第五节 振动的合成
振动的合成
2k 多边形闭合 A=0 n k nk k 0,1,2,
已知:
练 习
教材 P.411 13-15/P.41 12-14
A A1 A2 A1 8cm A 10cm
A与A1 相差 6
求： A2 及A1，A2的相差 解： 作平行四边形
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π
A
A2
1
t
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2）相位差 2 1 (2k 1)π
(k 0 ， 1, )
A2
2
o
1
x
多个同方向同频率简谐振动合成仍为简谐振动
特例：
A2
An A
封闭多边形: Amin 0
A1
A1 A2
An
直线: Amax A1 A2 An
A
例：教材 P.395 [例1] / P.19 [例1] 同一直线上 n 个同频率简谐振动，其振幅 相等而初相依次相差一个恒量，求合振动。
2 1
录象
讨论:
（２）*当 1 2 可化为整数比时，合振动为周期性 振动，否则合振动为非周期振动。
重要意义： 周期性 非周期性 非谐振动
}
谐振动
研究一切振动的基础
{
讨论：（3）*振动的频谱
任何一个振动都可以分解为一系列谐振动 基频： 谐频： 主频： 频谱： 分振动角频率的最小值
四. 孤立谐振动系统的能量 五. 谐振动的合成
振动的合成
相空间
简谐振动
由位置和动量构成，如（p，x）
x A cos(t )
p
p 1 2 kx E 2m 2
2
x
o
本章结束
作者：李雪春
2
2
李萨如图形
T1/T2 = 1/3， 1/2 = 3/1
2
1
1
1
y( t )
0
y( t )
0
y( t )
0
1
1
1
2
2
4
2
0 x( t )
2
4
4
2
0 x( t )
2
4
2
4
2
0 x( t )2 Nhomakorabea4
0< < /2
= /2
=
§ 8相空间中振动的轨道
位形空间
由位置坐标构成，如（x，y，z）
x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2
A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
x A cos( t )
振幅矢量图合成法
x1 A1 cos( t 1 )
A1
A
x
x
x2 A2 cos( t 2 )
多个同方向同频率
的简谐振动合成？
振幅：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
（1）同相
A1
（2）反相
A2
x
A
A2
A
x
A1
2 1 2k
k 0, 1,
2 1 (2k 1) , k 0, 1,
振动的合成——精选推荐
二、振动的合成实际生活中，一个系统往往会同时参与两个或更多的振动。
例如悬挂在颠簸船舱中的钟摆，两列声波同时传入人耳等。
一般的振动合成显然是比较复杂，下面仅讨论几种间单情况的简谐振动合成。
一、同方向同频率简谐振动的合成若两个同方向的简谐振动，频率都是，它们的运动方程分别为因振动是同方向的，所以这两个谐振动在任意时刻的和位移应在同一直线上，且等于这两个振动位移的代数和，即合位移仍为简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么合成后的振动仍与原振动方向相同但不再是简谐振动。
现设两简谐振动的振幅都为A，初相位为零，它们的振动方程分别为合成振动方程为若两个分振动的频率都较大且其差很小时，即，合振动可看作为振幅随时间缓慢变化的近似谐振动，振幅随时间变化且具有周期性，表现出振动或强或弱的现象，称拍，变化的频率称拍频，变化的振幅为变化的频率为三、相互垂直的简谐振动的合成李萨如图如果两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，他们的振动方程分别为合成后，可得质点的轨迹为椭圆方程若两分振动有不同的频率，且两频率之比为有理数时，则合成后的质点运动具有稳定、封闭的轨迹。
称其为李萨如图形。
程序编写我们已经在第一讲中体验了matlab的编程，可是你一定会生出这样的问号，辛辛苦苦在命令窗口写的一大堆代码怎么不保留？不用担心，matlab程序和其他编程工具一样，也有专门的文件格式，称m文件，文件名形式为“文件名.m”。
你可以用matlab自带的编辑器来输入你的程序代码，当然你也可以用其它编辑器或最经济的文本编辑器，不过别忘记添加文件名的后缀“.m”。
下面，请跟我一起用m文件编辑器来编写matlab程序。
例题：两个振动方向相同而频率不同的简谐振动方程分别为合成后的方程是请用matlab程序描述合成波和拍频现象。
编程：第一步：点击matlab图标，打开程序窗口。
第二步：选file—new—m-file,打开编辑器。
大学物理学课件-振动的合成与分解
大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
分析：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
（1）若两分振动同相：
2 1 2 k
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互加强
（2）若两分振动反相:
2 1 ( 2 k 1)
×
×
−
()
()
得
−
= ( − )
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4.2 振动的合成与分解
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 1 )
y A2 cos( t 2 )
= 0
= /4
P
.
·
= /2
= 3/4
= 3/2
= 7/4
Q
=
= 5/4
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
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四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比
2
1
2
2
A1 A2
A1 A2
(1)2 1 0
x
y 2
(
) 0
A1 A2
y
A2
y
x
A1
x
质点离开平衡位置的位移
S
大学物理学
x2 y2
A12 A2 2 cos( t )
振动合成
A3
2
x
=
0.2
cos
⎛ ⎜⎝
10t
+π 2源自⎞ ⎟⎠mA2 A´
φ 3
φ 2
A1
φ
1
o
x
H.M.Qiu
例2
两同频率谐振动的振动曲线如图，求合振 动初相。
2 x(cm)
3
0
-1
t(s)
-2
H.M.Qiu
t = 0 时，
{ x01 =
3= 3 A 2
v01 < 0
{ x02
=
−1 =
−
A 2
v02 < 0
¾ 两振动的频率成整数比
A1
轨迹称为李萨如图形
ωx:ωy=3:2 ϕ2=0,ϕ1=π/4
-A2
o
A2 x
- A1
H.M.Qiu
例1、三个同方向、同频率的谐振动为
x1
=
0.1
cos
⎛ ⎜⎝
10t
+
π 6
⎞ ⎟⎠
m
x2
=
0.1
cos
⎛ ⎜⎝
10t
+
π 2
⎞ ⎟⎠
m
x3
=
0.1cos
⎛ ⎜⎝
10t
+
5π 6
⎞ ⎟⎠
m
试求合振动的表达式。
解：A1 = A2 = A3 = 0.1
ϕ1
=
π 6
,
ϕ2
=
π 2
,
ϕ3
=
5π 6
H.M.Qiu
例1解
ϕG1
=
π 6
,
G
高中物理竞赛教程：1.5.4振动的合成
§5.4 振动的合成若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用，在一般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响，这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动，由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动，叫振动的合成。
5. 4．1、 同方向、同频率两简谐运动的合成当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。
当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为)cos(111ϕω+=t A x )cos(222ϕω+=t A x则合振动的位移应为21x x x +=)cos()cos(2211ϕωϕω+++=t A t A22221111sin sin cos cos sin sin cos cos ϕωϕωϕωϕωt A t A t A t A -+-= t A A t A A ωϕϕωϕϕsin )sin sin (cos )cos cos (22112211+-+= t A t A ωϕωϕsin sin cos cos -=)cos(ϕω+=t A 上式中2221122211)sin sin ()cos cos (ϕϕϕϕA A A A A +++=22122121)cos(2A A A A +-+=ϕϕ22112211cos cos sin sin ϕϕϕϕϕA A A A tg ++=根据以上结论，进一步可以看到①若πϕϕk 2012或=-（k 为整数），则1)cos(12=-ϕϕ212221212A A A A A A A +=++=即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差πk 2）②若πϕϕ=-12或π)12(+k 则1)cos(12-=-ϕϕ212221212A A A A A A A -=+-=即合振动的振幅达到最小值。
此时合振动的初位相取决于1A 和2A 的大小。
5.5 简谐振动的合成
萨在 如电 图子 测技 定术 未中 知常 频用 率李
例 （P151：例5-6）两同向、同频谐振动合成，合振动A=0.2m，
与1振动相位差π/6，1振动A1= 3 101m
求：用振幅矢量法求2振动的A2及
A
A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
相位差： (t 20 ) (t 10 ) 20 10
(1) 当 2k (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amax振动加强
(2) 当 (2k 1) (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amin振动减弱
(3) 当 其他值时
x1 A1 cos(t 10 ) x2 A2 cos(t 20 )
A2
(1)用解析法可证
x x1 x2 Acos(t 0 )
(2)用两旋谐转振矢表量示法旋证A1 谐振x1 O
20 10 0
A1
x2
x1
x
x
旋A2 谐振x2
合矢量 A ——可表示同频谐振动 x Acos(t 0 )
3
PQ A2 sin 3 A3 sin 3
3 2
(
A2
A3
)
OP A1 A2 cos 3 A3 cos 3
A1
1 2
( A2
A3 )
可得
§5.5 简谐振动的合成——习题
P163: 5-11；5-12；5-14
完
√ 需证 x x1 x2
A A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
其中：
0
arctan
A1 sin 10 A1 cos10
振动的合成
t
称为阻尼振动振幅。
10
设T 为物体相继两次通过极大(或极小)位置所经时间
T 2
图中曲线1,2为 阻尼振动 ( 0 )
2 02 2
2 0
T0
x
曲线３为 临界阻尼 ( 0 )
5 4 3
曲线４,５为
过阻尼振动( 0)
2
t
1
在生产实际中根据不同
要求控制阻尼大小。
11
受迫振动
驱动力 f H cos pt
A
A1 A2
2010
0
A1
x20
x10
AM
t o .P x x0
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
16
讨论两个特例
x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
x
20 10 (2k 1) , k o,1,2,...
释放，试写出它的运动规律和能量。
解: 当物体处于平衡时
mg mg kl0 0, l0 k 当物体的坐标为x 时， 物体所受的合力F
取平衡位置 为坐标原点
l0
O
x
f
x.
F mg k(l0 x) kx
P
5
F kx
合力相当于一个线形
取平衡位置
的弹性回复力，指向
为坐标原点
平衡位置O。 l0
h
,h H
(02 p2 )2 4 2 p2
m
12
共振
A
（1）位移共振（图1）
振动的合成5
角频率相等。
2.当 2 1 2k 时， (k 0,1,2 ) 2 2 A A1 A2 2 A1 A2 A1 A2 即两分振动 同相时，合振幅 达到最大。
A A1 A2
A1
A2
O
x
3.当 2 1 (2k 1) 时， (k 0,1,2 )
矢量长2cm，则该简谐振动的振动方程为
x 2 102 cos(πt π / 4) (A) π 2 (B) x 2 10 cos( t π) 2 (C) x 2 102 cos(πt π / 3)
(D)
π x 2 10 cos( t π / 4) 4 t=t
A 10cm
求：
解：作平行四边形如图
6 A2及A，A2的相差 1
A
A2 A A 2 A1 A cos 6 5.04 cm
2 1 2
A2
6
o
A1
A1 sin sin 6 52.47o
A2
A2 cos(0t 2 / 2)
初位相
简谐振动的速度 v 和加速度 a 相对于位移 x 的位相关系？
不同物理量也可比较 振动的步调
Aa Av Ax
x A cos( 0 t ) v o A cos(o t / 2)
a 02 A cos( 0 t )
上的投影 旋转周期
t+ 0
x =Acos( t+ 0) v =- Asin( t+ 0) a =- 2Acos( t+ 0)
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法 优点： 便于解题, 特别是确定初相位 便于振动合成
物理学教学课件-5-5 振动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与
两独立的同方向、同频
率的简谐振动：
xAco ts ()
1
1
1
x2A 2cot s2 ()
A2
2 1
O x2
A1
x1 x
两振动的位相差 21=常数
1. 分振动 : 2. 合振动:
x 1 A 1cots (1 ) x 2 A 2cots ( 2 )
小结
（1）相位差 212kπ (k0， 1， )
AA1A2
加强
（2）相位差 21(2k1 )π(k0， 1， )
AAA
1
2
减弱
（3）一般情况
A 1A 2A A 1A 2
二 两个相互垂直的同频率的简谐 运动的合成
xA 1co t s1 ( )
y A 2co t s 2 ) (
质点运动轨迹 （椭圆方程）
旋转矢量法:
xA co ts ()
A A12A222A1A2cos[(21)]
A12A222A1A2cos(21)
AA 1 2A 2 22A 1A 2co s(21)
xx1x2
A
x tanA A1csio n1 s A A2scio n 2s
A2
2
1
A1
1
1
2
x 2 O x 2 x 1
xx1x2 A 1 co t 1 s ) A ( 2 co t 2 s )(
( A 1 c 1 A 2 o c 2 ) c o s t ( A o 1 s s 1 A i 2 s s 2 n ) s i t n
B 1co s tB 2s in t
B 1 2 B 2 2(
《物理学教学课件》5-5 振动的合成.ppt
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
1. 分振动 : 2. 合振动:
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2) (A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
B1 cos t B2 sin t
B12 B22 (
B1 cos t
Bபைடு நூலகம்2 B22
B2 sin t)
B12 B22
sin B2
B12 B22
则 x Acos cost Asin sin t Acos( t )
其中 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
更简洁的:
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2)
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
振幅
A
2 A1 cos( 2
1
2
t)
拍频 2 1
振动圆频率
(2 1)t
2
14振动的合成、拍
17
五. 相互垂直、不同频率谐振动的合成
合成结果为不同形式的李萨如图形。
y :x
18
合成后仍为谐振动。
o
2 1 A1 1 x x
x A cos(t )
7
A和可由矢量求和方 法求解。
4 3
A
A Ai
Ai sin i arctg Ai cos i
o
A4 A3 3 2 A2
2 1 A1 1 x x
2 2
A2
o x
是长短轴分别在x、y 方向上的椭圆。 当A1=A2时是圆形。
A1
16
一般情况下
X=A1cos(ωt+φ1) ， Y=A2cos(ωt+φ2)
变换：
令：
Y=A2cos(ωt+φ2)= A2cos(ωt+ φ1 +φ2-φ1)
α= ωt+φ1 、 β= φ2-φ1
得：Y=A2[cos α cos β - sin α sin β] A2 [cos cos 1 cos2 sin 改写为： y cos cos 1 cos2 sin 两边平方，利用 cos α=X/A1
9
对有n+1个边的多边形，内角和为（n-1)π。 相邻的两个矢量夹角为（ π- δ），共有n-1个 角。A1、An与A夹角相等。
(n-1) π=(n-1)(π- δ）+2 φ φ =(n-1) δ/2
合振动的方程：
sin(n / 2) X A1 cos(t (n 1) / 2) sin( / 2)
4 2 22 2 4 2 cos( / 3 0) 2 7
5.4振动的合成
§5.4 振动的合成若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用，在一般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响，这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动，由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动，叫振动的合成。
5. 4．1、 同方向、同频率两简谐运动的合成当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。
当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为 )cos(111ϕω+=t A x)cos(222ϕω+=t A x则合振动的位移应为21x x x +=)cos()cos(2211ϕωϕω+++=t A t A22221111sin sin cos cos sin sin cos cos ϕωϕωϕωϕωt A t A t A t A -+-=t A A t A A ωϕϕωϕϕsin )sin sin (cos )cos cos (22112211+-+=t A t A ωϕωϕsin sin cos cos -=)c o s(ϕω+=t A+=瞬态振动静态振动受迫振动（a ） （b ） （c ）图5-3-6上式中2221122211)sin sin ()cos cos (ϕϕϕϕA A A A A +++=22122121)c o s (2A A A A +-+=ϕϕ22112211cos cos sin sin ϕϕϕϕϕA A A A tg ++=根据以上结论，进一步可以看到①若πϕϕk 2012或=-（k 为整数），则1)cos(12=-ϕϕ212221212A A A A A A A +=++=即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差πk 2）②若πϕϕ=-12或π)12(+k 则1)cos(12-=-ϕϕ212221212A A A A A A A -=+-=即合振动的振幅达到最小值。
振动的合成(黄颂翔
利用三角函数关系式：
cos cos 2 cos cos
2
2
它们的合运动为
x x1 x2 A cos1t 0 A cos2t 0
x
10
上式是个椭圆方程，形状由相位差 (20 10 ) 决
定。
２．讨论：
1）当
20
10
0时， x A1
y A2
2
0
y A2 s
y A2 x 轨迹为过原点的直线 A1
O A1
直线的斜率为
tan A2
A1
任意时刻的位移为 s
两振动合成时，相位差起决定性作用。
（1）当两振动同相位，即
20 10 2k , k 0 ， 1 , 2 ， 时
cos20 10 1
A2
A
A1
A A12 A22 2 A1 A2 A1 A2
合振动的振幅达到最大。合振动初相位与分振动 相同。
结果表明：两同方向同频率简谐振动的合成仍为一
简谐振动。合振动与分振动在同一方向上，频率与
分振动相同，振幅及初位相分别由（3）、（4）式
决定。 ２．矢量合成方法
A
设t 0时刻对应两振动的
旋 转矢 量 A1 和 A2 与 x 轴的
夹角分别为10 、20 ，它们
A2
y2
y2
y
200 10 A1 y1
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
显然，拍频是振动cos(2 1 t)的频率的两倍。即
震动合成,波动
y A2
x
x y= 2 3 1= 0 , 2 = / 4
播放动画
o
A1
用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示 波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已 知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李 萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。
机械波的产生及分类
1.横波 各质点振动方向与波 的传播方向垂直的波。 如绳波、电磁波为横波。
传播方向
播放动画
波形曲线
· · · · · · · ·t = 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·t = T · · · · · · · · · · ·· · = uT
sincos21221222?????????????????????aaxyayax2121????aaaa0221????????ayaxxaay12?为直线方程121???同相位02212221???????????????aaxyayaxyx0???yx12378y12378利用旋转矢量合成4567x123456784562
2.波线、波面、波前 振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波称为行波。 波的传播方向称之为波射线或波线。传播方向 波线 某时刻介质内振动相位相同的点组 成的面称为波面或同相面。 某时刻处在最前面的波面称为波前。 球面波、平面波在各向同性均匀介 质中，波线与波阵面垂直.
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§8.5 振动的合成
简谐振动的合成 (combination of simple harmonic motions)： 常见的简谐振动的合成有
同一直线上同频率的简谐振动的合成 同一直线上不同频率的简谐振动的合成 相互垂直的同频率的简谐振动的合成 相互垂直的不同频率的简谐振动的合成
我们讨论同一直线上即两个同方向同频率简谐运动的合成。
分振动：一物体同时参与两个在同一直线上的同频率的简谐振动，其表达式为
x 1=A 1cos(ωt+ϕ1)
x 2=A 2cos(ωt+ϕ2)
合振动： x = x 1+x 2 一、公式法
合振动的运动学方程为
结论：两个同方向、同频率简谐振动的合振动仍是简谐振动，其频率与分振动的频率相同。
二、 旋转矢量法 合振动的振幅
合振动初相ϕ
111cos()
x A t ωϕ=+2
22cos()
x
A t ωϕ=+ 12
x x x =+1122cos cos A t A t ωϕωϕ=+++（）（）
cos()
x A t ωϕ=+
1
2
A =11221122
sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=
+
讨论：
2 两种特殊情况
(1)若两分振动同相，ϕ2 - ϕ1 = ±2k π k = 0,1,2,…… 则 A =A 1+A 2， 合振动加强
(2)若两分振动反相，ϕ2 - ϕ1= ±(2k +1)π, k = 0,1,2,……
则 A = |A 1 - A 2|，合振动减弱，如再有A 1=A 2， 则A = 0。
此情形下，“振动加振动等于不振动”。
1）相位差
3 一般情况
212π
k ϕϕϕ∆=-= (0 1 2,)
k =±± ，，1 相位差 12
A A A =+12
A A A =- (0 1 )
k =± ，，1212
A A A A A +>>-。