高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式同步检测试题新人教A版选修45

合集下载

高中数学人教A版选修4-5同步辅导与检测1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式

设 a1，a2，a3，a4 为正数， a1＋a2＋a3＋a4 4 求证： ≥ a1a2a3a4， 4 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立．若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0，故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4) ≥2· 2· 4 a1a2· a3a4
13 ， a1a2a3＝________ 9 ________ ，
3
3
a1＋a2＋a3 3 ≥ 则有： ________ a1a2a3. 3
2．n 个正数的算术—几何平均不等式＋ (1)如果 a1，a2，…，an∈R ，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋…＋an 叫做这 n 个正数的算术平均数， n n a1a2…an叫做这 n 个正数的________；
不等式和绝对值不等式
1.1 1.1.3
不等式
三个正数的算术—几何平均不等式
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题． 2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的极值，从而学会解决简单的应用问题．
1．三个正数的算术—几何平均不等式 a1＋a2＋a3 ＋ (1)如果 a1，a2，a3∈R ，则：叫做这 3 个 3 正数的算术平均数， a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数 ________； a1＋a2＋a3 3 (2)三个正数基本不等式： ≥ a1a2a3. 3 算术平均数不小于它们的语言表述：三个正数的________ ________ 几何平均数． a1＋a2＋a3 练习 1：若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27 则＝ 3

高中数学第1讲不等式和绝对值不等式 1.3 三个正数的算术—几何平均不等式课后练习新人教A版

术—几何平均不等式课后练习新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1.3 三个正数的算术—几何平均不等式课后练习新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1.3 三个正数的算术—几何平均不等式课后练习新人教A版选修4-5的全部内容。

的算术—几何平均不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ) A．（－∞，lg6] B．（－∞,3lg2]C．[lg6，＋∞) D．［3lg2,＋∞）解析:∵x,y，z∈R＋∴x＋y＋z＝6≥33 xyz∴xyz≤8∴lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg8＝3lg2。

答案:B2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是( ) A．V≥π B．V≤πC．V≥18π D．V≤错误!π解析：圆柱高为h，半径为r，∴4r＋2h＝6∴h＝3－2rV＝πr2·h＝πr2·（3－2r)＝πr·(3－2r)·r≤π错误!3＝π.答案:B3．已知x∈R＋,有不等式：x＋错误!≥2错误!＝2，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3,….启发我们可以推广结论为：x＋错误!≥n＋1（n∈N＋)，则a的值为（) A．n n B．2nC．n2D．2n＋1解析：x＋错误!≥2x＋错误!≥3⋮⋮x＋错误!≥n＋1∴a＝n n。

人教A版选修4-5 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式作业

3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A 组1.若a>0,则2a+1a2的最小值为( )A.2√2B.3√23C.1D.3a+1a 2=a+a+1a 2≥3√a ·a ·1a 23=3,当且仅当a=1a 2,即a=1时,2a+1a2取最小值3.2.设x ,y ,z ∈R +,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x ,y ,z ∈R +,所以6=x+y+z ≥3√xyz 3,即xyz ≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz ≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为( ) A.3√63B.2√2C.12D.12√532x >0,4y >0,8z >0,所以2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥3√2x ·22y ·23z 3=3√2x+2y+3z 3=3×4=12.当且仅当2x =22y =23z ,即x=2y=3z ,即x=2,y=1,z=23时,等号成立.4.若a ,b ,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1c 的最小值为( )A.9B.8C.3D.13a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1a +1b +1c =a+b+c a +a+b+c b +a+b+c c=3+b a+c a +a b +c b +a c +b c≥3+6√b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·b c6=3+6=9(当且仅当b a =c a =a b =c b =a c =b c,即a=b=c=13时,等号成立).5.用一张钢板制作一个容积为4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是()A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·4xy +2y·4xy=xy+8y+8x≥3√xy·8x·8y3=12(当且仅当xy=8y=8x,即x=y=2,z=1时,等号成立).故要制作容积为4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m2,所以选项A,B排除,而选项C,D 均够用,但选项D剩较多,故选项C正确.6.若a,b,c同号,则b a+c b+a c≥k,则k的取值范围是.a,b,c同号,所以ba,cb,ac>0,于是ba+cb+ac≥3√b a·c b·a c3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k≤3.≤37.若x<0,则2x-x2的最大值为.2=-(x2-2x)=-[x2+(-2x)],因为x2+(-2x)=x2+(-1x)+(-1x)≥3√x2·(-1x)·(-1x)3=3(当且仅当x2=-1x,即x=-1时,等号成立),所以2x-x2≤-3,即2x-x2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+1(a-b)b的最小值为.a>b>0,所以a-b>0,于是a+1(a-b)b =(a-b)+b+1(a-b)b≥3√(a-b)·b·1(a-b)b3=3,当且仅当a-b=b=1(a-b)b ,即a=2,b=1时,a+1(a-b)b的最小值为3.9.已知实数a ,b ,c ∈R ,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值,并求出取最小值时a ,b ,c 的值.-几何平均不等式,得4a +4b +4c 2≥3√4a ·4b ·4c 23=3√4a+b+c 23(当且仅当a=b=c 2时,等号成立).∵a+b+c=1, ∴a+b=1-c.则a+b+c 2=c 2-c+1=(c -12)2+34,当c=12时,a+b+c 2取得最小值34.从而当a=b=14,c=12时,4a +4b +4c 2取最小值,最小值为3√2.10.导学号26394008已知x ,y 均为正数,且x>y ,求证2x+1x 2-2xy+y 2≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+1x 2-2xy+y 2-2y=2(x-y )+1(x -y)2=(x-y )+(x-y )+1(x -y)2≥3√(x -y)·(x -y)·1(x -y)23=3,所以2x+1x 2-2xy+y 2≥2y+3(当且仅当x -y =1(x -y)2时,等号成立).B 组1.若log x y=-2,则x+y 的最小值为( ) A.3√232B.2√333C.3√32D.2√23log x y=-2得y=1x 2,因此x+y=x+1x2=x 2+x 2+1x 2≥3√x 2·x 2·1x 23=3√232(当且仅当x 2=1x 2,即x =√23时,等号成立).2.设x>0,则f (x )=4-x-12x 2的最大值为( ) A.4-√22B.4-√2C.不存在D.52x>0,∴f (x )=4-x-12x 2=4-(x 2+x 2+12x 2)≤4-3√x 2·x 2·12x 23=4-32=52(当且仅当x 2=12x 2时,等号成立).3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V ,则下列不等式正确的是( ) A.V ≥πB.V ≤πC.V ≥π8D.V ≤π8,设圆柱的半径为R ,高为h ,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S ·h=πR 2·h=π·R ·R ·h ≤π(R+R+ℎ3)3=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P 是三角形内的一点,则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ,y ,z ,三角形的面积为S ,则S=12(3x+4y+5z ).因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=12×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z ≥3√3x ·4y ·5z 3=3√60xyz 3,所以xyz ≤1615,当且仅当3x=4y=5z ,即x=43,y=1,z=45时,等号成立.5.导学号26394009设x ,y ,z>0,且x+3y+4z=6,求x 2y 3z 的最大值.6=x+3y+4z=x 2+x 2+y+y+y+4z ≥6√x 2·x 2·y ·y ·y ·4z 6=6√x 2y 3z 6,所以x 2y 3z ≤1.当且仅当x 2=y=4z ,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x 2y 3z 的最大值为1.6.导学号26394010设a 1,a 2,…,a n 为正实数,求证a 1n +a 2n +…+a n n+1a 1a 2…a n≥2√n .a 1,a 2,…,a n 为正实数,∴a 1n +a 2n +…+a n n ≥n √a 1n a 2n …a n n n=na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.又na1a2…a n+1≥2√n,a1a2…a n当且仅当na1a2…a n=1时,等号成立,a1a2…a n∴a1n+a2n+…+a n n+1≥2√n.a1a2…a n。

【精选】高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式自主训练新人教A

1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式自主广场我夯基我达标1.若x>0，则4x+的最小值是（）A.9B.C.13D.不存在思路解析：因为x>0,所以4x+=2x+2x+≥，当且仅当2x=,即x=时等号成立.答案：B2.若实数x,y满足xy>0，且x2y=2,则xy+x2的最小值是（）A.1B.2C.3D.4思路解析：xy+x2=2xy+xy+x2≥=1.答案：A3.已知a,b∈R+，则(++)(++)≥____________.思路解析：(++)(++)=3+≥3+=9.答案：94.设a,b,c∈R+，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证明：左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥=6abc.∴a、b、c∈R+,∴原式成立.5.如果a,b∈R+，且a≠b,求证：a3+b3>a2b+ab2.证明：∵a、b∈R+,且a≠b,则a3+b3=［(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)］> (）=a2b+ab2.∴a3+b3>a2b+ab2.6.求函数y=4sin2x-cosx的最值.解：∵y2=16sin2xsin2x·cos2x,=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3=8×.∴y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±时取“=”号.∴y大=,y小=。

7.已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不大于. 证明：假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.则(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1[]64.①又(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤［］6=()6=,这与①矛盾.∴假设不成立.即原结论正确.8.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：≥4.证明：=4.当且仅当a=b=c=d时取等号，得证.我综合我发展9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则此圆柱体积的最大值为___________.思路解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,则4r+2h=l,v=πr2h≤π()3=π()3当且仅当r=h=时取“=”号.答案：10.已知x∈R+，有不等式x+≥2,x+≥3,…,由此启发我们可以推广为：x+≥n+1(n∈N +).则a=__________.思路解析：从n=1,n=2,…归纳得出：x+≥n+1.答案：n n11.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是___________.思路解析：a+(b*c)=(a+b)*(a+c),∵a+(b*c)=a+,①又∵(a+b)*(a+c)=,②由①②，可知a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)12.若a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求证：.证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a).∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］·()≥=9.∴原式得证.13.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四面分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？解：设正方形的边长为x cm.V=x(60-2x)2=·4x(60-2x)(60-2x)≤()3=16 000.当4x=60-2x即x=10时取等号.∴小正方形的边长为10 cm时，最大容积为16 000 cm3.14.已知矩形ABCD的两个顶点A、B在函数y=-2(x-1)2+4(0≤x≤2)的图象上，另两个顶点C、D在x轴上，求这个矩形面积的最大值.解：设A(x0,y0),且不妨设x0>1,则矩形ABCD的面积S=|AB|·|AD|=2(x0-1)y0.∵y0=-2(x0-1)2+4且1<x0≤2,∴S=-4(x0-1)3+8(x0-1)=4(x0-1)［2-(x0-1)2］=≤.当且仅当2(x0-1)2=2-(x0-1)2,即x0=1+时，取“=”号.∴矩形ABCD的面积的最大值为.。

高中数学人教A版选修4-5 1.1.3三个正数的算术--几何平均数测试(教师版)

1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式（检测教师版）时间:50分钟总分：80分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、已知正数x ，y ，z ，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)【答案】 B【解析】 ∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，∴xyz ≤8. ∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2.故选B 。

2．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1【答案】 A 【解析】 x ＋ax n ＝＋ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n＝a ，故选A.3．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为( ) A.18 B ．1 C.3183 D.427 【答案】 D【解析】 ∵0<x <1，∴0<1－x <1，∴x (1－x )2＝12·2x ·(1－x )·(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(1－x )＋(1－x )33＝427.当且仅当x ＝13时，等号成立．故选D 。

4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( ) A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤x D.z ≤y ≤x【答案】 B【解析】由a ，b ，c 大于0，易知a ＋b ＋c 3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝(a ＋b ＋c )29，且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )9≤3(a 2＋b 2＋c 2)9＝a 2＋b 2＋c23，故选B 。

1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式(人教A版选修4-5)

表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
推广
对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 , an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，
a1 a2 a3 即 n
an
≥ n a1a2 a3
an
(当且仅当 a1 a2 a3
an 时取等号.)
2、不能直接利用定理时，要善于转化变形，通过变形达到化归的目的；
2 2 2
练习：
并确定a, b, c为何值时，等号成立。
1 1 1 2 证明： a b c ( ) a b c 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c 9 2 2 2 a b c
2 2 2
1 1 1 2 3 a b c 9 2 2 2 a b c
(2)当0 x 1时, 求函数y x(1 x )的最大值 .
2
2 0 x 1 , 解: 1 x 0,
由y x(1 x ), 得
2 2 2 2 2
1 2x 1 x 1 x 3 4 ( ) 2 3 27 3 4 2 2 2 2 当2 x 1 x , x 时, y max , ymax 3. 3 27 9
y x (1 x ) 1 2 2 2 2 x (1 x )(1 x ) 2 2 2 2
构造三个数相加等于定值.
二、用基本不等式证明不等式例：已知 a, b, c R , 1 1 1 a b c 9 求证： a b c 3 a b c 3 abc 0 证明： a, b, c R ,
2
下面的解法对吗？ 1 1 4 x x 1 5x 3 1 y 4 x x(1 5 x) ( ) , 4 4 3 108 1 ymax . 108

高中数学人教A版选修4-5 1-1-3三个正数的算术--几何平均数测试教师版精品

2．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1【答案】 A 【解析】 x ＋ax n ＝＋ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n＝a ，故选A.3．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为( ) A.18 B ．1 C.3183 D.427 【答案】 D【解析】 ∵0<x <1，∴0<1－x <1，∴x (1－x )2＝12·2x ·(1－x )·(1－x )≤12⎣⎡⎦⎤2x ＋(1－x )＋(1－x )33＝427.当且仅当x ＝13时，等号成立．故选D 。

4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( ) A ．x ≤y ≤z B ．y ≤x ≤z C ．y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【答案】 B【解析】由a ，b ，c 大于0，易知a ＋b ＋c 3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝(a ＋b ＋c )29，且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )9≤3(a 2＋b 2＋c 2)9＝a 2＋b 2＋c 23，故选B 。

高中数学 1-1-3 三个正数的算术-几何平均不等式知能达标演练新人教A版选修4-5

第一节不等式第3课时三个正数的算术—几何平均不等式一、选择题1．设a，b，c∈0，＋∞且a＋b＋c＝1，令＝错误!错误!错误!，则的取值范围为．C．[1,8 D．[8，＋∞解析∵＝错误!错误!错误!＝错误!·错误!·错误!＝错误!≥错误!＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴≥8答案 D2．已知，都为正数，且错误!＋错误!＝1，则有．A．最小值16 B．最大值16C．最小值错误!D．最大值错误!解析∵，∈0，＋∞且错误!＋错误!＝1，∴1＝错误!＋错误!≥2错误!＝错误!，∴错误!≥4，∴≥16，当且仅当错误!即错误!时取等号，此时min＝16答案 A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是．A．V≥π B．V≤πC．V≥错误!π D．V≤错误!π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，于是有V＝πr2h≤π·错误!3＝π错误!3＝π，当且仅当r＝h时取等号．答案 B4．如果圆柱的轴截面周长为定值，那么圆柱的体积最大值是．3π 3π3π 错误!3π解析＝4r＋2h，即2r＋h＝错误!，V＝πr2h≤错误!3π＝错误!3π答案 A二、填空题5．周长为错误!＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析设两直角边长为a，b，斜边长为c，则c2＝a2＋b2，且a＋b＋错误!＝错误!＋1∴错误!＋1＝a＋b＋错误!≥2错误!＋错误!＝2＋错误!错误!，即错误!≤错误!，当且仅当a＝b时取等号．∴三角形的面积S＝错误!ab≤错误!，即S ma＝错误!答案错误!6．用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm2解析设矩形长为 cm00,8－>0，可得S≤错误!2＝16，当且仅当＝8－即＝4时，S ma＝16所以矩形的最大面积是16 cm2答案167．函数＝错误!≠0有最大值______，此时＝______解析∵≠0，∴2>0∴＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当2＝错误!，即4＝9，2＝3，＝±错误!时取等号，即当＝±错误!时，ma＝错误!答案错误!±错误!8．制造容积为错误! m3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为30元/m2，做侧面的金属板价格为20元/m2，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径r＝________，高h＝________解析∵πr2h＝错误!，∴rh＝错误!设用料成本为S，则S＝30πr2＋40πrh＝30πr2＋错误!＝30πr2＋错误!＋错误!≥30π错误!元，当30πr2＝错误!，即r＝错误!时，等号成立，此时h＝错误!答案错误! m 错误! m三、解答题9．求函数＝22＋错误!＞0的最小值．解由＞0知22＞0，错误!＞0，则＝22＋错误!＝22＋错误!＋错误!≥3 错误!＝3错误!当且仅当22＝错误!，即＝错误!时，min＝3错误!＝错误!错误!10．某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元．追加投入的费用按以下关系计算：6＋错误!－118千元，其中表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获得最大附加效益附加效益＝所获奖金－追加费用．解设该城建公司获得的附加效益为千元，则由题意，得＝2－错误!＝118－错误!＝118－错误!＝130－错误!≤130－2 错误!＝130－112＝18，当且仅当4＋3＝错误!，即＝11时取等号．∴提前11天完工，公司可获得最大附加效益．11．设a1，a2，…，a n为正数，证明错误!≥错误!证明因为a1，a2，…，a n为正数，所以，要证错误!≥错误!成立，就是要证明a1＋a2＋…＋a n错误!≥n2由算术—几何平均不等式，可得a1＋a2＋…＋a n≥n错误!，错误!＋错误!＋…＋错误!≥n错误!，两式相乘，即得a1＋a2＋…＋a n·错误!≥n2所以，原不等式成立．。

高中同步数学课时训练：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式(人教A版选修45)

知能巩固提升(三)/课后巩固作业(三)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.函数 (x ＞0)的最小值是( )(A)6 (B) (C)9 (D)12 2.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为( )(A) (B) (C)12 (D) 3.(2012·大连高二检测)函数y=x 4(2-x 2)(0＜x ＜)的最大值是( ) (A)0 (B)1 (C) (D) 4.设a ，b ，c ∈R +,且a+b+c=1,若111M (1)(1)(1)abc=---，则必有( ) (A)0≤M< (B)≤M<1 (C)1≤M<8 (D)M ≥8 5.已知x ∈R +,有不等式:322214x x 4x x 4x x2,x 33,.xx x 22x 22x +≥=+=++≥=…启发我们可以推广结论为: (n ∈N *)，则a 的值为( )(A)n n (B)2n (C)n 2 (D)2n+1 6.(易错题)已知函数f(x)=x 2+bx+c(b,c ∈R,且为常数)和的定义域均为如果当自变量取同一值时，函数f(x)与g(x)有相同的最小值，那么函数f(x)在上的最大值是( )(A) (B) (C)4 (D)8 二、填空题(每小题6分，共18分)7.若x,y ∈R +且xy=1,则的最小值是________.8.若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算，即则两边均含有运算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c 都能成立的一个等式可以是__________.9.已知点P 为边长为的等边三角形内一点，它到三边距离为x,y,z,则x,y,z 满足关系式为________，x 2+y 2+z 2的最小值为________. 三、解答题(每小题14分，共28分) 10.(1)求函数 (x ＞0)的最小值；(2)求函数y=x 2(a-x)(x ＞0,a 为大于x 的常数)的最大值. 11.设a,b,c ∈R+，求证:333111abc a b c+++≥ 【挑战能力】(18分)如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值.答案解析1【解析】选C.222123x 3x 12y 3x 9,x 22x 2x =+=++≥=当且仅当即x=2时取等号.【变式训练】函数的最小值是________. 【解析】222222216y 2(x 1)2(x 1)41)2(x 1)41248,(x 1)(x 1)=++++-≥+-=-=++当且仅当即x=±1时取等号. 答案：82.【解析】选C.∵2x >0,4y >0,8z >0, ∴2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥ ==3×4=12.当且仅当2x =22y =23z ，即x=2y=3z,即x=2,y=1,时取等号. 3.【解析】选D.∵0＜x ＜,∴2-x 2＞0,∴()2222223x x 2x x x 3222y 42x 4()22327++-=⨯-≤= 当且仅当即时等号成立. 4.【解析】选D.a b c a b c a b c (b c)(a c)(a b)bc acab M (1)(1)(1)8,a b c abc abc+++++++++=---=≥=当且仅当a=b=c 时等号成立. 5.【解析】选A.n nxn na x x x ax x n n n x +=++⋯++个相加=由推广结论知∴a=n n .6.【解题指南】先求f(x)与g(x)的最小值，然后求b ，c,最后求f(x)在上的最大值.【解析】选C.()2211g x 2x x x 3,x x =+=++≥ 当且仅当即x=1时等号成立.∴f(x)=x 2+bx+c,当x=1时取得最小值3, 即∴b=-2,c=4,f(x)=x 2-2x+4=(x-1)2+3,x ∈, ∴f(x)max =(2-1)2+3=4. 7.【解析】∵x ＞0,y ＞0,xy=1,∴22x y x y (y)(x)1xy 14,y x y x++=+++≥+= 当且仅当即x=y=1时取等号. 答案：4【变式训练】若实数x,y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy+x 2的最小值是_______. 【解析】2211xy x xy xy x 22+=++≥31xy xy x 3(x 3,24=== 当且仅当即x=1,y=2时取等号. 答案：38.【解析】由题意知()b c 2a b ca b*c a ,22++++=+= ()()()()a b a c 2a b c a b *a c ,22+++++++==∴a+(b*c)=(a+b)*(a+c). 答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)9.【解析】由已知2S 4==△ )1S x y z ,2=⨯++△又故x+y+z=3, 又x 2+y 2≥2xy, y 2+z 2≥2yz, z 2+x 2≥2zx,三式相加得2(x 2+y 2+z 2)≥2xy+2yz+2zx 两边加上x 2+y 2+z 2得： 3(x 2+y 2+z 2)≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx= (x+y+z)2=9,∴x 2+y 2+z 2≥3,当且仅当x=y=z 时取等号. 答案：x+y+z=3 3 10.【解析】(1)∵x ＞0, 且 (定值), ∴222333y x x x2x 2x 2x 2x=+=++≥ 当且仅当即时等号成立，∴ (2)∵x ＞0,a ＞x 且 (常数),∴y=x 2(a-x)=()333x xa x a 42244a ,32727++-≤=⨯=［］当且仅当即时等号成立， ∴【规律方法】用平均不等式求最值利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用，否则会求出错误结果，在具体问题中，“正数”这个条件一般由已知条件容易获得，“相等”条件也容易验证确定，而获得“定值”条件往往被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形能力，因此，“定值”条件是运用不等式求最值的关键，解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.当连续应用不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，否则也不能求出最值.11.【证明】∵a,b,c ∈R +,∴333333111a b c b c++≥，即(当且仅当a=b=c 时取等号)， ∴3331113abc abc,a b c abc+++≥+ 而3abc abc 23abc abc+≥=(当且仅当a 2b 2c 2=3时等号成立)， ∴333111abc a b c+++≥(当且仅当时，等号成立). 【挑战能力】【解题指南】设出变量表示出容器的容积，利用三个正数的平均不等式求解.【解析】设正六棱柱容器底面边长为x(x ＞0),高为h,由图(3)可有 ∴ V=S 底·h=()()23x xx 1x 1x 22=-=⨯⨯- 3x x1x1229().33++-≤⨯=当且仅当即时，等号成立.所以当底面边长为，正六棱柱容器容积最大,为. 【规律方法】解决实际应用题的步骤：(1)在理解题意的基础上设变量，设变量时，一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量取值范围)内求出函数的最大值、最小值；(4)回归到实际问题中，写出正确答案.。

人教A版选修4-5 1.1.3三个正数的算术——几何平均不等式(一) 作业

课后导练基础达标1当x>0时,求y=x 2+x 2的最小值. 解析:∵y=x 2+x 1+x1≥3,且能取“=”, ∴y 的最小值为3.答案:3.2在边长为a 的正方形铁皮的四个角上剪去同样大小的四个小正方形(如图),然后制成一个长方体容器,则制成的容器的体积的最大值是( )A.273aB.2723a C.2743a D.2783a 解析:设剪下的小正方形边长为x,易见容器的容积是V=(a-2x)2·x(0<x<2a ). ∵V=(a-2x)2·x =41［(a-2x)·(a-2x)·(4x)］ ≤41［34)2()2(x x a x a +-+-］3=272a 3 (当且仅当a-2x=4x,即x=6a 时,取“=”), ∴容器容积的最大值是272a 3. 答案:B3用长度分别为2,3,4,5,6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( )A.58 cm 2B.106 cm 2C.553 cm 2D.20 cm 2解析:令p=2c b a ++,则p=10. 由海伦公式S=))()((c p b p a p p ---知S=3]3)10()10()10([10)10)(10)(10(10c b a c b a -+-+-≤--- =39100<20<553. 由于等号成立的条件为10-a=10-b=10-c,故“=”不成立,∴S<20<553.排除C,D.由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c 三边长最接近时面积最大,此时三边长为7,7,6,面积为58106>,故选B.答案:B4已知a,b,c ∈R +,求证: (1)(a c c b b a ++)(ca b c a b ++)≥9; (2)(a+b+c)(a 2+b 2+c 2)≥9abc.证明:运用均值不等式得 (1)(a c c b b a ++)（ca b c a b ++）3333c a b c a b a c c b b a •••••≥=9; (2)(a+b+c)(a 2+b 2+c 2) ≥323)(33abc abc •=9abc.5设0<x<21,求y=x 2(1-2x)的最大值,并指出相应的x 的值. 解析:y=x 2(1-2x)=x ·x ·(1-2x) ≤［3)21(x x x -++］3=271, (当且仅当x=x=1-2x,即x=31时,取“=”) ∴当x=31时,y 取得最大值271. 综合运用6设p,q>0,且p 3+q 3=2,求证:p+q ≤2.证明:∵p,q>0,∴p ·1·1≤311333++p , q ·1·1≤311333++p . ∴p+q ≤3433++q p =2.∴原不等式成立.7制造一个能盛放108千克的无盖长方体形水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省? 解析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.设长方体的长,宽为a,b(分米),高为h(分米),易知该水箱的容积为108立方分米,即abh=108,设该水箱的用料面积为S,则S=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh ≥323)(43)2()2()(3abh bh ah ab =••=108,即S ≥108(平方分米)(当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,取“=”).∴水箱的底面是边长为6分米的正方形,高为3分米时,用料最省.8如果a,b,c ∈R +,求证:3(33abc c b a -++)≥2(ab b a -+2). 证明:直接运用均值不等式可得33abc c b a ≥++,ab b a ≥+2,也只能得到33abc c b a -++≥0,ab b a -+2≥0, 尚不能证出3(33abc c b a -++)≥2(ab b a -+2),因此应该对结论式进行分析,变形,寻找突破口. 3(33abc c b a -++)≥2(ab b a -+2) ⇔c+ab 2≥33abc .①考虑到①式右边的特点,可联想到应用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数,但①式左边形式上是两个数相加,因此把它变为三个数相加,即 c+ab 2=c+ab +ab ≥33ab ab c •=33abc .∴3(33abc c b a -++)≥2(ab b a -+2). 9设a,b,c>0,求证:(a+b+c)(a 1+c b 93+)>27. 证明:∵a>0,b>0,c>0, ∴33abc c b a -++, 即a+b+c ≥3·33abc .①同理,a 1+cb 93+≥3·327abc .② 又①②式中的“=”成立的条件不同,即“=”不同时成立,∴①×②,得(a+b+c)(a 1+cb 93+)>3·327abc ·3·3abc =27, 即(a+b+c)(a 1+cb 93+)>27. 拓展探究 10试利用2b a +≥ab ab(a,b>0), 证明3c b a ++≥3abc (a,b,c>0). 证法一:∵a,b,c>0,∴a+b ≥ab 2,c+3abc ≥26432abc abc c =•,∴a+b+c+3abc ab 2+642abc =332363236422)(2abc c ab ab c ab ab =••≥+. 故a+b+c ≥3·3abc , 即33abc c b a -++,其中等号当且仅当a=b,c=3abc 且3ab =32c , 即a=b=c 时成立 .证法二:设A=3c b a ++,由a,b,c>0,得A>0,且a+b+c=3A, 于是A=≥+++=+++=+)22(21433A c b a A c b a A A 4)(21abcA cA ab cA ab =•≥+ ∴A 4≥abcA,A ≥3abc , 即33abc c b a ≥++, 等号当且仅当a=b,c=A,且cA ab +,即a=b=c 时成立.备选习题11甲,乙两人同时从A 地出发走向B 地,甲先用31的时间以速度p 行走,再用31的时间以速度q 行走,最后用31的时间用速度r 行走;乙在前31的路程用速度p 行走,中f 间31的路程用速度q 行走,最后31的路程用速度r 行走(p ≠q ≠r).问甲,乙两人谁先到达B 地,为什么? 解析:设A,B 两地间的距离为s(s>0).甲从A 地到B 地所用的时间为t 1,乙从A 地到B 地所用时间为t 2,由题意,得s=p ·31t +q ·31t +r ·31t ,得t 1=r q p s ++3, 而t 2=3s ÷p+3s ÷q+3s ÷r=3s (rq p 111++). 由均值不等式,得t 2>33331pqr s pqr =>rq p s ++3=t 1 (∵p ≠q ≠r,∴“=”不成立).∴t 1<t 2,即甲先到达B 地.12已知x>0,由不等式 x+x1≥2, x+224224x x x x ++=≥3, ……启发我们可以得出以下结论: x+n xa ≥n+1(n ∈N *),则a=_____________. 解析:x+n x a =1)()1(+••+≥++++n n n n n x a n x n x a n x n x n x个=(n+1)·1+n n n a =n+1, 故a=n n .答案:n n13已知实数x,y 满足:xy>0且x 2y=2,则xy+x 2的最小值应是__________,取最小值时x=__________,y=__________.解析:xy+x 2=21xy+21xy+x 2≥3·322)(41y x =3, ∴xy+x 2的最小值为3,此时x=1,y=2.答案:3 1 214已知x>y>0,求证:x+yy x )(1-≥3. 证明:x=(x-y)+y,由x>y>0,知x-y>0,∴x+yy x )(1-=［(x-y)+y ］+y y x •-)(1≥3·3)(1)(yy x y y x •-••-=3, 当且仅当x=2,y=1时取“=”.∴原不等式成立.15已知x,y,z 是三角形的三边长,求证:zy x z y z x y x z y x -++-++-+≥3. 证明:∵x,y,z 是三角形的三边长,∴x+y-z>0,x+z-y>0,y+z-x>0.∴(y+z-x)+(z+x-y)+(x+y-z)≥3·3))()((z y x y x z x z y -+-+-+,①zy x y x z x z y -++-++-+111 ≥3·3))()((1z y x y x z x z y -+-+-+.② 由①×②得［(y+z-x)+(z+x-y)+(x+y-z)］·［z y x y x z x z y -++-++-+111］ ≥3·3))()((z y x y x z x z y -+-+-+·3·3))()((1z y x y x z x z y -+-+-+=9, 即(x+y+z)(zy x y x z x z y -++-++-+111)≥9. ∴(x z y x -+2+1)+(yx z y -+2+1)+(z y x z -+2+1)≥9. ∴zy x z y z x y x z y x -++-++-+222≥6. ∴z y x z y z x y x z y x -++-++-+≥3, 即原不等式成立.16某地区农民的年总收入:第一年至第二年增长的百分率为m 1,第二年至第三年增长的百分率为m 2,第三年至第四年增长的百分率为m 3，若m 1+m 2+m 3为定值,则年平均增长的百分率m 的最大值为……( )A.3321m m mB.3321m m m ++ C.3321m m m D.3)1)(1)(1(321m m m +++ 解析:设农民第一年总收入为a,则a(1+m)3=a(1+m 1)(1+m 2)(1+m 3)≤a(3111321m m m +++++)3 =a(1+3321m m m ++)3, 所以平均增长率m 的最大值为3321m m m ++. 答案:B。

【高中】高中数学课时跟踪检测三三个正数的算术几何平均不等式新人教A版选修45

【关键字】高中课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式1．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是( )A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，∴ymin＝6.B．y＝2＋x＋≥3＝3，∴ymin＝3.C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4.D．y＝x(1－x)(1－2x)≤3＝，∴ymax＝.解析：选C A、B、D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤3(a，b，c∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．2．已知a，b，c为正数，则＋＋有( )A．最小值3 B．最大值．最小值2 D．最大值2解析：选A ＋＋≥3＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，等号成立．3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是( )A. B. C. D.解析：选A 由logxy＝－2，得y＝.而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是( )A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π解析：选B 设圆柱底面半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π3＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时，等号成立．5．若a>2，b>3，则a＋b＋的最小值为________．解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时，等号成立．答案：86．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.解析：∵0<x<1，∴1－x>0.故x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤3＝×＝(当且仅当x ＝时，等号成立)．答案：7．已知关于x 的不等式2x ＋≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋＝(x －a)＋(x －a)＋＋.∵x －a>0，∴2x ＋≥3＋＝3＋，当且仅当x －a ＝即x ＝a ＋1时，等号成立．∴2x ＋的最小值为3＋.由题意可得3＋≥7，得a ≥2.答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c)≥.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c)＝(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)≥3>0.＋＋≥3>0，∴(a ＋b ＋c)≥.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值．解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1) ≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学第1讲不等式和绝对值不等式 1.3 三个正数的

2016-2017学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式 1.3 三个正数的算术—几何平均不等式课后练习新人教A 版选修4-5一、选择题1．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg6] B ．(－∞，3lg2] C ．[lg6，＋∞) D ．[3lg2，＋∞)解析： ∵x ，y ，z ∈R ＋ ∴x ＋y ＋z ＝6≥33xyz ∴xyz ≤8∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg8＝3lg2. 答案： B2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：圆柱高为h ，半径为r ，∴4r ＋2h ＝6 ∴h ＝3－2rV ＝πr 2·h ＝πr 2·(3－2r )＝πr ·(3－2r )·r ≤π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π.答案： B3．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析： x ＋1x≥2x ＋4x2≥3 ⋮ ⋮x ＋n nxn ≥n ＋1 ∴a ＝n n. 答案： A4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x解析： ∵a ＋b ＋c ≥33abc ∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y∴x 2－z 2＝a ＋b ＋c29－a 2＋b 2＋c 23＝2ab ＋2bc ＋2ac －2a 2－2b 2－2c 29＝－a ＋b2－b ＋c2－a ＋c29<0.∴x 2≤z 2∴x ≤z ∴y ≤x ≤z 答案： B 二、填空题5．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：如图所示P 到三边的距离分别为a ，b ，c . ∵S ＝12×3×4＝6S ＝12(3a ＋4b ＋5c )．∴3a ＋4b ＋5c ＝12 ∴12≥333a ×4b ×5c ∴abc ≤1615.答案：16156．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式： ①abc ≤127；②1abc ≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13；④ab ＋bc ＋ca ≤13.其中正确不等式的序号是________．解析：因为a ＋b ＋c3≥3abc .所以abc ≤a ＋b ＋c327又因为a ＋b ＋c ＝1，所以abc ≤127 ①正确所以1abc≥27 ②正确因为a 2＋b 2≥2aba 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc 相加得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc ，因为a ＋b ＋c ＝1(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤3(a 2＋b 2＋c 2) 所以a 2＋b 2＋c 2≥13③正确(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≥3(ab ＋bc ＋ac ) 所以ab ＋bc ＋ac ≤13 ④正确答案： ①②③④ 三、解答题7．已知x ，y ∈R ＋且x 2y ＝4，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x ，y 的值．解析： ∵x ，y ∈R ＋且x 2y ＝4，∴x ＋y ＝12x ＋12x ＋y ≥3314x 2y ＝3314×4＝3，当且仅当x 2＝x2＝y 时等号成立．又∵x 2y ＝4.∴当x ＝2，y ＝1时，x ＋y 取最小值3.8．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．解析：方法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23.①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以(1a ＋1b ＋1c )2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．方法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．9．如图所示，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？解析：设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则V ＝(a －2x )2x ＝14(a －2x )(a －2x )×4x≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2x ＋a －2x ＋4x 33＝2a 327. 当且仅当a －2x ＝a －2x ＝4x ，即当x ＝a6时，不等式取等号，此时V 取最大值2a327，即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子容积最大．。

高中数学第一1.1.3三个正数的算术几何平均不等式自我小测新人教选修

1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式自我小测1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝－－－，则必有( )． A ．0≤M ＜18 B ．18≤M ＜1 C ．1≤M ＜8 D ．M ≥82．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )．A ．B ．C ．12D ．3．设π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________． 4．设x ＞0，则22x x＋≥__________.5．已知0＜x ＜4.5，则x 2(9－2x )的最大值是__________．6．已知圆柱的体积V 是定值，问圆柱的底半径r 和高h 各是多少时，圆柱的全面积S 最小？并求S 的最小值．7．若a ＞b ＞0，求1a b a b ()＋－的最小值．8．甲、乙两人同时沿同一路线从A 地出发走向B 地，甲先用13的时间以速度p 行走，再用13的时间以速度q 行走，最后用13的时间以速度r 行走；乙在前13的路程用速度p 行走，中间13的路程用速度q 行走，最后13的路程用速度r 行走(p ，q ，r 均不相等)，问甲、乙两人谁先到达B 地，为什么？9.已知a ，b ，c 均为正数，证明2222111a b c a b c ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋a ，b ，c为何值时，等号成立．参考答案1. 答案：D 解析：111a b c a b c a b c M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＋＋＋＋＋＋＝－－－8b c a c a b abc ()()()≥＋＋＋＝，当且仅当13a b c ＝＝＝时等号成立． 2. 答案：C解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥12.当且仅当2x ＝22y ＝23z，即x ＝2，y ＝1，23z ＝时，等号成立．3. 解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤3222sin sin 2cos 8648832727x x x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＋＋＝＝， ∴26427y ≤，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x max y .4. 答案：3解析：∵x ＞0，∴222113x x xx x≥＋＝＋＋. 当且仅当21x x＝，即x ＝1时等号成立．∴223x x≥＋. 5. 答案：27解析：由题可知x 2(9－2x )＝x ·x ·(9－2x )．因为0＜x ＜4.5，所以9－2x ＞0.所以923x x x ()≥＋＋－3≤，即x 2(9－2x )≤27.当且仅当x ＝9－2x ，即x ＝3时，等号成立．因此，当x ＝3时，x 2(9－2x )有最大值是27. 6. 解：πr 2h ＝V ，S ＝2πr 2＋2πrh2112π2π22r rh rh ⎛⎫≥⋅ ⎪⎝⎭＝＋＋6π＝当且仅当212r rh ＝，即h ＝2r 时，等号成立．即r h ＝min S ＝.7. 解：∵11()a a b b b a b b a b ()()＋＝－＋＋－－3≥，当且仅当a ＝2，b ＝1时，等号成立，∴1a b a b ()＋－的最小值为3.8. 解：设A ，B 两地间的距离为s (s ＞0)，甲从A 到B 所用的时间为t 1，乙从A 到B 所用的时间为t 2，由题意得111333t t t s p q r ⨯⨯⨯＝＋＋， ∴13s t p q r ＝＋＋，233s st p q ÷÷＝＋111()33s s r p q r ÷＋＝＋＋．∴213st t p q r≥≥＝＋＋．∵p ，q ，r 均不相等，∴等号不成立． ∴t 1＜t 2，甲先到B 地．9. 证法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 231113()abc a b c≥＋＋，所以2231119()abc a b c -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋.②故2222111a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋＋＋＋22333()9()abc abc ≥－＋.又22333()9()abc abc ≥－＋所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当22333()9()abc abc －＋时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立．证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac. 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac.① 同理，222111111a b c ab bc ac≥＋＋＋＋.② 故2222111a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋≥ab ＋bc ＋ac ＋333ab bc ac≥＋＋③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立．。

2020版高中数学三个正数的算术_几何平均不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5

3.三个正数的算术-几何平均不等式基础巩固1已知a ,b ,c 均为正数,且abc=27,则a+b+c 的最小值为( ) A.3B.6C.9D.27a ,b ,c 均为正数,∴a+b+c ≥3√abc 3=3√273=9(当且仅当a=b=c=3时,等号成立). ∴a+b+c 的最小值为9.故选C .2函数f (x )=1x 2+2x (x >0)的最小值为( )A.3B.4C.5D.6x>0,∴f (x )=1x2+x +x ≥3√1x2·x ·x 3=3,当且仅当1x 2=x =x ,即x=1时,等号成立.故选A .3设x ,y ,z>0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)lg x+lg y+lg z=lg(xyz ),而xyz ≤(x +x +x 3)3=23,∴lg x+lg y+lg z ≤lg23=3lg2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.4函数y=x 2(1-5x )(0≤x ≤15)的最大值为( )A .4675B .2657C .4645D .26755若a>b>0,则a +1x (x -x )的最小值为( ) A.0B.1C.2D.3a +1x (x -x )=(x −x )+x +1x (x -x )≥3√(a -b)·b·1b(a -b)3=3,当且仅当a=2,b=1时,等号成立,∴a +1b(a -b)的最小值为3.6若正数x ,y 满足xy 2=4,则x+2y 的最小值为 .xy 2=4,x>0,y>0,∴x =4x 2.∴x+2y =4x 2+2x =4x 2+x +x ≥3√4x 2·y·y 3=3√43,当且仅当4x 2=x ,即x=y =√43时,等号成立,此时x+2y 的最小值为3√43.√437函数y=4sin 2x cos x 的最大值为 ,最小值为 .y 2=16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x=8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8(xxx 2x +xxx 2x +2xxx 2x3)3=8×827=6427,∴y 2≤6427,当且仅当sin 2x=2cos 2x ,即tan x=±√2时,等号成立.∴y max =89√3,x min =−89√3.√3 −89√38设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,当其表面积最小时,底面边长为多少?x ,高为h , 则√34x 2·h=V ,所以h =4√3V 3x 2.又S 表=2·√34x 2+3xx=√32x 2+3x ·4√3V 3x 2=√32x 2+4√3V x =√32(x 2+8V x )=√32(x 2+4V x +4Vx) ≥√32×3√16x 23=3√3·√2x 23, 当且仅当x 2=4xx,即x =√4x 3时,等号成立.故所求底面边长为√4x3.9设a,b,c>0,求证:1x3+1x3+1x3+xxx≥2√3.a,b,c>0,由算术-几何平均不等式可得1x3+1x3+1x3≥3√1a3·1b3·1c33,即1a3+1b3+1c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).所以1a3+1b3+1c3+xxx≥3abc+xxx.又因为3abc +xxx≥2√3abc·abc=2√3(当且仅当a2b2c2=3时,等号成立),所以1a3+1b3+1c3+xxx≥2√3(当且仅当a=b=c=√36时,等号成立).能力提升1已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是() A.V≥π B.V≤πC.V≥18πD.x≤18π,设圆柱半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π(x+x+x3)3=π,当且仅当R=h=1时,等号成立.2若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是() A.1 B.2C.3D.42=12xx+12xx+x2≥3√12xx·12xx·x23=3√14(x2x)23=3√443=3,当且仅当12xx=x2,即x=1,y=2时,等号成立.3已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z的最小值为( ) A.3√63B .2√2C .12D .12√532x>0,4y>0,8z>0,∴2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3√2x ·22x ·23x 3=3√2x +2x +3x 3=3×4=12,当且仅当2x =22y =23z,即x=2,y=1,z =23时,等号成立.★4已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,对于下列不等式:①abc ≤127;②1xxx ≥27;③a 2+b 2+c 2≥13;④xx +xx +xx ≤13.其中正确不等式的序号是 .a ,b ,c ∈(0,+∞),∴1=a+b+c ≥3√abc 3,0<xxx ≤(13)3=127,1abc ≥27.故①正确,②也正确.∵1=(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca ≤a 2+b 2+c 2+(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)=3(a 2+b 2+c 2),∴a 2+b 2+c 2≥13,故③正确.∵2=2(a+b+c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)+4ab+4bc+4ca ≥2ab+2bc+2ca+4ab+4bc+4ca=6(ab+bc+ca ),∴0<ab+bc+ca ≤26=13,故④正确.5如图①所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图②所示,求这个正六棱柱容器的容积最大值.x (x>0),高为h ,由右图可得2h +√3x =√3, 则h =√32(1−x ),V=S 底·h=6×√34x 2·h =3√32x 2·√32·(1-x ) =9×x 2×x 2×(1−x )≤9×(x 2+x2+1-x 3)3=13,≤9×(x 2+x2+1-x 3)3=13,当且仅当x 2=x 2=1−x ,即x =23时,等号成立.所以当底面边长为23时,正六棱柱容器的容积最大,为13.6已知a ,b ,c 均为正数,证明：a 2+b 2+c 2+(1x+1x+1x)2≥6√3,并确定x ,x ,x 为何值时,等号成立.a ,b ,c 均为正数,由算术-几何平均不等式,得a 2+b 2+c 2≥3(ab x )23,①1x+1x +1x ≥3(ab x )-13,所以(1x +1x +1x )2≥9(ab x )-23.② 故a 2+b 2+c 2+(1x +1x +1x )2≥3(ab x )23+9(xxx )-23.又3(ab x )23+9(xxx )-23≥2√27=6√3,③ 当且仅当a=b=c 时,①式和②式等号成立.当且仅当3(ab x )23=9(xxx )-23时,③式等号成立. 即当且仅当a=b=c =314时,原式等号成立. 所以原不等式成立. ★7设0<θ<π,求函数y=sin x2(1+cos x )的最大值.,要通过恰当变形使各因式之和为定值,同时还要保证能够使等号成立,此题中含有三角函数,求解时切不可忽略其自身的范围限制.sin x2(1+cos θ)=2sin x2cos2x 2>0(0<x <π),y 取最大值当且仅当y 2取最大值.y 2=4sin 2x 2·cos 4x 2=4sin2x 2·cos 2x 2·cos 2x2=2·2sin 2x2·cos 2x 2·cos 2x2≤2·(2sin 2x 2+cos 2x2+cos 2x 23)3=2×(23)3=1627,当且仅当2sin 2x 2=cos2x 2时,等号成立,此时tan 2x 2=12,tan x 2=√22. 则x max 2=1627,故y max =49√3.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【金版学案】2014-2015学年高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何
平均不等式同步检测试题新人教A 版选修4-5
一层练习
1．函数y ＝x 2
(1－5x )(0≤x ≤15
)的最大值是( )
A ．4 B.215 C.4675 D.5
2
答案：C
2．若x >0，则4x ＋9
x
2的最小值是( )
A ．9
B ．33
36 C ．13 D ．不存在
答案：B
3．已知a .b .c ∈R ＋
则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c
)≥________.
答案：9
4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2
的最大值是________．
答案：4
5．已知a ，b ，c 为正数，求证：
(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2
)≥9abc .
证明：∵a ，b ，c 为正数，
∴a ＋b ＋c ≥33abc ，a 2＋b 2＋c 2
≥33a 2b 2c 2 ∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2
)≥33abc ×33a 2b 2c 2 ＝93abc ×a 2b 2c 2
.
∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2
)≥9abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
二层练习
6．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2
y ＝2，则xy ＋x 2
的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案：C
7．求函数y ＝3x ＋4
x
2(x >0)的最值．
解析：∵x >0，
∴y ＝3x ＋4
x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2≥333x 2×3x 2×4x 2＝33
9.当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393
时
取符号．
∴当x ＝2393
时，函数y 的最小值为33
9.
三层练习
8．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2
θ的最大值．
分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin 2θ＋cos 2
θ＝1的应用．
解析：∵y 2＝sin 2θcos 2θcos 2
θ
＝12
×2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2
θ)
≤12(23)3＝427
.
当且仅当2sin 2
θ＝1－sin 2
θ，即sin θ＝
3
3
时取等号．
∴y max ＝23
9
.
9．已知正数a ，b 满足ab 2
＝1，求a ＋b 的最小值．
解析：因为a ，b 是正数，ab 2
＝1，所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b
2≥33ab 24＝32
3
2.
故a ＋b 的最小值是32
3
2，
当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧
ab 2
＝1，a ＝b
2
，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1232，
b ＝32
时取到最小值．
10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为
何值时，等号成立．
证明：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得
a 2＋
b 2＋
c 2≥3(abc )2
3
，①
1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13
，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2
≥9(abc )－23.②
故a 2＋b 2＋c 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.
又3(abc )23＋9(abc )－2
3
≥227＝63，③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc )23＝9(abc )－2
3
时，③式等号成立．
故当且仅当a ＝b ＝c ＝31
4
时，原不等式等号成立．
11．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？
分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．
解析：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－x －12
＝
8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为6×34×(8＋2x －x 2)2＝332
(8＋2x －x 2
)，帐篷
的体积为
V (x )＝332(8＋2x －x 2
)·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13x －1＋1
＝3
2
(4－x )(x ＋2)(x ＋2) ＝
3
4
(8－2x )(x ＋2)(x ＋2) ≤34⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－2x ＋x ＋2＋x ＋233
＝
3
4
×64 ＝16 3.
当且仅当8－2x ＝x ＋2，即x ＝2时取等号．
故当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为2 m 时帐篷的体积最大，其值为16 3 m 2
.
1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．
(1)“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，
否则不等式是不成立的，如a＋b＋c≥33
abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而
33
abc＝6，显然－2≥6不成立．
(2)“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋a n
为定值)，求其积a1·a2·…·a n的最大值；二是已知积a1·a2·…·a n为定值，求其和a1＋a2＋…＋a n的最小值．
(3)“三相等”：取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝a n，不能只是一部分相等．
2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后者a，b，c∈R＋，要注意区别．
3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．。

高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式同步检测试题 新人教A版选修45

高中数学人教A版选修4-5同步辅导与检测1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式

高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.3 三个正数的算术—几何平均不等式课后练习 新人教A版

人教A版选修4-5 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式 作业