八年级鲁教版数学第一章1.1分解因式
鲁教版数学八年级上册 因式分解
善于辨析：因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法? 哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
归纳
（1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积 的形式表示； （3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于 原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个因式不能再分解为止.
随堂练习
把左右两边对应的式子连起来，并说明哪 些变形是因式分解，哪些是整式乘法.
来的多项式的次数； 5. 必须分解到每个多项式不能再分解为止. 6. 分解因式在实际问题中的应用.
PART
1.1 因式分解 1
回顾 & 思考
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)= am+an .
(3)多项式乘以多项式
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn .
回顾 & 思考
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式
(a+b)(a-b)= a2 - b2 .
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘 法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个 多项式化成几个整式的积的形式. 你还能再举一些类似的例子加以说明吗?
鲁教版八年级上册第一章《因式分解》全攻略
《因式分解》全攻略鲁教版初中数学中，关于因式分解只介绍了两种方法，即“提公因式法”和“公式法”。
所以，知识点并不多，但是题目的形式却变化很多。
学习中必须抓住特点，整体把握，才能游刃有余。
下面举例说明：【方法一：提公因式法】例1 分解因式 3232322242bc a c ab c b a +-特点：公因式是单项式32abc例2 分解因式 )3(2)3(x b x a ---特点：公因式是多项式是)3(-x ，要先通过提负号，化成)3(2)3(-+-x b x a思考：怎么“化”的？例3 分解因式 22)1()1(-+-x y x y特点：公因式是单项式与多项式的乘积)1(x y -，要先将22)1(-x y 化成22)1(x y - 思考：怎么“化”的？例4 分解因式))(2())(2(x y a b x y x b a -----特点：公因式是多项式与多项式的乘积))(2(y x b a --，要先将))(2(x y a b x ---化成))(2(y x b a x ---思考：怎么“化”的？【方法二：公式法】平方差公式))((22b a b a b a -+=-例5 分解因式442-y x特点：“a ”和“b ”都是单项式，分别是2xy 和2例6 分解因式2)(49n m --特点：“a ”和“b ”分别是单项式和多项式，分别是3和)(2n m -例7 分解因式22)(9)(25b a b a +--特点：“a ”和“b ”都是多项式，分别是)(5b a -和)(3b a +完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±例8 分解因式44242+-ab b a特点：“a ”和“b ”都是单项式，分别是2ab 和2例9 分解因式2)(4)(129n m n m +++-特点：“a ”和“b ”分别是单项式和多项式，分别是3和)(2n m +例10 分解因式22)())(2(2)2(b a b a b a b a -+-+-+特点：“a ”和“b ”都是多项式，分别是)2(b a +和)(b a -【其它注意事项】1.分解要彻底例11 分解因式14-a （特点：两次平方差公式）例12 分解因式22)2()2(a b b a ---（特点：平方差公式+提公因式）例13 分解因式222224)(y x y x -+（特点：平方差公式+完全平方公式） 例14 分解因式42242y y x x +-（特点：完全平方公式+平方差公式）例15 分解因式4224y x y x -（特点：提公因式+平方差公式）例16 分解因式2234242y x y x x +-（特点：提公因式+完全平方公式）例17 分解因式42222)2(2)2(y y xy x xy x +-+-（特点：两次完全平方公式）2.特殊处理方法例18 分解因式222y x xy --（特点：先提出“-”，再利用完全平方公式） 变式：因式分解224y x +-例19 分解因式21222++x x （特点：先提出2或21，再利用完全平方公式） 变式：因式分解22212y x - 例20 分解因式x x 4)1(2-+【特点：先乘开2)1(+x ，化简后再用完全平方公式】请将上面的20个例题认真地整理完：例1： 3232322242bc a c ab c b a +- 例2： )3(2)3(x b x a ---例3： 22)1()1(-+-x y x y 例4： ))(2())(2(x y a b x y x b a -----例5： 442-y x例6： 2)(49n m --例7： 22)(9)(25b a b a +--例8： 44242+-ab b a例9： 2)(4)(129n m n m +++-例10： 22)())(2(2)2(b a b a b a b a -+-+-+例11： 14-a例12： 22)2()2(a b b a --+例13： 222224)(y x y x -+ 例14： 42242y y x x +-例15： 4224y x y x -例16： 2224242y x y x x +-例17： 42222)2(2)2(y y xy x xy x +-+-例18： 222y x xy --例18变式：224y x +-例19： 21222++x x例19变式：22212y x -例20： x x 4)1(2-+。
鲁教版八年级数学上册第一章因式分解1因式分解课件
解析 根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形,3 个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成的, ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2, ∵大长方形的长为a+2b,宽为a+b, ∴大长方形的面积也可表示为(a+2b)(a+b), ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b), 故选B.
A.20
B.30
C.35
D.40
解析 ∵259+517=518+517=517×(5+1)=517×6=516×30,∴n的值可 能是30.故选B.
6.(新考向·代数推理)将图中的一个正方形和三个长方形拼
成一个大长方形,根据此图写出一个多项式的因式分解: x2+3x+2=(x+2)(x+1) .
解析 拼成的大长方形如图所示:
方形,直接写出相应的等式:
;
(2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式,
并把所拼得的图形画在如图④所示的虚线方框内;
(3)分解因式:2b2-3ab+a2=
.
(直接写出结果,不需要画图)
图①
图②
图③
图④
解析 (1)3b2+4ab+a2=(a+b)(3b+a). (2)2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 如图所示:
12.(2024河北张家口宣化期末,6,★☆☆)小颖利用两种不同 的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的 等式,此等式是 ( B )
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
鲁教版五四制教材八年级数学第一章因式分解教案
鲁教版五四制教材八年级数学第一章因式分解教案第一章因式分解第1课时课题：因式分解一、知识备课：自学目标：（1）认知因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系――相反变形，并可以运用它们之间的相互关系谋求因式分解的方法。
教学重点：对因式分解意义的认知教学难点：因式分解与整式乘法间的关系科学知识要点：因式分解的意义二、自学任务设计：自学教材p.2-4内容解答下列问题：1、尝试把化a3-a成几个整式乘积的形式。
2、什么就是因式分解？认知因式分解的定义应当特别注意什么？3、顺利完成p.3的搞一搞，概括表明因式分解与整式乘法间的关系。
4、单一制顺利完成教材p.3随堂练三、展现训练：1、基础训练题组：1、下列各式从左到右的变形，哪是因式分解?（1）4a(a＋2b)＝4a＋8ab；（2）6ax－3ax＝3ax(2－x)；（3）a－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x－3x＋2＝x(x－3)＋2．b??（5）36a2b?3a?12ab（6）bx?a?x?xa?22222、顺利完成p.4习题2、3、42、提升训练题组：1、19992+1999能够被1999相乘吗？能够被2000相乘吗？2、16.9χ11+15.1χ能被4整除吗？88四、小结：通过本节课的学习你有什么收获？五、达标测评：1、推论以下各式哪些就是整式乘法?哪些就是因式分解?(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2x2-6xy(3).(5a-1)2=25a2-10a+1(4).x2+4x+4=(x+2)2(5).(a-3)(a+3)=a2-9(6).m2-4=(m+4)(m-4)(7).2πr+2πr=2π(r+r)2、1.若a=101,b=99,求a2-b2的值.2.若x=-3,谋20x2-60x的值.3.1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?第一章因式分解第2课时课题：提公因式法（1）一、知识备课：自学目标：1、会用加公因式法展开因式分解。
鲁教版数学八年级上册1.1《因式分解》教学设计
鲁教版数学八年级上册1.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是初中数学八年级上册的重要内容，也是整个初中数学的中坚部分。
它不仅关系到学生对后面知识的学习，而且对培养学生的逻辑思维能力、数学素养都具有重要意义。
鲁教版教材在这一章节中，通过引入实例，引导学生掌握因式分解的方法，从而解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的运算，对基本的数学概念有了一定的理解。
但他们在面对复杂的因式分解问题时，可能会感到困惑，不知道从何下手。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，循序渐进地引导他们掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和应用。
2.难点：如何引导学生发现和运用因式分解的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，发现和理解因式分解的方法。
2.运用案例分析法，分析不同类型的因式分解问题，帮助学生掌握因式分解的技巧。
3.通过小组合作学习，培养学生团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题，以便在课堂上进行分析和操练。
2.准备教学课件，帮助学生直观地理解因式分解的方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个整式的乘积。
例如，已知多项式 f(x) = x^2 + 4x + 4，问如何将其分解？2.呈现（10分钟）呈现教材中关于因式分解的定义和方法，引导学生理解因式分解的概念。
通过分析实例，讲解因式分解的方法，如十字相乘法、提取公因式法等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试运用所学的因式分解方法解决实际问题。
每组选择一个练习题，如：分解多项式 x^2 - 5x + 6。
讨论结束后，各组分享解题过程和答案。
鲁教版 五四学制 八年级上册 数学导学案设计 第一章 1.1因式分解 (无答案)
第一章因式分解1、因式分解学习目标;1.体会因式分解与政府很是乘法的区别与联系。
2.初步噶手因式分解在解决相关问题中的作用。
自主预习：一、因式分解的定义1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做。
它与为互逆变形，整式乘法是“积化和差”，而因式分解师“和差化积”，但都是代数式恒等变形。
如：2x2-10x=2x(x-5)属于；而2（x+3）=2x+6属于。
二、判断因式分解的方法2．判断是否是因式分解要抓如下四点：（1）必须是几个因式的形式；（2）每个因式都必须是；（3）必须分解到每个因式都不能在为止；（4）运算过程必须是。
二、尝试练习1、下列从左边到右边的变形中，哪些是一你是分解，哪些不是因式分解？如果不是，请说明理由。
)；（2）a2-26=(a+5)(a-5)-1；（1）x2+x=x2(1+1x（3）（m+n）(m-n)=m2-n2（4）-x2+(-2)2=(2-x)(2+x)(5)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2、若多项式x2-8x+a可因式分解为（x+3）（x+b），则a= ,b= 。
三、我的困惑。
课中导学典型例题例1、例已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果为（2x-1）(x+1)，2求n m的值。
变式训练1、把多项式x2+mx+5因式分解的（x+5）(x+n)则m= ,b= 。
2、若42x2-31x+2能分解成两个因式从乘积且有一个因式为6x-4,设另一个因式为mx-n，其中m,n 为常数，请你求m，n的值。
3、两位同学将一个二次三项式分解一时，一位同学因看错一次项系数而分解成2（x-1）(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4)，求原多项式。
课后巩固基础巩固1、20993-2099能被2098整除吗？能被2100整除吗？试说明理由。
2、已知多项式x2-mx-36因式分解的结果是(x-4)(x+9),求m的值。
3、利用因式分解计算20.16×52+20.16×74-20.16×26能力提升1、数学课上，王老师用如图（1）的正方形纸片2张，如图（2）的正方形纸片2张，如图（3）的长方形纸片5张，拼成如图（4）的一个大的长方形图案，并请同学们回答下面的三个问题：（1）用一个多项式表示图（4）的面积（2）先用两个整式分别表示图（4）的长和宽，再用它们的乘积表示该图形的面积；（3）根据（1）（2）所得的结果，写出一个因式分解的等式。
鲁教版数学(五四制)八年级数学上册1.1因式分解课件
感悟新知
做一做 视察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
感悟新知
小明是这样做的: 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800
知1－讲
993－99还能 被哪些正整 数整除？
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
பைடு நூலகம்
感悟新知
知1－讲
议一议 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势
感悟新知
知1－讲
特别提醒： 1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积. 2. 因式分解是恒等变形，情势改变但值不改变. 3. 因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分
解为止.
感悟新知
例 1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(
知1－练
D)
A．a2＋1＝a(a＋
1 a
)
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合
因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
感悟新知
1. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 知1－练 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
鲁教版(五四学制)八年级数学上册课件：1.1因式分解 (共15张PPT)
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
鲁教版八年级上册1.1《因式分解》
议一议 你能尝试把a³-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a(a+1)(a-1)
观察下面的拼图过程，写出相应的 关系式。
m a
m
m
b
c
m a+b+c
ma+mb+mc=m(a+b+c)
x x
x
x
1
1
1
1
x+1 x+1
x²+x+x+1=(x+1)²
因式分解定义
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做因式分解。
否
（ 6） x 1 x (1 1 )
否
x
能力提升 拓展应用 1. 当a=3.14，b=2.386，c=1.386时， 求ab－ac的值。
解: ab-ac=a(b-c)
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2. 20082+2008能被2009整除吗? 解: ∵20082+2008=2008(2008+1) =2008 ×2009 ∴ 20082+2009能被2009整除
(2)完全平方公式: (a±b)2=_a_2__2_a_b_+__b_2_
探究
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答：98
复习与回顾
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=a_m__+_a_n__ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=a_m__+_an_+_b_m__+_b_n__ 2.乘法公式有哪些?
鲁教版(五四制)八年级数学上第1章因式分解 1.1 因式分解 上课用课件(19张PPT)
A.3
B.-3
C.-21
D.21
练习反馈
2.若x2-mx-15=(x+3)(x+n),则nm的值为( )
A.-5
B.2
C.25
D.-25
应用举例-简便运算
例1. 计算: 7652×17－2352 ×17
应用举例-简便运算
例1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17
是因式分解．尤其要注意与整式乘法的区分， 避免混淆．
整式乘法与因式分解的关系
因式分解 X2-1
整式乘法
(X+1)(X-1)
整式乘法与因式分解互为逆运算.
例题解析-因式分解的定义
例1.下列式子变形是因式分解的是( ) • A.x2-5x+6=x(x-5)+6 • B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) • C.(x-2)(x-3)= x2-5x+6 • D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
解：a3-a a a2 a 1 a a2 1 a a 1a 1.
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式 。
判断标准
1．判断一种变形是否为因式分解，关键是看： (1)结果是否为几个整式的积； (2)是否为恒等变形．若结果不是积的形式，则不
例题解析-因式分解的定义
例1.下列式子变形是因式分解的是( D )
• A.x2-5x+6=x(x-5)+6 方法：
• B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) 1.先观察式子的右边是 • C.(x-2)(x-3)= x2-5x+6否为几个整式的积的形式；
鲁教版(五四制)数学八年级上册第一章 因式分解 复习教案
注：整体代换思想： 比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.
★综合探究创新
例5若 是完全平方式，求 的值.
说明根据完全平方公式特点求待定系数 ，熟练公式中的“ 、 ”便可自如求解.
例6已知 ，求 的值.
说明将所求的代数式变形，使之成为 的表达式，然后整体代入求值.
二、解答题
1.
2.
3.
反思
二、典型例题及针对练习
考点1 因式分解的概念
例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？
⑴ ⑵ ；
⑶ ⑷ .
考点2 提取公因式法
例2⑴ ； ⑵
解：
[补例练习]1、⑴ ；
⑵
考点3、运用公式法
例3把下列式子分解因式：
1 ； ⑵ .
例4把下列式子分解因式：
1 ； ⑵ .
[补例练习]
2、⑴ ； ⑵ ；
注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
2、提取公因式法
3、运用公式法
把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
ⅰ）平方差公式
注意:①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的 、 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；
周次：学科：数学主备人:审核人：
备课日期：授课日期：授课人：
课题
第一章因式分解
学习目标
1、理解因式分解含义。
2、会用两种方式：提公因式法、公式法分解因式。
重点
掌握因式分解的方法
难点
因式分解两种方法的综合应用
鲁教版数学八年级上册1.1《因式分解》word教案
第一章分解因式1.1分解因式教学目标:（一）教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.（二）能力训练要求通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.（三）情感与价值观要求通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.教学重点:1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.教学难点:通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教学方法：观察小组合作探究式教具准备：课件教学过程:一、创设情境,导入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a －b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.二、明确目标，互助探究：1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.［生］993－99能被100整除.因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）3.做一做（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________.［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;②（y－3）2=y2－6y+9;③3x（x－1）=3x2－3x;④m（a+b+c）=ma+mb+mc;⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2.⑤a3－a=（）（）.［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：①3x2－3x=3x（x－1）;②m2－16=（m+4）（m－4）;③ma+mb+mc=m（a+b+c）;④y2－6y+9=（y－3）2;⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.4.想一想由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即ma +mb +mc m （a +b +c ）.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.［生］（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；（4）是因式分解.［师］大家认可吗？［生］第（4）题不对，因为虽然x 2－3x =x （x －3），但是等号右边x （x －3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.6、课堂练习连一连解：三、总结归纳，课堂反馈本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.四、课后作业：习题1.4 1、3、5选做：问题解决：5、（1） 19992+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？（2）16.9×81 +15.1×81能被4整除吗？ 补充：已知a =2,b =3,c =5.求代数式a （a +b －c ）+b （a +b －c ）+c （c －a －b ）的值.解：当a =2,b =3,c =5时，a （a +b －c ）+b （a +b －c ）+c （c －a －b ）=a （a +b －c ）+b （a +b －c ）－c （a +b －c ）=（a +b －c ）（a +b －c ）=（2+3－5）2=0。
八年级数学上册1.1因式分解复习教案1鲁教版五四制
教学
目标
知识与能力：掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.
过程与方法：通过复习因式分解的基本方法，培养学生观察、分析和创新能力。
情感态度与价值观：通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.
教 学
重点
（7）(a＋b)2＋10c(a＋b)＋25c2．
例3 把下列各式分解因式：
（1）x7y3－x3y3；（2）16x4－72x2y2＋81y4。
从上面的例题中，大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式．
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式．
把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy＋1－4y2的乘积的形式，就是把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解因式．
学习因式分解的概念应注意以下几点：
（1）因式分解是一种恒等变形，即变形前后的两式恒等．
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止．
其他小组评价并补充或提出不同意见。
每次小组发言人轮换，让更多同学有发言机会。
教师记录各小组课堂积分。
五、点拨引领：
根据学生展示点评情况教师进行归纳提升，学生想不到的思路、方法，教师进行点拨引领。
六、当堂练习：
课本复习题
七、课堂反馈
单元过关大卷
重点知识讲解
1．举例说明什么是分解因式．
如15x3y2＋5x2y－20x2y3＝5x2y(3xy＋1－4y2)
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止．
鲁教版八年级数学上第一章因式分解期末复习PPT课件
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
A层练习
基本概念
下列代数式的变形当中哪些是因式分 解，哪些不是？(4′×3=12′)
(1)3a2+6a=3a(a+2)
s是ure?
(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1 (3) 18a3bc=3a2b·6ac
鲁教版八年级数学上册第一章因式分解
期末复习
定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系
分解因式 方法
步骤
提公因式法
平方差公式
公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
提：提公因式 a2±2ab+b2=(a±b)2
公：运用公式 查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
能
如图在半径为R的 圆形钢板上，冲去半 径为r的四个小圆， 利用因式分解计算当 R=7.8,r=1.1时剩余部 分的面积（20分）
大
若x y 5, xy 6, 则x3y xy3 ____________
（20分）
拼
将4x2+1加上一项，使 它成为完全平方式，你有 几种方法? （20分）
⑸(2x+y)2-8(2x+Fra bibliotek)+16
解：原式=(2x+y-4)2
(4)81a4-b4
解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)
(6) (x+1)(x+5）+4 解：原式=x2+6x+5+4
鲁教版五四制八年级上册数学第一章 因式分解 直接提公因式分解因式
(2)(a－b)3－(a－b)2； ＝(a－b)2(a－b－1)．
(3)3m(x－y)－n(y－x)；
＝3m(x－y)＋n(x－y) ＝(x－y)(3m＋n)．
(4)－3an＋2＋2an＋1－5an.
＝－an·3a2－an·(－2a)－an·5 ＝－an(3a2－2a＋5)．
5 ． 多 项 式 8xmyn － 1 － 12x3myn 中 各 项 的 公 因 式是( ) D
A．xmynB．xmyn－1 C．4xmynD．4xmyn－1
【点拨】分别找出公因式的系数、字母及次 数，得4xmyn－1.故选D.
6 ． 【 中 考 ·株 洲 】 因 式 分 解 ： 2a2 － 12a ＝ _2_a_(a_－__6_)_．
17．利用简便方法计算： (1)3.2×202.3＋4.7×202.3＋2.1×202.3；
＝202.3×(3.2＋4.7＋2.1) ＝202.3×10 ＝2023.
(2)36.8×1535＋20.2×1535－2×1535. ＝1535×(36.8＋20.2－2)＝1535×55＝13.
18．1012－9×1010能被91整除吗？为什么？
A．－6B．6 C．－2或6D．－2或30
【点拨】∵x2－2x－3＝0，∴x2－2x＝3.∴2x2 －4x＝2(x2－2x)＝6.
14．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面 积为4，则a2b＋ab2的值为( )
A．14B．16 C．20D．40
【点拨】∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10， 面积为4， ∴2(a＋b)＝10，ab＝4.∴a＋b＝5. ∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝20. 故选C.
鲁教版(五四制)八年级上册第一章因式分解复习讲义(无答案) (1)
第一章因式分解1.1因式分解一、因式分解的概念1、概念：把一个多项式化成的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例1：考察因式分解的定义：下列式子中，（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2，是因式分解的有：练习：请同学们计算下列各式：(1)m(a+b+c)=___________________ (2)(y-2)2=______________________(3)(m+2)(m-2)=__________________根据上面的算式填空：(1)ma+mb+mc=( )( ) (2)y2-4y+4=( )2(3)m2-4=( )( )例2、考察判断因式分解的方法：请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x+6(3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc(5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2练习：下列由左边到右边的变形，哪些不是因式分解？为什么？(1)(2a+2)(2a-2)=4a2-4; (2)a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1; (3)2x2-8x=2x(x2-4)二、因式分解与整式乘法的关系1、区别与联系：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止；例1、考察因式分解与整式乘法的区别：把3(x-1)2利用整式乘法得,把3x2-6x+3分解因式为；练习：判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).(a-3)(a+3)=a2-9 (3).2x(x-3y)=2x2-6xy (4).m2-4=(m+2)(m-2) (5).(5a-1)2=25a2-10a+1 (6).2πR+ 2πr=2π(R+r)(7).x 2+4x+4=(x+2)2例2、考察因式分解的实际应用：若分解因式215(3)()x mx x x n +-=++，求m 的值。
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a
a2-b2=(a+b)(a-b)
a-b
动手做一做
老师给每个小组发了2张边长为a的正方形纸片， 1 张边长为b的正方形纸片，3张长为a，宽为b的长方形纸 片。请小组思考、合作，用它们拼成一个长方形，并分 别用含a、b的代数式表示拼接前后两个图形的面积。
a
b
a b
2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
达标检测
必做： 1、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ C）。 A．a（a－b）＝a2－ab B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1 C ． x 2－ x ＝ x （x －1 ） D．5x( 2x－1)=10x2－5x 2、下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; (× ) （2）6ax-3ax2=3ax（2-x）; (√ ) （3）a2－4=(a+2)(a-2); (√ ) （4）x2－3x+2=x(x-3)+2. (× )
课后作业
A必做题
课本4页习题1.1 B选做题 （1）（巧妙解题） 已知a2－a－1=0，求－a3+2a2+7的值． （2）（一题多解） 用简便方法计算20062－2006×2005．
谢谢大家
想一想
回顾 & 思考
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (a+b)(a-b)= a - b . (2)完全平方公式 2 2 (a±b)2= a 2ab b .
2 2
探究新知
一、计算下列各式: 3x(x-1)= _______ 3x2-3x m(a+b+c) = __________ ma+mb+mc (m+4)(m-4)= _______ m2-16 (y-3)2= ________ y2-6y+9 a(a+1)(a-1)= ______ a3-a 二、根据左面的算式填空: 3x(x-1) 3x2-3x=_________
你能求出m的值吗? 解：(x+2)(2x+3) =2x2+3x+4x+6 =2x2+7x+6
2x2+mx+6 所以m的值为7。
跟踪练习
1、 连一连： x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2 (x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
跟踪练习
2、 下列由左到右的变形，哪些是分解因式， 为什么? 2 , 4 （1）(a+3)(a-3)=a2-9 （2）m2-4=(m+2)(m-2) （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 （4）2mR+2mr=2m(R+r)
因 式 分 解
学习目标
1、了解因式分解的意义，以及它与整式乘法
的关系。
2、感受分解因式在解决相关问题中的作用。
想一想
回顾 & 思考
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 a(m+n)= am+an (3)多项式乘以多项式
.
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn .
随堂练习
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 = 17(7652 －2352) = 17(765+235)(765 －235) = 17×1000×530 = 9010000
感悟收获
这节课-----我学会了…...
使我感到最困难的是……
我想进一步研究的问题是……
例题选讲
例1 下列由左到右的变形中，哪些是分解因 式，哪些不是?
（1）12a 2 b 3a 4ab
（2）( x 5)(x 5) x 2 25 （3）9x2 6x 1 3x(3x 2) 1 （4） 2ax 2ay 2a( x y) 2 2 2 m 4 mn 4 n ( m 2 n ) （5）
达标检测
选做： 3、若分解因式x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为（ C ）
A. -5
B. 5
C. -2
D. 2
4、计算，并说明你的算法 1012-992 解：1012-992 =(101+99)(101-99) =200 ×2 =400
现在有如左图形状的纸张，老师打算在不浪费纸张的前 提下剪拼成一个长方形。
1 （6）x 1 x( x ) x
2
( ×)
( ×) ( ×) (√) (√) ( ×)
例题选讲
例2 已知多项式2x2+mx+6可分解为(x+2)(2x+3),
你能求出m的值吗? 解：(x+2)(2x+3) =2x2+3x+4x+6 =2x2+7x+6
2x2+mx+6
例题选讲
例2 已知多项式2x2+mx+6可分解为(x+2)(2x+3),
m(a+b+c) ma+mb+mc=_________
(m+4)(m-4) m2-16=___________ (y-3)2 y2-6y+9=_______ a(a+1)(a-1) a3-a=____________
题组一的变形是什么运算？ 题组二的变形与题组一的运算有什么不同？
探究新知
因式分解定义
学以致用
一天数学课上，老师布置了这样一道思考题：
993-99能被100整除吗?
很多同学都被难住了，你是怎样想的呢? 聪明的小明是这样想的: 993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
解决问题的关键： 将数式993-99化成 了99、100、98三 个数积的形式！
a3 - a = a(a+1)(a-1)
多项式
整式的积 整式的积
y2 –6y+ 9y2 = (y-3)(y-3)
多项式
把一个多项式化成几个整式的积的形 式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可 称为分解因式.
探究新知
分解因式与整式乘法的关系
分解因式
整式乘法 （多项式）
（整式乘积）
分解因式与整式乘法是互逆的恒 等变形。