2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考数学模拟试题1
浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2019届高三第一次联考数学试题(精品解析)
浙江省名校新高考研究联盟（Z20）2019届高三第一次联考数学试题一：选择题。
1.已知集合，，则A. B.C. D. 或【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合,再由交集的定义求解即可.【详解】集合，，．故选C．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.设复数满足为虚数单位，则A. B. i C. D. 1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果. 【详解】由，得．故选B．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.设函数，则的值为【答案】C【解析】【分析】由分段函数，先求=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值【详解】，=ln2，ln2，即=【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可4.已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】利用与相交或平行判断；根据与相交、平行或判断；根据或判断；由面面垂直的判定定理得．【详解】由，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，得：若，，，，则与相交或平行，故错误；若，，则与相交、平行或，故错误；若，，则或，故错误；若，，，则由面面垂直的判定定理得，故正确．故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5.已知实数满足约束条件，则的最大值为【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数满足约束条件对应的平面区域如图阴影部分由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大由解得．代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.已知双曲线：，则“”是“双曲线的焦点在轴上”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合总表示焦点在轴上判断即可．【详解】双曲线的焦点在轴上或，或，或推不出，“”是“双曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件．故选A．【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法,由是奇函数排除；排除；排除；从而可得结果.【详解】因为，可得是奇函数排除；当时，，点在轴的上方，排除；当时，，排除；故选A．【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8.已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，利用椭圆的定义，求得，，，可得，，由二倍角公式列方程可得结果.【详解】由题意可得：，，可得，，，，，，,可得，可得．故选B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用以及椭圆的离心，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．9.已知实数，满足，，则的最小值是A. 10B. 9C.D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．【详解】，，，，当且仅当时，取等号．则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10.已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，则下列正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用公式将问题转化为：比较与，，夹角的大小，然后判断到，，的距离，在中确定所在区域，利用数形结合可以解决．【详解】依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，则，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，设到，，的距离为，，则，其中是正四面体相邻两个面所成角，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故选D．【点睛】本题考查了异面直线及其所成角，以及公式的应用，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题．若直线与其在平面内的射影所成的角为，平面内任意直线与、成的角为，则.二：填空题。
2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考语文模拟试题及参考答案
2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考语文模拟试题及参考答案绝密★考试结束前(高三暑假返校联考)浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考语文试题卷命题：绍兴鲁迅中学彭玉华、潘颂一审题：元济高级中学沈丁飞桐乡高级中学廖城平校对：徐晓琦、金小娟一、语言文字运用(共20分)1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是( )(3分)A．此刻，窗外的雨不再是清冷的秋雨了，在我的眸里是一种柔软，似撒．(sǎ)娇少女的情怀，是怜，是爱，是柔，是润在我心里的一种憧憬．(jǐng)。
B．财政部驻各地财政监察专员办事处要紧密结合工作重点，加强对属．(shǔ)地中央预算单位国库集中支付资金支付行为的监控，督促有关单位堵塞．(sè)漏洞和健全制度C．成功路上无坦途，改革不会一劳永逸，面对新变化新问题，小岗人也曾彳亍，却始终坚守改革初心，奋楫．(jì)争流，不断瞠．(tāng)出一条条发展新路，带来一波波改革红利。
D．虽然礼堂里有冷气，但曹元朗穿了黑呢．(ní)礼服，忙得满头大汗，我看他戴的白硬领圈，给汗浸．(jìn)得又黄又软。
我只怕他整个胖身体全化在汗里，像洋蜡烛化成一滩油。
阅读下面的文字，完成2~3题。
(5分)5月16日，享誉世界的华裔建筑大师贝聿铭去世，享年102岁。
【甲】从法国卢浮官前的玻璃金字塔，大理石砌成的华盛顿国家美术馆，到维多利亚港口边矗立的香港中银大厦，贝聿铭的建筑手笔，将艺术之美凝固于大地，被时间证明永恒。
1983年，贝聿铭捧得建筑学界最高奖项：普利兹克奖。
【乙】评委会认为：“贝聿铭给以．．我们本世纪最优美的室内空间和建筑形体，他始终关注他的建筑周边的环境，……对于材料的运用达到了诗一般的境界。
”【丙】贝聿铭被称为“最后的现代主义建筑大师”，他的现代主义有着一种鲜明的个人烙印——干净、内敛、边缘锐利、对几何形状的肆意使用等。
2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考数学模拟试题及参考答案1
2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考数学模拟试题及参考答案1
2π
2π-浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考数学试题卷
选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合()(){}310A x x x =-+>，{}
11B x x =->，则()R C A B = A.[)(]1,02,3- B.(]2,3 C.()(),02,-∞+∞ D.()()
1,02,3- 2、已知双曲线22
:193
x y C -=，则C 的离心率为
D.23、已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若,,a b αβαβ⊥⊥∥，则下列命题中正确的是A.b α⊥ B.b α∥ C.αβ⊥ D.αβ∥4、已知实数,x y 满足()3121x x y y x ?≤?+≥??≤-?
，则2x y +的最大值为
A.11
B.10
C.6
D.45、已知圆C 的方程为()2231x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆
C 有公共点，则A 的纵坐标可以是
A.1
B.-3
C.5
D.-7
6、已知函数()221,0log ,0
x x f x x x ?+-≤?=?>??，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是A.(][),42,-∞-+∞ B.[]1,2- C.[)(]4,00,2- D.[]
4,2-7、已知函数()()ln cos f x x x =?，以下哪个是()f x 的图象
A
B
C.D。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,23a c ==，所以23c e a ==，故选C. 【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点(3,4)A 时，其截距最大，所以max 23410z =⨯+=，故选B. 【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是（ ） A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ， 又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正， 故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。
2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考语文模拟试题参考答案
浙江省名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)2024-2025学年高三上学期第一次联考数
3 2
3.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)延长
PM
交椭圆于 Q
，若
uuur BP
×
uuur BQ
=
6
，求直线
PQ
的方程.
18．已知函数 f (x) = xlnx(x > 0) ；
(1)设函数 g(x) = f (x) + f (1 - x) ，求函数 g ( x) 的极值；
(2)若不等式 f (x) ³ ax + b(a,b Î R) 当且仅当在区间[e, +¥) 上成立（其中 e 为自然对数的底
(1)若
A
=
π 3
，求
B
；
(2)若V ABC 是锐角三角形，且 c = 4 ，求 b 的取值范围.
( ) 17．已知椭圆
E
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1
a >b>0
的离心率为 e
=
1 2
，左、右顶点分别为
A, B,O 为坐标原点， M 为线段 OA 的中点， P 为椭圆上动点，且△MPB 面积的最大值为
A．[-2,1]
B．
éêë-1,
3 2
ö ÷ø
C．
æ çè
-¥,
3 2
ö ÷ø
D． (-¥, -1]
2．
æ çè
2x
-
1 x2
ö7 ÷ø
的展开式中
1 x2
项的系数是（
）
A．672
B． -420
C．84
D． -560
3．已知等差数列{an} 前 n 项和为 Sn ，若
a7 a5
【数学】浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)2020 届开学考数学试题卷(含答案)
C.
D. ∥
x 3
4、已知实数
x,
y
满足
x
y
1
，则 2x y 的最大值为
y
2
x
1
A.11
B.10
C.6
D.4
5、已知圆 C 的方程为 x 32 y2 1 ，若 y 轴上存在一点 A ，使得以 A 为圆心，半径为 3 的圆与圆
C 有公共点，则 A 的纵坐标可以是
A.1
B.-3
C.5
20、（本题满分 15 分）已知数列 an 为等差数列， Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a5 5, S3 a6 .数
列 bn 满足 a1b1 a2b2 anbn 2n 2bn 2 .
（1）求数列 an ，bn 的通项公式；
（2）令
cn
an bn
,n
N*
，证明：
c1
c2
cn
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浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第一次联考
数学试题卷
选择题部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1、已知集合 A x x 3x 1 0 ， B x x 1 1 ，则 CR A B
，即
BM
与平面 B1MC
所成角的正弦值为
10 . 5
...........2 分
20．解：（1）设等差数列{an} 的公差为 d ， ∴ 3a1a1++43dd==5a1 + 5d ，
解得
ad1
=1 =1
，∴数列
{an
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三第三次联考试题 数学 答案
0，
0
3k 2k +1 −
2
1 ，则不可能为整数.
……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页
②
S2k −1 a2k −1
=
Ak + Bk −1 a2k −1
=
2k+2 − 3k − 4 2k −1
=
4−
3k ，则 k 2k −1
32
2
2
则最小正周期 T = ，
……（4 分） ……（6 分）
f () = − 3 .（直接带入也可） 34
……（8 分）
（Ⅱ） | f (x + ) + 3 |= a sin(2x + ) = −2a或2a .
12 2
6
……（10 分）
x
[0,
3 ] 4
2x
+
6
[
6
,
5 ] 3
，考虑要有
②当 t ( 4 , 3] ， a t + 5 − 1 或 a t − 5 − 1 .
5e
4t
4t
对于 m(t) = t + 5 − 1 ，易得 m(t) 在 ( 4 , 3] 单调递增，故 a [ 5 − e + 3 , +) .
4t
5e
43 e
……（12 分）
对 于 n(t) = t − 5 − 1 ， 求 导 n(t) = 1 − 1
5
5
……（11 分）
由（Ⅰ）得 AP 为角平分线.由余弦定理得 AP = 6 15 , PH == 2 15 .
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浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)2024届高三第二次联考数学试题含答案
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}2,0,2,{2}M N x =-=<，则M N ⋂=（）A.{}2,0,2- B.{}2,0- C.{}0,2 D.{}0【答案】C 【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.2<，解得22x -<≤，则{22}N xx =-<≤∣，故M N ⋂={}0,2，故选：C2.已知12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，则m =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i +是关于x 的实系数一元二次方程220x x m -+=的一个根，所以()()2012i 12i 2m +-++=，整理得到:50m -=即5m =，故选：D.3.已知向量()()1,1,2,0a b =-= ，向量a 在向量b 上的投影向量c =（）A.()2,0- B.()2,0C.()1,0- D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0a b =-=，所以向量a 在向量b 上的投影向量()21,0a b c b b⋅=⋅=- ，故选：C4.已知直线0x my -=交圆22:((1)4C x y -+-=于,A B 两点，设甲：0m =，乙：60ACB ∠= ，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m =和乙：60ACB ∠= 之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:((1)4C x y -+-=的圆心为，半径为2r =，当0m =时，直线0x =，则到直线0x =，此时||2AB ==，而||||2CA CB ==，即ACB △为正三角形，故60ACB ∠= ；当60ACB ∠= 时，ACB △为正三角形，则C 到AB 的距离为sin 60d r == ，即圆心C 到直线0x my -=距离为d ==，解得0m =或m =，即当60ACB ∠= 时，不一定推出0m =，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A5.已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+≥∈=N ，则n a =（）A.22n -B.22n n -C.21n -D.2(21)n -【答案】B 【解析】【分析】根据递推关系可证明21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，即可求解.【详解】()()()()212321483=2123n n n a n a n n n n ----=-+--，所以112123n n a a n n --=--，111a =，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，且公差为1，首项为1，故1+121na n n n =-=-，即()2212n a n n n n =-=-，故选：B6.函数()()2ln 21f x x x x =--+的单调递增区间是（）A.()0,1 B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令()0f x ¢>，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f x x x x =--+的定义域为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，且()()()()22121221221212121x x x f x x x x x ⎤⎤-----⎣⎦⎣⎦'=-+==---，令()0f x ¢>，解得11222x <<，所以()f x的单调递增区间为11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D 7.已知ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()13sin ,cos 33αββ+==，则cos2α=（）A.13B.13-C.2327D.2327-【答案】D 【解析】【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(),sin αββ+的值，利用两角差的余弦公式即可求得cos α，继而利用二倍角余弦公式求得答案.【详解】由于ππ,π,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π3π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而()1sin 3αβ+=，故π22,π,cos()23αβαβ⎛⎫+∈∴+==- ⎪⎝⎭，由0c ,2s 3π,o ββ⎛⎫∈ ⎪=⎝⎭，可得sin 3β=，则cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=+-=+++913333=-+=-⨯⨯，故2223cos22cos 12(1279αα=-=⨯-=-，故选：D8.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩.要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，则（）A.121ˆniii nii x ybx===∑∑ B.121ˆniii nii x yby===∑∑C.ˆniix yb =∑ D.()()ˆniix x y y b --=∑【答案】A 【解析】【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值.【详解】因为()()222211(,)2nnii i i i i i i Q a b ybx y bx y b x ===-=-+∑∑2221112nnnii i i i i i bxb x y y ====-+∑∑∑，上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121ˆniii nii x ybx===∑∑.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的b .二､多项选择题：本题共4小题，每小颗5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（）A.时速在[)70,80的数据有40个B.可以估计该组数据的第70百分位数是65C.时速在[)50,70的数据的频率是0.07D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，直接由对应的频率乘以200即可验算；对于B ，由百分位数的定义即可判断；对于C ，由对应的长方形面积之和即可判断；对于D ，由平均数的计算公式即可得解.【详解】对于A ，()2000.02807040⨯⨯-=，即时速在[)70,80的数据有40个，故A 正确；对于B ，1100.040.020.010.03a =÷---=，所以该组数据的第70百分位数位于[)60,70不妨设为x ，则()()0.010.0310600.040.7x +⨯+-⨯=，解得67.5x =，故B 错误；对于C ，时速在[)50,70的数据的频率是()0.030.04100.7+⨯=，故C 错误；对于D ，可以估计汽车通过该路段的平均时速是()0.01450.03550.04650.02751062km ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：AD.10.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()()11,11f x f x f -=+=-，以下结论正确的是（）A.()30f = B.()40f =C.20231()0k f k ==∑ D.20231(21)0k f k =-=∑【答案】BC 【解析】【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求()()()2,3,4f f f 的值，即可求解.【详解】由条件()()11f x f x -=+，可知()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为4的函数，()()()3111f f f =-=-=，故A 错误；()()400f f ==，故B 正确；由条件()()11f x f x -=+，可知()()200f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()20231()5051234202120222023k f k f f f f f f f =⎡⎤=++++++⎣⎦∑()()()1230f f f =++=，故C 正确；由函数的周期为4，且()11f =-，()31f =，所以()()()()()()20231(21)1357...20212023k f k f f f f f f =-=++++++∑()()0202331f f =+==，故D 错误.故选：BC11.曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点()4,4P 是抛物线2:2C x py =上的点，F 是C 的焦点，点P 处的切线1l 与y 轴交于点T ，点P 处的法线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点G ，与C 交于另一点B ，点M 是PG 的中点，则以下结论正确的是（）A.点T 的坐标是()0,2-B.2l 的方程是2120x y +-=C.2||TG PA PB=⋅D.过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A ，利用法线的定义判断B ，利用两点间距离公式判断C ，分类讨论判断D 即可.【详解】对A ，将点()4,4P 代入22x py =，得2p =，则2,42x x y y '==，当4x =时，2y '=故1l 的方程为()424y x -=-，令0x =，则4,y =-∴点T 的坐标是()0,4-，故A 错误；对B ，122l l l ⊥∴ 的方程为()1442y x -=--，整理得2120x y +-=，故B 正确；对C ，易得2l 与x 轴的交点A 的坐标为()12,0，与y 轴的交点G 的坐标为()0,6，联立221204x y x y +-=⎧⎨=⎩，解得69x y =-⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩.与C 的另一个交点B 的坐标为()6,9-，则22||100,|||||||||TG PA PB TG PA PB ===∴=⋅，故C 正确；对D ，易得点M 的坐标为()2,5，设点()00,Q x y 为抛物线上一点，当Q 是原点时，Q 处的法线为y 轴，显然不过点M ，当点Q 不是原点时，则Q 处的法线方程为()0002y y x x x -=--，将点()2,5M 代入得，()000252y x x -=--，又2004x y =，则()()23000012160,420x x x x --=∴-+=，故04x =或2,-∴过点M 的C 的法线（包括2l ）共有两条，故D 正确.故选：BCD12.已知棱长为1的正方体1111,ABCD A B C D δ-是空间中一个动平面，下列结论正确的是（）A.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222sin sin sin 1αβγ++=B.设棱1,,AB AD AA 所在的直线与平面δ所成的角为,,αβγ，则222cos cos cos 1αβγ++=C.正方体的12条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8D.四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，利用向量法求线面角和射影问题.【详解】对于A，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A B C D A B D ,得()1,0,0AB = ，()()10,1,0,0,0,1AD AA == ，设δ的法向量为(),,n a b c =，则222222sin AB na abc AB nα⋅==++⋅，同理可得2222222222sin ,sin b c a b c a b cβγ==++++，222sin sin sin 1αβγ∴++=，故A 正确；对于B，则()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 312αβγαβγ++=-+-+-=-=，故B 错误；对于C ，1,,AB AD AA 这3条棱在平面δ上的射影长度的平方和为()()()2221cos cos cos 2AB AD AA αβγ++=，12∴条棱在平面δ上的射影长度的平方和为8，故C 正确；对于D ，()()111,1,0,1,1,0AC D B ==-，设AC 与平面δ所成角为11,D B θ与平面δ所成角为ϕ，则()()22222222222()()sin ,sin 22AC na b a b a b ca b cAC nθϕ⋅+-===++++⋅，2222222sin sin a b a b cθϕ+∴+=++，11,AC D B ∴在平面δ上的射影长度的平方和为()()()()22222211(cos )cos 2cos cos 22sin sin AC D B θϕθϕθϕ+=+=-+ 22222224a b a b c+=-++，则四面体11A B CD -的6条棱在平面δ上的射影长度的平方和为2222222222222222222224441248a b b c c a a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，设δ的法向量为(),,n a b c =，向量法求线面角的正弦值和余弦值，向量法求射影长度，结果用,,a b c 表示，化简即可.第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：814.已知正方形ABCD 的四个顶点均在椭圆2222:1x y E a b+=上，E 的两个焦点12,F F 分别是,AB CD 的中点，则E 的离心率是__________.【答案】12【解析】【分析】由题意||2BC a =，将x c =代入椭圆方程22221x y a b+=，得22||b CD a =，结合正方形性质可得||||BC CD =，即可得,a c 齐次式，即可求得答案.【详解】不妨设12,F F 为椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点，由题意知AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，且,AB CD 经过椭圆焦点，12(,0),(,0)F c F c -，则2BC c =，将x c =代入椭圆方程22221x ya b +=，得2||b y a=，故22||2||b CD y a ==，由||||BC CD =，得222b c a=，结合222b a c =-，得220c ac a +-=，即210e e +-=，解得152e -±=（负值舍），故E 512-，故答案为：512-15.设函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若存在()00,πx ∈使()012f x =成立，则ω的取值范围是__________.【答案】4(,)3+∞【解析】【分析】根据题意确定()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，结合正弦函数的图象和性质找到当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值，由此列出不等式，即可求得答案.【详解】由于函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，πππ(π,)666x ωω-∈-，根据正弦函数sin y x =的性质可知当π6x <时，离π6最近且使得1sin 2x =的x 值为7π6-,故存在()00,πx ∈，使()012f x =成立，需满足π7π4π<,663ωω--∴>，即ω的取值范围为4(,)3+∞，故答案为：4(,)3+∞16.已知函数()2212ex f x x =+，()2ln g x m x =-，若关于x 的不等式()()f x xg x ≤有解，则m 的最小值是__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】参变分离可得()2ln 2e2ln x xm x x --≥---有解，令2ln t x x =--，()e t g t t =-，利用导数求出()min g t ，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f x xg x ≤得()22122ln ex x x m x +≤-，显然0x >，所以()2ln 2122ln e 2ln ex xxm x x x x x --≥++=---有解，令2ln t x x =--，则t ∈R ，令()e tg t t =-，则()e 1tg t '=-，所以当0t <时()0g t '<，当0t >时()0g t '>，所以()g t 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01g t g ==，即()2ln e 2ln 1x xx x -----≥，所以21m ≥，则12m ≥，即m 的最小值是12.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln 2e 2ln x xm x x --≥---有解，再构造函数，利用导数求出()2ln mine2ln x xx x --⎡⎤---⎣⎦.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()()22111,41,41n n n n a b S a T b ===+=+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【答案】17.21n a n =-，1(1)n n b -=-18.()11n n--【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得到na和1n a -的关系式，同理得到n b 和1n b -的关系式，根据{}n a 是等比数列和{}n b 是等比数列求出n a 和n b 的通项；（2）令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，对n 分偶数和奇数讨论即可.【小问1详解】()()()22*11444112,N n n n n n a S S a a n n --=-=+-+≥∈得：()()1120n n n n a a a a --+--=，10n n a a -∴+=或12n n a a --=，同理：10nn b b -∴+=或12n n b b --=，{}n a 是等差数列，12221n n n a a d a n -∴-=∴=∴=-，{}n b Q 是等比数列1101(1)n nn n bb q b --∴+=∴=-∴=-；【小问2详解】令()1(1)21n n n n c a b n -=⋅=--，其前n 项和为n H ，当n 为偶数时，()()()()1234561n n n H c c c c c c c c -=++++++++ ()()()()()135********n n n ⎡⎤=-+-+-++---=-⋅⎣⎦ 当n 为奇数时，()111(1)21nn n n H H c n n n ++=-=----+=.综上所述，1(1)n n H n -=-.18.如图，已知三棱锥,P ABC PB -⊥平面,,PAC PA PC PA PB PC ⊥==，点O 是点P 在平面ABC 内的射影，点Q 在棱PA 上，且满足3AQ PQ =.（1）求证：BC OQ ⊥；（2）求OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系P xyz -，先判断ABC 是正三角形，再求点O 的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BC OQ ⊥；（2）先求平面BCQ 的法向量，再利用向量法即可求解.【小问1详解】连结PO ，PB ⊥ 平面,,PAC PA PC ⊂平面,PAC PB PA PB PC ∴⊥⊥，又PA PC PA PB PC ⊥∴ ､､两两垂直，以P 为原点，PA 为x 轴，PC 为y 轴，PB 为z 轴建立空间直角坐标系P xyz -，如下图所示：不妨设4PA =，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0P A C B Q ，()()4,0,4,4,4,0AB AC C =-=-.AB BC CA ===ABC 是正三角形，点O 为正三角形ABC 的中心，所以()()2118448,4,4,,323333AO AB AC ⎛⎫=⨯+=-=- ⎪⎝⎭，()8444444,0,0,,,,333333PO PA AO ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以444,,333O ⎛⎫⎪⎝⎭.144,,333QO ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又()0,4,4BC =-，0QO BC BC OQ ∴⋅=∴⊥.【小问2详解】()()0,4,4,1,4,0BC QC =-=- ，144,,333QO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3QO == ，设平面BCQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由0n BC n QC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得：44040y z x y -=⎧⎨-+=⎩，则()1444,1,1,4,1,1,4114333x y z n n n QO ===∴===⋅=⨯+⨯+⨯= ，设OQ 与平面BCQ 所成角为θ，则sin cos ,33QO nQO n QO nθ⋅===⋅.故直线OQ 与平面BCQ 所成角的正弦值为26633.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos sin cos20A B a B a +-=.（1）求tan A 的值；（2）若a =，点M 是AB 的中点，且1CM =，求ABC 的面积.【答案】（1；（2）4.【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan A =；（2）根据同角三角函数关系求出cos ,sin 44A A ==，再利用余弦定理求出,b c 值，最后利用三角形面积公式即可.【小问1详解】cos sin cos20A B a B a +-=()2cos sin 1cos22sin A B a B a B∴=-=由正弦定理得：22sin 2sin sin A B A B =，()0,πB ∈ ，则sin 0B >，sin A A =，cos A 不等于0，tan A ∴【小问2详解】sin tan cos A A A == ()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立22sin cos 1A A +=，cos 44A A ∴==，在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 22b c a b c A bc bc+-+-==①在AMC 中，由余弦定理得：222212222cos 222c c b b A c bc b ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭==⋅②由①=②式得：22b c =故2223222cos ,12422c b c A c b bc -+-===∴==，1147sin 244ABC S bc A ∴===.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，点()1,2P -在C 的渐近线上，且满足12PF PF ⊥.（1）求C 的方程；（2）点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,,a b c 即可得解.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN 的中点纵坐标即可得解.【小问1详解】设()()12,0,,0F c F c -，()()121,2,1,2PF c PF c =-+-=+- ，由12PF PF ⊥，得212140PF PF c ⋅=-+=，解得25c =，即225a b +=，而曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，由点()1,2P -在C 的渐近线上，得2222(1)20a b --=，即224b a =，因此221,4a b ==，所以C 的方程为2214y x -=.【小问2详解】由（1）知(1,0)Q -，设直线l 为1122342(1),(,,,,)(0,,0)()(,)y k x A x y B x y M y N y -=+，由()222144y k x x y ⎧-=+⎨-=⎩消去y 得：()()2222424480kx kk x k k --+---=，则221212222448,44k k k k x x x x k k +---+==--，113(1,),(1,)QA x y QM y =+=，由,,A Q M 三点共线，得1311y y x =+，同理2421y y x =+，因此12341211y yy y x x +=+++()()12211212121y x y x y y x x x x +++=+++()()()()122112*********kx k x kx k x kx k kx k x x x x +++++++++++=+++()()()12121212222241kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()()222222248222424448244k k k k k k k k k k k k k ---+++++-=---+++-1644==--，所以MN 的中点T 为定点()0,2-.21.某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得X 张抽奖券，至少要在商场中消费满Y 元，求()(),E X D Y 的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p .随机变量ξ表示当恰好出现r 次失败时已经成功的试验次数.则ξ服从参数为r 和p 的负二项分布.记作(),NB r p ξ~.它的均值()1prE pξ=-，方差()2.(1)prD p ξ=-）【答案】（1）1136；（2）12；（3）()16E X =，()900000D Y =.【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，以及顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,,16r p X ξ===-，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得1份礼品的概率551116636P =-⨯=；【小问2详解】设A =“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，B =“顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C 666666P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()232321435515175C C 366666P AB P A P AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()4525167526P AB P B A P A ∴===∣；【小问3详解】由题意可知53,,16r p X ξ===-则()()()52111116116prE X E X E pξ=-+=+=+==-，()()()()21001001001000010000900000(1)prD Y D X D D p ξξ==+==⋅=-.22.已知函数()πe sin cos 1,0,2xf x x ax x x ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）2a ≤【解析】【分析】（1）求导()πe cos sin cos e sin 00,2xxf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，易得()f x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 上单调递增求解；（2）方法一：()()e sin 1cos xf x ax x a x =+-'+分0a ≤，01a <≤，12a <≤，2a >，由()min 0f x ≥求解；方法二：当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，转化为e sin 1cos x x a x x+-≤恒成立，由()min a g x ≤求解.【小问1详解】因为()e sin cos 1xf x x x x =+--，所以()πe cos sin cos e sin 00,2x xf x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增又()π2π00,e 2f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x ∴的值域是π20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】方法一：①当0a ≤时，()πe sin cos 1sin cos 00,2x f x x ax x x ax x x ⎡⎤=+--≥-≥∈⎢⎥⎣⎦在上恒成立，②当01a <≤时，()()()πe cos sin cos e sin 1cos 1cos 00,2x x f x x ax x a x ax x a x a x x ⎛⎫⎡⎤=++-=++->->∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭'，()f x ∴在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()()00f x f ∴≥=成立.③当2a >时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，()π2ππ020,e 022f a f a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝''⎭ ，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得当()00,x x ∈时()0f x '<，故()f x 在()00,x x ∈上单调递减，则()()000,f x f <=不成立，④当12a <≤时，令()()e cos sin cos xg x f x x ax x a x ==++-'，则()()()e 1sin sin cos 0xg x a x a x x x =+-++>'，所以()g x 在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递增，即()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()020f x f a ∴='-'≥≥，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，则()()00f x f ≥=成立.综上所述，若函数()0f x ≥恒成立，则2a ≤.方法二当0x =时，()00f =成立，当π2x =时，π2πe 02f ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin 1cos x x a x x +-≤恒成立，令()e sin 1cos x x g x x x+-=，则min ()a g x ≤，又()e sin 1sin e 1cos cos x xx x x x g x x x x x +-+->∴=> ，令()()()()()221cos cos sin cos sin sin ,cos cos x x x x x x x x x x h x h x x x x x+⋅-+-+=='，222sin sin cos cos x x x x x x x+-=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x >，()()222222sin 1cos sin sin sin sin cos 0cos cos x x x x x x x x x h x x x x x-++-∴>=>'，()h x ∴在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.00sin 1cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x x x x→→++==-，，故()2h x >，()e sin 12cos x x g x x x +-∴=>，又00e sin 1e cos lim lim 2cos cos sin x x x x x x x xx x x →→+-+==- ，min ()2g x ∴→，故2a ≤.【点睛】方法点睛：对于()0,f x x D ≥∈恒成立问题，法一：由()min 0,f x x D ≥∈求解；法二：转化为()g x a ≥()(),g x a x D ≤∈由()()()min min ,g x a g x a x D ≥≤∈求解.。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2019届高三第一次联考数学试题(解析版)
浙江省名校新高考研究联盟（Z20）2019届高三第一次联考数学试题一：选择题。
1.已知集合，，则A. B.C. D. 或【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合,再由交集的定义求解即可.【详解】集合，，．故选C．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.设复数满足为虚数单位，则A. B. i C. D. 1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果. 【详解】由，得．故选B．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.设函数，则的值为A. B. C. D. 2【答案】C【分析】由分段函数，先求=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值【详解】，=ln2，ln2，即=【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可4.已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】利用与相交或平行判断；根据与相交、平行或判断；根据或判断；由面面垂直的判定定理得．【详解】由，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，得：若，，，，则与相交或平行，故错误；若，，则与相交、平行或，故错误；若，，则或，故错误；若，，，则由面面垂直的判定定理得，故正确．故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5.已知实数满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 4C. 2D.【答案】B【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数满足约束条件对应的平面区域如图阴影部分由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大由解得．代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.已知双曲线：，则“”是“双曲线的焦点在轴上”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合总表示焦点在轴上判断即可．【详解】双曲线的焦点在轴上或，或，或推不出，“”是“双曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件．故选A．【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法,由是奇函数排除；排除；排除；从而可得结果.【详解】因为，可得是奇函数排除；当时，，点在轴的上方，排除；当时，，排除；故选A．【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8.已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，利用椭圆的定义，求得，，，可得，，由二倍角公式列方程可得结果.【详解】由题意可得：，，可得，，，，，，,可得，可得．故选B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用以及椭圆的离心，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．9.已知实数，满足，，则的最小值是A. 10B. 9C.D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．【详解】，，，，当且仅当时，取等号．则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10.已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，则下列正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用公式将问题转化为：比较与，，夹角的大小，然后判断到，，的距离，在中确定所在区域，利用数形结合可以解决．【详解】依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，则，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，设到，，的距离为，，则，其中是正四面体相邻两个面所成角，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故选D．【点睛】本题考查了异面直线及其所成角，以及公式的应用，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题．若直线与其在平面内的射影所成的角为，平面内任意直线与、成的角为，则.二：填空题。
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟(z20联盟)高三(上)第一次联考数学试卷(8月份)
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{||1|1}B x x =->，则()(R A B =ð )A ．[1-，0)(2⋃，3]B ．(2，3]C ．(-∞，0)(2⋃，)+∞D ．(1-，0)(2⋃，3)2．已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为( ) ABCD ．23．已知a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是( ) A ．b α⊥B ．//b αC ．αβ⊥D ．//αβ4．已知实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．11B ．10C ．6D ．45．已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是( ) A ．1B ．3-C ．5D ．7-6．已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，若f （a ）1…，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，4][2-，)+∞B ．[1-，2]C ．[4-，0)(0⋃，2]D ．[4-，2]7．已知函数()(||)cos f x ln x x =，以下哪个是()f x 的图象( )A ．B ．C ．D ．8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成△A BE '，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，A C '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则( )A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<9．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈有两个零点，则“20a b -+剟”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]”的一个( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要10．已知数列{}n a 满足：1102a <<，1(2)n n n a a ln a +=+-，则下列说法正确的是( ) A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a << 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位），则z 的虚部为 ，||z = ． 12．某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：)cm ，则该几何体的体积为 3cm ，表面积为 2cm ．13．若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=+++⋯+，则0a = ，2a = ．14．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE = ，cos CED ∠= ．15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 （用数字作答）．16．已知A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补，记AF ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，则222111k k -= ． 17．已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数2()cos cos f x x x x =．（1）求()3f π的值；（2）若13()210f α=，(0,)3πα∈，求cos α的值．19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点． （1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令,*nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 21．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q两点，||PQ =．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别 记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限，求点A 的坐标．22．设a 为实常数，函数2()f x ax =，()x g x e =，x R ∈． （1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设*m N ∈，不等式(2)()f x g x m +…的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +…的解集为B ，当(0a ∈，1]时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{||1|1}B x x =->，则()(R A B =ð )A ．[1-，0)(2⋃，3]B ．(2，3]C ．(-∞，0)(2⋃，)+∞D ．(1-，0)(2⋃，3)【解答】解：集合{|(3)(1)0}{|1A x x x x x =-+>=<-或3}x >， {||1|1}{|0B x x x x =->=<或2}x >， {|13}R C A x x ∴=-剟，(){|10R A B x x ∴=-<…ð或23}[1x <=-…，0)(2⋃，3]．故选：A ．2．已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为( )A B C D ．2【解答】解：双曲线22:193x y C -=，可得3a =，b =c ==所以C 的离心率为：c e a ==故选：C ．3．已知a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是( ) A ．b α⊥B ．//b αC ．αβ⊥D ．//αβ【解答】解：a α⊥，b β⊥，//a β， A 、//b α，故本选项不符合题意； B 、//b α或b α⊆，故本选项不符合题意； C 、αβ⊥，故本选项符合题意；D 、αβ⊥，故本选项不符合题意；故选：C ．4．已知实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．11B ．10C ．6D ．4【解答】解：由实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，联立32(1)x y x =⎧⎨=-⎩，解得(3,4)A ，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为10．故选：B ．5．已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是( ) A ．1B ．3-C ．5D ．7-【解答】解：圆C 的方程为22(3)1x y -+=，则圆心(3,0)C ；设y 轴上一点(0,)A b ，当以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点时， 满足31||31CA -+剟，即24，所以24， 化简得27b …，b ，A ∴的纵坐标可以是1．故选：A ．6．已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，若f （a ）1…，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，4][2-，)+∞B ．[1-，2]C ．[4-，0)(0⋃，2]D ．[4-，2]【解答】解：函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，f （a ）1…，可得0|2|11a a ⎧⋯⎨+-⎩……①或201a log a >⎧⋯⎨⎩…②，解①得：[4a ∈-，0]， 解②得：(0a ∈，2]， 综上[4a ∈-，2]． 故选：D ．7．已知函数()(||)cos f x ln x x =，以下哪个是()f x 的图象( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数()(||)cos f x ln x x =，是偶函数；2x π=-时，20y ln π=>，排除选项C 、D ，x π=-时，0y ln π=-<，排除选项A ，故选：B ．8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成△A BE '，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，A C '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则( )A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<【解答】解：如图，四边形ABCD 为矩形，BA A D ∴'⊥'，当A '点在底面BCD 上的射影O 落在BC 上时，平面A BC '⊥底面BCD ， 又DC BC ⊥，DC ∴⊥平面A BC '，DC BA ∴⊥'， BA ∴'⊥平面A DC '，在Rt △BA C '中，设1BA '=，则BC =1A C ∴'=，O ∴为BC 中点， 当A '点在底面上的射影E 落在BD 上时，A E BD '⊥，设1BA '=，则A D '=，A E '=，BE = 要使点A '在平面BCD 上的射影F 在BCD ∆内（不含边界），则点A '的射影F 落在线段OE 上（不含端点）， 可知A EF ∠'为二面角A BD C '--的平面角θ， 直线A D '与平面BCD 所成角为A DF α∠'=， 直线A C '与平面BCD 所成的角为A CF β∠'=，由题意得DF CF >，A C A D ∴'<'，且1A E '=<，A C '的最小值为1， sin sin sin A DF A CF A EO ∴∠'<∠'<∠'，αβθ∴<<．故选：D ．9．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈有两个零点，则“20a b -+剟”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]”的一个( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【解答】解：由已知可知△240a b =->函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]分为两种情况： ①函数()f x 在区间[0，2]上只有一个零点⇔0(0)(2)0f f >⎧⎨⎩…因为(0)f f （a ）222222(42)2424()40b a b b ab b b ab a b a a b b a =++=++=+++-=++-…，即22()4a b a b +-…，又因为240a b ->，此时得不到a b +具体取值范围；②函数()f x 在区间[0，2]上有2个零点⇔0(0)0(2)420022f b f a b a >⎧⎪=⎪⎪⎨=++⎪⎪<-<⎪⎩……，解得20a b -+剟；即20a b -+剟可推出函数()f x 在区间[0，2]上有2个零点， 因而20a b -+剟是函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]的充分不必要条件． 故选：A ．10．已知数列{}n a 满足：1102a <<，1(2)n n n a a ln a +=+-，则下列说法正确的是( ) A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a << 【解答】解：下面证明：112n a <<．(2)n …． 令()(2)f x x ln x =+-，102x <<． 11()1022xf x x x--'=+=>--， ∴函数()f x 在1(0,)2上单调递增，1()()(0)2f f x f ∴>>，∴131(2)222ln x ln x +>+->． 112n a ∴>>． ∴2019112a <<． 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位），则z 的虚部为 1- ，||z = ． 【解答】解：2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i ----====--+++-，z ∴的虚部为1-，||z ==．故答案为：1-12．某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：)cm ，则该几何体的体积为 33cm ，表面积为 2cm ．【解答】解：由题意可知几何体的正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：31123222112()323cm ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．表面积为：21114362211212)2222cm ⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯⨯=+．故答案为：233；43213．若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=+++⋯+，则0a = 2- ，2a = ． 【解答】解：若72807162567012877777(2)(21)(2)[(2)(2)(2)(2)]x x a a x a x a x x C x C x C x C x C +-=+++⋯+=+-++⋯+-，则常数项02a =-，2x 的系数652277222154a C C =-=-， 故答案为：2-；154-．14．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE = +cos CED ∠= ．【解答】解：36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，∴在BDE ∆中，2DB =，45B =︒，120BDE ∠=︒，15BED ∠=︒，由正弦定理，可得sin sin BD BDEBE BED∠==∠，在CEB ∆中，由余弦定理，可得2222?cos CE BE CB BE CB B =+-224(4=-=-，4CE ∴=-∴2221cos 2?2CE BE CB CEB CE BE +-∠==， 60CEB ∴∠=︒，45CED CEB BED ∴∠=∠-∠=︒，cos CED ∴∠=．故答案为：．15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 60 （用数字作答）．【解答】解：体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A =种． 其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A =种． 故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种， 故答案为：60．16．已知A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补，记AF ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，则222111k k -= 1 ． 【解答】解：A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补， 可知直线AF 与直线BF 关于x 轴对称，如图：(1,0)F ，设21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，B 关于x 轴的对称点221(4y B ，2)y -，121221214244y y k y y y y +==--，2124k y y =+， 12()4y y -=-，可得124y y =，则221212122221()()11116164y y y y y y k k +--=-==． 故答案为：1．17．已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为 4 ．【解答】解：由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则(2,0)A ，(2,)B b ，0b >， 则(2,0)a =，(2,)b b =， 由3144c a b =+，则(2,)4b C ，则直线OB ，OC 的斜率分别为2b ，8b ， 由两直线的夹角公式可得：3328tan 841282b b BOC b b b b -∠===+⨯+…，当且仅当82bb =即4b =时取等号， 此时(2,4)B ， 则(0,4)a b -=-， 即||4a b -=， 故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数2()cos cos f x x x x =．（1）求()3f π的值；（2）若13()210f α=，(0,)3πα∈，求cos α的值．【解答】解：（1）函数21cos 21()cos cos sin(2)262x f x x x x x π+=+==++，所以51()sin 1362f ππ=+=．（2）13()210f α=，所以113sin()6210πα++=，整理得4sin()65πα+=，由于(0,)3πα∈，3cos()65πα+=． 则3341433cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666552ππππππαααα+=+-=+++=+=19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点． （1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则(0B ，0，0)，1(1B -，0，(0C ，2，0)， 3(2M ，0， 1(1BB =-，0，3(,2CM =-，∴133022BB CM =-+=，1BB CM ∴⊥．（2）解：3(2BM =，1(1CB =-，2-，3(2CM =，2-， 设平面1CB M 的法向量(n x=，y ，)z ，则1203202n CB x y n CM x y⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，取2z =，得(0n =2)， 设直线BM 与平面1CB M 所成角为θ， 则||sin 7||||37nBM n BM θ===， ∴直线BM 与平面1CB M ．20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令,*nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）设首项为1a ，公差为d 的数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =， 则：114532362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a d ==，所以11n a n n =+-=，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．①所以当2n …时1122111(222)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=--+．②，①-②得1(24)(2)n n n b n b --=-，整理得()12nn b b -=常数，当1n =时，12b =，所以1222n n n b -==．证明：（2）由于,2n n n a n b ==，所以2n n n c =，故：231232222n nnT =+++⋯+①，2341112322222n n nT +=+++⋯+②， ①-②得23411111112222222n n n n T +=++++⋯-，解得2222n n nT +=-<．21．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q两点，||PQ =．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别 记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限，求点A 的坐标．【解答】解：（1）椭圆的离心率12c e a ==，①椭圆过点1)，代入椭圆方程228113a b+=，②222a b c =+，③解得24a =，23b =，21c =，所以椭圆的方程22143x y +=； （2）设0(A x ，20)4x ，求导2xy '=，则切线的斜率02x k =，切线方程2000()42x x y x x -=-，即20024x x y x =-，令0y =，则02xx =，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，(E E x ，)E y联立200222434120x x y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，整理得4223000(3)1204x x x x x +-+-=， 3012203x x x x +=+，则30122022(3)E x x x x x +==+，32200002200322(3)44(3)E x x x x y x x =⨯-=-++， 所以3020(2(3)x E x +，20203)4(3)x x -+，则BC 的中垂线的EK 的方程：23002200032()()4(3)2(3)x x y x x x x --=--++，令0y =，则30208(3)x x x =+，则320(8(3)x K x +，0)， 所以00211224x x S =⨯⨯=，3232000001222200039(4)1()228(3)4(3)64(3)x x x x x S x x x +=⨯-⨯=+++， 因此2200122209(4)1816(3)49x x S S x +==+，解得204x =，则02x =，则(2,1)A ． 所以A 的坐标(2,1)．22．设a 为实常数，函数2()f x ax =，()x g x e =，x R ∈． （1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设*m N ∈，不等式(2)()f x g x m +…的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +…的解集为B ，当(0a ∈，1]时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当12a e =时，2()()()2x x h x f x g x e e =+=+， ()x xh x e e∴'=+， 令()0x xh x e e'=+=，解的1x =-， 当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>， ()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，222222()()4()(4)()x x x x F x G x ax e ax e ax e ax e -=+-+=---，所以2()4x F x ax e '=+，()8x F x a e ''=+，(0a ∈，1]，()0F x ''∴>恒成立，即()F x '递增的，()n limF x →-∞'=-∞，(0)0F '>，所以函数()F x 先减后增，又()n limF x →-∞=+∞，()n limF x →+∞=+∞，且(0)1F m =…，根据零点存在定理，必存在1x ，2x ，使得120x x <…且12()()F x F x m ==， 所以集合1[A x =，2]x ；同理可得，存在3x ，4x ，使得34()()G x G x =，解得集合3[B x =，4]x ； 设2()x H x ax e =-，(0a ∈，1]，所以当0x <时，()2x H x ax e '=-，即()H x 单调递减， 则0x <时，()()(2)()0F x G x H x H x -=->， 所以331()()()F x G x m F x >==， 所以()F x 单调递减， 所以31x x <；若1m =时，则240x x ==，此时A B ⊆；当0x >时，设22222()()()(4)()3x x x x h x F x G x ax e ax e ax e e =-=---=-+， 则2()62x x h x ax e e '=-+，(0)0h '<，2()640x x h x a e e ''=-+<恒成立， 所以()h x '单调递减，即0x >时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，而(0)0h =，所以()0h x <，()()0F x G x -<， 当1m >时，244()()()F x m G x F x ==>，所以()F x 单调递增， 所以240x x >>，但31x x <， 所以不满足A B ⊆或B A ⊆．综上所述，当且仅当1m =使得A B ⊆或B A ⊆成立．。
2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考生物模拟试题参考答案
C
D
D
D
A
C
D
D
A
21
22
23
24
25
/
/
/
/
/
A
B
B
D
C
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/
二、非选择题（本大题共 6 小题，共 50 分）
26．（6 分）
（1）无机物、气候、能源
不是
（2）水平
（3）有
（4）一
0
27．（7 分）
（1）不需要光（答“碳反应”给分）
14CO2
（2）高 B 组只用了 A 组一半的光照时间，其光合产物相对含量却是 A 组的 94%
（3）H+和 e-（答“氢”给分） 28．（7 分）
三碳糖均用于 RuBP 再生，以加速 CO2 的固定
（1）2
自由组合
（2）绿叶 AaBb
（3）Aabb 或 aaBb
5
AABB
29．（10 分）
（1）凝固剂
500g/cm2
30 分钟
将空．白．平．板．置于 37℃恒温箱培．养．24 小时，观察有无杂菌生长
Z20 联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2020 届第一次联考
生物参考答案
一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符 合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
D
B
D
A
C
C
C
11
12
13
14
浙江省名校新高考研究联盟(Z20)联盟2019届第一次联考数学试题答案
因此 BD = (−3, 3,0) , DQ = (2, − 2 3 , 4) 33
…………3 分
设平面 QBD 的一个法向量为 n1 ，平面 ABCD 的一个法向量为 n2 则
n1 n1
BD = 0 DQ = 0 ，取 n1
= (1,
3, 0)
同理可取 n2 = (0, 0,1)
……………5 分
sin(2x
−
6
)
−
1 2
,1
…………………12 分
所以 f (x) 最大值为 3
…………………14 分
19. 解法一：（Ⅰ）连接 AC, BD 交于点 O ,则由 ABO CDO ,得 AO = 1 AC , 3
由于 PQ = 1 PC ,则有 QO / /PA ，由 PA ⊥ 平面ABCD ， 3
浙江省名校新高考研究联盟 2019 届第一次联考
数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）
题
6
7
8
9 10
答案
C
B
C
D
B
A
A
B
B
D
二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11. − 1 ， 8 39
12. 24 ， 60
13. 1，15
…………………15 分
20. （Ⅰ）当 a=1,b=1 时， Sn =2n + n −1
Tn =S1 + S2 + ... + Sn = 21 +1−1+ 22 + 2 −1+ ...+ 2n + n −1
Z20 名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023 届高三第一次联考参考答案
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第一次联考数学参考答案（后附评分细则）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8．解法一：不妨设()()1,0,2,0a b =−=，(),c x y =，因为12c a c b −=−，=即2240x x y ++=，由图可知，向量c b −与a 夹角的最大值是6π. 解法二：∵2c a c b −=−，∴2c b b a c b −+−=−，又∵2b a =−，∴()23c b a c b −−=−， 则()()()222469c b a c b a c b ⎡⎤−−⋅−+=−⎢⎥⎣⎦， 即()()28120c b a c b −−⋅−+=，即()()2128c b a c b−+⋅−=，所以()()()()22212123cos ,288c b a c b c b a c b a c bc bc b−⋅−−+<−>==≥=−−−， 向量c b −与a 夹角的最大值是6π.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分共20分.每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）11．解析：如图，过A 、B 作准线1y =−的垂线，垂足分别为H 、G ，设线段AB 的中点为C ，C 在准线上的射影为D .当线段AB 为通径时长度最小为24p =，故A 正确；y xOac bc b −因为1212AB x x k p+==，故B 正确； 因为直线1y =−为抛物线准线，由抛物线定义可知弦AB 的中点到准线的距离CD 等于()11||||||22BG AH AB +=， 故圆与直线1y =−相切，所以点M 在该圆的圆上或者圆外，故C 错误；由题意(0,1)M −，设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，直线AB 方程为1y mx =+， 则214y mx x y=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440x mx −−=，所以12124,4x x m x x +==−， 2212121122111144,44MA MB x x x x k k x x x x ++==+==+,1212121212121211044444MA MB x x x xx x x x x x k k x x x x ++++∴+=+++=+=−=，所以直线MA 与直线MB 的斜率互为相反数，直线倾斜角互补，所以∠AMO =∠BMO ， 故D 正确（D 选项也可用平面几何三角形相似得到）， 故选：ABD.12．解析：∵ln ()x f x x =，∴21ln ()x f x x −'=，()f x ∴在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减， 又∵2211ln ln e ex x x k x ==， ∴当0k >时，要使12x x +越小，则取21e 1x x =→，故有121x x +>，故A 正确； 又21e x x 与均可趋向于+∞，故B 错误；当0k <，21e x x =，且1(0,1)x ∈，1211ln 1x x x x ∴+=+<，故C 正确； 21e e kk x k x ⋅=，令()e ,0k g k k k =<，'()(1)e k g k k =+， ()g k ∴在(,1)−∞−单调递减，在(1,0)−单调递增，1()(1)eg k g ∴≥−=−，故D 正确，故选：ACD.三、填空题（本大题有4小题，单空每空4分，多空每空3分，共20分） 13．π；14．122n +−；15．63；16．132a −±=．16．解析：直线l 的方程可化为()3230a x y x y −−++−=，由23030x y x y +−=⎧⎨−−=⎩，解得直线l 的恒过定点()2,1−，又点C 到直线l 的距离为d ==，因为2211sin 2=222ABC S r BCA r r ∆=∠≤=⇒， 则当ABC ∆的面积最大为2时，ABC ∆为等腰直角三角形， 圆心C到直线l的距离为d =解得 a =四、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解： （1）()()3sin cos cosbA C c aB −=−，)()sin cos sin sincos BA C C AB ∴−=−，()sinsin sin cos A B B C A B =+−sin sin sin cos A B A A B =−， sin 0,cos 1,A B B ≠+=即有1sin(),62B π+=7(,),666B πππ+∈23B π∴=； 5分（2）若选①O 为ABC ∆的重心，111sin 3324OAC BAC S S ac B ∆∆===； 10分若选②O 为ABC ∆的内心，∵2222cos 49b ac ac B =+−=，∴7b =， 设内切圆半径为r ，则有1()24ABC a b c r S ∆++==， 则有2r =，此时124OAC S br ∆==； 10分若选③O 为ABC ∆的外心，∵2222cos 49b a c ac B =+−=，∴7b =，设外接圆半径为R ，则2R sin b B =，解得 R 3=，如图，23AOC π∠=, AB CE FD O ABCO此时,21R sin 2OACSAOC =∠=. 10分18．解： （I=N n *∈且2n ≥），∴n a =∴当2n ≥时，1n n S S −−∴=+，又∵0n a >0，1(2)n =≥，∴数列1==为首项，公差为1的等差数列，1(1)1n n =+−⨯=，所以2n S n =. 4分 ∴当2n ≥时，121n a n n n =+−=−，又∵11a =满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =−. 6分 另解：当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−， 当1n =时，11a =，满足上式，所以{}n a 的通项公式为21n a n =−. 6分 （II ）当2n ≥时，221111114441n a n n n n ⎛⎫==− ⎪−−−⎝⎭， 故22211111111111111141223144n a a n n n ⎛⎫⎛⎫++=⨯−+−++−=⨯−< ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭， 所以对,2n N n *∈≥，都有222111114n a a ++<−−. 12分 19．解：（I ）方法一：延长,CB DA 交于点F ，连接PF ，在CDF ∆中， ∵BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥， ∴点B 是CF 的中点，又∵E 是PC 的中点，∴BE ∥PF ，又PF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴直线BE ∥平面PAD . 6分方法二：取CD 的中点为G ，连接GE ， ∵E 为PC 的中点，∴GE ∥PD ， 又PD ⊂平面PAD ，GE ⊄平面PAD ，F P AB CD E∴GE ∥平面PAD ，① 又在四边形ABCD 中，2AD =，4BD =，AB =则90,60BAD BDA BDC ∠=∠=∠=,又因为BD BC ⊥，G 为CD 的中点，所以60DBG BDA ∠=∠=,所以AD ∥BG ，可得BG ∥平面PAD ，②由①②得平面BEG ∥平面PAD ，又BE ⊂平面BEG ，BE ⊄平面PAD ，∴直线BE ∥平面PAD .（II ）在ABD ∆中，2AD =，4BD =，AB =则90BAD ∠=，即BA AD ⊥，由已知得60BDC BDA ∠=∠=，8CD =，又平面PAD ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD ，所以BA ⊥平面PAD ，即BA PA ⊥， 所以PAD ∠为二面角P AB D −−的的平面角，所以60PAD ∠=， 又2PA AD ==，所以PAD ∆为正三角形，取AD 的中点为O ，连OP ，则OP AD ⊥，OP 如图建立空间直角坐标系，则()(()1,0,0,1,23,0,,1,0,0,A B C D P −−, 所以()()()1,0,3,2,23,0,DP BD DC ==−−=−,设()()111222,,,,,m x y z n x y z ==分别为平面PBD 和平面PCD 的法向量，则 0m DP m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111020x x ⎧+=⎪⎨−−=⎪⎩，取11y =−，则()3,1,1m =−−，n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222204430x x ⎧+=⎪⎨−+=⎪⎩，取21y =，则()3,1,1n =−，所以3cos ,5m n m n m n⋅==⋅， 则平面PBD 和平面PCD 所成夹角的余弦值为35. 12分20．解： （I ）由题意得45670.20.30.40.55.5,0.3544x y ++++++====，又4170.560.450.340.8.22i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，PA B CDE G∴4148.24 5.50.350.5i ii x y x y =−⋅=−⨯⨯=∑∵42222217654126,ii x==+++=∑ ∴4222141264 5.55ii xx ==−−⨯=∑∴41422140.5ˆ0.154i ii ii x y xybxx ==−===−∑∑， 所以0.35ˆˆ0.1 5.50.2a y bx=−=−⨯=−， 故得y 关于x 的线性回归方程为0.10.2y x =−. 5分 （II ）（ⅰ）将8x =代入0.10.20.180.20.6y x =−=⨯−=，估计该省要发放补贴的总金额为0.610000.5300⨯⨯=（万元） 7分（ⅱ）设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X ，则X 的所有可能值为0，1，2；2(0)(1)(23)352P X p p p p ==−−=−+，2(1)(1)(31)(23)661P X p p p p p p ==−−+−=−+−， 2(2)(31)3P X p p p p ==−=−，∴()()()222()0352********E X p p p p p p p =⨯−++−+−⨯+−⨯=−，5(0.5)0.5(41)0.758E X p p =⨯−≤⇒≤， 1031113p p ∴≤−≤∴≤≤，，1385p ∴≤≤,故p 的取值范围为15,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 12分注：p 的取值范围未取等不符不扣分 21．解： （I）因为c e a ==222243c a a b ==+，即223a b =，又点(在双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>图象上，所以22921a b −=，即229213b b−=，解得221,3b a ==，所以双曲线22:13x C y −=. 4分（II ）由已知点,A B 在以OP 为直径的圆22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，又点,A B 在221x y +=上，则有方程组2222000022,2241,x y x y x y x y ⎧+⎛⎫⎛⎫−+−=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩ 解得直线AB 的方程为001x x y y +=， 设直线AB与渐近线,y y x ==的交点分别为,M N ，由001,,x x y y y +=⎧⎪⎨⎪⎩解得M ，由001,,x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得N ，所以2200313MN x y ==−， 又点O 到直线AB的距离为d =，则三角形MON的面积222200001113112233S MN d x y x y =⋅=⨯=−−， 又因为220013x y −=，所以201833S y =+0=，由已知S =，解得203y =，即0y =，因为点P在双曲线右支上，解得0x =，即点(P或(P . 12分22．解： （I ）当22e a =时，()22211ln ln 1e e f x x x x x x x x ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭， 要证()0f x ≤，即证21ln 10ex x −−≤，设()21ln 1,0eg x x x x =−−>，令()2110eg x x '=−=，解得2e x =，所以()g x 在()20,e 上递增，在()2e ,+∞上递减， 则()()2222max1e ln e1e 0eg x g ==−−⨯=， 所以()0g x ≤，即21ln 10ex x −−≤成立， 所以()0f x ≤成立. 5分（II ） 因为对任意的0,()x H x >在(0,)+∞上单调递减，所以()0H x '≤恒成立，即e ln 1x x x a x−−≤在(0,)+∞上恒成立，解法一：令e ln 1()(0)x x x F x x x −−=>，则22e ln ()x x xF x x +'=， 令2()e ln x h x x x =+，则()21()2e 0xh x x x x'=++>， 所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，又因为11e2e 21e (1)e 0,1e 10e eh h −⎛⎫=>=−=−< ⎪⎝⎭， 所以01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0200e ln 0x x x +=， 当00x x <<时，()0h x <，可得()0F x '<，所以()F x 在()00,x 上单调递减； 当0x x >时，()0h x >，可得()0F x '>，所以()F x 在()0,x +∞上单调递增， 所以()000min00e ln 1()x x x F x F x x −−==，由0200e ln 0x x x +=，可得01ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=−== ⎪⎝⎭，令()e x t x x =，则()001ln t x t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由()(1)e 0x t x x '=+>，所以()t x 在(0,)+∞上单调递增， 所以001lnx x =，可得00ln x x =−，所以001e x x =，即00e 1x x =， 所以()0000min000e ln 111()1x x x x F x F x x x −−+−====，即得1a ≤. 12分解法二： 先证e 1x x ≥+（0x ≥），设函数()e 1x h x x =−−，令()e 10xh x '=−=，解得0x =， ∴()h x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+成立. 设()ln k x x x =+（0x >）， ∵()110k x x'=+>，∴()k x 在()0,+∞上单调递增， ∵()1110,110e e k k ⎛⎫=−+<=> ⎪⎝⎭，∴存在()00,x ∈+∞，使得00ln 0x x +=.令e ln 1()(0)x x x F x x x−−=>， 则()ln ln e e ln 1e ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x x F x x x x+−−−−++−−==≥=， 当ln 0x x +=时，即0x x =时，取等号. ∴()min 1F x =，即得1a ≤. 12分Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第一次联考数学试卷阅卷细则13-16．（每题5分，共20分）以数值正确为准， 注：第16题给出一个正确数值得3分. 17．（本题满分10分） （Ⅰ）5分1、有正确结论，23B π=，有过程，5分（无过程，3分） 2、无正确结论，找得分点：○1 ()sin sin sin cos A B B C A B =+− ， 2分○21sin()62B π+=，2分 ○323B π=，1分 （Ⅱ）5分1、有正确结论，有过程，5分（无过程，3分）2、无正确结论，找得分点：①1sin 2ABCS ac B ==2分 15334OACABCSS ==，3分 ② ∵2222cos 49b a c ac B =+−=，∴7b =，2分解得内切圆半径2r =，2分124OAC S br ∆==，1分③∵2222cos 49b a c ac B =+−=，∴7b =，2分解得R 3=，，2分解得21sin 2OAC S R AOC ∆=∠，1分 18．（本题满分12分）（Ⅰ）6分1、有正确结论，得21n a n =−，有过程，6分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：○1n a =2分○22nS n =，2分 ○321na n =−，2分 （Ⅱ）6分1、有正确证明过程，6分（无过程，不得分）2、证明有误，找得分点： ①221111114441n a n n n n ⎛⎫==− ⎪−−−⎝⎭，3分 ②22211111111111111141223144n a a n n n ⎛⎫⎛⎫++=⨯−+−++−=⨯−< ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭，3分 19．（本题满分12分）（Ⅰ）6分1、有证明过程，6分（无过程，不得分）2、证明有误，找得分点：方法一：○1BD BC ⊥，2分 ○2BE ∥PF ，2分 ○3直线BE ∥平面PAD ，2分 方法二：○1取CD 的中点为G ，GE ∥PD ，2分 ○2AD ∥BG ，2分 ○3由平面BEG ∥平面PAD 得直线BE ∥平面PAD ，2分（Ⅱ）6分1、有正确结论35，有过程，6分（无过程，3分） 2、无正确结论，找得分点：①60PAD ∠=，1分②有建系思想，1分○3 求出法向量()3,1,1m =−−，()3,1,1n =−，2分 （法向量计算错误但有法向量计算公式的给1分）④解得余弦值为35，2分（结论错误但有法向量夹角计算公式的给1分） 其他证法酌情给分20．（本题满分12分）（Ⅰ）5分1、有正确结论：0.10.2y x =−，有过程，5分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：①∵4148.24 5.50.350.5i i i x y x y =−⋅=−⨯⨯=∑， 4222141264 5.55i i xx ==−−⨯=∑，∴41422140.5ˆ0.154i ii i i x y xy b xx ==−===−∑∑，3分 ②0.35ˆˆ0.1 5.50.2a y bx=−=−⨯=−，1分 ③得0.10.2y x =−，1分（Ⅱ）7分（ⅰ）1、有正确结论：300万元，有过程，2分（无过程，1分）2、无正确结论，找得分点：将8x =代入0.10.20.180.20.6y x =−=⨯−=，1分（ⅱ）1、有正确结论：300万元，有过程，5分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：①2(0)(1)(23)352P X p p p p ==−−=−+，2(1)(1)(31)(23)661P X p p p p p p ==−−+−=−+−，2(2)(31)3P X p p p p ==−=−，()()()222()0352********E X p p p p p p p =⨯−++−+−⨯+−⨯=−，3分 ②解1358p ≤≤，2分（1358p <≤或1358p ≤<或1358p <<均得2分） 21．（本题满分12分）（Ⅰ）4分1、有正确结论：双曲线22:13x C y −=，有过程，4分（无过程，2分） 2、无正确结论，找得分点：①得223a b =， 1分②点(代入()2222:10,0x y C a b a b −=>>，得22921a b−=， 1分 ③解得221,3b a ==，双曲线22:13x C y −=， 2分 （Ⅱ）8分1、有正确结论：点(P或(P ，有过程，8分（无过程，3分，只写出一个坐标的扣1分）2、无正确结论，找得分点：①解得直线AB 的方程为001x x y y +=， 1分②由001,,x x y y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得M ，1分由001,,3x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得N ，1分③2200313MN x y ==−， 点O 到直线AB的距离为d =，三角形MON 的面积222200001113112233S MN d x y x y =⋅=⨯=−−0，3分 ○4点(P或(P ，2分 本小题其他解法酌情给分22．（本题满分12分）（Ⅰ）5分找得分点累加：①要证()0f x ≤，即证21ln 10e x x −−≤，1分 ②设()21ln 1,0e g x x x x =−−>，得()g x 在()20,e 上递增，在()2e ,+∞上递减，2分 ③()()2222max 1e ln e 1e 0e g x g ==−−⨯=，即21ln 10e x x −−≤成立，2分（Ⅱ）7分1、有正确结论：1a ≤，有过程，7分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：①由()0H x '≤恒成立，得e ln 1x x x a x −−≤，2分 ②令e ln 1()(0)x x x F x x x−−=>，得()F x 在()00,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，2分③01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得0200e ln 0x x x +=，1分 ④求得()0000min 000e ln 111()1x x x x F x F x x x −−+−====，即1a ≤，2分 本小题其他解法酌情给分。
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三(上)第一次联考数学试卷(8月份) (含答案解析)
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合A ={x||x|>1,x ∈R}，B ={y|y =2x 2,x ∈R}，则(∁R A)∩B =( )A. {x|−1≤x ≤1}B. {x|x ≥0}C. {x|0≤x ≤1}D. ⌀2. 双曲线y 24−x 25=1的离心率的值为( )A. 12B. 23C. 32D. √533. 己知两个不重合的平面α、β和直线a 、b ，下列说法正确的是( )A. 若a//α，b//β，则a//bB. 若a ⊂α，b ⊂β，且a//b ，则α//βC. 若a ⊥α，b ⊥β，且a//b ，则α//βD. 若α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥b4. 已知x ，y 满足{y ≤x,x +y ≤1,y ≥−1,则z =2x +y 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若圆C ：x 2+y 2=r 2(r >0)与圆E ：(x −3)2+(y −4)2=16有公共点，则r 的范围() A. (3,6) B. [1,7] C. [1,9] D. [4,8]6. 已知函数f(x)={log 13x,x >02x ,x ≤0，若f(a)>12，则实数a 的取值范围是( )A. (0,√33)B. (−1,0]C. (−1,√33)D. (−1,0)∪(0,√33)7. 函数f(x)=(x +1x )cos2x 在[−2,2]上的大致图象为( )A. B.C. D.8.如图，已知△ABC中，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′−CD−B的平面角为α，则()A. ∠A′DB≤αB. ∠A′DB≥αC. ∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α9.函数f(x)=2x2−5x−6有两个零点x1，x2(x1<x2)，则()．A. x1∈(0,1)B. x1∈(1,2)C. x2∈(3,4)D. x2∈(4,5)10.数列{a n}满足，若a1=35，则a2014=()A. 15B. 25C. 35D. 45二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数z=3+i1+i，则∣z∣=_____________．12.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______ cm2，体积是______ cm3．13.已知(2x+√2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=_______14.已知△ABC中，AC=√2，BC=√6，∠ACB=π6，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=π4，则CD=_________．15.某学校在一天上午的5节课中，安排语文、数学、英语三门文化课和音乐、美术两门艺术课各1节，且相邻两节文化课之间最多安排1节艺术课．则不同的排课方法共有______种(用数字作答)．16.已知点M(0,2)，过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF=π2，则点B坐标为______．17.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=cos2x+2sinxcosx−sin2x；(1)求f(x)在[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(α)=35√2，α∈(π8,π2)，求sin2α的值．19.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．20. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3=9，a n+12=6S n +9n +9，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若正项等比数列{b n }满足b 1=a 2，b 2=a 1，且c n =a n ·b n ，数列{c n }的前项和为T n .求证T n <72；21. 如图，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F(1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M,N 两点，连接MO(O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求面积的最大值及取最大值时直线l 的方程。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第二次联考(高三返校联考)数学答案
2)( x2
2)
16
，
即 x1x2 2(x1 x2 ) 20 ．
直线 AB 方程：
y
x12 4
x12 4 x1
x22 4
x2
(x x1) ，
即 y x1 x2 x x1x2 x1 x2 x 2(x1 x2 ) 20 x1 x2 (x 2) 5 ．
x12 ) ， 4
B(x2 ,
x22 4
)
，Q
AP
BP k AP
kBP
1
,
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2019 届第二次联考 数学参考答案 第 2 页 共 4 页
x12 1 4 x1 2
x22 1 4 x2 2
1 ，
x1
4
2
x2
4
2
1 ， ( x1
\ AP//NM ．\ PM = 1
MC
……………7 分
F
D
E
N
P
O
M
C
（Ⅱ）连结 PN ，过 P 作 MN 的垂线，垂足为 O ，连结 DO .
PB PD ， CD = BC \VPCD @VPCB ， MD = MB . A
B
\MN ^ DB Q CN ^ DB MNC 为二面角 M DB C 的平面角.
f
(x)
的单调递增区间为
12
k , 5 12
k
，k
Z
…………………6 分
（Ⅱ） f (C) 0sin(2C ) 0 ,C 或 C 2 （舍去）；
2019年8月浙江省学考选考高2020届高2017级浙江省Z20联盟开学考语文模拟试题
绝密★考试结束前(高三暑假返校联考)浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考语文试题卷命题：绍兴鲁迅中学彭玉华、潘颂一审题：元济高级中学沈丁飞桐乡高级中学廖城平校对：徐晓琦、金小娟一、语言文字运用(共20分)1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是( )(3分)A．此刻，窗外的雨不再是清冷的秋雨了，在我的眸里是一种柔软，似撒．(sǎ)娇少女的情怀，是怜，是爱，是柔，是润在我心里的一种憧憬．(jǐng)。
B．财政部驻各地财政监察专员办事处要紧密结合工作重点，加强对属．(shǔ)地中央预算单位国库集中支付资金支付行为的监控，督促有关单位堵塞．(sè)漏洞和健全制度C．成功路上无坦途，改革不会一劳永逸，面对新变化新问题，小岗人也曾彳亍，却始终坚守改革初心，奋楫．(jì)争流，不断瞠．(tāng)出一条条发展新路，带来一波波改革红利。
D．虽然礼堂里有冷气，但曹元朗穿了黑呢．(ní)礼服，忙得满头大汗，我看他戴的白硬领圈，给汗浸．(jìn)得又黄又软。
我只怕他整个胖身体全化在汗里，像洋蜡烛化成一滩油。
阅读下面的文字，完成2~3题。
(5分)5月16日，享誉世界的华裔建筑大师贝聿铭去世，享年102岁。
【甲】从法国卢浮官前的玻璃金字塔，大理石砌成的华盛顿国家美术馆，到维多利亚港口边矗立的香港中银大厦，贝聿铭的建筑手笔，将艺术之美凝固于大地，被时间证明永恒。
1983年，贝聿铭捧得建筑学界最高奖项：普利兹克奖。
【乙】评委会认为：“贝聿铭给以．．我们本世纪最优美的室内空间和建筑形体，他始终关注他的建筑周边的环境，……对于材料的运用达到了诗一般的境界。
”【丙】贝聿铭被称为“最后的现代主义建筑大师”，他的现代主义有着一种鲜明的个人烙印——干净、内敛、边缘锐利、对几何形状的肆意使用等。
正因为如此，人们对其建筑作品情有独钟．．．．。
站在贝聿铭设计的建筑前，你会惊叹于那些看似锐利线条的流动之美及其．．和谐的韵律，与周围环境水．乳交融．．．。
浙江省Z20联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2024-2025学年高三上学期开学考试化学试题含答案
Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考化学试题（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。
可能用到的相对原子质量：H-1C-12N-14O-16V-51Ga-70选择题部分一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1.下列物质属于盐的是A.HNO 3B.K 2O 2C.CH 3NH 3ClD.Mg 3N 2【答案】C【解析】【详解】A ．硝酸属于酸，A 错误；B ．过氧化钾属于过氧化物，B 错误；C ．甲胺(CH 3NH 2)为一元弱碱，与盐酸反应生成盐酸盐CH 3NH 3Cl ，即CH 3NH 3Cl 属于盐，C 正确；D ．氮化镁的阴离子不是酸根离子，所以氮化镁不属于盐，D 错误；故选C 。
2.下列物质性质与用途具有对应关系的是A.浓硫酸具有难挥发性，可用于制备HCl 气体B.2SO 具有氧化性，工业上可用氨水吸收除去C.2Na S 具有还原性，可用于除去工业废水中的2Hg +D .4BaSO 难溶于水且不被X 射线透过，可用作钡餐【答案】A【解析】【详解】A ．由高沸点酸制取挥发性酸的原理可知，具有难挥发性的浓硫酸可用于制备氯化氢气体，A 正确；B ．2SO 是酸性氧化物，工业上可用氨水吸收除去，B 错误；C ．2Na S 可用于除去工业废水中的2Hg +，是生成难溶性的硫化汞，与还原性无关，C 错误；D ．硫酸钡可用作钡餐是因为硫酸钡难溶于水，不能与胃液中的盐酸反应，且不被X 射线透过，D 错误；故选A 。
3.下列表示正确的是A.丙氨酸的结构简式：22H N CH COOH--B.基态氧原子的价电子排布图为：C.2OF 的价层电子对互斥(VSEPR )模型：D.中子数为34的锌原子：6531Zn【答案】B【解析】【详解】A ．丙氨酸的结构简式：CH 3CH(NH 2)COOH ，故A 错误；B ．根据洪特规则，电子分布到能量筒并的原子轨道时，优先以自旋相同的方式分别占据不同的轨道，这种排布方式原子的总能量最低，则基态氧原子的价电子排布图为：，故B 正确；C ．2OF 的价层电子对数为：()12+621=42-⨯，含有2对孤电子对，价层电子对互斥(VSEPR )模型为：，故C 错误；D ．锌为30号元素，中子数为34的锌原子：6430Zn ，故D 错误；故答案选B 。
浙江省名校学考选考新高考研究联盟Z20联盟高三下学期第三次联考数学试题及参考答案解析
浙江省名校新高考研究联盟(Z 20联盟)高2020届高2017级第三次联考数学试题卷 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R,U =,集合4{Z |24},{R |0}1x A x x B x x -=∈≤≤=∈>-,则()U A C B ⋂=( )A.[]1,4B.[2,4)C.{2,3,4}D.{2,3}【参考答案】C 【试题解析】根据题意,求出集合的等价条件,再根据集合的基本运算进行求解即可. 由题意,{}{}|242,3,4A x Z x =∈≤≤=, 由401x x ->-,即()()410x x -->,解得1x <或4x >, 所以{|1B x x =<或}4x >,故{}|14U C B x x =≤≤, 所以(){}2,3,4U AC B =.故参考答案：C.本题主要考查集合的基本运算,考查解分式不等式,属于基础题.2.椭圆2212x y +=的焦点是( )A.()1,0±B.()0,1±C.(3,0)D.(0,3【参考答案】A 【试题解析】根据椭圆方程计算可得；解：因为2212x y +=所以22a =,21b =所以2221c a b =-=,所以1c = 所以椭圆的焦点坐标为()1,0±, 故参考答案：A本题考查椭圆的简单几何性质,属于基础题. 3.若复数12z bi =+(R,b i ∈为虚数单位)满足ln()z z z ⋅=,其中z 为z 的共轭复数,()ln z 表示z 的虚部,则1zi+的值为( ) A.12C.1【参考答案】A 【试题解析】先计算z z ⋅的值,再根据共轭复数虚部的定义及共轭复数的概念可求得b 的值,最后代入模的计算公式,即可得答案；2)(ln()111)(224bi b z i z z b +-=⋅=+=,12z bi =-∴211042b b b ++=⇒=-,∴211z i ====+,故参考答案：A.本题考查复数新定义题、复数模的计算、共轭复数的概念,考查逻辑推理能力、运算求解能力. 4.设,0a b >,若41a b +=,则22log log a b +的( ) A.最小值为2-B.最小值为4-C.最大值为2-D.最大值为4-【参考答案】D 【试题解析】利用基本不等式的性质即可得出.解：244124416b ab aab+⎛⎫⎪⋅⎝⎭=≤=,当且仅当4a b=,即11,28a b==时等号成立,()22221log log log log416a b ab ∴+=≤=-.故参考答案：D. 本题考查对数的运算,考查基本不等式求最值,是基础题. 5.若实数x,y满足约束条件220,20,30,x y x y x y-+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则233z x y=-+的最大值为( ) A.8- B.5- C.2- D.15-【参考答案】C 【试题解析】利用约束条件画出可行域,然后利用目标函数的几何意义得最值. 由题意,实数x,y满足约束条件2202030x y x y x y-+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩,如图：图中阴影部分由22030x y x y -+=⎧⎨-+=⎩,解得()4,1A --,目标函数233z x y =-+化为2133z y x =-+,由图可知当目标函数过()4,1A --时得最大值,此时()()max 243132z =⨯--⨯-+=-. 故参考答案：C.本题考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.6.函数()sin()cos()4411()()22x x f x ππ++=-的图像可能是( ) A. B.C. D.【参考答案】B 【试题解析】先判断出()f x 为奇函数,从而排除C,D 选项,再当04x π<<时,442x πππ<+<,则可得sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则可判断出()0f x <,从而排除A,得出答案.由()()()22sin()cos()sin cos cos sin 441111()()((2222=x x x x x x f x ππ+++-=--可得())()()22cos sin x cos sin 11((22x x x f f x x -+-=-=-,所以()f x 为奇函数,从而排除C,D选项. 又当04x π<<时,442x πππ<+<,则可得sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,所以sin()cos()4411()()22x x ππ++<,即当04x π<<时,()0f x <,从而排除A.故参考答案：B本题考查函数的奇偶性,考查三角函数值的大小比较,考查指数函数的单调性,函数图像的识别,属于中档题.7.已知数列{}n a 满足1sin n n a a +=,*N n ∈,则“10a ≥”是“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】B 【试题解析】构造函数()sin f x x x =-,利用导数分析函数的单调性,并得出当0x >时,()()00f x f <=；当0x <时,()()0f x f >,利用特殊值法以及逻辑推证法,结合充分条件、必要条件的定义判断即可.构造函数()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,所以,函数()y f x =在R 上是减函数. 则当0x >时,()()00f x f <=；当0x <时,()()00f x f >=. 取132a π=,则21sin 1a a ==-,322sin sin11a a a ==->-=, 所以,“10a ≥”⇒“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”, 若对任意*n ∈N ,1n n a a +≤,则21a a ≤,即11sin a a ≤,即()10f a ≤,10a ∴≥.所以,“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”⇒“10a ≥”.因此,“10a ≥”是“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”的必要不充分条件. 故参考答案：B.本题考查必要不充分条件的判断,涉及导数的应用,考查推理能力,属于中等题. 8.随机变量X 的分布列是( )A.()E X ≥B.()E X ≤C.()()E X D X ≥D.()()E X D X ≤【参考答案】A 【试题解析】由均值的定义求出均值()=246E X a b c ++,1a b c ++=由方差公式计算出方差(2)(4()=()()())()6D X E X E X b c E a X ++222－－－ 做差比较2()()E X D X －可得.()=246E X a b c ++,1a b c ++=(2)(4()=()()())()6D X E X E X b c E a X ++222－－－22()(()=(246)[(2)(4)()())])(6D X E X E X E E X a b c a c X b ++-++222－－－－222=2(246)(41636)=4[2(23)(49)]=4[2(12)(138)]=a b c a b c a b c a b c b c b c ++-++++-++++-++2222(12)(138)=2[1(2)2(2)](138)=12(2)0b c b c b c b c b c b c b ++-++++++-+++++>故参考答案：A1.均值与方差的一般计算步骤(1)理解X 的意义,写出X 的所有可能取的值； (2)求X 取各个值的概率,写出分布列；(3)根据分布列,由均值的定义求出均值()E X ,进一步由公式1())(()nii i D X x E X p =∑2＝－求出()D X9.已知空间向量,,OA OB OC 两两相互垂直,且||||||OA OB OC OP ===,若OP xOA yOB zOC =++则x y z ++的取值范围是( )A.⎡⎢⎣⎦B.[]1,1-C.[D.[]22-,【参考答案】C 【试题解析】设||||||OA OB OC OP r ====,根据题意可得2221x y z =++,再利用基本不等式,即可得答案；设|OA OB OC OP r ====,2221OP OA yOB zOC x z x y =++⇒=++,∴2222222()2223()3x y z x y z xy yz xz x y z ++=+++++≤++=,等号成立,当且仅当3x y z ===±,∴x y z ≤++≤故参考答案：C.本题考查向量的数量积、基本不等式,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意验证等号成立的条件.10.已知函数()()1f x g x r ==-( )命题①：对任意的0,2r >是函数()()y f x g x =-的零点； 命题②：对任意的0,2r >是函数()()y f x g x =-的极值点. A.命题①和②都成立 B.命题①和②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立【参考答案】C 【试题解析】根据零点和极值点的定义对两个命题进行判断.(2)1f ==,(2)11g r =-=,即(2)(2)0f g -=,命题①正确.对()()y f x g x =-,是可导函数,且y '=2x =时,22|102x ry r='=-+=,由()y f x ==得22163x y +=,因此曲线()y f x =是椭圆22063x y +=的上半部分(满足0y ≥的部分),由()1y g x r ==-+222(2)(1)2x r y r r -++-+=,因此曲线()y g x =是圆222(2)(1)2x r y r r -++-+=的上半圆(满足1y r ≥-的部分),点(2,1)始终是两曲线公共点,圆222(2)(1)2x r y r r -++-+=的圆心是(2,1)M r r --,半径是=R ,当正数r 接近于0时,圆在椭圆内部,当r 逐渐增大时,圆半径增大,圆与椭圆的位置关系由相切(圆在椭圆内部)演变为相交再变为相切(椭圆在圆内部), (注意两个曲线不相同,不可以重合,所以中间经过相交过渡),两曲线在点(2,1)相切时,()()y f x g x =-在2x =处取得极值,当两曲线相交时,()()y f x g x =-在2x =处不是极值.所以命题②错误. 故参考答案：C.本题考查命题的真假判断,掌握零点和极值的定义是解题关键.本题直接研究极值(用导数的正负)不太方便,而从两曲线的位置关系入手抓住位置关系的变化过程的连续性可以直观地确定2x =是否是函数()()y f x g x =-的极值点.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.大约在2000多年前,由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年,已知O 为原点,1OP =,若1,44M ⎛- ⎝⎭,则线段PM 长的最小值为_____________ 【参考答案】12【试题解析】依题意可得P 为以O 圆心,1为半径的圆,求出MO ,由minPM r MO =-计算可得；解：依题意可得P 为以O 圆心,1为半径的圆,因为12MO ==, 所以min 11122PM r MO =-=-=故答案为：12本题考查点与圆上的点的距离最值,属于基础题.12.在二项式6的展开式中,系数为有理数的项的个数是_______；二项式系数．．．．．最大的项为_______.【参考答案】 (1).4 (2).32-- 【试题解析】根据通项公式可得系数为有理数的项的个数,根据二项式系数的性质可知第4项的二项式系数最大,根据通项公式计算可求得结果.因为616()r rr r T C x-+=-3326(rr r C x -=⋅,(0,1,2,3,4,5,6)r =,所以当0,2,4,6r =时,系数6(r rC 为有理数,故系数为有理数的项的个数是4；因为6n =,二项展开式共有7项,其中第4项二项式系数最大,即3r =, 所以3333324316(T T C x-⨯+==32-=-.故答案为：4；32--.本题考查了二项展开式的通项公式的应用,考查了二项式系数的性质,属于基础题.13.某四棱锥的三视图如图所示,则它的体积为_______,表面积为_______【参考答案】 (1).23(2).422+ 【试题解析】根据三视图可知,该四棱锥是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱柱,截去一个同底等高的的三棱锥所得部分,其体积利用三棱柱的体积减去截去三棱锥的体积求解.表面积根据各面的形状,利用三视图提供的数据,求得各面的面积再求和.由三视图可知,该四棱锥是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱柱,截去一个同底等高的的三棱锥所得部分,如图所示：所以该四棱锥P -ABCD 的体积为：11121121122323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=, 在矩形ABCD 中,AB =2,BC 2,所以S 矩形ABCD =22AB BC ⨯=,在Rt PDC 中,1,2PC DC ==,所以112RtPDCS PC DC =⨯=, 在Rt PAB 中,1,2PB AB ==,所以112Rt PABC S PB AB =⨯=,在Rt PBC 中,1,1PB PC ==,所以1122Rt PABC S PB PC =⨯=,在PAD △中,22225,5,2PA PB AB PD PC DC AD =+==+==,所以22113222PADS AD PD AD⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,所以该四棱锥P-ABCD表面积为：S= S矩形ABCDRt PDCS++Rt PABCS+Rt PABCS+422PADS=+,故答案为：①23；②422+本题主要考查三视图的应用求几何体的体积和表面积,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.14.如图,在平面凸四边形ABCD中,24,AB AD CD BC P====为对角线AC的中点.若3PD PB=.则PD=_______,ABC∠=_______.【参考答案】 (1).3 (2).23π【试题解析】设PB x=,则33PD PB x==,由APB CPBπ∠+∠=,利用余弦定理建立cos cos0APB CPB∠+∠=,解方程即可得到答案；在ABC中,由余弦定理即可算得ABC∠.设PB x=,则33PD PB x==,因为DA DC=,P为AC的中点,所以DP AC⊥,PA PC=,2222163AP AD DP x=-=-,又APB CPBπ∠+∠=,所以cos cos0APB CPB∠+∠=,即22222222AP PB AB PB PC BCAP PB PB PC+-+-+=⋅⋅,代入数2222163x x+⋅-2222163x x=⋅-,解得3x所以33PD x==；在ABC 中,由余弦定理得,2221644(169)1cos 22422BA BC AC ABC BA BC +-+-⨯-∠===-⋅⨯⨯,所以ABC ∠=23π. 故答案为：3；23π. 本题主要考查余弦定理解三角形,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.15.由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位数中,相邻两个数字的差的绝对值不超过2的情况有_______种(用数字作答) 【参考答案】20 【试题解析】分个位数字分别为1,2,3,4,5五种情况,分别列举求解即可.当个位数字为1时,符合的五位数是：54321,45321,53421,35421,54231,24531共6种； 当个位数字为2时,符合的五位数是：54312,45312,13542共3种； 当个位数字为3时,符合的五位数是：54213,12453共2种； 当个位数字为4时,符合的五位数是：53124,12354,21354共3种；当个位数字为5时,符合的五位数是：12435,42135,12345,21345,31245,13245共6种； 合计符合条件的共有20种. 故答案为：20本题考查了分类计数原理的应用,考查了列举法求解排数问题.16.函数()f x 在区间A 上的最大值记为max ()x A f x ∈,最小值记为min ()x A f x ∈.若函数2()1f x x bx =--,[1,2][1,3]max min ()x b f x ∈∈=_______ 【参考答案】1- 【试题解析】对函数()f x 的对称轴2bx =与区间端点1,2的大小关系分类讨论,再根据二次函数的单调性即可求出[1,2]min ()xf x ∈,记[1,2]min ()()x f x g b ∈=,再求()g b 在[1,3]上的最小值,即可得到答案.函数()f x 的对称轴2b x =, 当12b ≤,即2b ≤时,函数()f x 在[1,2]上单调递增,所以[1,2]min ()(1)xf x f b ∈==-； 当122b <<,即24b <<时,函数()f x 在(1,)2b 上单调递减,在(,2)2b上单调递增,所以2[1,2]min ()()124x b b f x f ∈==--； 当22b≥,即4b ≥时,函数()f x [1,2]上单调递减,所以[1,2]min ()(2)32xf x f b ∈==-； 设[1,2]min ()()x f x g b ∈=,则2,2()1,24432,4b b b g b b b b -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩, 因为[1,3]b ∈,所以当12b ≤≤时,()g b b =-在[1,2]上单调递减,所以max ()(1)1g b g ==-；当23x <≤时,2()14b g b =--在(2,3]上单调递减,所以max ()(2)2g b g <=-,综上：()g b 在[1,3]上的最大值为1-,所以[1,2][1,3]max min ()1x b f x ∈∈=-. 故答案为：1-本题以“轴动区间定”的二次函数问题为背景,主要考查函数的最值、单调性,同时考查分类讨论思想的应用,主要以对称轴和区间的位置关系分三种情况进行讨论,属于中档题. 17.斜线OA 与平面α成15°角,斜足为O ,A '为A 在α内的射影,B 为OA 的中点,l 是α内过点O 的动直线,若l 上存在点1P ,2P 使1230APB AP B ︒∠=∠=,则12||P P AB 则的最大值是_______,此时二面角12A PP A '--平面角的正弦值是_______【参考答案】(1).2 (2).2【试题解析】(1)作图,不妨设1AB =,由已知可得点1P ,2P 在以AB 为弦长的圆上,其中F 为圆心,当直线12PP 过圆心F 时,12PP 最大,此时122PP=,1AB =,然后即可求解 (2)作图,利用(1)的条件,由于2AO =,斜线OA 与平面α成15°角,可求出'AA ,过点'A 作'A C OC ⊥,'ACA ∴∠是二面角12A PP A '--的平面角,然后利用'sin 'AA ACA AC∠=即可求解.1230APB AP B ︒∠=∠=,∴点1P ,2P 在以AB 为弦长的圆上, 其中F圆心,则60AFB ︒∠=,如图：不妨设1AB =,当直线12PP 过圆心F 时,12PP 最大,此时122PP=,1AB =, ∴12||P P AB 的最大值为2, 而此时,OBF △为等腰三角形,∴130AOP ︒∠=, 此时,过点A '作'A C OC ⊥,,,AA AA OC AA A C A α'⊥∴'⊥''=',OC ∴⊥平面,AA C OC AC '∴⊥,'ACA ∴∠是二面角12A PP A '--的平面角,斜线OA 与平面α成15°角,即15AOA ∠'=︒ 在'AOA △中,2AO =,62'2sin152sin(4530)2AA =︒=︒-︒=如图：130AOP ︒∠=,30AOC ︒∴∠=,在Rt AOC △中,2AO =,可求得1AC =,∴在'Rt ACA △中,'62sin '2AA ACA AC∠==. 故答案为：2；622. 本题考查线面角和面面角的运用,属于较难题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()2sin cos sin cos 233f x x x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期T 及3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若方程3||122f x a π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有3个解,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(1)3,34T f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；(2)134a ⎡∈⎢⎣⎭【试题解析】(1)先化简函数()13sin 22f x x =进而可得结论； (2)先由3122f x a π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,可得sin 226x a π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭或2a ,再结合图象列不等式,解得即可.(1)3133 ()2sin cos cos22sin cos sin cos232222f x x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=+-=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos2313sin23cos2sin222222xx x x-=-⋅-=-所以函数()f x的最小正周期T π=,133sin232324fππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由题意,3sin221226f x a x aππ⎛⎫⎛⎫++=⇒+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2a.又350,2,4663x xππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,如图：考虑要有3个解,结合图像可知121,232aa⎧≤<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩故13,44a⎡∈⎢⎣⎭.本题考查三角函数的化简,考查三角函数的图象与性质,考查学生转化问题的能力,属于基础题.19.如图,在ABC中,3AB=,24AC BC==,D为AC的中点,=2AE EB,34BP PC=.现将ADE沿DE翻折至A DE',得四棱锥.A BCDE'-(1)证明：A D P E '⊥；(2)若3AA '=求直线A P '与平面BCD 所成角的正切值．．． 【参考答案】(1)证明见解析；(2)7 【试题解析】(1)设F 为DE 的中点,通过证明⊥DE FP ,DE A F '⊥来证明DE ⊥面A FP ',从而证得'⊥DE A P ；(2)法一：连结AA ',设A '在面ABC 上的射影点为H ,则由题知点H 在AP 上,且A PH '∠为直线A P '与平面BCD 所成角,通过条件算出2155A H '=,215=PH 即可求得直线A P'与平面BCD 所成角的正切值；法二：如图,以F 为原点,，FE FP 为x y ，轴建立空间直角坐标系,运用向量法求解直线A P '与平面BCD 所成角的正切值.(1)设F 为DE 的中点,D 为AC 的中点,2BE EA =,则2AD AE ==, 故AF DE ⊥,则A F DE '⊥,又34BP PC =,则34==BP AB PC AC , 所以AP 是BAC ∠的角平分线,且，，A F P 三点共线. 由DE FPDE A F⊥⎧⎨⊥'⎩,且FP A F F ⋂'=,得DE ⊥面A FP ',则'⊥DE A P ；(2)法一：连结AA '.由DE ⊥平面A FP '得,平面ABC ⊥平面A FP ',交线为AP , 所以A '在面ABC 上的射影点H 在AP 上,A PH '∠为直线A P '与平面BCD 所成角.在ABC 中,423，，===AB BC AC ,由余弦定理得2223427cos 2348BAC +-∠==⨯⨯,22242311cos 24216ACB +-∠==⨯⨯,故2272222218DE =+-⨯⨯⨯=,152'==AF A F , 又23AA '=,在AA F '得,由余弦定理得25cos 5'∠=A AF ,则5sin 5A AP '∠=, 所以215sin A H AA A AP =∠=''', 由(1)得AP 为角平分线, 在ACP △中,87=CP ,由余弦定理得615=AP ,则215=PH ,所以 tan 7A HA PH PH''∠==,所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7.法二：如图,以F 为原点,，FE FP 为x y ，轴建立空间直角坐标系.1115315(0,0,0),0,0,0,00,,22244，，，，⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F E D A B , 155151,0,214，⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C P 设(0,,)A a b ',由152'==A F AF ,3AA '=22221541512a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩, 得3152150,,105⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭A .2152150,,355PA '⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 法向量为(0,0,1)n =,设直线A P '与平面BCD 所成角为θ,所以215||725sin 10||||2301'⋅==='⋅⋅PA n PA n θ,2cos 10θ=,则tan 7θ=,所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7.本题主要考查了直线与直线垂直的证明,直线与平面所成角的求解,考查了转化与化归的思想,考查了学生的直观想象,逻辑推理与运算求解能力. 20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,112,1,1,n n n a n a a a n +⎧==⎨+⎩为奇数为偶数.(1)求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式； (2)是否存在正整数n ,使得nnS Z a ∈.若存在,求所有满足条件的n ；若不存在,请说明理由. 【参考答案】(1)232,3a a ==；122221,,?22,?n n n n a n ++⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数；(2)存在,{1,3,4}n ∈【试题解析】(1)通过112,1,1,n n n a n a a a n +⎧==⎨+⎩为奇数为偶数即可求出23,a a 的值,再分n 为奇数,n 为偶数讨论,可得数列{}n a 的通项公式；(2)分别求出数列{}n a 奇数项和偶数项的和,代入22k kS a 和2121k k S a --,分别计算即可.(1)213222,13a a a a ===+=,当n 为奇数时,()122121121n n n n n a a a a a ---=+=+⇒+=+, 则()1112121212n n n a a ++-+==+,1221n n a +∴=-,当n 为偶数时,2221222222nn n n a a +-==⋅-=-,综上所述122221,?22,?n n n n a n ++⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数；(2)当21n k =-时,21kn a =-, 则12121212122k k k A k +=-+-++-=--； 当2n k =时,122k n a +=-,则2312222222224k k k B k ++=-+-++-=--；①1211223236332222k k k k k k k k S A B k ka a ++++⋅--===---, 则1k =时,133222k k +=-舍去；当2k =时,13122k k +=-,故442,4S n a ==,符合条件； 而2k >时,12230k k +->>,130122k k+<<-,则不可能为整数；②22112121234342121k k k k k kk k S A B k ka a +----+--===---,则1k =时,3321k k=-； 当2k =时,3221kk=-,则1,3n =都符合条件； 当3k =时,39217k k =-,舍去； 而3k >时,32130,0121kkkk ->><<-,则不可能为整数, 综上所述,存在,{1,3,4}n ∈.本题考查了等差数列,等比数列的通项公式及求和公式,考查分类讨论的思想,推理能力与计算能力,是中档题.21.如图,已知抛物线2:4r y x =焦点为F ,过r 上一点000(,)(0)A x y y >作切线1l ,交x 轴于点T ,过点T 作直线2l 交r 于点()1122,)(,,B C x x y y .(1)证明：2120y y y =⋅；(2)设直线AB ,AC 的斜率为12,k k ,ABC 的面积为S ,若122k k ⋅=-,求SAF的最小值.【参考答案】(1)证明见解析；(2)63【试题解析】(1)设过点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与24y x =相切的切线20104:x y y l y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,与抛物线联立,利用0∆=可得02k y =,进而可得T 点坐标,再设直线2:4BC x my y =-,与抛物线联立,利用韦达定理可得答案；(2)利用(1)的结果可得1212,x x x x +⋅,代入010212022021442y y y y y y x x k k --=⋅=---⋅,可得m 与0y 的关系,再利用弦长公式和点到直线的距离公式求出||BC 和点A 到BC 的距离,则可表示出||SAF =利用换元法和求导求其最小值. (1)设过点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与24y x =相切的切线20104:x y y l y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 联立200244y y k x y y x⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩,消去x 得0220440ky y y ky -+-=, 由()()020200201644020y k y k ky k y ∆=⇒--=⇒-=⇒=, 则0220044T y x k y y =-=-,则20,04T y ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为直线2l 的斜率不为0,设直线202:4x my y l =-,联立方程20244y x my y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩得02240y my y -+=,故2120y y y =⋅；(2)由(1)得212012,4y y y y y m +⋅==,则()2212121224002012044416x my m y y my y m y x y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22442200001616y m y y m y =-+=()21212122220020044224x my my m y y y y y x y m ⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ ()()2242222001212010200012124224000000222010144164164212644y y y y y y y y y y y y m y x x x k k m x x x y y y y y y y y ∴⋅--++---+=⋅===-⎛⎫---++-+ ⎪⎝⎭整理得23000484y m m y y -=-,即()()()00004222y m y m y m y -=-+,当0m >时,点,B C 在x 轴上方,必有120,0k k >>,与122k k ⋅=-矛盾 所以必有00,0y m ><,则020y m -≠, 则()0042y m y =-+ 故0022m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则12||BC y =-===点A 到BC的距离222000200||||y y y my my d -+-===,22001||||2|124S BC d AF y y ∴====++,||S AF =令202,2y t t +=>, 则()()()()2222233200333242224822212y y t t t t t t t t t t y+-++--⎛⎫⎛⎫===+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+, 令2,01p p t =<<,则()()2220023320412y y p p p y +=+--+则对于函数23y p p p =--,则()()'2123311y p p p p =--=-++,则函数23y p p p =--在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,23max527111333y ⎛⎫⎛⎫∴=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()22200324532127272y y y+∴≤+=+,16||SAF ∴==故||SAF 的最小值为本题考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线中面积的计算及最值的求解,本题计算量较大,适当利用换元法可使计算变简单,是一道难度较大的题目.22.已知函数()()3253,()R 43xxx e f x ae x a g x e x=-=-∈.(1)当1a =时,求函数()f x 的单调递增区间； (2)对任意0x >均有2()()f x g x ,求a 的取值范围.注： 2.71828e =为自然对数的底数.【参考答案】(1)(ln3,)+∞；(2)13,,2e ⎫⎛⎤-∞⋃+∞⎪ ⎥⎪⎝⎦⎭【试题解析】(1)对函数进行求导,解不等式,即可得答案；(2)()23222535()()34343x x xx x e x e f x g x ae x e a x e x ⎛⎫≥⇒-≥-⇒-≥- ⎪⎝⎭,利用换元法令3x x t e =,将问题转化为为251()4a t t-≥-恒成立问题,再对a 分类讨论. (1)当1a =时,()e 3x f x '=-. 由()e 30x f x '=-=得ln3x =.则()f x 在(,ln3)-∞上单调递减,在(ln3,)+∞上单调递增； 综上所述,()f x 在(ln3,)+∞上单调递增.(2)()23222535()()34343x x xx x e x e f x g x ae x e a x e x ⎛⎫≥⇒-≥-⇒-≥- ⎪⎝⎭令3x x t e =,则3(1)xx t e'-=则330,x x t e e ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦, 则上式可化为251()4a t t-≥-, ①当4510,,054t t⎛⎤∈-≤ ⎥⎝⎦,则上式恒成立,故a ∈R .②当43,,5t a t e ⎛⎤∈≥+⎥⎝⎦a t ≤对于()m t t =+易得()m t 在43,5e ⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增,故3,a e ⎫∈+∞⎪⎪⎭.对于()n t t =求导()1n t '=,令43354(54)s t t t t =-=-,得43,5t e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增,()n t '在43,5t e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增.令()01n t t '=⇒=,故则min 1()(1)2n t n ==,故1,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.所以综上所述,13,,2e a ⎫⎛⎤∈-∞⋃+∞⎪ ⎥⎪⎝⎦⎭. 本题考查利用导数求函数的单调递增区间、根据不等式恒成立求参数的取值范围,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
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2π
2π-浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考
数学试题卷
选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合()(){}310A x x x =-+>，{}
11B x x =->，则()R C A B = A.[)(]1,02,3- B.(]2,3 C.()(),02,-∞+∞ D.()()
1,02,3- 2、已知双曲线22
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x y C -=，则C 的离心率为
D.23、已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若,,a b αβαβ⊥⊥∥，则下列命题中正确的是A.b α⊥ B.b α∥ C.αβ⊥ D.αβ
∥4、已知实数,x y 满足()3121x x y y x ⎧≤⎪+≥⎨⎪≤-⎩
，则2x y +的最大值为
A.11
B.10
C.6
D.45、已知圆C 的方程为()2231x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆
C 有公共点，则A 的纵坐标可以是
A.1
B.-3
C.5
D.-7
6、已知函数()221,0log ,0
x x f x x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是A.(][),42,-∞-+∞ B.[]1,2- C.[)(]4,00,2- D.[]
4,2-7、已知函数()()ln cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象
A
B
C.D
8、在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点，
1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面
BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角
A BE C '--的大小为θ，直线,A
B A
C ''与平面BCDE 所成的角分
别为αβ，，则
A.βαθ
<< B.βθα<<C.αθβ<< D.αβθ
<<9、已知函数()()2,R f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一
个零点属于区间[]0,2”的一个（
）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
10、已知数列{}n a 满足：1102a <<
，()1ln 2n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是A.20191
02a << B.2019112a << C.20193
12a << D.2019322
a <<非选择题部分
一、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分。
11、复数()211i z i -=
+（i 为虚数单位），则z 的虚部为；
z =.12、某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为
3cm ，表面积为2cm .13、若()()7280128221x x a a x a x a x +-=++++ ，则
0a =；2a =.
14、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上，
36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则=BE ；cos CED ∠=.
15、某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是.（用数字作答）.
16、已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF BF 得斜率
分别为12,k k ，则
2221
11k k -=.17、已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅== ，记3144
c a b =+ ，当,b c 的夹角取得最大值时，a b - 的值为.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18、（本小题满分14分）已知函数()2cos 3cos f x x x x =+.（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值；（2）若13210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，求cos α的值.19、（本题满分15分）在三棱锥111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，
且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒,平面11ABB A ⊥平面
BAC ，点M 是1AA 的中点.
（1）求证：1BB CM ⊥；
（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值.
20、（本题满分15分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且5365,a S a ==.数
列{}n b 满足()1122222n n n a b a b a b n b +++=-+ .
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令*,n n n
a c n N
b =∈，证明：122n
c c c +++< .
21、（本题满分15分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，12,F F 为其左右焦点，离心率12e =
，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，6=3
PQ .（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l
与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，,KED FOD ∆∆的面积分别记为12,S S ，若121849
S S =，且点A 在第一象限.求点A 的坐标.
22、（本题满分15分）设a 为实常数，函数()2f x ax =，()x g x e =，R x ∈.（1）当12a e
=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间；（2）设*m N ∈，不等式()()2f x g x m +≤的解集为A ，不等式()()2f x g x m +≤的解集为B ，
当(]0,1a ∈时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立.若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由.。