高考数学总复习 66 直接证明与间接证明课件 北师大版

\\\\\\方法规律\\\\\ 当要证的不等式较复杂，两端差异难以消除或者已知条件信息 量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法，分析 法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要 证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要 条件是否充分，有时也将分析法与综合法混合使用．
【自主试解】 ∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz， z2＋x2≥2zx， ∴(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)≥2xy＋2yz＋2zx， ∴3(x2＋y2＋z2)≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx， 即 3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1， ∴x2＋y2＋z2≥13成立． \\\\\\方法规律\\\\\ 综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出 发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等 式成立．
【思路点拨】 可先令 x，y 为具体值，确定出常数 C，再给出 一般的证明．
【自主试解】 令 x＝y＝1，得23≤C≤23， ∴C＝23， 下面给出证明：先证明2xx＋y＋x＋y 2y≤23， 因为 x>0，y>0， 要证2xx＋y＋x＋y2y≤23， 只需证明 3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)， 即 x2＋y2≥2xy， 这显然是成立的，
(2)常见的“结论词”与“反设词”如下：
原结论词 反设词
原结论词
反设词
存在某个 x 不 至少有一个 一个 至少有两个 对任意 x 不成立
立
至多有 n－ 至少有 n 个
1个
p或q
綈 p 且綈 q
至少有 n＋ 至多有 n 个
1个
p且q
綈 p 或綈 q
1．已知 a>b>0，求证 a－ b< a－b. 证明：∵a>b>0， ∴b< ab，即 2b<2 ab， 进而－2 ab<－2b， ∴a－2 ab＋b<a＋b－2b， 即 0<( a－ b)2<a－b， ∴ a－ b< a－b.
考点二 分析法
是否存在常数 C，使得不等式2xx＋y＋x＋y2y≤C≤x＋x2y＋ 2xy＋y对任意正数 x，y 恒成立？试证明你的结论．
∴2xx＋y＋x＋y2y≤23， 再证x＋x2y＋2xy＋y≥23， 因为 x>0，y>0， 故只需证明：3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)， 即 2xy≤x2＋y2， 这显然是成立的， ∴x＋x2y＋2xy＋y≥23， 综上所述，存在常数 C＝23，对任意正数 x，y 都有2xx＋y＋x＋y2y ≤C≤ x＋x2y＋2xy＋y成立．
2a＋b a D.a＋2b>b
解析：∵a>b>0，∴1a<1b，
∴a＋1b>b＋1a，故 A 成立．
答案：A
3．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其
中能使ba＋ab≥2 成立的条件有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：要使ba＋ab≥2，只要ba>0 且ab>0，即 a，b 不为 0 且同号即
文字语 因为…所以… 言 或由…得…
执果索因
要证…只需证 即证…
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．等价条件
答案：A
2．若 a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A．a＋1b>b＋1a
b b＋1 B.a>a＋1
C．a＋1a>b＋1b
2．已知非零向量 a，b，且 a⊥b，求证：|a|a|＋ ＋|bb||≤ 2. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0， 要证|a|a|＋ ＋|bb||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证.
5．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60° 答案：B
6．用反证法证明命题“如果
a>b，那么3
3 a>
b”时，假设的内
容应是( )
3 A.
a＝3
b
33 B. a< b
3 C.
a＝3
b且3
3 a<
b
3 D.
a＝3
b或3
3 a<
b
解析：用反证法证明的第一步是假设结论不成立．假设3
3 a>
b不
成立，即3 a≤3 b成立． 答案：D
考点一 综合法
已知 x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥13. 【思路点拨】 利用不等式 a2＋b2≥2ab，列三个不等式，同向 不等式求和即得结论．
可，故有 3 个．
答案：C
4．证明：不等式：x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz. 证明：∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，x2＋z2≥2xz， ∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2yz＋2xz， ∴x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.
二、间接证明 (1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证 明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．
思考过程、特点.
现，成为高考的重点和
热点之一.
一、直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从要证明的结论出 利用已知条件和某些
发，逐步寻求使它成 数学定义、公理、定理
立的充分条件，直至 等，经过一系列的推理
最后，把要证明的结 论证，最后推导出所要
论归结为判定一个 证明的结论成立.
明显成立的条件
实质
由因导果
框图表 示
考点三 反证法
第六节 直接证明与间接证明
目标定位
学习指向
1.了解直接证明的两种基本方 1.本节内容在高考中每 法——分析法和综合法；了解 年都有涉及，主要考查 分析法和综合法的思考过程、 利用综合法和反证法证
特点．
明有关命题．
2.了解间接证明的一种基本方 2.本节的综合法和分析 法——反证法，了解反证法的 法在历年高考中均有体