数学与物理之解题篇
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学知识在高中物理解题中的应用研究【摘要】数、格式要求等。
本文主要研究了数学知识在高中物理解题中的应用。
首先介绍了背景和研究意义，接着探讨了高中物理中数学知识的重要性以及在解题过程中的具体应用。
然后分析了数学知识对解题的影响因素，并通过实际案例分析展示了数学知识在高中物理解题中的作用。
展望了数学知识在未来解题中的发展趋势，强调了其重要性。
结论指出数学知识在高中物理解题中不可或缺，提出了未来研究方向，最终总结了数学知识在高中物理解题中的关键作用。
该研究对于提高学生的物理解题能力和推动数学与物理教育的深度融合具有重要意义。
【关键词】数学知识，高中物理，解题，应用研究，重要性，影响因素，实际案例，发展趋势，未来研究方向1. 引言1.1 背景介绍数、格式等。
以下是关于背景介绍的内容：在高中物理学习中，学生常常会遇到许多涉及数学知识的解题问题。
事实上，物理学和数学学科之间有着密切的联系，数学知识在高中物理解题中起着至关重要的作用。
研究数学知识在高中物理解题中的应用具有重要的理论和实践意义。
本文将从数学知识在高中物理解题中的具体应用、影响因素、实际案例分析以及未来发展趋势等方面进行深入探讨，旨在为教育教学工作者提供一定的理论依据和实践经验，以促进高中物理和数学学科之间的跨学科整合。
1.2 研究意义通过对数学知识在高中物理解题中的具体应用研究，可以发现数学和物理之间的内在联系和相互作用，促进跨学科知识的整合和应用。
这有助于学科之间的融合和交叉，推动教育教学的综合性和发展。
研究数学知识在高中物理解题中的应用，有助于揭示数学知识在物理问题中的实际应用场景和方法，为教学实践提供理论依据和指导。
也有助于促进教师的教学改革和实践创新，提高物理教学的质量和效果，培养学生的综合素质和创新能力。
2. 正文2.1 高中物理中数学知识的重要性在高中物理学习中，数学知识扮演着至关重要的角色。
物理学和数学都是自然科学的两大支柱，在很大程度上互为补充。
高中物理解题中涉及的数学知识
高中物理解题中涉及的数学知识物理和数学是两门密切相关的学科。
在高中物理教学中，解决物理问题需要运用数学工具，因此数学方法成为了解决物理问题的基本要求。
在高中物理中，常用的数学方法包括方程函数、不等式、极限、数形结合、参数、统计和近似、矢量分析、比例、递推归纳等。
下面将对力学和电磁学中常用的数学知识进行归纳。
力学部分包括静力学、运动学、动力学、万有引力、功和能量等。
在解决力学问题时，需要将几何和代数知识相结合，以增加问题的难度，并更注重求极值的方法。
电磁学部分包括电磁平衡、加速、偏转、能量和圆的知识等。
在解决电磁学问题时，需要运用三角函数、正余弦定理、相似三角形的对应比、扇形面积、二次函数求极值、均值不等式、正余弦函数、积化和差、和差积化、半角倍角公式、直线方程、对称性、数学归纳法和数学作图等知识。
在解三角形三角函数的问题中，常用的数学方法包括正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、均值定理等。
此外，还需要掌握均值定理的应用，例如在已知和为定值或积为定值的情况下，求出最大或最小值。
对于圆的问题，需要掌握圆心角和弧度的概念，并掌握弧度制与角度制的换算公式。
在解决扇形问题时，需要掌握扇形的圆心角、弧长、周长和面积的计算方法。
在解决角三角函数的问题时，需要掌握基本关系式和诱导公式。
1、二次函数的零点与图像对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$，其零点的情况有以下三种：① $\Delta>0$，方程有两不等实根，此时二次函数的图像与$x$轴有两个交点；② $\Delta=0$，方程有两相等实根，此时二次函数的图像与$x$轴有一个交点；③ $\Delta<0$，方程无实根，此时二次函数的图像与$x$轴无交点，也就是没有零点。
2、空间几何中的直线斜率和垂直关系一条直线的斜率$k$是其倾斜角$\alpha$（$\alpha\neq90°$）的正切值，即$k=\tan\alpha$。
物理方法在数学解题中的运用
在数学解题中，物理方法通常指将物理知识应用到数学问题中来解决问题。
这种方法可以帮助我们用直观的方式理解问题，并使用物理知识来转化问题，从而得出数学公式。
例如，在统计力学中，我们可以使用物理方法来研究热力学问题，通过对热力学的数学模型进行分析来推导出热力学公式。
在基础物理中，物理方法在数学解题中的运用也很常见，例如使用牛顿第二定律来求解动力学问题，使用电磁学原理来解决电磁学问题。
在工程学中，物理方法也广泛应用。
例如在结构力学中，我们可以使用物理方法来分析建筑物、桥梁等结构的稳定性和承载能力，并对结构进行优化。
在流体力学中，我们可以使用物理方法来分析流体的流动特性，并设计合理的流体管道和器件，满足特定的工程需求。
在热学中，我们可以使用物理方法来分析热交换过程，并设计合理的热交换器来满足特定的工程需求。
总之，物理方法在数学解题中是非常有用的，它可以帮助我们从物理角度理解问题，并使用物理知识来推导出数学公式。
例举数学方法在物理解题中的应用
例举数学方法在物理解题中的应用发布时间：2022-06-17T07:07:05.448Z 来源：《中小学教育》2022年6月4期作者：季红霞[导读]季红霞乌鲁木齐市第一中学初中部中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）6-120-01爱因斯坦说过：“在物理学中，通向更深的基本知识的道路是同精密的数学方法联系着。
”数学是与物理联系最为紧密的学科之一，也是学好物理的最好工具，没有充足的数学知识是无法学好物理的，而且很多物理知识都是经过大量的数学演算得出的。
物理定律主要是物理学家通过反复实验，利用数学思想计算出实验结果而得出的规律，且一般物理定律或者公式都以数学的形式表达出来。
在初中物理教学中，教师要对学生的习题进行深入研究，乌鲁木齐市的模考卷，中考卷有很多压轴题有很大的思维深度，引导学生应用数学方法，进行有效的正迁移，更好的理解物理的知识，对提高物理成绩是大有帮助的便于学生理解。
学生在电学计算中，不好把握的一种题型就是大小关系，取值范围。
利用数学不等式方面的知识对其进行解答就会使问题简单许多。
下面就利用数学其中一个不等式对物理题中取值范围进行联系说明。
乌鲁木齐一模）如图所示，闭合开关S，变阻器的阻值调至R1时，电路的总功率为P1；变阻器的阻值调至R2时，电路的总功率为P2．若P1/P2=5/8，则R1/R2 可能是A．1.8 B．1.5 C．0.8 D．0.5首先清楚一个公式：联系题目列出方程组结合数学公式，对方程组变形，得出则选A（改编）如图所示，闭合开关S，变阻器的阻值调至R1时，电路的总功率为P1；变阻器的阻值调至R2时，电路的总功率为P2．若P1/P2=8/5，则R1/R2 可能是A．1.8 B．1.6 C．0.8 D．0.4联系题目列出方程组结合数学公式，对方程组变形，得出选D（变形应用）（2022.乌鲁木齐一模）如图所示，电源电压不变。
数学知识在物理解题中应用四则
Ｃ． ． ２ 。 Ｏ４ Ａ
Ｄ． ． ５ 。 ０４Ａ
图 １
分析与解 Ｐ置于 口端时 ， Ｌ、 。 串联 ， 灯 Ｒ、 电源电压 Ｕ＝ ０２ Ａ（ Ｉ ｌ ＋Ｒ ） ． ７Ｒ ．７ Ｒ ＋Ｒ ｚ ＝０ ２ （ Ｉ ＋
２） Ｐ置 于 ｂ时 ， 短路 ， Ｌ、 串联 ， ＝ ８Ｖ￣ Ｒ 被 灯 Ｒ Ｕ
当滑 动变 阻器 滑片 Ｐ置 于 ａ端 时 ， 电流表示 数 为
例 １ 如 图 １所示 ， 。 Ｒ ＝
０ ２ Ａ， ． ７ 当滑片 Ｐ置 于 ｂ 时 ， 端 电流 表 的示 数可 能
是（ ）
Ａ。 ． ４ 。 ０３ Ａ Ｂ． ． ８ 。 ０３ Ａ ，
１１， ＝８ ， ０２Ｒ２＝ １ Ｒ为定值 电阻 ， ＝２
范围在 ｏ２ ‘８ Ａ～ ｏ ．７两 ） ２
．
２警 Ａ 间ｎ ７ 车 ） ，： （ 之 ｌ Ｊ
ｚ： （ 卫＞ ｏ ， ｆ＝ ０ ４ ２ ｚ＋ Ｚ ） ）则 ．（ ＋ Ａ
２ Ｉ
。
０４Ａ～ ０３５ 之间， ．２ ．４Ａ 故选 Ｂ。
例 ３ 如 图 ３所 示 ， 电源
设 Ｙ—ｚ ＋三 ， 当ｚ＝ 时 ， ： １ ｚ＝一 即 ｚ＝ 时（
（ Ｘ） ０ ． ０ ６ ． Ｏ ６ ２０ ２ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｙ ｉｓ ａｈｎ
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见Ｉ取 范在．～． ） 间 电 ， 值 围 ０ ０萼 之 ， 流 ２ 的 ２ ２Ａ 即 Ａ （
巧用数学知识妙解物理题
巧用数学知识妙解物理题篇一：巧用数学知识妙解物理题是指在物理学研究中,运用数学知识来解决物理问题的一种有效方法。
数学是一种强大的工具,可以帮助我们理解物理现象、预测未来发展趋势,甚至能够为物理实验提供精确的数据分析。
本文将介绍如何用数学知识解决物理问题,并拓展相关知识点。
一、基本数学知识在解决物理问题时,我们需要掌握一些基本数学知识,例如代数、微积分、三角函数等。
代数知识可以帮助我们解决线性方程组和向量问题,微积分则可以帮助我们解决曲线和极限问题,而三角函数则可以帮助我们解决一些简单的几何和三角学问题。
二、应用数学知识在解决物理问题时,我们还可以运用一些高级数学知识,例如微分方程、概率论和统计学等。
微分方程可以用来描述动力系统的行为,概率论和统计学可以用来解决物理实验中的数据分析和预测问题。
三、数学方法和技巧在解决物理问题时,我们还需要掌握一些数学方法和技巧,例如优化方法、数值方法和模拟方法等。
优化方法可以用来解决优化问题,例如资源分配和工程设计,而数值方法和模拟方法则可以用来预测物理系统的演化和行为。
四、数学与物理学的结合数学与物理学的结合是解决物理问题的关键。
在物理学中,我们需要将物理问题抽象为数学模型,然后运用数学方法和技巧来解决。
例如,在牛顿力学中,我们可以使用微积分和三角函数来解决运动问题,而在量子力学中,我们需要使用概率论和统计学来解决不确定性问题。
数学知识在解决物理问题中发挥着重要的作用。
掌握基本数学知识、应用数学知识、数学方法和技巧以及数学与物理学的结合,可以帮助我们更好地理解和解决物理问题。
篇二：巧用数学知识妙解物理题是指在物理题目中,运用数学知识进行分析和解决的方法。
物理是一门与大自然息息相关的学科,其中充满了各种奇妙的规律和现象,而数学则是这些规律和现象的基础。
因此,巧用数学知识来解物理题,不仅能够加深对物理知识的理解,还能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
在解物理题时,我们可以运用一些基本的数学知识,例如代数、三角函数、微积分等。
数学知识在物理解题中的应用(用高考题来讲解)1
力 学
几何图形法
a b
高考试题剖析 通过做辅助线连接ab 通过做辅助线连接ab 与ac,应用几何图形法, ac,应用几何图形法, 应用几何图形法 根据圆的知识解得
c d
R t1=t2=t3= 2 g
力 学
高考试题剖析
例3.一电场的电场强度随时间变化的图像如 图所示,此电场中有一个带电粒子, 图所示,此电场中有一个带电粒子,在t=0 时刻由静止释放, 时刻由静止释放,若带电粒子只受电场力 作用,则下列判断正确的是( 作用,则下列判断正确的是(D) E/(V/m) A.带电粒子将向一个方向运动 A.带电粒子将向一个方向运动 40 B.1～3s内 B.1～3s内,电场力的功率为零 C.3s末带电粒子的速度最大 C.3s末带电粒子的速度最大 20 4s内 D.2～4s内,电场力的做功等于零
一.关注《考试大纲》对能力 关注《考试大纲》 要求的变化
应用数学处理物理问题的能力是指 应用数学处理物理问题的能力是指 能够根据具体问题列出物理量之间的关 系式,进行推导和求解, 系式,进行推导和求解,并根据结果得 出物理结论;必要时能运用几何图形, 几何图形 出物理结论;必要时能运用几何图形, 函数图像进行表达,求解. 函数图像进行表达,求解. 进行表达
1 -13.61eV
原子 物理
排列组合法
5 4 3 2
高考试题剖析
-0.54eV -0.85eV -1.51eV -3.4eV -13.61eV
1
三.高考试题中常见的数学 思想与方法
1.光学, 1.光学,近代物理学试题中常见的 光学 数学思想与方法. 数学思想与方法. 2.力学高考试题中常见的数学思想 与方法. 与方法.
( M + m)V1′ mu V2= M +m
高中物理数学高中数列10种解题技巧
高中物理数学高中数列10种解题技巧
当涉及到高中物理和数学中的数列问题时，以下是10种解题技巧：
确定数列类型：首先，确定数列是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
这将有助于你选择正确的解题方法。
寻找通项公式：对于等差数列和等比数列，寻找通项公式是解题的关键。
通过观察数列中的规律，尝试找到递推关系式，从而得到通项公式。
求和公式：对于需要求和的数列，使用相应的求和公式可以简化计算过程。
例如，等差数列的求和公式是Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，d表示公差。
利用递推关系求解：对于一些复杂的数列问题，可以利用递推关系式逐步求解。
通过已知的前几项，推导出后续项的值。
利用数列性质：数列有许多性质和特点，例如对称性、周期性等。
利用这些性质可以简化问题，找到解题的突破口。
利用数列图像：将数列表示为图像，有时可以更直观地理解数列的规律。
通过观察图像，可以得到一些有用的信息。
利用数列的性质进行变形：有时，对数列进行一些变形可以使问题更容易解决。
例如，将等差数列转化为等比数列，或者将复杂的数列转化为简单的数列。
利用数列的对称性：如果数列具有对称性，可以利用对称性来简化问题。
例如，利用等差数列的对称性可以减少计算量。
利用数列的周期性：如果数列具有周期性，可以利用周期性来简化问题。
通过观察周期内的规律，可以推断出整个数列的性质。
多角度思考：对于复杂的数列问题，尝试从不同的角度思考，采用不同的解题方法。
有时，换一种思路可能会带来新的启示。
数学知识在物理解题中的应用
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数学知识在物理解题中的应用
李思高
（ 通许 实验 中学 ， 河南 众所周知 目前物理 高考 要考察学 生的五种能力：理解 能 通许 ４ ７ ５ ４ ０ ０ ）
用 数学处理 物理 问题的 能力在 物理高考 中又有 明确 的 要求。 所 以在解物理题时用三角 函数实属正常。 比如 ２ ０ １ １ 年全
，
该题的难点在 于从表达式 中求 出斜率并与数学图形结合 。利用好数 学图形是 解题 的关键 。 另外电磁 感应一章的题 型与 图形结合 的更 多，
几乎成 了每年 高考 必考题型 ， 这里不再一一举例。
ｊ
确定各量关 系 是 解决这 类题 的关键 ．而该类题型又往往是 高考压轴 题． 想考 高分这些基本 功是 必不 可少的 ！
、
略微复杂的数 学计算
以２ ０ １ ０ 年的全 国 课 标卷中的 ２ ４ 题为例短 跑名将 博 尔特在 北京
奥运会上创造 了 １ ０ ０ ｍ和 ２ ０ ０ ｍ短跑项 目的新世 界纪录 ． 他的成绩 分 别是 ９ ． ６ ９ ｓ 和１ ９ ． ３ ０ ｓ 。假定他在 １ ０ ０ ｍ 比赛 时从发 令到起跑 的反应 时 间是 ０ ． １ ５ ｓ ， 起跑后做 匀加速运动 ． 达到 最大速率后做 匀速运 动 ２ ０ ０ ｍ
１Ｕ
， 则Ｓ ｐ ｌ ｐ ￣ ＝ ２ ｒ ｓ ｉ ｎ ３此 １
题 的难点之一就在于三角函数 的应 用。 由一斑可见全豹 ． 三 角函数的
Ｚ
应 用在物理高考 中的计算应用相 当广泛
解。 但有些 学生能列 出式子却算不 出正确 结果 ， 时间不少用却得 不 了
物理解题中的数学方法
物理解题中的数学方法《考试说明》中对学生的能力要求有五个方面，其中第四种能力即为应用数学方法处理物理问题的能力。
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。
可以说每一物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。
下面介绍几种处理中学物理问题，常用的数学方法。
一、图像法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。
【例1】一蚂蚁离开巢沿直线爬行，已知它的速度与蚁巢中心的距离成反比。
当蚂蚁爬到离巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。
试问蚂蚁从A点爬到离巢中心L2=2m的B点时所需要的时间为多少？【解析】此题中蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能用匀速运动公式求解。
由题意蚂蚁的速度与蚁巢中心的距离成反比，可知速度的倒数与蚁巢中心的距离成正比。
我们作出与L的关系图像，这个图象是一条过原点的直线。
由图可知，直线下阴影部分的“面积”在数值上就等于所求的时间。
【小结】本题巧妙地采用了-L图像解答，不仅把速度与距离成反比（图像为曲线）转化为速度的倒数与距离成反比（图像为直线），而且同时用它的“面积”能够表示运动的时间，使原来较为复杂的运动求解变得很容易。
二、几何法利用几何法解物理题时，常用到的是“对称点的性質”、“两点间的直线距离最短”、“全等、相似三角形的性质”等相关知识。
【例2】一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于ox轴的速度v从y 轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径。
（重力忽略不计）【解析】质点在磁场中做半径为R= 的圆周运动。
根据题意，质点在磁场区域中的轨迹是半径等于R的圆上的一段圆弧。
数学知识在物理解题中的运用
数 学 思 维 高 度融 合 的 产物 。因 此 ， 活 运 用 数 学 解题 思 想 解 决 灵 物 理 问 题 的 能力 就 显 得 非 常 重 要 。 解 决 物 理 问题 中常 用 的 数 在
３利 用 判 别式 求物 理 问题 ． ●例 ３ 如 图 １— １ 示 。一 个 阻 值 为 ５ 的 电 灯 与 一 最 ６ 所 ｎ
解析
得
设 经 过 时 间 Ｔ人 和 车相 距 ２ ｍ， 根 据 位 移 关 系 可 ０ 则
６０１２ Ｖｏ ０ ／ａ ＝２ ｍ
将 ａ ｌ ／ 代 人 上 式 并 整 理得 ＝ｍｓ ｚ
２ ｒ ８＝ Ｗ ຫໍສະໝຸດ ００ －Ａ． ６Ｖ一０Ｖ Ｂ． ６Ｖ— ３． —６Ｖ Ｃ． ６Ｖ— ． —３６Ｖ Ｄ． － ２． ６Ｖ－ ４Ｖ
解 得 Ｐ ０ Ｗ ， 消 耗 的 最 大 功 率 为 ０２ ， 时 滑 动 变 阻 ． 故 ２ ． 此 Ｗ
２韦 达 定 理 ： 于 一 般 一 元 二 次 方 程 都 有 ： 根 的 和 等 于 器 连 入 电 路 的 电 阻 为 ５ ． 对 两 Ｑ。
方 程的
一 次 项 系数 除 以二 次 项 系 数 所 得 商 的 相 反数 ： 根 的 两
点评
的研 究 提供 了 简 明精 确 的科 学 通 用 语 言 的 形 式 ， 而 大 大 简 化 方 法求 解 更 为简 便 一 些 ，这 种 简便 不 紧体 现 在 求 解 运 算 上 ， 从 更 和 加 速 了人 们 的思 维 过 程 。 理 学 中 的数 学 方 法 是 物 理思 维 和 体 现 在 解 题 思 路 上 。 物
● 例 ２ 汽 车 以 ｌ ／ 的 加速 度 起 动 ， 同时 车 后 ６ ｍ 远 处 是 ： ） ｍｓ ０ （ ２ ｍ， ０ 且持 续 时 间为 ２ 喊 停 车 ， 能 把 停 车 信 息 传 达 给 司机 ， ｓ 方 问
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学知识在高中物理解题中的应用研究一、数学在物理学中的基础作用物理学是研究物质和能量以及它们之间的相互关系的科学，而数学则是研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学。
在物理学的研究中，数学常被用于描述和分析物理现象，提供定量的计算和分析结果。
在描述物体运动时，常常需要使用数学中的运动学知识，比如速度、加速度、位移等概念；在分析物体受力情况时，需要使用数学中的力学知识，比如牛顿定律等；在研究电磁学时，需要使用数学中的电磁场知识，比如库仑定律、安培定律等。
数学是物理学的基础，没有数学的支撑，物理学无法进行深入的研究和发展。
二、数学在解决高中物理问题中的应用在高中物理学习中，学生们通常会遇到各种各样的问题，需要运用数学知识进行解答和计算。
以下将结合具体例子，介绍数学在解决高中物理问题中的应用情况。
1. 运动学问题中的数学应用在学习运动学时，学生们常常需要使用数学知识进行运动的描述和分析。
当遇到一个物体做匀速直线运动的问题时，可以使用数学中的速度与位移的关系来解决。
又如，当遇到一个物体做加速直线运动的问题时，要使用数学中的加速度与位移、速度的关系进行计算。
还会涉及到使用数学解决运动图像、运动的合成、相对运动等问题。
通过数学知识的应用，能够更好地理解和解决运动学中的问题。
三、数学在物理学习中的重要性从上面的介绍可以看出，数学知识在高中物理解题中的应用非常重要。
数学提供了物理学研究和解决问题的基础工具和方法。
没有数学的支持，物理学就无法进行精确的描述和分析。
数学帮助理解和抽象物理问题，让物理学变得更加准确和严密。
通过数学的应用，可以建立具体的数学模型和方程来描述和解决物理问题。
数学培养了学生的逻辑思维和分析能力，在学习物理学时，也需要运用数学的逻辑和思维方式来解决问题。
在高中物理学习中，数学知识的掌握和应用非常重要。
四、数学在物理学习中的挑战与应对在高中物理学习中，数学知识的应用也会面临一些挑战，比如：数学知识的抽象性、复杂性和数学公式的运用等。
高中物理解题方法和技巧典例
高中物理解题方法和技巧典例
高中物理是一门基础性科目，需要掌握一定的解题方法和技巧。
以下是一些典型的解题方法和技巧。
1. 强化数学基础
物理与数学密不可分，因此要想在物理中获得好成绩，必须要有扎实的数学基础，包括代数、几何、三角函数等知识。
只有将数学知识掌握好，才能更好地理解和应用物理知识。
2. 熟悉公式和定义
高中物理中有很多基本公式和定义，例如牛顿第一定律、功率等，需要牢记并熟练应用。
掌握这些公式和定义，可以为之后的解题提供基础。
3. 关注物理现象
物理学是研究自然现象的科学，在学习物理时，要时刻关注和思考身边发生的物理现象，例如汽车行驶、自然灾害等，这不仅可以增强对物理知识的理解，还可以帮助更好地掌握解题方法。
4. 熟练掌握解题方法
高中物理常见的解题方法有分析图像、列方程、描绘图像等，需要熟练掌握这些方法，并在题目中灵活运用。
5. 善于抓住关键点
解题时要善于抓住题目中的关键点，仔细分析题目中给出的条件和要求，确定解题的步骤和方法。
6. 多练习
物理学习需要不断的练习，只有通过大量的练习才能真正掌握物理知识和解题方法。
可以通过课堂练习、试卷练习等形式进行练习，并及时总结和反思自己的错误和不足，不断提高自己的解题能力。
数学公式应用于物理问题的解题技巧
数学公式应用于物理问题的解题技巧数学和物理是两门紧密关联的学科，其中数学公式在物理问题的解决中起着至关重要的作用。
本文将探讨数学公式在物理问题解决中的应用以及相关的解题技巧。
一、单位转换和量纲分析在物理问题中，常常需要进行不同单位之间的转换。
为了准确地使用数学公式，我们需要保持单位的一致性。
单位转换通常涉及到长度、时间、质量等物理量。
在转换单位时，可以使用科学记数法，例如将米转换为千米时，可以将1千米表示为1 x 10^3米。
此外，进行量纲分析也是解决物理问题的关键步骤，它有助于理解物理公式中各个物理量之间的关系，从而选择适当的公式进行求解。
二、代数化简和变量替换在物理问题中，数学公式常常包含多个变量。
为了简化计算过程，我们可以利用代数化简和变量替换来简化公式。
代数化简包括合并同类项、因式分解和使用恒等式等技巧，可以将复杂的公式转化为简洁的形式，减少计算的复杂度。
另外，在物理问题中，我们常常会遇到复杂的公式，此时可以进行变量替换，将复杂的变量用简单的变量代替，以减少计算的难度。
三、适当使用数值近似和估算在物理问题中，有时候不需要得到完全精确的结果，而只需要一个大致的估计值。
此时，我们可以使用数值近似和估算的方法来求解问题。
数值近似可以将一些复杂的计算简化为近似的形式，减少计算的难度。
估算则可以使用一些合理的假设和近似值，快速得到问题的答案，尤其在时间有限的考试中更为实用。
四、反向推理和归纳法有些物理问题需要通过已知条件来推导未知量，这时候可以利用反向推理的方法来解决。
反向推理是从结论出发，逆向地推导出已知条件，再利用已知条件运用数学公式求解未知量。
此外，归纳法也是一种常用的解题技巧。
通过观察已知条件中的模式和规律，可以归纳出适用于整个问题范围的数学公式和关系，从而简化问题的求解过程。
五、图表分析和插值法在物理问题中，有时候使用图表进行数据分析可以更直观地理解问题。
通过绘制图表、观察趋势和寻找规律，我们可以得到一些有用的信息，并利用数学公式对其进行解析。
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学知识在高中物理解题中的应用研究1. 引言1.1 背景介绍随着高中物理课程的不断深入，学生接触到的物理现象越来越复杂，理论知识也更加抽象和深入，这就需要更多的数学知识来支撑。
比如在力学中，我们需要运用微积分来描述物体的运动规律；在热学中，热力学方程背后也是数学计算的结果；在光学和电磁学中，电磁波的传播和干涉、衍射现象等都需要数学工具来分析和解释；在量子物理中，概率和波函数的运算更是离不开数学。
深入研究数学知识在高中物理解题中的应用是非常有必要的，可以帮助学生更好地掌握物理知识，提高解题能力。
同时也有助于拓展数学知识在其他学科中的应用范围，为进一步的研究奠定基础。
1.2 研究意义数目要求等。
以下是关于【研究意义】的内容：数学知识在高中物理解题中的应用研究具有重要的意义。
物理学作为自然科学中的一门基础学科，研究物质、能量、运动等基本规律，是认识和改造自然的重要手段。
而物理学中的许多问题需要借助数学工具来描述和解决，因此数学知识在物理学中的应用至关重要。
高中物理作为学生接触物理学的起点，对于学生培养科学思维、动手能力和创新能力具有重要意义。
通过研究数学知识在高中物理解题中的应用，可以帮助学生更好地理解物理学中的概念和原理，提升他们的物理学学习兴趣和学习效果。
深入研究数学知识在高中物理解题中的应用，还可以为教学实践提供有益借鉴，促进教学方法和手段的创新，提高教学质量，推动教育教学改革。
研究数学知识在高中物理解题中的应用具有重要的理论和实际意义，值得深入探讨和研究。
1.3 研究方法研究方法是进行任何科学研究的基础和重要部分。
在本研究中，我们将采用以下几种方法来探讨数学知识在高中物理解题中的应用。
我们将通过文献综述的方法，查阅大量已有的相关文献和研究成果，了解数学知识在物理解题中的实际应用情况。
这些文献可以包括学术期刊、书籍、论文等各种形式，通过系统整理和分析这些信息，可以更深入地认识到数学在物理学中的重要作用。
数学方法与物理解题
所有 中学 阶段 的数学 知识 都可 以直接 运用 于物 理 。运用 最频 繁的数 学 知识 有整式运 算 、 方程 、 解 三 角 函数 、 面 几何和立 体 几何 。 平 在实 际习题 教学过 程 中 ， 生对 常规 的数学 方 法 比较熟悉 ， 能 自觉地 运 学 并
物理 学 的研 究 和应 用 ， 要 求 它完 全 用数 学 表 都 示 出来 ， 否则 就失去 了意义 。从形 式 上说 ， 个物 理 一 理论 体系 就 是一个 数学 体 系 ， 高度 的抽 象性 ， 密 的 严 逻辑 性 和 丰 富的辩 证 性 ， 三方 面使 得 数 学不 仅 成 这 为物 理 学 的表 现形 式 ， 而且 成 为人们 认 识 和掌 握物 理学 的主要 工 具 。 以 ， 所 数学 的本 质和 特点 以及 物理 学 的实际 决定 了数 学是 物理 学 的表现形 式 。
维普资讯
１ ６
锦 州 师范 学院学报 （ 自然 科 学 版 ）
第ｚ卷 ３
选 择合适 的物 理 方法 ， 要灵 活地运 用数 学 知识 ， 还 至 于 由数 学 问题推 理 计算 求 出结 果 的过程 ， 加 明显 更 地 说 明它 是一 个 数学 过程 。 可见 ， 是需 要定 量 分析 凡 的物理 习题 ， 数学 运用 是必 不可 少 的 。 ２ ２ 数 学是 描 述物理 问题 的语 言 ． 把 物 理 问题 转 化 为 数学 问 题 ， 是为 物理 问题 就
１ 数 学 方 法在 物理 研 究 中的作 用
１ １ 物 理 学以数 学为 表 述形式 ．
研 究 ， 理学 对 数学 的依 赖性 在 于 数学 的 逻辑 联 系 物
不 是 孤 立 的东 西 ， 是 物 质运 动 在某 一 层 次上 的特 而 性 和规 律 。当人们 研究 、 探讨这些 特性 和规 律 时 ， 就 必 须使 用 数学 工 具才 能认 识 它 和掌 握 它 ， 也只 有 用 相应 的数 学工 具才 能 表述 它 。 １３ 物 理 学理论 的应 用要 借 助于 数学 工具 ． 物 理 学 有着 非 常 广泛 的应用 ， 且 在许 多情 况 并 下 都要 借 助 于数 学 工 具 ， 通 常 的工 程 建 筑到 尖 端 从
解题技巧大揭秘!数学物理化学解题攻略!
解题技巧大揭秘！数学物理化学解题攻略！数学、物理和化学作为科学学科的核心，是学生在学术生涯中常常面对的挑战。
解题是这些学科中最关键的技能之一，对于学生来说是必不可少的。
然而，很多学生在解题过程中感到困惑和无助。
在本文中，我们将揭秘解题的一些关键技巧和攻略，帮助学生提高解题能力，更好地应对数学、物理和化学方面的挑战。
数学解题攻略1. 理解问题解决数学问题的第一步是真正理解问题。
确保你完全理解题目要求和给定条件是非常重要的。
阅读问题时应该仔细分析题目中的关键信息和要求，将其转化为具体的数学方程或表达式。
2. 制定解题计划一旦你理解了问题，就需要制定解题计划。
尽量找出解题的关键步骤，列出需要用到的公式和方法。
确保你按照正确的顺序进行解题，并考虑使用图表或图像来帮助解决问题。
3. 学习数学方法和公式数学解题要求熟练掌握各种数学方法和公式。
在学习过程中，经常复习和强化这些方法和公式，以便能够灵活运用到解题中。
掌握数学公式的推导过程也是十分有帮助的，可以帮助你更好地理解公式的意义和应用范围。
4. 学会建模数学中的很多问题需要建立数学模型，将实际问题转化为数学方程或表达式。
学会建模可以帮助你更好地理解问题，使解题过程更加明确和系统化。
练习建模的同时，还应该理解模型的局限性，并学会选择适当的模型进行解题。
5. 掌握解题技巧数学解题需要掌握一些基本的解题技巧。
例如，学会分析隐藏在问题中的结构和模式，运用逆向思维找到解题思路，善于利用对称性简化计算等等。
这些技巧可以帮助你更快地解决问题，提高解题效率。
6. 长期坚持练习数学解题是一项需要长期坚持和大量练习的技能。
通过反复练习，你可以提高解题速度和准确性，并逐渐形成自己的解题方法和思维模式。
多参加数学竞赛、解题讨论和小组合作，可以获得更多的解题经验和技巧。
物理解题攻略1. 熟悉物理概念和原理物理是一门理论实践相结合的学科，理解物理概念和原理是解决物理问题的基础。
学生需要通过深入学习物理知识，熟悉常见的物理定律和公式，以便能够在解题过程中灵活运用。
高中物理数学物理法解题技巧及经典题型及练习题(1)
高中物理数学物理法解题技巧及经典题型及练习题(1)一、数学物理法1．如图所示，ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面，其中AE⊥BD，DB⊥CB，∠DAE=30°，∠BAE=45°，∠DCB=60°，一束单色细光束从AD面入射，在棱镜中的折射光线如图中ab所示，ab与AD面的夹角α=60°．已知玻璃的折射率n=1.5，求：（结果可用反三角函数表示）（1）这束入射光线的入射角多大？（2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角．【答案】（1）这束入射光线的入射角为48.6°；（2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6°【解析】试题分析：（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，其中r=30°，根据n=，得：sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75故i=arcsin0.75=48.6°（2）光路如图所示：ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则：sinC===0.67sin45°＞0.67，因此光线ab在AB面会发生全反射光线在CD面的入射角r′=r=30°根据n=，光线在CD面的出射光线与法线的夹角：i′="i=arcsin" 0.75=48.6°2．如图所示，在xoy平面内y轴右侧有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外；分成I和II两个区域，I区域的宽度为d，右侧磁场II区域还存在平行于xoy平面的匀强电场，场强大小为E＝22B qdm，电场方向沿y轴正方向。
坐标原点O有一粒子源，在xoy平面向各个方向发射质量为m，电量为q的正电荷，粒子的速率均为v＝qBdm。
进入II区域时，只有速度方向平行于x轴的粒子才能进入，其余被界面吸收。
不计粒子重力和粒子间的相互作用，求：(1)某粒子从O运动到O'的时间；(2)在I区域内有粒子经过区域的面积；(3)粒子在II区域运动，当第一次速度为零时所处的y轴坐标。
高中物理物理解题方法：数学物理法压轴难题专项复习附答案
高中物理物理解题方法：数学物理法压轴难题专项复习附答案一、高中物理解题方法：数学物理法1．两块平行正对的水平金属板AB ，极板长0.2m L =，板间距离0.2m d =，在金属板右端竖直边界MN 的右侧有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度3510T B -=⨯，方向垂直纸面向里。
两极板间电势差U AB 随时间变化规律如右图所示。
现有带正电的粒子流以5010m/s v =的速度沿水平中线OO '连续射入电场中，粒子的比荷810C/kg qm=，重力忽略不计，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场视为匀强电场（两板外无电场）。
求： (1)要使带电粒子射出水平金属板，两金属板间电势差U AB 取值范围；(2)若粒子在距O '点下方0.05m 处射入磁场，从MN 上某点射出磁场，此过程出射点与入射点间的距离y ∆；(3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t 。
【答案】(1)100V 100V AB U -≤≤；(2)0.4m ；(3) 69.4210s -⨯ 【解析】 【分析】 【详解】(1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为m U ，此时粒子在电场中做类平抛运动，加速大小为a ，时间为t 1。
水平方向上01L v t =①竖直方向上21122d at =② 又由于mU qma d=③ 联立①②③得m 100V U =由题意可知，要使带电粒子射出水平金属板，两板间电势差100V 100V AB U -≤≤(2)如图所示从O '点下方0.05m 处射入磁场的粒子速度大小为v ，速度水平分量大小为0v ，竖直分量大小为y v ，速度偏向角为θ。
粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R ，则2mv qvB R=④ 0cos v v θ=⑤2cos y R θ∆=⑥联立④⑤⑥得20.4m mv y qB∆== (3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。
如图所示粒子进入磁场速度大小为v 1，速度水平分量大小为01v ，竖直分量大小为v y 1，速度偏向角为α，则对粒子在电场中011L v t =⑦11022y v d t +=⑧ 联立⑦⑧得101y v v =101tan y v v α=得π4α=粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R'，则211mv qv B R ='⑨ 1mv R qB'=⑩带电粒子在磁场中圆周运动的周期为T12π2πR m T v qB'==⑪在磁场中运动时间2π(π2)2πt T α--=⑫联立⑪⑫得663π10s 9.4210s t --=⨯=⨯2．如图所示，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q (q ＞0)、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′．球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(02πθ<<)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B 的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g )【答案】min 2cos m g B q R θ=cos gRv θθ=【解析】 【分析】 【详解】据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’．P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f ＝qvB ①式中v 为小球运动的速率．洛仑兹力f 的方向指向O’．根据牛顿第二定律cos 0N mg θ-= ②2sin sin v f N mR θθ-= ③由①②③式得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+=④由于v 是实数，必须满足222sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥ ⑤由此得B ≥⑥可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为min B =⑦此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为min sin 2qB R v mθ=⑧由⑦⑧式得v θ=⑨3．如图所示，圆心为O 1、半径4cm R =的圆形边界内有垂直纸面方向的匀强磁场B 1，边界上的P 点有一粒子源，能沿纸面同时向磁场内每个方向均匀发射比荷62.510C/kg qm=⨯、速率5110m/s v =⨯的带负电的粒子，忽略粒子间的相互作用及重力。
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图３
【 解法 四 】运 用导 数 求解 摆球从点 Ｐ 作 简谐运动到最低点 Ｑ， 振动 方程为：
ｘ ＝ Ａ ｃ ｏ ｓ （ Ｉ ） ｔ ＝ Ａ ｃ ｏ ｓ ２ Ⅱｆ ｔ（ ｍ） 。位移 Ｘ对 时间 ｔ 的导数就表 示速
的错 误 解 答 。
图 ２中， △Ｏ Ｐ Ｑ 与 ＡＰ ＭＱ 相 似， 所 以有 ：
：
藏 ， 即 ｒ： ： ； 面
，
… … … ⑦ …………
算 出 的 砸＝ 等 ， 比 ⑥ 式 算 出 的 结 果 等 少 了 一
‘ Ｐ 芈机来自械能守
恒， 有
。
Ⅲ ：ｍ ｇ ｌ （ １ 一 ｃ 。 ｓ ０ ） … … … … ②
础。
【 文章编号 】 ２ ０ ９ ５ ． ３ ０ ８ ９（ ２ ０ １ ５ ） ２ ３ ． ０ １ ９ ０ ． ０ １
过 悬点 Ｏ作 Ｐ Ｑ 弦 的垂 线 Ｏ Ｎ。如 图 ３ 所 示 ，相 似 的 三 角
形 是 ＡＯ ＮＱ 与 ＡＰ ＭＱ ，
数 学是解决物理 问 题 的重要工具，借助数 学方法可使一些
度为 ｇ ＝ １ ０ ｍ／ ｓ ，求 ： 共振 时摆球的最大速度大小是 多少？ 【 解法一】： 三解 函数法 由 图可 知 ，单摆 共 振 时 ，振 幅 Ａ ＝ ８ ｃ ｍ ＝ ０ ． ０ ８ ｍ … … … ① 设摆球质量为 ｍ
由
８
找准确 两个相似 的三 角形。有 不少人会作 出如下
复杂的物理问题显示 出明显 的规律性，能达到打通关卡、长驱
所以有 ： ： ，即 ： 面 ……………………⑥
Ｎ Ｑ Ｍ￣ ２ ２
直入地解决问题 的 目 的。中学物理 《 考试大纲》中对学生应用 数学方法解决物理 问题 的能力作 出了明确的要求 ，要求考生有
“ 应 用 数 学处 理 物 理 问题 ”的 能 力 。
【 Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ 】 ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｎ ｉ ｇ ｎｄ ａ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ 【 中图分类号 】 Ｇ ６ ３ ４ ． ６ 【 文献标识码 】 Ａ
物理要创新 ，不仅 仅靠物理实验 ，还要有数 学做 为理论基
Ｉ Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ 】 ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｔ ｏ ｏ ｌ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ， ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｈ ｉ ｇ ｈ ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ “ ｅ ｘ ａ ｍ ｏ ｕ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ” ｆ ｏ ｒ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ
这 样 就 解 得： ＝ ， 再由 机 械能 守 恒 定 律， ÷ ｍ ＝
可 以算 出 ＝ 、 。
结 果 与④ 式 的 一样 。 【 点评 】 ：利用三 角形相似 进行 求解 ，一定要
下面通过一道 习题的四种求解方法，体现物理与数学两门 自然学科之 间的联 系，让学生感受到解题的 乐趣 【 题 目】 ： 如 图１ 所示 为一单摆 的共振 曲线，已知 重力加速
ｏ ｆ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｍａ ｄ ｅ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ｒ ｅ ｑ ｕ ｉ ｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｓ ，ｃ ａ ｎ ｄ ｉ ｄ ａ ｔ ｅ ｓ ｒｅ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ｉ ｒ ｅ ｄ ｔ ｏ ｈ ａ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｏ“ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｍａ ｈｅ ｔ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｉ ｎ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ”． Ａｒ ｅ ｌ ｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｎ ｉ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ｓ ｏ ｆ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｈｅ ｔ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ，ｆ ｕ ｌ ｌ ｙ ｅ ｍｂ ｏ ｄ ｉ ｅ ｓ ｈｅ ｔ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ ｍａ ｈｅ ｔ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，ｃ ａ ｎ ｃ ｕ ｌ ｔ ｉ ｖ ａ ｔ ｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｔ ｏ ｕ ｓ ｅ ｍａ ｈｅ ｔ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｈｅ ｔ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ， ｌ ｅ ｔ ｓｔ ｈｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｆ ｅ ｅ ｌ ｈｅ ｔ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｈ ｅｆ ｔ ｕ ｎ ．
课程教 育研 究
教学方法
数学 与物理之 解题篇
肖光 宏
（ 梅 州市大埔县虎 山中学 广东 大埔 ５ １ ４ ２ ０ ０ ）
【 摘要 】 数学是 解 决物理 问题的重要工具， 高中 物理《 考试大纲》 中对学生应用数 学方法解决物理问题 的能力作 出了明确 的要求， 要 求考 生有 “ 应用数学处理物理问题 ”的能力。本文列举这道习题 的多种求解方法，充分体现 了物理与数学两 门自然学科之 间 的联 系，也能培养与训 练学生运 用数学解决物理 问题 的能力，让学生感受到解题的乐趣 。 【 关键词 】 数 学 物理 问 题 培养与训练