成才之路选修2-2之1-1-2
【成才之路】2020版高中数学 1-1-2同步练习 新人教B版选修2-2
选修2-2 1.1.2一、选择题1．已知物体做自由落体运动的方程为s (t )＝12gt 2，若Δt →0时，s1＋Δt －s 1Δt无限趋近于9.8m/s ，则正确的说法是( )A ．9.8m/s 是物体在0～1s 这段时间内的速度B ．9.8m/s 是物体在1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 [答案] C[解析] 由瞬时速度的定义可知选C ，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念． 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 [答案] B[解析] 由导数的定义可知选B.3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．1 B.18 C.12 D.14 [答案] C[解析] Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，Δs Δt ＝12＋18Δt ，则s ′|t ＝2＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18Δt ＝12.故选C.4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 [答案] A[解析] f ′(1)＝lim x →1f x －f 1x －1＝lim x →1a ＝a ＝2.故选A. 5．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f x 0－k －f x 02k等于( )A ．－1B ．－2C ．1 D.12 [答案] A [解析] lim k →0f x 0－k －f x 02k＝－12·lim k →0 f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－1.故选A.6．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C7．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.448．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 [答案] B [解析] lim h →0 f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．9．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．1 [答案] D[解析] ∵Δs ＝－3(0＋Δt )2＋(0＋Δt )－(－3×02＋0) ＝－3(Δt )2＋Δt .Δs Δt ＝－3Δt ＋1.∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3Δt ＋1)＝1. 10．设f (x )＝x ·(1＋|x |)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 [答案] B[解析] f ′(0)＝lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 Δx 1＋|Δx |Δx＝lim Δt →0 (1＋|Δx |)＝1.故选B.11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________.lim x →x 0f x －f x 02x 0－x＝________.[答案] －11 －112[解析] lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；lim x →x 0f x －f x 02x 0－x ＝－12lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．已知函数y ＝x 3，当x ＝2时，lim Δx →0 Δy Δx ＝________. [答案] 12[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2＋Δx 3－23Δx＝lim Δx →0Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋12]＝12. 13．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－11＝Δx －1＋11＋Δx ＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx1＋Δx， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx1＋Δx＝0. 14．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. [答案] 1 [解析] lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 7t 0＋Δt 2－13t 0＋Δt ＋8－7t 20＋13t 0－8Δt＝lim Δt →07Δt 2＋14Δt ·t 0－13ΔtΔt＝lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0－13) ＝14t 0－13 令14t 0－13＝1， ∴t 0＝1. 三、解答题15．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t ＝1时的瞬时速度．[解析] (1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)质点在t ＝1时的瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－6－3Δt )＝－6. 16．利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数． [解析] 因为Δy ＝x ＋Δx2＋1－x 2＋1＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1x ＋Δx 2＋1＋x 2＋1 ＝2x Δx ＋Δx2x ＋Δx2＋1＋x 2＋1， 所以Δy Δx＝2x ＋Δxx ＋Δx2＋1＋x 2＋1.所以f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x x 2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 17．已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．[解析] 当t ＝1时，Δs ＝3(Δt ＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴Δs Δt＝3Δt ＋6，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝6， 即当t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，Δs ＝29＋3(Δt ＋4－3)2－29－3(4－3)2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴ΔsΔt＝3Δt ＋6， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝6， 即当t ＝4时的瞬时速度为6.18．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)的x 0值． [解析] 由导数的定义可知f ′(x 0)＝lim Δx →0＝x 0＋Δx 2－x 2Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20，因为f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)，所以2x 0＋5＝3x 20， 即3x 20－2x 0－5＝0 解得：x 0＝－1或x 0＝53.。
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第二章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n＋(n －1)(n ∈N *) D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2) [答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n(n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( ) A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc ， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq ＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案]12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 [解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ； ③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得 a n ＝2－1a n －1， 代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0 则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .②∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0. 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1 a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫a2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋a n＋1－a na n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a1－1a2＋⎝⎛⎭⎫1a2－1a3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a1－1a n＋1＝1da n＋1－a1a1a n＋1＝na1a n＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设a k＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＝k－1a1a k，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1②将①代入②，得k－1 a1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1，在该式两端同乘a1a k a k＋1，得(k－1)a k＋1＋a1＝ka k.将a k＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得a k＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有a n＝a1＋(n－1)d，所以{a n}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 2.1.2
第二章
2.1
2.1.2
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(2)人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取 经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理， 使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节 中扮演着重要角色．
(3)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系
理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以
供学生扩展知识面． (3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推 理规则．
第二章
2.1
2.1.2
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牛刀小试 1 ． (2014· 微山一中高二期中 )关于下面推理结论的错误： “因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，又 y＝log1 x 是对
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，
结论：水会沸腾． (2)大前提：一切奇数都不能被2整除， 小前提：2100＋1是奇数， 结论：2100＋1不能被2整除．
第二章 2.1 2.1.2
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(3)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，
的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合 情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．
第二章
2.1
2.1.2
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3．三段论
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 一般原理 ； ①大前提——已知的__________ 特殊情况 ； ②小前提——所研究的__________ 判断 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________ ．
成才之路选修2-2之1-1-2 (39)
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
[点评] 用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩
法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出 要证明的目标不等式．
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1 1 1 本例中用 < 放缩是关键一步，有时也常用k2 (k＋1)2 k(k＋1) 1 > 放缩． k(k＋1)
－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[点评] ①对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项 式，那么A能被B整除．②在推证n＝k＋1时，为了凑出归
*
1 1 ＋„＋ . 2n n＋2
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第二章 推理与证明
(选修2-2)
[证明]
1 1 1 1 (1)当 n＝1 时， 左边＝1－ ＝ ， 右边＝ ＝ . 2 2 1＋1 2
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左边＝右边． 1 1 1 1 (2)假设 n＝k 时等式成立， 1－2＋3－4＋„＋ 即 － 2k－1 1 1 1 1 2k＝k＋1＋k＋2＋„＋2k，
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[例3] 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除， n∈N*，a∈R. [分析] 证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用 增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，
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从而利用归纳假设使问题得以解决．
第二章 推理与证明
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成才之路·人教A版数学选修课件2-2 1.2.2 第1课时
1)，切线方程过原点，则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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6．求下列函数的导数． (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x· tanx； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； x－1 (4)y＝ . x＋1
导数公式的应用
求下列函数的导数： 1 1x 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝(3) .
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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新知导学
5．设函数f(x)、g(x)是可导函数，则： f ′(x)±g′(x) ； [f(x)±g(x)]′＝________________ f ′(x)· g(x)＋f(x)· g′(x) ． [f(x)·g(x)]′＝______________________
重点：导数公式和导数的运算法则及其应用．
难点：1.幂函数导数公式规律的探究发现．
2．y＝ax与y＝xα的导数公式的区分． 3 ．指数函数、对数函数的导数公式及导数运算法则的应
用．
Hale Waihona Puke 第一章1.21.2.2
第1课时
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基本初等函数的导数公式
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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Fx＋Δx－Fx 则 Δx fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gx ＝ Δx fx＋Δx－fx gx＋Δx－gx ＝ ＋ ， Δx Δx ∴ lim →
数学 人教B版 选修2-2 成才之路 课后强化作业1-1-1 详解答案
选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y ＝f (x )，当自变量从x 0到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率[答案] A2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt[答案] A4．函数y ＝1x在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为( ) A ．－1B ．－12C ．－2D ．2[答案] B5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.115B ．－115C ．2D ．－2[答案] C[解析] Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (1)5－1＝2. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx＋2 B ．Δx －1Δx－1 C ．Δx ＋2D ．Δx －1Δx＋2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－12－1Δx＝Δx ＋2. 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4[答案] D[解析] Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt＝－2Δt －4. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x[答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx ＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C. 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－23＋2Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时平均变化率为________． [答案]6－2 [解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2.13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr[解析] ΔS Δr ＝(1＋Δr )2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr . 14．函数y ＝cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时的变化率为________；在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时的变化率为________．[答案] 33－6π －3π[解析] 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，Δy Δx ＝cos π6－cos0π6－0＝33－6π； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cos π2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π. 因此，y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π. 三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2. 16．过曲线f (x )＝x 3上两点P (2,8)和Q (2＋Δx,8＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )3－8＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝Δx 3＋6Δx 2＋12Δx Δx＝Δx 2＋6Δx ＋12. 设Δx ＝0.1时割线的斜率为k 1，则k 1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)； 第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 18．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t (单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s 内的平均速度；(2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt ＝3s ，Δs ＝s (3)－s (0)＝24，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝243＝8m/s. (2)由题意知，Δt ＝3－2＝1s ，Δs ＝s (3)－s (2)＝12m ，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝12m/s.。
2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.2 第3课时 Word版含解析
第一章 1.2 第3课时一、选择题1．函数f (x )＝a 4＋5a 2x 2－x 6 )A ．4a 3＋10ax 2－x 6 10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．以上都不对答案] C解析] f ′(x )＝(a 4)′＋(5a 2x 2)′－(x 6)′＝－6x 5＋10a 2x .2．函数y ＝2sin x cos x ) A ．y ′＝cos xB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )D ．y ′＝－sin2x 答案] B解析] y ′＝(2sin x cos x )′＝2(sin x )′·cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .3 ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案] B解析] 根据对数函数的求导法则可知B 正确．4．曲线f (x )＝x ln x 在x ＝1 ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1 D ．y ＝x ＋1 答案] C解析] ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1. 5．(2015·锦州期中)下列结论： (1)若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x . (2)若y ＝1x ，则y ′＝12x x(3)若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227.) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案] C解析] (1)若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x 正确， (2)若y ＝1x＝x －12，(x >0)，则y ′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12×1x 3＝－12x x，故(2)错误．(3)若f (x )＝1x 2＝x －2，则f ′(x )＝－2x 2－1＝－2x －3＝－2x 3，则f ′(3)＝－227正确．故正确的命题的个数为2个．6．函数f (x )＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0 )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案] B解析] 解法1：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′ ＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x2，∴f ′(x 0)＝x 20－a2x 20＝0，得：x 0＝±a .解法2：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 2x ′＝1－a2x 2， ∴f ′(x 0)＝1－a 2x 20＝0，即x 20＝a 2，∴x 0＝±a . 故选B.7．(2015·青岛市胶州市高二期中)已知函数f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(0)＝)A ．2B ．－2C ．3D ．4答案] B解析] ∵f (x )＝(x －3)e x ， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x ， ∴f ′(0)＝(0－2)e 0＝－2，故选B.8．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是)A ．f (x )＝a xB ．f (x )＝log a xC ．f (x )＝x e xD ．f (x )＝x ln x答案] D解析] 若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝(a x )′＝a x ln a ，x ∈R ，不满足题意，排除A ；若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a (a >0，a ≠1)，x ≠0，不满足题意，排除B ；若f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝e x ＋x e x ，x∈R ，不满足题意，排除C ，故选D.二、填空题9．函数y ＝2x 3－3x 2＋4x －1的导数为____________答案] 6x 2－6x ＋4解析] y ′＝(2x 3)′－(3x 2)′＋(4x )′＝6x 2－6x ＋4.10．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案] (e ，e )解析] 本题主要考查求导公式及导数的几何意义，∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，∵P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，∴y |x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，将x 0＝e 代入y ＝x ·ln x 得y 0＝e ，∴P 点坐标为(e ，e )，解答本题的关键在于掌握曲线在某点处的切线斜率为此点处的导数值．11．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 05300177答案] 1－ln2解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))． 则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.三、解答题12(1)y ＝3x －lg x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝－sin x ＋e x .解析] (1)y ′＝(3x )′－(lg x )′＝3x ·ln3－1x ln10. (2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)＝x 3＋x 2＋x ＋1， ∴y ′＝3x 2＋2x ＋1. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x 2＋3′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(－sin x )′＋(e x )′＝－cos x ＋e x .一、选择题1．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为)A ．3B ．2C ．1D ．12答案] A解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.故选A.2．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为)A.π22 B ．π2 C ．2π2 D ．12(2＋π)2答案] A解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22.故选A.3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案] D解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义． 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝)A ．9B ．6C ．－9D ．－6 答案] D解析] y ′＝4x 3＋2ax ，y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，∴a ＝－6. 二、填空题5．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝答案]1ln3解析] ∵f ′(x )＝log 3(x －1)]′ ＝1(x －1)ln3(x －1)′＝1(x －1)ln3，∴f ′(2)＝1ln3.6．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________答案] 4x －y －3＝0解析] 本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法．y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0.在求过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式．7．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是________答案] 22－1解析] y ′|x ＝1＝－1(2x －1)2|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1. 三、解答题8．设y ＝8sin 3x ，求曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1解析] ∵y ′＝(8sin 3x )′＝8(sin 3x )′ ＝24sin 2x (sin x )′＝24sin 2x cos x ， ∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1处的切线的斜率 k ＝y ′|x ＝π6＝24sin 2π6·cos π6＝3 3.∴适合题意的曲线的切线方程为y －1＝33⎝⎛⎭⎫x －π6，即63x －2y －3π＋2＝0. 9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过(1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1①∵y ′＝2ax ＋b ，y ′|x ＝2＝4a ＋b ， ∴4a ＋b ＝1②又曲线过(2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1③解由①②③组成的方程组，得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.。
成才之路选修2-2之1-1-2 (110)
选修2－3综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·山东临沂一中期末)下列四个命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；④在推断H ：“X 与Y 有关系”的论述中，用三维柱形图，只要主对角线上两个柱形高度的比值与副对角线上的两个柱形高度的比值相差越大，H 成立的可能性就越大．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] ①r 有正负，应为|r |越大，相关性越强，②正确，③R 2越大，拟合效果越好，④应为高度积的差的绝对值越大，H 成立的可能性就越大，故选A.2．下列各式正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．P (A ∩B |A )＝P (B ) C.P (AB )P (B )＝P (B |A ) D ．P (A |B )＝P (AB )P (B )[答案] D[解析] 由条件概率公式知P (B |A )＝P (AB )P (A )，P (A |B )＝P (AB )P (B )，P (A ∩B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (AB )P (A )，故A ，B ，C 都不正确，D 正确，故选D. 3．(2010·全国Ⅰ文，5)(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( ) A ．－6 B ．－3 C ．0D ．3[答案] A[解析] 该题考查求展开式的特定项，用生成法．∵(1－x )3的有理项为1和3x ，故要出现x 2，需从(1－x )4因式中找x 2项和x 项，即C 24(－x )2和－C 14x ，∴x 2项为C 24(－x )2·1－C 14·x ·3x ＝－6x 2，∴选A. 4．随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.56[答案] D[解析] 因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54.因为P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56，故选D. 5．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][答案] C[解析] 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．6．(2010·重庆理，9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，也不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种[答案] C[解析] 不考虑丙、丁的情况共有A 22A 66＝1 440(种)排法，在甲乙相邻的条件下丙排10月1日有A 22A 55＝240(种)排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日，有A 22A 44＝48(种)排法，则满足条件的排法有A 22A 66－2A 22A 55＋A 22A 44＝1 008(种)．7．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A ．K 2>3.841 B ．K 2<3.841 C ．K 2>6.635 D ．K 2<6.635[答案] A[解析] 比较K 2的值与临界值的大小，当K 2>3.841时有95%的把握认为A 与B 有关，当K 2>6.635时有99%的把握认为A 与B 有关．8．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则(D (X ))2(E (X ))2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[答案] B[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )2]，(E (X ))2＝(np )2，所以(D (X ))2(E (X ))2＝[np (1－p )]2(np )2＝(1－p )2.故选B.9．(2010·湖北理，8)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )A ．152B ．126C ．90D ．54[答案] B[解析] 先安排司机：若有一人为司机，则共有C 13C 24A 33＝108中方法，若司机有两人，此时共有C 23A 33＝18中方法，故共有126种不同的安排方案．10．对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n(n ∈N *),4位同学作出了4种判断：①存在n ∈N *，使展开式中没有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，使展开式中有x 的一次项．上述判断中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④ D ．①与④[答案] D[解析] 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫1x n －r (x 3)r ＝C rn x 4r －n .若4r －n ＝0，即n 是4的倍数时，展开式中存在常数项，所以①正确；②错误；若4r －n ＝1，即n ＝4r －1，即n 被4除余1时，展开式中有x 的一次项，所以④正确；③错误．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫0，23 D.⎝⎛⎭⎫0，13 [答案] B[解析] 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，必有13<p <1. 12．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 项的系数绝对值的和为243，不含y 项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 [答案] D[解析] 考查二项式定理的灵活运用．不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋b )n ，故(1＋b )n ＝243， 同理，不含x 项的系数的绝对值的和为(1＋a )n ＝32.即⎩⎪⎨⎪⎧(1＋b )n ＝243＝35(1＋a )n ＝32＝25， 所以a ，b ，n 的可能取值为a ＝1，b ＝2，n ＝5.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2009·安徽理，11)若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________. [答案] 12[解析] 本题考查正态分布的图象的对称性，如下图，由图象可知p (x ≤μ)＝12.14．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.[答案] 0.49[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.15．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组4人，分别进行单循环赛，每组决定前两名，再由每一组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，大师赛共有________场比赛．[答案] 16[解析] 分四类：第一类，进行单循环赛要2C 24＝2×4×32＝12场；第二类，进行淘汰赛需要2场；第三类，角逐冠、亚军需要比赛1场；第四类，角逐第三、四名需要比赛1场，所以大师赛共有2C 24＋2＋1＋1＝16场比赛．16．(2010·四川文，13)(x －2x )4的展开式中的常数项为________．(用数字作答)[答案] 24[解析] 本题考查二项式展开式的通项的应用． 设展开式中第r ＋1项是常数项， T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2x )r ＝C r 4(－2)r x 4－2r， ∴4－2r ＝0.∴r ＝2，T r ＋1＝C 24(－2)2＝24.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人． (1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？ (2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？[解析] (1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可易位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以易位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．18．(本题满分12分)已知(x －124x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·(124x)r ·(－1)r ，∴前三项系数的绝对值分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由题意知C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， ∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－124x)k＝C k 8·(－12)k ·x 16－3k 4，k ≠163，k ∈N *， ∴无常数项．(2)要使16－3k4为整数，且0≤k ≤8，∴k ＝0或k ＝4或k ＝8，∴展开式中的有理项为：x 4；C 48·124·x ； C 88·128·x －2. 即x 4；358x ；1256x 219．(本题满分12分)(2010·重庆理，17)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．[分析] 本题考查了离散型随机变量的期望，(1)可通过对立事件解决，对于(2)根据古典概型逐一求出概率，从而列出分布列，求得期望．[解析] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ有分布列所以，Eξ＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.20．(本题满分12分)(2009·辽宁文，20)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：甲厂(2)由于以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，[解析] 2×2(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)χ2＝1000×(360×180－320×140)500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．21．(本题满分12分)(2010·黄冈高二检测)已知高二年级的某6名学生，独立回答某类问题时答对的概率都是0.5，而将这6名同学平均分为甲、乙、丙3个小组后，每个小组经过两名同学讨论后再回答同类问题时答对此类问题的概率都是0.7，若各个同学或各个小组回答问题时都是相互独立的．(1)这6名同学平均分成3组，共有分法多少种？(2)求分组后，3个小组中恰有2组能答对此类问题的概率是多少？(3)若要求独立回答，则这6名学生中至多有4人能答对此类问题的概率是多少？[解析] (1)所求的方法数是C 26C 24C 22A 33＝15种． (2)由独立重复试验知，这3个小组中恰有2组答对此类问题的概率 P 1＝C 23⎝⎛⎭⎫7102⎝⎛⎭⎫1－710＝4411000.(3)由对立事件的概率，至多4人答对此类问题的概率为1减去至少5人答对此类问题的概率，即P 2＝1－C 56(0.5)5×0.5－C 66(0.5)6.22．(本题满分14分)(2010·天津理，18)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
成才之路选修2-2之1-1-2 (17)-50页文档资料
又圆柱的体积 V＝πr2h＝rS－22πr3，V′＝S－26πr2，
人
教
令 V′＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，
A 版
数
学
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为
6πS 3π .
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[例2] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸
当0<x<10时，V′(x)>0，
当10<x<30时，V′(x)<0.
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的
最大值．
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的
体积最大．
人
教
A
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内
版 数
只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还 学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x
＝20(km)．
∴供水站建在A，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ之间距甲厂20km处，可使水管费
用最省．
人
教
A
版
解法 2：设∠BCD＝θ，则 BC＝s4in0θ，
数 学
CD＝40·cotθ0<θ<π2. ∴AC＝50－40·cotθ.
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时 圆柱的高h的值．
2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.2 第2课时
第一章 1.2 第2课时一、选择题1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为导学号05300134( )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4答案] C解析] f (x )＝cos π4＝22，∴f ′(x )＝0.2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为导学号05300135( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案] A解析] f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3．给出下列命题： ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为导学号05300136( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案] C解析] 由求导公式知②③④正确．4．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝导学号05300137( )A. 2B ．－ 2C ．0D ．22答案] A解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.5．设函数f (x )＝cos x 则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′等于导学号05300138( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0， ∴⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝0′＝0，故选A. 6．设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于导学号05300139( ) A ．1 B ．－1C ．0D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ， ∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A.7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是导学号05300140( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12答案] D解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为导学号05300141( ) A.12 B ．－12C ．1eD ．－1e答案] C解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 二、填空题9．函数f (x )＝sin x 在x ＝π3处的切线方程为________．导学号05300142答案] x －2y ＋3－π3＝010．(2021·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.导学号05300143答案] 8解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y ＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，明显a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是______________．导学号05300144 答案] y ＝x －1解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) ∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1， 所求切线方程为：y ＝x －1. 三、解答题12．(1)y ＝e x在点A (0,1)处的切线方程；导学号05300145 (2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程． 解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1x，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1. ∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.一、选择题1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为导学号05300146( )答案] D解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D.2．下列函数中，导函数是奇函数的是导学号05300147( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12答案] D解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2021(x )的值是导学号05300148( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x答案] D解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ， f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f2021(x)＝f3(x)＝－cos x，故选D.4．(2022·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是导学号 05300149()A ．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3答案] A解析]设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cos x，cos x1cos x2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不行能为－1，故选A.二、填空题5．过原点作曲线y＝e x的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．导学号05300150答案](1，e)y＝e x解析]设切点为(x0，e x0)，又y′＝(e x)′＝e x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝e x0，∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．又切线过原点，∴－e x0＝－x0·e x0，即(x0－1)·e x0＝0，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e，∴切线方程为y＝e x.6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.导学号05300151答案] 2解析]y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k1＝y′|x＝a＝1x ln2|x＝a＝1a ln2.已知直线斜率k2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k1k2＝－2a＝－1，∴a＝2.7．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．导学号05300152答案](2，＋∞)解析]由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x＝2·x2－x－2x＝2·(x＋1)(x－2)x，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．三、解答题8．设点P是y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号05300153解析]依据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝e x上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(e x)′＝e x，∴由题意得e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22.9．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．导学号05300154解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线相互垂直，必需cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不行能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．。
成才之路·人教A版数学选修课件2-2 1.2.1
又切线方程为y＝－x＋b， 1 ＝－1 －x2 0 ∴ 2 ＝b x0
x0＝1 ，解得 b＝2 x0＝－1 或 b＝－2
.
即当b＝2时，切点为(1,1)； 当b＝－2时，切点为(－1，－1)．
第一章
1.2
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第一章 1.2 1.2.1
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[方法规律总结 ] 某点的含义．
用导数法求切线的斜率是一种非常有效
的方法，它适用于任何可导函数．特别注意直线与曲线相切于
第一章
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第一章
导数及其应用
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1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
第一章
1.2
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自主预习学案
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第一章 1.2 1.2.1
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[解析] 设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f(x)相切于点 P，得切线l的斜率为 [2x0＋Δx2＋a]－2x2 0＋a f ′(x0)＝ lim Δx Δx→0 4x0Δx＋2Δx2 ＝ lim ＝4x0， Δx Δx→0 由直线l与曲线y＝g(x)也相切于点P，得切线l的斜率为 g′(x0)＝ lim →
成才之路选修2-2之1-1-2 (106)
选修2-3第二章综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20[答案] C[解析] D (3X ＋2)＝9D (X )＝18.2．离散型随机变量X 的概率分布列如下：则c 等于( ) A ．0.1 B ．0.24 C ．0.01D ．0.76[答案] A[解析] c ＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.3．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454，则n 、p 的值分别是( )A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，34[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝15np (1－p )＝454得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14n ＝60. 4．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74% [答案] B5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π[答案] C[解析] 由正态分布密度曲线上的最高点⎝⎛⎭⎫10，12知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π. 6．(2010·山东文，6)在某项项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2 B ．92,2.8 C ．93,2D ．93,2.8[答案] B[解析] 本题考查了方差及平均值的概念，数据设置便于运算属基础题，可各减去90，得0,0,3,4,3.3＋4＋3＋0＋05＝2，∴平均数为92，方差(2－0)2＋(2－0)2＋(2－3)2＋(2－4)2＋(2－3)25＝2.8，选B.7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5 [答案] D[解析] 设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )·(1－P (B ))＋(1－P (A ))·P (B )＝0.5.8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的 [答案] C[解析] X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1、2、3、4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，∴选C.9．某计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率为p ，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )[答案] B[解析] 每天平均使用的终端个数X ～B (n ，p )，每天平均使用的终端个数值即E (X )＝np ，故答案选B.10．在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫345－k取最大值时k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] B [解析]由⎩⎨⎧Ck －15⎝⎛⎭⎫14k －1·⎝⎛⎭⎫346－k ≤C k 5⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫345－k ，Ck ＋15⎝⎛⎭⎫14k ＋1·⎝⎛⎭⎫344－k ≤C k 5⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫345－k.解得12≤k ≤32，又因为k ∈N *，所以k ＝1.11．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3D.113[答案] C[解析] ∵E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝⎛⎭⎫43－x 12×23＋⎝⎛⎭⎫43－x 22×13＝29.∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A 1 2C ．A 3D ．A 4[答案] C[解析] A 1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7. A 2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5. A 3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45 ＝45.7.A 4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6. ∴选方案A 3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. [答案]503[解析] 这是100次独立重复试验，X ～B ⎝⎛⎭⎫100，16， ∴E (X )＝100×16＝503.14．一离散型随机变量X 的概率分布列为且E (X )＝1.5，则a －b ＝[答案] 0 [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0.8a ＋2b ＋0.3＝1.5∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.4b ＝0.4∴a －b ＝0.15．(2009·上海·理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E (ξ)________(结果用最简分数表示)[答案] 47[解析] 本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力． 由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.16．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④[解析] 由条件概率知②正确．④显然正确．而且P (B )＝P (B ∩(A 1∪A 2∪A 3)) ＝P (B ∩A 1)＋P (B ∩A 2)＋P (B ∩A 3)＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922. 故①③⑤不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．[解析] 取球次数X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X 的均值和方差，可先求X 的分布列．P (X ＝1)＝15＝0.2，P (X ＝2)＝45×14＝0.2，P (X ＝3)＝45×34×13＝0.2，P (X ＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P (X ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2.于是，我们得到随机变量X 的分布列E (X )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2 ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D (X )＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[点评] 把5个小球排成一排，在每一个位置上是白球的概率都是15，∴P (X ＝k )＝15，k＝1、2、3、4、5.18．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．[解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875.(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 C 13×78×⎝⎛⎭⎫182≈0.041.(3)因为3个坑都不需要补种的概率为⎝⎛⎭⎫783，所以有坑需要补种的概率为1－⎝⎛⎭⎫783≈0.330. 19．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X ，求随机变量X 的均值． [解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P (E )＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以X ～B (3,0.3)，故E (X )＝np ＝3×0.3＝0.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A 、B 、C ，则 P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.3， 所以P (X ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343， P (X ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝3)＝0.33＝0.027.于是，E (X )＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.20．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列． [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ， 那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：21.(本题满分123个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．[解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A 25＝20. 又μ(A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝μ(A )μ(Ω)＝1220＝35. (2)因为μ(AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝μ(AB )μ(Ω)＝620＝310. (3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.解法二：因为μ(AB )＝6，μ(A )＝12，所以P (B |A ) ＝μ(AB )μ(A )＝612＝12. 22．(本题满分14分)(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.[分析] 本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．解决的关键是理解题意，对于(1)问可借助对立事件解决，第(2)问的关键是分清每种情况的含义．[解析] (1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－14×12＋14×12×23＋34×12×23＝1324.(2)ξ可能取2,3,4，则P (ξ＝2)＝14×12＝18；P (ξ＝3)＝34×12×13＋34×12×23＝38；P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12，所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。
成才之路选修2-2之1-1-2 (26)
选修2-2 第1章章末归纳总结一、选择题1．已知f (x )＝x 3的切线的斜率等于1，则其切线方程有( )A ．1个B ．2个C ．多于两个D ．不能确定[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3，∴f ′(x )＝3x 2，令3x 2＝1，得x ＝±33， 即切点坐标为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39. 由点斜式可得切线方程为y －39＝x －33或y ＋39＝x ＋33，即y ＝x －239或y ＝x ＋239.故应选B.2．y ＝sin2x ＋cos2x 的导数是( )A ．2cos2x ＋2sin2xB ．2cos2x －2sin2xC ．2cos2x ＋sin2xD ．2sin2x －2cos2x[答案] B[解析] y ′＝(sin2x ＋cos2x )′＝(sin2x )′＋(cos2x )′＝cos2x ·(2x )′－sin2x ·(2x )′＝2cos2x －2sin2x ，故应选B.3．y ＝x ＋sin x 在(0，π)上是( )A ．单调递减函数B ．单调递增函数C.⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数 D.⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，⎝⎛⎭⎫π2，π上是增函数 [答案] B[解析] ∵y ′＝1＋cos x ，又x ∈(0，π)∴y ′>0，∴函数为增函数，故应选B.4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－19[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1或x 2＝1，f (－3)＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，∴f (x )在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.5．电灯A 可在点A 与桌面的垂直线上移动(如图)，在桌面上另一点B 离垂足O 的距离为a ，为使点B 处有最大的照度(照度I与sin ∠OBA 成正比，与r 2成反比，且比例系数均为正的常数)，则电灯A 与点O 的距离为( ) A.322a B.22a C.2aD.23a [答案] B[解析] 根据题意得I ＝k sin ∠ABO r 2， 而sin ∠OBA ＝x r，r ＝a 2＋x 2(OA ＝x )令I ′＝0得a 2－2x 2＝0，∴x 2＝a 22.∴x ＝22a .当0<x <22a 时，I ′>0；x >22a 时，I ′<0. 因此当电灯A 与点O 的距离为22a ，点B 处有最大的照度．故应选B. 二、填空题6．如果10N 的力能使弹簧压缩1cm ，那么把弹簧压缩10cm 要做的功为________．[答案] 5J[解析] F ＝k ·Δx ，∴10＝k ×0.01，∴k ＝1000N/m ，∴W ＝∫0.10kx d x ＝12kx 2| 0.10＝12×1000×0.12＝5(J)． 7．当函数y ＝x ·2x 取得最小值时，x ＝________.[答案] log 21e[解析] y ′＝2x ＋x ·2x ln2.令y ′＝0得1＋x ln2＝0，∴x ＝log 21e. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，log 21e 时y ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎫log 21e ，＋∞时y ′>0. ∴当x ＝log 21e 时，函数取最小值，此时x ＝log 21e. 8．定积分⎠⎛ab c d x (c 为常数)的几何意义是________． [答案] 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝c ，y ＝0(a <b )所围成的矩形的面积．[解析] 由定积分的定义可得．三、解答题9．设抛物线C 1：y ＝x 2－2x ＋2与抛物线C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直．(1)求a 、b 的关系；(2)若a >0，b >0，求ab 的最大值．[解析] (1)设两条抛物线的交点为A (x 0，y 0)．由题意得x 20－2x 0＋2＝－x 20＋ax 0＋b整理得2x 20－(2＋a )x 0－b ＋2＝0①由导数可得抛物线C 1、C 2在点A 处的切线的斜率为k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ，且k 1·k 2＝－1.即(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1②由①②消去x 0得a ＋b ＝52. (2)由a ＝52－b >0知0<b <52. 令y ＝ab ，则y ＝ab ＝⎝⎛⎭⎫52－b b ＝－b 2＋52b ， y ′＝－2b ＋52＝0. ∴b ＝54. 当b ∈⎝⎛⎭⎫0，54时，y ′>0.b ∈⎝⎛⎭⎫54，52时，y ′<0. ∴当b ＝54时，(ab )max ＝－⎝⎛⎭⎫542＋52×54＝2516. 即当a ＝b ＝54时，ab 取得最大值2516. 10．(2010·全国Ⅱ文，21)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3[(x －2＋3)(x －2－3)]当x ∈(－∞，2－3)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－3)单调递增； 当x ∈(2－3，2＋3)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－3，2＋3)单调递减； 当x ∈(2＋3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋3，＋∞)单调递增． 综上，f (x )的单调递增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)， f (x )的单调递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点． 当1－a 2<0时，f ′(x )＝0有两个根．x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1由题意知，2<a －a 2－1<3①或2<a ＋a 2－1<3②由①②解之得a ∈⎝⎛⎭⎫54，53，综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.。
成才之路选修2-2之1-1-2
∴割线 PQ 的斜率 k＝ΔΔyx
人
教
＝(Δx)3＋3(ΔΔxx)2＋3Δx＝(Δxx＝0.1 时割线的斜率为 k1，则 k1＝0.12＋3×0.1＋
3＝3.31.
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[点评] 一般地，设曲线 C 是函数 y＝f(x)的图象，点
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的
割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
人
[分析] 直线的斜率公式为 k＝yx22－ －yx11.
教 A 版 数
学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 ＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
A 版
数
学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均
变
化
率
为
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
＝
(x0＋Δx)3－x03 Δx
＝
3x
2 0
＋
3x0Δx
＋
(Δx)2
人
教
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
A 版 数 学
3×12＋3×1×12＋122＝149 . [点评] 此类题易错之处容易将平均变化率与平均数 相混淆，关键是理解平均变化率的概念．
版 数
题(如使利润最大、效率最高、用料最省等问题)，体会导 学
数在解决实际问题中的作用．
(10)通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，了解
定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，
成才之路选修2-2之1-1-2 (1166)
选修2-3 1.3.1一、选择题1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2(n ＋1) [答案] B2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )A ．C r nB ．C r ＋1n C ．C r －1nD ．(－1)r －1C r －1n [答案] D3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410 [答案] D[解析] ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r (－3)r .令10－r ＝6，解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410. 4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4[答案] C[解析] (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，所以x 的系数为2.5．在⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3B ．5C ．8D ．10 [答案] B[解析] T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n x 3n －5r .令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z .∴n 的最小值为5.6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )A ．－297B ．－252C ．297D ．207 [答案] D[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207. 7．(2009·北京)在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1B.12 C ．1D ．2[答案] D[解析] C r 5·x r (a x)5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4， 由C 45·a ＝10，得a ＝2. 9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16x ＜25 [答案] A[解析] 由⎩⎨⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎨⎧C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜1510．在⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项[答案] A[解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r3均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.二、填空题11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________．[答案] －16212．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________．[答案] 5[解析] 解法一：先变形(1＋x )2(1－x )5＝(1－x )3·(1－x 2)2＝(1－x )3(1＋x 4－2x 2)，展开式中x 3的系数为－1＋(－2)·C 13(－1)＝5；解法二：C 35(－1)3＋C 12·C 25(－1)2＋C 22C 15(－1)＝5.13．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． [答案] 2[解析] C 36(x 2)3·⎝⎛⎭⎫1ax 3＝20a 3x 3＝52x 3，∴a ＝2.14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________． [答案] －5[解析] (1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6 ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x ⎝⎛⎭⎫x －1x 6＋x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 6，∴要找出⎝⎛⎭⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3，令6－2r ＝－1，无解．令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.三、解答题15．求二项式(a ＋2b )4的展开式．[解析] 根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n n 得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解析] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.17．已知在(3x －123x)n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x )r＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13)r ＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r 3＝0，∴n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2r 3Z0≤r ≤10r ∈Z令10－2r 3k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝10－3k 2＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2，∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5， C 810·(－12)8·x －2. 18．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项． [解析] 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有： t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2 即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2. ∴⎩⎨⎧ 29－k ≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4. ∴系数最大项为第3项T 3＝7·x 35和第4项T 4＝7·x 74.。
成才之路数学选修2-1之2-2-1
成才之路数学选修2-12.2.1一、选择题1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在[答案] C[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段． 2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a ＝1∵a <b <0∴－a >－b >0，∴y 2－a ＋x 2－b ＝1，焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ∴焦点坐标为(0，±b －a )3．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.94 [答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(P 点不可能是直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.4．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( )A ．±34B ．±22C ．±32D ．±34[答案] C[解析] 设F 1(－3,0)∴P 点横坐标为3代入x 212＋y 23＝1得y 23＝1－34＝14，y 2＝34，∴y ＝±325．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32 B.3 C.72D ．4 [答案] C[解析] 如图所示，由x 24＋y 2＝1知，F 1、F 2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)，即P 点的横坐标为x p ＝－3，代入椭圆方程得y p ＝12，∴|PF 1|＝12，∵|PF 1|＋|PF 2|＝4.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.6．(09·陕西理)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆⇔1n>1m>0⇔m >n >0.故选C. 7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20 [答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝12或4－m ＝12，∴m ＝5或m ＝3且同时都大于0，故答案为C.8．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )A ．2B ．4 C.2 D ．2 2 [答案] B[解析] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4， 即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4.9．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <4[答案] B[解析] 因为焦点在x 轴上，故m 2<16且m 2≠0，解得－4<m <4且m ≠0.10．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) [答案] D[解析] 顶点C 满足|CA |＋|CB |＝10>|AB |，由椭圆定义知2a ＝10,2c ＝8 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．二、填空题11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，则c 2＝4⇒c ＝2∴P ＝(1，3)代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，求出b 2＝2 3. 12．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．[答案] x 2＋43y 2＝1[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.13．(08·浙江)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[答案] 8[解析] (|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，∴|AB |＝8.14．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.三、解答题15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．∵椭圆过A (0,2)，B (12，3)，∴⎩⎨⎧0m ＋4n＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.16．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程． [解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，代入得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.17．已知m 为常数且m >0，求证：不论b 为怎样的正实数，椭圆x 2b 2＋m ＋y 2b 2＝1的焦点不变．[解析] ∵m >0，b 2＋m >b 2，∴焦点在x 轴上，由(b 2＋m )－b 2＝m ，得椭圆的焦点坐标为(±m ，0)，由m 为常数，得椭圆的焦点不变．18．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝12，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求以M 、N为焦点且过点P (x 0，y 0)(y 0>0)的椭圆方程．[解析] 以线段MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴，建立坐标系． 设M (－c,0)，N (c,0)，c >0， 又P (x 0，y 0)，y 0>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－c＝－2，y 0x 0＋c ＝12，cy 0＝1⇒⎩⎨⎧x 0＝53c ，y 0＝43c ，⇒P (523，23)．设椭圆方程为x 2b 2＋34＋y 2b 2＝1，又P 在椭圆上，故b 2(523)2＋(b 2＋34)(23)2＝b 2(b 2＋34)，整理得3b 4－8b 2－3＝0⇒b 2＝3. 所以所求椭圆方程为x 2154＋y 23＝1.。
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选修2-2 1.1 第2课时
一、选择题
1．函数在某一点的导数是( )
A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B ．一个函数
C ．一个常数，不是变数
D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx
无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( )
A ．6
B ．18
C ．54
D ．81
[答案] B
[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，
∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32
＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt
＝18＋3Δt . 当Δt →0时，Δs Δt
→18，故应选B. 3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )
A ．2x
B ．2
C ．2＋Δx
D ．1 [答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，
∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2
∴Δy Δx ＝2＋Δx 当Δx →0时，Δy Δx
→2 ∴f ′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )
A ．37
B ．38
C ．39
D ．40
[答案] D
[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3
Δt ＝40＋4Δt ，
∴s ′(5)＝li m Δt →0 Δs
Δt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D.
5．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( )
A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量
B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率
C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′
D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.
6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( )
A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]
C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
D ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.
7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于(
) A ．4a B ．2a ＋b
C ．b
D ．4a ＋b
[答案] D
[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c
Δx
＝4a ＋b ＋a Δx ，
∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 (4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D.
8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A ．圆
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．直线
[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.
9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )
A ．0
B ．3
C ．－2
D ．3－2t [答案] B
[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2Δt
＝3－Δt ， ∴s ′(0)＝li m Δt →0 Δs Δt
＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a
等于( ) A ．－1a
B.2a C ．－1a 2 D.1a 2 [答案] C
[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a
＝li m x →a 1x －1a x －a ＝li m x →a a －x (x －a )·xa
＝－li m x →a 1ax ＝－1a 2. 二、填空题
11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则
li m Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________； li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )
＝________. [答案] －11，－112
[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx
＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx
＝－f ′(x 0)＝－11； li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )
＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝－12f ′(x 0)＝－112
. 12．函数y ＝x ＋1x
在x ＝1处的导数是________．
[解析] ∵Δy ＝⎝⎛⎭
⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1＋11
＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1， ∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1
＝0. 13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______．
[答案] 2
[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx
＝a ， ∴f ′(1)＝li m Δx →0 Δy Δx
＝a .∴a ＝2. 14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0
f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f (x )x －3的值是________．
[答案] 8
[解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3
＝lim x →3 2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3
. 由于f (3)＝2，上式可化为
li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3
＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题
15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．
[解析] 由导数定义有f ′(x 0)
＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0
Δx (2x 0＋Δx )Δx ＝2x 0，
16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－
3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解析] 位移公式为s ＝12
at 2
∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12
a (Δt )2 ∴Δs Δt ＝at 0＋12
a Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝
⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，
∴at 0＝800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)Δy Δx
(2)f ′(1)．
[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx
＝2＋Δx . (2)f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →
0 (2＋Δx )＝2. 18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．
[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 2 (x ≥0)－x －x 2 (x <0) Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )
＝⎩⎪⎨⎪⎧
Δx ＋(Δx )2 (Δx >0)－Δx －(Δx )2 (Δx <0) ∴lim x →0
＋ Δy Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1， lim Δx →0－
Δy Δx ＝lim Δx →0－ (－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－ Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy Δx
无极限． ∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x 从大于0的一边
无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)。