多少分钟，两种通讯业务的费用相同；(3)某人估计一个月内通话400分钟，应选择哪种通讯业务合算.23.聊城市委、市政府为进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸收更多的人来观光旅游，决定对古运河城区实施二期开发工程，现需要A ，B 两种花砖共50万块，全部由砖厂完成此项生产任务，该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A 砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产1万块B 砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.(1)利用现有原料，该厂是否能按要求完成任务，若能，按A ，B 两种花砖的生产块数，有哪几种方案？请你设计出来(以万块为1个单位且取整数).(2)试分析你设计的哪种生产方案总造价最低？最低造价是多少？24.【2008·四川南充】某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x ≥3)个乒乓球，已知A ，B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：(1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？(2)当x=12时，请设计最省钱的购买方案.25.某单位急需汽车，但无力购买，单位领导想租一辆. 一国营汽车出租公司的出租条件为每百千米租费100元；一个体出租车司机的条件为每月付800元工资，另外每百千米付10元，问该单位租哪家的汽车合算？26.某服装厂现有甲种布料42m 、乙种布料30m ，现计划用这两种布料生产M 、L 两种型号的服装共40件.已知做一件M 型服装用甲种布料0.8m ，乙种布料1.1m ，可获利45元；做一件L 型服装用甲、乙两种布料分别为1.2m 和0.5m ，可获利30元.设生产M 型服装件数为x ，用这批布料生产这两种型号服装所获利润为y(元).(1)写出y(元)与x(件)的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；(2)该厂在生产这批服装时，当M 型号的服装为多少时，能使该厂所获的利润最大？最大利润为多少？27.王颖和刘丽原有存款分别为80元和180元，从本月开始，王颖每月存款40元，刘丽每月存款20元.如果设两人存款时间为x(月)，王颖的存款额是1y (元)，刘丽的存款额为2y (元).(1)试写出1y 与x 及2y 与x 之间的关系式；(2)到第几个月时，王颖的存款额能超过刘丽的存款额？28.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品.生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元.现将该矿石原料全部用完.设生产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元.(1)写出m 与x 之间的函数关系式；(2)写出y 与x 的函数关系式(不要求写自变量的范围)；(3)若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？29.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元.其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生，为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理一吨废渣需付0.1万元的处理费.问：(1)设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y 与x 之间的函数关系式；(利润=总收入-总支出)(2)若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既达到环保要求又合算？30.一个由父亲、母亲、叔叔和x 个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价43优惠，这两家旅行社的原价均为100元/人. (1)写出两家旅行社的收费总额y(元)与孩子数x(个)的函数关系式；(2)试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？31.某企业想租一辆车，现有甲、乙两家汽车出租公司，甲公司的出租条件是：每千米租车费为1.10元；乙公司的出租条件是：每月付800元的租车费，另外每千米付0.10元油费.该企业租哪家公司的车合算？32.如图表示一骑自行车者和一骑摩托者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)，两地间的距离是80km ，请你根据图象解决下列问题：(1)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)请你分别求出下列时间：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.33.某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元，商店实行两种优惠方案：①买1个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款.若该班需购书包8个，设实际购文具盒x 个(x ≥8)，付款共y 元.(1)分别求出这两种优惠方案中，y 与x 之间的函数关系式；(2)若购文具盒30个，应选哪种优惠方案？付多少元；(3)比较购买同样多的文具盒时，按哪种优惠办法付款更省钱.34.(2006·苏州)司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车这段时间之后还会继续行驶一段距离.我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图所示).已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间有如下关系：2kv tv s +=.其中t 为司机的反应时间(单位：s)，k 为制动系数.某机构与测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s.(1)若志愿者未饮酒，且车速为11m/s ，则该汽车的刹车距离为_______m(精确到0.1m).(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m/s 的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m.假如该志愿者当初是以11m/s 的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到0.1m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m/s 至17m/s 的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40m 至50m 之间.若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”.则你的反应时间应不超过多少秒？(精确到0.01s)35.【2009·山东潍坊】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱，供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本2.4元.(1)若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y (元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y (元)关于x(个)的函数关系式；(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由.36.【2009·内蒙古赤峰】“教师节”快要到了，张爷爷用120元钱，为“光明”幼儿园购买价格分别为8元、6元和5元的图书20册，(1)若设8元的图书购买x 册，6元的图书购买y 册，求y 与x 之间的函数关系式.(2)若每册图书至少要购买2册，求张爷爷有几种购买方案？并写出y 取最大值和y 取最小值时的购买方案.37.某市自来水公司收费标准如下：每户每月用水不超过53m 收费1.5元/3m ，若超过53m ，超过的部分收费2元/3m .小明家某月水费不超过12元，若设小明家该月的用水量为x 3m .(1)x 应满足什么条件？写出其关系式.(2)x 可能取6，8吗？(3)它最多不超过多少立方米？38.【2009·广西南宁】南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y 甲(元)与铺设面积x(2m )的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y 乙(元)与铺设面积x(2m )满足函数关系式：y 乙=kx ．(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y 甲(元)与铺设面积x(2m )的函数关系式；(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为16002m ，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？39.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别是40和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.(1)设从乙仓库调往A县的农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；(2)若要求总运费不超过900元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？40.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案.甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当购买量在什么范围内时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由.41.通过电话拨号上网的费用由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过拨号上网的费用为电话费0.18元/3分钟，上网费为7.2元/时，后根据信息产业部调整上网资费的要求，自2001年起上网费用调整为电话费0.22元/3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元/时计算，超过60小时部分，按8元/时计算.试根据以上信息提出你的问题，并做出解答.42.(2003·大连)某水产养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50kg，或将当日所捕捞的水产品40kg进行精加工.已知每千克水产品直接出售可获得利润6元，精加工后再出售，可获利润18元.设每天安排x名工人进行水产品精加工.(1)每天做水产品精加工所得利润y(元)与x的函数关系式；(2)如果每天精加工的水产品和未来得及精加工的水产品全部出售，那么如何安排生产可使一天所获利润最大？最大利润是多少？43.A、B两个商场平时以同样价格出售相同的商品，在春节期间让利酬宾，A商场所有商品8折出售，在B商场消费金额超过200元后，可在这家商场7折购物，试问如何选择商场来购物更经济？44.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元；B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元，完成下列各题.(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系式；(2)若每月通话时间为300分钟，你选择哪类收费方式？(3)每月通话时间多长时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？(4)你选择哪类收费标准？45.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若设一般车停放的辆数为x，总保管费的收入为y元，试写出y与x的关系式；(2)若估计前来停放的3500辆自行车，变速车的辆数不少于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.设定间隔行数：46.(2003·四川)东风商场文具部的某种毛笔每支零售价为25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了两种优惠办法，甲：买一支毛笔就赠一本书法练习本；乙：按购买金额九折付款.某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x本(x≥10).(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的函数关系式.(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习60本设计一种最省钱的购买方案.47.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.(1)分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.(2)什么情况下到甲商场购买更优惠？(3)什么情况下到乙商场购买更优惠？(4)什么情况下两家商场的收费相同？48.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少?并说明理由．49.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出每份材料收费30元，不收设计费.(1)什么情况下选择甲公司比较合算？(2)什么情况下选择乙公司比较合算？(3)什么情况下两公司的收费相同？50.一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1.0元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的价格退回报社，在一个月内(以30天计算)，有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x ，每月所得利润为y.从节约资源的角度出发，在保证利润的前提下，问：(1)写出y 与x 之间的函数关系，并指出自变量x 的取值范围；(2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？(3)报亭每天应该从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润不少于560元？51.【2009·山东泰安】某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.(1)求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？(2)若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？52.折线ABC 是某人乘出租汽车所付的费用y(元)与乘车的里程数x(km)之间的函数关系的图象，如图.(1)观察图象，乘车3km 和6km 各需付乘车费用多少元？(2)当x ≥3时，求乘车费用y(元)与乘车的里程数x(km)之间的函数关系式；(3)某乘客所付车费在14～18元之间，求他乘车路程的范围.53.我市某中学要印刷本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元，按六折优惠.且甲乙两厂都规定：一次印刷数量至少500份.(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x 的取值范围；(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印刷2000份录取通知书，那么应选择哪一个厂？需要多少费用？54.某企业为解决部分职工(人数多于100)午餐，联系了两家快餐公司.两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对职工优惠：甲公司表示每份按报价的90%收费，乙公司表示购买100份以上部分按报价的80%收费.问应选择哪家公司较好.55.声音在空气中的传播速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)的关系是：331x 53y +=.求音速超过340m/s 时的气温.56.下图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)，两地间的距离是80km.请你根据图象回答或解决下面的问题：(1)谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数表达式；(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式.①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.57.某座水库的最大库容量是26.2万立方米，库区面积为100平方公里，其中林地占60%，经测定，每次降雨，林地有10%的降水流入水库，非林地有85%的降水进入水库.预测今后一段时间内库区连续降雨，且单位面积降水量相同，设降水总量为Q万立方米，进入水库的水量为y万立方米.(1)用含Q的代数式分别表示在降雨期间林地、非林地进入水库的水量.(2)预计今后x天内降水总量Q(万立方米)与天数x的函数关系式为Q=3+2x，写出y关于x的函数关系式.(3)若水库原有水量20万立方米，在降雨的第2天就开闸泄洪，每天泄洪量为0.2万立方米，问连续降雨几天后，该水库会发生险情(水库里水量超过最大库容量就有危险).58.为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过120度时，电价为a元/度；超过120度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度.已知某用户五月份用电115度，交电费是69元，六月份用电140度，交电费是94元.(1)求a、b的值；(2)设该用户每月用电量为x(度)，应付电费为y(元).①分别求0≤x≤120和x>120时，y与x之间的函数关系式；②若该用户计划七月份所付电费不超过83元，问该用户七月份最多可用电多少度？59.小刚有60枚1角和5角的硬币. 这些硬币的总值小于20元. 那他最少拥有多少枚1角硬币呢？60.某企业生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：。
新人教版八年级数学用函数观点看方程(组)与不等式1
用函数观点看方程（组）与不等式基本概念：1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。
从图像上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值。
2、由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0（ax＋b＝0（a，b 为常量，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作，当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值X围。
典型例题：问题1、（1）解方程2x＋20＝0（2）当自变量x为何值时函数y＝2x＋20的值为0？2、（1）解不等式5x＋6>3x＋10（2）当自变量x为何值时，函数y＝2x－4的值大于（小于）0？例1：解决书本（P39页）例1。
例2：设一水池现蓄水100m3，一出水管开放时，每小时放水5 m3，（1）当放水时间不超过20小时写出水池蓄水量V（m3）与放水时间t（时）之间的关系式。
（2）当t＝5时，V的值是多少？（3）若水池中的蓄水量为30 m3，问已经放水多少小时？例3：解决书本例4：已知两个一次函数y1＝－2x＋1和y2＝x－2，试用两种不同的方法比较它们同一个自变量对应的函数值的大小？延伸拓展，巩固内化1、某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产1台这种新家电，后期还需投资0.3万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元。
（1）分别求总投资额y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式。
（2）当新家电的总产量为900台时，该公司的盈亏情况如何？（3）请你利用第（1）题中的两个函数关系式，分析该公司的盈亏情况？2、某校办厂生产一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时出售这批产品，可获利30000元，然后将该批产品的成本（生产该批产品支出的总费用）和已获利的30000元进行再投资，到这学期结束时再投资可获利4.8％；方案二：在这学期结束时售出该批产品，可获利35940元，但要付成本的0.2％作保管费。
函数观点看方程与不等式
（1）在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了多少吨成 品？甲、乙两条生产线每天分别生产多少吨成品？
（2）第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同？
（3）分别求出图中两条直线所对应的函数关系式．
（4）分别指出第15天和第25天 y/吨
结束时，甲、乙两条生产线哪 1200
条生产线的总产量高？
1000 800
y＝0.1x
x=400
y=0.05x+20 y=40
交点（400，40）
当0<x<400时，选A省钱 当x=400时，选A、B一样 当x>400时，选B省钱
解2：设上网时间为x分，方式A与方式B两种计费的差 额为y元，则y= -0.05x+20
-0.05x+20=0, 交点（400,0）
当0<x<400时,y>0,选方式A省钱 当x=400时，y=0,选A、B一样 当x>400时，y<0选B省钱
600
y甲=20k+200 y乙=30x
400
200
0
乙 甲
10
20
x/天 30 40
3．如图，lA、 lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶
的路程S与时间t的关系． （1）B出发时与A相距 __10___千米． （2）走了一段路后，B自行车发生故障进行修理，所用的
时间是__1___小时． （3）B出发后__3___小时与A相遇． （4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度_1___
例2：解不等式 5x+4<2x+10
例3：一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式： 方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除 收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间 计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？
用函数观点看方程(组)与不等式
， .
x=－3
2、设m，n为常数且m≠0， 直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是 x=－2
.
3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交y轴于同一点； ③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与 4x－2=0的解相同； ⑤当x=1时，y1=y2=1. 其中正确的是 ③ ④ （填序号）
问题２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？
思考：问题2能否用函数图象来说明？
1、我们先观察函数y=2x-4的图象，看能否解决问 题2. y 可以看出：当x>2时，直线 y=2x-4• 的点全在x轴上方， 上 即这时y=2x-4>0．由此可 x o 2 知，通过函数图象也可求 得不等式的解为x>2 -4
14.3用函数观点看方程(组)与不等式
１．解不等式5x+6>3x+10 解：不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个 不等式得x>2 思考：是否所有不等式都可以转化为ax+b>0的形 式呢？ 是 ２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？ 解：解这个问题就是要解不等式2x-4>0，得出x>2 时函数y=2x-4的值大于0 思考：这两个问题是否是同一个问题？ 是
4 解方程 8x-3=2
8x-5=0
2.根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程的解？ 并直接写出相应方程的解？
①
②
③
④
例 1 一个物体现在的速度是5米/秒， 其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它 的速度为17米/秒？
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
用函数观点看方程(组)与不等式
课程标准要求1. 初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的内在联系，三者间可互相转化、互相渗透。
2. 通过作函数图象、观察函数图象进行知识间的综合，体会数形结合思想，综合利用函数、方程与不等式的相关知识解决实际问题。
教材知能全解知识点一 一次函数与一元一次方程的关系（重点）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程(0)y kx b k =+≠的解。
在求直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标时，可令y=0，得到一元一次方程0kx b +=，解方程得b x k =-，则b k-就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标。
对于一次函数(0)y kx b k =+≠，在已知x 求y 值或已知y 值求x 值时，也都是把问题转化成关于y 或关于x 的一元一次方程来求解的。
知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系（重点）由于任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<（a 、b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
例如一次函数21y x =+，x 取何值时，函数值大于零？就是求不等式210x +>的解集，解不等式得12x >-，也就是12x >-时，函数21y x =+的值大于0。
方法：参照图象来理解一次函数与一元一次不等式的关系会更直观。
知识点三 一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系（重点）一次函数的解析式(0)y kx b k =+≠本身就是一个二元一次方程，直线(0)y kx b k =+≠上有无数个点，每个点的横、纵坐标都满足二元一次方程(0)y kx b k =+≠，因此二元一次方程的解也就有无数个。
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线，从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值。
用函数观点看方程(组)与不等式
用函数观点看方程（组）与不等式一、知识归纳1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值。
2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。
3、规律总结一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0及一元一次不等式的关系：函数y=kx ＋b的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x 轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方的点所对应的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集。
4、一次函数与一次方程（组）（1）以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同。
（2）二元一次方程组的解可以看成是两个一次函数的图象的交点。
5、一次函数与方程（组）的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。
二、典型例题例1、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.57元计费；每月用电超过100千瓦时，前100千瓦时仍按原标准收费，超过部分按每千瓦时0.50元计费。
（1）设月用x千瓦时电时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y (元)关于x (千瓦时)的函数关系式；（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：问：小王家第一季度用电多少千瓦时？分析：（1）当x≤100时，费用为0.57x元，当x>100时，前100千瓦时应交电费100×0.57=57(元)，剩下的(x－100)千瓦时应交电费0.50 (x－100)元。
用函数观点看方程(组)与不等式
年级初二学科数学编稿老师王玉起课程标题用函数观点看方程（组）与不等式一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破一次函数与许多知识有着密切的联系，特别是某些代数内容，如：一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组，它们的表达式的结构特征与一次函数的解析式有很大的相似性.因此它们之间的某些内容可以互相验证、互相解释、互相转化.在中考试题中，会以填空题或选择题的形式对它们之间的一些相互关系进行考查.其在中考试题中约占4分左右。
二、重难点提示重点掌握以下几方面的联系：①一次函数的图象与x轴的交点的横坐标及相应的一元一次方程的解②一次函数的图象与x轴交于一点，图象上交点两侧的部分对应的x的取值范围与相应的一元一次不等式的解集③两个一次函数的图象的交点的坐标与相应的方程组的解上述相互关系是本讲研究的重点内容。
一、知识脉络图二、知识点拨万事万物都处于普遍联系之中，数学的各知识间也是如此。
运用联系的观点来认识一次函数、方程（组）和不等式，对于提高同学们对这些知识的认知水平和解题能力是大有裨益的。
1. 一次函数和一元一次方程的联系任何一个一元一次方程都可以化简成ax ＋b ＝0（a≠0，a ，b 为常数）的形式，其解恰好就是一次函数y ＝ax ＋b （a≠0，a ，b 为常数）的函数值为0时，自变量x 的取值，反映在图象上，就是直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点的横坐标。
2. 一次函数和一元一次不等式的联系任何一个一元一次不等式都可以化简成ax ＋b>0（或 ax ＋b<0）（a≠0，a ，b 为常数） 的形式， 其解恰好就是一次函数y ＝ax ＋b （a≠0，a ，b 为常数）的函数值大于（或小于0）时，自变量x 的取值范围，反映在图象上，就是直线y ＝ax ＋b 在x 轴上方的部分（或x 轴下方的部分）对应的自变量x 的取值范围。
3. 一次函数和二元一次方程组的联系任何一个二元一次方程都可以看作一次函数，反过来，任何一个一次函数解析式都是二元一次方程，从而一次函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解；进一步说，任何一个二元一次方程组都对应两个一次函数，亦即对应两条直线。
用函数的观点看方程(组)与不等式
用函数的观点看方程（组）与不等式1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax+•b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标。
•直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 例 1、已知函数12,5421+=-=x y x y ，请回答下列问题： （1）求当x 取什么值时，函数1y 的值等于0? （2）当x 取什么值时，函数2y 的值恒小于0？ （3）当x 取何值时函数2y 的值不小于1y 的值。
例2、在同一坐标系下，函数45102+=+=x y x y 与的图象如图所示：请根据图象回答：（1）方程组⎩⎨⎧-=--=-45102y x y x 的解为＿＿＿＿＿。
（2）不等式0102<+x 的解集为＿＿＿＿＿。
（3）方程045=+x 的解为＿＿＿＿＿。
（4）不等式45102+<+x x 的解集为＿＿＿＿＿。
2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示． 3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相yxy=5x+4y=2x+10-4514-502等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．例1、 如图，表示甲骑电动车与乙驾驶汽车匀速行驶120km 的过程，行驶的路程y 与经过的时间x 之间的函数图象，请根据图象解答下列问题：（1）分别写出甲乙行驶的路程y （千米）与x （小时）之间的函数关系； （2）乙出发几小时他们相遇？（3）何时甲在乙的前面，何时乙在甲的前面？4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．14.3练习题一、填空1、若32k -有意义，则函数1y kx =-的图象不经过第 象限。
函数观点看方程(组)与不等式
选择题1、（2008•海南）如图，直线l1和l2的交点坐标为（）A、（4，﹣2）B、（2，﹣4）C、（﹣4，2）D、（3，﹣1）考点：两条直线相交或平行问题。
专题：计算题。
分析：求两条直线的交点，要先根据待定系数法确定两条直线的函数式，从而得出．解答：解：由图象可知l1过（0，2）和（2，0）两点．l2过原点和（﹣2，1）．根据待定系数法可得出l1的解析式应该是：y=﹣x+2，l2的解析式应该是：y=﹣错误！未找到引用源。
x，两直线的交点满足方程组错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，即交点的坐标是（4，﹣2）．故选A．点评：本题可用待定系数法来确定两条直线的解析式，再联立求得交点的坐标．2、（2007•陕西）如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=﹣x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（）A、y=﹣x+2B、y=x+2C、y=x﹣2D、y=﹣x﹣2考点：两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式。
专题：数形结合。
分析：首先设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），根据图象确定A和B的坐标，代入求出k 和b的值即可．解答：解：设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=﹣x的图象交于点B，可得错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，该一次函数的表达式为y=x+2．故选B．点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数．3、（2007•金华）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（）A、0B、1C、2D、3考点：两条直线相交或平行问题。
专题：数形结合。
分析：根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．解答：解：∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，∴k＜0；∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，∴a＜0；当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，∴y1＞y2．故选B．点评：本题的难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．4、（2006•自贡）无论实数m取什么值，直线y=x+错误！未找到引用源。
怎样教“用函数的观点看方程(组)与不等式”？-推荐下载
怎样教“用函数的观点看方程（组）与不等式”？湖南省长沙市岳麓区教研室 向利平湖南师大附中博才实验中学 曾 辉人教版教材初中教材用三个课时的篇幅安排了“用函数的观点看方程（组）与不等式”的内容。
该教学内容的安排，有利于使学生进一步体会函数的价值，整体上理解方程、不等式与函数的联系，构建统一的知识体系。
但由于一些老师都没能很好地领会教材安排这一教学内容的意图，对本教学内容的教育价值的理解不够，在该内容的教学时，把目标仅定位在“估计方程、不等式解”的结果上，对学习“用函数的观点看方程（组）与不等式”必要性渗透不够，对估计解的过程及过程中隐含的数学思想和方法挖掘、提炼不够。
实际操作中往往是蜻蜒点水，草草收场，给习题课让路。
本文从“教学内容分析”、“教学难点分析”两个方面试图阐述该教学内容的地位和作用，通过具体的教学案例试图说明该教学内容教什么和怎么教，并以求引发更深层次的思考：在数学教学中，除了知识和技能以外，我们还给学生教些什么？一、教学内容分析看似简单的教学内容实际上蕴含有丰富的教育价值。
“用函数的观点看方程（组）与不等式”这一教学内容从函数的角度对前面学过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种认识不是原来水平上的回顾与复习，而是站在更高的起点上的动态分析，用函数把三个不同的数学模型有机地结合和统一了起来。
揭示三个不同数学模型间的内在联系，有利于使学生从整体上把握数学知识间的关系，体会数学知识、研究方法的发展过程，进而提高学生的数学素养。
用函数的观点看方程（组）与不等式，实质上就是借助函数的图象（几何图形）研究方程（组）的解和不等式的解集，这一教学内容是渗透数形结合思想、使学生体会数学的和谐美等方面很好的教学素材。
“用函数的观点看方程（组）与不等式”是后续学习 “用二次函数的观点看一元二次方程”，高中阶段“函数的零点”、“二分法求方程的近似解”、“一元二次不等式的解法”、“线性规划”、“曲线与方程”等内容的基础。
用函数观点看方程(组)与不等式同步教学讲义
用函数观点看方程（组）与不等式 函数与方程的联系、转化、解析式的判定__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式；2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.1．一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转为0ax b +=（,a b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求__________的值.从图像上看，这相当于已知直线y ax b =+，确定它与轴交点的横坐标的值.2. 一次函数与不等式由于任何一元一次不等式都可以转为0ax b +>或0ax b +<（,a b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_________时，求自变量相应的取值范围. 3．一次函数与二元一次方程组一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线_________的坐标.1、解一次函数与一元一次方程【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度是17米/秒？练 1. 将方程37x y +=全部的解写成坐标(,)x y 的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（ ）上.A. 1733y x =-B. 1733y x =+C. 1733y x =-+D. 1733y x =-- 练 2. （2015春•启东市校级月考）一次函数142y x =-和33y x =-+的图像的交点坐标是_____________.2．解一次函数与一元一次不等式【例2】用画函数图像的方法解不等式54210x x +<+.练3.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点（-4,0），则0y >时，x 的取值范围是______.练4. （2014春•江宁区校级月考）一次函数y kx b =+的图象如下图，则当x ________时，4y <.3．一次函数与二元一次方程组【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？练5. 如下图，1l 反映了某公司的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）A. 小于3吨B. 小于4吨C. 大于3吨D. 大于4吨练6. （2015春•天一学校期中）一次函数111y k x b =+与222y k x b =+的图象如下图，则当x ____时，12y y <；当x _____时，12y y =;当x _______时，12y y >.【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）.A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩C ．38132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩练7．如下图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为_____________.练8．（2015•济宁市联考）如图，一次函数的图象经过A,B 两点，则0kx b +>的解集是（ ）. A. 0x > B. 2x < C. 3x >- D. 32x -<<【例5】已知如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点M ，则点M 的横坐标M x =_______.（1） 若0k >，则当M x x <时，y _____0；当M x x >时，y _____0； （2） 若0k <，则当M x x <时，y _____0；当M x x >时，y _____0；练9．已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点在第四象限内，求k 的取值范围.练10．已知直线y kx b =+经过点5,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与坐标轴围成的三角形的面积为254，求该直线的函数解析式．4. 实际应用题【例6】．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示.（1） 求04x ≤≤时y 随x 变化的函数关系式. （2） 求412x ≤≤时y 随x 变化的函数关系式. （3） 每分钟进水、出水各多少升？练11．如图，某公司专销A 产品，第一批A 产品上市40天内全部售完，该公司对第一批A 产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A 产品的销售利润与上市时间的关系.（1） 试写出第一批A 产品的市场日销售量与上市时间的关系式：（2） 第一批A 产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？. 练12．（2015春•德州市期中）某商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓库储存费用700元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.1．若一次函数4833y x =-中，x 的取值为22x -≤≤，则y 的取值范围是___________；若y 的取值为44y -≤≤，则x 的取值范围是___________．2．一次函数y=kx+3，当x 减少2时，y 的值增加6，则此函数的解析式为___________．.3．已知直线y=kx+3和y=3x+p 交于，则k=_______________,p=____________．4．用作图象的方法解方程组 3236x y x y +=⎧⎨-=⎩5. 已知：如图，y 1＝3x ＋b 和y 2＝ax －3的图象交于点P (－2， －5)， 则3x ＋b ＞ax －3的解集是____.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.已知直线y=kx 与直线y=-平行，则k=_________．2. 直线y=(3k-2)x+b-12与y=kx-3-2b 重合，则k=_____________，b=____________．3．一次函数y=mx+n(m ≠0)的图象过点(-2，3)，且m ：n=2：3，那么这个图象的函数解析式为_______________．4．两个函数y 1=2x+1和y 2=4x-7，当x__________时，y 2＞y 1．112x -5. 用作图象的方法解方程组341x yx y-=⎧⎨=-⎩.6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，3）．一次函数图象上的两点P，Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点在y轴正半轴上，若△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式．。
用函数观点看方程（组）与不等式知识点讲解
用函数观点看方程（组）与不等式知识点讲解
佚名
【期刊名称】《数学学习与研究：八年级学生适用》
【年(卷),期】2010(000)003
【摘要】一一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b=0（k，b为常数，k≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
【总页数】3页(P6-8)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
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用函数观点看方程与不等式
§11．3 用函数观点看方程与不等式课时安排：３课时从容说课用函数观点看方程（组）与不等式是数形结合思想的又一体现，它教给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合思想的重要性．本节课首先从一次函数与一元一次方程开始．思考解方程ax+b=0与求一次函数自变量x为何值时，y=ax+b的值为0的关系？通过实例进而确认两者关系．接着探究一次函数与一元一次不等式关系．进一步得到解不等式ax+b>0与求自变量x•在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0的关系，发现一次函数．•一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，对继续学习数学很重要．进而归纳图象法解二元一次方程组的具体方法，学会用函数思维解决实际问题，并知道了方程（组）、不等式与函数都是基本的数学模型．它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来．解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．本节重点是用函数的观点重新认识方程（组）、不等式，从而能把它们统一起来．解决有关问题时，又能根据具体情况灵活、有机地应用这些方法．所以在数学过程中，应特别注意学生对关系、规律的认识与理解程度．§11．3．1 一次函数与一元一次方程第八课时教学目标（一）教学知识点１．用函数观点认识一元一次方程．２．用函数的方法求解一元一次方程．３．加深理解数形结合思想．（二）能力训练目标１．培养多元思维能力．２．拓宽解题思路．３．加深数形结合思想的认识与应用．（三）情感与价值观要求１．经过活动，会从不同方面认识事物本质的方法．２．培养学生实事求是，一分为二的分析思维习惯．教学重点１．函数观点认识一元一次方程．２．应用函数求解一元一次方程．教学难点用函数观点认识一元一次方程．教学方法自主─合作─探究归纳─总结─应用．教具准备多媒体演示．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们来看下面两个问题：１．解方程2x+20=0２．当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？这两个问题之间有什么联系吗？我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法．Ⅱ．导入新课我们首先来思考上面提出的两个问题．在问题１中，解方程2x+20=0，•得x=•-10．解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．因此这两个问题实际上是一个问题．从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10．[活动一]活动内容设计：由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x 为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？活动设计意图：通过上述活动，逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力，进一步认识函数与一元一次方程的内在联系．教师活动：引导学生从特殊事例中寻求一般规律．进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系．学生活动：在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的．活动过程与结论：规律：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．[师]大家总结得很好！我们来试着看个问题，如何用函数的观点解决它．[例]一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？ [解]方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17解之得：x=6．方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．[活动二]活动内容设计：利用图象求方程6x-3=x+2的解．活动设计意图：通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解．教师活动：引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．学生活动：在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．活动过程与结论：方法一：我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点在哪儿，•坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解．由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1．方法二：我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，•即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，•交点的横坐标即是方程的解．由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1．Ⅲ．随堂练习1．2x-3=x-2． 2．x+3=2x+1．[解]１．把2x-3=x-2整理变形为x-1=0．从函数y=x-1的图象与x•轴交点坐标上即可看出方程的解．由图象上可以看出直线y=x-1与x轴交点为（1，0）．∴x=1．２．我们可以把x+3=2x+1看作函数y=x+3与y=2x+1在自变量x取何值时函数值相等，反映在图象上即直线y=x+3与y=2x+1的交点横坐标．由下图可知交点为（2，5）．∴x=2．[师]从上面活动及练习可以看出，用一次函数图象解方程未必简单．但是，从函数角度看问题，我们可以发现一次函数与一元一次方程之间的联系，这种数与形的转化与结合在以后学习中有很重要的作用．Ⅳ．课时小结本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用．Ⅴ．课后作业习题11．3─1、2、5、8题．Ⅵ．活动与探究某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y元，应付给出租车公司的月费用是y元，y、y分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？答案：每月行驶1500km时，租两车费用相同．此时费用为2000元．板书设计备课资料用图象法解下列方程：（1）3x+5=x-1 （2）7x+9=3x+1答案：。
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【原创】19．3 一次函数与方程（组）或不等式
1、直线y=kx+b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组1
2
x<kx+b<0的解集为_______．
2、如图，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图像并回答下列问题： （1）乙出发时，与甲相距______km ；
（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h ； （3）乙从出发起，经过_____h 与甲相遇；
（4）甲行走的路程s 与时间t 之间的函数关系式_______；
（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h 与甲相遇，
相遇处离乙的出发点____km ．并在图中标出其相遇点．
3、直线y=－x+a 与直线y=x+b 的交点坐标为（m ，8），则a+b=______．
4、已知一次函数y=2x －a 与y=3x －b 的图像相交于x 轴原点外一点，则
a
a b
=_____． 5、已知关于x 的一次函数y=mx+2m －7在－1≤x≤5上的函数值总是正数，则m 的取值范围
是_______．
6、如图，已知函数y=x+b 和y=ax+3的图像交点为P ，•则不等式x+b>ax+3的解集为________．
7、函数y=-x+4(-2≤x≤5)的图像与x 轴的交点坐标是 ，函数的最大值是 . 8、若直线y=3x+k 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则k= .
9、一次函数y=kx+b 的图象与直线y=－2x ＋5没有交点，且过点(－1，1)，则此一次函数的解析式为__________.
10、正比例函数y=kx 和一次函数y=2x ＋k 的图象交点在第三象限，则k 的取值范围是_______.
11、函数y 1=x+1与y 2=ax+b （a≠0）的图像如图所示，•这两个函数图
像的交点在y 轴上，那么使y 1，y 2的值都大于零的x 的取值范围是（ ）
A ．x>－1
B ．x<2
C ．1<x<2
D ．－1<x<2
12、如图，一次函数y=kx+b 的图像经过A ，B 两点，则 kx+b>0•的解集是（ ）
A ．x>0
B ．x>2
C ．x>－3
D ．－3<x<2
13、小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L 1，L 2如图所示，他解的这个方程组是（ ）
A ．22
112y x y x =-+⎧⎪
⎨=-⎪⎩ B ．22y x y x =-+⎧⎨
=-⎩ C ．38,132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ D ．22,1
12
y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 14、购某种三年期国债x 元，到期后可得本息和y 元，已知y=kx ，•则这种国债的年利率
为（ ） A ．k B ．
3k C ．k －1 D ．1
3k -
15、一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①
0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
17、若直线221-=x y 与直线a x y +-=4
1
相交于x 轴上，则线
a x y +-=4
1
不经过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 18、若不等式kx+b<0的解集是x>－b
k
且b<k,那么函数y=kx+b 的图象只可能是图11-3-5中的
( )
a
b +
19、如图所示，l 甲，l 乙分另表示甲、乙两．弹簧的长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系的图像，设甲弹簧每挂1kg 的物体，伸长的长度为k 甲cm ，乙弹簧每挂1kg 的物体，伸长的长度为k 乙cm ，则k 甲与k 乙的大小关系为（ ）
A ．k 甲＞k 乙
B ．k 甲=k 乙
C ．k 甲﹤k 乙
D ．不能确定
20、如图，OA ，BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图像可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A ．2．5米
B ．2米
C ．1．5米
D ．l 米
21、在同一坐标系下，函数45102+=+=x y x y 与的图象如图所示：请根据图象回答：
（1）方程组⎩
⎨⎧-=--=-4510
2y x y x 的解为＿＿＿＿＿。
（2）不等式0102<+x 的解集为＿＿＿＿＿。
（3）方程045=+x 的解为＿＿＿＿＿。
（4）不等式45102+<+x x 的解集为＿＿＿＿＿。
22、一次函数y=ax －b 、y=bx －a 的图像相交于一点（3，3），求函数y=（a+b ）x+ab 与x 轴的交点坐标。
23、如图，直线y=
1
2
x+2交x 轴于点Ａ，交y 轴于点Ｂ，点Ｐ（x , y ）是线段AB 上一动点（与Ａ，Ｂ不重合），△PAO 的面积为Ｓ，求Ｓ与x 的函数关系式。
24、已知直线111y b x k +=经过原点和点（－2,－4），直线222b x k y +=经过点（1，5）和点（8,－2），求：
（1） y 1和y 2的函数关系式，并在同一坐标系中画出函数图像； （2） 若两直线交于点M ，求M 的坐标；
（3） 若直线y 2与x 轴交于点N ，试求三角形MON 的面积。
25、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，
设点P 移动的路线为x ，△PAD 的面积为y 。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象。
（2）求当x=4和x=18时的函数值。
（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在长方形的哪条边上。