高考数学常考知识点之空间向量
高考数学中的向量空间及其性质分析
高考数学中的向量空间及其性质分析在高考数学中，向量空间是一个重要的概念，涵盖了向量的范围和性质，是代数学研究的基础。
本文将介绍向量空间的概念、性质、基础定理以及相关的例子和应用。
一、向量空间的概念向量空间（Vector space）指的是一个包含多个向量的空间，它们满足以下性质：1. 向量的数量是有限个或无限个。
2. 向量定义了一个数域，数域可以是实数域R，复数域C，有理数域Q等。
3. 向量有进一步的代数、几何、拓扑和泛函分析等特征。
4. 向量空间必须包含零向量（也就是全零的向量）。
5. 向量空间必须包含加法：对于任意两个线性向量（即向量的加法、数乘等操作结果还是一个向量），在向量空间内有一个数域运算，满足交换律、结合律、存在加法逆元素等条件。
6. 向量空间必须包含数乘：对于任意线性向量和数域中的一个数，存在一个数乘运算，满足分配律、结合律等条件。
这些性质被称为向量空间的八条基本公理，其中1-4条是定义性质，5-8条是增量性质。
然后我们将详细探讨它们的含义和应用。
二、向量空间的性质1. 向量的数量和定义的数域可以是各种类型的，只需要满足八条基本公理即可。
2. 向量空间是一个集合，因此它也可以定义子空间，即由其中的一组线性无关的向量组成的空间。
3. 向量空间的维数是指其向量组成的最小集合，我们可以通过线性变换的定义来计算向量空间的维数。
4. 向量空间的元素是线性向量，它们的位置可以描述其中一个向量相对于原点的位置，以及相对于其它向量的位置关系。
5. 向量空间中的向量可以表示为各种类型的坐标，这种坐标和几何坐标非常相似，因为它们都是由一组数值表示向量。
6. 向量空间定义的加法和数乘可以轻松地进行多种操作，例如向量之间的点乘、叉乘、向量积等等。
7. 向量空间是线性代数学中一个很重要的概念，在计算机图像、统计学、量子力学等领域都有广泛的应用。
三、向量空间的基础定理1. 向量空间的基底定理：向量空间的任何一个基底都必须包含同样数量的向量。
高考向量的基本知识点总结
高考向量的基本知识点总结一、引言向量是高中数学中非常重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。
理解和掌握向量的基本概念和运算规则对于学生在高考中取得好成绩至关重要。
本文将从向量的定义、向量的表示、向量的运算以及向量的应用等方面进行综述。
二、向量的定义向量是有大小和方向的量。
向量通常用一个有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向则表示向量的方向。
在平面上，向量可以用坐标表示，例如一个二维向量可以表示为 (x, y)。
在空间中，向量可以用坐标表示为 (x, y, z)。
三、向量的表示1. 平面向量的表示平面向量的表示常用坐标表示法，例如 (a, b) 表示一个平面向量，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
2. 空间向量的表示空间向量的表示同样使用坐标表示，例如 (a, b, c) 表示一个空间向量，其中 a、b 和 c 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。
四、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意向量 a、b 和 c，有 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以用坐标方式进行计算，即将对应位置的坐标相加。
2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘法运算。
即对于任意向量 a 和实数 k，有 k a = a k。
向量的数乘可以用坐标方式进行计算，即将向量的每个坐标乘以实数 k。
3. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法和数乘运算，即 a - b = a + (-b)，其中 -b 表示向量 b 的反向向量。
五、向量的应用向量广泛应用于物理学、几何学等领域。
以下是向量在几何学中的常见应用：1. 向量的共线和共面若两个向量共线，则它们的方向相同或相反；若三个向量共面，则它们在同一平面上。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
高考数学中的空间向量的几何意义
高考数学中的空间向量的几何意义数学是一门抽象的学科，但是它具有严密的逻辑性和实际应用性。
在高考数学中，空间向量是一个非常重要的概念，它不仅具有数学上的意义，还有很多实际生活中的应用。
本文将从几何意义的角度探讨空间向量在高考数学中的应用。
1. 空间向量的定义及表示空间向量是指有大小和方向的量，用于表示从一个点到另一个点的位矢。
在直角坐标系中，空间向量可以表示为一个三元组$(x, y, z)$，其中 $x$、$y$、$z$ 分别表示向量在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
因此，一个空间向量可以表示为：$$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$其中 $\vec{i}$、$\vec{j}$ 和 $\vec{k}$ 分别表示 x 轴、y 轴和 z 轴上的单位向量。
空间向量表示为有向线段时，通常用一个带箭头的线段来表示，箭头所指方向为向量的方向，线段的长度为向量的大小。
2. 空间向量的加、减、数量积与向量积(1) 向量的加减两个向量的加和是将它们的对应分量相加得到的新向量。
例如，对于向量 $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ 和向量 $\vec{b}=(b_1, b_2,b_3)$，它们的和 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ 可以表示为：$$\vec{c}=(a_1+b_1)\vec{i}+(a_2+b_2)\vec{j}+(a_3+b_3)\vec{k} $$向量的减法是加上一个相反的向量。
如果 $\vec{b}=(b_1, b_2,b_3)$ 是向量 $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ 的相反向量，则 $\vec{a}-\vec{b}$ 表示向量的减法。
(2) 数量积两个向量的数量积是一个标量，它等于两个向量的模长的乘积再乘以两个向量的夹角的余弦值。
如果 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，则它们的数量积表示为：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$数量积还可以用于判断两个向量是否垂直或平行。
空间向量在高考数学中的应用
空间向量在高考数学中的应用高考是每个中国学生的命运之战，数学考试是其中最为重要的一项。
而在数学考试中，空间向量是一个重要的知识点，与许多数学问题都有着密切的关联。
在本文中，我们将探讨空间向量在高考数学中的应用。
一、空间向量的定义和性质在开始探讨空间向量的应用之前，我们先来了解一下空间向量的定义和性质。
空间向量是指由起点和终点所组成的有向线段。
空间向量可以用一个三元组来表示，三元组的三个分量分别表示空间向量在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的投影。
如图1所示，空间向量$\vec{AB}$可以表示为$(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$。
空间向量有许多性质，其中最基本的性质是向量的共线性。
若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线，则存在实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$。
此外，向量的模长、加法、减法、数量积和向量积都是空间向量的常见性质。
二、平面和空间的向量运算在高考数学中，我们经常会遇到平面和空间的向量运算。
这些运算包括向量的加、减、数乘和数量积。
向量的加、减和数乘都比较简单，其中向量的加和数乘遵循矢量运算的规则；向量的减就是向量加上它的相反数。
平面和空间向量的加、减和数乘计算方法都基本相同，只是空间向量的计算需要注意向量的方向。
向量的数量积也是平面和空间向量中的常见运算，它定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值。
以平面向量为例，向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的数量积可以表示为$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为两个向量的夹角。
当两个向量共线时，它们的数量积为一个实数，可以用它们的模长和夹角来表示。
当两个向量不共线时，它们的数量积为零，两个向量垂直。
三、向量在平面几何中的应用向量是平面几何中的有力工具，它可以用来求解各种几何问题，比如求面积、角度、切线和垂线等。
高考数学中的空间向量解析技巧
高考数学中的空间向量解析技巧高考数学是每个学生都要面对的考试之一，而在数学中，空间向量解析技巧是一个极为重要的知识点。
空间向量与平面向量的计算和性质有着很大的不同之处，空间解析几何是高中数学的一个重要部分。
在高考数学中，空间向量解析技巧的掌握直接关系到考生是否能在限定时间内完成高考数学题目，因此在备考时，空间向量解析技巧也是很必要的。
一、空间向量的概念空间向量是指空间中具有大小、方向和作用点（或起点）的量。
在空间中，空间向量可以用一个有向线段表示，这个有向线段的起点在空间中的任意一点，终点在该点的任意方向上。
二、空间向量的加、减、数乘与数量积空间向量和平面向量的加减法原理是一样的，只是需要注意方向和长度，即可以将空间向量看做是平面向量的推广，因此空间向量的加减法也需要考虑方向和长度。
而数乘就是一个向量与一个标量的积，在空间向量中也是这样，标量代表的是一个数，即乘以一个数来改变向量的长度和方向。
而空间向量的数量积是指将两个向量对应位置的数相乘，然后将所得的积相加，这就是点积公式，点积的值可以表示两个向量之间的关系。
三、空间向量的叉积在空间向量的计算中，叉积是一个非常重要的概念，它也是高考中最容易出现的空间向量问题之一。
空间向量的叉积是指将两个向量的值按照特定的顺序叉乘，得到叉积向量。
叉积向量垂直于这两个向量组成的平面，并且满足右手定则，也就是将右手伸出，让拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，那么中指的方向就是叉积向量的方向。
叉积向量的大小可以通过公式计算，它的值等于第一个向量和第二个向量构成的平行四边形的面积。
四、利用空间向量解析技巧解题的具体方法在高考数学考试中，空间解析几何的应用范围很广，而空间向量解析技巧也是很重要的一部分。
当学生在面对空间向量解析的题目时，应该按照下面的步骤来解决问题：1、首先，理解题目的要求和根据题目所给的条件，画出相关的图形。
2、根据图形和条件，确定需要用到的向量和叉积，并且确定向量的方向和大小。
高考空间向量知识点总结
高考空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要概念之一，也是高考中常考的知识点。
掌握好空间向量的相关知识对于解题和理解几何概念都非常重要。
本文将为您总结高考空间向量的相关知识点，帮助您更好地备考高考。
一、空间向量的定义和表示方法空间向量是有大小和方向的量，通常用有序三元组表示。
设有两点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)，则向量AB可以表示为：AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)二、空间向量的模、方向余弦和共线性1. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，计算方式为：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]2. 向量的方向余弦：设向量AB与坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则方向余弦分别为：cosα = (x₂-x₁) / |AB|cosβ = (y₂-y₁) / |AB|cosγ = (z₂-z₁) / |AB|3. 向量的共线性：若两个向量平行或反向平行，则称其共线。
当两个向量的坐标比例相等时，它们共线。
三、空间向量的运算1. 向量的加法：设有两个向量AB和CD，其和可以表示为：AB + CD = (x₂-x₁+x₄-x₃, y₂-y₁+y₄-y₃, z₂-z₁+z₄-z₃)2. 向量的数量乘法：设有一个向量AB和实数k，其数量乘积为：kAB = (kx, ky, kz)，其中x, y, z分别为向量AB的坐标3. 向量的点乘和叉乘：(1) 点乘：设有两个向量AB和CD，其点乘结果为：AB · CD = |AB||CD|cosθ，其中θ为两个向量夹角的余弦值(2) 叉乘：设有两个向量AB和CD，其叉乘结果为：AB × CD = (i, j, k)，其中i表示x轴分量，j表示y轴分量，k表示z 轴分量四、空间向量的应用1. 向量在平面内的投影：设有一个向量AB和平面α，向量AB在平面α上的投影为向量AC，计算公式为：AC = |AB|cosθ，其中θ为向量AB与平面α的夹角的余弦值2. 平面的方程：设平面α过点A(x₁,y₁,z₁)且法向量为n(a,b,c)，则平面α的方程为：ax + by + cz = d，其中d = ax₁ + by₁ + cz₁3. 空间向量的夹角：设有两个向量AB和CD，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (AB · CD) / (|AB||CD|)五、空间向量的坐标表示和平行四边形法则1. 坐标表示：空间中的向量可以通过坐标表示，即将向量的尾点移到坐标原点，将向量的起点坐标作为表示该向量的坐标。
高考空间向量知识点
高考空间向量知识点空间向量是高考数学中的重要内容之一。
本文将围绕空间向量的定义、向量的共线性与共面性、向量的线性运算以及向量的数量积等知识点展开详细论述。
一、空间向量的定义空间向量是具有大小和方向的有向线段，可以表示为A→。
空间中的向量通常用坐标表示，比如向量A可以表示为(A₀, A₁, A₂)，其中A₀、A₁、A₂分别表示向量A在x、y、z轴上的投影。
二、向量的共线性与共面性1. 共线性空间中的三个向量A→、B→、C→共线的条件是存在实数k₁、k₂，使得A→=k₁B→+k₂C→成立。
此时，向量A、B、C共线。
2. 共面性空间中的四个向量A→、B→、C→、D→共面的条件是存在实数k₁、k₂、k₃，使得A→=k₁B→+k₂C→+k₃D→成立。
此时，向量A、B、C、D共面。
三、向量的线性运算1. 向量的加法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→+B→=(A₀+B₀, A₁+B₁, A₂+B₂)。
2. 向量的减法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→-B→=(A₀-B₀, A₁-B₁, A₂-B₂)。
3. 向量的数乘设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和实数k，则kA→=(kA₀, kA₁, kA₂)。
四、向量的数量积1. 定义向量A→(A₀, A₁, A₂)和向量B→(B₀, B₁, B₂)的数量积记为A→·B→=A₀B₀+A₁B₁+A₂B₂。
数量积是一种标量。
2. 性质(1) A→·B→=B→·A→；即数量积的交换律成立。
(2) A→·(B→+C→)=A→·B→+A→·C→；即数量积的分配律成立。
(3) k(A→·B→)=(kA→)·B→=A→·(kB→)；即数量积的数乘性质成立。
五、空间向量的应用1. 三角关系的解题空间向量可以用于解决三角关系的几何问题。
高考数学复习考点题型与知识专题讲解1---空间向量的概念和运算
二、填空题
12．（2020·涟水县第一中学高二月考） A, B,C, D 是空间四点，有以下条件：
①
uuur OD
=
uuur OA
+
1
uuur OB
+
1
uuur OC
；
2
3
②
uuur OD
=
1
uuur OA
+
1
uuur OB
+
1
uuur OC
；
234
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur ③ OD = OA + OB+ OC；
7 Hale Waihona Puke ．62 B．3
5 C．
6
D．1
3．（2020·四川树德中学高二期中（理））如图所示，平行六面体 ABCD − A1B1C1D1 中，
以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60° .求 BD1 与 AC 夹角的余弦值是
（）
7 / 10
3 A．
3
6 B．
6
21 C．
7
21
D．
3
4．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末（理））已知 O 为空间任意一点，若
uuur uuur uuuur
uuur
uuur
uuuur
uuuur
中,向量 AB, AD, AA1 两两的夹角均为 60°,且| AB |=1,| AD |=2,| AA1 |=3,则| AC1 |
等于( )
A．5
B．6
C．4 [玩转练习]
D．8
一、单选题
1．（2020·江西高二期中（理））在下列命题中：
空间向量高考知识点总结
空间向量高考知识点总结一、空间向量的定义与性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指有大小和方向的线段，可以用有向线段来表示，通常用小写字母表示。
2. 空间向量的性质：空间中的向量满足向量的相等、相反、共线和共面的性质。
3. 空间向量的运算：空间向量的加法、数量乘法、内积和叉乘等运算。
二、空间向量的坐标表示1. 空间向量的坐标表示：空间中的向量可以用坐标表示，一般用三元组表示。
2. 空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算包括向量相加、数量乘法和点积等运算。
三、空间向量的数量积1. 空间向量的数量积定义：两个向量的数量积又称内积，记作a·b，表示为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。
2. 空间向量的数量积的性质：数量积具有对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。
3. 空间向量的数量积的几何意义：数量积可以用来计算向量的夹角、向量的投影以及向量的长度等。
4. 空间向量的数量积的应用：数量积可以用来解决空间中的几何问题，如判断两个向量的方向、判断点的位置、计算三角形的面积等。
四、空间向量的叉积1. 空间向量的叉积定义：两个向量的叉积，记作a×b，是另一个向量c，其大小等于以a、b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。
2. 空间向量的叉积的性质：叉积具有反对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。
3. 空间向量的叉积的几何意义：叉积可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的方向以及判断向量的共线性等。
4. 空间向量的叉积的应用：叉积可以用来计算平行四边形和平行六面体的体积、判断三角形的面积、判断四边形的面积等。
五、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：空间向量可以用来解决空间中的共线、共面、投影、距离、面积、体积等几何问题。
2. 空间向量在物理中的应用：空间向量可以用来描述力的合成、速度的方向、加速度的方向、质心的位置等物理问题。
3. 空间向量在工程中的应用：空间向量可以用来解决工程中的坐标系、平面构图、体积计算、力矩计算等问题。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解55---空间向量及其应用
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第55讲空间向量及其应用考向预测核心素养本讲主要考查空间向量的线性运算、共面及共线向量定理的应用、数量积的应用等，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下．数学运算、数学抽象一、知识梳理1．空间向量的概念(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意0 0单位向量 1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB→的相反向量：BA→相等向量相同相等a＝b2.共线向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合平行于同一个平面的向量空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c．4．两个向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝π2，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.[提醒] 向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．5．空间向量的平行、垂直及模、夹角(b≠0)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·acos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23． 常用结论1．在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点．3．若MN →＝xAB →＋yAC →且M 点或N 点不在平面ABC 内，可得MN ∥平面ABC . 二、教材衍化1．(人A 选择性必修第一册P 15习题1.2T 2改编)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，则可以与m ，n 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．a B.b C.cD.2a解析：选C.由题意知，a ，b ，c 不共面，对于选项A ，a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝12m ＋12n ， 故a ，m ，n 共面，排除A ； 对于选项B ，b ＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝12m －12n ，故b ，m ，n 共面，排除B ； 对于选项D ，由选项A 得，2a ＝m ＋n ，故2a ，m ，n 共面，排除D.选C.2．(人A 选择性必修第一册P 9习题1.1T 4改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．解析：|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以|EF →|＝2，所以EF 的长为 2.答案： 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(向量共线与直线平行记混致误)在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直 B.平行 C ．异面D.相交但不垂直解析：选B .由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，所以AB ∥CD .2.(空间向量运算法则不清致误)如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c ，则向量C 1M →可用a ，b ，c 表示为________．解析：C 1M →＝C 1C →＋CM →＝－AA →1－12AC →＝－AA →1－12(AB →＋AD →)＝－12AB →－12AD →－AA →1＝－12a －12b －c .答案：－12a －12b －c3．(共线、共面结论理解不清致误)O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC→，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________．解析：因为P ，A ，B ，C 四点共面， 所以34＋18＋t ＝1，所以t ＝18.答案：18考点一 空间向量的线性运算(自主练透)复习指导：了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 1．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA →1＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．1，1 B.1，12C.12，12D.12，1 解析：选C.AE →＝AA →1＋A 1E →＝AA →1＋12A 1C 1→＝AA →1＋12(AB →＋AD →)，故x ＝12，y ＝12.2.(多选)如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON →＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( )A.OM →＝12b －12cB.AN →＝13b ＋13c －aC.AP →＝14b －14c －34aD.OP →＝14a ＋14b ＋14c解析：选BD.对于A ，利用向量的平行四边形法则，OM →＝12OB →＋12OC ＝12b ＋12c ，A 错误；对于B ，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN →＝ON →－OA →＝23OM →－OA →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →－OA →＝13OB →＋13OC →－OA →＝13b ＋13c －a ，B 正确；对于C ，因为点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，所以AP →＝34AN →＝34⎝⎛⎭⎪⎫13b ＋13c －a ＝14b ＋14c －34a ，C 错误； 对于D ，OP →＝OA →＋AP →＝a ＋14b ＋14c －34a ＝14a ＋14b ＋14c ，D 正确，故选BD.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．考点二 共线、共面向量定理的应用(综合研析)复习指导：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(链接常用结论1)在空间四边形ABCD 中，BC →＝3BM →，AM →＝－DA →＋13DC →＋λDB →，则λ＝________．【解析】 因为AM →＝－DA →＋13DC →＋λDB →，所以AM →＋DA →＝13DC →＋λDB →，即DM →＝13DC →＋λDB →，又BC →＝3BM →，所以B ，C ，M 三点共线，所以13＋λ＝1，解得λ＝23.【答案】23三点P ，A ，B 共线空间四点M ，P ，A ，B 共面PA →＝λPB → MP →＝xMA→＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB → 对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA→＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB → 对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →|跟踪训练|1.如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________．解析：DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12．(2022·云南永善一中月考)对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OD →＝tOA →－3OB →＋OC →，若D ，A ，B ，C 四点共面，则t ＝________．解析：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则A ，B ，C ，D 四点共面等价于t －3＋1＝1，所以t ＝3.答案：3考点三 空间向量数量积的应用(思维发散)复习指导：掌握空间向量的数量积及其坐标表示．如图所示，已知空间四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG →·BD →.【解】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12)＝12.1．在本例条件下，求证EG ⊥AB .证明：由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .2．在本例条件下，求EG 的长． 解：由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.3．在本例条件下，求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解：由例题知AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题 利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题|跟踪训练|已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)且DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为____________．解析：设点D 的坐标为(x ，y ，z )， AD →＝(x －1，y ，z )，BC →＝(0，－1，2)，DB →＝(－x ，1－y ，－z )，AC →＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z )，AB →＝(－1，1，0)，又因为DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，且AD ＝BC ， 所以DB →⊥AC →，DC →⊥AB →，且|AD →|＝|BC →|，即⎩⎨⎧x －2z ＝0，x －y ＝0，（x －1）2＋y 2＋z 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋4109，y ＝4＋4109，z ＝2＋2109或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－4109，y ＝4－4109，z ＝2－2109.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4109，4＋4109，2＋2109 或⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4109，4－4109，2－2109[A 基础达标]1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA →1＋y (AB →＋AD →)，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B.x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D.x ＝1，y ＝14解析：选D.AE →＝AA →1＋A 1E →＝AA →1＋14A 1C 1→＝AA →1＋14AC →＝AA →1＋14(AB →＋AD →)． 由AE →＝xAA →1＋y (AB →＋AD →)，对照可知x ＝1，y ＝14. 2．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B.－9C.－3D.3解析：选B.由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，所以⎩⎨⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．(2022·河北省邢台市联考)在正四面体DABC 中，点O 是△ABC 的中心，若DO →＝xDA →＋yDB→＋zDC →，则( ) A ．x ＝y ＝z ＝14B.x ＝y ＝z ＝13C ．x ＝y ＝z ＝12D.x ＝y ＝z ＝1解析：选B.因为四面体DABC 是正四面体，则每个面都是正三角形， 所以DO →＝DA →＋AO →＝DA →＋13()AB →＋AC →＝DA →＋13()DB →－DA →＋DC →－DA→＝13DA →＋13DB →＋13DC →. 又由DO →＝xDA→＋yDB →＋zDC →，所以x ＝y ＝z ＝13. 4．已知向量a ，b ，c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a －b ＋2c |＝( ) A. 5 B.5 C.6D. 6解析：选A.(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos 60°＝5，所以|a －b ＋2c |＝ 5.5．(多选)已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB →－CB →＝AC →B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→C.AA ′→＝CC ′→D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 解析：选ABC.如图，作出平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，则A 正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，则B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB →＋BC →＝AC →，则D 不正确．综上，正确的有ABC.6．(2022·北京朝阳陈经纶中学月考)若空间中三点A ()1，5，－2，B ()2，4，1，C ()p ，3，q 共线，则p ＋q ＝________．解析：因为空间中三点A ()1，5，－2，B ()2，4，1，C ()p ，3，q 共线，所以AB →∥AC →， 所以AB →＝()1，－1，3，AC →＝()p －1，－2，q ＋2， 所以p －11＝－2－1＝q ＋23，解得p ＝3，q ＝4， 所以p ＋q ＝3＋4＝7. 答案：7 7.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0， 所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案：0 8.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.则在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝________．解析：连接PD ，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0，0，1)，D (0，1，0)， 所以PD ＝02＋（－1）2＋12＝2， 所以MN ＝22. 答案：229.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .证明：因为点M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，所以根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面． 因为MN 不在平面CDE 内， 所以MN ∥平面CDE .10．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a ＋b |＝ 02＋（－5）2＋52＝5 2. (2)令AE →＝tAB →(t ∈R )， 所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB → ＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.[B 综合应用]11．(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件解析：选CD.由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确；若AB →，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确；由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确．12．(多选)(2022·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )A ．AC 1＝6 6B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为63解析：选AB.因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA →1·AB →＝AA →1·AD →＝AD →·AB →＝6×6×cos 60°＝18，(AA →1＋AB →＋AD →)2＝AA →21＋AB →2＋AD →2＋2AA 1→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA →1·AD →＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝（AA →1＋AB →＋AD →）2＝66，所以A 正确；AC →1·DB →＝(AA →1＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA →1·AB →－AA →1·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD →2＝0，所以B 正确；显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且A 1D →与AA →1的夹角是120°，所以B 1C →与AA →1的夹角也是120°，所以C 不正确；因为BD →1＝AD →＋AA →1－AB →，AC →＝AB →＋AD →，所以|BD 1→|＝（AD →＋AA →1－AB →）2＝62，|AC →|＝（AB →＋AD →）2＝63，BD →1·AC →＝(AD →＋AA →1－AB →)·(AB →＋AD →)＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD →1·AC →|BD →1|·|AC →|＝3662×63＝66，所以D 不正确．13．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．解析：如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ， 则VD →＝a ＋c －b . 由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .因此VA →＝32PM →＋32PN →，所以VA →，PM →，PN →共面． 又VA ⊄平面PMN ， 所以VA ∥平面PMN . 答案：平行14．在正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且满足∠BMC ＝π2，则AMMO＝________．解析：依题意建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设AB ＝32， 则A (0，0，0)，B (3，0，3)，C (3，3，0)，D (0，3，3)． 因为AO ⊥平面BCD ， 所以O 是△BCD 的重心，即O (2，2，2)，线段AO 上的点M 可设为M (t ，t ，t )(0≤t ≤2)， 所以BM →＝(t －3，t ，t －3)，CM →＝(t －3，t －3，t )． 由∠BMC ＝π2，得BM →·CM →＝0，即3(t －3)(t －1)＝0，即t －1＝0或t －3＝0(舍去)， 所以M (1，1，1)，故AMMO＝1. 答案：1[C 素养提升]15．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1(－12，0，2)， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2， M (0，0，0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ，因为C 1N →＝λNC →，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ， 所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ. 又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.答案：15 16.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，求cos θ的最大值．解：以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y，2)(0≤y≤2)，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，所以EM→＝(－1，y，2)，|EM→|＝y2＋5，AF→＝(2，1，0)，|AF→|＝5，所以cosθ＝|EM→·AF→||EM→||AF→|＝|y－2|5·y2＋5＝2－y5·y2＋5.令t＝2－y，要使cos θ最大，显然0<t≤2.所以cos θ＝15×t9－4t＋t2＝1 5×1⎝⎛⎭⎪⎫3t－232＋59≤15×1⎝⎛⎭⎪⎫32－232＋59＝15×25＝25.当且仅当t＝2，即点M与点Q重合时，cos θ取得最大值25 .。
高考数学(简单版)-4空间向量 - 简单难度 - 讲义
空间向量知识讲解一、向量的基本概念与运算1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0．3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a，AB．4.模：表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a5.方向：有向线段的方向表示向量的方向．6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线．7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记为a b∥．8.向量运算：与平面向量类似；二、空间向量的基本定理1.共线向量定理：对空间两个向量a，b（0∥的充要条件是存在实数x，使a x b=．b≠），a b2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．3.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c xa yb=+．4.空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p x a y b z c=++．表达式xa yb zc++，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．三、向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作O A a =，OB b =，则A O B ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ⋅=〈〉，空间两个向量的数量积具有如下性质：1）||cos a e a a e ⋅=〈〉，；（2）0a b a b ⇔⋅=^；（3）2||a a a =⋅；（4）a b a b ⋅||≤||||．空间两个向量的数量积满足如下运算律：1）()()a b a b λλ⋅=⋅；（2）a b b a ⋅=⋅；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．四、空间向量的直角坐标运算前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底．空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，，． 1.坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，．若123()a a a a =，，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．2. 空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =，，，123()b b b b =，，， a b ∥（0b ≠）a b λ⇔=112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；11223300a b a b a b a b a b ⇔⋅=⇔++=^．两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：212||a a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+ 2cos ||||a b a b a b a ⋅〈〉==，．五、位置向量定义：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =，则点A 在空间的位置就被向量a 所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量． 由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．1.给定一个定点A 和一个向量a ，O 为空间中任一确定的点，B 为直线l 上的点， 则P 在为过点A 且平行于向量a 的直线l 上 ⇔ AP ta = ① ⇔ OP OA ta =+ ② ⇔ (1)OP t OA tOB =-+ ③这三个式子都称为直线l 的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量．2.设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔∥；12l l ^12v v ⇔^．若向量1v 和2v 是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v ，则l α∥或l 在α内⇔存在两个实数x y ，，使12v xv yv =+．六、异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点O 分别做异面直线a 与b 的平行线'a 与'b ，那么直线'a 与'b 所成的不大于90︒的角，叫做异面直线a 与b 所成的角．2.异面直线所成角的向量公式：两条异面直线a 与b 的方向向量m 与n ，当m 与n 的夹角不大于90︒，异面直线a b ，所成的角θ与m 和n 的夹角相等；当m 与n 的夹角大于90︒，异面直线a b ，所成的角与m 和n的夹角互补．所以直线a b ，所成的角θ的余弦值为m n m n⋅．七、直线和平面所成的角1.定义：平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．2.直线与平面所成角的向量公式：直线a 的方向向量与平面α的法向量分别为m 和n ，若m 与n 的夹角不大于90︒，直线a 与平面α所成的角等于m 与n 夹角的余角，若m 与n 的夹角大于90︒，直线a 与平面所成的角等于m 与n 夹角的补角的余角，所以直线a 与平面α所成的角θ的正弦值为m n m n⋅．八、平面和平面所成的角1.定义：过二面角l αβ--棱上任意一点O 做垂直于棱l 的夹角与平面αβ，的交线分别为OA OB ，，那么AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角．2.平面与平面所成角的向量公式：平面α与β的法向量分别为m 和n ，则二面角与m n ，的夹角θ相等或互补．当二面角l αβ--大于90︒时，则二面角arccosm n m nθπ⋅=-；当二面角l αβ--不大于90︒时，则二面角arccos m n m nθ⋅=；经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•奉贤区二模）设直线l的一个方向向量=（6，2，3），平面α的一个法向量=（﹣1，3，0），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行【解答】解：∵=﹣6+2×3+0=0，∴⊥．∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．故选：D．2．（2018•梅州二模）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作平面α，使棱AB，AD，AA1所在直线与平面α所成角都相等，则这样的平面α可以作（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，直线AB、AD、AA1与平面A1BD所成角都相等，过顶点A作平面α∥平面A1BD，则直线AB、AD、AA1与平面α所成角都相等，同理，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直线AB、AD、AA1与平面α所成的角都相等，∴这样的平面α可以作4个．故选：D．3．（2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6×=．故选：A．4．（2018•浙江模拟）在三棱锥O﹣ABC中，若D为BC的中点，则=（）A．+﹣B．++C．+﹣D．++【解答】解：如图所示，∵D为BC的中点，∴=，∴=﹣=﹣，故选：C．5．（2018•全国）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，在△ABE中，cos∠AEB==故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是．故选：B．6．（2018•城关区校级模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线A1D上的一点，过M且与平面A1ACC1平行的平面与对角线CD1交于点N，则|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：过点M作MQ∥AA1交AD于点Q，过点Q作QP∥AC交CD于点P，过点P作PN∥CC1交CD1于点N，连MN．设MQ=x，则DQ=DP=x，PQ=x，CP=PN=1﹣x，在直角梯形MNPQ中可得：MN2=（x﹣（1﹣x））2+（x）2=6x2﹣4x+1=6（x﹣）2+（0＜x＜1），所以，当x=时MN2取得最小值，则|MN|的最小值为：．故选：C．7．（2018•金华模拟）如图，若三棱锥A﹣BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD 的距离与到点A的距离之比为正常数λ，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A ﹣BC﹣D平面角的余弦值为（）A．λB．C．D．【解答】解：如图，设二面角A﹣BC﹣D平面角为θ，点P到底面BCD的距离为|PH|，点P到定直线BC得距离为d，则|PH|=dsinθ，即d=．∵点P到底面BCD的距离与到点A的距离之比为正常数λ，∴，则|PA|=，∵动点P的轨迹是抛物线，∴|PA|=d，即，则sinθ=λ．∴二面角A﹣BC﹣D平面角的余弦值为cosθ=．故选：B．8．（2018•西城区一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．满足到直线AA1和CD的距离相等的点P（）A．不存在B．恰有1个C．恰有2个D．有无数个【解答】解：设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，则P到直线CD的距离为，∴y=，即y2﹣x2=1（y≥1），∴P点轨迹为双曲线的一支的一部分，故选：D．9．（2017秋•和平区期末）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15C．x=，y=D．x=6，y=【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．10．（2018•新疆一模）在空间中，与边长均为3cm的△ABC的三个顶点距离均为1cm的平面的个数为（）A．2 B．4C．6 D．8【解答】解：解：若三角形在平面的同侧，此时到△ABC的三个顶点距离均为1cm的平面的平面有两个．因为正三角形的边长为3，所以三角形的高为＞2，所以当平面经过中位线EF时，根据线面平行的性质可知此时有两个平面到△ABC的三个顶点距离均为1cm．同理过两外两个边的中位线的平面也各有2个．所以满足条件的平面共有8个．故选：D．11．（2018•淮南二模）在平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB=，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A′C与平面BCD所成角最大时的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，平面四边形ABCD中，连结AC，BD，交于点O，∵AD=AB=2，CD=CB=6，且AD⊥AB，∴BD==2，AC⊥BD，∴BO=OD=，∴OA==，OC==2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，此时，Rt△OA′C中，OA′=OA=，OC=2，∴∠OCA′=45°，∴直线A′C与平面BCD所成角最大时的正弦值为sin45°=．故选：D．12．（2018•浙江模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成角，设正方体棱长为1，则AC=，A1C=，∴cos∠A1CA==．故选：D．13．（2018•桃城区校级模拟）某四棱锥的三视图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知三视图对应的几何体的直观图如图：几何体是四棱锥，是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，显然，最长的棱是：SC，AC==，则最长侧棱与底面所成角的正切值为：==．故选：A．14．（2018•赣州二模）已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥BC，且SA=SB=BC=1，Q是三棱锥S﹣ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥BC，且SA=SB=BC=1，∴三棱锥的外接球即为以SB，BC，SA为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为R=，∵球心在平面ABC的上，∴点Q到平面ABC的距离的最大值为．故选：B．15．（2018•资阳模拟）如图，二面角α﹣BC﹣β的大小为，AB⊂α，CD⊂β，且，，，，则AD与β所成角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AM⊥BC，M为垂足，∵AB=，∠ABC=，∴AM=BM=1，∴M为BC的中点，连结BD，∵BC=CD=2，∠BCD=，∴△BCD是边长为2的等边三角形，∴DM⊥BC，DM=，∴∠AMD为二面角α﹣BC﹣β的平面角，即∠AMD=，∴∠ADM为AD与β所成的角，在△AMD中，由余弦定理可得AD==1，∴AD=AM，故∠ADM=∠AMD=．故选：C．。
2025年高考数学总复习课件48第六章第五节空间向量及其运算
第五节 空间向量及其运算
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2．(教材改编题)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M.
设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
A．－12
a+
1 2
b＋c
B．12
a+
1 2
b＋c
√C．－12
第五节 空间向量及其运算
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
空间向量线性运算的解题策略 (1)用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)将已知向量与所求向量转化到三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平 行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来． (3)空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算．
3
90˚
解析：因为EF＝
1 2
BD，BD·BC＝2×2×cos
60˚＝2，
所以
BC－EF
2＝
BC－
1 2
BD
2
＝
BC
2－BC·BD+
1 4
BD
2＝4－2＋14×4＝3，
所以 BC－EF ＝ 3.
因为EF＝
1 2
BD＝
1 2
AD－AB
，
所以AC·EF＝
1 2
AC·
AD－AB
＝12
AC·AD－AC·AB
A．(2a＋b)∥a
√B．5|a|＝ 3 b
√C．a⊥(5a＋6b)
D．a与b夹角的余弦值为
3 6
第五节 空间向量及其运算
高考数学 空间向量知识点
高考数学空间向量知识点高考数学是每个高中生都要面对的一项重要考试。
而在高考数学中，空间向量是一个重要的知识点。
掌握空间向量的概念和应用，不仅有助于解题，还可以拓宽数学思维的广度和深度。
首先，我们来了解一下什么是空间向量。
空间向量是指具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
在三维空间中，我们可以用一个无关点与某一定向线段连接起来，形成一个有向线段，即空间向量。
空间向量有三个重要的性质：大小、方向和平行。
在高考数学中，空间向量常常与平面几何和解析几何等知识点相结合，形成一道综合性题目。
例如，求两条直线是否相交，可以利用空间向量的平行条件来判断。
若两条直线所对应的向量平行，那么两条直线必相交于一点；反之，若两条直线所对应的向量不平行，那么两条直线不相交。
除了判断相交，空间向量还可以用于求解直线的垂直关系。
若两条直线所对应的向量垂直，那么两条直线互相垂直；反之，若两条直线所对应的向量不垂直，那么两条直线不垂直。
在解题过程中，我们还可以利用向量的线性运算来简化计算。
向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
通过将向量加法和数乘运算引入解题过程，我们可以更加方便地推导出最终的结果。
此外，空间向量还与三角函数密切相关。
在空间向量中，我们可以通过向量的坐标来求解向量的大小和方向。
而求解向量的坐标，需要借助于三角函数的相关知识。
通过将空间向量与三角函数相结合，我们可以更加准确地描述向量在空间中的位置和方向。
掌握了空间向量的知识点，我们不仅可以在高考数学中得心应手，更能够用向量的思维方式去解决生活中的实际问题。
向量思维方式强调整体观念，能够帮助我们看清问题的全貌，从而找到解决问题的途径。
总之，空间向量是高考数学中的重要知识点。
通过学习和掌握空间向量的概念和运算规则，我们能够更好地理解和应用空间向量的性质，提高解题的效率。
同时，向量思维方式也有助于我们培养整体观念和拓宽数学思维的广度和深度。
因此，在备战高考数学时，我们务必要重视空间向量的学习和理解，为自己的数学成绩增添亮点。
高考数学复习：空间直角坐标系、空间向量及其运算
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_不__共__面__, 那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 _p_=_x_a_+_y_b_+_z_c_.其中, _{_a_,_b_,_c_}_叫做空间的一个基底.
【常用结论】 1.零向量不可以作为基向量. 2.基底选定后,空间的所有向量都可由基底唯一表示. 3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量 的线性运算和数量积运算.
【解析】①×.只有不共面的三个向量才能作为基底,所
以①错误.
②√.零向量与任一向量共线,共面,所以②正确.
③×.假设a,b,c共面,则c=xa+yb,所以 矛盾,所以a,b,c不共面.所以③错误.
1 y, 1 x, 0 x y,
④×.若|a|=|b|,则a,b方向可能相同,也可能相反,或 其他情况,④错误. ⑤×.|a|= 32 42 5⑤2 错5误2.,
表示空间向量的有向线段所在的直线 互相_平__行__或__重__合__的向量
平行于_同__一__个__平__面__的向量
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实数λ,使得_a_=_λ__b_. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b_不__共__线__,那么向量 p与向量a,b共面的充要条件是存在_唯__一__的有序实数对 (x,y),使_p_=_x_a_+_y_b_.
第五节 空间直角坐标系、空间向量及其运算
(全国卷5年8考)
【知识梳理】 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系:
以空间一点O为原 点,给定正方向,单 位长度,建立两两 定 垂直的数轴:x轴、 义 y轴、z轴,建立了 一个空间直角坐标 系_O_x_y_z_
数学高考知识点之 空间向量
数学高考知识点之 空间向量1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a +=+=b a -=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP x MA y MB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++ 8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A a O B b ==，则A O B ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.9．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .10．向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n .②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，21,n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB。
高考数学中的空间向量
高考数学中的空间向量在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念。
它不仅可以帮助我们理解空间的几何性质，同样也是高考数学中的热门考点。
下面我们将进一步探讨空间向量的相关知识。
一、基本概念空间向量是一种有大小和方向的量。
通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在空间中，向量可以表示为：AB→其中，A和B是向量的起点和终点。
由于向量没有固定的位置，所以可以平移，旋转等操作。
而空间中的向量与平面向量最大的不同是，它包含了三个坐标轴，所以需要使用三个分量来表示。
二、向量运算空间向量一般有加减乘除的运算方式。
其中，加法运算是向量最主要的运算方式。
使得例如三角形内所有边的向量之和为零。
为了进行向量的加减法运算，我们需要先确定向量的起点和终点。
当向量的起点和终点确定后，两个向量求和的结果是一个新的向量。
具体公式为：AB→+CD→= AD→由此可见，两个向量的和就是它们的几何和所对应的向量。
除了向量加减法之外，向量的数量积和向量积也是重要的向量运算。
1. 数量积向量的数量积（点积）是一个标量，由以下公式得出：AB·CD=|AB||CD|co sθ其中，θ为两个向量夹角的夹角，|AB|和|CD|分别是两个向量的长度。
2. 向量积向量积（叉积）是两个向量所构成的平行四边形面积的大小所对应的向量，由以下公式所示：AB×CD=|AB||CD|sinθn→其中，θ为两个向量夹角的夹角，|AB|和|CD|分别是两个向量的长度，n→为两个向量所构成的平行四边形的法向量。
三、相关应用空间向量在几何上的应用非常广泛。
例如，在三角形的计算中，可以通过向量运算来简化计算。
对于一个三角形ABC，AB、BC、AC所对应的向量分别是AB→、BC→、AC→。
则：AB→+BC→=AC→两个向量和所得到的第三个向量，实际上就对应着三角形三个边所对应的向量之和。
在解决几何问题时，可以通过向量运算来进行计算，简化了计算过程。
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空间向量
1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a AB OA OB +=+=
b a -=-=
)(R a OP ∈=λλ
运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)( 3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
使a ＝λb .
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a
的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．
其中向量a 叫做直线l 的方向向量.
5．向量与平面平行： 已知平面α和向量a ，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+
推论：空间一点P 位于平面M AB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式
7 空间向量基本定理：
如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组
,,x y z ，使p xa yb zc =++
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个
有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++
8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A aO B b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若
,2
a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ . 9．向量的模：
设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .
10．向量的数量积： a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> ．
已知向量AB a = 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，
作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.
可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．
11．空间向量数量积的性质：
（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）2||a a a =⋅ ．
12．空间向量数量积运算律：
（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）（3）()a b c a b a c
⋅+=⋅+⋅ （分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则
),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ3
32211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a
222321a a a ++==(
=⋅=)
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2221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，21,n n 反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.
A
B。