【高中数学】解三角形基本题型
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
熟悉常数“1”的各种三角代换：等。
数学-解三角形大题解析版
解三角形大题(1)证明：sinsin BD ABDC ACαβ⋅=⋅；(2)若D为靠近B的三等分点，在ABC 中，由余弦定理得：2222b a c =+-a b c h AE +=+≥ ，即(c h +41123h c ∴<+≤1413tan2C ∴<≤，3tan 42C ∴≤222sincos 2tan22sin sin cos 1tan 22C C C C C ==++设tan2C t =，3,14t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1t t +1252,12t t ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，即1tan tan 2C +24sin 125C ∴≤<9．在ABC 中，3,AB AC ==(1)若3BC =，求CD 与AD ；因为AD 平分BAC ∠，所以因此32BD CD =，又3BC =，所以在ABC 中，3,AB BC AC ==在ACD 中，由余弦定理可得（2）如下图所示：因为AD 平分BAC ∠，DAC ∠所以60,120B C θθ=︒-=︒-()()sin 120sin 60AB ACθθ=︒-︒-展开并整理得333cos sin 22θ-10．ABC 中，,D E 是边BC (1)若3BC =，求ABC 面积的最大值；则()()0,0,3,0B C ，设(),A x y ，则2222(3)3x y x y -+=⨯+，整理得到：即点A 的轨迹是以3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭圆心，故ABC 的BC 边上的高的最大值为在APC △中，由正弦定理可得故133cos 22α⎛- ⎝因为α为锐角，故故P 存在且sin ABP ∠法二：如图，设∠同理30PCA ∠=︒-而3sin sin CPAPC α=∠在PBC 中，由余弦定理可得：整理得到：4cos =所以24cos 4sin α+整理得到：38tan =但α为锐角，故tan 故P 存在且sin ABP ∠11．在ABC 中，内角（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠【答案】（1）5sin 5C =；（2）tan DAC ∠【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠(sin ADC =∠在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ==由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos ,sin 5ADE ∠=∠在Rt ADE △中，5,sin 3AE AD DE ADE ===∠由（1）知5sin 5C =，所以在Rt CDG △中，11515AG AC CG =-=．［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为设BDC α∠=，则(5cos B 从而2(05cos )AB α=-+cos sin 1cos ADB α∠==-（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，225(22)2522=+-⨯⨯［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．19．在锐角△ABC 中，角（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 【答案】（I ）3B π=；（II ）【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角(1)求cos C及线段BC的长；(2)求ADEV的面积．【答案】(1)1cos4C=，BC(2)3158【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出（2）求出15sin4C=，即可求出【详解】（1）由题意在ABC【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用25．ABC中，sin2A－sin（1）求A；（2）若BC=3，求ABC【答案】（1）23π；（2）3【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出（2）方法一：利用余弦定理可得到而2b ac =，即sin sin ADB ∠=故有ADB ABC ∠=∠，从而∠由2b ac =，即b c a b =，即CA CB 故AD AB AB AC =，即23b c c b=，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos c a b ABC +-==∠由2AD DC =，得,3c DE EC =在BED 中，2(3cos BED =∠在ABC 中2cos 2a BC c A +=∠因为cos cos ABC BED ∠=-∠所以22222()(332223a c a c b a ac ++-=-⋅由（1）知，3BD b AC ===设()(),33B x y x -<<，则2x 由2b ac =知，BA BC AC ⋅=即222(2)(1)x y x y ++⋅-+联立⑤⑥解得74x =-或72x =代入⑥式得36||,2a BC c ==由余弦定理得cos a ABC ∠=则11sin 122ADC S AD DC ADC =⋅∠=⨯ 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得35．记ABC 的内角,,A B C (1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c--=+，求【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出【详解】（1）因为22a b =+37．如图，在锐角ABC 中，角(1)求ABC 面积的最大值；(2)若AB 边上的点D 满足2AD DB =，求线段【答案】(1)934(2)3+1【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出（2）根据2AD DB =得到13CD CA = 求出222222442||1⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a b ab a CD a b ab b a 角形，得到311,32⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭b m t a ，从而利用基本不等式，求出线段【详解】（1）由余弦定理得：cos 60︒所以222212992+-⋅=⇒=+a b ab a b ∴9ab ≤，当且仅当3a b ==时取“=”∴1393sin 244==≤△ABC S ab C ab ，∴ABC 面积的最大值为934.（2）由2AD DB =，可得：23AD AB =(1)求角A ；(2)若D 为线段BC 延长线上一点，且∠【答案】(1)3A π=(2)963--【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：()sin sin cos sin cos sin cos B C A A B A C +--即sin cos cos sin sin cos cos B A B A C A -+-故()()sin sin 0B A C A -+-=，则有sin 又()(),,,B A C A ππππ-∈--∈-，故有。
高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考复习知识点一、选择题1．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b c ab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．4．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.5．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】 【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a Va a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 93222222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.8．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,3,sin a b c a c b A ===cos ,6a B b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则( )A ．1B 2C 3D 5【答案】C 【解析】 【分析】将sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，展开得 sin b A =3?1?cos sin 2B a B -，由正弦定理化简得 sin sinB A =3?1?cos sin 2B sinA B -3sinB = cos B 即3?tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入(22232323236b π=+-⨯⨯解得3b =所以选C 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．10．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ；若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.13．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-【答案】C 【解析】 【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由π1cos α25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题15．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A B ．CD ．【答案】A【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.17．ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若c =4a =，则b 的值为（ ）A ．6B ．2C ．5D【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理24120b b --=，解方程可求b 的值．【详解】解：∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =+=+=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3C π=，∵c =4a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得212816242b b =+-⨯⨯⨯，可得24120b b --=，∴解得6b =，（负值舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.18．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A C+=，1a =，b =c =（ ）A B ．1CD 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos 2cos a B b A C+=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=所以sin()A B +=sin 2cos C C C=，因为sin 0C ≠，所以cos 2C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.19．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===cos 2A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.20．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.。
高中数学 三角函数——解直角三角形
高中数学 三角函数——解直角三角形一、单选题1．在 ΔABC 中， ∠A =60∘,AB =2 且 ΔABC 的面积为 √32，则 AC 的长为（ ）A ．√32B ．1C ．√3D ．22．已知灯塔A 在海洋观察站C 的北偏东50°的方向上，灯塔B 在海洋观察站C 的南偏东70°的方向上，A ，C 两点间的距离为5海里，A ，B 两点间的距离为7海里，则B ，C 两点间的距离为（ ）海里． A ．3B ．4C ．6D ．83．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则A=（ ）. A ．30∘B ．60∘C ．120∘D ．150∘4．在 △ABC 中， a =3 ， b =2 ， A =60° ，那么 sinB 的值为（ ）A ．√33B ．−√23C ．√23D ．−√335．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于2km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东25°，灯塔B在观测站C 的南偏东35°，则灯塔A 与之间B 的距离为（ ） A ．2kmB ．2√2kmC ．2√3kmD ．4km6．在直四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是边长为1的正方形， AA 1=2 ， M 、 N分别是 A 1B 1 、 A 1D 1 中点，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．1517B ．1617C ．513D ．12137．在△ABC 中，若∠A =600，∠B =450，BC =3√2， ， 则AC= （ ）A ．4√3B ．2√3C ．√3D ．√328．在△ABC 中，△A=120°，AB →•AC →=﹣2，则|BC →|的最小值是 （ ）A ．2B ．4C ．2√3D ．129．△ ABC 中，“△ ABC 是钝角三角形”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |<|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图， E 、 F 分别是三棱锥 P −ABC 的棱 AP 、 BC 的中点， PC =10 ， AB =6 ，EF =7 ，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．0°D ．120°11．在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 (a 2−b 2+c 2)tanB =√3a ，则角 B 的值为（ ）A ．π6B ．π3C ．π6 或 5π6D ．π3 或 2π312．在 ΔABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若 A =2π3,a =2√10 ，且 ΔABC 的面积 S =a 2+b 2−c 212，则 c = （ ） A ．2√3 B ．4√3C ．2√33D ．4√3313．ΔABC 中， ∠ABC =60∘ ， AB =4 ，若满足条件的 ΔABC 有两个，则边 AC 的取值范围为（ ） A ．[2√3,4)B ．[2,4)C ．(2√3,4)D ．(2,4)14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最大面的面积为（ ）A ．2√2B ．4√2C ．4D ．2√515．已知 F 1,F 2 是椭圆 C 1 和双曲线 C 2 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且 ∠F 1PF 2=2π3，若椭圆 C 1 离心率记为 e 1 ，双曲线 C 2 离心率记为 e 2 ，则 27e 12+e 22的最小值为（ ） A ．25B ．100C ．9D ．3616．若 O 是 △ABC 垂心， ∠A =π6且 sinBcosCAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinCcosBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2msinBsinCAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 m = （ ）A ．12B ．√32C ．√33D ．√3617．在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 AD →=13AB →+12AC → ，则 S△BCD S △ACD = （ ）A ．16B ．12C ．13D ．23二、填空题18．在四边形 ABCD 中， AB =1 ， BC =√2 ， ∠ABC =3π4， ∠ADC =π4 ， AB ⊥AD ， CB ⊥CD ，则对角线 BD 的长为 ．19．已知 ΔABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边且 a =2 ， b =2√3 ， A =30ο ，则 B = .20．在 △ABC 中，若 C =60° ， AC =√6 ， AB =3 ，则角 A = .21．在 △ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a =2 ， b =3 ，c =4 ，则 cosA = .22．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，B ＝ π6，那么sinA ＝ ．23．一艘海轮从A 地出发，沿固定航道匀速行驶，先沿北偏东75°方向航行√6小时后到达海岛B ，然后从海岛B 出发沿北偏东15°方向航行一段时间到达海岛C ，之后从海岛C 出发沿南偏西60°方向航行回到A 地，则从海岛C 回到A 地所需时间是 小时．24．在 △ABC 中， sinA:sinB:sinC =2:5:6 ，则 cosC 的值为 .25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 2=12ac ，则sinB 等于 ．26．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A=75°，B=45°，c=3 √2 ，则b= ．27．在△ABC 中，已知a=3，b=4，sinB= 23 ，则sinA= ．28．四边形 ABCD 中， ∠A =5π6 ， ∠B =∠C =5π12， ∠D =π3 ， BC =2 ，则 AC 的最小值是 .29．在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ΔABC 的面积为 S ，若bcosA +acosB =2√3b ，且 a 2sinA =b 2sinA +2√3S ，则 A = ．30．在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足 a 2−(b −c)2=S ，b ＋c ＝2，则S 的最大值是31．在 ΔABC 中， A =3π4,AB =6,AC =3√2 ，点 D 在 BC 边上， AD =BD ，则 AD = ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，a=2，△O 为△ABC 的外接圆，OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ . （1）若m=n=1，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |= . （2）若m ，n ∈[0，1]，则点P 的轨迹所对应图形的面积为 .33．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2，6cosB =b(1−3cosA)，则△ABC 的面积的最大值为 .34．平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足|a |=|a −b ⃗ |=|c |=1，b 2⃗⃗⃗⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +√22|b ⃗ −c ⃗ |=b ⃗ ⋅(a ⃗ +c ⃗ )，a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗+|b ⃗⃗|b ⃗⃗ ⋅c⃗ =|a⃗ +1|b ⃗⃗ |b ⃗ |，则(b ⃗ −c ⃗ )2= ． 三、解答题35．平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =√3+2cosαy =1+2sinα ( α 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 P 在射线 l ：θ=π3 上，且点 P 到极点 O的距离为 4 .（1）求曲线 C 的普通方程与点 P 的直角坐标； （2）求 △OCP 的面积.36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c =2b ，a =3，D 是边BC 上一点.（1）求bcosC +2bcosB 的值；（2）若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ①求证：AD 平分∠BAC ；②求△ABC 面积的最大值及此时AD 的长.37．如图，在 △ABC 中， ∠ABC =π2 ， ∠ACB =π3， BC =2 ，P 是 △ABC 内一点，且∠BPC=π2.（1）若∠ABP=π6，求线段AP的长度；（2）若∠APB=2π3，设∠PBA=α，求sinα.38．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米.（1）求△CDB的面积；（2）求该扇形的半径OA的长.39．在△ABC中，AC>AB，cosA=3132，AB=8.（1）若S△ABC=15√74，求BC；（2）若 cos(B −C)=18 ，求 S ΔABC .40．在四边形 ABCD 中， ∠BAD =2π3，∠BCD =π3，cosD =−17，AD =DC =2 .（1）求 cos∠DAC 及 AC 的长； （2）求 BC 的长．41．已知 △ABC 三边 a ， b ， c ， c 2+b 2−a 2=√3bc ， acosB =bsinA .证明：三角形的三个角满足， A 3+B 3+C 3≥11π336.42．如图，银川市拟在长为 8km 的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数 y =Asinωx(A >0,ω>0)x ∈[0,4] 的图象，且图象的最高点为S(3,2√3) ；赛道的后一部分为折线段 MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定 ∠MNP =120° .（1）求 A 、ω 的值和 M 、P 两点间的距离； （2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？43．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a△b△c ＝7△5△3.（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为45 √3 ，求△ABC 外接圆半径R 的大小．44．如图，直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， CC 1=4 ， AB =2 ， AC =2√2 ， ∠BAC =450 ，点M 是棱 AA 1 上不同于 A,A 1 的动点.（1）证明：BC⊥B1M；（2）若M是AA1的中点，求四面体MB1BC的体积.45．在锐角ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=√7，b=3，√7sinB+ sinA=2√3．（1）求角A的大小；（2）求ΔABC的面积．46．在ΔABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosA+2a=2cosB−cosCc.（△）求角A的大小；（△）若AD，AE分别为BC边上的高和中线，a=4√3，b+c=2√14，求|AD⇀||AE⇀|的值.47．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量π⃗=（a，√3b）与n⃗=（cosA，sinB）平行．（△）求A；（△）若a= √7，b=2，求△ABC的面积．48．在①a=5，②cosC=17这两个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且√3acosB=bsinA，b=7，若____．（注：只需选一个作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答给分）求：（1）c的值；（2）△ABC的面积．49．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=π2，高等于3，点M1，M2，N1，N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1−AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2，AM1所成的角的大小．50．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=1.（1）求a的值；（2）若1≤c≤b≤√3，求A的最小值.答案解析部分1．【答案】B【知识点】三角形中的几何计算【解析】【解答】∵∠A=60∘,AB=2且ΔABC的面积为√32. ∴SΔABC=12AB·AC·sin∠A=12×2×AC×sin60∘=√32AC=√32.∴AC=1故答案为：B【分析】由三角形面积公式S=12bcsinA求解即可.2．【答案】D【知识点】余弦定理的应用【解析】【解答】由题意得∠ACB=180°−50°−70°=60°，AC=5，AB=7，由余弦定理得cos∠ACB=AC 2+BC2−AB2 2AC⋅BC，所以12=25+BC2−4910BC，解得BC=8或BC=−3（舍去）。
数学-2023年解三角形高频题型精选
解三角形高频题型精选1．(2023·全国·高一专题练习)△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，则下列说法不正确的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A =30∘,b =4,a =3，则△ABC 有两解C ．若△ABC 为钝角三角形，则a 2+b 2>c 2D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C2．(2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a =2,b =3,B =π3，那么A =( )A ．3π4B ．π4C ．3π4或π4D ．π33．(2020秋·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校联考期中)在△ABC 中，若∠A =60°，b =1，S △ABC =3，则a +b +c sin A +sin B +sin C的值为( )A ．2633B ．2393C ．393D ．13334．(2021春·河北·高三统考学业考试)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若a =1，c =17，sin A =1717，则cos B =( )A ．178B ．14C ．34D ．17175．(2023·江西赣州·统考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，C =2A +B ，则b a =( )A ．75B ．32C ．53D ．746．(2020秋·广东清远·高二校考期中)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C =c (1-3cos B )，则sin C ∶sin A =( )A ．3∶1B ．3∶2C ．1∶3D ．4∶37．(2023·河南郑州·统考一模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角C =π4，b sin π4+A -a sin π4+B =c ，则角B =( )A ．π8B ．π6C ．5π8D ．π38．(2023·河北·高三学业考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a 2-b 2=3bc ，sin C =23sin B ，则A 等于( )A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π69．(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =1，且b cos A -cos B =1，则3sin B +2sin 2A 的取值范围是( )A ．0,3+1B ．2,3+1C ．1,3D ．2,3 10．(2022秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考开学考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c =2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．(2023秋·浙江宁波·高三期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知b sin (B +C )=a sinA +C 2，且△ABC 的面积为23，则△ABC 周长的最小值为( )A ．22B ．23C ．62D ．6+2312．(2023·陕西榆林·统考一模)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a sin A +b +λa sin B =c sin C ，则λ的取值范围为( )A ．-2,2B ．0,2C ．-2,2D ．0,213．(2022·北京·统考模拟预测)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3a cos B =b sin A ，则B =( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π214．(2023秋·陕西西安·高二统考期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若a =4,b =43,A =30°，则B =( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°15．(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ,∠ABC ,∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题不正确的有( )A ．若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B ．若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C ．若OA =OB =2,∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92D ．若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =016．(2023·全国·高一专题练习)不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a =5，b =4，A =120°；(2)a =9，b =10，A =60°；(3)b =72，c =50，C =135°．17．(山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c 1+cos B =3b sin C ．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，a +c =4，求△ABC 的面积．18．(河北省石家庄市2023届高三质量检测(一)数学试题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，设a +bc -b =sin C +sin B sin A (1)求C ；(2)若3+1 a +2b =6c ，求sin A ．19．(2023·湖南·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b sin A =a cos B -π6 ．(1)求角B 的大小；(2)若b =13．且a +c =5，求△ABC 的面积．20．(2023·福建福州·统考二模)记ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b 2-a 2=2c 2．(1)求tan B tan A的值：(2)求C 的最大值．21．(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin A =3a 2+c 2-b 2 2bc .(1)求B 的大小；(2)若△ABC 为钝角三角形，且b =3，求△ABC 的周长的取值范围.22．(2023·湖北·统考模拟预测)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C =2a +c ．(1)求B ；(2)设b =9，若点M 是边AC 上一点，2AM =MC ，且∠MAB =∠MB A ，求△BMC 的面积．23．(2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试)在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C .(1)求A ；(2)若AB 边上的高等于13AB ，求cos C .24．(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C +3b sin C a +c=1．(1)求B ；(2)若a +c =43，△ABC 内切圆的面积为π，求△ABC 的面积．25．(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =3，a <c ，且sin π3-Acos π6+A =14．(1)求A 的大小；(2)若a sin A +c sin C =43sin B ，求△ABC 的面积．26．(2023·山东临沂·统考一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知a cos B +b cos A =2c cos C ．(1)求C ；(2)若c =1，求△ABC 面积的取值范围．27．(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin C -sin B =tan A cos B ．(1)求A ；(2)若a =2，求2c -b 的取值范围．28．(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a sin C =ctan A ．(1)求角A 的大小；(2)若a =2，D 为BC 的中点，求线段AD 长度的最大值．29．(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，满足c 2=b b +a .(1)求证：C =2B ；(2)求1tan B -1tan C+3sin C 的取值范围.30．(2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2sin B ，tan A +tan C =2sin B cos A.(1)求角C 和边c 的大小.(2)求△ABC 周长的范围.31．(2023秋·浙江绍兴·高三期末)记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆的半径为R ，已知a cos B -b cos A =R ．(1)若B =π4，求A 的值；(2)求R -c b 的取值范围．32．(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且m =a ,2b -c ，n =cos A ,cos C ，且m ⎳n．(1)求角A 的大小;(2)求b c的取值范围．33．(2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习)已知△ABC 内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，面积为23，且3b 2+c 2-a 2 =2ac sin B ，求：(1)求角A 的大小；(2)求BC 边中线AD 长的最小值.34．(2020春·陕西西安·高二交大附中分校校考阶段练习)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足ctan C =3a cos B +b cos A .(1)求角C 的大小.(2)若c =43，求△ABC 面积的最大值.35．(2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，且2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小；(2)若b=2，求△ABC周长l的取值范围.36．(2023·全国·校联考一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2+ ac=b2.(1)证明：B=2C；(2)求a+bc的取值范围.37．(2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b tan A，且B为钝角．(1)证明：B-A=π2；(2)求sin A+sin C的取值范围．38．(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cos2(ωx)+3sin(ωx)cos(ωx)-12，其中ω>0，且函数f(x)的两个相邻零点间的距离为π2，(1)求ω的值及函数f(x)的对称轴方程；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-1,a=3，求△ABC 周长的取值范围．39．(2023秋·陕西汉中·高二统考期末)在①a sin C-sin Asin C+sin B=c-b；②sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C；③2a-cb=cos Ccos B.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，__________.(1)求B；(2)若b=4，求△ABC的周长的取值范围.40．(2023·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin A+3cos A=0．(1)求角A的大小；(2)给出以下三个条件：①a=43，b=4；②b2-a2+c2+10b=0；③S△ABC= 153．若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin B的值；(ii)∠BAC的角平分线交BC于点D，求AD的长．参考答案：1．C【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A 选项，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B ，所以，sin A >sin B ，故A 选项正确；对于B 选项，b sin A =4sin30∘=2，则b sin A <a <b ，如图：所以△ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若△ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则cos C =a 2+b 2-c 22ab<0，可得a 2+b 2<c 2，C 选项错误；对于D ，因为tan (B +C )=tan B +tan C 1-tan B tan C，所以tan B +tan C =tan (B +C )(1-tan B tan C )因为tan B +C =tan π-A =-tan A ，所以tan B +tan C =tan (B +C )(1-tan B tan C )=tan A tan B tan C -tan A ，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，所以D 正确.故选：C2．B【分析】利用正弦定理可求出sin A ，再结合大边对大角即可得解.【详解】因为a =2,b =3,B =π3，由正弦定理a sin A=b sin B ，可得sin A =a sin B b =2sin π33=22，又因为a <b ，所以A <B ，故0<A <π3，所以A =π4.故选：B .3．B 【分析】根据三角形面积公式可得c =4，再由余弦定理计算可得a =13，根据正弦定理可知a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A，代入计算即可得出结果.【详解】根据三角形面积公式可得S △ABC =12bc sin A =12×32c =3，即c =4；由余弦定理可知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =1+16-2×1×4×12=13，可得a =13；由正弦定理可得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =1332=2393.答案第1页，共2页4．D【分析】利用正弦定理求得sin C ，再利用诱导公式求解即可.【详解】由正弦定理可得a sin A=csin C ，即11717=17sin C ，解得sin C =1，因为△ABC 中C ∈0,π ，所以C =π2，所以B =π2-A ，cos B =cos π2-A=sin A =1717，故选：D 5．C【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得C =2π3、2b =a +c ，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由C =2A +B ,A +B +C =π，得C =2π3，由a ,b ,c 成等差数列，得2b =a +c ，由余弦定理，得cos C =a 2+b 2-c 22ab，即-12=a 2+b 2-(2b -a )22ab ，整理，得5ab -3b 2=0，由b ≠0得5a -3b =0，由a ≠0得ba =53.故选：C .6．A【分析】利用正弦定理及三角恒等变换即可求解.【详解】由正弦定理得3sin B cos C =sin C (1-3cos B )，即3sin B cos C +3sin C cos B =sin C ，3sin B +C =sin C ，∵A +B +C =π,∴3sin π-A =sin C ，即3sin A =sin C ，sin Csin A=3，故选：A .7．C【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得B 与A 的关系，进一步计算得出结果.【详解】已知角C =π4，b sin π4+A -a sin π4+B =c ，由正弦定理可得sin B sin π4+A -sin A sin π4+B =sin C ，整理得22sin B cos A -sin A cos B =22，即sin B -A =1，因为A ,B ∈0,3π4 ，所以B -A ∈-3π4,3π4 ，所以B -A =π2.又B +A =3π4，所以B =5π8.8．D【分析】根据正弦定理把sin C=23sin B化为c=23b，再结合余弦定理求角即可【详解】∵sin C=23sin B，∴c=23b，结合a2-b2=3bc即可求得a=7b．由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b22×b×23b=32.又∵A∈0,π，∴A=π6．故选：D 9．B【分析】由正弦定理边化角可得B=2A，由△ABC为锐角三角形可得π6<A<π4，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数y=2sin2A-π6+1在π6,π4上的值域.【详解】∵b cos A-cos B=1，即：b cos A=cos B+1，a=1，∴b cos A=(cos B+1)a，∴由正弦定理得：sin B cos A=(cos B+1)sin A，即：sin B cos A=sin A cos B+sin A，∴sin(B-A)=sin A，∴B-A=A或B-A+A=π，解得：B=2A或B=π(舍)，又∵△ABC为锐角三角形，则C=π-A-B=π-3A，∴0<A<π20<B<π20<C<π2⇒0<A<π20<2A<π20<π-3A<π2，解得：π6<A<π4，∴3sin B+2sin2A=3sin2A+1-cos2A=2sin2A-π6+1，又∵π6<A<π4，∴π6<2A-π6<π3，∴12<sin2A-π6<32，∴2<2sin2A-π6+1<3+1，即3sin B+2sin2A的取值范围(2,3+1).故选：B.10．A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由sin C=sin A+B展开后化简得tan A=tan B，可得出等腰三角形的结论.【详解】c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=sin A+B=2sin A cos B，即sin A cos B+cos A sin B=2sin A cos B,∴sin A cos B=cos A sin B，可得tan A=tan B，又0<A<π,0<B<π，∴A=B，则△ABC的形状为等腰三角形.故选：A.11．C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得sin B2=12，即求出B的大小，再利用三角形面积公式得ac=8，从而求出a+c的最小值，最后得到C△ABC=(a+c) +(a+c)2-24，利用函数单调性即可求出其最小值.【详解】因为b sin A=a sin π-B 2，根据正弦定理及诱导公式得sin B⋅sin A=sin A⋅cos B 2，∵A∈0,π，∴sin A≠0，∴sin B=cos B 2，即2sin B2cosB2=cosB2，∵B∈0,π，则B2∈0,π2，则cos B2≠0解得sin B2=12,所以B2=π6⇒B=π3，所以S=12ac sin B=3ac4=23，所以ac=8,a+c≥2ac=42，当且仅当a=c=22时等号成立，根据余弦定理得b=a2+c2-2ac cos B，即b=a2+c2-ac，设△ABC的周长为C，所以C△ABC=a+c+(a+c)2-3ac=(a+c)+(a+c)2-24，设a+c=t,t≥42，则f t =t+t2-24，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：f t 在42,+∞上为单调增函数，故f t min=f42=62，故C△ABCmin=62，当且仅当a=b=c=22时取等.故选：C.12．A【分析】根据正弦、余弦定理可得λ=-2cos C，结合C∈0,π即可求解.【详解】因为a sin A+b+λasin B=c sin C，由正弦定理得c2=a2+b2+λab.又c2= a2+b2-2ab cos C，所以λ=-2cos C.因为C∈0,π，所以cos C∈-1,1，故λ∈-2,2.故选：A.13．C【分析】由正弦定理化简得出tan B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值.【详解】因为3a cos B=b sin A，由正弦定理可得3sin A cos B=sin B sin A，∵A、B∈0,π，则sin A>0，所以，3cos B=sin B>0，所以，tan B =3，故B =π3.故选：C .14．D【分析】根据a =4,b =43,A =30°，利用正弦定理求解.【详解】解：在△ABC 中，a =4,b =43,A =30°，由正弦定理得a sin A=bsin B ，所以sin B =b ⋅sin A a =43⋅sin30∘4=32，所以B =60°或120°，故选：D 15．C【分析】对于A ，假设D 为AB 的中点，连接OD ，由已知得O 在中线CD 上，同理可得O 在其它中线上，即可判断；对于选项B ，利用奔驰定理可直接得出B 正确；对于C ，根据奔驰定理可得S A :S B :S C =2:3:4，再利用三角形面积公式可求得S C =1，即可计算出S △ABC =94，可得C 错误；选项D ，由垂心的性质、向量数量积的运算律OB ∙AC =OB ∙OC -OB ∙OA=0，得到OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.【详解】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则OA +OB =2OD =CO，故C ,O ,D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边BC ,AC 的中线上，故O 为△ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC=0可知，若OA +2OB +3OC =0，可得S A :S B :S C =1:2:3，即B 正确；对于C ：由|OA |=|OB|=2,∠AOB =5π6可知，S C =12×2×2×sin 5π6=1，又2OA +3OB +4OC =0 ，所以S A :S B :S C =2:3:4由S C =1可得，S A =12,S B =34；所以S △ABC =S A +S B +S C =12+34+1=94，即C 错误；对于D ：由四边形内角和可知，∠BOC +∠BAC =π，则OB ∙OC=OB OCcos ∠BOC =-OB OC cos ∠BAC ，同理，OB ∙OA =OB OA cos ∠BOA =-OB OAcos ∠BCA ，因为O 为△ABC 的垂心，则OB ∙AC =OB ∙(OC -OA )=OB ∙OC -OB ∙OA=0，所以OC cos ∠BAC =OA cos ∠BCA ，同理得OC cos ∠ABC =OB cos ∠BCA ，OA cos ∠ABC =OB cos ∠BAC ，则OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，令OA =m cos ∠BAC ,OB =m cos ∠ABC ,OC=m cos ∠BCA ，由S A =12OB OCsin ∠BOC ，则S A =12OB OC sin ∠BAC =m 22cos ∠ABC cos ∠BCA sin ∠BAC ，同理：S B =12OAOC sin ∠ABC =m 22cos ∠BAC cos ∠BCA sin ∠ABC ，S C =12OA OB sin ∠BCA =m 22cos ∠BAC cos ∠ABC sin ∠BCA ，综上，S A :S B :S C =sin ∠BAC cos ∠BAC :sin ∠ABC cos ∠ABC :sin ∠BCAcos ∠BCA=tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠BCA ，根据奔驰定理得tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0，即D 正确.故选：C【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.16．(1)一解(2)两解(3)无解【分析】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可.【详解】(1)由正弦定理a sin A=bsin B ，∴sin B =b a sin A =45×32<32，∵A =120°，∴B =180°-A +C =60°-C <60°，∴B 只有一解，三角形解的个数为一解.(2)由正弦定理a sin A=bsin B ，∴sin B =b a sin A =109×32=539，∴32<sin B <1，∵A =60°，a <b ，∴60°<B <120°，∴B 有两解，三角形解的个数为两解.(3)∵b >c ，∴B >C =135°，∴B +C >270°，∴B 无解，三角形无解.17．(1)B =π3(2)3【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再结合辅助角公式即可得解；(2)利用余弦定理求得ac ，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】(1)因为c 1+cos B =3b sin C ，所以sin C 1+cos B =3sin B sin C ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以1+cos B =3sin B ，得2sin B -π6 =1，即sin B -π6 =12，因为B ∈0,π ，所以B -π6∈-π6,5π6，所以B -π6=π6，所以B =π3；(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a +c 2-3ac =16-3ac ，即22=16-3ac ，解得ac =4，所以S △ABC =12ac sin B =12×4×32=3．18．(1)2π3(2)sin A =6-24【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；(2)利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可.【详解】(1)根据题意，由正弦定理可得a +bc -b=c +b a ，即c 2=a 2+b 2+ab ，所以根据余弦定理cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12及△ABC 中C ∈0,π 可得C =2π3.(2)根据题意，由正弦定理可得3+1 sin A +2sin B =6sin C ，所以3+1 sin A +2sin A +2π3 =3+1 sin A +2-12sin A +32cos A =3sin A +cos A =322，解得sin A +cos A =62①，因为sin 2A +cos 2A =1②，①②联立可解得sin A =6+24或6-24，又因为C =2π3，则A <π3，sin 2A <34，6+242=2+34>34(舍去)，所以sin A=6-2 4.19．(1)B=π3(2)S△ABC=3【分析】(1)由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得tan B，可求角B的大小；(2)由已知条件利用余弦定理求得ac，根据三角形面积公式求△ABC的面积.【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理asin A=bsin B，可得b sin A=a sin B，又由b sin A=a cos B-π6，得a sin B=a cos B-π6即sin B=cos B-π6，由sin B=cos B-π6=32cos B+12sin B，有32cos B=12sin B可得tan B=3,又因为B∈(0,π)，所以B=π3.(2)b=13．且a+c=5，B=π3，由余弦定理：b2=a2+c2-2ac cos B=a+c2-2ac-2ac cos B，有13=25-2ac-ac，解得ac=4，∴S△ABC=12ac sin B=12×4×32=3.20．(1)tan Btan A=-3(2)π6【分析】(1)通过余弦定理、正弦定理将条件中的边转化为角即可求出结果；(2)由余弦定理表示出cos C，借助条件消去边c，利用基本不等式求出cos C的范围，进而求出C的最大值．【详解】(1)由余弦定理可得b2=c2+a2-2ac cos B，代入b2-a2=2c2，得到c2+a2-2ac cos B-a2=2c2，化简得c2+2ac cos B=0，即c+2a cos B=0.由正弦定理可得sin C+2sin A cos B=0，即sin A+B+2sin A cos B=0，展开得sin A cos B+cos A sin B+2sin A cos B= 0，即3sin A cos B=-cos A sin B，所以tan Btan A=-3．(2)由b2-a2=2c2得c2=b2-a2 2，故cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab=3a4b+b4a≥2316=32，当且仅当b2=3a2，即b=3a时等号成立．因为C ∈0,π ，所以C ≤π6，所以C 的最大值为π6.21．(1)π3(2)23,3+3【分析】(1)根据正余弦定理，将条件变形，求角B 的大小；(2)根据正弦定理，将周长表示为三角函数，根据函数的定义域，求周长的取值范围.【详解】(1)根据余弦定理可知，a 2+c 2-b 22ac=cos B ，所以sin A =3⋅2ac cos B 2bc ，即sin A =3a cos Bb⇔sin A =3sin A cos Bsin B，则tan B =3,B ∈0,π ，所以B =π3；(2)设∠A ∈π2,2π3，根据正弦定理可知a sin A =c sin C =b sin B =3sinπ3=2，所以a =2sin A ,c =2sin C =2sin 2π3-A ，所以周长a +b +c =2sin A +2sin 2π3-A +3=2sin A +232cos A +12sin A+3=3sin A +3cos A +3=23sin A +π6 +3,因为A ∈π2,2π3 ,A +π6∈2π3,5π6 ，所以sin A +π6 ∈12,32 ，所以23<23sin A +π6 +3<3+3，所以△ABC 的周长为23,3+3 .22．(1)B =2π3(2)932【详解】(1)依题意，由2b cos C =2a +c 及正弦定理得2sin B cos C =2sin A +sin C ，即2sin B cos C =2sin B +C +sin C =2sin B cos C +2cos B sin C +sin C ，所以2cos B sin C =-sin C ．因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以cos B =-12，又B ∈0,π ，所以B =2π3．(2)如图所示：因为2AM =MC，所以AM =3，MC =6．又∠MAB =∠MB A ，所以BM =AM =3．在△ABC 中，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即a 2+c 2+ac =81．①又2AM =MC ，所以BM=23BA +13BC，两边平方得BM 2=49BA 2+19BC 2+49BA ⋅BC，即9=49c 2+19a 2+49ac cos B ，所以a 2+4c 2-2ac =81．②②-①得3c 2=3ac ，所以a =c ，代入①得a =c =33，在△BMC 中，BM 2+BC 2=32+33 2=36=MC 2，所以△BMC 是以∠MB C 为直角的三角形，所以△BMC 的面积为12×3×33=932．23．(1)A =π4(2)-1010【分析】(1)利用正弦定理及余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；(2)由三角形的面积公式可得出c 2=3ab sin C ，利用正弦定理以及两角和的正弦公式可得出sin C =-3cos C ，由同角三角函数的平方关系以及sin C >0可求得cos C 的值.【详解】(1)解：因为sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C ，令△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，所以由正弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc ，所以由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =2bc 2bc=22，因为A ∈0,π ，所以A =π4.(2)由三角形的面积公式可得S △ABC =12ab sin C =12×13c 2，则c 2=3ab sin C ，由正弦定理可得sin 2C =3sin A sin B sin C ，因为C ∈0,π ，则sin C >0，所以，sin C =3sin A sin B ，即sin C =322sin B ，即sin C =322sin C +π4 =32sin C +32cos C ，整理可得sin C =-3cos C ，所以，sin C =-3cos Csin 2C +cos 2C =0sin C >0，解得cos C =-1010.24．(1)π3(2)33【分析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换求解；(2)利用等面积法可得12ac sin B =12(a +b +c )r ，从而得32ac =43+b ，再根据余弦定理，联立方程组求出b =23，从而可求三角形的面积.【详解】(1)因为b cos C +3b sin Ca +c=1，所以b cos C +3b sin C -a -c =0，所以sin B cos C +3sin B sin C -sin A -sin C =0因为A +B +C =π，所以sin B cos C +3sin B sin C -sin (B +C )-sin C =0．所以3sin B sin C -cos B sin C -sin C =0，又因为C ∈0,π ,sin C >0，所以3sin B -cos B =1，所以sin B -π6 =12，因为B ∈0,π ，所以B -π6∈-π6,5π6 ，所以B -π6=π6，所以B =π3．(2)因为△ABC 内切圆的面积为π，所以内切圆半径r =1．由于S △ABC =12ac sin B =12(a +b +c )r ，所以32ac =43+b ，①由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得，b 2=a +c 2-3ac ，即b 2=48-3ac ，②联立①②可得b 2=48-38+233b，即b 2+23b -24=0，解得b =23或b =-43(舍去)，所以S △ABC =12(a +b +c )×r =33．25．(1)A =π6(2)334【分析】(1)已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；(2)条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】(1)sin π3-Acos π6+A =cos π2-π3-A cos π6+A =cos 2π6+A =cos π3+2A +12=14，∴cos π3+2A =-12，因为0<A <π，得π3<π3+2A <7π3，所以π3+2A =2π3或π3+2A =4π3，解得A =π6或A =π2，因为a <c ，得A <π2，∴A =π6．(2)由(1)知，A =π6，a sin A +c sin C =43sin B ，由正弦定理，得a 2+c 2=43b =12，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc ⋅cos A ，即12-c 2=3+c 2-23c ⋅32，整理，得2c 2-3c -9=0，由c >0得c =3，所以S △ABC =12bc sin A =12×3×3×12=334．26．(1)C =π3；(2)0,34.【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.(2)由(1)的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】(1)在△ABC 中，由已知及正弦定理得：sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos C ，即有sin A +B =2sin C cos C ，即sin C =2sin C cos C ，而0<C <π，sin C >0，则cos C =12，所以C =π3．(2)在△ABC 中，由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得：1=a 2+b 2-ab ，因此1≥2ab -ab ，即0<ab ≤1，当且仅当a =b 时取等号，又S △ABC =12ab sin C =12×32ab =34ab ∈0,34 ，所以△ABC 面积的取值范围是0,34．27．(1)A =π3(2)-2,4 【分析】(1)利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式的逆用，结合三角形的内角和定理及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可；(2)利用同角三角函数的商数关系及正弦定理的边化角，根据(1)的结论得出角B 的范围及余弦函数的性质即可求解.【详解】(1)由题意知，2sin C -sin B =sin A cos A×cos B ，所以2cos A sin C -cos A sin B =sin A cos B ，则2cos A sin C =sin A cos B +cos A sin B =sin A +B =sin C ，又C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以cos A =12，又A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由(1)得2sin C -sin B =sin A cos A ×cos B ，由正弦定理得2c -b =a cos B cos A ，又a =2，A =π3，所以2c -b =4cos B ．因为B ∈0,2π3，所以cos B ∈-12,1 ，所以4cos B ∈-2,4 ，故2c -b ∈-2,4 ，即2c -b 的取值范围为-2,4 ．28．(1)A =π4(2)2+1【分析】(1)利用正弦定理求得正确答案.(2)利用圆的几何性质求得AD 的最大值.【详解】(1)依题意，2a sin C =ctan A ，由正弦定理得2sin A sin C =sin C ⋅sin A cos A，由于A ,C 是三角形的内角，所以sin A >0,sin C >0，所以cos A =22，则A 为锐角，所以A =π4.(2)设三角形ABC 外接圆的半径为r ，圆心为O ，则2r =2sin π4=22,r =2，由于A =π4，所以A 在三角形ABC 外接圆上运动，且只在优弧BC (不包括端点)上运动，如图所示，则∠BOC =π2，OD =2 2-12=1，当A ,O ,D 三点共线时，AD 最大，所以AD 长度的最大值是2+1.29．(1)证明见解析(2)1336,4【分析】(1)利用正余弦定理化简得sin A =sin B 2cos c +1 ，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得sin C -B =sin B ，得证；(2)弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C 的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.【详解】(1)由c 2=b 2+ab 及余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C得a =b 2cos C +1 ，由正弦定理得：sin A =sin B 2cos C +1 ，又A +B +C =π，∴sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B ⋅sin C =2sin B cos C +sin B ，∴cos B sin C -sin B cos C =sin B ，∴sin C -B =sin B ，∵A ,B ,C 都是锐角，∴C -B =B ，即C =2B .(2)令y =1tan B -1tan C +3sin C =cos B sin B -cos C sin C+3sin C =sin C cos B -cos C ⋅sin B sin B ⋅sin C +3sin C =sin C -B sin B ⋅sin C +3sin C ，由(1)C =2B 得y =1sin C +3sin C ，在锐角三角形ABC 中，0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<π-B +C <π20<B =C 2<π20<C <π2，解得π3<C <π2，∴sin C ∈32,1，令t =sin C ∈32,1 ，∴y =f t =1t +3t ,t ∈32,1，又函数y =f t =1t +3t 在32,1上单调递增，∴y =f t ∈1336,4 ，故1tan B -1tan C+3sin C 的取值范围是1336,4 .30．(1)c =62，C =π3(2)6,362【分析】(1)由三角恒等变换化简等式tan A +tan C =2sin B cos A ，结合角的范围可得C ，再由正弦定理及b =2sin B 求得c ；(2)结合正弦定理有a +b +c =2sin A +sin B +62，结合角的关系及三角恒等变换化简求范围即可.【详解】(1)2sin B cos A=tan A +tan C =sin A cos A +sin C cos C =sin A cos C +cos A sin C cos A cos C =sin A +C cos A cos C =sin π-B cos A cos C =sin B cos A cos C ，∵A 、B 、C ∈0,π ，sin B cos A≠0，∴cos C =12，∴C =π3.由b =2sin B 及正弦定理得2=b sin B =c sin C ⇒c =2sin C =62；(2)由正弦定理得a sin A =b sin B =2⇒a =2sin A ，∴a +b =2sin A +sin B =2sin 2π3-B +sin B=232cos B +32sin B =612cos B +32sin B =6sin B +π6.∵B ∈0,2π3 ，∴B +π6∈π6,5π6 ，∴a +b =6sin B +π6∈62,6 .∴△ABC 周长a +b +c ∈6,362.31．(1)A =5π12(2)(-1,0)【分析】(1)已知等式由正弦定理边化角解得A -B =π6，又B =π4，可求A 的值；(2)锐角△ABC 且A -B =π6，可求角B 的范围，利用正弦定理边化角得R -c b =2sin B -π3 ，可求取值范围．【详解】(1)根据正弦定理a sin A=b sin B =c sin C =2R ，有a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ，由a cos B -b cos A =R ，有2R sin A cos B -2R sin B cos A =R ，得sin (A -B )=12，因为A ,B ∈0,π2 ，所以A -B ∈-π2,π2 ，所以A -B =π6，由B =π4，解得A =5π12．(2)因为A =π6+B ，所以C =π-(A +B )=5π6-2B ，因为0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<π6+B <π20<B <π20<5π6-2B <π2 ，所以B ∈π6,π3 ，则R -c b=R -2R sin C 2R sin B =1-2sin C 2sin B =1-2sin 5π6-2B 2sin B =1-cos2B -3sin2B 2sin B=2sin 2B -23sin B cos B 2sin B =sin B -3cos B =2sin B -π3 ，B ∈π6,π3 ，有B -π3∈-π6,0 ，所以2sin B -π3 ∈(-1,0)，所以R -c b 的取值范围为(-1,0).32．(1)A =π3(2)12,2 【分析】(1)根据向量平行和正弦定理得cos A =12，则得到A 的大小；(2)首先根据锐角三角形求出C 的范围，再利用正弦定理进行边换角得b c =32tan C +12，根据tan C 的范围即可得到答案.【详解】(1)由m ⎳n得a cos C =2b -c cos A ，∴a cos C +c cos A =2b cos A ，根据正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos A ，所以sin A +C =2sin B cos A ，又A +C =π-B ，所以sin B =2sin B cos A .又sin B ≠0，∴cos A =12，又A ∈0,π ，∴A =π3;(2)由(1)得A =π3，B +C =2π3，∵B ，C 为锐角，所以0<C <π20<2π3-C <π2，∴C ∈π6,π2 ，根据正弦定理得b c =sin B sin C =sin 2π3-C sin C =32cos C +12sin C sin C =32tan C +12，其中tan C ∈33,+∞ ，∴32tan C ∈0,32 ，即32tan C+12∈12,2 ，综上可知，b c 的取值范围是12,2 ．33．(1)π3(2)6【分析】(1)先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；(2)由平面向量可知AD =12AB +AC ，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果.【详解】(1)∵3b 2+c 2-a 2 =2ac sin B ，由余弦定理可得23bc cos A =2ac sin B ，即3b cos A =a sin B ，由正弦定理可得3sin B cos A =sin A sin B ，∵B ∈0,π ，∴sin B ≠0.∴3cos A =sin A ，即tan A =3，又A ∈0,π ，所以A =π3.(2)由(1)知，A =π3，△ABC 的面积为23，所以12bc sin π3=23，解得bc =8.由平面向量可知AD =12AB +AC ，所以AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+AC 2+2AB ⋅AC=14b 2+c 2+2bc cos π3 =14b 2+c 2+bc ≥142bc +bc =34bc =6，当且仅当b =c =22时取等号，故BC 边中线AD 的最小值为6.34．(1)π3(2)123【分析】(1)根据正弦定理边角互化，结合两角和的正弦的公式求解即可；(2)利用余弦定理和基本不等式得到ab ≤48，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)根据题意，由正弦定理，可得sin C tan C =3sin A cos B +sin B cos A =3sin A +B ，又因为△ABC 中A +B =π-C ，且C ∈0,π ，所以sin C tan C =3sin C ，即tan C =3，所以C =π3.(2)由余弦定理，可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，即48=a 2+b 2-ab所以48+ab =a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，所以ab ≤48，所以S △ABC =12ab sin C ≤12×48×32=123，所以△ABC 面积的最大值为123.35．(1)π3(2)4,6 【分析】(1)根据正弦定理边化角结合三角形内角和与诱导公式得出2sin A cos B =sin A ，根据三角形内角范围可知sin A ≠0，即可得出cos B =12，再根据角围得出答案；(2)根据已知结合余弦定理即可得出a 、c 关系，再根据基本不等式得出a +c 范围，即可得出答案.【详解】(1)由正弦定理，得2sin C -sin A =2sin B cos A ，因为A +B +C =π，所以sin C =sin A +B ，所以2sin (A +B )-sin A =2sin B cos A ，即2sin A cos B +2cos A sin B -sin A =2sin B cos A ，所以2sin A cos B =sin A ，因为0<A <π，所以sin A ≠0，所以cos B =12，又0<B <π，所以B =π3；(2)由(1)可得B =π3，若b =2，则由余弦定理，得4=a 2+c 2-ac =a +c 2-3ac ，所以3ac =a +c 2-4≤3×a +c 2 2，即14a +c 2≤4，所以a +c ≤4，当且仅当a =c 时等号成立，又a +c >b =2，所以2<a +c ≤4，即4<a +b +c ≤6，所以△ABC 周长的取值范围为4,6 .36．(1)证明见解析.(2)(1,5).【分析】(1)运用余弦定理得2c ⋅cos B =a -c ，再运用正弦定理边化角化简计算即可.(2)运用三角形内角范围求得角C 的范围，进而求得cos C 范围，运用边化角将问题转化为求关于cos C 的二次函数在区间上的值域.【详解】(1)∵c 2+ac =b 2，∴c 2-b 2=-ac ，∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2-ac 2ac =a -c 2c，即：2c ⋅cos B =a -c ，由正弦定理得：2sin C ⋅cos B =sin A -sin C ，∴2sin C ⋅cos B =sin (B +C )-sin C =sin B cos C +sin C cos B -sin C ，整理得：sin B cos C -sin C cos B -sin C =0，即：sin (B -C )=sin C ，又∵B 、C ∈(0,π)，∴B -C =C ，即：B =2C .(2)∵B =2C ，∴A =π-3C ，又∵sin2C =2sin C ⋅cos C ，sin3C =sin (C +2C )=sin C ⋅cos2C +cos C ⋅sin2C =sin C ⋅cos2C +2sin C ⋅cos 2C ，sin C ≠0，∴由正弦定理得：a +b c =sin A +sin B sin C =sin (π-3C )+sin2C sin C =sin3C +sin2C sin C=sin C⋅cos2C+2sin C⋅cos2C+2sin C⋅cos Csin C=cos2C+2cos2C+2cos C =2cos2C-1+2cos2C+2cos C=4cos2C+2cos C-1，又∵0<A<π0<B<π0<C<π⇒0<π-3C<π0<2C<π0<C<π⇒0<C<π3，∴12<cos C<1，令t=cos C，则a+bc=4t2+2t-1，12<t<1，∵y=4t2+2t-1对称轴为t=-1 4，∴y=4t2+2t-1在12,1上单调递增，当t=12时，y=4×14+2×12-1=1；当t=1时，y=4+2-1=5，∴1<a+bc<5，即：a+bc的范围为(1,5).37．(1)证明见解析(2)2 2,98【分析】(1)利用同角的商数关系与正弦定理的边角变换化简得到sin B=cos A，再由条件和诱导公式求得B=π2+A，由此得证；(2)先由(1)求出A的范围，再由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简得到sin A+sin C =-2sin2A+sin A+1，从而利用换元法和二次函数的性质即可求出式子的范围．【详解】(1)因为a=b tan A，所以ab=tan A=sin Acos A，由正弦定理可得sin Acos A=ab=sin Asin B，又0<A<π，所以sin A>0，故sin B=cos A，则sin B=sinπ2+A ，又B为钝角，则0<A<π2，因此B∈π2,π，π2+A∈π2,π，所以B=π2+A，即B-A=π2；(2)由(1)知，C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0，所以A<π4，又0<A<π2，所以0<A<π4，则0<sin A<22，所以sin A+sin C=sin A+sinπ2-2A=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2sin A-142+98，令t=sin A，则0<t<22，sin A+sin C=-2t-142+98，对于y=-2t-1 42+98=-2t2+t+1，其开口向下，对称轴为t=14，所以y=-2t-1 42+98在0,14上单调递增，在14,22上单调递减，故当t=14时，y=-2t-142+98取得最大值为98，又当t=0时，y=1，当t=22时，y=22，所以y=-2t-1 42+98的值域为22,98，故22<-2sin A-142+98≤98，即22<sin A+sin C≤98，所以sin A+sin C的取值范围是22,98 ．38．(1)ω=1，对称轴方程为：x=kπ2+π6k∈Z；(2)(23,2+3].【分析】(1)根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；(2)根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】(1)f(x)=cos2(ωx)+3sin(ωx)cos(ωx)-12=1+cos(2ωx)2+3sin(2ωx)2-1 2，f x =sin2ωx+π6，因为函数f(x)的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数f(x)的最小正周期为2×π2=π，因为ω>0，所以2π2ω=π⇒ω=1，即f x =sin2x+π6，令2x+π6=kπ+π2k∈Z⇒x=kπ2+π6k∈Z，所以对称轴为x=kπ2+π6k∈Z；(2)由f(A)=-1⇒sin2A+π6=-1，因为A∈(0,π)，所以2A+π6∈π6,13π6⇒2A+π6=3π2⇒A=2π3，因为a=3，所以由正弦定理可知：asin A=bsin B=csin C=332=2⇒b=2sin B,c=2sin C，所以三角形的周长为3+2sin B+2sin C=3+2sin B+2sinπ3-B ，=3+2sin B +232cos B -12sin B=3cos B +sin B +3=2sin B +π3 +3，因为B ∈0,π3 ，所以B +π3∈π3,2π3 ，因此sin B +π3∈32,1 ⇒2sin B +π3 +3∈(23,2+3]，所以△ABC 周长的取值范围为(23,2+3].39．(1)π3(2)8,12 【分析】(1)选①或②：由正弦定理得到a 2+c 2-b 2=ac ，再由余弦定理得到cos B =12，结合B ∈0,π ，求出B =π3；选③：由正弦定理化简得到2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C ，进而得到2sin A cos B =sin A ，cos B =12，求出B =π3；(2)由余弦定理结合基本不等式可得出a +c ≤8，从而可求得△ABC 的周长的取值范围.【详解】(1)选①，∵a sin C -sin A sin C +sin B=c -b ，∴sin A sin C -sin A sin C +sin B=sin C -sin B ∴sin A sin C -sin 2A =sin 2C -sin 2B∴sin A sin C =sin 2A +sin 2C -sin 2B∴ac =a 2+c 2-b 2，又∵a 2+c 2-b 2=2ac cos B∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.选②，∵sin 2A +sin 2C -sin 2B =sin A sin C ∴a 2+c 2-b 2=ac ，又∵a 2+c 2-b 2=2ac cos B∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.选③，∵2a -c b=cos C cos B ，∴2sin A -sin C sin B =cos C cos B ∴2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin (B +C )=sin A∵sin A ≠0,∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.(2)由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，∴16=a 2+c 2-ac =(a +c )2-3ac ≥a +c 2-3a +c 24=a +c 24，当且仅当a =c =4时，取等号.∴a +c 2≤64,∴a +c ≤8，又∵a +c >4，∴4<a +c ≤8,∴8<a +c +b ≤12。
高中数学解三角形-练习及详细答案
解三角形练习题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3C. 3D.3 2题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan Atan B＝2cb，则C ＝().A．30°B．45°C．45°或135°D．60°题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________．题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小.题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列.题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．题八：如图，在△ABC中，已知B＝π3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝513，cos∠ADC＝35.(1)求sin∠ABD的值；(2)求BD的长．题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)().A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是().A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定题十二：在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是().A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解三角形参考答案题一： B.详解：由正弦定理得：BC sin A ＝ AC sin B ，即32sin 60° ＝ AC sin 45° ，所以AC ＝ 3232×22 ＝2 3. 题二： B.详解：由1＋tan A tan B ＝2c b和正弦定理， 得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，则A ＝60°. 由正弦定理得23sin A ＝ 22sin C ， 则sin C ＝ 22， 又c < a ，则C < 60°，故C ＝ 45°.题三： 30°或150°详解：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠ 0，所以sin A ＝ 12，所以A ＝30°或A ＝150°. 题四： A ＝π3. 详解：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即sin B (2cos A －1)＝0.因为0 < B < π，所以sin B ≠ 0，所以cos A ＝ 12. 因为0 < A < π，所以A ＝ π3. 题五： 49π3. 详解：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝ π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝AC sin B ＝ 7sin 60°，即R ＝ 73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝ 49π3. 题六： 见详解.详解：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ()sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．题七： (1) 303；(2) 小艇航行速度的最小值为1013 海里/小时． 详解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400 ＝ 900()t －132＋300， 故当t ＝ 13时，S min ＝103，v ＝ 10313＝303， 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示．由题意可得：(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得： v 2＝400t 2－600t ＋900＝400()1t －342＋675. 由于0 < t ≤ 12，即1t ≥ 2，所以当 1t＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．题八： 8＋4 3.详解：因为AB ＝AD ，B ＝ π3，所以△ABD 为正三角形， 在△ADC 中，根据正弦定理，可得AD sin C ＝ 43sin 2π3 ＝ DC sin ()π3－C ， 所以AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ()π3－C ，所以△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC＝8sin C ＋8sin ()π3－C ＋4 3＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3 ＝8sin ()C ＋π3＋43，因为∠ADC ＝ 2π3，所以0 < C < π3，所以π3 < C ＋π3 < 2π3，所以当C ＋π3 ＝ π2，即C ＝ π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3. 题九： (1) 3365.(2) 25. 详解：(1)因为cos ∠ADC ＝ 35， 所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝ 45. 又sin ∠BAD ＝ 513， 所以cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝1213. 因为∠ABD ＝∠ADC －∠BAD ，所以sin ∠ABD ＝sin(∠ADC －∠BAD )＝sin ∠ADC cos ∠BAD －cos ∠ADC sin ∠BAD＝ 45 × 1213 － 35 × 513 ＝ 3365. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ AD sin ∠ABD， 所以BD ＝ AD ×sin ∠BAD sin ∠ABD＝ 33×5133365＝25. 题十： C.详解：在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝ CM －10AE . 所以AE ＝ CM －10tan 30°. 在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝ CM ＋10AE ， 所以AE ＝CM ＋10tan 45°， 所以CM －10tan 30° ＝ CM ＋10tan 45°， 所以CM ＝ 10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)． 题十一： C.详解：由正弦定理得a 2＋b 2 < c 2，所以cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab < 0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形． 题十二： A.详解：由余弦定理知cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab， 所以a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝ a 2＋b 2－c 2a， 所以a 2＝a 2＋b 2－c 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c .。
高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)
高中数学经典题型解三角形【编著】黄勇权【第1题】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ， 且sinC bsinBasinA = 3a32 sinB + c求：角C 的大小【第1题】答案：已知：sinCbsinB asinA += 3a 32 sinB + c等号左边：因为分子、分母每一项含有sin ，故用正弦定理，将sin 替换成边即：cb *b a *a += 3a 32 sinB +c 特别提示： 等号右边的sinB 不能换成边b ， 这是因为sinB=R 2b ,这样就会多出R 21，等号两边同时乘以ca 2+b 2 = 3ac 32 sinB +c 2将c 2移到等号左边，a 2+b 2- c 2 = 3ac 32 sinB由于等号左边是a 2+b 2-c 2，只能构建cosC ，故等号两边同时除以2ab ，这一步非常重要。
2a b c b a 222-+ = b 3c 3 sinBc osC = b 3c 3 sinB等号右边，左边分子含c ，分母含b ，故用正弦定理把c 、b 换成sinC ，sinB 这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。
c osC = B sin 3sinC 3 sinBc osC =33 sinCtanC= 3 即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实，在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。
例如1：acosB+bcosA=2c 【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC因为每一项都有2R，故能消除2R,化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC所以能用正弦定理。
例如2：bcosA+sinB=3c 【不能用】由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3因为第二项不含2R，无法消除2R, 所以不能用正弦定理例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC 【能用】a b c（R 2a ）2 + （R 2b ）2 = 2 *R 2b *R 2c因为每一项都有（R 21）2，故能消除2R ，化简得：a 2 +b 2=2bc 所以能用正弦定理 例如4：acosB+bcosA=4bc 【能用】由正弦定理：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC 代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC因为要消除2R ，所以只能代入一项，要么是b 或c 而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin （A+B ）=sinC所以我们只把c 换为sinC ，而b 不动。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高中数学解三角形大题经典题目总结
高中数学解三角形大题经典题目总结一、基础题1. 已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB (1)求B 的大小；(2)求cos 3cos AC A B +的值.2. 在ABC ∆中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值：(2)sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．3. 如图，在圆内接ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.(1)求B ；(2)若点D 是劣弧AC 上一点，AB =2，BC =3，AD =1，求四边形ABCD 的面积4.ABC ∆中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 4c =，2B C =.(1)求cos B ；(2)若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC ∆的面积.5. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A (1)求边a 的长； (2)求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.6. 在①222sin 2cos 2cos cos 122C B C B C B -+++=，①2tan tan tan B b A B c =+，①(sin )a C C =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a =，3b =， ______，求ABC ∆的面积.7. 在①2sin cos C A =②tan a A =，③cos c A =补充在下面问题中，并求ABC ∆的面积．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4,3a C π==，________？8. 在①22()3a b c ab +=+，①sin cos a A a C =-，①(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，c =_____.(1)求C ∠；(2)求ABC 周长的最大值.9. 在①AD 是BC 边上的高，且AD BC ⋅=，②AD 平分BAC ∠，且7AD =，③AD 是BC 边上的中线，且2AD =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC 的长．问题：在锐角ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，D 是边BC 上一点，_____，求边BC 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分10. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-，ABC 的面积为.(1)求sin 2A ；(2)sin sin B C +=，求ABC 的周长.11. 在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒，cos AMC ∠=. (1)求sin B ； (2)若12MC BM =，4AC =，求MC .12. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，且24cos 222Ba abc =-+ (1)求A ；(2)若2b =，ABC 的面积为2，M 是AB 的中点，求2CM ．13. ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin cos )(cos sin )b C C c B B -=-．(1)记BC 边上的高为h ，求a h；(2)若b =1c =，求a ．14. 在ABC ∆中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，1AC AD ==，3AB =.(1)求cos BAD ∠； (2)求ABC 的面积.15. 在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin 2cos 2cos cos 122A B A BA B -+++=（1）求角C 的大小（2）若4,38c CA CB =+=16. 如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，AC BC =，2AD =，6CD =.(1)当ACD ∆的面积最大时，求ABC ∆的面积；(2)若cos B =AB .17. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A +=．(1)求角C ；(2)如图，若点D 在边AC 上，AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足，AE =a =， 求AD 长．二、中档题1. 如图，在直角ACB △中，2ACB π∠=，3CAB π∠=，2AC =，点M 在线段AB 上.(1)若sin 3CMA ∠=，求CM 的长；(2)点N 是线段CB 上一点，MN =12BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值.2. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=.(1)若sin 3C =，求B ； (2)若D 为AC 中点，且BD BC =，求a b.3. 在①2b =；②c =；③222a cb +-=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，求BCD ∠的大小和ACD △的面积.问题：已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =，设D 为边AB 上一点，BD =， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.4. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =.(1)求证：03B π<≤；(2)求222sin sin 1A CB +-+的取值范围.5. 已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①33()b ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(1)在(1)所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）6. 在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . (1)求角C ；(2)若c =a b +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.7. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.(1)求角B ；(2)求sin sin A C 的取值范围.8. 在①ANBN=，②AMN S =△，③AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，8c =，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，____________，求AM 的长和ABC ∆外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.三、提升题1. △ABC 中，角A ①B ①C 所对的边分别为a ①b ①c ，已知1a =，sin cos ()cos c B B b C -=． (1)求BC 边上的高AD 的长； (2)求tan A 的最大值．2. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin B C aA C b c+=--.(1)求tan B ；(2)若ABC 是锐角三角形，且ABC 的面积为c 的取值范围.3. 若锐角BC △A 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32()cos )33x f x C C x x =-++的图像在点(,())C c f c 处的切线与直线y x=垂直，求ABC ∆面积的最大值.4. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O (如图).为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π(即AOB ∠)的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.(1)将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；(2)该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园(即OA ，OB 长度)，才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？。
(必考题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．62．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（ ） A ．)3,⎡+∞⎣ B ．()3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒4．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==，B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ） A ．22B ．2C ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为3a ，则c bb c+的最大值是（ ） A ．8B ．6C ．32D ．49．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =，若ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．25B ．35C ．45D ．65 11．在ABC 中，若2a =，23b =，30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒12．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<二、填空题13．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，2BD =，则ABC 的面积为_________.14．如图，三个全等的三角形ABF ，BCD ，CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，则tan ACE ∠的值为__________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.17．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．如图，在ABC 中，6AB =，3cos 4B =，点D 在BC 边上，4=AD ，ADB ∠为锐角．（1）若62AC =DC 的长度； （2）若2BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若32b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ． 23．在ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边长分别为a b c 、、，且,,a b c 满足5cos 44cos 5sin sin cos a B b cB A BC -=+.（1）求cos A ；（2）若3a =，求b c +的最大值.24．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 12+=A C a c ，且2b =.（1）证明：4+≥a c ；（2）若ABC 的周长为232+S .25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．2．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围． 【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=， 化为3sin cos sin cos B A A B =， 在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠， 则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >， 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.4．A解析：A 【详解】由题设可得060B =11sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵212cos sin sin (2cos )sin 222A AB C A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c +2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 226bc A a a =⨯，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭， 所以c bb c +的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022ACAD ACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin AC BCB A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理可得sin sin a bA B=， 即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==sin A =，三角形有两解，故sin 12A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠， 设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=， 因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =， 所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=， 所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=， 因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=， 在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=， 可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 28ABC S AC AB BAC =⋅∠=，【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.14．【分析】首先设中利用正弦定理表示的值【详解】设因为三角形互为全等三角形且是等边三角形所以且在中根据正弦定理有所以所以即故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理三角函数恒等变换属于中档题型【分析】首先设AE x =，CBD ACE θ∠=∠=，CBD 中，CD AE x ==,3BD x =,6060BCE ACE θ∠=-∠=-,利用正弦定理表示tan ACE ∠的值.【详解】设AE x =，22EF AE x ==，因为三角形ABF ，BCD ，CAE 互为全等三角形，且ABC 是等边三角形， 所以CBD ACE θ∠=∠=，CD AE x ==，3BD AF AE EF x ==+=，且6060BCE ACE θ∠=-∠=-,在CDB △中，根据正弦定理有sin sin CD BD CBD BCD=∠∠， 所以()3sin sin 60x x θθ=-，所以()13sin sin 60sin 2θθθθ=-=-，即7sin 2θθ=，sin tan cos θθθ==.【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BC B A =∠∠，即32sin(3)sin παα=-， 整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=， 即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==． 再由ABC 得：2sin sin 2AB αα=，∴= 解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B=，根据正弦定理：sin sinb cB C=，∴=c，根据余弦定理：2222cosa b c bc A=+-，又222a b=，故可联立方程：222222cos2ca b c bc Aa b⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A=..【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB∠与BAC∠，求出ABC∠的度数，根据sin ACB∠，sin ABC∠，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．【详解】解：在ABC∆中，50AC m=，45ACB∠=︒，105CAB∠=︒，即30ABC∠=︒，则由正弦定理sin sinAB ACACB ABC=∠∠，得：50sin21sin2AC ACBABABC∠===∠．故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B的值，然后结合数量积的定义求解AB BC⋅的值即可.【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为3-【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解．【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b a ab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=，由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=，即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠；sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =，则3B A C A ππ=--=-， 因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩， ∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=．所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）7；（2 【分析】（1）分别在△ABD 、△ABC 中，由余弦定理求BD ，BC ，即可求DC 的长度； （2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=，在△ABD 中由余弦定理求sin 2θ、sin θ、cos θ，法一：即可求sin3θ、cos3θ，由已知求sin B ，又()sin sin 3C B πθ=--即可求值；法二：由余弦定理求cos BDA ∠，sin BDA ∠，又()sin sin C BDA θ=∠-即可求值.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22223616312co 24s AB BD AD B AB B BD D BD +-⋅⋅=+-==， ∴5BD =或4BD =．当4BD =时，161636cos 0244ADB +-∠=<⨯⨯，则2ADB π∠>，不合题意，舍去； 当5BD =时，162536cos 0245ADB +-∠=>⨯⨯，则2ADB π∠<，符合题意． ∴5BD =． 在△ABC 中，22223672312co 24s AB BC AC B AB B BC C BC +-⋅⋅=+-==， ∴12BC =或3BC =-（舍）．∴7DC BC BD =-=．（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=．在△ABD 中，2229cos cos2216AB AD BD BAD AB AD θ+-∠===⋅，∴2θ为锐角，得21cos27sin 232θθ-==，sin 2θ=sin θ=，cos θ=，法一：sin3sin 2cos cos2sin θθθθθ=+=，同理cos3θ=由3cos 4B =知：sin B =，∴()()sin sin 3sin 3sin cos3cos sin3C B B B B πθθθθ=--=+=+法二：2221625361cos 22458AD BD AB BDA AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，sin BDA ∠．∴()sin sin sin cos cos sin C BDA BDA BDA θθθ=∠-=∠-∠=【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可.22．（1）π4A =；（2）a =3AD =． 【分析】（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos A C A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos A A A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =． （2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==，又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.23．（1）45-；（2 【分析】 （1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简整理，即可求得答案.（2）由（1）可得4cos 5A =-，根据余弦定理，可得25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，根据基本不等式，即可求得b c +的最大值.【详解】（1）由题意得5cos cos 4cos 4cos 5sin sin a C B b C c B c A B -=+， 正弦定理边化角得：5sin cos cos 4sin cos 4sin cos 5sin sin sin A C B B C C B C A B -=+，所以5sin (cos cos sin sin )4(sin cos sin cos )A C B C B C B B C -=+，所以5sin cos()4sin()A B C B C +=+，又A B C π++=，所以sin()sin()sin ,cos()cos()cos B C A A B C A A ππ+=-=+=-=-，所以5sin cos 4sin A A A -=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠， 所以4cos 5A =-. （2）由（1）可得4cos 5A =-， 由余弦定理得2222()294cos 225b c a b c bc A bc bc +-+--===-， 所以25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦， 由基本不等式可得22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以225()922b c b c +⎛⎫⎡⎤+-≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得b c +≤ 当且仅当b c =时等号成立，所以b c +【点睛】解题的关键是熟练掌握正余弦定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简的能力，属中档题.24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）解法一：用正弦定理化边为角，得到2sin sin sin B A C =，再变成2b ac =，运用基本不等式可证明解法二：用余弦定理化角为边，得到关系式2b ac =，再用基本不等式求解即可. （2）用余弦定理求出3cos 4B =，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由已知及正弦定理，得cos cos 1sin sin sin A C A C B += 因为cos cos cos sin cos sin sin()sin sin sin sin sin sin sin sin sin +++===A C A C C A A C B A C A C A c A c所以sin 1sin sin sin =B A c B，2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =，即4ac =.4a c +≥=. 解法二：由已知及余弦定理，得222221222+-+-+=b c a a b c abc abc ，得24==ac b ，所以4a c +≥=.（2）因为ABC 的周长为2+a c +=因为22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅又因为4ac =，所以3cos 4B =得sin B =.所以1sin 2sin 2===ABC S ac B B 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学解三角形的知识总结和题型归纳总结
解三角形的知识总结和题型归纳一、知识讲解1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（互余）（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．主要类型有：（1）正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）余弦定理解三角形的问题：已知三边求三角.已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
数学-高中必修五-解三角形-经典题目.doc
解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
Q A:B :C1: 2: 3,而A B C .解：A, B ,C ,6 3 21 3a :b :sin A: sin B : sinC sin : sin : sin : :1 1: 3 :2.6 3 2 2 2【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2 在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，c= 2+ 6 ，∴由正弦定理得：a b c2 6 sin A sin B sin C sin 30,∴a=2( 2+ 6 )sinA,b=2( 2+ 6 )sinB=2( 2+ 6 )sin（150°-A） .∴a+b=2( 2+ 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2+ 6 ) ·2sin75 °·cos(75 °-A)= 22 6 cos(75 °-A)①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值22 6 =8+43 ；②∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75 °＜75°-A＜75°，∴cos75 °＜cos(75 °-A) ≤1，∴＞22 6 cos75 °=22 6 ×6 24= 2+ 6 .综合①②可得a+b 的取值范围为( 2+ 6 ,8+ 4 3 >考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA，判断三角形ABC的形状。
高中数学解三角形各类题
第七章 解三角形第一节 正弦定理与余弦定理1.（2008·陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6B.2C.3D.2答案 D2.（2008·福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为( ) A.6π B.3π C.6π或65π D.3π或32π答案 D3.下列判断中正确的是（ ）A .△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解B .△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解 C .△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解D .△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解 答案 B4. 在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是 （ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案 B5. 在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CB sin sin 的值为 （ ） A.58 B.85 C.35D.53答案 D6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则∠C 的度数是 （ ） A.60° B.45°或135° C.120°D.30°答案 B7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a =1,b =7,c =3,则B = .答案65π8. 在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积为 . 答案 3109. （2008·浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = . 答案3310. 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c .解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sin A =bB a sin =245sin 3︒=23,则A 为60°或120°.①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°, c =BC b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°, c =BC b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =226+或A =120°,C =15°,c =226-.11. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.解 （1）由余弦定理知：cos B =acbc a 2222-+，cos C =abcb a 2222-+. 将上式代入CB cos cos =-ca b +2得:acbc a 2222-+·2222cb a ab -+=-ca b +2整理得:a 2+c 2-b 2=-ac ∴cos B =acbc a 2222-+=acac 2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B =32π.（2）将b =13,a +c =4,B =32π代入b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac -2ac cos B∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫⎝⎛-211,∴ac =3.∴S △ABC =21ac sin B =433.12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a 2［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2［-sin （A +B ）-sin(A -B )］∴2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A由正弦定理可知上式可化为：sin 2A cos A sinB =sin 2B cos B sin A∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0∴sin2A =sin2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A =2π-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B =2b 2sin A cos B 由正、余弦定理,可得a 2bbcac b 2222-+= b 2aacbc a 2222-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.13. 已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且2S =(a +b )2-c 2，求tan C 的值.解 依题意得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab ,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 所以,ab sin C =2ab (1+cos C ),即sin C =2+2cos C ,所以2sin2C cos2C =4cos 22C化简得：tan 2C =2.从而tan C =2tan12tan 22C C -=-34.14. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B -8cos B +5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状. 解 方法一 ∵2cos2B -8cos B +5=0,∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0. ∴4cos 2B -8cos B +3=0, 即(2cos B -1)(2cos B -3)=0.解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21.∵0＜B ＜π,∴B =3π.∵a ，b ，c 成等差数列，∴a +c =2b .∴cos B =acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21，化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c .又∵B =3π，∴△ABC 是等边三角形.方法二 ∵2cos2B -8cos B +5=0，∴2（2cos 2B -1）-8cos B +5=0. ∴4cos 2B -8cos B +3=0，即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21,∵0＜B ＜π,∴B =3π,∵a ,b ,c 成等差数列，∴a +c =2b .由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin 3π=3.∴sin A +sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 32π=3，∴sin A +sinAcos 32π-cosAsin 32π=3.化简得23sin A +23cos A =3,∴sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πA =1.∴A +6π=2π,∴A =3π,∴C =3π,∴△ABC 为等边三角形.15. （2008·广东五校联考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a +b =5，c =7，且4sin22B A +-cos2C =27.(1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 解 （1）∵A +B +C =180°,由4sin 22B A +-cos2C =27,得4cos 22C -cos2C =27, ∴4·2cos 1C+-(2cos 2C -1)=27,整理,得4cos 2C -4cos C +1=0,解得cos C =21,∵0°＜C ＜180°,∴C =60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,即7=a 2+b 2-ab ,∴7=(a +b )2-3ab ， 由条件a +b =5,得7=25-3ab ,ab =6,∴S △ABC =21ab sin C =21×6×23=233.第二节 正弦定理、余弦定理的应用1.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则βα、的关系为（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°答案 B2.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC =120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A.10 km B.3km C.510km D.107km答案 D3. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是（ ）A.)331(20+ m B.)231(20+ m C.)31(20+ mD.30 m答案 A4．如图，位于港口O 正东20海里B 处的渔船回港时出现故障．位于港口南偏西30°，距港口10海里C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救渔船，则拖轮到达B 处需要________小时．解析：由余弦定理得BC ＝错误!＝107，从而需73小时到达B 处．答案：735．(2010年南京市高中联考)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：连结AC .则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.答案：136.(2010年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．解析：假设该船从A 处航行到了D 处，两座灯塔分别在B 、C 位置，如图，设AD 长为x ，则AB ＝x tan60°，AC ＝x tan75°，所以BC ＝x tan75°－x tan60°＝10，解得x ＝5，所以该船的速度v ＝50.5＝10(海里/小时)．答案：107.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：连结OC ，在三角形OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，∴OC ＝507.答案：5078.(原创题)在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值为________．解析：∵r ＝a ＋b －c 2＝a ＋b 2－1，∵4＝a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴(a ＋b )2≤8，∴a ＋b ≤22，∴r ≤2－1.答案：2－19.(2009年高考辽宁卷)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，2≈然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，1.414，6≈2.449)．解：在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620.同理，BD ＝32＋620≈0.33(km)，故B 、D 的距离约为0.33 km.。
高中解三角形大题20道
高中解三角形大题20道解三角形是高中数学中的重要内容之一，也是考试中常常出现的题型。
下面是高中解三角形大题的20道题目，希望对同学们复习和提高解题能力有所帮助：1. 已知一个三角形的两边和夹角，求第三边的长度。
2. 已知一个三角形的两个夹角和一边的长度，求另外两边的长度。
3. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余弦值，求第三边的长度。
4. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正弦值，求第三边的长度。
5. 已知一个三角形的两边长度和一个角的正切值，求第三边的长度。
6. 已知一个三角形的两边长度和一个角的余切值，求第三边的长度。
7. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余弦值，求第三个角的正弦值。
8. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。
9. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的正切值。
10. 已知一个三角形的两个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。
11. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余弦值。
12. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正切值，求第三个角的余切值。
13. 已知一个三角形的两个角的正切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。
14. 已知一个三角形的两个角的余弦值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。
15. 已知一个三角形的两个角的余切值和一个角的正切值，求第三个角的余切值。
16. 已知一个三角形的一个角的正弦值和一个角的余切值，求第三个角的正弦值。
17. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的余切值，求第三个角的正切值。
18. 已知一个三角形的一个角的正切值和一个角的正弦值，求第三个角的正弦值。
19. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的正弦值，求第三个角的余切值。
20. 已知一个三角形的一个角的余切值和一个角的余弦值，求第三个角的余切值。
这些题目涉及到了三角函数的概念和性质，需要同学们熟练掌握三角函数的定义和运算规律。
高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有三种类型.doc
高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有
三种类型
题型一：三角变换与解三角形的综合问题方法归纳：
（1）解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向。
第二步：定工具，即根据条件与所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
第三边：求结果（2）三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，以及在△ABC中，A＞B→sanA＞sinB等。
题型二：解三角形与平面向量结合解三角形与平面向量综合问题的一般思路
（1）求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系。
利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解
（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。
（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。
题型三：以平面图形为背景的解三角形问题以平面图形为背景的解三角形问题的一般思路
（1）建联系：在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中在某一个三角形。
（2）用定理：①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采取正弦定理②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采取余弦定理。
高中数学解三角形
高中数学解三角形一．选择题（共8小题） 1．在A B C ∆中，已知2A C=，4B C=，1c o s 4C=，则A B C ∆的面积为()A ．4B ．1CD ．2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c++=，23Aπ=，则A B C∆面积的最大值为( )A 5B 5C 5D 3．已知a ，b ，c 分别为A B C ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且c o s c o s a C b A b+=，则A B C∆是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．在A B C ∆中，已知60B=︒，A C=，1A B=，则(B C=)A ．1B C ．2D ．45．在A B C ∆中，2sin sin sin A B C=，若3Aπ∠=，则B ∠的大小是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π6．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c o s 2o sa Cbc A+=，c=，则(A∠= )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π7．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin c a C=，4Bπ=，A B C∆外接圆的半径为6，则(c=)A ．6+B ．6+C ．8+D ．8+8．在A B C ∆中，2a=，3b=，c o s 4B=(A∠= )A ．6πB ．3πC ．56πD ．6π或56π二．解答题（共10小题）9．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222s in s in s in b c aB Ab cC+--=．（1）求角C 的值； （2）若边2c =，求A B C ∆面积的最大值．10．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s in ()33c A π=+．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若4a c +=，求A B C ∆周长的取值范围．11．在锐角A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且222c o s c o s sin sin C A A B B-=-．（1）求C 的大小； （2）若1c =，求22ba-的取值范围．12．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c o s 2a C b c=-．（1）求角A 的大小；（2）若A B C ∆45a=，求A B C ∆的周长．13．在A B C∆中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若222s i ns i n(s i n s i ns i n)2A B C A BC =+-． （1）求C ；（2）若c =，求A B C ∆周长的取值范围．14．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A B C ∆4（1）求C ∠； （2）若2Aπ∠=，C ∠的角平分线C E 与边A B 相交于点E ，延长C E 至点D ，使得C ED E=，求c o s A D B ∠．15．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ，且s in s in2B C a C +=．（1）求角A 的大小； （2）若点D 在边B C 上，且33C D B D ==，6B A Dπ∠=，求A B C ∆的面积．16．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c s in c o s A a B a=+．（1）求角B 的值；（2）若8c =，A B C ∆的面积为2，求B C 边上中线A D 的长．17．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s ()32a cb C π+-=．（1）求角B 的大小；（2）若b =A B C ∆的周长的取值范围．18．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222s in 2abcAb c+-=．（1）求C ；（2）若sinA B=，2c=，求A B C ∆的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．在A B C ∆中，已知2A C=，4B C=，1c o s 4C=，则A B C ∆的面积为()A 4B ．1CD ．【分析】先由同角三角函数的关系式求得s in C 的值，再利用1s in 2S A C B C C=⋅，得解．【解答】解：因为1c o s 4C =，(0,)Cπ∈，所以s in 4C==，所以A B C ∆的面积11s in 24224S A C B C C =⋅=⨯⨯⨯=故选：C ．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c++=，23Aπ=，则A B C∆面积的最大值为( )A 5B 5C 5D 【分析】由已知利用余弦定理，基本不等式可求b c 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：因为22212a b c++=，23Aπ=，所以由余弦定理可得222222co s a b c b c A b c b c=+-=++，所以222212b cb c b c --=++， 整理可得221222b cb cb c-+=…，可得125b c …，当且仅当bc=时等号成立，则A B C ∆面积1112s in 22525A B C S b c A ∆=⨯⨯=…当且仅当b c=时等号成立，即A B C ∆面5．故选：B ．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．已知a ，b ，c 分别为A B C ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且c o s c o s a Cb A b+=，则A B C∆是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【分析】由已知结合正弦定理及和差角，诱导公式进行化简即可求解． 【解答】解：由c o s c o s a C b A b+=及正弦定理得，sin co s sin co s sin sin ()sin co s sin co s A C B A B A C A C C A+==+=+，所以s in c o s s in c o s B A C A =， 所以s in s in B C=或c o sA =，所以BC=或90A=︒，故A B C ∆是等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及诱导公式在三角形判断中的应用，属于基础题．4．在A B C ∆中，已知60B=︒，A C=，1A B=，则(B C=)A ．1B C ．2D ．4【分析】根据余弦定理和题设中的条件即可求解B C 的值．【解答】解：因为60B =︒，A C=，1A B=，所以由余弦定理2222co s A C A B B CA B B C B=+-⋅⋅，可得：22121c o s 60B CB C =+-⨯⨯⨯︒，整理可得220B C B C --=，解得2B C =或1-（舍去）．故选：C ．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．属基础题． 5．在A B C ∆中，2sin sin sin A B C=，若3Aπ∠=，则B ∠的大小是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【分析】利用三角形的内角和定理及诱导公式得到co s co s()A B C =-+，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，把A的度数代入已知等式求出s in s in B C的值，代入计算求出c o s c o s B C的值，再利用两角和与差的余弦函数公式求出co s()B C -的值，进而得到B C∠=∠，即可求出B ∠的度数．【解答】解：在A B C ∆中，2s in s in s in 3A B C A π=∠=，231c o s c o s ()c o s c o s s in s in c o s c o s s in c o s c o s 42A B C B C B C B C A B C ∴=-+=-+=-+=-+=，1c o s c o s 4B C ∴=， 3s in s in 4B C =，co s()co s co s sin sin 1B C B C B C ∴-=+=，即0B C ∠-∠=，3B C π∴∠=∠=，故选：C ．【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c o s 2o sa Cbc A+=，c=，则(A∠= )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系式化简计算题中的等式，得到1s in 2A =±，由此能求出结果．【解答】解：3c a =，∴由正弦定理得sin CA=，22sin 3sinC A∴=，222co s 1sin 13sin CC A∴=-=-，由2c o s 2c o s a Cb c A+=，得2s inc o s s in 2s in c o s A C B C A+=，2s in A co s sin ()2sin co s C A C C A++=，3s in c o s s in c o s A C C A=，22229sin(13sin)3sin (1sin)A A A A -=-，由s inA ≠，得1s in 2A =±，0A π<<，6A π∴=．故选：A ．【点评】本题考查角的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin c a C=，4Bπ=，A B C∆外接圆的半径为6，则(c=)A．6+B．6+C．8+D．8+【分析】直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出结果． 【解答】解：由于3s in ca C=，利用正弦定理：s in 3s in s in C A C=，故1s in3A =，由于，A B C ∆外接圆的半径为6， 所以2s in 4aR A ==，2sin b R B ==由于ba>，A 为锐角，所以c o s 3A =，144s in s in ()32326CA B +=+=⨯+=；故42s in 1286cR C +==⨯=+故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 8．在A B C ∆中，2a=，3b=，c o s 4B=，则(A∠= )A ．6πB ．3πC ．56πD ．6π或56π【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求s in B的值，利用正弦定理可求s in A的值，结合大边对大角可求A 为锐角，进而可求A 的值． 【解答】解：因为2a =，3b=，c o s 4B=所以3s in4B ==，因为由正弦定理可得s in s in a b AB=，所以32s in 14s in 32a BA b⨯⋅===，又ba>，可得A 为锐角，所以6Aπ=．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 二．解答题（共10小题）9．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222s in s in s in bcaB Ab cC+--=．（1）求角C 的值； （2）若边2c=，求A B C ∆面积的最大值．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求c o s C ，进而可求C ；（2）由余弦定理及基本不等式可求a b 的范围，然后结合三角形面积公式可求． 【解答】解：（1）由条件和正弦定理可得2222bcab ab +-=-，整理得222b aca b+-=从而由余弦定理得1c o s 2C =．又C 是三角形的内角，∴3C π=．（2）由余弦定理得222222co s c ab a b C ab a b=+-=+-，2c =，2242aba b a b a b a b∴=+--=…，当且仅当2ab ==时取等号，4a b ∴…，故1s in 24A B CS a b C b ∆==…【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．10．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s in ()33c A π=+．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若4ac +=，求A B C ∆周长的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理，结合三角函数恒等变换即可求解结论， （Ⅱ）结合余弦定理求得b 的范围，进而求解结论．【解答】解：（Ⅰ）A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，s in ()33c A π=+，由正弦定理可得：s in in s in ()33CB A π=+，1s in ()in (s in o s )322A B B A A ∴+=⨯+，可得：s in c o s c o s s in in s in s in c o s 3A B A B A B B A+=+，故有：s in c o s in s in 3A B A B=，有s in 0A >可得：ta nB =，故3Bπ=，（Ⅱ）2222222()2c o s ()3()3()424a c a c baca c B a c a c a c ++=+-=+-+-⨯==…，当且仅当2a c ==时等号成立， 可得2b …，A B C∴∆周长的取值范围是：(4，6]．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 11．在锐角A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且222c o s c o s sin sin C A A B B-=-．（1）求C 的大小； （2）若1c=，求22ba-的取值范围．【分析】（1）由已知结合同角平方关系及正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求c o s C ，进而可求C ；（2）由正弦定理表示a ，b ，代入到所求式子后，结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数性质可求．【解答】解：（1）因为222c o s c o s sin sinC A A B B-=-，所以2221sin 1sinsin sinCA AB B--+=-，由正弦定理得，222a bcb+-=，故222c o s 22abcCa b+-==，由C 为三角形内角得6C π=；（2）由正弦定理得22s in cRC==，因为025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以32A ππ<<，所以572666A πππ<+<，所以11s in (2)262A π-<+<， 所以2s in a A=，2s in bB=，所以1c4(22BAba B A A B A A A A A ππ---=-=-=-=--=+=+∈-，1)．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．12．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c o s 2a C b c=-．（1）求角A 的大小； （2）若A B C ∆45a=，求A B C ∆的周长．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得c o sA的值，结合范围0A π<<，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求25b c=，根据余弦定理可求bc+的值，即可得解A B C∆的周长．【解答】解：（1）因为2c o s 2a C b c=-，则由正弦定理得2sin co s 2sin ()sin A C A C C=+-，即2s in c o s s in 0CA C -=，因为s in 0C ≠， 所以1c o s 2A =， 因为0A π<<，则3Aπ=．（2）因为1s in 24A B C S b c A ∆==，所以25b c=，因为22222251c o s 22252bc a bcA b c+-+-===⨯，所以2250b c +=，所以222()2100bc b c b c +=++=，即10b c +=．所以A B C ∆的周长为15ab c ++=．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 13．在A B C∆中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若222s i ns i n(s i n s i ns i n)2A B C A BC =+-． （1）求C ；（2）若c=，求A B C ∆周长的取值范围．【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定求出ta n C ，结合已知条件求出角C 的范围，进而求出C ； （2）由c，C的值，利用余弦定理可，得2222232c o s ()3()3()2a baba b C a b a b a b +=+-=+-+-⨯…，ab +…，再结合三角形三边关系可求得三角形周长的取值范围．【解答】解：由222s i n s i n(s i n s i n s i n )2A B C A BC =+-及正弦定理，得222s in ()2a b C abc =+-，又2222c o s a b ca b C+-=，sin c o s a b C b C∴=，ta n C ∴=0C π<<，3C π∴=；（2）由余弦定理，可得22232c o s ()3ab a b C a b a b=+-=+-22()3()2a b a b ++-⨯…，当且仅当ab=时取等号，a b ∴+…ab c +>=a b c ∴++…A B C∴∆周长的取值范围(．【点评】本题考查正余弦定理，以及基本不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属中档题．14．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A B C ∆4（1）求C ∠； （2）若2Aπ∠=，C ∠的角平分线C E 与边A B 相交于点E ，延长C E 至点D ，使得C ED E=，求c o s A D B ∠．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求ta n C ，进而可求C ； （2）由已知结合直角三角形勾股定理及角平分线性质可表示三角形各边，然后结合余弦定理即可求解．【解答】解：（1）因为A B C ∆的面积为222)4ab c +-，所以1s in 2c o s 24a b C a b C=，故sin o s CC=，即ta n C=，由C 为三角形内角得，60C =︒；（2）设A Ca=，则2B Ca=，A B =，因为C E 为C ∠的角平分线， 由角平分线性质得，12A E A C E BB C==，所以3A E=，3B E=，3C E =，因为60A E C ∠=︒，A E D ∆中，120A E D∠=︒，3A E =，3D E =， 由余弦定理得，22222214172c o s 1202333323A DA ED EA E D E aaa=+-⋅︒=++⨯⋅⨯=，故3A Da=，B D E∆中，3E DB E ==，60B E D∠=︒，所以3B D =，又A B=，在A B D ∆中，由余弦定理可得，222222743c o s 21433aa a A DD BA BA D BA D D B+-+-∠===⋅．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，角平分线性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．15．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c，且s in s in2B C a C +=．（1）求角A 的大小； （2）若点D 在边B C 上，且33C DB D ==，6B A Dπ∠=，求A B C ∆的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等方式可得s in22A =，结合2A 的范围可求2A 的值，进而可求得A 的值；（2）由题意可求2C AD π∠=，在A C D ∆中，可得3s in A DC=，在A B D ∆中，由正弦定理可得32bc=，进而在A B C ∆中，由余弦定理即可解得b ，c 的值，从而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为s in s in2B C a C +=， 所以由正弦定理可得sin in 3si n s i2B CA C C +=，即sin insi n s i n 3sinc o s22AAA C C C π-==，因为s in 0C ≠，所以s ino s2A A =，可得2s inc o so s222A A A =，因为(0,)A π∈，(0,)22A π∈，所以2s in 2A =s in22A =所以23A π=，可得23Aπ=；（2）因为点D在边B C上，且33C D B D ==，6B A D π∠=，可得2C AD π∠=，4B C B D C D =+=，所以在A C D ∆中，s in A D CC D=，可得3s in A DC=，在A B D ∆中，由正弦定理s in s in A D B DBB A D=∠，可得3s in 121s in 2C B==，由正弦定理可得32bc=，在A B C ∆中，由余弦定理2222co s a b c b c A=+-，可得2223314()2()222c cc c =+-⨯⨯⨯-，整理可得19c=，19b=，所以A B C ∆的面积11s in 221919219Sb c A ==⨯=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 16．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，cs in c o s A a B a=+．（1）求角B 的值； （2）若8c=，A B C ∆的面积为2，求B C 边上中线A D 的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及辅助角同时即可求解B ； （2）由三角形面积公式先求出a ，然后结合余弦定理可求． 【解答】解（1sin sin c o s sin B A A B A=+，(0,)A π∈，∴c o s 1B B =+，则1s in ()62B π-=，(0,)B π∈，∴3B π=，（2）1s in 22S a c B ==8c=，10a ∴=，由余弦定理2221()22a A D ca c=+-得249A D =，7A D ∴=．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．17．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s ()32a cb C π+-=．（1）求角B 的大小；（2）若b=A B C ∆的周长的取值范围．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，辅助角公式进行化简，可求；（2）由正弦定理先表示各边，然后结合和差角及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质可求． 【解答】解：（1）c o s ()32a cb C π+-=，∴由正弦定理得：2s inc o s ()s in s in 3B C A Cπ-=+，又(0,)2Cπ∈，s in 0C ∴≠，∴12s in (c o s in )s in ()s in 22B C C B C C+=++，c o s 1B B -=，∴1s in ()62B π-=．A B C∆为锐角三角形，∴(,)663B πππ-∈-，∴66B ππ-=即3Bπ=．（2）3b B π==，由正弦定理有：4s in s in s in ac b ACB===，∴4sin ,4sin ,4sin 4sin a A c C a b c A C ==++=++．3B π=，∴23C Aπ=-，∴214s in 4s in ()4s in 4o s s in )6s in o s in ()3226a b c A A A A A A A A ππ++=+-++++++++A B C∆为锐角三角形，∴2(0,),(0,)232A C A πππ∈=-∈，∴(,)62A ππ∈，∴2(,),s in ()63362A A ππππ+∈+∈，∴in ()(66A π+++，即A B C ∆的周长的取值范围是(6+．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．18．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222s in 2abcAb c+-=．（1）求C ；（2）若sinA B=，2c=，求A B C ∆的面积．【分析】（1）由三角形的余弦定理和正弦定理，结合同角的商数关系，可得所求值；（2）由三角形的正弦定理和余弦定理，推得2b c a==，可得A B C ∆为直角三角形，可得所求面积．【解答】解：（1）因为222s in 2abcAb c+-=，所以2c o s 2s in a b Cb c A=，所以c o s s in a Cc A=，由正弦定理得s in c o s s in s in A C C A=．因为0A π<<，所以s inA ≠，所以s in ta n 1c o s C CC==．因为0C π<<，所以4Cπ=．（2）因为sinA B=，所以由正弦定理得a=．由余弦定理知2222222c o s )2c o s4c aba b C bb bπ=+-=+-⨯⨯=，所以2bc ==，222b c a+=，所以A B C ∆为直角三角形，所以12222A B CS ∆=⨯⨯=．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
【高中数学】解三角形基本题型
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等。
即C c B b A a sin sin sin == 证明方法：a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC所以R Cc B b A a 2sin sin sin ===余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即C ab b a c cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=A bc c b a cos 2222-+= 或bca cb A 2cos 222-+= acb ac B 2cos 222-+= abc b a C 2cos 222-+= 证明方法：a =b +c平方，得 |a |2=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA即 A bc c b a cos 2222-+=其余两式同理.正弦定理的基本使用1、△A BC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 。
2、在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为 。
3、已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c = 。
4、在△ABC 中，已知150,350,30==︒=c b B ，那么这个三角形是 。
5、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为 。
6、 在△ABC 中，A =60°，C =45°，b =2，则此三角形的最小边长为 。
余弦定理的基本使用1、在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于 。
2、已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ，解此三角形。
3、在△ABC 中，1326+===c b a ，，，求A 、B 、C 。
4、在△ABC 中，化简b cos C +c cos B = 。
5、 在△ABC 中，化简 )cos cos cos (222c C b B aA c b a abc ++++。
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解三角形
解三角形
正弦定理的基本运用 1、 △A BC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 。
2、 在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为 。
3、 已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c = 。
4、 在△ABC 中，已知150,350,30==︒=c b B ，那么这个三角形是 。
5、 在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为 。
6、 在△ABC 中，A =60°，C =45°，b =2，则此三角形的最小边长为 。
余弦定理的基本运用 1、 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于 。
2、 已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ，解此三角形。
3、 在△ABC 中，1326+===c b a ，，，求A 、B 、C 。
4、 在△ABC 中，化简b cos C +c cos B = 。
5、
在△ABC
中，化简 )
cos cos cos (222c C
b B a
A c b a abc ++++。
正余弦定理的综合运用
1、已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和
B 。
2、在△ABC 中，c =22，tan A =3,tan B =2,试求a 、b 及此三角形的面积。
3、在△ABC 中，a =2，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于 。
4、已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为。
5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为3,则△ABC外接圆的直径
为。
6、在△ABC中，BC=3，AB=2，且
)1
6
(
5
2
sin
sin
+
=
B
C
，A=。
解三角形
1、 在△ABC 中，a=15，b=10 ,∠A=0
60
，则cosB= 。
2、在△ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，
则角A 的大小为 。
3、已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边．若a ＝1，
b 2A C B +=，则sinC ＝ 。
4、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且
b)sinC (2c c)sinB (2b 2asinA +++=
（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
5、在△ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA.
( I )求AB 的值；( II )求)4
2sin(π
-
A 的值。
6、在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB=
3
1. ( I )求sinA 的值；( II )设AC=6，求△ABC 的面积。
7、在△ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，B=
3
,cosA=54.
( I )求sinC 的值；( II )求△ABC 的面积。
解三角形
正余弦定理的应用：
1. 正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（a<bsinA 无解）
a=bsinA ，一解 b sinA<a<b ，两解 a=b ，一解 a>b ，一解 2. 余弦定理应用于两种情况：
（1）已知三边求三角（2）已知两角和其中一边的对角，求其他边角
基本思想方法——边与角的转化
1. 正弦定理能将两边长及其所对角的正弦进行等比例转化。
例：C c A b B a sin cos cos =+，求C.
2. 余弦定理能将角的余弦化为边长，从而将三角问题转化为代数问题。
例：化简 b cos C +c cos B = 。
基本思想方法——余弦定理的配凑
1. 针对余弦定理的特点，用已知式配出222c b a -+，再代入余弦定理。
2. 例1：a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于 。
3. 例2：
1)(2
2=-+ac
b c a ，则B 等于 。
基本思想方法——灵活运用π=++C B A
1. 观查每一个已知式表达了哪些字母的关系，分析为了得到结论需要消去哪些角。
2. 例：在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB=31
，求sinA= 。
3. 因为)sin(sin B A C +=，所以sinC 中含有sinAcosB 这一部分，二者可以相减。
4. 例1：在△ABC 中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么△ABC 一定是 。
5.例2：在△ABC中，C
cos
(cos
=
+，那么△ABC一定是。
sin+
)
B
C
B
sin
A sin
6.。