排列1
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有2112520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
1.2.1排列(1)
“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取 m 个元素 一个排列”是指： 一个排列 个不同元素中， 按照一定的顺序排成一列，不是数； 按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n 个不同元素中，任取 m 个元素的 排列数” 个不同元素中， 排列数 m 所有排列的个数，是一个数； 所有排列的个数，是一个数；所以符号 An 只表示 排列数，而不表示具体的排列。 排列数，而不表示具体的排列。
有关排列数的计算与证明
n n!
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
4 （3 ） 6
2、排列数： 、排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 m(m≤n) 的所有排列的个数，叫做从n 的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。 表示。 取出m个元素的排列数。用符号 A 表示。 n “排列”和“排列数”有什么区别和联 排列” 排列 排列数” 系？
1.2.1
排列(1) 排列(1)
分类加法计数原理： 分类加法计数原理： 完成一件事， 类不同方案， 完成一件事，有n类不同方案，在第 类方案 类不同方案 在第1类方案 中有m 种不同的方法,在第 类方案中有m 在第2类方案中有 中有 1种不同的方法 在第 类方案中有 2种不同 在第n类方案中有 的方法 ……在第 类方案中有 n种不同的方法 那 在第 类方案中有m 种不同的方法.那 么完成这件事共有 N = m + m2 +L+ mn 种 1 不同的方法. 不同的方法 分步乘法计数原理： 分步乘法计数原理： 完成一件事，需要分成n个步骤 做第1步有 个步骤， 完成一件事，需要分成 个步骤，做第 步有 m1种不同的方法 做第 步有 2种不同的方法 种不同的方法,做第 步有m 种不同的方法……， 做第2步有 ， 做第n步有 种不同的方法.那么完成这件事共 步有m 做第 步有 n种不同的方法 那么完成这件事共 种不同的方法. 有 N = m × m2 ×L× mn 种不同的方法 1
线性代数习题集第一章
线性代数习题集第⼀章第⼀章：⾏列式I.单项选择题 1.排列1,3,,(2n 1),2,4,,(2n)-的逆序数为（）(1) n 1- (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 2.排列1,3,,(21),(2),(22),,2n n n --的逆序数为（）(1) n (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 3．四阶⾏列式中含有因⼦1123a a 的项是（）(1) 11233442a a a a (2) 11233344a a a a (3)11233342a a a a (4) 11233442a a a a -4.⾏列式abac aebdcd de bfcfef---的值是（） (1) 2abcdef (2) 4abcdef (3) 6abcdef (4) 8abcdef 5. 设A 为n 阶⽅阵，λ为数，则A λ等于（） (1) A λ (2) A λ (3) n A λ (4) 2A λ6.设ab cD de f g hi=，则元素h 的代数余⼦式为（） (1)a c gi(2) a cdf -(3) a c g i - (4)a c df7.设⾏列式000000a bcD d e f g h i j=，则D 的值等于（） (1) abdg - (2) abdg (3) abdg ceh fi j -+- (4) abdg ceh fi j ++- 8.设A 为n 阶矩阵，则（）(1) A A -= (2) A A -=- (3) (1)n A A -=- (4) 1A A --=9.设A 为n 阶矩阵，且A 的⾏列式0A a =≠，⽽A *是A 的伴随矩阵，则A *等于（）(1) a (2) 1/a (3) n a (4) 1n a -10.若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且1231m αααβ=，1223n ααβα=四阶⾏列式，则32112()αααββ+四阶⾏列式等于（） (1) n m - (2) m n - (3) m n + (4) ()m n -+11.设44? 矩阵[]234,,,A αγγγ= ，[]234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为４维列向量，且已知⾏列式1,1A B ==，则⾏列式A B +等于（） (1)５ (2)10 (3)30 (4)4012.设设A 为m 阶⽅阵，设B 为n 阶⽅阵，且,A a B b ==，00AC B =，则C 等于（）(1) ab (2) ab - (3) (1)nm - (4) (1)nm ab -13.设⾏列式D aba b b a b a a b ab+=++，则D 的值为（）(1) 332()a b -+ (2) 332()a b + (3) 332()a b - (4) 33()a b -+ 14.元素是0和1的三阶⾏列式D 之值只能是（） (1) 3 (2) 3- (3) 4 (4) 0,1,2±± II.填空题1.n 阶⾏列式的完全展开式，应由________项组成，每项位于⾏列式中________的n 个元素的乘机，⽽且项1212n j j nj a a a 的符号为_____.2. n 阶⾏列式1111nn nna a A a a =，则按第i ⾏的展开式为__________;按第j ⾏展开式为__________.3.当A 可逆是1A -=____________.4.设A 是⼀个n 阶⽅阵，k 是⼀个有理数，则kA =________,5.在⾏列式2121113211x x x x j j x-的展开式中，3x 的系数为________,4x 的系数为_________.6.三⾓⾏列式110nn nna a a =_________ 7.⾏列式2111131111411115A ==__________ 8.⾏列式11101210011000000111002A --==--__________ III.判断题1.交换⾏列式中任意两⾏的位置，⾏列式的值不变。
排列组合[1]
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7、错位排列
满足 i1 ≠ 1, i2 ≠ 2, ⋅⋅⋅in ≠ n 则称 ｛ i1 , i2 , ⋅⋅⋅in ｝为｛ 1，2，∙ ∙ ∙ n｝的一个错位排 列 其所有的错位排列数为：
若｛1，2，∙ ∙ ∙n ｝的一个排列为｛1
i , i2 , ⋅⋅⋅in
｝
1 1 1 (−1) n 1 − + − + ⋅⋅⋅ + Dn = n! ） n!（ 1! 2! 3!
竞赛中的排列组合问题
安庆一中Βιβλιοθήκη 程乐根一、出题情况
排列组合出题，主要在第一试中 出题，大多以客观题形式呈现，但这 一内容是抽象数学的基础，渗透性很 强，在其它分支里用得很多，特别是 在组合数学和数论中应用更为广泛。
二、常见定义公式：
1、排列 从n个不同元素中，任取m个不同元素的排列数是: n! m A = n( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − m += 1) n ( n − m)! 2、组合 从n个不同元素中，任取m个不同元素的 n! m 组合数是：
(a1 − 1) + (a2 − a1 − 3) + (a3 − a2 − 3) + (14 − a3 ) = 7
其中 a1 ≥ 1, a2 − a1 ≥ 3, a3 − a2 ≥ 3,14 − a3 ≥ 0, 将上 变形为
3 C 这个方程的正整数解的个数是 10=120种 点评：奇特方法，贵在发现
3 C 解：由题设知，在xy平面上有16个整点，共 16 = 560
个三点组，要从中减去那些三点共线的。平面上 有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8 条线上含有 8C43 = 32 个三点共线的三点组。 类似地，在斜率为±1的线上共线的三点组 3 3 2 C + 4 C 有4 3 =8+4=12（个）。 此外，没有其他的三点共线的三点组，组 成的三角形的个数是560-32-12=516（个）
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
一 (一)1 排列格式
一一直以来，数字一都是一个非常特殊的数。
不仅仅因为它是最小的自然数，同时它也是整个数学世界的起点。
在数学的发展历史中，一在很多重要的数论和代数学概念中起着关键的作用。
在数学中，一是所有自然数的起点。
我们从一开始数数，逐渐地来到二、三、四等等。
而一也被称为“单位元素”，它是加法和乘法的单位。
用一来表示任何数加上或乘以一都不会改变原来的数值。
此外，在数论中，一也是非常重要的。
一是唯一的奇数，并且它不能被其他数整除。
每个整数都可以用一或减去一的方式构成。
例如，当我们把一个整数除以一时，商等于这个整数本身，而余数为零。
这正是数学中的一项基本原理，称为除法算法。
在代数学中，一是研究各种数结构的起点。
例如，我们可以通过定义一些运算规则来构建整数、有理数和实数。
这些结构中的每一个都必须包含一个元素，称为“单位元素”，这个元素的定义就是一。
任何数与一相乘结果仍然是这个数本身。
例如，任何数乘以一都等于它自己，这是一个基本的数学性质。
此外，一还是一项重要的指数运算中的底数。
当我们将一个数以一为底数进行指数运算时，结果将始终等于一，这是一个数学中的重要规律。
例如，一的任何正整数次幂都等于一本身。
这个规律在许多领域中都有广泛应用，如概率论和统计学。
最后，一是几何学中的起点。
我们可以通过将一到线段的一端进行平移来构造其他的几何图形。
例如，将一进行平移得到的线段可以构建出整个直线。
这个概念在平面几何学和立体几何学中都发挥着重要作用。
在数学之外，一也有着深远的文化意义。
在很多宗教和哲学中，一被视为宇宙的起点和基础。
它象征着统一和完整。
一也可以表示团结和合作的力量，以及个体和整体之间的关系。
总结起来，数字一在数学中扮演着重要的角色。
它是数学的起点和基础，同时也是各种数结构和运算法则的关键。
在数论、代数学、几何学以及其他数学领域中，一都起着不可替代的作用。
此外，一还具有深刻的文化意义。
不管在数学上还是在文化上，一无疑都是一个特殊的数，并且拥有着独特的地位。
选修2-3课件1.2.1排列(一)
研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一 写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接 “得”出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共同探讨这个 问题：排列数及其公式．
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名 参加某天的一项活动,其中1名参 加上午的活动,1名参加下午的活动, 有哪些不同的排法?
练习:
1. 下面几个问题属于排列的是（ A，D ）（多选）
A）由1、2、3三个数字组成无重复数字的三位数， B）从40人中选5人组成篮球队，C）8个人进行单循环乒 乓球比赛，D）从40人中选5人担任班长，团支部，副班长， 学习委员，体育委员。 2. 下列问题不属于排列问题的是（ D ）
A）三人互相敬酒，B）三人互相送礼，C）三人互相问好， D）三人互相握手。
b
b d a d a b
b c a c a b
c
acd bcd cbd dbc
adb adc bda bdc 问题2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名 从a,b,c,d这4个字母中,每次 参加某天的一项活动,其中1名参 取出3个按顺序排成一列, 加上午的活动,1名参加下午的活动, 写出所有不同的排法. 有哪些不同的排法? 原问题即：从3名同学中,任取2名, 原问题即：从4个不同的字母中, 按参加上午的活动在前,下午的 任取3个,按照左边,中间,右边 活动在后的顺序排成一列, 有哪 的 顺序排成一列,写出所有不 些不同的排法？ 同的排法. 实质是：从3个不同的元素中,任 实质是：从4个不同的元素中, 取2个,按一定的顺序排成一列, 任取3个,按照一定的顺序排成 有哪些不同的排法？ 一列,写出所有不同的排法.
b c d a c d abc bac cab dab c d b d b c c d a d a c abd bad cad dac acb bca cba dba a c b d a d b
1.2.1排列(一)校研讨课
引例
问：用1，2，......8，9可组成多少个无重 复数字的七位数？ 步骤繁多，如何简化？
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项 活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参 加下午的活动，有多少种不同的选法？
相应的排法
上午
下午 乙
甲乙
甲
丙 甲
甲丙
乙甲 乙丙 丙甲 丙乙
乙
丙 甲
m A 3. n 是表示排列数的符号，解题时要利用排列数公
式算出其具体数值.
布置作业： (1)第27页 A组:4,5,6
(2)金版学案对应的题目
2014年4月14日
课堂练习
1．计算：
3 5
3 2 5 A5 4 A4 348
5 A 4 A 5 5 4 3 4 4 3 348
对象排列有先后
丙
乙
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
1
2
3
2 4
3
1
3
4
3
1
2
2 41 4 1
4 2 2
1
3 1
4 2
3 1
3
3 42 42 3
3 41 41
2
有此可列举写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从 n 个不同元素中，任取 m 个元素的 m 所有排列的个数，是一个数；所以符号 An 只表示
五年级数学下册 排列 1教案 青岛版五年制
《数学与生活排列》课堂实录教学目标：1. 利用已有经验认识和了解简单的“ 排列” , 掌握解决问题的策略和方法，体会解决问题策略的多样性。
2. 培养初步的观察、分析及推理能力 , 能有序地、全面地思考问题。
3. 尝试用数学的方法来解决生活中的实际问题 , 感受数学在现实生活中的广泛应用。
4. 在数学活动中养成与人合作的良好习惯 , 并初步学会表达解决问题的大致过程和结果。
重点难点：重点：培养学生的思维的有序性，全面性。
难点：根据需要引导总结计算规律。
因为排列的算式学生很难自己发现，所以需要教师引导才可以完成，因此把总结规律确定为本节难点。
一、情景导入师：听说咱们学校上个周举行了广播操比赛，咱们班获得了很好的成绩？上周五我们学校也举行了一次活动——合唱比赛，那场景，简直是热闹非凡。
大家想瞧瞧吗？（大屏幕展示）图中正是比赛的场景。
大家看，赛场周围有一圈彩旗，仔细观察，这些彩旗按什么顺序排的？生：……师：这三面彩旗除了可以按红黄蓝这样的顺序排之外，还可以按什么顺序排？生：师：还有吗？多生交流师：这种排法说过了吗？生：师：这么多排法老师也记不清了，其实找出一种排法并不难，难就难在你有没有能力把所有的排法全部找出来？能不能？生：能师：既然这么有信心，咱们就比一比，看谁能既不重复又不遗漏（板书）的找出所有排法，别忘了填在练习纸上，如果能把你这样排的原因写在下面更好。
（生独立完成）二、探究规律：（2）展示交流：师：老师看到很多同学已经完成任务了，下面咱们放下笔，一起交流一下吧。
愿意上来展示的同学是最有魄力的，谁来?生举手（若无人举手，师：大家可能都不好意思，没关系，大胆地展现自己！这位小男子汉上来试试吧？）师：有请这位同学带着你的作品到前面来，给大家说说你的排法。
生交流师：这位同学找出了4种不同的排法，关于这位同学的排法你有什么话要说？生举手师：有这么多同学有话要说，是这位同学的排法重复了吗？遗漏了吗？你找到了几种？生：我有6种不同的排法师：谁也找到了6种？生举手师：你来给大家说说你是怎么排的。
组合1排列组合
帅天平
北京邮电大学数学系
Email: tpshuai@
第一章 排列组合
1.1 加法法则与乘法法则 1.2一一对应 1.3排列与组合 1.4圆周排列 1.5排列的生成算法 1.6允许重复的组合与不相邻的组合 1.7组合意义的解释 1.8应用举例
1.1
加法法则与乘法法则1
[ 加法法则 ]
1.1
加法法则与乘法法则7
2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。 在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要 特别留神。 不含0的1位数有9个，2位数有9 2个，3位数 有93 个，4位数有9 4个 不含0小于10000的正整数有
9+92 +9 3 +9 4 =(95 －1)/(9－1)=7380个
根据乘法法则得图案数为
20 ×6840=136800
1.3 排列与组合3
定义2 从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素
组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为 从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的 个数用C(n,r)表示。 C(n,r)=0,若n < r n 有的书上也用 表示. r
1.2 一一对应2
• 例7 在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比
赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军， 问要举行几场比赛？ 解 一种常见的思路是按轮计场，费事。 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一 对应。99场比赛。
1.2 一一对应3
• 例 8 CnH2n+2是碳氢化合物,随着n的不同有下 列不同的枝链：
H | H—C—H | H—C—H | H H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H
高中数学《排列-第1课时》课件
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不 遗漏，最好采用“树形图”。
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm 表示。
问题1 ：从3个不同的元素中取出2个元素的排列
数,记为 A32 3 2 6
这里的每一种排法就是一个排列。
cabc
b
dabd
cbac
a
dbad
a
c
ba c b b da c d
c
ab c a db c d
d
ba d b
cadc
d
ab d a
cbd c
bc a b
a
dc ad
bdab
a
c dac
c
b
ac b a d dc b d
adb a
b
c dbd
d
ac d a
bc d b
上面问题中被取丙
从3个不同的元素a、b、c 中任取2个，按照一定的顺
序排成一列，共有多少种
丙
甲 丙甲 不同的排法？
乙 丙乙
这里的每一种安排方案就是一个排列。
问题二：从a、b、c、d这4个字母中， 每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种 不同的排法？并列出所有不同的排法。
例6. 6个人排成一横排，按照下面的要求分别有多 少种不同的排法？ （1）甲不站排头也不站排尾； （2）甲、乙站在两端； （3）甲不站排头，乙不站排尾； （4）甲、乙必须相邻； （5）甲、乙不相邻； （6）甲必须在乙的右边; （7）甲、乙必须相邻且不能站在两端.
【2017天津，理14】用数字1，2，3，4， 5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至 多有一个数字是偶数的四位数，这样的四 位数一共有___________个.（用数字作答）
苏教版高中数学选修2-3《排列(第1课时)》参考课件
课 常用于求解．
时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（一）
跟踪训练 3 (1)某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 10 个队参
加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少
场比赛？
(2)解不等式：Ax9>6Ax9－2.
本 解 (1)任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于
课 时
排第一，B 不排第四，共有多少种不同的排列方法？
栏 目
解
(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示，共有 12 种
开 机票．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（一）
故符合题意的机票种类有：
北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州
北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，
1．排列：一般地，从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素，按
本
照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
课 时 栏
元素的一个排列(arrangement)．
2．排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列
目 开
的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，
天津南京，共 12 种．
本 课
(2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B、C、D 中
时 栏
任选一人排)，而此时兼顾分析 B 的排法，列树图如图．
目
开
关
所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD， CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA 共 14 种．
排列与排列数(1)教案
【教学课题】 21.1.1排列与排列数公式【教学班级】【授课教师】【授课类型】新授课【教学课时】2课时【教学目标】1、学习掌握排列、排列数等基本概念，熟练运用这些基本概念解题；2、掌握解排列题的思想方法，适当地分类、分步、构造恰当的解法解决问题。
【教学重点】理解排列、排列数等基本概念。
【教学难点】运用解排列题的思想方法解决实际问题。
【教学方法】启发引导讲练结合【学习过程】一、复习：为了学习排列数公式，我们要复习两条基本原理：（1）分类计数原理（也叫加法原理）：完成一件事，有n类相互独立的办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类办法中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有m n种不同方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。
（2）分步计数原理（宜称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。
二、新授：1、掌握排列的概念：定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个元素中每次取出m个元素的一个排列。
根据排列的定义，两个从n个元素里取出m个元素的排列，如果它们所含的元素不同，或者虽含相同的元素，而元素排列的顺序不同，那么这两个排列是不同的。
2、掌握排列数公式：（1）排列数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m。
n（2）排列数公式：A mn =n ·(n-1)·(n-2)…(n-m+1)，这里m, n ∈N *，并且m ≤n ，当m=n 时，有!12)2()1(n n n n A nn=⋅⋯-⋅-⋅= 故)!(!m n n A mn -=，此公式的作用：当对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。
1.2排列(1)
注意： 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 我们所研究的排列问题， 我们所研究的排列问题 是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素” 排列的定义中包含两个基本内容 按照一定顺序排列” 一定顺序”就是与位置有关， “按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 3.根据排列的定义，两个排列相同， 3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元 根据排列的定义 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说， 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如 果两个排列所含的元素不完全一样， 果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 那么也是不同的排列． 那么也是不同的排列． 4.如果 ＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 如果m＜ ，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 如果 叫做选排列 如果m＝ ，这样的排列（ 选排列； 叫做选排列；如果 ＝n，这样的排列（也就是取出所有元素 作排列），叫做全排列 ），叫做全排列． 作排列），叫做全排列．
A
m n
= n (n − 1) (n − 2) L (n − m + 1)
n
= n (n − 1) (n − 2) • · · · •3 •2 •1 An
《排列(1)》(课件)
[例2] 计算 : (1) A44; (3) A66;
(2) A136; (4) A64 .
排列数公式
Anm
n!
(n m)!
规定：
0! = 1
[例3] 某年全国足球甲级(A组)联赛共 有14队参加, 每队都要与其余各队在主、 客场分别比赛1次, 共进行多少场比赛?
解：任何2队间进行1次主场比赛与1 次客场比赛，对应与从14个元素中任取2 个元素的一个排列，因此总共进行的比赛 场次是：
练习1 下列问题是排列问题吗？ (1) 从1，3，5，7四个数字中，任选
两个做加法，其不同结果有多少种？ 不是排列
(2) 从1，3，5，7四个数字中，任选 两个做除法，其不同结果有多少种？
(3) 从1到10十个自然数中任取两个组 成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标?
练习1 下列问题是排列问题吗？ (1) 从1，3，5，7四个数字中，任选
练习1 下列问题是排列问题吗？
(1) 从1，3，5，7四个数字中，任选两个做 加法，其不同结果有多少种？
(2) 从1，3，5，7四个数字中，任选两个做 除法，其不同结果有多少种？
(3) 从1到10十个自然数中任取两个组成点的 坐标，可得多少个不同的点的坐标?
(4) 平面上有5个点，任意三点不共线，这五 点最多可确定多少条射线? 可确定多少条直线?
2. 排列数公式
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
Anm
n! (n m)!
3. 全排列与全排列数
全排列: 当n=m时即n个不同元素全部 取出的一个排列
全排列数：
Ann n(n 1)(n 2) 2 1 n!(n的阶乘)
探索研究：解决这个问题需分2个步骤
排列组合1
1.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内；（1）共有几种放法？ 44（2）恰有一个空盒，有几种放法？ Ｃ24Ａ34＝144（3）恰有两个空盒不放球，有几个放法？ Ｃ34Ａ24+Ｃ24Ｃ24＝842.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中；（1）共有多少种放法？ 44（2）每盒至多一球，有多少种放法？ Ａ44（3）恰有一个空盒，有多少种放法？ Ｃ42Ａ43＝144（4）每盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？Ｃ14×2＝8（5）把4个不同的球换成相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？Ｃ34Ｃ13＝123．把7大小完全相同的小球，放置在3个盒子中，允许有的盒子一个也不放；（1）如果3个盒子完全相同，有多少种放法？ 8（2）如果3个盒子完全不相同，有多少种放法？Ｃ92＝364.以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 A A.58 B.70 C.106 D.118 Ｃ84-6-6=585.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线共有 C 对A.18B.24C.36D.48 （Ｃ63-3）×12 = 366.由0,1，2，3，4，5六个数所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有192个7.7个相同的球，任意放入4个不同的盒子中；（1）共有多少种不同的放法？ Ｃ103（2）每个盒子至少有一个球的不同放法有多少种？Ｃ638.用012345这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数；（1）不含数字0，且1，2不相邻的数9.某小组6个人排队照相留念；（1）若排成一排照相，6个人中有3个男生和3个女生，且男生不相邻，有多少种不同的排法？Ａ33Ａ34=144 或 Ａ33Ｃ34Ａ33=144（2）若排成一排照相，甲乙两个人必须相邻，有多少种不同的排法？Ａ55Ａ2210.4个相同的白球和三个相同的黑球，随机地排成一行，不同的排法有m 种，其中有且仅有2个黑球相邻的排法为n 种，则m ／n = AA.7／4B.7／5C.7／10 D .5／7 (Ｃ53+2Ｃ52 +Ｃ51)／2Ｃ52=7／411.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同的染色方法总数为 DA.240B.300C.360D.420 5﹒4﹒3﹒2﹒2 +5﹒4﹒3﹒3 = 42012.有6个人排成一排，其中甲乙两个人中间至少有一人的排法种数是 AA.480B.720C.240D.360 Ａ66—Ａ55Ａ22 = 48013. 有6个人排成一排，其中甲乙丙三人两两不相邻的排法有 B 种A.30B.144C.5D.4 Ａ33Ａ3414.从集合﹛1,2,3,…,10﹜中，选出由5个数组成的子集，使得这五个数中任何两个的和不等于11，则这样的子集共有D 个A ．10B ．16C ．20D ．3215．设*∍N n ，则=++++-12321666n n n n n n c c c c （7n -1）／616. 从集合﹛1,2,3,…,20﹜中任取三个不同数，是这三个数成等差数列，则这样的等差数列至多有180。
排列1
例4.(1)全国足球甲级联赛共有支14队参加,每队 都要与其余各队在主、客场分别比赛1次， 共进行多少场比赛？ (2) 有5本不同的书，从中选3本送给3名同学， 每人1本，共有多少种不同的送法？ （3）有5种不同的书，要买3本送给3名同学， 每人1本，共有多少种不同的送法？
6.【总结提炼】
①排列、排列数的概念 ②排列相等的充要条件
4.排列数公式及其推导
求An2
第一位 第二位
n n-1 分步：第一步，先填第一个位置，可从n个元素中任取
一个填空，有n种方法； 第二步，填第二个位置，可从余下的（n-1）个 元素中任取一个填空，有（n-1）种方法； ∴N=n（n-1）=An2
同理，A3n=n(n－1)(n－2)
求Anm
第一位 第二位
5、讲解范例：
例1．计算： （1） A1 6 ;
3
（2） A6
m
6
；（3） A6 。
4
例2.①若 A n 1 7 1 6 1 5 5 4 ， 则 n ，m ．
②若
n N,
则 (5 5 n )(5 6 n ) (6 8 n )(6 9 n ) ．
③排列数公式及计算
7.布置作业：
1.【设置情境】 看下面的问题： 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，1名同学参加下午的活动，有多少 种不同的方法？
探索研究:解决这个问题需分2个步骤 第一步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1 人有3种方法； 第二步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的 2人中选，有2种方法，根据分步计数原理，共有 3×2=6种不同的方法。 我们把上面问题中被取的对象叫做元素。 上述问题就是从3个不同的元素中任取2个， 按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同 的排法。
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2 5． 已知 Ax＝30， x 等于________． 则
2 解析：Ax＝x(x－1)＝30，解得 x1＝6，x2＝－5(舍去)．
答案：6
3 2 6．5A5＋4A4＝
( B．323 D．348
)
A．107 C．320
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：D
7．下列各式中与排列数 Am相等的是 n n！ A. m－n！ B．n(n－1)(n－2)„(n－m) n C. An－1 n－m＋1 n D．A1 · m－11 An － n
1.2
排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等 奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长 站在中间．
(
)
解析：∵Am＝ n A1 · m－11＝n An － n
n！ ， n－m！
n－1！ [n－1－m－1]！
n－1！ n！ ＝n ＝ ， n－m！ n－m！
m 1 ∴An ＝An· m－11. An －
答案：D
1．判断一个问题是否是排列的思路 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，
元素的一个排列．
且元素的 排列顺序 也相同.
两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数
字游戏．
问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数 字的两位数？
提示：4×3＝12个．
问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数 字的三位数？ 提示：4×3×2＝24个． 问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一
[一点通]
在排列个数不多的情况下，树形图是一种
比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出， 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中 再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，
再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能
不重不漏，然后按树形图写出排列．
3．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有
1．对于排列定义的理解 (1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素
中取出元素；二是按一定顺序排列．
(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排 列顺序相同．
2．排列与排列数的区别 “排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，不是数． “排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元
2．判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞
机票价格(假设来回的票价相同)；
(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班40名学生在假期相互通信．
解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一
样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不 同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题， 属于排列问题.
3×8！ 4×9×8！ ∴ ＝ . 8－x！ 10－x9－x8－x！ 化简得 x2－19x＋78＝0，解得 x1＝6，x2＝13. ∵x≤8，且 x－1≤9， ∴原方程的解是 x＝6. (12 分)
[一点通]
(1)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要
注意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运 算量． (2)连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数A，其 中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的 元素个数m.
A5＋A4 9×8×7×6×5＋9×8×7×6 9 9 (2) 6 ＝ A10－A5 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 10 9×8×7×6×5＋1 3 ＝ ＝ . 10×9×8×7×6×5－1 20 (8 分)
(3)由
3Ax＝4Ax－1得 8 9
3×8！ 4×9！ ＝ . 8－x！ 10－x！
问题4：有几种排法？
提示：上午有3种，下午有2种，因此共有3×2＝6种排法． 问题5：甲乙和乙甲是相同的排法吗？ 提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲 下午．
(1)一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按 照 一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个 (2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，
[例2]
写出下列问题的所有排列：
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共 有多少个不同的两位数？ (2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四
位数？试全部列出．
[思路点拨] (1)直接列举数字；
(2)先画出树形图，再结合图形写出．
[精解详析]
(1)所有两位数是
12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
素的所有排列的个数，是一个数．符号A只表示排列数，
而不表示具体的排列．
[例1]
判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去植树和种菜； (2)选2个小组种菜； (3)选10人组成一个学习小组；
(4)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；
(5)10个车站，站与站间的车票． [思路点拨] 解决本题的关键是要明确排列的定义，
的取法；第三、四步，剩下的两个人都各有1种取法．由
分步乘法计数原理知，四张贺年卡不同的分配方式有 3×3×1×1＝9种． 答案：B
[例 3] 可表示为 A．A2 m
(12 分)(1)乘积 m(m＋1)(m＋2)(m＋3)„(m＋20) ( B．A21 m D．A21＋20 m )
C．A20＋20 m
而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是
否是排列时，可以考查所取出的元素，任意交换两个，若 结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．
2．关于排列数的两个公式 (1)排列数的第一个公式 Am＝n(n－1)(n－2)„(n－m＋1) n 适用 m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在 运用时要注意它的特点， n 起连续写出 m 个数的乘积即可． 从 (2)排列数的第二个公式 A m＝ n n！ 适用于与排列数 n－m！
A5＋A4 9 9 (2)计算 6 5 ； A10－A10 (3)解方程 3Ax＝4Ax－1. 8 9
[思路点拨]
(1)逆用排列数公式的乘积形式；(2)(3)
正用排列数公式即可．
[精解详析]
(1)因为 m，m＋1，m＋2，m＋3，„，m
＋20 中最大的数为 m＋20，且共有 m＋20－m＋1＝21 个， 所以 m(m＋1)(m＋2)(m＋3)„(m＋20)＝A21＋20.故选 D. m (4 分)
[一点通]
判断是不是排列问题，要抓住排列的本质
特征：①取出的元素无重复，②取出的元素必须按顺序排
列．元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键．
1．下列叙述正确的是 A．排列和排列数是同一个概念
(
)
B．排列和排列数有时是同一个概念
C．排列与排列数没有关系 D．排列数是对排列在“数”的角度的反应 答案：D
看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若有关，则是排 列问题，否则就不是．
[精解详析] 是排列问题．
(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，
(2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题．
(4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题． (5)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有 顺序的，是排列问题．
有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意 先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N＋， m≤n”的运用．
问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？
提示：不是． 问题2：有几种排法？ 提示：2种，男—师—女，女—师—男．
2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1
名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动． 问题3：安排这项活动需分几步？分别是什么？ 提示：分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午 的同学．
解析：法一：设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，
某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将 卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次 取卡分步进行． 用树状图表示，如图．
共有9种不同的分配方式．
法二：让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡， 则可以分三步：第一步，A先拿，有3种不同的方法；第 二步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同
列，共有多少种不同的排法？
提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．
排列数定
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 排列的个数 ，叫做从n个不同元素中取出
义及表示
m个元素的排列数，用符号A表示
Am ＝ n(n－1)(n－2)„(n－m＋1) n 排列数 阶乘式 Am ＝ n！ (n，m∈N＋， n 公式 n－m！ m≤n) 0 1 n！ An 1 An n 特殊情况 ＝ ， ＝ ,0！＝
(2)画出树形图，如图所示．
由上面的树形图知，所有的四位数为：
1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,241
3,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,42 31,4312,4321，共24个四位数．
排列的方法种数为 A．3 C．6 B．4 D．12 ( )