初高中数学衔接：第6讲+一元二次方程根与系数的关系

第6讲 一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 1.1一元二次方程的根的判断式
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222
4()24b b ac x a a -+=
(1) 当2
40b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x =
(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a
=- (3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) 22310x x -+=
(2) 2
4912y y +=
(3) 2
5(3)60x x +-=
解：(1) 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．
(2) 原方程可化为：2
41290y y -+=
2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．
(3) 原方程可化为：256150x x -+=
2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根
(3)方程有实数根；
(4) 方程无实数根．
解：2
(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-
(1) 141203k k ->⇒<
； (2) 141203k k -=⇒=
；
(3) 1
41203
k k -≥⇒≥；
(4) 1
41203
k k -<⇒<．
【例3】已知实数x 、y 满足2
2
210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．
解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：2
2
(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：
222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，
代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-． 综上知：1,0x y =-=
1.2 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：
x x ==
所以：12b x x a
+=
+=-，
12244ac c
x x a a
⋅====
韦达定理：如果一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：
1212,b c
x x x x a a
+=-=
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．
【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212x x +；
(2)
12
11
x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-
(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)
121212112220072007
x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4) 12||x x -=
===
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
12
1212
11x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，
12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
练习1． 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．
（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求2212
11
x x +的值；（3）x 13＋x 23．
解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴125
2
x x +=-，
123
2
x x =-．
（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝
25
4
＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72
．
（2）2222
1212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24
x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．
（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2
－3x 1x 2]
＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－215
8
．
【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
解：法一 设这两个数分别是x ，y ，则{
412
x y xy +==-1126x y =-⎧⇒⎨=⎩或226
2
x y =⎧⎨=-⎩．
因此，这两个数是－2和6．
法二 由韦达定理知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．
解方程得：x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6．
【例6】关于x 的方程221
(1)104
x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的
值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034,41215
4
k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩
所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3
02
k ∆=⇒=
； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于
3
02
k ∆>⇒>
，故1k =-不合题意，舍去．
综上可得，3
2
k =
时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．
【例7】若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．
解：设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②
由①得 a ＜4，
由②得 a ＜17
4 ． ∴a 的取值范围是a ＜4．
*【例9】已知一元二次方程
6
5
)9
(2
2
2+
-
+
-
+a
a
x
a
x
求a的取值范围。

解：如图，设6
5
)9
(
)
(2
2
2+
-
+
-
+
=a
a
x
a
x
x
f
则只须⎩
⎨
⎧
<
<
)2(
)0(
f
f
，解之得
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
-
<
<
3
8
1
3
2
a
a
∴
2<
1．一元二次方程2
(1)210
k x x
---=
A．2
k>B．2,1
k k
<≠
且C．2
k<
2．若
12
,x x是方程2
2630
x x
-+=的两个根，则
12
11
x x
+的值为( )
A．2B．2-C．
1
2
D．
9
2
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22
(21)30
x m x m
+-++=的根，则m等于( )
A．3-B．5C．53
-
或D．53
-或
4．若t是一元二次方程20 (0)
ax bx c a
++=≠的根，则判别式24
b ac
∆=-和完全平方式2
(2)
M at b
=+的关系是( )
A．M
∆=B．M
∆>C．M
∆<D．大小关系不能确定5．若实数a b
≠，且,a b满足22
850,850
a a
b b
-+=-+=，则代数式
11
11
b a
a b
--
+
--
的值为( )
A．20
-B．2C．220
-
或D．220
或
6．如果方程2
()()()0
b c x c a x a b
-+-+-=的两根相等，则,,
a b c之间的关系是______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2
2870
x x
-+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______ ．
8．若方程2
2(1)30
x k x k
-+++=的两根之差为1，则k的值是_____ ．
9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2
0x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．
10．已知实数,,a b c 满足2
6,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．你是否同意他的看法？请你说明理由．
12．已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足
12111
2
x x +=-，求m 的值．
13．已知关于x 的方程2
(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．
(1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，
求出k 的值；如果不存在，请你说明理由．
14．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实
数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．
答案： 1． B
2． A
3．A
4．A
5．A
6．2,a c b b c +=≠且 7． 3
8． 9或3-
9．1,3p q =-=-
10．3,3,0a b c ===
11．正确 12．21
(1)1650 (2)2
m m ∆=+>=-
13．13
(1)112
k k <≠且 (2) 不存在
14．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得
x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，
即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．
当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m ＝17．。