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2021年高二数学上学期第十四次周练试题新人教版

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人教版高二上学期数学第一次月考文试题(解析版)

人教版高二上学期数学第一次月考文试题(解析版)
【详解】解：（1）由题意得， ，
因为 ，所以解得 ，
所以 的方程为 ，
（2）由题意可得直线方程为 ，设直线与椭圆交于 ，
将 代入椭圆方程得， ，即 ，
所以 ，
所以
【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的应用，考查计算能力，属于基础题
22.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝ .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P在这个椭圆上且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，解得 ，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆 定义得： ，结合题意可得： ，再根据余弦定理可求得结果
【详解】解：（1）由已知设椭圆方程为 ，
【详解】由不等式 的解集为 ，得 无解，即对 , 恒成立，①当 时，显然满足题意，②当 时，有 ，解得： ，综上，
故答案为：
【点睛】本题结合二次函数得性质，考查命题的真假，属于容易题.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17.当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假．
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记 ，否则就表示圆了.
15.若椭圆 的离心率为 ，则 的短轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
判断出椭圆的焦点在 轴上，得出 的值，根据离心率的概念可得 ，解出 的值可得短轴长.
【详解】由椭圆 得焦点在 轴上， ， ， ，
10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )

新疆乌鲁木齐市第四中学2021-2022学年高二上学期期末考试 数学试题解析(001)高中数学

新疆乌鲁木齐市第四中学2021-2022学年高二上学期期末考试 数学试题解析(001)高中数学
2.给出命题：若函数 是幂函数，则函数 的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）
A.3B.2C.1D.0
【答案】C
【解析】
【详解】若函数 是幂函数，则函数 的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数 的图象不过第四象限，则函数 是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用双曲线 的实轴长为 ，求出 ，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意 ， ，所以 ， ，
所以双曲线的渐近线的斜率为 .
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A， 为一次函数，不是偶函数，不符合题意；
对于B， ， ，为奇函数，不是偶函数，不符合题意；
对于C， ，为二次函数，是偶函数且在 上是减函数，符合题意；
对于D， ， ，为奇函数，不是偶函数，不符合题意；
3.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件求得 ，由此求得 .
【详解】依题意 ，解得 ，所以 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前 项和公式，属于基础题.

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆，则其离心率( )A. B. C. D.2.已知，向量，，若，则实数x的值等于( )A. B. 1 C. D. 23.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.若P，Q分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为( )A. B. C. D.5.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是( )A.或 B.C.或 D.6.如图所示，在大小为的二面角中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )A. 2B.C.D.7.在正方体中，与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆E：，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法中，正确的有( )A. 直线必过定点B. 直线在y轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 点到直线的距离为710.给出下列命题，其中正确的是( )A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为若，则11.已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是( )A. 圆M圆心坐标为B. 两圆有两条公切线C.直线AB的方程为D. 若点E圆O上，点F在圆M上，则12.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，且，点Q是PD的中点，则下列结论描述正确的是( )A. 平面PADB. B，Q两点间的距离等于C. DC与平面AQC所成的角为D. 三棱锥的体积为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东济宁任城区2021-2022学年高二上学期统考数学试题 Word版含答案

山东济宁任城区2021-2022学年高二上学期统考数学试题 Word版含答案

第5题图第15题图高二模块考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟． 留意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目填涂在答题卡的相应位置．2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3. 第Ⅱ卷要用钢笔或圆珠笔写在给定答题纸的相应位置，答卷前请将答题纸密封线内的学校、班级、姓名、考试号填写清楚．考试结束，监考人员将答题卡和答题纸按挨次一并收回． 第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.设 ,,a b c R ∈，且a>b ，则 ( )A.11a b <B.22a b >C.a c b c ->-D.ac>bc 2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且S 8=-24，1a =4，则公差d 等于 （ ）A ．1 B. 53C. 3D. -23.ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若26120c b B ===，，，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．64．在等比数列{}n a 中，221=+a a ，643=+a a ，则87a a +等于（ ） A ．52 B ．53 C ．54 D.555.如图所示，为了测量某障碍物两侧A ，B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A ，B 间距离的是（ ）A ．α，β，bB ．α，β，aC ． a ，b ，γD ．α，a ，b6.△ABC 满足：cos cos cos a b cA B C==，那么此三角形的外形是 （ ） A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 任意三角形 D. 等腰三角形7.下列函数中，最小值为4的是A ．4y x x =+B ．4sin sin y x x =+(0)x π<<C. 4x xy e e =+D. 3log 4log 3x y x =+ 8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 （ ）A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元9．已知等差数列的前n 项和为n S ，且150S >，160S <，则此数列中确定值最小的项为（） A.第9项 B.第8项 C. 第7项 D.第6项10.当1x >时，不等式21mx mx x ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．)322,⎡-+∞⎣B ．)322,⎡++∞⎣C ．(,322-∞-D ．(,322-∞+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上). 11.2242M a b a b =+-+的值与5-的大小关系是M -5； 12.已知等差数列{}n a 中，满足2136=+a a ，则18S = ； 13. 设0>a ，0>b ，若3是a 3与b 3的等比中项，则ba 11+的最小值为 ； 14.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)12(1-221n -⨯=+n nn a ）（， 则n S = ；15.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB = ． 三、解答题（本大题共6小题，满分共75分） 16.（本小题满分12分）第20题图在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且3=a ，3=b ，060=A ，求角B 和ABC ∆的面积．17.（本小题满分12分） 设函数2()f x x ax b =-+（Ⅰ）若不等式()0f x <的解集是{}|23x x <<，求不等式012>+-ax bx 的解集； （Ⅱ）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n b na n +=)21(，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为c b a ,,，且满足(2)cos cos 0c a B b A --= （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若7,13b a c =+=,求∆ABC 的面积.20、（本小题满分13分）如图，将宽和长都为x ，y （x<y ）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为45.（注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线相互垂直的图形） （Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）当x ,y 取何值时，该正十字形的外接圆直径d 最小，并求出其最小值.21.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，且数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设1(1)1(1)22n nn n n c a b --+-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． （III ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n R ． 高二模块考试数学试题答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1-5 CDACD 6-10 BCDBD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.≥ 12. 18 13. 4 14.12111--=+n n S 15.)sin(tan sin βαθβ+⋅⋅s三、解答题（本大题共6小题，满分共75分）16.（12分）解：由正弦定理得213233sin sin =⨯==aAb B o 30=∴B 或 o 150，o 60=A 且 b a >，o 30=∴B ． …………………6分0090180=--=∴B A C ，23313321sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ． …………………12分 17.（12分）解：（Ⅰ）由于不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以2,3x x ==是方程20x ax b -+=的解，…… 2分由韦达定理得：5,6a b ==，故不等式210bx ax -++>为26510x x -+>， …… 4分解不等式26510x x -+>得其解集为11|,32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或．……6分（Ⅱ）据题意，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则24(3)0a a ∆=--≤，…… 10分 整理得：01242≤-+a a ，解得62a -≤≤． …… 12分 18.（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，……4分当1=n 时，12a =也适合上式，∴n a n 2=. …………………………6分 （Ⅱ）由（I ）知，n n b n a n n+=+=)41()21(. ………………………8分∴211[(1())]111(1)44()()(12)1444214n n n n n T n -+=+++++++=+- 11(1)[1()]342n n n +=-+. ………………………12分 19.（12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --=2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=由于0sin ≠C ,所以21cos =B , 所以3π=B……………………………………6分（Ⅱ）由于B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+= 由于7,13b a c =+=，3π=B 40ac ∴=1sin 2S ac B ∴==……………………………………12分 20.（13分）解：（Ⅰ）由于5422=-x xy ，则x x y 2542+=,由于x y >，所以x xx >+2542，故4520<<x . 所以解析式为x x y 2542+=（4520<<x ）.（未给出x 的范围，酌情扣分）…6分（Ⅱ）由图可知+=+=2222x y x d 22)254(x x +=52204522++xx 5210+≥ 当且仅当2=x ，15+=y 时，正十字形的外接圆直径d 最小，最小为5210+ ……………………………………13分 21.（14分）解：（Ⅰ）由22n n S a +=，当2n ≥时，1122n n S a --+= 两式相减得，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，又由于当1n =时，1122S a +=，1122S a +=12a ∴={}n a ∴是等比数列，首项12a =，公比2q =，2nn a ∴=…………4分又有12n n b b +=+，所以12n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列，首项11b =，公差2d =，21n b n ∴=-…………6分 （Ⅱ）当n 为奇数时，2nn c =，当n 为偶数时，21n c n =-，352123521212232527...2(41)(222...2)[3711...(41)]2(14)(341)1422123n n n n n T n n n n n n--+∴=-+-+-++--=+++-++++--+-=---=--………………………………10分（III ）由题意得231123252...(23)2(21)2n nn R n n -=⋅+⋅+⋅++-+-……①23412123252...(23)2(21)2n n n R n n +∴=⋅+⋅+⋅++-+-……②①－②得341+12(22...2)(21)2n n n R n +-=++++--3112(12)=2+(21)212n n n -+----1(23)26n n R n +∴=-+…………………14分高二模块考试数学试题答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1-5 CDACD 6-10 BCDBD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.≥ 12. 18 13. 4 14.12111--=+n n S 15.)sin(tan sin βαθβ+⋅⋅s三、解答题（本大题共6小题，满分共75分）16.（12分）解：由正弦定理得213233sin sin =⨯==aAb B o 30=∴B 或 o 150，o 60=A 且 b a >，o 30=∴B ． …………………6分0090180=--=∴B A C ，23313321sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ． …………………12分 17.（12分）解：（Ⅰ）由于不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以2,3x x ==是方程20x ax b -+=的解，…… 2分由韦达定理得：5,6a b ==，故不等式210bx ax -++>为26510x x -+>， …… 4分 解不等式26510x x -+>得其解集为11|,32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或．……6分 （Ⅱ）据题意，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则24(3)0a a ∆=--≤，…… 10分 整理得：01242≤-+a a ，解得62a -≤≤． …… 12分 18.（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，……4分当1=n 时，12a =也适合上式，∴n a n 2=. …………………………6分 （Ⅱ）由（I ）知，n n b n a n n+=+=)41()21(. ………………………8分∴211[(1())]111(1)44()()(12)1444214n n n n n T n -+=+++++++=+- 11(1)[1()]342n n n +=-+. ………………………12分 19.（12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --=2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=由于0sin ≠C ,所以21cos =B , 所以3π=B……………………………………6分（Ⅱ）由于B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+= 由于7,13b a c =+=，3π=B 40ac ∴=1sin 2S ac B ∴==……………………………………12分 20.（13分）解：（Ⅰ）由于5422=-x xy ，则x x y 2542+=,由于x y >，所以x xx >+2542，故4520<<x . 所以解析式为x x y 2542+=（4520<<x ）.（未给出x 的范围，酌情扣分）…6分（Ⅱ）由图可知+=+=2222x y x d 22)254(x x +=52204522++xx 5210+≥ 当且仅当2=x ，15+=y 时，正十字形的外接圆直径d 最小，最小为5210+ ……………………………………13分 21.（14分）解：（Ⅰ）由22n n S a +=，当2n ≥时，1122n n S a --+= 两式相减得，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，又由于当1n =时，1122S a +=，1122S a +=12a ∴={}n a ∴是等比数列，首项12a =，公比2q =，2nn a ∴=…………4分又有12n n b b +=+，所以12n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列，首项11b =，公差2d =，21n b n ∴=-…………6分（Ⅱ）当n 为奇数时，2nn c =，当n 为偶数时，21n c n =-，352123521212232527...2(41)(222...2)[3711...(41)]2(14)(341)1422123n n n n n T n n n n n n--+∴=-+-+-++--=+++-++++--+-=---=--………………………………10分（III ）由题意得231123252...(23)2(21)2n nn R n n -=⋅+⋅+⋅++-+-……①23412123252...(23)2(21)2n n n R n n +∴=⋅+⋅+⋅++-+-……②①－②得341+12(22...2)(21)2n n n R n +-=++++--3112(12)=2+(21)212n n n -+----1(23)26n n R n +∴=-+…………………14分。

湖北省武汉市第十四中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试卷

湖北省武汉市第十四中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉十四中高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k3＜k2＜k1D．k3＜k1＜k22．已知P是平面ABCD所在平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1），则下列结论中错误的是（）A．⊥B．⊥C．是平面ABCD的法向量D．∥3．已知O为坐标原点，点F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若（+）•＝0，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．+1D．+14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，若△ABF的重心G的横坐标为3，则|AF|+|BF|＝（）A．8B．9C．10D．115．设a，b是两条直线，，分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1D的重点，N为线段CD1上的动点，则直线CD1与直线MN所成角的正弦值的最小值为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝kx交于A，B两点，点P为C上一个动点，记直线P A，PB斜率分别为k P A，k PB，C的左右焦点分别为F1，F2，若k P A•k PB ＝，且C的焦点到渐近线的距离为1，则（）A．a＝4B．C的离心率为C．若PF1⊥PF2，则a△PF1F2的面积为2D．若△PF1F2的面积为2．则△PF1F2为钝角三角形8．已知C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞b2＞0）有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且∠F1PF2＝，则+取最大值时e1+e2的值为（）A．B．C．1+D．2+二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.9．下列说法正确的是（）A．直线x sin a﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为[0，]∪[，π]B．“c＝5”是“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0的距离为3”的充要条件C．直线l：λx+y﹣3λ＝0（λ∈R）恒过定点（3，0）D．直线y＝﹣2x+5与直线2x+y+1＝0平行，且与圆x2+y2＝5相切10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列说法正确的是（）A．直线B1C∥平面A1BDB．B1C⊥BD1C．三棱C1﹣B1CE的体积为D．直线B1E与平面CDD1C1所成的角为60°11．已知曲线C：+＝1，则（）A．m＝2时，则C的焦点是F1（0，），F2（0，﹣）B．当m＝6时，则C的渐近线方程为y＝±2xC．当C表示双曲线时，则m的取值范围为m＜﹣2D．存在m，使C表示圆12．在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A（x1，y1）．B（x2，y2）在该抛物线上且位于x轴的两侧，•＝2，则（）A．x1x2＝6B．直线AB过点（2，0）C．△ABO的面积最小值是2D．△ABO与△AFO面积之和的最小值是3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面α的一个法向量为（3λ，6，λ+6），平面β的一个法向量为（λ+1，3，2λ），若α∥β，则λ＝．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣C的余弦值为．15．已知平面直角坐标系，A（﹣1，0），B（1，﹣1），若A，B，C是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点C的坐标是．16．已知椭圆C：+＝1上有一点P，F1，F2分别为其左右焦点，∠F1PF2＝θ，△F1PF2，的面秒为S，则下列说法正确的有．①著S＝2，则满足题意的点P有4个；②若θ＝60°，则S＝；③θ的最大值为90°；④若△F1PF2是钝角三角形，则S的取值范围是（0，2）四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，且C1C＝CD＝2．（1）试用，，表示；（2）求||．18．已知两个条件：①圆心C在直线x﹣2y＝0上，直线4x﹣3y＝0与圆C相交所得的弦长为4；②圆C过圆x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0和圆x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0的公共点，在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．问题：是否存在唯一的圆C过点A（6，0）且，井说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，19．已知椭圆+＝1，一组平行直线的斜是1．（1）这组直线何时与椭圆有公共点？（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝2，M，N分别为PB，PD的中点．（1）求直线PM与平面AMN所成角的正弦值；（2）在线段PC上是香存在一点Q，使得平面AMN与平面QMN的夹角的余张值为？21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为1．（1）求C的方程：（2）已知点A（x1，y1）B（x2，y2）在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为﹣，求l 在y轴上的截距的取值范围．22．已知C：+＝1的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：x＝﹣2a，过点M 作ME垂直于直线m交直线m于点E．（1）求椭圆C的标准方程；（2）①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值。

2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题解析

2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题解析

2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题一、单选题1．与空间向量()1,2,3a =-共线的一个向量的坐标是（ ） A ．()2,1,0- B ．()1,2,3 C ．13,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,3,2--答案：C根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果. 解：131,1,222a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭.故选：C.2．抛物线212x y =的焦点坐标是（ ） A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D由解析式可判断焦点的位置，再求p ，继而可求出焦点坐标.解：∵ 212x y =， ∴ 焦点在y 轴正半轴上，且122p =， ∴128p = ∴ 抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：D.3．在单调递减的等比数列{}n a 中，若31a =，24103a a +=，则1a =（ ） A ．9 B ．3C ．13D ．19答案：A利用等比数列的通项公式可得1103q q +=，结合条件即求. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由31a =，24103a a +=，得 1103q q +=，解得13q =或3q =，又{}n a 单调递减， 故13q =，3129a a q ==.故选：A.4．若OA 、OB 、OC 为空间三个单位向量，OA OB ⊥，且OC 与OA 、OB 所成的角均为60，则OA OB OC ++=（ ）A ．5 BC D答案：C先求OA OB OC ++的平方后再求解即可.解：()22222OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OA OC ++=+++⋅+⋅+⋅ 11320522⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭，故5OA OB OC =++， 故选：C5．雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为（ ）A ．34B ．12C ．14D ．16答案：B由已知条件得基本事件总数为24C 6=种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.解：从四类比赛中选两类参赛，共有24C 6=种选择，其中“诵读中国”被选中的情况有3种，即“诵读中国”和 “诗教中国” ，“诵读中国”和“笔墨中国”， “诵读中国”和“印记中国” ，由古典概型公式可得3162P ==， 故选：B .6．由直线25y x =+上的点向圆221x y +=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2答案：D切点与圆心的连线垂直于切线，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系， 利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值，结合勾股定理即可得出结果.解：设(),P x y 为直线25y x =+上任意一点，min 225512OP ==+，切线长的最小值为：212l OP =-=，故选：D.7．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率 / 0.4 0.4 0.8乙获胜概率 0.6 / 0.6 0.3丙获胜概率 0.6 0.4 /0.5丁获胜概率 0.2 0.7 0.5 /则甲最终获得冠军的概率是（ ）A ．0.165B ．0.24C ．0.275D ．0.36答案：B先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果. 解：甲最终获得冠军的概率()0.40.50.40.50.80.24p =⨯+⨯=， 故选：B.8．在xOy 平面上有一系列点()()()111222,,,,,,,n n n P x y P x y P x y ，对每个正整数n ，点n P 位于函数()20y x x =≥的图象上，以点n P 为圆心的n P 与x 轴都相切，且n P 与1n P +彼此外切．若11x =，且()*1n n x x n +<∈N ,1n n n T x x +=,{}n T 的前n 项之和为n S ，则10S =（ ）A ．919B ．2021C ．1021D ．1123答案：C根据两圆的几何关系及其圆心在函数()20y x x =≥的图象上，即可得到递推关系式112n n n n x x x x ++-=，通过构造等差数列求得n x 的通项公式，得出112121n T n n =⋅-+，最后利用裂项相消，求出数列{}n T 前n 项和n S ，即可求出10S . 解：由n P 与1n P +彼此外切， ()()22111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222221111144n n n n n n n n n n x x y y y y y y x x +++++-=+--==，又∵1n n x x +<， ∴1111122n n n n n n x x x x x x +++-=⇒-=，故1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111x =，2d =， 则()112121n n n x =+-=-121n x n ⇒=-， 111111=212122121n n n T x x n n n n +⎛⎫==⋅- ⎪-+-+⎝⎭， 则1111111+23352121n S n n ⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 即101021S =，故答案选：C . 二、多选题9．过点()2,1-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．10x y ++= C ．30x y -+= D ．20x y -=答案：AC将点代入直线方程，并求出横纵截距即可判断答案.解：对A ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为0，则A 正确； 对B ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为-1，则B 错误； 对C ，点()2,1-满足直线方程，且横截距为-3，纵截距为3，则C 正确； 对D ，点()2,1-不满足直线方程，则D 错误. 故选：AC.10．关于双曲线22:1916x y C -=，下列结论正确的是（ ）A ．离心率为53B ．实轴长为6C ．渐近线方程为430x y ±=D ．焦点F 到一条渐近线的距离为3 答案：ABC由双曲线方程求a b c ，，，由此判断A ，B ，再求渐近线方程及焦点F 到渐近线的距离，由此判断C ，D.解：∵双曲线22:1916x y C -=∴ 3a =，4b =，5c =，故离心率为53e =，实轴长为26a =，A 对，B 对，又双曲线C 的渐近线方程为：430x y ±=，焦点F 的坐标为(5,0)± 焦点F 到一条渐近线的距离为4d ==，C 对，D 错，故选：ABC.11．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为,a b ，则下列结论正确的是（ ） A ．7a b +=时的概率为536B ．2a b≥时的概率为16C ．6ab =时的概率为19D ．a b +是6的倍数的概率是16答案：CD先求出所有的基本事件的个数为6636⨯=个，再求出四个选项中每一个事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确，进而得出正确答案. 解：先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.A.7a b +=时满足的情形有()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1，故61366P ==，故A 错误； B.2ab≥时满足的情形有()2,1，()3,1，()4,1，()4,2，()5,1，()5,2，()6,1，()6,2，()6,3，故91364P ==，故B 错； C.6ab =时满足的情形有()1,6，()2,3，()3,2，()6,1，故41369P ==，故C 正确； D. a b +是6的倍数的情形有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,()6,6，故a b +是6的倍数的概率是16，故D 正确.故选：CD.12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（ ）A ．12,PF a m PF a m B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=答案：ABD根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.解：由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=， 整理得()()2221cos 1cos 2a m cθθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=， 当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+12≥=，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+， 在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan2nbθ=，D 正确. 故选：ABD点评：方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系. 三、填空题13．直线10x -=的倾斜角为_______________. 答案：150由直线10x -=的斜率为k =，得到00tan [0,180)αα=∈，即可求解.解：由题意，可知直线10x +-=的斜率为k =，设直线的倾斜角为α，则003tan ,[0,180)3αα=-∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150.点评：本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14．等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若66a =，则11S =________． 答案：66直接利用等差数列前n 项和公式和等差数列的性质求解即可. 解：由已知条件得()11161111226622a a a S +===, 故答案为：66.15．由曲线()222x y x y +=-围成的图形的面积为________．答案：2π4-曲线()222x y x y +=-围成的图形关于x 轴，y 轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.解：将x -或y -代入方程，方程不发生改变，故曲线()222x y x y +=-关于关于x 轴，y 轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当0x >，0y >时，曲线()222x y x y +=-可化为：22(1)(1)2x y -++=，在第一象限为弓形，其面积为()2111ππ2211422S =-⨯⨯=-， 故π412π42S ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：24π-.16．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且,AB AD 的斜率之积为34-，则椭圆的离心率为________．答案：120.5根据对称性设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，根据34AB ADk k ⋅=-得到2234b a -=-，再求离心率即可.解：由对称性，B ，D 关于原点对称，设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，2222012222210101022222101010101134AB ADx x b b a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⋅=⋅===-=-+---， 故22211142b e e a =-=⇒=.故答案为：12 四、解答题17．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为23,34，求：(1)甲、乙恰好有一人击中的概率； (2)目标被击中的概率． 答案：(1)512； (2)1112. （1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案. (1)设甲、乙分别击中目标为事件A ，B ，易知A ，B 相互独立且()23P A =，()34P B =，甲、乙恰好有一人击中的概率为()233511343412P AB AB 2⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)目标被击中的概率为()()321111114312P A B P AB ⎛⎫⎛⎫+=-=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,16,12n S S S =-=-． (1)求{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ． 答案：(1)29n a n =-；(2)2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N且且.（1）根据等差数列前n 项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式； （2）结合（1）求出n S ，再令0n a ≥得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案. (1)设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，∴1111434162382254656122a d a d a d a d ⨯⎧+=-⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⨯⎩⎪+=-⎪⎩，解得：172a d =-⎧⎨=⎩ 所以()71229n a n n =-+-⨯=-. (2)29n a n =-，所以()()2171282n S n n n n n =-+-⨯=-.当02905n a n n ≥⇒-≥⇒≥；当02904n a n n <⇒-<⇒≤，当04n <≤，*n ∈N 时，()212128n n n T a a a a a a n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-，当5n ≥时，()()()21245428216n n n T a a a a a S S n n =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-=--⨯-2832n n =-+.综上：2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线:2l y kx =+与C 交于,A B 两点且OA OB ⊥（O 为坐标原点）． (1)求抛物线C 的方程；(2)设()2,2P ，若直线,PA PB 的倾斜角互补，求k 的值．答案：(1)22x y =；(2)2-.（1）利用韦达定理法即求； （2）由题可求122PA x k +=，222PB x k +=，再结合条件即得. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，由222x py y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x pkx p --=， 故124x x p =-，由OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，即221212022x x x x p p+⋅=， ∴1p =，故抛物线C 的方程为：22x y =；(2)设PA 的倾斜角为θ，则PB 的倾斜角为πθ-，∴()tan tan π0PA PB k k θθ+=+-=,由222x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x kx --=，∴122x x k +=，∴21111112222222PA x yx k x x --+===--，同理222PB x k +=，由0PA PB k k +=，得1222022x x +++=，∴1240x x ++=，即240k +=，故2k =-.20．如图，在棱长为3的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是,AB BC 上的点且2AE BF ==．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)求平面B EF '与平面BEF 的夹角的余弦值．答案：(1)证明见解析(2)27（1）建立空间直角坐标系后得到相关向量，再运用数量积证明；（2）求出相关平面的法向量，再运用夹角公式计算即可.(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系：()3,0,3A '，()1,3,0F ，()0,3,3C '，()3,2,0E()2,3,3A F '=--，()3,1,3C E '=--，∴6390A F C E ''⋅=--+=，故A F C E ''⊥.(2)()3,3,3B '，()0,1,3B E '=--，()2,0,3B F '=--，设平面B EF '的一个法向量为(),,m x y z =， 由0302300B E m y z x z B F m ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩'⎩'，令2z =-，则()3,6,2m =-， 取平面BEF 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面B EF '与平面BEF 夹角为θ，易知：θ为锐角， 故2cos 793641m nm n θ⋅===++⨯， 即平面B EF '与平面BEF 夹角的余弦值为27.21．某情报站有A B C D E 、、、、．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A 密码，k P 表示第k 周使用A 密码的概率．(1)求1234,,,P P P P ；(2)求证：15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求k P 的表达式． 答案：(1)11P =，20P =，314P =，4316P =(2)证明见解析，1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (1)根据题意可得第一周使用A 密码，第二周使用A 密码的概率为0，第三周使用A 密码的概率为14，以此类推； (2)根据题意可知第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14，进而可得1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，结合等比数列的定义可知15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.(1)11P =，20P =，314P =，()43131416P P =-⨯= (2)第1k +周使用A 密码，则第k 周必不使用A 密码（概率为1k P -），然后第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14故()1114k k P P +=-，即1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 故15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列且11455P -=，公比14q =- 故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22．已知22:4200A x y x ++-=，直线l 过()2,0B 且与A 交于,C D 两点，过点B 作直线AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求证：EA EB +为定值，并求点E 的轨迹T 的方程；(2)设动直线:n y kx m =+与T 相切于点P ，且与直线3x =交于点Q ，在x 轴上是否存在定点(),0M t ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：(1)证明见解析，22162x y +=（0y ≠）(2)存在，()2,0M(1)根据题意和椭圆的定义可知E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =，进而得出椭圆标准方程；(2)设()00,P x y ，联立动直线方程和椭圆方程并消元得出关于x 的一元二次方程，根据根的判别式可得点P 和Q 的坐标，结合0PM QM ⋅=，利用平面向量的坐标表示列出方程组，即可解出点M 的坐标.(1)圆A ：()22224x y ++=，r =∵AC AD =，∴ACD ADC ∠=∠，又BE AC ∥，∴EBD ACD ∠=∠∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED =，故4EB EA ED EA AB +=+=>= ∴E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =∴2222b a c =-=，故T ：22162x y +=（0y ≠）； (2) 由22162y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x mkx m +++-= ∴()()()2226436130mk m k ∆=--+=，故()22213m k =+， 设()00,P x y ，则023631mk k x k m =-=-+，002y kx m m=+=， 故62k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()33Q k m +，， 由0PM QM ⋅=可得：()()62330k t t k m m m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭ 由()232620k t t t m-++-=对∀k ，m 恒成立 ∴2320220t t t t ⎧-+=⇒=⎨-=⎩ 故存在()20M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M。

高二数学上学期第一次月考试题 51(共9页)

高二数学上学期第一次月考试题 51(共9页)

吴江区汾湖中学2021-2021学年(xu éni án)高二数学上学期第一次月考试题试卷分值：150分 考试用时：120分钟一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．不等式的解集是〔 〕 或者或者}2．在等差数列中，，，那么的值是〔 〕A . 9B . 11C . 13D . 153．设一元二次不等式的解集为，那么的值是〔 〕A .B .C .D .4．记为等差数列{}n a 的前项和．，，那么〔 〕． ．．．5．三个实数成等差数列，首项是9，假设将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，那么的所有取值中的最小值是〔 〕A . 49B . 36C . 4D . 16．假设不等式对一实在数都成立，那么实数的取值范围为〔 〕A .或者B .21>a 或者 C . 21>a D .7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设，，那么的值是〔 〕A. 9B. 8C. 7D. 18．假设(jiǎshè)，是等比数列{}na中的项，且不等式的解集是，那么的值是〔〕A. B. C. D.9．假设关于x的不等式的解集中恰有个正整数,那么实数的取值范围为( )A．B．C．D．10．数列{}na满足，且，那么等于〔〕A．B．C．D．11．假设关于x的不等式在内有解,那么实数a的取值范围是( )A．B．C．D．12．数列{}n a的前n项和为n S，，且对任意正整数，都有假设恒成立，那么实数a的最小值为〔〕A．B．C．D．二、填空题：此题一共4小题(xiǎo tí)，每一小题5分，一共20分。

13．在等比数列{}n a中，假设▲．14．不等式的解集为▲．15．等比数列{}的各项均为正数，且，，成等差数列，那么＝▲．16．函数的值域为，假设关于x的不等式的解集为，那么实数的值是▲．三、解答题：一共70分。

无锡市天一中学2021-2022学年高二上学期第一次教学质量监测数学试题

无锡市天一中学2021-2022学年高二上学期第一次教学质量监测数学试题

无锡市天一中学2021-2022学年度高二上学期第一次教学质量监测数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－84.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14- B.38+ C.14D.486.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.38.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.74C.916D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D.O ，A ，B ，C 四点不共面10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为22，四边形12A PA Q 内切圆的周长为26π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形12.设1e ，2e为单位向量，满足1222e e -≤12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有233AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．无锡市天一中学2021-2022学年度上学期第一次教学质量监测高二数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由题意可得{}1B x x =<-，则{}()212,1A B x x ⋂=-<<-=--.故选：A 2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<【答案】D 【解析】【分析】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，由此求得不等式的解集．【详解】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，解得11x -≤<，故不等式的解集为{|11}x x -≤<，故选：D ．3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－8【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，由2()(3x f x f x +=+，得到2()()3x f x f x +=+，再由函数在（0，＋∞）上为单调函数，得到23x x x +=-+或23x x x +=+求解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()=()f x f x f x -=，又函数的图象是连续不断的，且在（0，＋∞）上为单调函数，2()()3x f x f x +=+，所以2()()3x f x f x +=+，所以23x x x +=-+或23x x x +=+，即()24203x x x ++=≠-或()22203x x x +-=≠-，设()24203x x x ++=≠-的两个根为m ，n ，则4m n +=-，()22203x x x +-=≠-的两个根为a ，b ，则2a b +=-，所以所有实数x 的和为-6.故选：A4.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性可排除BD ，再取特殊值4f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断AC ，从而得解【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，故BD 错误；当0x >时，令()2cos 0f x x x ==，易得cos 0x =，解得()2x k k Z ππ=+∈，故易知()f x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2cos 04444f πππ⎛⎫=⨯⨯=>⎪⎝⎭，故C 错误，A 正确；故选：A5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14-B.38+C.14D.48【答案】C 【解析】【分析】结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.【详解】依题意可知112sin184BCAC︒==，所以()2sin126sin 9036cos3612sin 18︒=︒+︒=︒=-︒2131121444⎛⎫--+=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C6.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D 【解析】【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：利用万能公式、余弦定理可得222a c b +=或222+=a b c ，结合已知进一步讨论所得结论，判断三角形的形状；法三：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一：∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②.①÷②，得：p b a a cp a b c b-+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD上，12ABCS AB CD c =⋅=△，从而得2S r a b c ==++．又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，得()122a abc a ca c c ==+++⋅，即42a a c a c=++，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c bb c a c b +-=++-，整理得()()0a b a b c -+-=，又a b c +>，∴0a b -=，即a b =，因此，△ABC 为等腰直角三角形．法二：由万能公式，得：221tan 2cos 1tan 2AA A-=+，221tan 2cos 1tan 2BB B -=+．又tan 2A a b c =+，tan 2B b b c=+，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，从而可得22222121a b c a b c bc a b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭①，22222121b a c b b c ac b b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭②，由①式，得()()22222222b c ab c a bc b c a+-+-=++，利用等比定理，得()()()222222222222b c a b c a b c abcb c a bc+--+-+-=++-．即22222222b c a bcbc b c a +-=++，进而得()2224224b c a b c +-=，即()2224b c a -=．∴222b c a -=或222b c a -=-，即222a c b +=或222+=a b c ，（l）若222a c b +=，可知②式不成立；（2）若222+=a b c ，②式可化为()()22222222b c b a c bacb c b+-+-=++，即()()()()222222b c c a a c b c c a +--=++-，从而得()()()()222222a b c a c a c b c c c a ++-=+--，进而得()()()()2220b c a c c a a c +-+-+=，于是()()()20a c b a b a c --++=，∵20b a c ++>，c a >（由222+=a b c 即可推得），∴a b =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．法三：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos 1cos A BA B =++①，sin sin 1cos sin sin B BB A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A A C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ----=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠．∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，代入③得π1cos sin sin 2A A C ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即sin 1C =，∴π2C =，把π2C =代入④，得cos sin B A =，∴π4A B ==，△ABC 为等腰直角三角形．故选：D7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.3【答案】B 【解析】【分析】连接1BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，判断出当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.分别求出1120AA C '∠=︒,111,2AA A C '==,利用余弦定理即可求解.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AC AP PC +'≥.当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-+-⨯⨯,所以112A C =，即12A C '=在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.8.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.4C.916D.2【答案】B 【解析】【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D .O ，A ，B ，C 四点不共面【答案】ACD 【解析】【分析】根据OA ，OB ，OC 为空间的一个基底，由基底的定义逐项判断.【详解】因为OA，OB，OC为空间的一个基底，所以OA ，OB ，OC不共面，即O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线，且四点不共面，故选：ACD10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为，四边形12A PA Q 内切圆的周长为π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=【答案】AB 【解析】【分析】由四边形12A PA Q 的面积为ab =，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形12A PA Q 的面积可求出c ，进而得到关于a ，b 的两个方程，联立求解即可得答案．【详解】解：因为四边形12A PA Q的面积为所以1222a b ⨯⨯=ab =，记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则262ππ3r =，得63r =．又142cr ⨯=，所以c =又2223c a b =+=，联立可得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为2212x y -=或2212y x -=．故选：AB.11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBC S S S S ∆∆∆∆>>，可判断；选项D ，设,,PA x PB y PC z ===，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断.【详解】如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，则PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设,,DE a DI b DP c ===则222222sin sin sin 1αβγ++=++=，故选项A 正确；222222cos cos 2cos αβγ++=++=，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN 由三垂线定理可得，MN AB⊥由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON>故PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBCS S S S ∆∆∆∆>>PAB PAC PBC ABC OBC OAC OABS S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++故选项C 正确；不妨设,,PA x PB y PC z ===，则AB AC BC ===在ABC ∆中，222cos 0,cos 0,cos 0A B C ===因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查了空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力，属于较难题12.设1e ，2e 为单位向量，满足122e e -≤ 12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1【答案】CD 【解析】【分析】设单位向量1e ，2e的夹角为α，根据已知条件122e e -≤，求出3cos 14α≤≤，然后利用夹角公式可将2cos θ表示成关于cos α的函数，利用不等式的性质求出其值域即可.【详解】设单位向量1e ，2e的夹角为α，由122e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+ ，123b e e =+ ，||a ∴==r，同理||b =r 且44cos a b α=+⋅r rcosb b a a θ∴==⋅⋅rr r r =244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++3cos 14α≤≤Q ，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积的性质，运算及夹角公式，及利用不等式的性质求函数的最值，解题的关键是将2cos θ表示成关于cos α的函数，再利用不等式的性质求值域，对运算要求很高，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.【答案】1415【解析】【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率.【详解】由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为114()1()11515P A P B =-=-=.故答案为：1415.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离，所以62i z --的最小值为11514PC -=-=-=．故答案为：4．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．【答案】-1【解析】【分析】设新数据的平均数为1x ，方差为21S ，可得131x x =+，2219S S =，由新数据的平均数比方差大4可得23194x S +=+，可得21133S x =-，代入22S x -可得其最大值.【详解】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21S ，可得：131x x =+，2219S S =，由新数据平均数比方差大4，可得23194x S +=+，可得21133S x =-，可得：222211111(63336S x x x x -=-=----，由211033S x =-≥，可得1x ≥，可得当1x =时，可得22S x -的最大值为：2111(11636---=-，故答案为：1-.【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有3AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．【答案】3-或4333-【解析】【分析】由边角互化可得,(cos cos 03c a b c A a A +=-+=,所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.分两种情况将AO x AB y AC =+两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.【详解】由正弦定理得(cos cos 0c A a A +=，所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，由条件得233c a b +=，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.当,a c b ==时，23cos 2AB AC bc A c⋅== 由AO x AB y AC =+ ，得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即2221322c x c y c =⋅+⋅，所以231x y +=.——————————————①同理，由AO x AB y AC =+ ，得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ，即2221322b x c y b =⋅+⋅，即2221122b x b y b =⋅+⋅，所以21x y +=.——————————————②联立①②解得1,1x y =-=.故23x y -=-.当5,a c b ==时，同理可得231x y +=——③，189x y +=——④解得43233x y -=-.故答案为：3-或4333-.【点睛】（1）三角形中的边角关系为条件时，常用正余弦定理统一化边或化角；（2）若O 为ABC 的外心，则有221122AO AB AB c ×==，221122AO AC AC b ×==；（3）此题的关键是找出三边关系和将向量转化为边长，得,x y 的关系式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.【答案】（Ⅰ）5m <;（Ⅱ）455MN =.【解析】【详解】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围;(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.试题解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为()()22x 1y 25m-+-=-令5m 0->,所以m 5<（Ⅱ）圆()()22C :x 1y 25m -+-=-,圆心()C 1,2,半径r =圆()()22D :x 3y 116+++=圆心()C 1,2,半径r 4=因为圆C 与圆D 相外切4=+解得m 4=圆心()C 1,2到直线l :x 2y 40+-=的距离为d 5==所以MN 5==18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.【答案】（1）(2,4)-；（2）5-.【解析】【分析】（1）设(),b x y =r ，结合已知条件，解得,x y 即可；（2）先求a =r 5a b ⋅=- ，化简22()(2)2a b a b a a b b -⋅--⋅+= 计算即可.【详解】（1）设(),b x y =r ， ||b = ，2220x y ∴+=①，且(1,2)=- a ，若b a λ= ，得()(),1,2x y λ=-，,2x y λλ∴==-②，联立①②，解得2520,0,2λλλ=<∴=- ，2,4x y ∴=-=，即()2,4b =-.（2） (1,2)=- a ，∴a ==，且||b = ，若a 与b的夹角为23π，∴21cos 532a b a b π⎛⎫⋅==-=- ⎪⎝⎭，∴()22()(2255205)2a b a b a a b b -⋅+-⋅-=⨯--=--= .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，向量的数量积的性质的简单应用，属于基础题．19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+.12n n b =（2）3772nnn T +=-【解析】【分析】(1)由5342b b b =-列出方程求出q ，即可求得{}n b 的通项公式，由949S b =，利用等差数列的性质可求出516a =，从而求得d ，最后得到等差数列{}n a 的通项公式；(2)由n n OP OQ ⊥可得210n n n n n a b b c +--=，将{}n a 和{}n b 的通项公式代入上式求出{}n c 的通项公式，用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，∵5342b b b =-，∴221q q =-，得12q =，1q =-（舍），因为112b =，所以1112n n n b b q -==.∵949S b =，∴541992a ⨯=，解得516a =，又14a =，∴51123514a a d -===-，∴()41331n a n n =+-⨯=+.（2）由（1）得31n a n =+，12n nb =.∵n n OP OQ ⊥ ，∴210nn n n n a b b c +--=，∴312n nn c +=.234710312222n n n T +=++++ ，①①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++⋅⋅⋅+，②①-②得231433*********n n n T n ++=+++⋅⋅⋅+-23111111313222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭111113122312212n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯--173722n n ++=-.∴3772n nn T +=-.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的基本量的求解与通项公式，垂直向量的数量积关系，错位相减法求和，属于中档题.20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）【答案】（Ⅰ）1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）6年.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，根据条件中的数列{a n }的首项和公比直接写出通项公式，设数列{b n }的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{b n }的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，数列{a n }的首项为1200，公比为4120%5-=，所以1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设数列{b n }的公比为q ，显然q >0，q ≠1.所以三年内旅游业总收入为()3400115251q q-=-，即261116q q ++=，所以21616450q q +-=，解得54q =或49q =-（舍去），所以154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.则经过n 年，总投入为41200154600014515n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，经过n 年，旅游业总收入为5400145160015414n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以54160016000145n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫->-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得4515419054n n ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设4(01)5nt t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，代入上式得2151940t t -+>，解此不等式，得t >1（舍去）或t <415，即44515n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得454lg 42lg 2(lg 3lg 5)3lg 2lg 3115log 5.94152lg 2lg 53lg 21lg 5n -+-->===≈--由此得n ≥6.所以至少经过6年，旅游业的总收入才能超过总投入.21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）27979.【解析】【分析】（1）先在等腰三角形ABC 中证OB AC ⊥，然后在MOB △中根据勾股定理证OB OM ⊥，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值.【详解】（1）连接OM ，在ABC 中，因为2AB BC ==，2AC =，O 为AC 的中点，所以OB AC ⊥，且2OB =；在MAC △中，因为2M A M C A C ===，O 为AC 的中点，所以OM AC ⊥，且6OM =；在MOB △中，因为2OB =，6OM =，2MB =，所以222BO OMMB +=，所以OB OM ⊥，又AC OM O = ，,AC OM ⊂平面AMC ，所以OB ⊥平面AMC ．（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为MA MB MC AC ====，2AB BC ==，所以(0,A，B，C，M，AM =，(BC = ，由23BN BC = ，得222(,,0)33N ，则252,,0)33AN = ，设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则2520330AN m x y AM m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令y =(1)m =-- ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB =为平面AMC 的一个法向量，设二面角N AM C --为θ，则cos cos ,m OB θ=〈〉=因为[]0,θπ∈，所以二面角的正弦值sin 79θ==．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【详解】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA '的中点，C 为AP 中点，所以2A P OC'=所以2222242PA PA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+===＞，所以动点P 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=;（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，（11x ≠且21x ≠）．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，依题意()()()2222Δ3244364120k k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦+=+=+=------()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--，所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OAP OAQ ∠∠=．因为OA PQ ⊥，所以AP AQ =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|12,0,1,2,3A x x B =-≤≤=，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2-2．若复数1iz i=+（i 为虚数单位），则z z ⋅= A ．12iB ．12C ．14D ．14-3．已知方程()2210x m x m -++=有一正根和一负根，则m 的取值范围是（ ）A ．(,3-∞-B ．(,3-∞+C ．()3-+∞D ．(),0-∞4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.52(log 0.2),(2),(4)a g b g c g ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发绕着点O 逆时针旋转，在此过程中，记(0π)AOP x x ∠=<<，射线OP 经过的单位圆O 内阴影部分的面积为S ，则对函数()S f x =说法正确的是（ ）A ．当π2x =时，3π142S =- B ．12x x ∃≠，使得()()12f x f x =C ．对π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有ππ()22f x f x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭D ．对π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有πππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．对任意的R x ∈函数()f x ，都有()()()()2f x f x f x f x -=-=+，，且当[1,0x ∈-]时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log 0a f x x -=在区间[]5,5-内恰有6个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,5)B ．[3,5]C ．[3,5)D ．(3,5]7．已知函数()()()311ln 1,0,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥+⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2[0,]3B ．3[0,]4C ．[0,1]D ．3[0,]28．已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得2cos iC jθ-≤，记C 的最小值为λ，则（ ） A ．1120001000λ<< B ．111000500λ<< C ．11500200λ<< D ．11200100λ<<二、多选题9．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（ ）备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到． 当月增速100%-=⨯当月产量去年同期产量去年同期产量．A ．2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点B ．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6%C ．2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米D ．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米10．ABC V 中，角A 、B 、C 对边为a 、b 、c ，若cos sin a b C c B =+，2b =，则（ ）A ．135B =oB ．45B =oC ．ac 的最大值为4+D ．ABC V 111．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于1的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．AC 与平面1AB D B ．平面1AB D 与平面111A BC 所成的角是60o C ．1A B AD ⊥D ．平面1A BD ⊥平面1AB D三、填空题12．已知,a b r r为共线的两个向量，且1,2a b ==r r ，则2a b -=r r .13．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是.14．设函数()f x 对任意实数x 满足()()1f x f x =-+，且当01x ≤≤时，()()1f x x x =-，若关于x 的方程()f x kx =有3个不同的实数根，则k 的取值范围是．四、解答题15．化简或计算下列各式：(1)411111336642263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)已知lg 2,lg3a b ==，用a ，b 表示312log 5(3)已知11224a a -+=，求1a a --的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA PB =，O 为AB 的中点，OD PC ⊥.（1）求证：OC PD ⊥；（2）若PD 与平面PAB 所成的角为30︒，2AB =，求四棱锥的P ABCD -的体积.17．某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()G x 万元，22503,0253000900080,25()x x x x G x x -<≤⎧⎪⎨+->=⎪⎩. （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 18．已知函数2()sin 2f x x x =-(1)若点12P ⎫-⎪⎪⎝⎭在角α的终边上，求tan 2α和()f α的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最小值．19．已知函数2()log 2a x f x x -=+；（1）判断函数奇偶性，并说明理由； （2）求函数()f x 的反函数1()f x -；（3）若函数的定义域为[α，β]，值域为[log (1)a a β-，log (1)]a a α-，并且()f x 在[α，]β上为减函数．求a 的取值范围；。

2021-2022学年北京市第十四中学高二上学期期中考试数学试卷含详解

2021-2022学年北京市第十四中学高二上学期期中考试数学试卷含详解

2021北京十四中高二（上）期中数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1.过()2,0-和()0,2两点的直线的斜率是（）A.1B.1- C.π4D.3π42.圆()2224x y -+=的圆心坐标和半径分别为（）A.()0,2,2B.()2,0,2 C.(2,04),- D.()2,0,43.已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为A. B.C.6D.84.在空间直角坐标系中，点P (1，2，-3)关于坐标平面xOy 的对称点为（）A.(-1，-2，3)B.(-1，-2，-3)C.(-1，2，-3)D.(1，2，3)5.已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，且a b ∥，那么b = （）A. B.6C.9D.186.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的值是（）A.0B.2C.2- D.2±7.两圆1C ：2226260x y x y ++--=和圆2C ：224240x y x y +-+-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（）A.25 B.35C .13D.239.已知直线l 的方程为20x my -+=，则直线l （）A.恒过点()2,0-且不垂直x 轴B .恒过点()2,0-且不垂直y 轴C.恒过点()2,0且不垂直x 轴D.恒过点()2,0且不垂直y 轴10.已知向量(1,,2)a x = ，(0,1,2)b = ，(1,0,0)c = ，若a ，b ，c共面，则x 等于（）A .1- B.1C.1或1-D.1或011.若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A.)1,++∞B.)1C.()1- D.()1+12.已知点M (a ，b )，(ab ≠0)是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是2ax by r +=那么（）A.l //m 且m 与圆C 相切B.l ⊥m 且m 与圆C 相切C.l //m 且m 与圆C 相离D.l ⊥m 且m 与圆C 相离二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．13.已知点A （1,1,-4），B （2,-4,2），C 为线段AB 上的一点，且AC ＝12AB，则C 点坐标为____________________．14.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()14,0F ，()24,0F -，并且该椭圆上一点M 到点1F ，2F 的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为________.15.已知圆C ：224x y +=，直线m 的倾斜角为60︒且与圆C 相切，则切线m 的方程为____________________．16.在ABC 中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -，给出ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.条件①ABC 周长为10②ABC 面积为10③ABC 中，90A ∠︒＝方程2125C y ：＝()22240C x y y +≠：＝3C ：()221095x y y +≠＝则满足条件①轨迹方程为______；满足②的轨迹方程为______；满足③轨迹方程为______（用代号123C C C 、、填入）.17.已知点()2,0M -，()2,0N ，直线l ：340x y m +-=上存在点P ，满足PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是________.18.如图，在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且1//A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为__．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.19.已知圆M 过点(A ，()10B ,，()3,0C -．（1）求圆M 的方程；（2）设直线l 经过点()0,2，且与圆M 相交于A ，B 两点，且AB =，求直线的方程．20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，AF BE ，AF ⊥平面ABCD ，且22AB BE AF ===．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（3）求点A 到平面CDE 的距离．21.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是3，求m 的值；（3）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．22.已知椭圆C ：22142x y +=，（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(0,M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.2021北京十四中高二（上）期中数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1.过()2,0-和()0,2两点的直线的斜率是（）A.1B.1- C.π4D.3π4【答案】A【分析】由斜率公式2121y y k x x -=-可得.【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率02120k -==--.故选：A2.圆()2224x y -+=的圆心坐标和半径分别为（）A.()0,2,2B.()2,0,2C.(2,04),- D.()2,0,4【答案】B【分析】根据圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>形式直接确定出圆心和半径.【详解】因为圆的方程为：()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，半径2r =，故选B.【点睛】本题考查给定圆的方程判断圆心和半径，难度较易.圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，其中圆心是(),a b ，半径是r .3.已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为A.B.C.6D.8【答案】A 【分析】利用222a b c =+，求得a 的值.【详解】由于222a b c =+，所以22428,a a =+==故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.4.在空间直角坐标系中，点P (1，2，-3)关于坐标平面xOy 的对称点为（）A.(-1，-2，3)B.(-1，-2，-3)C.(-1，2，-3)D.(1，2，3)【答案】D【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可.【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy 对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，所以点P (1，2，-3)关于坐标平面xOy 的对称点为(1，2，3).故选：D5.已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，且a b ∥，那么b = （）A. B.6C.9D.18【答案】A【分析】根据空间向量共线的充要条件求出,x y 的值，然后代入模的计算公式即可求解.【详解】因为a b ∥，且向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，所以3121x y-==-，解得：6,3x y ==，所以b == ，故选：A.6.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的值是（）A.0 B.2C.2- D.2±【答案】B【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.【详解】由题意可知0a ≠，因为直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，所以1142a a -=≠，解得2a =，故选：B7.两圆1C ：2226260x y x y ++--=和圆2C ：224240x y x y +-+-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】B 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，进而求出圆心距，根据圆心距12C C 满足121212r r C C r r -<<+，可判断出两圆的位置关系.【详解】圆1C 的标准方程是22(1)(3)36x y ++-=，圆心是1(1,3)C -，半径是16r =，圆2C 的标准方程是22(2)(1)9x y -++=，圆心是2(2,1)C -，半径是23r =，所以两个圆心的距离是125C C =，所以1239C C <<，即121212r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：B.8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（）A.25B.35C.13D.23【答案】D【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线1A E 与BC 所成的角即可．【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)，则1(2,1,2),(2,0,0)A E BC =--=-所以111cos ,||||A E BCA E BC A E BC ⋅<>=42323==⨯，所以异面直线1A E 与直线BC 所成角的余弦值为23，故选：D ．9.已知直线l 的方程为20x my -+=，则直线l （）A.恒过点()2,0-且不垂直x 轴B.恒过点()2,0-且不垂直y 轴C.恒过点()2,0且不垂直x 轴D.恒过点()2,0且不垂直y 轴【答案】B【分析】由直线l 的方程，令0y =，对m 分类讨论即可求解.【详解】由直线l 的方程为20x my -+=，令0y =，解得2x =-．∴直线恒过点()2,0-，若0m ≠，则直线()12y x m=+不垂直y 轴，若0m =，则直线2x =-不垂直于y 轴，综上所述，恒过点()2,0-且不垂直y 轴.故选：B ．10.已知向量(1,,2)a x = ，(0,1,2)b = ，(1,0,0)c = ，若a ，b ，c共面，则x 等于（）A.1-B.1C.1或1- D.1或0【答案】B【分析】根据向量共面关系a mb nc =+，建立坐标等式即可得解.【详解】向量(1,,2)a x =，(0,1,2)b =，(1,0,0)c =，由a，b，c共面，a mb nc =+，即(1,,2)(0,1,2)(1,0,0)(,,2)x m n n m m =+=122n x m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1x m n ===，1x ∴=．故选：B ．11.若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A.)1,++∞B.)1C.()1- D.()1+【答案】A【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围．【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行，且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线，圆222x y r +=的圆心为原点，原点到直线20x y --=的距离为d ==∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为1d '=，又 圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>，即1r >+，实数r 的取值范围是)1,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．12.已知点M (a ，b )，(ab ≠0)是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是2ax by r +=那么（）A.l //m 且m 与圆C 相切B.l ⊥m 且m 与圆C 相切C.l //m 且m 与圆C 相离D.l ⊥m 且m 与圆C 相离【答案】C【分析】根据弦与圆心和中点连线垂直的关系求得直线l 的斜率，从而判断与直线m 的关系；由圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系.【详解】由直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线MC 与直线l 垂直，即1MC l k k ⋅=-，由MC b k a =知，l a k b=-，则l //m ，又圆心到直线m的距离为2d =，由点M 在圆内知，222a b r +<，则2d r =>，即m 与圆C 相离.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．13.已知点A （1,1,-4），B （2,-4,2），C 为线段AB 上的一点，且AC ＝12AB，则C 点坐标为____________________．【答案】33(,,1)22--【分析】设C （x ，y ，z ），由已知条件，可推得(1,1,4)AC x y z =--+ ，(1,5,6)AB =-，再结合向量的相等性准则，即可求解．【详解】设C (,,)x y z ，A （1,1,-4），B （2,-4,2），(1,1,4)AC x y z ∴=--+ ，(1,5,6)AB =-12AC AB = ，11251243x y z ⎧-=⎪⎪⎪∴-=-⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得32321x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴C 点坐标为33(,,1)22--.故答案为：33(,,1)22--.14.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()14,0F ，()24,0F -，并且该椭圆上一点M 到点1F ，2F 的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为________.【答案】221259x y +=【分析】由1210MF MF a +==，可求出a ，由焦点坐标可得到c 的值，进而结合222b a c =-，可求出2b ，即可得到椭圆的方程.【详解】设椭圆的方程为22221x y a b+=，因为1210MF MF +=，所以210a =，即5a =，又4c =，所以22222549b a c =-=-=，所以椭圆方程为221259x y +=.故答案为：221259x y +=.15.已知圆C ：224x y +=，直线m 的倾斜角为60︒且与圆C 相切，则切线m 的方程为____________________．【答案】40y --=40y -+=【分析】根据已知条件，先设出直线m 的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解．【详解】由直线m 的倾斜角为60︒，设直线m的方程为y t +0y t -+=，而圆C ：224x y +=的圆心(0,0)C ，半径2r =，由直线m 与圆C2=，解得4t =-或4t =，所以切线m40y --=40y -+=.40y --=或40y -+=.16.在ABC 中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -，给出ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.条件①ABC 周长为10②ABC 面积为10③ABC 中，90A ∠︒＝方程2125C y ：＝()22240C x y y +≠：＝3C ：()221095x y y +≠＝则满足条件①轨迹方程为______；满足②的轨迹方程为______；满足③轨迹方程为______（用代号123C C C 、、填入）.【答案】①.3C ②.1C ③.2C 【分析】①中可转化为A 点到B C 、两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知A 点到BC 距离为常数，轨迹为两条直线；③中90A ∠︒＝，可用向量法求得轨迹方程．【详解】①ABC 的周长为10，即10AB AC BC ++＝，因为4BC ＝，所以6AB AC BC +＝＞，故动点A 的轨迹为以B C 、为焦点的椭圆，则2222,3,5c a b a c ===-=，且点A 不在x 轴上，所以轨迹方程为()221095x y y +≠＝与3C 对应；②ABC 的面积为10，所以1102BC y ⋅=，即5y ＝，即225y =，与1C 对应；③因为90A ∠︒＝，所以()()222,2,40AB AC x y x y x y ⋅=-----=+-= ，且点A 不在x 轴上，即()2240x y y +=≠，与2C 对应.故答案为：3C ；1C ；2C 17.已知点()2,0M -，()2,0N ，直线l ：340x y m +-=上存在点P ，满足PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是________.【答案】[]10,10-【分析】由PM PN ⊥，可知点P 在以MN 为直径的圆上，可求出该圆的方程，又点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可，即可列出关系式，求出m 的取值范围.【详解】因为PM PN ⊥，所以点P 在以MN 为直径的圆上，该圆的圆心为()0,0O ，半径为2，圆的方程为224x y +=，又因为点P 在直线l 上，所以点P 在直线l 和圆224x y +=的交点处，若点P2≤，即10m ≤，解得1010m -≤≤.故答案为：[]10,10-.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是根据PM PN ⊥，得出点P 在以MN 为直径的圆上，结合点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.18.如图，在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且1//A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为__．【答案】43【分析】由正三棱柱的性质，结合线面平行、线面垂直分析知：P 在连接侧棱1BB ，1CC 中点的线段l 上，Q 在过l 与平面MBC 垂直的平面与面ABC 相交的线段m 上，过P 作1//PD BB 交BC 于D ，连接QD ，若PQ 交面BMC 于E ，连接ED ，应用已知线段长度、相关角的大小，结合勾股定理求A 到BC 的距离、QD ，即可确定Q 的轨迹为线段m 过ABC 的重心且与BC 平行的线段，进而求其长度.【详解】 P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P 平面BCM ，∴P 点的轨迹是过1A 点与平面MBC 平行的平面与侧面11BCC B 的交线，即：连接侧棱1BB ，1CC 中点的线段l ，Q 是底面ABC 内的动点，PQ ⊥面BCM ，∴Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与面ABC 相交的线段m ，过P 作1//PD BB 交BC 于D ，连接QD ，若PQ 交面BMC 于E ，连接ED ，易知1,,,,A P D Q E 共面，且BC ⊥面PDQ ，即∠EDQ 为M -BC -A 的平面角，如上图，∴PD QD ⊥，而1AM =，而A 到BC 的距离d =6EDQ π∠=，故3PDE π∠=，∵1PD =，即1cos 2ED PD PDE =⋅∠=，而3cos 3ED QD EDQ ==∠，∴13QD d =，即Q 所在线段m 过ABC 的重心且与BC 平行，由正三棱柱111ABC A B C -中棱长均为2，故线段m 的长为：24233⨯=，故答案为：43.【点睛】关键点点睛：应用线面平行、线面垂直的性质，判断P 、Q 运动轨迹的特征，结合几何体的性质，在三角形中应用线段长、角度大小及勾股定理，确定Q 点轨迹的位置.三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.19.已知圆M 过点(A ，()10B ,，()3,0C -．（1）求圆M 的方程；（2）设直线l 经过点()0,2，且与圆M 相交于A ，B 两点，且AB =，求直线的方程．【答案】（1）22(1)4x y ++=（2）0x =或324y x =+【分析】（1）利用向量0CA AB ⋅= ，得CA AB ⊥，进而可求出圆心和半径，得到圆C 的方程；（2）由已知，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，列出相应方程，即可求出直线l 的斜率，进而得到直线l 的方程.【小问1详解】(4,0)BC =-，4BC = ，CA = ，(1,AB = ，且0CA AB ⋅=，得CA AB ⊥，故BC 为直径，BC 的中点即为圆的圆心，半径为2r =，故圆心为()1,0M -，所以，圆M 的方程为22(1)4x y ++=【小问2详解】设圆心到直线的距离为d，则AB ==，解得1d =，对于直线l ，当直线l 的斜率不存在时，l 为0x =，满足AB =当直线l 的斜率存在时，设l 为2y kx =+，故1d ==，解得34k =，故此时l 为324y x =+；综上，直线的方程为0x =或324y x =+20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，AF BE ，AF ⊥平面ABCD ，且22AB BE AF ===．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（3）求点A 到平面CDE 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）π6（3【分析】（1）连结BD ，设AC BD O = ，设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，推导出四边形AOGF 为平行四边形，从而AC FG ∥，由此能证明//AC 平面DEF ．（2）以A 为原点，,AD AB AF ,所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 与平面CDE 所成角的大小．（3）利用向量法可求点A 到平面CDE 的距离【小问1详解】连结BD ，设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则OG BE ，且12OG BE =．由已知AF BE ∥，且12AF BE =，所以AF OG ∥，AF OG =．所以四边形AOGF 为平行四边形．所以AO FG ，即AC FG ∥．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，所以//AC 平面DEF ．【小问2详解】由已知AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,AD AB AF ,两两垂直，以A 为原点，,AD AB AF ,所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图），因为22AB BE AF ===，所以()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()0,2,2E ，()0,0,1F ，所以()2,2,0AC = ，()0,2,0CD =- ，()2,0,2CE =- ，设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得20220y x z -=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得()1,0,1n = ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则21sin cos ,2222AC n θ==⨯ ，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．即直线AC 与平面CDE 所成角为π6．【小问3详解】()2,2,0AC = ，平面CDE 的一个法向量为()1,0,1n = ，则点A 到平面CDE的距离AC n d n ⋅=== 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角大小的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题．21.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【分析】（1）推导出BC ⊥平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明⊥AE 平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以BC ⊥平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以⊥AE 平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，33=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅=,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．22.已知椭圆C ：22142x y +=，（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(0,M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.【答案】（1）2（2）24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）最大值P 的坐标是(0,【分析】（1）根据已知条件，求出a ，c ，再结合离心率公式，即可求解；（2）先求出直线m 的方程，联立直线与椭圆方程可得，求解x ，即可推得另一个交点B 的坐标；（3）设()00,P x y ，因为P 在椭圆上，所以符合椭圆方程，再根据距离公式得到PM ，结合椭圆的有界性得到PM 的最大值及此时点P 的坐标.【小问1详解】因为224,2a b ==，所以2,a b c ====所以椭圆的离心率2c e a ==.因为直线m 过椭圆左顶点()2,0A -，且斜率为1，所以直线m 的方程为2y x =+，联立222142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得23840x x ++=，解得1222,3x x =-=-，所以点B 的坐标为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭.【小问3详解】设()00,P x y ，因为P 在椭圆上，所以2200142x y +=即220042x y =-，因为(0,M ，所以PM ====，因为0y ≤≤，所以当0y =时，PM 取得最大值P 的坐标是(0,.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题（1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解.。

高二数学周练试题(含解析)

高二数学周练试题(含解析)

【2019最新】精选高二数学周练试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】，代入方程得到故选D；2. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，由余弦定理得，，移项得到，，得到 A＝.故选C；点睛：利用上b＝c得到，再得到，最终得到角.3. 在内，分别为角所对的边，成等差数列，且，，则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】成等差数列，故，，，得到故选C；4. 在等差数列中,,其前项和为,若,则（）A. -2012B. -2013C. 2012D. 2013【答案】B【解析】等差数列其前n项和为，是等差数列，公差为，，，，故，代入，得到 -2013.点睛：是等差数列，则是等差数列，利用这个结论，得到。

5. 已知数列的前项和，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n﹣1（4n﹣3）∴S15=（1﹣5）+（9﹣13）+…（49﹣53）+57=（﹣4）×7+57=29S22=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（81﹣85）=﹣4×11=﹣44 S31=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（113﹣117）+121=﹣4×15+121=61∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76故选：A．点睛：利用数列相邻的两项结合和为定值﹣4，把数列的两项结合一组，根据n 的奇偶性来判断结合的组数，当n为偶数时，结合成組，每组为﹣4；当为奇数时，结合成組，每组和为﹣4，剩余最后一个数为正数，再求和．6. 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A. a1，a3，a9成等比数列B. a2，a3，a6成等比数列C. a2，a4，a8成等比数列D. a3，a6，a9成等比数列【答案】D考点：等比数列的性质7. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C考点：等比数列的前n项和．8. 如图所示，在△ABC中，已知，角C的平分线CD把三角形面积分为两部分，则cosA等于( )A. B. C. D. 0【答案】C【解析】∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∴AC＞BC，∵角平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=2：3，∴由正弦定理得：，整理得：，则cosA= ．故选C点睛：由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．9. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A. a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B. b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】试题分析：A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a ＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．考点：三角形解得个数的判断．10. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A. 20(＋) n mile/hB. 20(－) n mile/hC. 20(＋) n mile/hD. 20(－) n mile/h【答案】B【解析】由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°∴SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，，MN=n mile，∴货轮航行的速度v=n mile/h．故选：B．点睛：由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS 中利用正弦定理可得，代入可求MN，进一步利用速度公式即可．11. 等差数列前项和为,已知则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为两式相加得，故所以，又两式相减，易得，，故，选B.考点：等差数列点评：本题多项式为载体考查等差数列，关键是能结合等式合理变形得出，从而求解，属中档题.12. 已知定义在上的函数是奇函数且满足数列满足，（其中为的前项和），则A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，，∴a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选C．点睛：先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．第Ⅱ卷（填空题、解答题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上．13. 在等差数列中,当且仅当时, 取得最大值,且，则使的n的最大值是________.【答案】11【解析】因为，所以又因为当且仅当时, 取得最大值，所以故答案为11.14. 设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.【答案】【解析】试题分析：由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.考点：等比数列的性质与应用15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan A＝7tan B，，则c＝___________.【答案】4【解析】∵tanA=7tanB，可得：sinAcosB=7sinBcosA，整理可得：8a2﹣8b2=6c2，①又②∴联立①②即可解得c=4．点睛：由已知利用同角三角函数基本关系式，余弦定理可得8a2﹣8b2=6c2，结合已知=3，即可解得c的值．..................【答案】129【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知得2a3=a4+a5，∴2a1q2=a1q3+a1q4∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2，当q=1时，与Sk=33，Sk+1=﹣63矛盾，故舍去，∴q=﹣2，∴Sk=，Sk+1=，解之得qk=﹣32，a1=3，∴Sk+2=，故答案为：129．点睛：根据a4，a3，a5成等差数列，求出公比q，代入Sk=33，Sk+1=﹣63，求出qk﹣1代入Sk+2即可求出结果．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在中，已知(sin A＋sin B＋sin C)·(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)求sin B－cos C的最大值．【答案】(1) ;(2)1.【解析】试题分析：由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，再由余弦定理得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝，A＝。

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,,2a m m =+-，()2,1,4b =-，且a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．103-B ．10-C ．10D ．103【答案】B【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值. 【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-. 故选：B. 2．抛物线214x y =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-【答案】D 【解析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D310+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6πD ．56π 【答案】C【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角.【详解】10+=，即y =，所以倾斜角α满足tan α=，[)0,απ∈， 所以6πα=，故选：C.4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q ，且满足2616a a =，则5a =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a = 则451282a =⨯=故选：A5．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ 等于（ ）A ．112233a b c ++B ．112233a b c --C ．112233a b c -++D ．121233a b c -++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+-2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--121233a b c =-++，故选：D ．6．若圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．()6,+∞ B ．[)6,+∞C ．(]4,6D ．[]4,6【答案】B【分析】先求出圆心()3,5-到直线4320x y --=的距离为5，由此可知当圆的半径为516r =+=时，圆上恰有三点到直线4320x y --=的距离为1，当圆的半径516r >+= 时，圆上恰有四个点到直线4320x y --=的距离为1，故半径r 的取值范围是51=6r ≥+，即可求出答案.【详解】由已知条件得()()22235x y r -++=的圆心坐标为()3,5-，圆心()3,5-到直线4320x y --=为()2243352543d ⨯-⨯--==+，∵圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是51r ≥+，即6r ≥，即半径r 的取值范围是[)6,+∞. 故选：B .7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,4 B ．[)4,+∞ C ．(]1,2 D ．[)2,+∞【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得2PF ，利用2PF c a ≥-可得离心率范围． 【详解】因为122PF PF a -=，又213PF PF =，所以13PF a =，2PF a =， 又2PF c a ≥-，即a c a ≥-，2ca≤，所以离心率(1,2]e ∈． 故选：C ．8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME —7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{}n a ，令22n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得n OA 的边长，进而可得周长n a 及n b ，进而可得n S ，可得解. 【详解】由1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，可得2OA =3OA =⋅⋅⋅，n OA =所以112n n n n n a OA OA A A ++=++=， 22n n b a ===-所以前n 项和12213211n n S b b b n n n =+++=-+-+++-=+，所以9919S =， 故选：B. 二、多选题9．已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t +=-<<++，则下列说法错误的是（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】ABC【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c =则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为c e a ==，焦距为2c =椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x 轴上，a b =c =.故选：ABC .10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若2111n S n n =-+，则212n a n =-B ．若()2,n S pn qn p q =+∈R ，则{}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则78S S >D ．若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <，则8n =时，n S 最大 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质，逐项分析即可得到结果.【详解】由于2111n S n n =-+，当1n =时，211111119a S ==-⨯+=-，若212n a n =-，则当1n =时，1211210a =⨯-=-，又091-≠-，故A 错误；因为()2,n S pn qn p q =+∈R ，当1n =时，11a S p q ==+；当2n ≥且*n N ∈时，()()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn q p -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦， 当1n =时，上式亦满足，所以2n a pn q p =-+；所以()()()*12122,n n a a p n q p pn q p p n +-=+-+--+=∈⎡⎤⎣⎦N ，所以{}n a 是首项为p q +，公差为2p 的等差数列；故B 正确；若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则96789830S S a a a a -=++==，即80a =，所以78S S =，故C 错误；若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <， 所以()115158151205S a a a+==>⨯，()()()1161168916160882a a a a a a S +⨯==++<=，所以80a >，890a a +<，即80a >，90a <，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以980d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列， 所以在等差数列{}n a 中，当8n ≤且*n N ∈时0n a >，当9n ≥且*n N ∈时0n a <， 所以8n =时，n S 最大，故D 正确. 故选：BD.11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点A ，B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足MA =，则下列说法正确的是（ ）A ．点M 的轨迹围成区域的面积为32πB ．ABM 面积的最大值为C ．点M 到直线40x y -+=距离的最大值为D ．若圆()()222:11C x y r ++-=上存在满足条件的点M ，则半径r 的取值范围为【答案】ABD【分析】根据直接法求点M 的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.【详解】由题意，设点(),M x y ， 又2MA MB =， 所以()()2222222x y x y ++=⋅-+，化简可得()22632x y -+=，所以点M 的轨迹为以点()6,0N 为圆心，42为半径的圆， 所以点M 的轨迹围成的区域面积为32π，A 选项正确； 又点(),M x y 满足42,42y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以(10,822ABMSAB y ⎤=⋅∈⎦，B 选项正确； 点()6,0N 到直线40x y -+=的距离()22604524211d -+==>+-，所以直线与圆相离，所以点M 到直线40x y -+=距离的最大值为524292+=，C 选项错误；由D 选项可知圆C 与圆N 有公共点，所以4242r CN r -≤≤+， 且()()22610152CN =++-=，即425242r r -≤≤+， 所以292r ≤≤，D 选项正确； 故选：ABD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．PE 的长最小值为12B ．PE PF ⋅的最小值为148-C ．若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98D ．若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的值可以是23π 【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，得(1,1,)P λλλ--，然后用空间向量法求得PE ，判断A ，求得数量积PE PF ⋅计算最小值判断B ，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C ，结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则11(,1,)22E ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,,1)2F ，1(1,1,1)BD =--，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，所以(1,1,)P λλλ--，11(,,)22PE λλλ=--，(PE λ==13λ=时，min PE =，A 错；1(1,,1)2PF λλλ=---，111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+--2713()1248λ=--，所以712λ=时，min 1()48PE PF ⋅=-，B 正确；12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112(,,)333P ，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12(,,0)33G ，12(0,,)33PG =-，显然PG 与平面11CDD C 的法向量(1,0,0)垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行，作//CM PG 交11C D 于点M ， 设(0,,1)M k ，则(0,1,1)CM k =-，由//CM PG 得21(1)33k --=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11A D 中点N ，易得//NF AC ，截面为ACFN ，它是等腰梯形，2AC =，22NF =，52AN CF ==，梯形的高为22225222h ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭324=， 截面面积为12329(2)2248S =+⨯=，C 正确；(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，(1,1,0)AC =-，1(1,1,1)BD =--，11100AC BD ⋅=-+=，1AC BD ⊥，同理11AB BD ⊥，所以1BD 是平面1ACB 的一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π．D 正确． 故选：BCD ．三、填空题13．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的值为___________. 【答案】1-【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数m 的值. 【详解】由直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行， 得()()132012620m m m m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即1m =-. 故答案为：1-.14．已知等差数列{}n a 的公差为1，且3a 是2a 和6a 的等比中项，则{}n a 前10项的和为___________. 【答案】40【分析】利用等比中项及等差数列通项公式求出首项1a ，再利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 前10项的和.【详解】设等差数列的首项为1a ，由已知条件得2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，()()()2111215a a a +=++，解得112a =-，则10110910402S a d ⨯=+=. 故答案为：40.15．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则折纸后异面直线AB ，CD 所成的角为___________.【答案】π630° 【分析】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，进而DEC ∠（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，设所求角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，于是cos |cos |DEC θ=∠.设原正方形ABCD 边长为2，取AC 的中点O ，连接DO ,BO ，则2BO DO =,BO AC DO AC ⊥⊥，而平面ACD ⊥平面ABC ，且交于AC ，所以DO ⊥平面ABEC ，则DO OE ⊥.易得，22BE AC ==//BE AC ，而,BO AC ⊥则.BO BE ⊥于是，2210OE BO BE =+=2223DE DO OE +=在DCE 中，2DC CE ==，取DE 的中点F ，则CF DE ⊥，所以3cos FE DEC CE ∠==即3cos θ6πθ=.故答案为：6π.16．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线()220y px p =>，一条平行于抛物线对称轴的光线从点()3,1A 向左发出，先经抛物线反射，再经直线3y x =-反射后，恰好经过点A ，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】216y x =【分析】根据抛物线的聚焦特点，()3,1A 经过抛物线后经过抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，再经直线3y x =-反射后经过点A ，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为B ，抛物线的焦点为F ，则可得：1,12B p ⎛⎫⎪⎝⎭抛物线的焦点为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭则直线BF 的方程为：11222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭设直线BF 与直线3y x =-的交点为M ，则有： 112223p y x p p y x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎝⎭⎨ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩解得：2222436,2121p p p M p p p p ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭则过点M 且垂直于3y x =-的直线的方程为： 222222436563212121p p p p p y x x p p p p p p ----=-++=-++-+-+-根据题意可知：点()3,1A 关于直线2256321p p y x p p --=-++-的对称点1A 在直线BF 上设点()122,A x y ，1AA 的中点为C ，则有： 2231,22x y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭直线1AA 垂直于2256321p p y x p p --=-++-，则有：22113y x -=- 点C 在直线2256321p p y x p p --=-++-上，则有：2222135632221y x p p p p ++--=-++- 点1A 在直线BF 上，则有： 2211222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭化简得：()80p p -= 又0p > 故8p =故答案为：216y x =【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键 四、解答题17．已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为(1)求圆A 的方程；(2)若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22124x y ++-= (2)1x =或3450x y ++=【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可. (1)不妨设圆的半径为R ，根据垂径定理，可得：()22213R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-= (2)当直线l 的斜率不存在时，则有：1x = 故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：22421k d k--==+解得：34k =- ，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点.(1)求点F 到平面1A CE 的距离；(2)求平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 【答案】6 6【分析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面1A CE 的法向量和EF 的坐标，点F 到平面1A CE 的距离||||EF n d n ⋅=.计算即可求出答案. （2）由（1）知平面1A CE 的法向量，在把平面11BCC B 的法向量表示出来，平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值为cos ||||m nm n θ⋅=⋅，计算即可求出答案.(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2和E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点知，1(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,2,2)A E C F =.设平面1A CE 的法向量为(,,)n x y z =.11(2,2,2),(0,1,2)AC A E =--=-.则1122200(1,2,1)200x y z n AC n y z n A E ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩. =(1,1,2)EF -.故点F 到平面1A CE 的距离122||6||141EF n d n -++⋅===++.(2)平面11BCC B 的法向量(0,1,0)m =， 平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值26cos ||||6m n m n θ⋅===⋅19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -，点F 到短袖的一个端点的6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅>-，求k 的取值范围.【答案】(1)22162x y += (2)12k >或12k <-【分析】（1）根据焦点坐标可得2c =，根据点F，然后根据222a b c =+即可；（2）先设联立直线l 与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到A ，B 两点的坐标关系，然后根据2OA OB ⋅>-建立关于直线l 的斜率k 的不等式，解出不等式即可. (1)根据题意，已知椭圆C 的左焦点为()2,0F -，则有：2c = 点Fa =则有：b =故椭圆C 的方程为：22162x y += (2)设过点F 作斜率为k 的直线l 的方程为：()2y k x =+ 联立直线l 与椭圆C 的方程可得： ()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 则有：()222231121260k x k x k +++-=,直线l 过点F ，所以0∆>恒成立，不妨设A ，B 两点的坐标分别为：()()1122,,,A x y B x y ，则有：21221231k x x k +=-+ 212212631k x x k -=+ 又1212OA OB x x y y ⋅=+且()()2121222y y k x x =++则有：()()()()222212121212121222142OA OB x x y y x x k x x k x x k k x x ⋅=+=+++=++++将21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+代入后可得：2210631k OA OB k -⋅=+ 若2OA OB ⋅>-，则有：22164031k k ->+ 解得：12k >或12k <- 20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，112AD CD BC CF AB =====.(1)求证：EF BC ⊥；(2)点M 在线段BF （不含端点）上运动，设直线BE 与平面MAC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)510⎝⎦【分析】（1）过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，利用正余弦定理可证AC BC ⊥，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. (1)证明：由已知可得四边形ABCD 是等腰梯形， 过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，则21122BH -==， 在Rt BCH 中，221314CH BC BH =-=-=， 则332sin 1CBH ∠==60CBH ∠=°， 在ABC 中，由余弦定理可得，22212cos 4122132AC AB BC AB BC CBH =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， 又CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，CF AC ∴⊥，BC CF C ⋂=，BC ，CF ⊂平面BCF ，AC ∴⊥平面BCF ， 又ACFE 为矩形，//AC EF ∴，则EF ⊥平面BCF ， 而BC ⊂平面BCF ，EF BC ∴⊥；(2)CF ⊥平面ABCD ，且AC BC ⊥，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,1F，)E，M BF ∈，∴设()0,1,M a a -，则()0,1,CM a a =-，又()3,0,0CA =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =， 由()1030n CM a y az n CA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取y a =，得()0,,1n a a =-， 又()3,1,1BE =-，sin cos ,5BE n a BE n BE na θ⋅-∴=====⋅，()0,1a ∈，21112,1222a ⎛⎫⎡⎫∴-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，则sin θ∈⎝⎦.21．已知等差数列{}n A 的首项为2，公差为8.在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，nk a ，⋅⋅⋅是从{}n a 中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，11k =，23k =，令n n b nk =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)2,()n a n n N +=∈； (2)11()3424n n n S =+-⋅ 【分析】（1）由题意在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，可知{}n a 的公差824d ==，进而可求出其通项公式； （2）根据题意可得1=23n n k a -⨯，进而得到1=3n n k -，再代入n b 中得1=3n n b n -⋅，利用错位相减即可求出前n 项和n S . (1)由于等差数列{}n A 的公差为8，在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差824d ==，{}n a 的首项和{}n A 首项相同为2，则数列{}n a 的通项公式为22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈. (2)由于1k a ，2k a 是等比数列的前两项，且11k =，23k =，则132,6a a ==，则等比数列的公比为3， 则1=23n n k a -⨯，即112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒，1=3n n n b nk n -=⋅.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.①减去②得11213(13)1121333313()31322n n nn n n S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅-.11()3424n n n S ∴=+-⋅. 22．已知圆()22:24F x y -+=，点()2,0E -，点G 是圆F 上任意一点，线段EG 的垂直平分线交直线FG 于点T ，点T 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 上一点()()002,0M y y >，动圆()()222:20N x y r r -+=>，且点M 在圆N外，过点M 作圆N 的两条切线分别交曲线C 于点A ，B . （i ）求证：直线AB 的斜率为定值；（ii ）若直线AB 与2x =交于点Q ，且2BQM AQM S S =△△时，求直线AB 的方程. 【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）答案见解析（ii ）4623310x y ++=或2211130x y +-=【分析】（1）通过几何关系可知2ET TF -=，且42EF =>,由此可知点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及0MA MB k k +=求出()()2230k k m ++-=，即得到直线AB 的斜率为定值；（ii ）由（i ）可知124x x m +=，由已知可得122122AQM BQMS x S x -==-△△，联立方程即可求出1x ，2x 的值，代入2123x x m =+即可求出m 的值，即可得到直线方程.(1)由题意可知2ET TF TG TF FG -=-==, ∵4EF ==,且2EF >,∴根据双曲线的定义可知，点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线， 即1a =，2c =，2223b c a =-=， 则点T 的轨迹方程为2213y x -=； (2)（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223230k x kmx m ----=， 其中230k -≠，且()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>，12223km x x k +=-，212233m x x k+=--， ∵曲线C 上一点()()002,0M y y >，∴()2,3M ，由已知条件得直线MA 和直线MB 关于2x =对称，则0MA MB k k +=， 即121222033x x y y --+=--，整理得()()()()121223320x y y x --+--=， ()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=， ()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--，()()221230k m k m +++-=，即()()2230k k m ++-=， 则2k =-或32m k =-，当32m k =-，直线方程为()3223y kx k k x =+-=-+，此直线过定点()2,3，应舍去， 故直线AB 的斜率为定值2-.（ii ）由（i ）可知124x x m +=，2123x x m =+由已知得12AQM BQMS S =△△，即122122AQM BQM S x S x -==-△△， 当122122x x -=-时，2122x x =-， 1211224x x x x m +=+-=，即1423m x +=，2823m x -=， 2124282333m m x x m +-=⋅=+，解得1m =或3123m =-， 但是当1m =时，0∆=，故应舍去，当3123m =-时，直线方程为4623310x y ++=， 当122122x x -=--时，2162x x =-，即164x m =-，286x m =-， ()()21264863x x m m m =--=+，解得1m =（舍去）或1311m =， 当1311m =时，直线方程为2211130x y +-=,故直线AB 的方程为4623310x y ++=或2211130x y +-=.。

2021-2022学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题一、单选题1．若()()0,1,2,2,5,8A B 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ） A ．()3,2,1 B ．()1,3,2 C ．()2,1,3 D ．()1,2,3【答案】D【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量AB ，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】∵ ()()0,1,2,2,5,8A B 在直线l 上， ∴ 直线l 的一个方向向量(2,4,6)AB =，又∵1(1,2,3)(2,4,6)2=，∴(1,2,3)是直线l 的一个方向向量． 故选：D ． 2．“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线平行的充要条件求出a ，然后可得. 【详解】若14a =，则1:240l x y +-=，2:220l x y +-=，显然平行； 若直线12l l ∥，则2(21)a a a -=-且()2a a --≠，即14a =. 故“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的充要条件. 故选：C3．已知圆222(0)x y r r +=>与直线2y kx =+至少有一个公共点，则r 的取值范围为（ ） A ．2r > B ．1rC ．2rD ．02r<【答案】C【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线2y kx =+的距离范围，从而求出r 的取值范围.【详解】圆心()0,0到直线2y kx =+的距离2221d k=≤+，当且仅当0k =时等号成立，故只需2r 即可. 故选：C4．已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，且23452534,52a a a a a a +++==，且42a a >，则9S =（ ） A ．36 B ．117C ．36-D ．13【答案】B【分析】根据等差数列下标的性质，2534a a a a +=+，进而根据条件求出25,a a ，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.【详解】由题意，42a a >，即{}n a 为递增数列，所以52a a >，又()234525253421734a a a a a a a a +++=+⇒⇒+==，又2552a a =，联立方程组解得：25134,a a ==.于是，()99155911227992a a a S a +⨯====. 故选：B.5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为PC ，PD 上的点，1,3CM PN ND CP ==，设,,AB a AD b AP c ===，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．121333a b c ++B ．121333a b c --C ．111366a b c --+D ．211366a b c --+【答案】D【分析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.【详解】11()32MN MC CA AN PC AC AD AP =++=-++11()()()32BC BP AB AD AD AP =--+++ 11(+)()()32AD AP AB AB AD AD AP =--+++ 211366AB AD AP =--+211366a b c =--+.故选：D6．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析】【详解】试题分析：由已知可得，故选A.【解析】1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.7．已知{}n a 是等比数列，且1232341,2a a a a a a ++=++=，则 567a a a ++=（ ） A ．16 B ．32 C ．24 D ．64【答案】A【分析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】1232341231,()2a a a a a a a a a q ++=∴++=++=，得2q4567123()16a a a a a a q ∴++=++=故选：A8．已知椭圆22:143x y C +=的上下顶点分别为,A B ，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C 交于D 点，则直线BD 的斜率BD k 为（ ） ABCD ．32【答案】B【分析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD 的方程，进而求出点D 的坐标计算作答.【详解】依题意，椭圆22:143x y C +=的上顶点A，下顶点(0,B ，左焦点1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ，由椭圆的光学性质知，反射光线AD 必过右焦点2F ，于是得直线AD的方程为：y =由223412y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩8(,5D，则有(5805BD k ==- 所以直线BD 的斜率BD k故选：B 二、多选题9．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若16113a a a π++=，1598b b b =，则（ ）A ．1111S π=B ．210461sin2a ab b += C ．3783a a a π++= D ．374b b +≥ 【答案】ACD【分析】根据题意得6a π=，52b =，再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答案.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，16113a a a π++=，1598b b b =，所以1611633a a a a π+==+，即6a π=，315958b b b b ==，即52b =，对于A 选项，()1111161111112a a S a π+===，故正确；对于B 选项，2210646522,4a a a b b b π+====，所以21046sinsin 12a ab b π+==，故错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则37866663233a a a a d a d a d a π++=-++++==，故正确；对于D 选项，由52b =得37,0b b >，故237375224b b b b b +≥==，当且仅当372b b ==时等号成立，故正确； 故选：ACD10．如图，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交拋物线于,A B 两点，过 ,A B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的有（ ）A ．若AB x ⊥轴，则2AB p =B ．若()()1122,,,A x y B x y ，则12y y 为定值2pC ．2||4PQ AF BF =D ．以线段AF 为直径的圆与y 轴相切 【答案】ACD【分析】根据给定条件设出直线AB 的方程，再结合抛物线的定义、性质逐项分析、计算并判断作答.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2pF ，准线为：2p x =-，显然直线AB 不垂直于y 轴，设其方程为：2p x my =+， 由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 并整理得：2220y pmy p --=，设()()1122,,,A x y B x y ， 当AB x ⊥轴时，0m =，12,y p y p ==-，则12||||2AB y y p =-=，A 正确； 212y y p =-，即12y y 为定值2p -，B 不正确；过点B 作BM AP ⊥交AP 于M ，如图，显然四边形BMPQ 为矩形，由抛物线定义知，||||||||||||||AM AP BQ AF BF =-=-，则2222||||PQ BM AB AM ==-()()224AF BFAF BF AF BF =+--=，C 正确；由抛物线定义知，1||2p AF x =+，线段AF 中点横坐标1012||22px x AF +==，即线段AF 中点到y 轴距离是1||2AF ，所以以线段AF 为直径的圆与y 轴相切，D 正确. 故选：ACD11．已知：()()1,0,1,0A B -，直线,AP BP 相交于P ，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，则（ ）A ．当122k k ⋅=-时，P 点的轨迹为除去,AB 两点的椭圆 B ．当122k k ⋅=时，P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线C ．当122k k =时，P 点的轨迹为一条直线 D ．当122k k -=时，P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线 【答案】ABD【分析】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 逐个代入选项化简1k 与2k 的关系式，来验证选项即可得到答案. 【详解】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 当122k k ⋅=-时，=11y yx x ⋅+-2-， 22222222(1)1(1)12y y y x x x x ⇒=-⇒=--⇒+=≠±-. 故P 点的轨迹为除去,A B 两点的椭圆，A 正确；当122k k ⋅=时，222222=222(1)1(1)1112y y y y y x x x x x x ⋅⇒=⇒=-⇒-=≠±+--，故P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线，B 正确；当122k k =时，12112(1)2(1)311yk x x x x x y k x x -+===⇒-=+⇒=-+-. 20,0k y ≠∴≠，即不含点(3,0)-，∴轨迹是一条直线不含(3,0)-，C 错误；当122k k -=时，则2=21(1)11y y y x x x x -⇒=-+≠±+-. 故P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线，D 正确. 故选：ABD.12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A (含边界)内有一动点P ，则（ ）A ．若1111,1B P mB B nB A m n =++=，则 1110B P B D ⋅= B ．若11(01)A P A B λλ=<<，则110C P BD ⋅= C ．若()11111111,22B P PA A E AC A D ==+，则 1123E B P A ⋅=- D ．若()1111112A E AC A D =+，则存在非零向量1B P 使111B P A E ⋅=- 【答案】BCD【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对每一个选项进行判断.【详解】对于A ，1111,1B P mB B nB A m n =++=， 则11111111(1())B P n B B nB A B B A B B n B =+-=-+111111()B P B B B A B B n BP nBA ⇒-=-⇒=，从而可知点P 在线段1BA 上，由于11B D 不垂直侧面11ABB A ，故1110B P B D ⋅=不成立，所以A 错误；对于B ，易证111AC B D ⊥，11BC B D ⊥，从而可知1B D ⊥平面11ABC ， 由11(01)A P A B λλ=<<，可知点P 在线段1BA 上，因此11B D C P ⊥，所以110C P B D ⋅=，B 正确；对于C ，11B P A E ⋅=()()11111111111224PA AC A D PA AC A D +=+⋅⋅ ()()11111111111112431()6B A B AC AD AC A D B B A +=+=⨯⋅+⋅ ()11111111()26B B A B A D B A =+⋅+ 11111111111111221()6B B B B B A B A D A B A A A B D ⋅+⋅+⋅+⋅= 12(0040)63=+-+=-，故C 正确； 对于D ，设1111B P B B B A λμ=+， 所以11B P A E ⋅=()()1111111111111111(222)()AC A D A B A D B B B A B B B A λμλμ+=++⋅+⋅ ()111111112(2)B B B A A B A D λμ+⋅=+ 11111111111111221()2B B B B B A B A D A B A D A B A λλμμ⋅+⋅+⋅+=⋅ 1(004)0221μμ+-+-==-=，得12μ=，从而可知1B P 不会是零向量，故D 正确.故选：BCD 三、填空题13．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x 221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤. 故答案为：11b -<≤或2b =-.【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.14．数列{}n a 的前n 项和为()*,2n n n S S n n =-∈N ，则{}n a 的通项公式为________.【答案】11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩【分析】讨论1n =和2n ≥两种情况，进而利用1,1,,2n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得答案.【详解】由题意，1n =时，111a S ==，2n ≥时，()1121n n S n --=--，则()()11122121n n n n n n a S S n n ---=-=--+-=-，于是，11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 故答案为：11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线与,P Q 两点，且1PF 18FQ+=，则拋物线的准线方程为________. 【答案】18x =-【分析】根据题意作出图形，设直线PQ 与x 轴的夹角为α，不妨设||||PF QF ≥，设抛物线的准线与x 轴的交点为E ，过点P 作准线与x 轴的垂线，垂足分别为,P H '，过点Q 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为,Q G '，进一步可以得到||||||||||||cos PF PP EH EF FH p PF α'===+=+，进而求出||PF ，同理求出||QF ，最后解得答案.【详解】设直线PQ 与x 轴的夹角为(0)2παα<≤，根据抛物线的对称性，不妨设||||PF QF ≥，如图所示.设抛物线的准线与x 轴的交点为E ，过点P 作准线与x 轴的垂线，垂足分别为,P H '，过点Q 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为,Q G '. 由抛物线的定义可知，||||||||||||cos ||1cos pPF PP EH EF FH p PF PF αα'===+=+⇒=-，同理：||||||||||||cos ||1cos pQF QQ EG EF GF p QF QF αα'===-=-⇒=+,于是，111cos 1cos 218||||4p PF QF p p p αα-++=+==⇒=，则抛物线的准线方程为：18x =-.故答案为：18x =-.16．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________. 【答案】2276【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和.【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276. 四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，()*11n n n n a a a a n ++-=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记[]lg n n b a =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.60=，[]lg661=. （i ）求1b 、23b 、123b ；（ii ）求数列{}n b 的前1000项的和. 【答案】(1)1n a n=； (2)（i ）10b =，231b =，1232b =；（ii ）1893.【分析】（1）推导出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）（i ）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得1b 、23b 、123b 的值；（ii ）分别解不等式0lg 1n ≤<、1lg 2n ≤<、2lg 3n ≤<，结合题中定义可求得数列{}n b 的前1000项的和. (1)解：因为11a =，()*11n n n n a a a a n ++-=∈N ，则221a a -=，可得212a =， 331122a a -=，可得313a =，以此类推可知，对任意的N n *∈，0n a ≠.由()11N n n n n a a a a n *++-=∈，变形为111111n n n n n n a a a a a a ， 1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是一个以1为公差的等差数列，且首项为111a ，所以，()1111n n n a =+-⋅=，因此，1n a n=.(2)解：（i ）[][]lg lg n n b a n =-=，则[][]1lg100b ===，1023100<<，则1lg10lg 23lg1002=<<=，故[]23lg 231b ==， 1001231000<<，则2lg100lg123lg10003=<<=，故[]123lg1232b ==； （ii ）lg10003=，当0lg 1n ≤<时，即当110n ≤<时，[]lg 0n b n ==， 当1lg 2n ≤<时，即当10100n ≤<时，[]lg 1n b n ==， 当2lg 3n ≤<时，即当1001000n ≤<时，[]lg 2n b n ==， 因此，数列{}n b 的前1000项的和为09190290031893⨯+⨯+⨯+=.18．如图，四边形ABCD 为矩形，1AB =，2AD =，E 为AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .(1)若3GAF π∠=，求AG 与BD 所成角的余弦值；(2)若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. 【答案】(1)1615 【分析】（1）以A 为原点，AD 、AB 所在的直线为x 、y 轴，以过A 点垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得AG 与BD 所成角的余弦值；（2）计算出平面ABG 的法向量，利用空间向量法可求得直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. (1)解：如图，以A 为原点，AD 、AB 所在的直线为x 、y 轴，以过A 点垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，223AC AB AD =+=，//AD BC ，则AEF CBF ∽△△，则12AF AE CF BC ==，故133AF AC == 因为GF ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，则GF AF ⊥， 若3GAF π∠=，则tan13GF AF π==，故()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0D、21,13G ⎫⎪⎪⎝⎭，则21,133AG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，113cos ,62333AG BD AG BD AG BD ⋅<>===⋅⨯. 因此，若3GAF π∠=，则AG 与BD 所成角的余弦值为16.(2)解：若3AF FG ==，则2E ⎫⎪⎪⎝⎭、2133G ⎝⎭， 21363EG ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0AB =，21333AG ⎛= ⎝⎭，设平面ABG 的法向量为(),,n x y z =，则0213033n AB y n AG x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 取3x =(3,0,2n =-，6152cos ,252EG n EG n EG n⋅<>===⋅⨯ 所以直线EG 与平面ABG 1519．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，椭圆上的动点到焦点F 21. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 作一条不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的中垂线交x 轴于P ，当l 变化时，PFMN是否为定值? 若是，定值为多少? 【答案】(1)2212x y +=(2)【分析】(1)由抛物线24y x =方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出a b c ，，，的方程，解方程求a b c ，，，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦MN的长和其中垂线方程，再计算PFMN ，由此完成证明.(1)抛物线的交点坐标为（1，0），1c ∴=，又1,a c a +=∴= 又222b a c =-，∴ 21b =，∴椭圆的标准方程为2212x C y +=：. (2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得到2222124220k x k x k +-+-=（），显然0∆>， 22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，12MN x ∴=-=∴MN ∴==， 又MN 的中点坐标为2222(,)1212k kk k-++，直线l 的中垂线的斜率为1k - ∴ 直线l 的中垂线方程为2222121()+121212k k k y x x k k k k k =---=-+++，令220,12k y x k ==+，2222111212k k PF k k +∴=-=++，4PF MN ∴=. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥，N 分别是棱 1,CC BC 的中点，点P 在线段11A B 上.(1)当直线PN 与平面111A B C 所成角最大时，求线段1A P 的长度；(2)是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面1AC C 6，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)12 (2)存在， A 1P =14【分析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大； （2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得. (1)直线PN 与平面A 1B 1C 1所成的角即为直线PN 与平面ABC 所成角， 过P 作PH AB H ⊥于,PNH ∠即PN 与面ABC 所成的角， 因为PH 为定值，所以当NH 最小时线面角最大， 因为当P 为中点时，NH AB ⊥,此时NH 最小， 即PN 与平面ABC 所成角最大，此时112A P =.(2)以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴建立空间坐标系，则： A （0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,1) 设111(1,0,0)A P A B λλ===00λ（，，）(,0,1)P λ∴，111001222N M （，，），（，，），11111122222NP NM λ=--=-（，，），（，，），设平面PMN 的法向量为,,)n x y z =（， 则00NP n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11220x y z x y z λ⎧⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-++=⎩，解得1(3,21,22)n λλ=+-，平面AC 1C 的法向量为2(1,0,0)n =121222126cos ,98458414n n n n n n λλλλ⋅====+-+-+ 21168104λλλ∴-+==，.所以P 点为A 1B 1的四等分点，且A 1P =14.21．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p => 的焦点为F ，点(),02p T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭是x 轴上一定点，过F 的直线交C 与,A B 两点.(1)若过T 的直线交抛物线于,D E ，证明,D E 纵坐标之积为定值；(2)若直线,AT BT 分别交抛物线C 于另一点,P Q ，连接,P Q 交x 轴于点M .证明：,,OF OT OM 成等比数列.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）设直线方程为x my t =+，联立抛物线方程用韦达定理可得；（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F 、T 、Q 三点横坐标关系，然后可证. (1)显然过T 的直线斜率不为0，设方程为x my t =+， 联立22y px =，消元得到2220y pmy pt --=， 2D E y y pt ∴=-.(2)由（1）设11223344(,,(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y ）， 因为AP 与BQ 均过T (t ,0)点，可知13242,2y y pt y y pt =-=-，又AB 过F 点，所以212y y p =-，如图：2212344y y y y p t ∴=，2344y y t ∴=-,设M (n ，0）,由（1）类比可得223422,42,t y y pn t pn n p∴=-∴==.22,,2p t OF OT t OM p ===，且2222p t t p=⨯，∴,,OF OT OM 成等比数列.22．已知等差数列{}n a 各项均不为零，n S 为其前n 项和，点()211,n n a S -+在函数()2(1)f x x =-的图像上.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足13nn n a b -=，求{}n b 的前n 项和n T ； (3)若数列{}n c 满足114(1)n n n n n c a a -+=-，求{}n c 的前n 项和的最大值、最小值.【答案】(1)21n a n =- (2)1133n n n T -+=-(3)最大值为43，最小值为45【分析】（1）将点代入函数解析再结合前n 和即可求解； （2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；（3）将数列{}n c 的通项变形为111(1)()2121n n c n n -=-+-+，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可. (1)因为点211,n n a S -+（）在函数2()(1)f x x =-的图像上， 所以222111n n n S a a -=+-=（），又数列{}n a 是等差数列，所以121212(21)(21)22n n n a a aS n n --+=⨯-=⨯-， 即21(21),n n S n a -=-所以2(21)n n a n a =-，0,21n n a a n ≠∴=-；(2)解法1：11211213(1)21233333n n n n n n n n n n n b --------+-===-+， 1300121131()11210...2333331nn n n n n T ----∴=-+-++-+-=111333n n n ---+-=1133n n -+-， 解法2：012211352321 (33333)n n n n n T ----=+++++， ① 123111352321...333333n n n n n T ---=+++++， ② ①-② 得 12311211112112112(...)233333333n n n n n n n T ----=+++++-=--， 1133n n n T -+∴=-； (3) 11114(21)(21)11(1)(1)(1)()(21)(21)2121n n n n n n n n n c a a n n n n ---+-++=-=-=-+-+-+ 记{}n c 的前n 项和为n W ，则n W =112311111111...()()()...(1)()1335572121n n c c c c n n -++++=+-+++++-+-+ 111121n n -=+-+（）， 当n 为奇数时n W 1121n =++随着n 的增大而减小，可得413n W <≤，当n 为偶数时n W 1121n =-+随着n 的增大而增大，可得415n W ≤<， 所以n W 的最大值为43，最小值为45.。

苏州市2021-2022学年高二上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题(含答案)

苏州市2021-2022学年高二上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题(含答案)

苏州市2021－2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学一、选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1. 直线 03x π-= 的倾斜角为A ． 0B ．3π C ． 2π D ． 23π 2. 已知平面 α 的一个法向量为 ()()2,2,4,1,1,2AB =-=--n ， 则 AB 所在直线 l与平面 α 的位置关系为A ． l α⊥B ． l α⊂C ． l 与 α 相交但不垂直D ． //l α3. 若数列 21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列， 1311,3a a ==-， 则 5a = A ． 79- B ． 35- C ． 35D ． 794. 已知抛物线 22(0)y px p => 的焦点为 F ， 准线为 ,l M 是抛物线上一点，过点M 作 MN l ⊥ 于 N ． 若 MNF 是边长为 2 的正三角形， 则 p =A ．14B ． 12C ． 1D ． 25. 如图， 在平行六面体 1111ABCD A B C D - 中， AC 与 BD 的交点为 M ． 设11111,,A B A D A A ===a b c ， 则下 列向量中与 1B M 相等的向量是A ． 1122--+a b cB ． 1122-++a b c C ． 1122-+a b c D ． 1122++a b c 6. 椭圆 2213x y += 上的点 P 到直线 290x y +-= 的最短距离为A ．B ．C ．D ． 5 7. 若数列 {}n a 满足 21321111222n n a a a a a a --<-<<-<， 则称数列 {}n a 为“半差递增” 数列． 已知 “半差递增” 数列 {}n c 的前 n 项和 n S 满足()*221n n S c t n N +=-∈， 则实数 t 的取值范围是 A ． 1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． (),1∞-C ． 1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． ()1,∞+ 8. 已知线段 AB 的端点 B 在直线 :5l y x =-+ 上，端点 A 在圆221:(1)4C x y ++= 上运动， 线段 AB 的中点 M 的轨迹为曲线 2C ， 若曲线 2C 与圆 1C 有两个公共点， 则点 B 的横坐标的取值范围是A ． ()1,0-B ． ()1,4C ． ()0,6D ． ()1,5-二、选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。

山东省青岛市第十九中学2021-2022学年高二上学期数学阶段测试题及答案

山东省青岛市第十九中学2021-2022学年高二上学期数学阶段测试题及答案

山东省青岛市第十九中学2021-2022学年高二上学期数学阶段测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直2．已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ）A ．1B ．12C ．14D 3．点M ，N 是圆222240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于（ ）A ．3B ．CD ．94．若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为（ ）A B ．2C ．D ．5．已知圆()()22239C x y -+-=：，过点M(1，1)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，弦长AB 最短时直线l 的方程为 A ．210x y --= B ．280x y +-= C ．210x y -+=D ．230x y +-=6．如图，在正三棱柱ABC 一A 1B 1C 1中，AB =A 1A =2，M ､N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）AB C ．25D ．357．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．下列说法中，正确的有（ ） A ．直线y ＝ax ﹣3a +2 （a ∈R ）必过定点（3，2） B ．直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为2C ．直线x +1＝0 的倾斜角为30°D ．点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离为710．设有一组圆k C ：22()()4x k y k -+-=()k R ∈，下列命题正确的是（ ） A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上 B ．所有圆k C 均不经过点(30)，C ．经过点(22)，的圆k C 有且只有一个 D ．所有圆的面积均为411．已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(30)，） A ．椭圆C 的标准方程为22193x y +=B ．椭圆C 经过点(0C ．点P ()x y ，在椭圆C 上，则x y -的最大值为D ．直线1(x 1)y k -=-与椭圆C 恒有公共点12．如图，菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，E 为边AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，使A 到A '，且平面A DE '⊥平面BCDE ，连接A B '，A C '，则下列结论中正确的是（ ）A ．BD A C '⊥B ．BE 到平面ACD 'C ．BC 与AD '所成角的余弦值为34D ．直线A B '与平面ACD '所成角的正弦三、填空题13．已知()2,1,3a =，()4,2,b x =-，且a b ⊥，则a b -=________.14．我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫作“串圆”．如图所示的“串圆”中，圆A 的方程为()2212x y +-=，圆C 的方程为()()22672x y -+-=，则圆B 的方程为______．15．已知椭圆22:1105x y C +=，则以点(2,1)-D 为中点的弦MN 所在的直线方程是___________. 四、双空题16．已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 在C 上，则12PF PF ⋅的最大值为______；若(0,A ，则2PA PF -的最小值为______. 五、解答题17．已知ABC 的顶点()2,6A ，()4,2B ，()2,0C -. （1）求BC 边的高线所在直线的方程； （2）求ABC 的面积18．已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l 过点()2,0P -. （1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.（2）若直线l 与圆C 相交截得的弦为AB ，且AB =l 的方程.19．圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上. （1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，且AD =PD =1，平面PCD ∈平面ABCD ，∈PDC =120°，E 为线段PC 的中点，F 是线段AB 上的一个动点.（1）求证:平面DEF ∈平面PBC ；（2）设平面CDE 与平面EDF 的夹角为θ，试判断在线段AB 上是否存在这样的点F ，使得tan θAFFB的值；若不存在，请说明理由.21．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左顶点为()2,0A - （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的最大值.22．已知点1,0A ，点P 是圆()22:18C x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线CP 交于点E . （1）求点E 的轨迹方程；△的面积是否存在最（2）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则CMN大值?若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：1．A 【解析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系. 【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 2．C 【解析】 【分析】利用向量的中点公式表示AE →和12AF AD →→=，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.【详解】因为E ，F 分别是BC ，AD 的中点，所以1()2AE AB AC →→→=+，12AF AD →→=，又因为正四面体ABCD 的棱长都为1， 所以,,60AB AD AC AD →→→→<>=<>=，故111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD →→→→→→→→→=+=+14=()cos60cos60︒︒+14=． 故选：C ． 3．A 【解析】【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k ，然后求出半径． 【详解】圆222240x y kx y +++-=的圆心坐标(),1k --，因为点M ，N 在圆22240x y kx y +++-=上，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称， 所以直线10x y -+=经过圆心， 所以1102k k -++=⇒=，所以圆的方程为：224240x y x y +++-=，即22(2)(1)9x x +++=， 圆的半径为3． 故选：A ． 4．D 【解析】首先根据题意得到221a m ，2b m =，1c =，从而得到2m =，再求长轴长即可.【详解】因为椭圆C ：22211x y m m +=-，焦点()0,1， 所以221a m ，2b m =，1c =，即211m m ，解得2m =或1m =-（舍去）.所以a 故选：D 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题. 5．D 【解析】 【分析】列出弦长：AB =l 的距离为d ），当d 最大时，AB 最短，此时直线l 与MC 连线垂直，求出直线l 的斜率，再由点斜式求出直线方程即可． 【详解】由题可知圆()()22239C x y -+-=：，所以圆心为()2,3C ，半径为3，设圆心到直线l 的距离为d ，直线l 得斜率为k则AB =d MC ≤，当直线l 与MC 连线垂直时，d 最大为MC ， 此时AB 最短，且1MC k k ⋅=-． 所以直线l 得斜率为：1MCk k -=， 又31221MC k -==-，所以12k =-，所以直线l 的方程为：()1112y x -=--， 即： 230x y +-= 故选D 【点睛】本题考查了圆的弦长计算，直线垂直关系及直线方程求法，还考查了转化思想及函数思想，属于中档题． 6．D 【解析】取AC 的中点O ，OB ，OC 分别为x ，y 轴，过点O ，作平行1AA 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线成角即可. 【详解】取AC 的中点O ，OB ，OC 分别为x ，y 轴，过点O ，作平行1AA 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：()0,1,0A -，)B，)M，()0,1,0C ，()10,1,2C，)12B，1,22N ⎫⎪⎪⎝⎭，()3,1,1AM =，31,222CN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AM 与CN 所成角为θ，则3cos 5θ==. 故选：D 7．C 【解析】 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为(,4)t -，将点的坐标代入圆的方程，求出t 的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ， 则圆的方程为222(+)x yr r +=，∈拱顶离水面3米，水面宽12米，∈圆过点(6,3)-，∈2236(3+)r r +-=，∈152r =， ∈圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∈t =± ∈当水面下降1米后，水面宽度为 故选：C ．8．C 【解析】 【分析】根据已知结合椭圆对称性有AFBF '为平行四边形且60FAF '∠=︒，由余弦定理可得22()3AF AF FF AF AF '''+-=⋅，应用基本不等式有221()4AF AF FF ''+≤，即可求椭圆离心率的范围. 【详解】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性知：四边形AFBF '为平行四边形，且60FAF '∠=︒， 在∈AFF '中，22222cos ()3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''''=+-⋅∠=+-⋅， ∈222()33()2AF AF AF AF FF AF AF '+'''+-=⋅≤，可得221()4AF AF FF ''+≤，即224a c ≤，则12c e a =≥， ∈椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：C ．9．ACD 【解析】对A,化简方程令a 的系数为0求解即可. 对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可. 对D,利用横坐标的差求解即可. 【详解】对A,化简得直线()32y a x =-+,故定点为()3,2.故A 正确. 对B, 32y x =-在y 轴上的截距为2-.故B 错误.对C,直线10x +=故倾斜角θ满足[)tan 0180θθ=∈︒，, 即30θ=︒.故C 正确.对D, 因为直线2x =-垂直于x 轴,故()5,3-到2x =-的距离为()527--=.故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了直线的基础知识点,属于基础题. 10．ABD 【解析】 【分析】A 选项，圆心坐标为(),k k ，故在直线y x =上；B 选项，代入(30)，得到一元二次方程，由根的判别式判断；C 选项，代入(22)，得到一元二次方程，由根的判别式进行求解；D 选项，由半径为2求出面积为4. 【详解】A 选项，圆心为(),k k ，一定在直线y x =上，A 正确；B 选项，将(30)，代入得：22650k k -+=，其中40∆=-<，方程无解，即所有圆kC 均不经过点(30)，，B 正确； C 选项，将(22)，代入得：2420k k -+=，其中16880∆=-=>，故经过点(22)，的圆k C 有两个，故C 错误；所有圆的半径为2，面积为4. 故选：ABD 11．ACD 【解析】 【分析】先根据条件求出椭圆方程，容易验证A,B ；对C ，设t x y =-，代入椭圆通过∆即可验证；对D ，考虑直线过定点（1,1），验证点和椭圆的位置关系，进一步即可验证. 【详解】∈椭圆焦点在x 轴上，且过点（3,0），则a =3，又∈222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得：b c =∈椭圆标准方程为：22193x y +=，故A 正确，容易验证B 错误；对C:令t x y x y t =-⇒=+,代入椭圆方程得：224290y ty t ++-=，则()22=41690t t t ∆--≥⇒-≤C 正确；对D:直线过定点（1,1），代入椭圆得：11193+<，则点在椭圆内，故D 正确.故选：ACD. 12．BC 【解析】 【分析】将ADE 沿DE 折起，使A 到A '，证得,,EB ED EA '两两垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得0BD A C '⋅≠，可判定A 错误；过点E 作EM A D '⊥，证得EM ⊥平面ACD'，在直角A ED '中，求得EM =B 正确；求得,BC A D '的坐标，结合向量的夹角公式，可得判定C 正确；求得平面ACD '的一个法向量和向量A B '，结合向量的夹角公式，可判定D 不正确.【详解】将ADE 沿DE 折起，使A 到A '，且平面A DE '⊥平面BCDE ，连接A B '，A C ' 可得,,EB ED EA '两两垂直，以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A中，由(1,0,0),(0,0,1),B D A C '，可得(1,3,0),(2,3,1)BD A C '=-=-，因为2310BD A C '⋅=-+=≠，所以BD 与A C '不垂直，所以A 错误； 对于B 中，过点E 作EM A D '⊥，因为,BE ED BE A E '⊥⊥，且ED A E E '=，所以BE ⊥平面A ED '，又由//BE CD ，所以CD ⊥平面A ED '， 又因为EM ⊂平面A ED '，所以EM CD ⊥，又由EM A D '⊥且A D CD D '=，所以EM ⊥平面ACD '， 即EM 为点E 到平面ACD '的距离，在直角A ED '中，1,2A EED A D ''===，可得EM ==又由//BE平面ACD '，所以BE 到平面ACD 'B 正确； 对于C 中，由(1,3,0),(0,3,1)BC A D '==-，设BC 与A D '所成角为θ，可得3cos 44BC A D BC A Dθ'⋅==='⋅， 即BC 与A D '所成角的余弦值为34，所以C 正确；对于D 中，由(1,0,1),(2,3,1),(0,3,1)A B A C A D '''=-=-=-，设平面ACD '的法向量为(,,)n x y z =，则2030n A C xz n A D y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩''，取1y =，可得0,x z == 即平面ACD '的一个法向量为(0,1,3)n =，设直线A B '与平面ACD '所成角为cos 2AB n A B nαα'⋅==='⋅ 即直线A B '与平面ACD 'D 不正确. 故选：BC.13【解析】 【分析】由a b ⊥可得0a b ⋅=,即可求得2x =,则()6,1,1a b -=-,进而求模即可 【详解】由题,因为a b ⊥,所以8230a b x ⋅=-++=,即2x =, 所以()4,2,2b =-,则()6,1,1a b -=-,所以(26a b -=+【点睛】本题考查已知向量垂直求坐标,考查坐标法向量的模 14．()()22348x y -+-= 【解析】 【分析】根据题意可得，()0,1A ，()6,7C ，可得AC 的直线方程为1y x =+，根据圆A ，圆C 的半径可求圆B 的半径，设()(),10B t t t +>，根据 AB =t,得到圆心，写出方程即可. 【详解】依题意可得，()0,1A ，()6,7C ，于是可得AC 的直线方程为1y x =+．又AC =，圆A ，圆C，所以圆B的半径r =()(),10B t t t +>，则AB =3t =，所以()3,4B ．故圆B 的方程为()()22348x y -+-=．【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆的相切，属于中档题. 15．3yx【解析】 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，利用中点坐标公式求出12x x +，12y y +，再利用点差法求出MN 直线斜率，进而可求MN 直线方程. 【详解】D 在椭圆内，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x +=-，122y y +=，由M ，N 在椭圆上，可得22111051x y +=，22221051x y +=，两式相减可得()()()()121212121050x x x x y y y y -+-++=，∴()()1212121255(4)110102MN x x y y x x y y k +-⨯-==-=-=-+⨯， ∴MN 直线方程为12y x -=+，即3yx ，故答案为：3y x .【点睛】方法点睛：处理中点弦问题常用的两种方法：（1）点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有12x x +，12y y +，1212y y x x --三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；（2）根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 16． 9 4【解析】首先根据题意得到126PF PF +=，再利用基本不等式即可得到12PF PF ⋅的最大值.根据题意得到216PF PF =-，从而得到216PA PF PA PF -=+-，从而得到答案. 【详解】由22195x y +=可得：3a =，2c =， 则()12,0F -，由椭圆定义可知1226PF PF a +==， 22112()92PF PF PF PF +⋅≤=，当12PF PF =时取等号．1221266PF PF a PF PF +==⇒=-. 211(6)6PA PF PA PF PA PF -=--=+-，又11PA PF AF +≥（当且仅当P 在线段1AF 上时取等号），()21min664PA PF AF -=-==.故答案为：9；4. 【点睛】本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从而变成函数和几何问题来进行求解. 17．（1）3120x y +-=；（2）14. 【解析】 【分析】（1）求出直线BC 的斜率，再由垂直关系得出直线BC 边的高线的斜率，最后由点斜式写出所求方程；（2）求出直线AB 的方程，再求出点C 到直线AB 的距离以及AB ，最后由三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）直线BC 的斜率为2014(2)3-=--，直线BC 边的高线的斜率为3-，直线BC 边的高线的方程为：()632y x -=--，即3120x y +-=. （2）直线AB 的方程为：626(2)24y x --=--，即2100x y +-=，点C 到直线AB 的距离d =AB = 故ABC 的面积为1142S AB d =⋅=. 18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2）7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为()2y k x =+，根据直线l 与圆C 2=求解.（2）设直线l 的方程为：()2y k x =+，由AB =()0,4C 到l 的距离d 求解. 【详解】（1）设直线l 的方程为：()2y k x =+，则20k y k -+=， 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心()0,4C 到l 324k =⇒=， 所以l ：()3234604y x x y =+⇒-+=， 又∈2x =-也满足题意，故切线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.（2）设直线l 的方程为：()2y k x =+，则20kx y k -+=，因为AB =所以圆心()0,4C 到l 的距离d == 2870k k -+=，解得 7k =或1k =， ∈()72y x =+或2y x =+，故直线l 的方程为7140x y -+=或20x y -+=.19．（1）22(3)(2)13x y -+-=；（2）221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）求得线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 方程联立，求得圆心C 的坐标，由CA 求得半径，由此求得圆C 的方程.（2）设出M 点坐标，由此求得P 点坐标，将P 点的坐标代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程. 【详解】（1）直线AB 的斜率50116k -==--， 所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1. AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为61722x +==，95522y +==. 因此，直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即10x y --=. 又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为()3,2C ，又半径r CA = 则所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=. （2）设线段PQ 的中点(),M x y ，()00,P x yM 为线段PQ 的中点，则008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩ ()28,2P x y -代入圆C 中得22(283)(22)13x y --+-=，即线段PQ 中点M 的轨迹方程为221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题. 20．（1）证明见解析；（2）存在，AF FB =12. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设()1,,0F m ，用m 表示出平面DEF 的法向量，进而表示出cos θ，由tan θ=果. 【详解】（1）证明:∈四边形ABCD 是正方形， ∈BC ∈DC .∈平面PCD ∈平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ， ∈BC ∈平面PCD . ∈DE ⊂平面PCD ， ∈BC ∈DE .∈AD =PD =DC ，E 为线段PC 的中点， ∈PC ∈DE . 又∈PC ∩CB =C ， ∈DE ∈平面PBC . 又∈DE ⊂平面DEF ，∈平面DEF ∈平面PBC .（2）由（1）知BC ∈平面PCD ， ∈AD ∈BC ， ∈AD ∈平面PCD .在平面PCD 内过点D 作DG ∈DC 交PC 于点G ，∈AD ∈DG ，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∈CD =PD =1，∈PDC =120°， ∈PC∈AD ∈平面PCD ，则A (1，0，0)，D (0，0，0)，C (0，1，0)，P 102⎛- ⎝⎭，，. 又E 为PC 的中点， ∈E 104⎛ ⎝⎭，， ∈DE=104⎛ ⎝⎭，， 假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得tan θF (1，m ，0)(0≤m ≤1)，则DF =(1，m ，0)，设平面EDF 的法向量为1n =(x ，y ，z )，则11·0·0n DF n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，∈0104x my y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩，， 令yz =-1，x， 则1n-1).∈AD ∈平面PCD ，∈平面PCD 的一个法向量2n =(1，0，0)，∈tan θ∈cos θ. ∈cos θ=|cos<1n ，2n∈m =±13. ∈0≤m ≤1，∈m =13， ∈AF FB =12. 21．（1）2214x y +=；（2）max PQ = 【解析】（1）由题意得2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，求出2221b a c =-=，进而可求出椭圆的方程；（2）设P ，Q 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为y x t =+，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，再利用根与系数的关系和弦长公式可求得结果【详解】解：（1）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>．由题意得2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）设P ，Q 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244x y y x t ⎧+=⎨=+⎩消去y ，得()2258410x tx t ++-=， 则1285x x t +=-，()212415t x x -=， 0∆>，得205t ≤<，所以12PQ x =-==因为205t ≤<，所以当0=t 时，max PQ =22．（1）2212x y +=；（2，:1l x =. 【解析】（1）由题意知||||||2CE EA CA +==，根据椭圆定义知点E 的轨迹是以C 、A 为焦点的椭圆，求出,,a b c ，即可求出轨迹方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，联立方程得()222210m y my ++-=，由韦达定理知12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，表示出()121||2CMN S CA y y ∆=-. 【详解】（1）由题意知：||||EP EA =，||||CE EP +=，||||||2CE EA CA ∴+==，由椭圆定义知点E 的轨迹是以C 、A 为焦点的椭圆，可知2a =，22c =，即a =1c =，则2221b a c =-=所以点E 的轨迹方程为2212x y +=； （2）存在；设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设10y >，20y <由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=， 则()()()2222+42=810m m m ∆=++> 由韦达定理知12222m y y m -+=+，12212y y m -=+ ()12112||2CMN S CA y y ∆=≤∴==-=0m =时CMN △此时直线l 的方程为1x =【点睛】方法点睛：本题考查利用定义求椭圆的标准方程及典型的最值问题，求椭圆的方程常用方法：（1）利用定义：椭圆的定义定形状时，一定要注意常数122a F F >这一条件．（2）利用待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为22100()mx ny m n m n >>≠＋＝，，的形式．考查学生的分析能力与运算求解能力，属于中档题.。

2021-2022学年辽宁省新民市第一高级中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年辽宁省新民市第一高级中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年辽宁省新民市第一高级中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则()12AB BD BC ++等于（ ） A ．AG B ．CGC ．BCD ．12BC【答案】A【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则即可得出． 【详解】解：如图：由平行四边形法则可得：1()2BG BD BC =+，∴1()2AB BD BC AB BG AG ++=+=．故选：A ．2．已知直线l 经过点(2,5)P -，且斜率为34-，则直线l 的方程为A ．34140x y +-=B ．34140x y -+=C ．43140x y +-=D ．43140x y -+=【答案】A【详解】直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，则()3524y x -=-+ 即34140x y +-=故选A3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，点E 是11A C 的中点，点F 在AE 上，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．11122AA AB AD ++ B ．1111222AA AB AD ++ C ．1111266AA AB AD ++D ．1111366AA AB AD ++【答案】D【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解. 【详解】易知13AF AE =，11AE AA AE =+，11112A E AC =，111111AC AB A D =+，11A B AB =，11A D AD =，所以11111111136366AF AA AC AA AB AD =+=++. 故选：D4．向量a ＝(1，2，x )，b ＝(2，y ，－1)，若a ＝5，且a b ⊥，则x ＋y 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．－1D ．1【答案】C【解析】利用向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，列方程组即可求解. 【详解】∵向量a ＝(1，2，x )，b ＝(2，y ，－1)，a ＝5，且a b ⊥， ∴222125x ++=，a b ⋅＝2＋2y －x ＝0， 解得x ＝0，y ＝－1，∴x ＋y ＝－1. 故选：C【点睛】本题考查了向量模的坐标表示、向量数量积的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都为a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A ．2BA AC ⋅B ．2AD BD ⋅C ．2FG CA ⋅D ．2EF CB ⋅【答案】B【分析】由平面向量数量积的定义，逐一检验即可得解， 【详解】222||||cos120BA AC BA AC a ⋅=︒=-，222||||cos60AD BD AD BD a ⋅=︒=，()222cos180212aFG CA FG CA a a =⋅=⋅=⨯-⨯⨯-，22cos1202a EF CB BD CB a a ⋅=⋅=⨯⨯=-， 故选：B6．在长方体1111ABCDA B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB所成角的余弦值为A ．15BCD 【答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为1111111cos ,2ADDB AD DB AD DB ⋅-===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7．已知()1,0,0A ，(0,1,1)B -，O 是坐标原点，OA OB λ+与OB 的夹角为120，则λ的值为（ ）A ．B C ． D ．【答案】C【分析】首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角公式求出结果． 【详解】由题意，(1,0,0)(0,1,1)(1,,)O OA B λλλλ+=+-=- 所以||1OA OB λ+=+，又||2OB =，()2OB B A O O λλ+⋅=， 所以1cos12022===-，所以0λ<解得λ=故选：C.8．已知点A (-1，3)，B (3，1)，点C 在坐标轴上，∠ACB =90°，则满足条件的点C 的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】若点C 在x 轴上，设C (x ，0)，根据勾股定理求得x =0或x =2. 若点C 在y 轴上，设C (0，y )，根据勾股定理求得y =0或y =4.由此得解.【详解】若点C 在x 轴上，设C (x ，0)，由∠ACB =90°，得|AB |2=|AC |2+|BC |2， 即[3-(-1)]2+(1-3)2=(x +1)2+32+(x -3)2+12，解得x =0或x =2. 若点C 在y 轴上，设C (0，y )，同理可求得y =0或y =4， 综上，满足条件的点C 有3个. 故选：C.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了两点间的距离公式，考查了勾股定理，属于基础题.二、多选题9．(多选题)若向量a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则下列结论正确的是（ ） A ．cos 〈a ，b 〉＝－25B ．a ⊥bC ．a ∥bD ．|a |＝|b |【答案】AD【分析】利用空间向量模的坐标表示以及向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】∵向量a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，∴|a ||b |a ·b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2， cos 〈a ，b 〉＝2255a b a b⋅-==-. 由上知A 正确，B 不正确，D 正确．C 显然也不正确． 故选：AD10．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A ．1n ∥2n ⇔α∥β B ．1n ⊥2n ⇔α⊥β C ．v ∥1n ⇔l ∥α D ．v ⊥1n ⇔l ∥α【答案】AB【解析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可.【详解】解：v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则1n ∥2n ⇔α∥β，1n ⊥2n ⇔α⊥β，v ∥1n ⇔l ⊥α，v ⊥1n ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确. 故选：AB.11．如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且长度均为1，E 为BC 中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．3AE =B ．EAD ∠为AE 与平面ABD 所成的角C ．DE 为点D 到平面ABC 的距离 D ．AED ∠为二面角A BC D --的平面角【答案】ABC【分析】利用空间中点、线、面的位置关系，结合线、面垂直、平行的性质和判定依次对四个选项进行推理论证即可.【详解】在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且长度均为1，E 为BC 中点，AD ∴⊥面BCD ，CD ⊥面ABD ，BD ⊥面ACD .对A ，∴在Rt ADE △中，由BC DE BD DC ⋅=⋅得：2BD DC DE BC ⋅==， 2222236122AE AD DE ⎛⎫∴=++= ⎪ ⎪⎝⎭A 选项错误； 对B ，CD ⊥面ABD ，ED ∴与面ABD 不垂直（过同一点D 不可能有两条直线同时与面ABD 垂直），AD ∴不是AE 在面ABD 内的射影，故EAD ∠不是AE 与平面ABD 所成的角，因此B 选项不正确；对C ，若DE 为点D 到平面ABC 的距离，则DE ⊥平面ABC ，则在ADE 中 ，90DEA ∠=︒与90EDA ∠=︒矛盾，因此C 选项不正确；对D ，E 为BC 中点，由题意知DE BC ⊥，AE BC ⊥，根据二面角的平面角的定义知，AED ∠为二面角A BC D --的平面角，故D 选项正确.故选：ABC.12．（多选）对于下列选项中正确的是（ ） A ．若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°B ．若k 是直线的斜率，则k ∈RC ．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC【分析】根据倾斜角和斜率的定义分析即可得解. 【详解】由倾斜角的范围[0︒，180)︒可得A 正确； 由正切函数的值域可得斜率为一切实数，故B 正确；任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C 正确；D 错误． 故选：ABC ．三、填空题13．已知直线l 经过()1,2A ，()3,5B ，则直线l 的一个方向向量为______. 【答案】()2,3（或()2,3的共线向量均可） 【分析】由直线方向向量的定义求解即可. 【详解】解：因为直线l 经过()1,2A ，()3,5B 所以直线l 的一个方向向量为(2,3)AB =. 故答案为：()2,3（或()2,3的共线向量均可）14．设12,e e 是空间两个不共线的向量，已知1212,54AB e ke BC e e =+=+，122DC e e =--，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝___． 【答案】1【分析】由AB BD λ=列方程组，由此求得k 的值. 【详解】∵A ，B ，D 三点共线，∴向量AB 和BD 共线，故存在实数λ，使AB BD λ=，1266BD BC CD BC DC e e =+=-=+，所以121266e ke e e λλ+=+故可得 616k λλ=⎧⎨=⎩，解得1k =.故答案为：115．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【分析】直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥kPB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤kP A ，然后根据已知条件求出直线PB 与P A 的斜率即可 【详解】解：∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥kPB ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤kP A ． ∵14121,32(3)23PA PB k k ----==-==---，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)四、双空题16．已知()2,1,2a =-，()4,5,1b =-，设(),1,c x y =，若()//a b c -，则x =________，y = ________. 【答案】13 12--0.5 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.【详解】()263=，，a b ---，(),1,c x y = 若()//a b c -，则存在实数λ，使得-=a b λc ，所以62=163312x x y y λλλλ⎧⎪=--⎧⎪⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=-⎪⎩，故xy 11,32， 故答案为：13，12-五、解答题17．求适合下列条件的直线方程：(1)已知()3,0A ，()0,2B ，()2,6C ，求△ABC 的BC 边上的中线所在的直线方程； (2)直线l 过点()2,2，且与x 轴和直线y x =围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 【答案】(1)260x y +-= (2)2x =或220x y【分析】（1）根据中点坐标以及斜率公式，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论l 的方程，得面积表达式，即可求解斜率. 【详解】(1)设BC 中点为D ,则由中点坐标公式可得(1,4)D , 故40213AD k -==--, 所以直线AD 方程为：()23y x =--，即可260x y +-=, (2)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为=2x ，联立=2x 与y x =得交点为(2,2),此时面积为122=22⨯⨯，符合要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()22=y k x --，即22=+y kx k -. 令=0y 得，22=k x k-. 由三角形的面积为2，得1222=22k k-⨯⨯. 解得12k =，可得直线l 的方程为)1222(=y x --，即220+=x y -.综上可知，直线l 的方程为=2x 或220+=x y -.18．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，求1AC 的长．23【分析】设AB a =，AD b =，1AA c =，则{},,a b c 构成空间的一个基底，把1AC 用基底表示出来取其模长即可.【详解】设AB a =，AD b =，1AA c =，这三个向量不共面，{},,a b c 构成空间的一个基底，则111AC AB BC CC AB AD AA =++=++.又1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒. ()2111222111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA ∴=++=++=+++⋅+⋅+⋅2221112cos902cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅︒+⋅︒+⋅︒222123212cos90213cos60223cos60=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒1493623=++++=.故答案为：2319．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，求1BC 与平面11BB D D所成角的正弦值.【答案】105. 【分析】利用长方体建立空间直角坐标系，按照空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：由题可知，如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1) 设BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的大小为θ, 则1(2,0,1)=-BC连接AC ，则(2,2,0)=-AC ，又1(2,2,0),(0,0,1)DB DD == 所以4400AC DB ⋅=-++=，10000AC DD ⋅=++=则1,AC BD AC DD ⊥⊥，又11,,BD DD D BD DD ⋂=⊂平面11BB D D所以AC ⊥平面11BB D D ,所以平面11BB D D 的一个法向量为(2,2,0)=-AC . 则111410sin cos ,5225AC BC AC BC AC BC θ⋅=<>===⨯⋅， 所以1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为105. 20．四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，//,1120AB CD AD CD BAD ∠===，，90ACB ∠=.(1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)若二面角D -PC -A 5A 到平面PBC 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 3【分析】（1）根据给定条件证明BC PA ⊥，再利用线面垂直的判定推理作答. （2）在平面ABCD 内作Ax AB ⊥，以点A 为原点建立空间直角坐标系，由已知求出点P 的坐标，再借助空间向量求距离作答.【详解】(1)四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PA BC ⊥， 而90ACB ∠=，即AC BC ⊥，又PA AC A =，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .(2)在平面ABCD 内作Ax AB ⊥，由P A ⊥底面ABCD 可得,,Ax AB AP 两两垂直， 以射线,,Ax AB AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因//AB CD ，1120AD CD BAD ==∠=，，则ADC 60∠=，即ADC 是正三角形， 3131(,0),(,0)22D C -，而AC BC ⊥，则(0,2,0)B ，设点(0,0,)P t ， 31(0,1,0),(,,),(0,0,)22DC PC t AP t ==-=，令平面DPC 的一个法向量111(,,)n x y z =， 则1111031022n DC y n PC x y tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令13z (2,0,3)n t =，由（1）知平面PAC 的法向量33(,0)22BC =-， 因二面角D -PC -A 5，则222||35|cos ,|||||33()()4322n BC tn BC n BC t ⋅〈〉==+-⋅+解得3t =，则3)P ，31(,3)22PC =，令平面PBC 的一个法向量222(,,)m x y z =，则222223322313022m BC x y m PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令21y =，得(3,1,3m =，又(0,2,0)AB =，所以点A 到平面PBC 的距离222||3||2(3)1()3m AB d m ⋅===++21．如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，cos DP <，AE >3（1）建立适当的空间坐标系，求出点E 的坐标； （2）在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．【答案】（1）点E 坐标是（1，1，1）（2）点F 的坐标是（1，0，0） 【详解】试题分析：(1)由题意，分别以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，结合空间中点的坐标，设P （0，0，2m ），则E （1，1，m ），结合平面向量夹角公式得到关于m 的方程，解方程可得点E 坐标是（1，1，1）；(2)由题意，设F （x ，0，z ），结合平面向量的法向量和直线的方向向量得到关于坐标的方程组，求解方程组可得即点F 是AD 的中点． 试题解析：（1）分别以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，如图，则 A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），设P （0，0，2m ），则E （1，1，m ）， ∴ AE =（-1，1，m ），DP ＝（0，0，2m ） ∴ cos DP <，2231112AE m m m>===++⋅解得． ∴ 点E 坐标是（1，1，1）；（2）∵F ∈平面P AD ， ∴ 可设F （x ，0，z ）EF ＝（x -1，-1，z -1）， 又EF ⊥平面PCB ， ∴ EF CB ⊥⇒ (1x -，-1，1)z - (⋅2，0，0)=0，解得, 1x =；又∵EF PC ⊥ ∴ (1x -，-1，1)(z -⋅0，2，-2)00z =⇒= ∴ 点F 的坐标是（1，0，0），即点F 是AD 的中点．22．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE 得到如图2所示的几何体.（1）求证：AB ⊥平面ADC ；（2）若1AD =，二面角C AB D --6B AD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）先由已知条件得到DC ⊥平面ABD ，所以有DC AB ⊥，又因为AD AB ⊥即可证明AB ⊥平面ADC ；（2）由（1）可知二面角C AB D --的平面角为CAD ∠，且DC AD ⊥，所以有6CDAD，从而求出CD ，因为ABDDCB ，所以由AB CDAD BD=可以解出AB 的值，然后建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出面ABD 和面ADE 的法向量，则两平面法向量的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值.【详解】（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =， 又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ， 因为AB平面ABD ，所以DC AB ⊥，又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D ⋂=， 所以AB ⊥平面ADC ；（2）由（1）可知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠， 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC AD ⊥， 依题意tan 6CAD ∠=，因为1AD =，所以6CD =，设AB x =()0x >，则21BD x =+， 由题意知ABDDCB ，所以AB CD AD BD =，即2611xx =+，解得2x =，故2AB =，3BD =，223BC DB CD =+=，如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()3,0,0B，()0,6,0C ，36,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，36,0,33A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 所以36,,022DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，36,033DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）知平面ABD 的法向量()0,1,0n =， 设平面ADE 的法向量(),,m x y z =， 由00m DE m DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得3602236033x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令6x =，得3y =- ，3z =-，所以()6,3,3m =- ，所以31cos ,2123n m n m n m⋅-===-⨯，由图知二面角B AD E --的平面角为锐角， 所以二面角B AD E --的余弦值为12.【点睛】本题主要考查了证明线面垂直，考查了利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题.。

吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题及答案

吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题及答案
对于B，向量的模有大小，向量不能比较大小，故B选项错误；
对于C， 只能说明模相等，无法说明方向的关系，故C选项错误；
对于D，向量数量积没有结合律，故D选项错误.
故选：A
4．C
【分析】根据对立事件的概念逐个分析可得答案.
【详解】A选项：还可能取到黑桃和梅花，属于互斥事件，但不对立；
B选项：还可能摸到1个白球、1个红球，属于互斥事件，但不对立；
A．10%B．8%C．5%D．4%
7．吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式.开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高.从河里打捞上来的 条开河鱼的重量（单位：千克）分别为 、 、 、 、 、 .则这组数据的中位数是（）
A． B． C． D．
8．在 中，若 ，则 的形状一定是（）
对于选项C,梯形中，有一组对边平行,可以确定一个平面,故梯形一定是平面图形，C错误;
对于选项D,若平面 和平面 平行,则其没有交线,故D错误;
故选:B.
3．A
【分析】根据向量的概念，数量积的运算律依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，向量 且 ，故向量 与 共线，且均为非零向量，故向量 与 的方向相同或相反，故A选项正确；
B．不在同一条直线上的三点确定一个平面
C．梯形不一定是平面图形
D．平面 和平面 一定有交线
3．下列关于向量的说法中正确的是（）
A．向量 且 ，则向量 与 的方向相同或相反
B．若 ，则
C．若 ，则向量 与 的长度相等且方向相同或相反
D．对任意的向量 满足
4．下列各组事件中，是对立事件的是（）
A．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到红心和方片
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2021年高二数学上学期第十四次周练试题新人教版
1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( )
A．4n－7 B．－4n－7
C．4n＋1 D．－4n＋1
2．已知等差数列{an}，a1＝4，公差d＝2，若an＝4 012，则n等于( ) A．2 004 B．2 006
C．2 005 D．2 003
3．已知等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，2a，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于( )
A．1 B．3
C．5 D．6
5．已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有( ) A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0
二、填空题
6．已知等差数列14，16，18，…，那么数列的第1 001项为________．
7．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________．8．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y－3＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________．
三、解答题
9．已知数列{an}的通项公式是an＝7n＋2，求证：数列{lg an}是等差数列．log2（an－1）(n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9，求数列10．已知数列{}
{an}的通项公式．
11．在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2){an}中有多少项属于区间[－18，18]?
则bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an
＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7(常数)．
所以数列{bn}是等差数列，
即数列{lg an}是等差数列．
10. 设等差数列{}log2（an －1）的公差为d ，则
log2(a3－1)－log2(a1－1)＝2d.代入a1＝3，a3＝9得， log28－log22＝2d ，∴d ＝1.
∴log2(an －1)＝log2(a1－1)＋(n －1)×1＝n. ∴an －1＝2n ，∴an ＝2n ＋1.
11. (1)由题意，得an ＝a1＋(n －1)d.
∴⎩⎨⎧70＝a1＋（4－1）d ，－100＝a1＋（21－1）d ，
得a1＝100，d ＝－10. ∴通项公式an ＝100－10(n －1)＝－10n ＋110.
Sdy27179 6A2B 樫21905 5591 喑=20481 5001 倁39681 9B01 鬁H32175 7DAF 綯Oi39234 9942 饂37002 908A 邊。

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