4.1比例线段(3)
九年级数学(浙教)课件-4.1 比例线段 第3课时 比例中项与黄金分割
5．(4分)如图所示，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计， 这样的扇子外形较美观，则x约为( B ) A．222 B．138 C．139 D．108
6．(4分)“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图， 使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗， 按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置( B ) A．① B．② C．③ D．④
F，连结EF(如图②)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；
(3)如图③，点E是 ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD交DC于点F，显然直线EF是 ABCD的黄
金分割线．请你也画一条 ABCD的黄金分割线，使它不经过 ABCD各边的黄金分割点．
解：(1)直线 CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：∵点 D 是 AB 的黄金分割点，∴AD＝ AB
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝180°－36°＝72°.∵BD 平分∠ABC，∴∠DBC 2
＝∠ABD＝36°，∴∠CDB＝180°－72°－36°＝72°＝∠C，∠A＝∠ABD＝36°，∴BC＝BD
＝AD＝2( 5－1)，∴AD＝2（ 5－1）＝ 5－1，CD＝AC－AD＝4－2（ 5－1）＝ 5－1，∴
AC
4
2 AD AD
2（ 5－1）
2
CD＝AD，故点 D 是线段 AC 的黄金分割点． AD AC
14. (12分)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出边BC的中点E，再折出线 段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出 点B″，使AB″＝AB′，这时点B″就是线段AB的黄金分割点，请你证明这个结论．
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》是全册的第一个单元，主要让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质和应用。
教材通过引入实际问题，让学生探究比例线段的关系，培养学生的动手操作能力和探究能力。
本节课的内容是学生进一步学习几何的基础，对于学生来说，具有很高的实用价值和意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了八年级的数学知识，对于图形的认识和线段的知识有一定的基础。
但是，对于比例线段的定义和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要从基础入手，让学生逐步理解和掌握比例线段的知识。
同时，学生已经具备了一定的探究能力和动手操作能力，可以利用这一点，让学生在实际操作中理解和掌握比例线段的性质。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质。
2.能够运用比例线段解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的动手操作能力和探究能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质。
2.比例线段在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生动手操作，探究比例线段的性质，提高学生的探究能力。
2.实例讲解法：通过引入实际问题，让学生理解比例线段的定义和应用，提高学生的应用能力。
3.小组讨论法：通过小组讨论，让学生互相交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生理解和应用比例线段。
2.准备比例线段的模型或者图片，用于帮助学生形象地理解比例线段。
3.准备黑板和粉笔，用于板书教学内容和重点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的兴趣，引导学生进入学习状态。
例如：在一条直线上，有三点A、B、C，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，请问AB、BC、AC三条线段之间是否存在某种特殊关系？2.呈现（10分钟）教师通过展示比例线段的模型或者图片，让学生直观地理解比例线段的定义。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的定义的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，接着引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习题来巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于比例和线段的概念已经有了一定的了解。
但是，对于比例线段的性质和应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、探究来理解比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的含义和性质。
2.教学难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。
问题驱动法能够激发学生的思考和探究欲望，小组合作法则能够培养学生的团队合作意识。
此外，我还将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握比例线段的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.探究：让学生通过小组合作的方式，观察和分析比例线段的性质，引导学生得出结论。
3.巩固：通过练习题，让学生运用比例线段的性质解决实际问题，巩固所学知识。
4.拓展：引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：比例线段是指两个线段的比相等的线段。
问题导学促进深度学习的教学实践——以“初中数学4.1 比例线段(3)”为例
2022年第6期教育教学1SCIENCE FANS 深度学习理念下的问题导学法教学，是指在教师的问题引导下，学生主动参与，多维度思考，逐步完善认知结构，达到深度学习的教学。
本文以浙教版数学九年级上册“4.1比例线段（3）”为例，探索以问题导学引导学生深度学习的教学实践。
1 初中数学教学各要素分析1.1 初中生的学习特点与现状初中阶段学生学习科目多，各科作业时间总和增加。
学生在学习上疲于奔命，容易陷入机械式学习，对数学概念、定理只是背一背、记一记、不知所以然，解题时不会正确运用，不能形成明确清晰的思路。
1.2 数学的重要性及教学现状学好数学能够帮助学生更好地理解物理、化学等学科知识，也能够帮助学生在面对问题时有更严密的逻辑。
在数学课堂教学中，部分教师过于注重“讲课、做题、订正反馈、再做题”模式，认为熟能生巧，在做题中学生会理解知识；认为互动教学会浪费时间，在课堂上不重视对概念、定理的教学。
这有三大弊端。
第一，不利于激发学生的积极性。
第二，不利于学生的深度学习。
第三，不利于培养学生数学素养。
1.3 问题导学法下的深度教学探究“深度教学”是学生深度学习的前提，是培养学生数学思维能力的重要途径。
问题是深度教学的核心。
问题导学法是指在教学中以提问的形式引入教学内容，激发起学生的浓厚兴趣；以问题串的形式引导学生探究新的知识，调动起学生自主探究的积极性，实现开放式、有效性的深度教学的一种方法。
笔者认为问题导学法下的数学课堂教学应该更加注重教学情境的创设，导学问题的指向性，教学活动的创造性以及适时的教学拓展[1]。
1.3.1 创设教学情境，引导学生积极参与合理情境的创设，一方面可以拉近学生与学习间的距离；另一方面，也有利于激发学生的数学思维，使学生在沉浸式体验中感受数学的魅力。
教师应根据教学内容和学生的最近发展区创设相应的教学情境，激起学生学习的欲望，感受知识的本质、学习的意义，进而参与到学习中。
1.3.2 设定导学问题，明确思维发展方向概念、定理的理解与运用需要不断地体验、探究、反思、归纳。
北师大版九年级上册数学教案：4.1成比例线段
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，加深了对成比例线段的理解。但我也发现，部分小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员不够积极参与。为了提高学生的参与度，我打算在下次活动中增加一些互动环节，鼓励每个学生都发表自己的观点。
-掌握比例的基本性质：包括比例的倒数性质（如果a:b=c:d，则b:a=d:c）、交叉相乘性质（如果a:b=c:d，则ad=bc）等。这些性质是解决比例问题的关键，需要在教学中反复强调，并通过练习题巩固。
-应用比例知识解决实际问题：培养学生将比例知识应用于实际情境中，如计算线段长度、解决比例分配问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了成比例线段的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对成比例线段的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解成比例线段的基本概念。成比例线段指的是两条线段之间存在一个常数k，使得一条线段的长度是另一条线段长度的k倍。它在几何图形的相似性、比例尺的计算等方面具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设图中有两条线段AB和CD，已知AB的长度是CD的两倍，我们将通过这个案例来展示成比例线段在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2024年浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册4.1的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的含义，掌握比例线段的判定方法，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生深入理解和掌握比例线段的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对线段、比例等概念有一定的了解。
但学生在学习比例线段时，可能会对比例线段的定义和性质产生困惑，难以理解和运用。
因此，在教学过程中，需要注重对学生的基础知识的巩固，通过生动的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义和性质。
2.能够判定两条线段是否成比例线段。
3.能够运用比例线段解决实际问题。
4.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质的理解。
2.比例线段的判定方法的掌握。
3.运用比例线段解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
2.利用多媒体和实物模型，生动形象地展示比例线段的定义和性质，帮助学生直观地理解和记忆。
3.通过小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固和运用比例线段的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾线段和比例的基础知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体和实物模型，生动形象地展示比例线段的定义和性质，让学生直观地理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生通过小组讨论和合作交流，共同完成一些关于比例线段的练习题，巩固和运用所学知识。
4.巩固（5分钟）让学生独立完成一些关于比例线段的练习题，检验学生对知识的掌握程度，并及时给予指导和帮助。
新九年级数学上册课件：4.1比例线段(3)
定义：
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
a b (a : b b : c ) ， 则b就 b c
叫a,c的比例中项 用符号语言表示为：
a b 2 b ac b c
做一做: 1、求下列线段a、b的比例中项.
（1）a＝3，b＝27；
5 1 5 1 (2 ）a ,b 2 2
谢 再 谢 见 合 作
A C
D E
B
练一练
1、已知点P,Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm, 则PQ长为 (10 5 20)cm 。 2、人体的下半身与身高的比例越接近0.618越给人美感。 某女士身高1.68米，下半身1.02米，她应该选择多高的高 跟鞋看起来更美呢？（精确到0.01m）
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
1 作法: 1.经过点B作BD⊥AB,使 BD AB 2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 2 3.在AB上截取AC=AE. 点C就是所求线段AB的黄金分割点
你能验证这个结论吗?相信你完成下列 两个小题后就会有答案. 1．如果设AB=1,那BD,AD,AC,BC分别 等于多少? AC BC , 2．请计算 AB AC
比叫做黄金比.
如何求出黄金比的数值?
A P
B
解：设AB 1, AP x, 则由题意得 1 x x x2 x 1 0 x 1 5 1 5 1 解得x1 , x1 (不合题意，舍去） 2 2
黄金比为
5 1 0.618 2
例、已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点
2、 2和8两数的比例中项是______
温馨提示:
线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,前者是一个正 数,而后者是一对互为相反数.
4.1 比例线段(3) 九年级上册
选择填空题答案
4.1(3) 课前检测
1~6 BBAAC A
4.1(3) 课后检测
1~3 CBC 4. 16 .
3
5. 10 5 20 .
6. 1,2.
A
九年级上 4.1(3)课后
九年级上 4.1(3)课后 No.1
C
九年级上 4.1(3)课后 No.2
B
九年级上 4.1(3)课后 No.3
C
九年级上 4.1(3)课后 No.4
16 3
九年级上 4.1(3)课后 No.5
（ 10 5 20）
九年级上 4.1(3)课后 No.6
1
2
九年级3)提高 No.11
解:∵b是a和c的比例中项, ∴b2=ac, ∵一元二次方程ax2+2bx+c=0根的判别式: (2b)2-4ac=4b2-4ac=0, ∴一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根. 故选:A.
九年级上 4.1(3)答案
九年级上 4.1(3)课后 No.7
解:∵a和9的比例中项是±6, a 6 ∴ , 6 9 ∴9a=36, ∴a=4.
九年级上 4.1(3)课后 No.8
解:根据比例的性质列方程,设这个数是x, 则根据题意可知3x=6×6,解得x=12; 或6x=9,解得x=1.5; 或x2=18,解得x= 3 2 . ∴这个数是12或1.5或 3 2 .
九年级上 4.1(3)课后 No.9
解:作法:(1)延长线段AB至F,使AB=BF, 分别以A,F为圆心, 以大于等于线段AB的长为半径作弧, 两弧相交于点G,连结BG, 则BG⊥AB, 在BG上取点D,
使BD= AB ; 2 (2)连结AD,在AD上截取DE=DB; (3)在AB上截取AC=AE. 如图,点C就是线段AB的黄金分割点.
4.1比例线段--黄金分割
郑瑄《比例线段－黄金分割》§4.1比例线段（3）黄金分割一、学习类型：新授课二、学习内容：①数学概念：比例中项的定义、黄金分割的概念②数学技能与数学方法：会求黄金比、会作线段的黄金分割点③数学问题的解决：会求已知线段的比例中项、会利用黄金分割进行简单的计算和作图。
此外，通过结合图形，运用比例的性质来证明有关问题，培养学生数形相结合的思想和逻辑推理的能力.三、学习背景：本节课建立在学生已经掌握比例的基本性质，了解比例线段的概念的基础上的下位观念，所以本节课的学习形式是下位学习四、教学目标：①知识目标：了解比例中项的概念，会求已知线段的比例中项，通过实例了解黄金分割，利用黄金分割进行简单的计算和作图。
②能力目标：通过实例了解黄金分割的探索过程，培养学生的观察能力，探索能力，及转化思想，并且进一步体会解决问题的策略，积累学习的经验。
③情感目标：通过优美的图形培养学生的审美情趣，激发学生学习数学的兴趣，密切学科之间的联系，发展学生应用数学的意识。
通过合作学习，培养学生之间的合作精神，并能与他人交流思维的能力。
重点：比例的性质应用及黄金分割难点：例5的作图牵涉到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点五、教学过程：（Ⅰ）动手算一算，引入新课：以学生所学的比例的知识为背景，通过三个比例式3 : x=6 : 12 ；； (1-x) : x=x : 1的运算以及寻找比例式的特点来复习旧知识引出新知识：比例中项的概念定义，一般地，如果三个数a、b、c 满足比例式＝（或a:b＝b: c），则b叫做a，c的比例中项＝<=>b2＝ac，其中最后一个比例式还为黄金比的引出做好铺垫。
教师活动：启发学生发现特殊的比例式，做一做，想一想，让每位学生都参与到教学活动中。
学生活动：动笔算一算，算出结果，给出比例式。
（Ⅱ）巩固比例中项的感念，进行简单的练一练，之后回到最开始的页面重温这≈0.618个特殊的比值通过生活中的雕塑、舞蹈、建筑、美术中的匀称、协调之美让学生对黄金分割有一个初步的感性的认识。
初中九年级数学 4.1比例线段3
芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有0.58左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象.
实际 应用
上海东方明珠电视塔
高468m,上球体是塔身
468
的黄金分割点,它到塔
BC
A
☆顶角为36°的等腰三角形称为
黄金三角形
☆点D是线段AC的黄金分割点.
E
D ☆再作∠C的平分线,交BD于E,
△CDE也是黄金三角形……
B
C
4.１ 比例线段（３）
复习旧知
取一张长与宽之比为 2 :1 的长方形，将它对 折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段 是否成比例，如果成比例，请写出比例式
b
c b
a
ab
bc
这个比例式 有什么特别 之处吗？
一般地，如果三个数a,b,c满足比例 式 a b (a : b b : c)，则b就
5a
1 5 x2 2 a
Ａ
Ｐ
Ｂ
设 AP x,则PB AB AP AB AB • x AB
由 PB AP , 得 AB AB • x AB • X
AP AB
AB • x
AB
即 1 x x化 简, 得x2 x 1 0 x
解得: x1
5 1
1
2 ,x2 2
5 不合题意, 舍去
m
底部的距离大约是多
少米(精确到0.1m)?
?
468×0.618≈289.2m
A
B
你们知道如何确定线段AB的黄金 分割点所在的位置吗？
例５:
4.1比例线段(3) 课件 2
天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571——1630）把这种分割线段的 方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定 理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双 宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 而 历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这 个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792—— 1872）。19世纪以后，“黄金分割”的说 法逐渐流行起来…。
浙教版九年级《数学》上册
第四章 相似三角形
§4.１ 比例线段（３）
九年级数学备课组 2006.10.
复习旧知
取一张长与宽之比为 2 : 1 的长方形，将它对 折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段 是否成比例，如果成比例，请写出比例式 b a
c
b
a b b c
这个比例式 有什么特别 之处吗？
a
Ａ Ｂ
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
BC 0.618 ; 底BC与腰AB的长度,计算: AB
尝试
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
CD 0.618 . (精确到0.001) 再计算: BC A ☆顶角为36°的等腰三角形称为
黄金三角形
☆点D是线段AC的黄金分割点.
追溯黄金分割的历史文化
早在古希腊，数学家、天文学家欧多克 索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出： 能否将一条线段分成不相等的两部分，使较 短线段与较长线段的比等于较长线段与原线 段的比？这就是黄金分割问题.
而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯。一 天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏 的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似 乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺 量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种 十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线， 想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他 最后确定0.618 ：1的比例截断最优美。后来，意大利著 名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二 字的美名。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1成比例线段
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。
这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。
在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。
但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。
2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。
2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。
2018-2019学年浙教版九年级上数学4.1比例线段3同步导学练含答案
4.1 比例线段（3）黄金比为215-≈0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，注意它们的区别和联系．1.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于(B).A.10B.8C.-8D.±82.已知C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC·AB，则下列式子成立的是(B).3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(D).A.6cmB.10cmC.4cmD.8cm4.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为(C).A.5（5-1）B.5（5+1）C.10（5-2）D.5（3-5）5.如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2之间的大小关系是(A).A.S1=S2B.S1＞S2C.S1＜S2D.不能确定（第5题）（第7题）6.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a，c的比例中项，那么b= 6 .7.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m （精确到0.01m，参考数据2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）.8.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，BC=3-5，则AB的长为 2 ．9.已知C，D是线段AB的黄金分割点，AB=10，求线段AC与CD的长.（第9题）【答案】∵C，D是线段AB的黄金分割点，∴AC=215-AB=55-5，BD=215-AB=55 -5.∴AD=AB-BD=15-55.∴CD=AC-AD=55-5-（15-55）=105-20.（第10题）10.如图1所示为一张宽与长之比为215-的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC ，那么矩形EFDC 还是黄金矩形吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】矩形EFDC 是黄金矩形.理由如下：∵四边形ABEF 是正方形，∴AB=DC=AF.∵ADAB =215-，∴AD AF =215-,即F 是线段AD 的黄金分割点.∴AF FD =AD AF =215-.∴DCFD =215-.∴矩形EFDC 是黄金矩形.11.乐器上的一根琴弦AB=60cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为(C ).A.（90-305）cmB.（30+305）cmC.（305-30）cmD.（305-60）cm12.如图所示，P 为线段AB 的黄金分割点（PB ＞PA ），四边形AMNB 、四边形PBFE 都为正方形，且面积分别为S 1，S 2.四边形APHM 、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为S 3，S 4.下列说法中，正确的是(B ).A.S 2=215-S 1B.S 2=S 3C.S 3=215-S 4D.S 4=215-S 1 （第12题） （第14题）13.已知线段AB 及AB 上一点P ，P 为AB 的黄金分割点.给出下列结论：①AP 2=AB·PB；②AP=215-AB ；③PB=253-AB ；④PB AP =215-；⑤APAB =215-.其中正确的是(A ). A.①②③ B.①②③ C.②③④⑤ D.①②③④⑤14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示，五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角相等，则图中的黄金三角形有 20 个．15.（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP ，PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且AB AP =AP BP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时ABPA 的值为 215- . （2）如图所示，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2BC ，现以点C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于点D ，再以点A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于点E.求证：E 是线段AB 的黄金分割点.（第15题）【答案】(1) 215- (2)设BC=a ，则AB=2a ，∴AC=5a.由题意得CD=BC=a ，∴AE=AD=5a-a ，BE=AB-AE=3a-5a. ∴AB AE =215-，AE BE =215-.∴AB AE =AEBE ，即E 是线段AB 的黄金分割点. （第16题）16.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BOC=108°，过点C 作直线CD 分别交直线AB 和⊙O 于点D ，E ，连结OE ，DE=12AB ，OD=2．（1）求∠CDB 的度数．（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比215-． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.②求弦CE 的长.③在直线AB 或CD 上是否存在点P （点C ，D 除外），使△POE 是黄金三角形？若存在，画出点P ，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，DE=21AB ，∴OA=OC=OE=DE.则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC. 设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.∵∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.∴x+2x=108°，x=36°.∴∠CDB=36°.(2)①有三个：△DOE，△COE，△COD.∵OE=DE，∠CDB=36°，∴△DOE 是黄金三角形.②∵△COD 是黄金三角形，∴OCOD=215-.∵OD=2，∴OC=5-1.∴CD=O D=2，DE=OC=5-1. ∴CE=CD -DE=2-（5-1）=3-5.（第16题答图）③存在，有三个符合条件的点P 1，P 2，P 3，如答图所示，以OE 为底边的黄金三角形：作OE 的垂直平分线分别交直线AB ，CD 得到点P 1，P 2;以OE 为腰的黄金三角形：点P 3与点A 重合.17.【山西】宽与长之比是215-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；以点F 为圆心、FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则下列矩形中，属于黄金矩形的是(D ).（第17题）A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.如图所示，线段AB=1，点P1是线段AB 的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3）……依此类推，则APn 的长度是 （253-）n ．（第18题）19.如图1所示，点C 将线段AB 分成两部分，若AB AC =ACBC ，点C 为线段AB 的黄金分割点． 某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S S 1=12S S ，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2所示，在△ABC 中，D 是AB 的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD 是△ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C 作直线交AB 于点E ，过点D 作DF ∥CE ，交AC 于点F ，连结EF （如图3所示），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线.请你说明理由．（第19题）【答案】(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线.理由如下：∵D 是AB 的黄金分割点，∴AB AD =AD BD .∵，.∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线.(2)∵三角形AB 边的中点D ′把AB 分成相等的两条线段，即AD ′=BD ′，∴.∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.(3)∵DF ∥CE ，∴S △FDE =S △FDC ，S △DEC =S △FEC .∴S △AEF =S △ADC ，S四边形BEFC =S △BDC .∵.∴直线EF 是△ABC 的黄金分割线.。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计4
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计4一. 教材分析“比例线段”是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的有关知识的基础上进行学习的。
比例线段是指在两个比例中，如果两个外项相等，那么两个内项也相等。
本节课的教学内容主要包括比例线段的定义、比例线段的性质以及比例线段的运用。
通过本节课的学习，使学生能理解和掌握比例线段的知识，提高他们的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和数学基础，他们对比例和线段的知识有一定的了解。
但是，对于比例线段的深度理解和运用还需要加强。
学生在学习过程中可能会对比例线段的性质产生疑问，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、讨论等活动，自主探索比例线段的性质，提高他们的数学素养。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质。
2.能够运用比例线段的知识解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质。
2.比例线段的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生观察、操作、思考，从而探索比例线段的性质。
同时，通过小组合作学习，培养学生的合作交流能力。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
3.教学道具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置问题，引导学生回顾比例和线段的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过课件展示比例线段的定义和性质，让学生初步了解比例线段的概念。
3.操练（15分钟）让学生通过观察、操作、思考，探索比例线段的性质。
在此过程中，教师给予引导学生，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过练习题，让学生运用比例线段的知识解决问题，巩固所学内容。
5.拓展（5分钟）引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，提高学生的实际问题解决能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，加深对比例线段知识的理解。
北师大版九年级数学上册教学设计：4.1成比例线段
5.课堂小结与反馈：
-通过课堂小结，帮助学生巩固所学知识，形成知识网络。
-及时给予学生反馈，针对学生的个体差异，进行个性化指导，促进学生的全面发展。
6.课后作业与拓展：
-布置适量的课后作业，巩固学生对成比例线段的理解和应用。
4.设计丰富的例题和练习题，让学生在解答过程中，巩固所学知识，提高解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动探索、积极思考的精神。
2.培养学生的审美观念，让学生认识到成比例线段在几何图形中的美感，提高学生的审美素养。
3.培养学生的团队合作意识，让学生在小组合作中学会互相尊重、互相帮助，共同进步。
此外，我还会布置适量的课后作业，让学生在课后巩固所学知识。同时，鼓励学生在生活中观察、发现成比例线段的实例，将数学知识应用于实际，提高学生的学以致用能力。通过本节课的学习，使学生掌握成比例线段的知识，为后续学习几何知识打下坚实的基础。
五、作业布置
为了巩固学生对成比例线段知识的掌握，培养其独立思考和解决问题的能力，特此布置以下作业：
-学生在小组合作中，如何有效地交流想法，共同克服解题过程中的困难。
（二）教学设想
1.引入阶段：
-通过生活中的实例，如地图比例尺、相似图形的放大与缩小等，自然引入成比例线段的概念。
-设计互动游戏，让学生在活动中体验成比例线段的特点，激发学生的学习兴趣。
2.基本概念教学：
-利用多媒体教学资源，直观展示成比例线段的性质，帮助学生形成清晰的几何直观。
1.基础作业：
（1）完成课本第4.1节后的练习题，包括选择题、填空题和解答题，要求学生在规定时间内独立完成，并对照答案进行自我检查。
4.1.3 比例线段(3)
天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571——1630）把这种分割线段的 方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定 理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双 宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 而
历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这 个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792—— 1872）。19世纪以后，“黄金分割”的说 法逐渐流行起来…。
a
Ａ
Ｂ
四、动手画一画 找黄金分割点
已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点
作法:
1.经过点B作BC⊥AB,使 BC
2.连接AC,在AD上截取CM=CB.
1 2
AB.
3.在AB上截取AD=AM. 点D就是所求线段AB的黄金分割点
C M
你能验证这个结论吗?相信你完成下列
两个小题后就会有答案.
BE BC
点E是AB的黄金分割点吗?
矩形ABCD的宽与长的比是
黄金比吗?
D
EB FC
积累就是知识
请用所学知识回答上面的问题
解 : 1 BC AB , BC AE, AE AB ,点E是AB的黄金分割点;
BE BC
BE AE
2. BC AB ,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比,
BE BC
这时的矩形ABCD称黄金矩形.
B
C △CDE也是黄金三角形……
上海东方明珠电视塔
高468m,上球体是塔身
的黄金分割点,它到塔
底部的距离大约是多
468
少米(精确到0.1m)?
m
?
468×0.618≈289.2m
雕塑断臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符,即以人的肚脐为分 界点,上身与下身之比,或者说下身与全身之比约是0.618 这样 的身体给人的感觉就是非常的匀称，充满着美感.
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Eudoxus，约公元前400-前347
追溯黄金分割的历史文化
发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达 哥拉斯。一天，毕达哥拉斯从一家铁 匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮 当当的打铁声所吸引，便站在那里仔 细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘 密。他走进作坊，拿出一把尺量了一 下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间 存在着一种十分和谐的关系。回到家 里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它 分为两段。怎样分才最好呢？经过反 复比较，他最后确定0.618 ：1的比 例截断最优美。后来，意大利著名科 学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠 以“黄金”二字的美名。
468m
289.2m
A E
D F
蒙娜丽莎
B
C
著名画家达· 芬 奇的蒙娜丽莎,其 漂亮的面部是矩 形ABCD的宽BC与 长AB的比接近黄 金比。
感受黄金分割的魅力
蝴蝶身长与双翅 展开后的长度之比 接近0.618;
节目主持人报幕，总是站在舞台上一侧近于舞台 宽度的0.618处。
生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒 服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于 8 开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
下列矩形中,哪个比较匀称好看?
①
③
④
②
若矩形的宽与长 的比约为0.618, 这样的矩形称之 为黄金矩形.
感受黄金分割的魅力
帕 特 农 神 庙
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按 黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方 形看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据 黄金分割律分割整个神庙的.
数学美的魅力
4.１ 比例线段（３）
复习旧知
取一张长与宽之比为 2 : 2 的长方形，将它对 折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段 是否成比例，如果成比例，请写出比例式 b 2
c
2 a
b 2
a b b c
1
这个比例式 有什么特别 之处吗？
比例中项： 一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
a b b c
感受黄金分割的魅力
A
顶角为36°的等腰三角 形的底边与腰的比约为 0.618.
B C
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形
追溯黄金分割的历史文化
早在古希腊，数学家、 天文学家欧多克索斯曾提 出：能否将一条线段分成 不相等的两部分，使较短 线段与较长线段的比等于 较长线段与原线段的比？ 这就是黄金分割问题.
则AC=
5 1 或 3 5 。
5 1 例5如图，已知线段 AB ，点P 2
是它的黄金分割点，AP＞PB，求AP， BP的长。
A
P
B
勾股定理和黄金分割是几何中的双宝,
“前者好似黄金，后者堪称珠玉”。 黄金分割的魅力远不止……
天文学家开普勒
Johannes Kepler, 1571--1630
古 埃 及 胡 夫 金 字 塔
文明古国埃及的金字塔，形于0.618.
上海东方明珠塔 上海东方明珠电 视塔高468m,上球 体到塔底的距离约 为289.2m, 289.2与 468的比值接近黄金 比,这个塔的设计精 巧,外型匀称、漂亮、 美观、大方.
A
P
B
如图,点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 BP , 如果
BP AP AP = AB
AP2 =AB*BP
那么称线段AB被点P黄金分割， 点P叫做线段AB的黄金分割点, AP与AB的比叫做黄金比。
短 长 长 全
线段的黄金分割点有几个？
你能求出黄金比是多少吗？
A
P
B
BP AP AP AB
实际 应用
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金 比值时，人体感到最舒适，则最适温度是多少？
2.小明家的房间高2.8M,他打算在四周墙上贴
上瓷砖美化居室,从地面算起,贴到黄金高度 时会使人感到很舒适，问高度是多少？
感受黄金分割的魅力
那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是 红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门， 也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与 北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的 黄山，庐山，九寨沟等等。中国三大淡水湖也 恰好在这黄金分割的纬度上。
感受黄金分割的魅力
黄金分割正五角星形
宽与长之比约0.618的 矩形称为黄金矩形.
(或a : b b : c)
则 b就叫a与c的比例中项。
a b b c
b ac
2
（1）已知6是3与x的比例中项，则x的 值为________ 12
±6 （2）3与12的比例中项为_________
(3)已知线段a=3,b=4,则线段a,b的比例 中项为_________ 2 3
小结：数a,b的比例中项一般有两个，它们互为相反数， 而线段a,b的比例中项是正数
乐器与黄金分割
A
C
小提琴是一种 造型优美、声音诱 人的弦乐器，它的 共鸣箱的一个端点 正好是整个琴身的 B 黄金分割点。
练习
（1）若P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），设 AB=10，则PA的长约为 （ D） A、0.618 B、3.82 C、 5 D、6.18
（2）已知线段AB=2cm,点C是线段AB的黄金分割点，