数字信号处理第七章习题解答

————第七章———— FIR 数字滤波器设计7.1 学 习 要 点7.1.1 线性相位FIR 数字滤波器特点归纳1. 线性相位概念设()()[]n h FT eH j =ω为FIR 滤波器的频响特性函数。

()ωj e H 可表示为()()()ωθωωj g j e H e H =()ωg H 称为幅度函数，为ω的实函数。

应注意()ωg H 与幅频特性函数()ωj e H 的区别，()ωj e H 为ω的正实函数，而()ωg H 可取负值。

()ωθ称为相位特性函数，当()ωτωθ-=时，称为第一类（A 类）线性相位特性；当()ωτθωθ-=0时，称为第二类（B 类）线性相位特性。

2. 具有线性相位的FIR 滤波器的特点（()n h长度为N ）1）时域特点A 类：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=--=2121,1N N n n h n N h n h ωωθ偶对称关于 (7.1)B 类：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-=---=21221,1N N n n h n N h n h ωπωθ奇对称关于 (7.2)群延时：()21-==-N d d τωωθ为常数，所以将A 类和B 类线性相位特性统称为恒定群时延特性。

2）频域特点A 类：N 为奇数（情况1）：()ωg H 关于ππω2,,0=三点偶对称。

N 为偶数（情况2）：()ωg H 关于πω=奇对称（()0=πg H ）。

B 类：N 为奇数（情况3）：()ωg H 关于ππω2,,0=三点奇对称。

N 为偶数（情况4）：()ωg H 关于πω2,0=奇对称，关于πω=偶对称。

3. 要点（1）情况1：可以实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻和点阻等）。

（2）情况2：()0=πg H ，不能实现高通、带通和点阻滤波器。

（3）情况3：只能实现带通滤波器。

（4）情况4：不能实现低通、带阻和点阻滤波器。

7.1.2 FIR 数字滤波器设计方法 FIR 滤波器设计方法： （1）窗函数法 （2）频率采样法 （3）切比雪夫逼近法1. 窗函数法的设计步骤与要点设()()[]n h FT eH d j d =ω为希望逼近的频响特性函数，()()[]n h FT e H j d =ω为用窗函数法设计的实际滤波器的频响函数。

通常取()ωj e H 相应的理想频响特性作为()ωj de H 。

窗函数法设计过程如图7.1所示。

知识要点如下：（1）希望逼近的理想滤波器频响函数()ωj d e H 的表达式。

因为FIR 数字滤波器一般要求设计成线性相位特性，所以()ωj d e H 必须满足上述线性相位FIR 滤波器的频域特点。

逼近理想低通、带通、高通和带阻滤波器频响函数的表达式如下：()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=-πωωωωωαωc c j j dLp e e H ,00,()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤=-πωωωωωωωωαωch cl ch cl j j dBp e e H ,0,0,()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=-cc j j dHp e e H ωωπωωωαω0,0,()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤≤≤=-chcl ch cl j j dBs ee H ωωωπωωωωωαω,0,0,其中，c ω为理想滤波器截止频率，cl ω和ch ω分别为理想带通滤波器的通带下截止频率和上截止频率。

()21-=N α（N 为()n h 长度），这样才能确保线性相位的时域条件()()n N h n h --=1，且()n h 为实序列。

（2）熟悉各种常用窗函数的技术指标和加窗后对滤波器特性的影响，根据设计指标正确选择窗函数类型及其长度N 。

表7.1列出了六种典型窗函数的基本技术指标参数。

这六种窗函数均满足A 类线性相位条件：()()n N n --=1ωω。

表7.1 六种窗函数的基本参数N 值。

（3）检验设计结果（4）熟悉窗函数设计法的特点：设计过程简单、方便实用。

但边界频率不易精确控制所以设计完以后，必须检验结果。

2. 用频率采样法设计FIR 数字滤波器的设计步骤与要点1）频率采样设计法的概念及理论依据设计FIR 数字滤波器就是寻求一种满足设计要求的滤波器单位脉冲响应()n h 或系统函数()z H 。

根据频率采样理论，如果()n h 长度为M ，()()[]n h ZT z H =，在单位圆上等间隔对()z H 采样N 点得到()(),2k Njez z H k H π== 1,,1,0-=N k (7.3)只要M N ≥，则有()()[]k H IDFT n h =, 1,,1,0-=N n (7.4)()()∑-=-----=1111N k k N NzWk H Nz z H (7.5) 由此可见，只要知道FIR 数字滤波器频响函数在[]π2,0上的N 点等间隔采样()k H ，就可确定滤波器的单位脉冲响应()n h 或系统函数()z H ，这就是频率采样设计法的理论依据。

频率采样法就是根据以上频域采样理论，由滤波特性指标构造希望逼近的滤波器频响函数()ωj d e H ，对其在[]π2,0上采样得到()()k Nj d d eH k H πωω2==, 1,,1,0-=N k (7.6)然后，求得单位脉冲响应()n h ，或求得系统函数()z H 。

这样，()n h 或()z H 就是FIR 数字滤波器的设计结果。

2）用频率采样法设计FIR 滤波器的设计步骤与要点 设计步骤如图7.2所示 知识要点如下：（1）一般以实际设计的频响函数()ωj eH 相应的理想频响特性作为希望逼近的()ωj d e H ，这样可使设计简化。

（2）设计线性相位FIR 对()ωj d e H 和()k H d 的约束条件。

如果()kj k d eH k H θ=，k H 为幅度采样，k θ表示相位采样，即⎪⎭⎫⎝⎛=k N H H d k π2，⎪⎭⎫⎝⎛=k N k πθθ2，k θ的表达式及对k H 的约束条件： ,1k NN k πθ--= 1,,1,0-=N k N 为奇数时，k N k H H -=N 为偶数时，k N k H H --=由上述可见，设计线性相位FIR 滤波器时，相位采样k θ为一确定函数式，当N 为奇数时，幅度采样k H 关于2N k =点偶对称，当N 为偶数时，k H 关于2N k =点奇对称。

应当注意，设计高通和带阻滤波器时，N 只能取奇数。

（3）逼近误差及其改进措施，N 值的估计。

①逼近误差分析：由频域采样理论可知()()[]()()∑∞-∞=⋅+==m Ndd n R mN n h k H IDFT n h即所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应()n h 是希望逼近的滤波器单位脉冲响应的周期延拓序列的主值序列。

如果()ωj d e H 为理想频响特性，则由于频域有间断点，使()n h d 为衰减较慢的无限长序列。

这时其周期延拓时，有较严重的时域混叠，所以，()n h 和()n h d 相差较大，故()()[]n h FT eH j =ω和()()[]n h FT e H dj d=ω相差较大，即逼近误差较大。

而且，由于()n h 为有限N 长序列，所以()ωj eH 为连续无间断点函数，故在()ωj de H 的间断点附近逼近误差最大，并形成倾斜过渡带和振荡，使阻带最小衰减不到20dB 。

在平滑区域逼近误差将较小。

②改进措施：在()ωj d e H 的间断点附近区间假如若干个过渡带采样点，这样就相当于使()ωj d e H 的间断点变平滑后再采样。

即使()n h d 变得衰减很快，从而周期延拓时混叠失真减小，即()n h 和()n h d 误差减小，必然使频域()ωj eH 和()ωj de H 误差减小。

③频域采样点数N 估算：一般由过渡带宽度ω∆估算N 值。

()Nm πω21+≈∆，m 为过渡采样点数目。

所以，N 的估算公式为()12+∆=m N ωπ显然，ω∆越小，或m 越大都使N 值越大。

3）频率采样法的特点及设计结果检验 这种设计方法的特点是：可以在频域直接涉及任意频响特性的FIR 数字滤波器，概念清楚、直观。

但边界频率不易控制。

所以，设计时，要对()ωj e H 进行检验，可通过加大采样点数N 来改善边界频率精度，但这会增加滤波器的成本和计算量。

对于窄带滤波器，即使N 很大，通带内非零采样()k H d 也较少，这样，其()z H 的内插公式(7.5)中有效项较少，从而使实现频率采样结构并联支路较少，使滤波器成本降低，运算量减少。

因此，该设计法适合设计窄带滤波器。

3. FIR 滤波器的等波纹逼近设计法等波纹逼近设计法使用切比雪夫最佳一致逼近理论，可设计出实际滤波器频响()ωj eH 与期望的频响()ωj d e H 之间的最大误差最小化的最佳拟合滤波器。

这种方法设计的滤波器呈现等波纹频响特性，所以称之为等波纹逼近设计法。

由于误差均匀分布于整个频带，对固定的阶数N ，可以得到最优良的滤波特性；通带最平坦，阻带最小衰减达到最大。

因此，等波纹逼近法在FIR 滤波器设计中得到广泛应用，特别是有现成的设计程序，从而使设计简单易行。

所以，在建立上述概念的基础上，正确调用设计程序，设置合适的参数即可得到等波纹逼近FIR 滤波器系数()n h 。

7.2 教材第七章习题解答3. 设FIR 滤波器的系统函数为12341()(10.92010.9)10H z z z z z ----=++++ 求出该滤波器的单位取样响应()h n ，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性和相位特性，并画出其直接型结构和线性相位型结构和线性相位型结构。

解：对FIR 数字滤波器，其系统函数为()()()4321109.01.29.01101-----=-++++==∑z z z z z n h z H N n n 所以，其单位脉冲响应为(){}1,9.0,1.2,9.0,1101=n h 由()n h 的取值可知()n h 满足()(),1n N h n h --= 5=N所以，该FIR 滤波器具有第一类线性相位特性。

设其频率响应函数为()ωj eH()()()()∑-=-==1N n n j j gj e n h eH eH ωωθωω[]()ωωωωωωω24322cos 2cos 8.11.21019.01.29.01101j j j j j e e e e e -----++=++++=幅度特性函数为()102cos 2cos 8.11.2ωωω++=g H相位特性函数为()ωωωθ221-=--=N 由()n h 画出直接型结构和线性相位型结构分别如题3解图（一）和题3解图（二）所示。

幅度曲线如题3解图（三）所示。