福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查数学文试题(解析版)
福建省2019届高三质量检查测试数学(文)试题 含解析
2019年福建省高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则＝（）A. {0}B. {2，3}C. {1，2，3}D. {0，1，2，3} 【答案】B【解析】【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】解：；∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。
2.若z为纯虚数，且满足，则a＝（）A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0列方程即可得解．【详解】解：由，得，∴，∵z为纯虚数，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 82B. 97C. 100D. 115【答案】C【解析】【分析】先求出公差，再根据等差数列的求和公式，求得，即可求解，得到答案.【详解】因为等差数列的前n项和为，且，所以，解得，又由，所以，解得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地至少有一门被选中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.【详解】设两门至少有一门被选中，则两门都没有选中}，包含1个基本事件，则，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，进行模拟运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，模拟程序框图，可得：，满足判断条件；，满足判断条件；，满足判断条件，，不满足判断条件，输出结果，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图的识别与计算结果的输出问题，其中解答中利用模拟程序的运算，逐次求解判断是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的焦点坐标，求得a和b的关系，由焦点到渐近线的距离得，解得a和b，问题得解．【详解】解：设双曲线的方程为：，其渐近线方程为：依题意可知，解得，∴双曲线C的渐近线方程为，故选：D．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，属基础题．7.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后的解析式，再令2x kπ，求得结论．【详解】将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin（2x），令2x kπ，求得x，k∈Z，故函数的对称中心为（，0），k∈Z，故选：A．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得，所以，又由，所以，又由，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数与幂函数的单调性的应用，其中解答中合理应用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9.在正方体中，O为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，连接，找出异面直线与所成角，解三角形即可．【详解】解：如图，连接，则，∴即为异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则，由余弦定理可得：即异面直线与所成角的余弦值为．故选：C．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查转化能力及计算能力，还考查了余弦定理，是中档题．10.设椭圆的两焦点分别为,以为圆心,为半径的圆与交于两点.若为直角三角形,则的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示，△PF1F2为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【详解】如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2c，则2c+2c＝2a，解得e1．故选：A．【点睛】本题考查了椭圆与圆的定义及其性质的应用，考查了数形结合思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数，且，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出函数的定义域，进而分析可得为奇函数且在上为增函数，据此可得原不等式等价于，即，解不等式组即可。
2019年福建省高三毕业班质量检查测试数学(文)试题(解析版)
，＝
．
3．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：
旧个税税率表（个税起征点 3500 元）
新个税税率 表（个税起征
点 5000 元）
缴税 级数
每月应纳税所得额（含税）＝ 收入﹣个税起征点
税率（%）
每月 税率 应纳 （%） 税所
得额
（含
税）＝
收入
﹣个
税起
征点
﹣专
项附
加扣
除
1
不超过 1500 元的都分
有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝
，若函数 g（x）＝f（x）﹣ 恰有 2 个零
点，则 a 的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60
【解答】解：∵a＝0.50.8＜0.50.5，
b＝0.80.5＞0.50.5，∴b＞a， 又 c＝0.80.8＞0.50.8，∴c＞a， 又 b＝0.80.5＞c＝0.80.8， ∴a＜c＜b． 故选：D． 【点评】本题考查有理指数幂的运算性质及幂函数的性质，是基础题． 9．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点，则异面直线 AD1 与 OC1 所成 角的余弦值为（ ）
是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，
那么政治和地至少有一门被选中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ）
福建省龙岩市2019高中毕业班教学质量检查文科综合能力测试试题及答案
龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查文科综合能力测试答案第Ⅰ卷选择题本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
题号123456789101112选项D C C D B C B C A B D B题号131415161718192021222324选项C D A A C B C D D B A A题号2526272829303132333435选项C D B C B C A C B B A第Ⅱ卷非选择题本卷共12小题（包含选考题），共160分，包括必考题和选考题两部分。
第36~42题为必考题，每个考题考生都必须作答；第43~47题为选考题，考生根据要求选择作答。
【必考部分】（135分）36．（24分）（1）（6分）地处亚热带和暖温带的过渡区（我国南北方交界地带），气候条件复杂；地势起伏大，垂直分异明显，为生物提供了多样的生存环境；秦岭南坡为夏季风迎风坡，水热条件优越；相对封闭，受外界影响较小，为生物提供了安全的生存环境。
（每点2分，答对其中3点得6分）（2）（4分）冬季流域内降水少，对黄土高原坡面侵蚀搬运能力弱；（2分）冬季河流径流量小，且河床为石质基岩，沙源物质少，河流含沙量小。
（2分）（3）（6分）渭河径流量较小，且流经渭河平原，落差较小，水力资源较贫乏；（2分）渭河平原为断裂下陷地带，地质条件不稳定；（2分）河流含沙量大，修建水库后容易造成泥沙淤积。
（2分）（4）（8分）汉江流域流经湿润地区，支流众多，河流水量较大，可调水量大；（汉江水清澈）水质较好；渭河流域流经半湿润地区，流量较小，水资源不足；渭河流域社会经济发达，需水量大，该工程可缓解水资源的供需矛盾。
（每点2分，答对其中3点得6分）用隧洞引水，可减轻对地表植被的破坏，保护秦岭的生态环境。
（2分）37．（22分）（1）（6分）山区面积广大，沿海平原面积狭小；（2分）地处低纬热带，山区海拔较高，气候较为凉爽，沿海地区主要为热带沙漠气候，气候炎热干燥；（2分）山区多山地降水和高山冰雪融水，水源较为充足。
2019届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查数学(文)试题(解析版)
2019届福建省龙岩市高三下学期教学质量检查数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】求出A中x的范围确定出A，解出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【详解】由A中，得到≥0，分解因式得：x（x-1）≥0，解得：x≤0或x≥1，即A＝{x| x≤0或x≥1}，由B中，解得x>0，即B＝{x| x>0}，则A∩B＝{x|，故A、D不正确；，故B正确，D错误；故选：B．【点睛】本题考查了交集、并集的运算，涉及函数的定义域及指数函数单调性的应用，属于基础题．2．为虚数单位，若，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得m的值．【详解】∵，∴2m+2+（4-m）i＝4+3i，∴2m+2＝4，且4-m＝3，∴m＝1，故选：A．【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，属于基础题．3．母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【详解】∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，∴侧面展开图的弧长为：5，弧长底面周长＝2πr，∴r，∴圆锥的高h，∴圆锥体积Vπ×r2×hπ．故选：A．【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．已知双曲线：的一个焦点为，则的离心率为( )A．B．2 C．D．【答案】D【解析】根据焦点坐标得c＝2，再用平方关系得m+1＝4，解出m值后再用离心率的公式，可得该双曲线的离心率．【详解】∵双曲线的一个焦点为（2，0），∴m+1＝22＝4，可得m,因此双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质的应用，属于基础题．5．已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180，180，90．现采用分层抽样的方法从中抽取5名学生去某敬老院参加献爱心活动，若再从这5人中抽取2人作为负责人，则事件“抽取的2名同学来自不同年级”的概率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】先按比例分别求出高一、高二、高三抽取的学生数，再列举出5人中选取2人的所有选法，找到符合条件的选法种数，利用古典概型概率公式计算即可.【详解】样本容量与总容量的比为5：（180+180+90）＝1：90则高一、高二、高三应分别抽取的学生为，（人），（人）．高一2人记为A、B，高二2人记为a、b，高三1人记为1，则从5人中选取2 人作为负责人的选法有（A,B）(A,a)(A,b)(A,1)(B,a)(B,b)(B,1)(a,b)(a,1)(b,1)共10种，满足条件的有8种，所以概率为=.故选D.【点睛】本题考查了分层抽样的定义，考查了列举法求事件的个数及古典概型求事件的概率，属于基础题.6．若实数满足约束条件则的最大值为( )A．B．C．4 D．6【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出约束条件对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y得y x z，平移直线y x z，由图象可知当直线y x z，经过点A时，直线y x z，的截距最小，此时z最大，由，解得A（3，），z＝3-24．故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7．已知，且，则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•1﹣1＝[（x+1）+y]•2（）﹣1＝2（2 1≥3+47．当且仅当x，y＝4取得最小值7．故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．8．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( )A．B．3 C．D．2【答案】C【解析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【详解】由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，∴几何体的最长棱为PC．故选：C．【点睛】本题考查了常见几何体的三视图，棱锥的结构特征，属于基础题．9．若，且，则等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】把分母看作“1”，再用+代换，利用“弦化切”即可得出．【详解】原式∴,解得或，又∴=，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，“弦化切”是处理齐次式的常用方法，属于基础题．10．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，底面，且，则该三棱锥的外接球的体积是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC 为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R，可得球的半径R，即可求得体积.【详解】根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1故球的半径R 2故三棱锥P﹣ABC外接球的体积V＝＝，故选：B.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体,利用垂径定理结合R，是解题的关键，属于中档题．11．若函数在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是( )A．B．C．（0，）D．【答案】C【解析】利用二倍角和诱导公式化简，结合三角函数的性质，根据在[，]上仅包含一个最大值点，或者函数是增函数，建立不等式组，即可求解．【详解】∵函数f（x）＝＝=（ω＞0）．∴函数f（x）为奇函数，∵f（x）在[，]内有且仅有一个最大值，又,根据对称性可知：在[，]内，函数f（x）可能仅包含一个极大值点，也可能函数在这个区间上单调递增．∴，或．∴1≤ω，或0＜ω≤1．综上可得，0＜ω，故选：C．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+）的图象特征解决最值问题，考查了单调性的应用，属于中档题．12．已知f(x)=，若关于的方程恰好有4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为( )A．B．（）C．D．（0，）【答案】B【解析】由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；从而可得方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；再分析函数f（x）的单调性及大致图像即可．【详解】解方程得，f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；解f（x）＝1得x＝0，故方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；当x≥1时，f（x），f′（x）；故f（x）在（1，e上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；f（1）＝0，f（e），且x>1时，；当x＜1时，f（x）＝在（﹣∞，1）上是减函数；故f（x）的大致图像如下：故若使方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根，则0＜-m﹣1；即m＜-1；所以实数的取值范围为（），故选：B．【点睛】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性及最值，研究函数零点的分布情况，考查了数形结合思想，函数与方程转化的思想，属于中档题．二、填空题13．已知向量，，若，则________．【答案】【解析】由向量垂直的性质求出x＝，从而（3，1），由此能求出．【详解】∵向量（2，-1），向量（x，1），⊥，∴2x﹣1＝0，解得x＝，∴（，1），∴（3，1），∴．故答案为．点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质的应用，考查向量坐标的运算，考查函数与方程思想，是基础题．14．的内角的对边分别为，已知,,，则______．【答案】【解析】由余弦定理可得cos B，利用已知整理可得3a2﹣8a﹣3＝0，从而解得a的值,从而可得A.【详解】∵b，c＝2，cos B，∴由余弦定理可得：cos B，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或（舍去）．∴满足，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_____．【答案】【解析】设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入，得f（x）＝log3（-x）+a，由此利用f（﹣3）+f（﹣）＝4，能求出a的值．【详解】函数y＝f（x）的图象与的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入，得﹣x＝，∴f（x）＝log3（-x）+a，∵f（﹣3）+f（﹣）＝4，∴1+a﹣1+a＝4，解得a＝2．故答案为2．【点睛】本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题．16．已知椭圆C:的左焦点为，存在直线y=t与椭圆C交于A,B 两点，使得为顶角是的等腰三角形，则其长轴长为______．【答案】【解析】【详解】因为为顶角是的等腰三角形，如图：所以设=x=，则由余弦定理得，则BF=x，又OF=+AF=x=，解得x=，BF=x=2，则2a=BF+B=BF+AF=2，故答案为2.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，涉及余弦定理，属于中档题．三、解答题17．已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用等差数列的前n项和公式和通项公式，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由题意b n＝，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和．【详解】（Ⅰ），∴，∴则.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,-==∴【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了错位相减法求和，考查了运算能力，属于中档题．18．如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．说明四边形DEBC为平行四边形．可得CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到，又由（Ⅰ）的结论得到，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.【详解】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，, 又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题．19．中国人民大学发布的《中国大学生创业报告》显示，在国家“双创”政策的引导下，随着社会各方对于大学生创业实践的支持力度不断加强，大学生创业意向高涨，近九成的在校大学生曾考虑过创业，近两成的学生有强烈的创业意向. 数据充分表明，大学生正以饱满的热情投身到创新创业的大潮之中，大学生创业实践正呈现出生机勃勃的态势。
福建省龙岩市2019届高三下学期理数教学质量检测试卷
第1页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………福建省龙岩市2019届高三下学期理数教学质量检测试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知为虚数单位，则 的值为（ ） A . B . C . D .2. 已知 ，则 （ ）A .B .C .D .3. 已知等差数列的公差为 ，若 成等比数列，则数列 的前8 项和为（ ）A . -20B . -18C . -8D . -104. 如果执行下面的程序框图，输入正整数，且满足 ，那么输出的 等于（ ）答案第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .5. 已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的取值范围为（ ）A .B .C .D .6. 已知双曲线和双曲线焦距相等，离心率分别为 、 ，若 ，则下列结论正确的是（ ） A . 和 离心率相等 B . 和 渐近线相同 C .和实轴长相等 D .和虚轴长相等7. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A .B .C .D .。
福建龙岩一中2019高三二模-数学(文)
福建龙岩一中2019高三二模-数学（文）高三数学〔文〕试卷〔考试时间：120分钟总分值：150分〕【一】选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上、 1、集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，那么=B AA 、{0}B 、}4,0{C 、}4,2{D 、}4,2,0{2、在复平面内，复数11i-〔i 是虚数单位〕对应的点到原点的距离为 A 、1B 、2 CD 、43、右图是计算值的一个程序框图，其中判断框内 应填入的条件是 A.5?k > B.5?k < C.10?k > D.10?k <4、设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，那么“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的A 、充要条件B 、充分而不必要的条件C 、必要而不充分的条件D 、既不充分也不必要的条件 5、在△ABC 中，22==BC AB ,6π=∠A ,那么△ABC 的面积为A 、21B 、23C 、1D 、36、假设双曲线1222=--m y m x 的左焦点与抛物线x y 82-=的焦点重合，那么m 的值为 A 、3 B 、4C 、5 D 、67、如图，三棱锥V ABC -底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =,其主视图的面积为23，那么其左视图的面积为ABCD8、等比数列{}na中，公比0<q ，假设42=a ，那么321a a a ++最值情况为A 、最小值4-B 、最大值4-C 、最小值12D 、最大值12(第3题)VAB C第7题图9、假设直线1+=kx y 等分不等式组1,2,41,y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤+⎩表示的平面区域的面积，那么实数的值为A 、12B 、1C 、2D 、3 10、函数)sin()(ϕω+=x A x f 〔A ＞0，ω＞0〕在1x =处取最大值，那么A 、)1(-x f 一定是奇函数B 、)1(-x f 一定是偶函数C 、)1(+x f 一定是奇函数D 、)1(+x f 一定是偶函数 11、如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=,M 为DC 的中点，假设N 为菱形内任意一点〔含边界〕，那么AM AN ⋅的最大值为A 、3B、C 、6D 、912、如图，在平面直角坐标系xOy 中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射f 将xOy 平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点()222,P xy x y '-，那么当点P 沿着折线C B A --运动时，在映射f 的作用下，动点P '的轨迹是ABCD第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分、注意把解答填入到答题卷上、 13、某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，依照条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为h 、14、定义在R 上的奇函数()f x 满足：0(x xb ≤+那么(2)f =、15、圆C 过点A 〔1，0〕和B 〔3，0〕C 的标准方程为、 16、假设关于定义在R 上的函数λ(∈λR)使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意实数x f (x )是一个“λ—伴随函数”.有以下关于“λ—伴随函数”的结论：C第11题图A时间∕h 频率0.50.4 0.30.2 0.1①f (x )=0是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x )=x 不是“λ—伴随函数”； ③f (x )=x 2是一个“λ—伴随函数”；④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是________________〔填上所有不．正确．．的结论序号〕、 【三】解答题：本大题共6小题，共74分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、注意把解答填入到答题卷上、 17、〔本小题总分值12分〕 〔其中01ω<<〕，函数2()cos 2cos f x x x x ωωω=+，假设点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心，〔Ⅰ〕试求ω的值；〔Ⅱ〕先列表再作出函数()f x 在区间x ∈[],ππ-上的图象、18、〔本小题总分值12分〕一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆)，假设按A ,B ,C 三类用分层抽样的方法在那个月生产的轿车中抽取50辆,那么A 类轿车有10辆. 〔Ⅰ〕求z 的值；〔Ⅱ〕用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a .记这8辆轿车的得分的平均数为x ，定义事件E ={0.5a x -≤，且函数()2 2.31f x ax ax =-+没有零点}，求事件E 发生的概率、19、〔本小题总分值12分〕圆锥PO 如图1所示，图2是它的正(主)视图、圆O 的直径为AB ，C 是弧AB 的中点，D为AC 的中点、〔Ⅰ〕求该圆锥的侧面积； 〔Ⅱ〕证明：AC POD ⊥平面； 〔Ⅲ〕求点O 到平面PAC 的距离、20、〔此题总分值12分〕椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x和双曲线1C ：22(0)x y λλ-=≠，点1)-在曲线1C 上，椭圆C 的焦点是双曲线1C 的顶点，且椭圆C 与y 轴正半轴的交点M 到直线20x -=的距离为4.P C ABOD图1〔Ⅰ〕求双曲线1C 和椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕直线2x =与椭圆C 相交于 P Q 、两点，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两动点，假设直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值. 21、〔此题总分值12分〕甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为2(2)2an n -+万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额多12()3n a -万元。
福建省龙岩市2019届高三下学期理数教学质量检测试卷
福建省龙岩市2019届高三下学期理数教学质量检测试卷一、单选题1．已知 (m +2i)(2−i)=4+3i, m ∈R,i 为虚数单位，则 m 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．2D ．−22．已知 cos(π4−α)=35，则 sin2α= （ ）A ．−725B ．−15C ．15D ．7253．已知等差数列 {a n } 的公差为 2 ，若 a 1,a 3,a 4 成等比数列，则数列 {a n } 的前8 项和为（ ） A ．-20B ．-18C ．-8D ．-104．如果执行下面的程序框图，输入正整数 n,m ，且满足 n ≥m ，那么输出的 p 等于（ ）A ．A n m−1B ．A n mC ．C n m−1D ．C n m5．已知实数 x ， y 满足不等式组 {2x −y +2≥0x +2y +1≤03x +y −2≤0 ，则 x −y 的取值范围为（ ）A ．[−2,+∞)B ．[−1,+∞)C ．(−∞,2]D ．[−2,2]6．已知双曲线 C 1:x 2a 2−y 2b2=1 (a >0,b >0) 和双曲线 C 2:y 2m 2−x 2n 2=1 (m >0,n >0) 焦距相等，离心率分别为 e 1 、 e 2 ，若 1e 12+1e22=1 ，则下列结论正确的是（ ） A ．C 1 和 C 2 离心率相等 B ．C 1 和 C 2 渐近线相同 C ．C 1 和 C 2 实轴长相等D ．C 1 和 C 2 虚轴长相等7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．√3πB．2√3πC．4√3πD．12π8．如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA, OB, OC, OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1−2πB．12−1πC．2πD．1π9．已知函数f(x)=|cos(ωx+π3)|(ω>0)在区间[−π3，5π6]上单调，则ω的取值范围为（）A．(0,1215]B．(0,15]C．[15,1215]D．[1215,1]10．设s=1log2π+1log3π+1log4π+1log5π，T=|a−s|,a∈N∗，当T取最小值时a的值为（）A．2B．3C．4D．511．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内，若D1M⊥CP，则ΔBCM面积的最小值为（）A．8B．4C．8√2D．8√5512．已知数列{a n}各项均为整数，共有7项，且满足|a k+1−a k|=1, k=1,2,⋯6，其中a1=1 ， a 7=a ( a 为常数且 a >0 )．若满足上述条件的不同数列个数共有15个，则 a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7二、填空题13．已知向量 a ⇀ ， b ⇀ 的夹角为 60° ， |a ⇀|=2 ， |a ⇀−3b⇀|=√7 ，则 |b ⇀|= ． 14．若 (1+x)(a +x)4 的展开式中 x 3 项的系数为16，则实数 a = ． 15．已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，其准线与 x 轴的交点为 Q ，过点 F 作直线与抛物线交于 A,B 两点．若以 QF 为直径的圆过点 B ，则 |AF|−|BF| 的值为 ．16．已知 f(x)=|x|3−4x 2 ，若 f(x) 的图像和 y =ax 的图像有四个不同的公共点，则实数 a的取值范围是 ．三、解答题17．在 ΔABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 2ccosB =2a −b .（Ⅰ）求角 C 的大小；（Ⅱ）设 D 为 BC 中点，若 AD =3 ，求 ΔABC 面积的取值范围．18．如图，已知四边形 ABCD 是边长为2的菱形，且 ∠ABC =600 ， BM ⊥平面ABCD ，DN//BM ， BM =2DN ，点 E 是线段 MN 上的一点． O 为线段 BD 的中点．（Ⅰ）若 OF ⊥ BE 于 F 且 OF =1 ，证明： AF ⊥ 平面 ECB ；（Ⅱ）若 BM =4 , NE⇀=13NM ⇀ ，求二面角 E −BC −M 的余弦值． 19．已知椭圆 E 的方程为 x 2a2+y 2=1 ，点 A 为长轴的右端点． B,C 为椭圆 E 上关于原点对称的两点．直线 AB 与直线 AC 的斜率 k AB 和k AC 满足： k AB ·k AC =−12 ．（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；（Ⅱ）若直线 l:y =kx +t 与圆 x 2+y 2=23相切，且与椭圆 E 相交于 M,N 两点，求证：以线段 MN 为直径的圆恒过原点．20．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 n （ n ∈N ∗ ）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 n 次；（2）混合检验，将其中 k （ k ∈N ∗ 且 k ≥2 ）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k +1 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p(0<p <1) ．（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（Ⅱ）现取其中 k （ k ∈N ∗ 且 k ≥2 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ξ1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 ξ2（ⅰ）试运用概率统计的知识，若 Eξ1= Eξ2 ，试求 p 关于 k 的函数关系式 p =f(k) ；（ⅱ）若 p =1−1√e3 ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值．参考数据： ln2≈0.6931 ， ln3≈1.0986 ， ln4≈1.3863 ， ln5≈1.6094 ， ln6≈1.791821．已知函数 f(x)=lnx +1−xax (a ∈R 且a ≠0) ， g(x)=(b −1)x −xe x −1x(b ∈R) （Ⅰ）讨论函数 f(x) 的单调性；（Ⅱ）当a=1时,若关于 x 的不等式 f(x)+g(x)≤−2 恒成立,求实数 b 的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =−2+tcosαy =1+tsinα （ t 为参数， 0≤α<π2 ），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2−4ρcosθ−2ρsinθ−4=0 ．（Ⅰ）求直线 l 的普通方程、曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 交于 A 、B 两点，且 |AB|=2 ．求 α 的大小.23．选修4-5：不等式选讲已知函数 f(x)=|x −m|(m ∈R) ．（Ⅰ）当 m =2 时，解不等式 f(x)>7−|x −1| ；（Ⅱ）若存在 x ∈R ，使 f(x)>7+|x −1| 成立，求 m 的取值范围．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵(m +2i)(2−i)=4+3i,∴2m +2+(4−m)i =4+3i ， ∴{2m +2=44−m =3 ，即 m =1故答案为：A【分析】由复数运算及 复数相等的充要条件即可求出 m 的值 .2．【答案】A【解析】【解答】 cos(π4−α)=√22cosα+√22sinα=35，√22cosα+√22sinα=35两边平方得： 12+cosαsinα=925 ， 2cosαsinα=1825−1=−725 ， 即 sin2α=−725， 故答案为：A.【分析】 由两角差的余弦函数整理已知等式，两边平方后可得结果.3．【答案】C【解析】【解答】解：等差数列 {a n } 的公差d 为2，若 a 1 ， a 3,a 4 成等比数列，可得a 32＝ a 1a 4 ，即有（ a 1 +4）2＝ a 1 （ a 1 +6）， 解得 a 1 ＝﹣8，则{a n }前8项的和为8×（﹣8） +12× 8×7×2＝﹣8，故答案为：C ．【分析】利用等比数列的性质可得等差数列 {a n } 的首项，即可得到{a n }前8项的和.4．【答案】D【解析】【解答】解：第一次循环：k ＝1，p ＝1，p ＝ 1×(n−m+1)m；第二次循环：k ＝2，p ＝ (n−m+1)m ×n−m+2m−1 ；第三次循环：k ＝3，p ＝ (n−m+1)m ×n−m+2m−1×n−m+3m−2 …第m 次循环：k ＝m ，p ＝ (n−m+1)m ×n−m+2m−1×n−m+3m−2×⋯×n ﹣12×n 1此时结束循环，输出p ＝ (n−m+1)m ×n−m+2m−1×n−m+3m−2×⋯×n ﹣12×n 1 ＝ C n m故答案为：D ．【分析】运行程序，当结束循环时，即可得到输出p 的值.5．【答案】B【解析】【解答】解：设z ＝x ﹣y ，则y ＝x ﹣z ，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y ＝x ﹣z ，由图象可知当直线y ＝x ﹣z 经过点A （﹣1，0）时，直线y ＝x ﹣z 的截距最大， 此时z 最小，最小值z ＝﹣1﹣0＝﹣1 继续向下平移直线y ＝x ﹣z ，z 值越来越大， ∴x −y 的取值范围为 [−1,+∞) 故答案为： B ．【分析】作出不等式对应的平面区域，平移直线y ＝x ﹣z ，由图象可得 x −y 的取值范围.6．【答案】B【解析】【解答】设两个双曲线的焦距为 2c ， ∴e 1=c a ， e 2=cm又 1e12+1e 22=1 ∴a 2c 2+m 2c2=1 ，∴a 2+m 2=c 2 ∴m 2=c 2−a 2=b 2 ，即 m =b ，故 n =a又双曲线 C 1:x 2a 2−y 2b2=1 的渐近线方程为： y =±ba x ，双曲线 C 2:y 2m 2−x 2n2=1 的渐近线方程为： y =±mn x∴C 1 和 C 2 渐近线相同 故答案为：B【分析】由双曲线方程分别求出他们的离心率 e 1 、 e 2 ，由 1e 12+1e 22=1可计算出 C 1 和 C 2渐近线相同 .7．【答案】C【解析】【解答】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为 √2 的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为 2 ，高为 2 ，故三棱锥的外接球与以棱长为 2 的正方体的外接球相同，其直径为 2√3 ，半径为 √3∴ 三棱锥的外接球体积为 43π×(√3)3=4√3π故答案为： C【分析】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，计算可得 该三棱锥的外接球表面积 .8．【答案】A【解析】【解答】解：根据圆的对称性只需看四分之一即可，设扇形的半径为r ，则扇形OBC 的面积为 14πr 2 ，连接BC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为： 14πr 2−12r 2 ，∴此点取自阴影部分的概率是 14πr 2−12r 214πr2=1−2π ．故答案为：A ．【分析】分别计算扇形OBC 的面积与阴影部分的面积，利用 几何概型概率计算公式可得结果.9．【答案】B【解析】【解答】令 u =ωx +π3 ，则 y =|cosu| ，其中 u =ωx +π3 在区间 [−π3，5π6] 上单调递增，且 u ∈[−π3ω+π3，5π6ω+π3]y =|cosu| 在 [0，π2] 上单调递减， ∴{ −π3ω+π3≥05π6ω+π3≤π2ω>0，∴0<ω≤15 ，故答案为：B【分析】由余弦函数的图象可得，当函数在区间 [−π3，5π6] 上单调时 ω 的取值范围.10．【答案】C【解析】【解答】 s =1log 2π+1log 3π+1log 4π+1log 5π=ln2lnπ+ln3lnπ+ln4lnπ+ln5lnπ=ln120lnπ=log π120∈(4,5) ,此时 (5−log π120)−(log π120−4)=9−2log π120=log ππ91202>0 ∴T 取最小值时 a 的值为4 故答案为：C【分析】利用对数的运算性质可得 T 取最小值时 a 的值.11．【答案】D【解析】【解答】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4），设M （a ，0，b ），则 D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （a ，﹣4，b ﹣4）， CP ⃗⃗⃗⃗⃗ = （﹣4，﹣4，2）， ∵D 1M ⊥CP ，∴D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =− 4a+16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4． 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ，过B作BQ⊥B1N，则BQ =4×225=4√55．又BC⊥平面ABB1A1，BC⊥BQ，∴S△PBC的最小值为S△QBC=12×4×4√55=8√55．故答案为：D．【分析】以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系，利用空间向量计算可得S△PBC的最小值. 12．【答案】B【解析】【解答】解：∵|a k+1−a k|=1，∴a k+1−a k＝1或a k+1−a k＝﹣1设有x个1，则有6x个﹣1∴a7﹣a1＝（a7﹣a6）+（a6﹣a5）+…+（a2﹣a1）∴a−1＝x+（6﹣x）•（﹣1）∴x＝a+52∴这样的数列个数有C6x=15,解得x＝2或4，∴a=−1（舍）或a=3故答案为：B．【分析】由题意a k+1−a k＝1或a k+1−a k＝﹣1，由满足上述条件的不同数列个数共有15个可得a的值 .13．【答案】1【解析】【解答】解：a⃗⋅b⃗=| a⃗|| b⃗|cos60°＝| b⃗|，∵|a⇀−3b⇀|=√7，∴|a |2﹣6| b⃗|+9| b⃗|2＝7，即9| b⃗|2﹣6| b⃗| −3＝0，解得| b⃗|＝1或−13(舍去)．故答案为：1．【分析】由平面向量数量积的运算即可求得向量b⇀的模.14．【答案】−2或43【解析】【解答】(a+x)4的通项公式为T r+1=C4r a4−r x r，∴(a+x)4展开式的含x3，x2项的系数分别是C43a，C42a2，∴(1+x)(a+x)4的展开式中x3项的系数为C43a+C42a2=16∴3a2+2a−8=0∴a= −2或43故答案为：−2或43【分析】由二项式展开式的通项公式可得展开式中x3项的系数为C43a+C42a2=16，即可解出实数a的值.15．【答案】4【解析】【解答】解：假设k存在，设AB方程为：y＝k（x﹣1），与抛物线y2＝4x联立得k2（x2﹣2x+1）＝4x，即k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∵以QF为直径的圆过点B,∴∠QBA＝90°，∴（x1﹣2）（x1+2）+y12＝0，∴x12+y12＝4，∴x12+4x1﹣1＝0（x1＞0），∴x1=√5−2，∵x1x2＝1，∴x2=√5+2，∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，故答案为：4【分析】设AB方程为：y＝k（x﹣1），与抛物线y2＝4x联立设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），由题意及韦达定理计算可得所求.16．【答案】(−4，0)∪(0，4)【解析】【解答】f(x)的图像和y=ax的图像有四个不同的公共点等价于方程|x|3−4x2=ax 有四个不同的实根，当x=0时，方程显然成立，即x=0为方程的一个实根，问题转化为x≠0时，方程有三个不等的实根，当x>0时，a=x2−4x当x<0时，a=−x2−4x作出图象如图：由图象可得：a∈(−4，0)∪(0，4)故答案为：(−4，0)∪(0，4)【分析】由题意方程|x|3−4x2=ax有四个不同的实根，分离a利用函数图象可得满足题意的实数a的取值范围 .17．【答案】解：（Ⅰ）由2ccosB=2a−b，得2sinCcosB=2sinA−sinB即2sinCcosB=2sin(B+C)−sinB，∴2sinBcosC=sinB∵sinB>0，∴cosC=1 2∵0<C<π,∴C=π3（Ⅱ）在ΔADC中，由余弦定理得：AD2=AC2+DC2−2AC⋅DC⋅cos π3即AC2+DC2−AC•DC=9，又∵AC2+DC2≥2AC•DC∴9≥AC•DC>0,∵S△ADC=12AC•DC•sinπ3∴0<S△ADC≤9√34，∵S△ABC=2S△ADC∴0<S △ABC ≤9√32【解析】【分析】（1）利用三角函数公式计算可得 角 C 的大小 ；（2） 在 ΔADC 中，由余弦定理得 AC 2+DC 2−AC •DC =9 ，则 9≥AC •DC >0，利用三角形面积可得 ΔABC 面积的取值范围．18．【答案】解：（Ⅰ） ∵ 四边形 ABCD 是边长为2的菱形，且 ∠ABC =600∴ AC 与 BD 交于点 O 且 ΔABC 为等边三角形∴AC =2 ， BO =√3 又 ∵ OF =1=12AC , ∴AF ⊥CF∵ BM ⊥平面ABCD , ∴AC ⊥BM 又 ∵ AC ⊥BD , ∴ AC ⊥平面BMND ∵OF ⊂平面BMND , ∴AC ⊥OF在 Rt △AOF 中， AF 2=AO 2+OF 2=2 在 Rt △BOF 中， FB 2=BO 2−OF 2=2∴ 在 ΔABF 中, AB 2=4 , AF 2+FB 2=4 , AF 2+FB 2=AB 2 ∴AF ⊥BE ，又 ∵ CF,BE ⊂平面CBE,CF ∩BE =F ,∴ AF ⊥平面ECB（Ⅱ）在平面 BMND 中，过 O 作直线 l ∥ BM , 则 l ⊥面ABCD ,如图，以 l 为 z 轴， AC 所在直线为 x 轴， BD 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系，∴B(0,√3,0) , C(−1,0,0) , M(0,√3,4) , N(0,−√3,2) ∵NE ⇀=13NM ⇀ , ∴E(0,−√33,83) , ∴BC⇀=(−1,−√3,0) , BE ⇀=(0,−4√33,83) 设 n ⇀=(x,y,z) 是平面 BCE 的法向量，则{n ⇀·BC ⇀=0n ⇀·BE⇀=0 ,即 {−x −√3y =0−4√33y +83z =0 ， 取 n ⇀=(−6,2√3,3) ，取 BC 中点 G ，连结 AG ， ∴AG ⊥BC , AG ⊥BM ， ∴AG ⊥面BCM因此， AG⇀ 是平面 BCM 的法向量， ∵G(−12,√32,0) , A(1,0,0) ∴AG ⇀=(−32,√32,0) , 设二面角 E −BC −M 的大小为 θ ，则cosθ=|n ⇀·AG ⇀|n ⇀|·|AG ⇀||=9+3√36+12+9·√94+34=4√1919 , ∴ 二面角 E −BC −M 的余弦值为 4√1919【解析】【分析】（1）由题意 AF ⊥CF ， AF ⊥BE ，即可证明 AF ⊥ 平面 ECB ；（2） 以 l 为 z 轴， AC 所在直线为 x 轴， BD 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系， 根据空间向量计算可得 二面角 E −BC −M 的余弦值 .19．【答案】解：（Ⅰ）设 B(x 0,y 0) 则 C(−x 0,−y 0) 由 x 02a2+y 02=1 得， y 02=1−x 02a 2=a 2−x 02a 2由 k AB ⋅k AC =−12 ，即 y 0x 0−a ⋅−y 0−x 0−a =−12 得， y 02=a 2−x 022所以a 2−x 02a2=a 2−x 022 ，所以 a 2=2 即椭圆 E 的标准方程为： x 22+y2=1（Ⅱ）设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)由 {x 22+y 2=1y =kx +t得： (1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2=0x 1+x 2=−4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2−21+2k2y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=k 2(2t 2−2)1+2k2+−4k 2t 21+2k 2+t 2=t 2−2k 21+2k2又 l 与圆C 相切，所以 √63=|t|√1+k 即 23=t 21+k2 所以 OM ⇀⋅ON ⇀=x 1x 2+y 1y 2=2t 2−2+t 2−2k 21+2k 2=3t 2−2(1+k 2)1+2k 2=2(1+k 2)−2(1+k 2)1+2k2=0所以， OM⇀⊥ON ⇀ ，即 ∠MON =900 所以，以线段 MN 为直径的圆经过原点.【解析】【分析】（1）由题意可求得， a 2=2，可得椭圆 E 的标准方程；（2） 直线 l:y =kx +t 与圆 x 2+y 2=23联立，由 OM ⇀⋅ON ⇀=0可得以线段 MN 为直径的圆恒过原点．20．【答案】解：（Ⅰ） p =C 21C 31A 32A 22A 55=35∴ 恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 35（Ⅱ）（ⅰ）由已知得 Eξ1=k ， ξ2 的所有可能取值为 1,k +1 ∴P(ξ2=1)=(1−p)k , P(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ∴ Eξ2=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ] = k +1−k(1−p)k 若 Eξ1= Eξ2 ，则 k =k +1−k(1−p)k ∴k(1−p)k =1(1−p)k =1k ∴1−p =(1k )1k ∴p =1−(1k)1k∴p 关于 k 的函数关系式 p =1−(1k)1k （ k ∈N ∗ 且 k ≥2 ）（ⅱ）由题意可知 Eξ2<Eξ1 ，得 1k <(1−p)k , ∵p =1−1√e3∴1k <(1√e3)k ， ∴lnk >13k ，设 f(x)=lnx −13x(x >0)∵f ′(x)=3−x3x， ∴ 当 x >3 时， f ′(x)<0 ，即 f(x) 在 (3,+∞) 上单调递减 又 ln4≈1.3863 ， 43≈1.3333 ， ∴ln4>43 ， ln5≈1.6094 ， 53≈1.6667 ， ∴ln5<53∴ k 的最大值为4.【解析】【分析】（1）由古典概型的计算公式可得结果；（2） 由已知得 Eξ1=k ， ξ2 的所有可能取值为 1,k +1 ，由期望运算可得 p 关于 k 的函数关系式 ； 由题意可知 Eξ2<Eξ1 ，得 1k <(1−p)k , 利用单调性可得 k 的最大值．21．【答案】解：（Ⅰ） ∵f(x)=lnx +1ax −1a ∴f ′(x)=1x −1ax 2=ax−1ax 2(x >0) 当 a <0 时， ∴f ′(x)>0 ， ∴f(x) 在 (0,+∞) 单调递增；当 a >0 时，由 f ′(x)>0 得： x >1a ；由 f ′(x)<0 得： 0<x <1a，∴f(x) 在 (0,1a ) 单调递减，在 (1a,+∞) 单调递增综上：当 a <0 时， f(x) 在 (0,+∞) 单调递增；当 a >0 时， f(x) 在 (0,1a ) 单调递减，在 (1a,+∞) 单调递增.（Ⅱ）由题意：当 a =1 时，不等式 f(x)+g(x)≤−2 ，即 lnx +1x −1+(b −1)x −xe x −1x≤−2即 b −1≤e x −lnx x−1x 在(0,+∞) 恒成立， 令 ℎ(x)=e x −lnx x −1x ，则 ℎ′(x)=e x −1−lnx x 2+1x 2=x 2e x +lnx x 2， 令 u(x)=x 2e x +lnx ，则 u ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，∴u(x) 在 (0,+∞) 单调递增又 u(1)=e >0,u(12)=√e4−ln2<0 ，所以， u(x) 有唯一零点 x 0 （ 12<x 0<1 ）所以， u(x 0)=0 ，即 x 0e x 0=−lnx0x 0--------（※）当 x ∈(0,x 0) 时， u(x)<0 即 ℎ′(x)<0 ， ℎ(x) 单调递减； x ∈(x 0,+∞) 时， u(x)>0 即 ℎ′(x)>0 ， ℎ(x) 单调递增，所以 ℎ(x 0) 为 ℎ(x) 在定义域内的最小值.令 k(x)=xe x (12<x <1) 则方程（※）等价于 k(x)=k(−lnx)又易知 k(x) 单调递增，所以 x =−lnx ， e x =1x所以， ℎ(x) 的最小值 ℎ(x 0)=e x 0−lnx 0x 0−1x 0=1x 0−−x 0x 0−1x 0=1所以 b −1≤1 ，即 b ≤2 所以实数 b 的取值范围是 (−∞,2]【解析】【分析】（1） 利用导数的符号可得函数的单调性；（2） 当 a =1 时， 分离常数b, 利用导数求函数 ℎ(x)=e x −lnx x −1x 的最值 ，即可得到实数b 的取值范围．22．【答案】解：（Ⅰ）由 {x +2=tcosα, y −1=tsinα, 消 t 得y−1x+2=tanα ， 直线 l 的普通方程为 xtanα−y +2tanα+1=0 ，将 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2 代入 ρ2−4ρcosθ−2ρsinθ−4=0 得 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2−4x −2y −4=0（Ⅱ）曲线 C 的方程化为 (x −2)2+(y −1)2=9 ，曲线 C 是以 (2,1) 为圆心， 3 为半径的圆．|AB|=2，圆心到直线l的距离d=√r2−(AB2)2=√9−1=2√2，又d=|4tanα|√tanα+1，∴|4tanα|√tanα+1=2√2，解得tanα=±1，∵0≤α<π2，∴α=π4【解析】【分析】（1）消参可得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化可得曲线C的直角坐标方程；（2）由直线与圆的位置关系可得α的大小.23．【答案】解：（Ⅰ）由已知|x−2|+|x−1|>7当x<1时，不等式等价于2−x+1−x>7，解得x<−2，∴x<−2；当1≤x≤2时，2−x+x−1>7，此时不等式无解；当x>2时，x−2+x−1>7，解得x>5，∴x>5综上：解集为{x|x<−2或x>5}（Ⅱ）∵||x−m|−|x−1||≤|(x−m)−(x−1)|=|m−1|∴|x−m|−|x−1|≤|m−1|当且仅当(x−m)(x−1)≥0且|x−m|≥|x−1|时等号成立．依题意|m−1|>7，解之得m>8或m<−6，∴m的取值范围为(−∞,−6)∪(8,+∞)．【解析】【分析】（1）解绝对值不等式可得其解集；（2）由绝对值三角不等式可将原不等式转化为关于m的不等式，可得m的取值范围．。
2019届福建省龙岩市高三教学质量检查(漳州三模)数学(文)试题(解析版)
2019届福建省龙岩市高三教学质量检查（漳州三模）数学（文）试题一、单选题1．已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】一元不等式化简集合B ，然后直接利用并集运算得答案． 【详解】{|230}B x x =->=}23|{>x x ，则A B =[1,)+∞故选：B 【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题． 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】先化简复数，再判断它对应的点所处的象限得解. 【详解】 由题得，所以复数对应的点为（），故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．双曲线221510x y -=的渐近线方程为（ ）A ．x y 21±= B ．2y x =±C ．x y 2±=D ．2y x =±【答案】C【解析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解． 【详解】双曲线221510x y -=的渐近线方程为：220510x y -=， 整理，得y 2＝2x 2，解得x y 2±= 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质． 4．在等差数列{}n a 中，157913100a a a a a ++++=，6212a a -=，则1a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先由题意求出207=a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，求出公差，进而可求出结果. 【详解】因为157913100a a a a a ++++=， 所以75100a =，即207=a ， 设等差数列{}n a 的公差为d ，又6212a a -=，所以412d =，故3d =， 所以17620182a a d =-=-= 故选B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型. 5．如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）A ．回答该问卷的总人数不可能是100个B ．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C ．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D ．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 【答案】D【解析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】对于选项A ，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A 正确，对于选项B ，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B 正确， 对于选项C ，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C 正确， 对于选项D ，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题． 6．若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先找出y x a a >及log log a a x y >的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】由a>1,得y x a a > 等价为x>y; log log a a x y >等价为x>y>0故“y x a a > ”是“log log a a x y >”的必要不充分条件 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（ ）A ．253πB ．343πC ．433πD ．25π 【答案】C【解析】先由三视图确定该几何体的形状，再由体积公式求解，即可得出结果. 【详解】由三视图可知：该几何体下部为半球，上部为大圆柱挖去了一个小圆柱.且半球的半径为2，大圆柱的底面圆半径为2，高为3，小圆柱的底面圆半径为1，高为3，故该几何体的体积为322144322313233ππππ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=. 故选C ． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体、以及几何体的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.8．已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称D ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可． 【详解】函数21()sin cos 2f x x x x =+=1cos 21222x x -+= sin （2x 6π-）+1 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x 6π-）+1可知最大值为2；则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x 6π-）+1，T ＝π则B 不对； 对于C ：令2x 6π-=,223k k x k Z p p pp +\=+?，，故图像关于直线3x π=对称则C 正确；对于D ：令2x 6π-=,212k k x k Z p p p \=+?，，故()y f x =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛1,127π对称则D 不对． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．9．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为3，1AB =，则直线1AB 与1CD 所成的角为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】C【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与CD 1所成的角． 【详解】∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为3，AB ＝1，∴AA 1=以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B 1（1，1，3），C （0，1，0），D 1（0，0，3）， 1AB =（0，1，3），1CD =（0，﹣1，3）， 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ， 则cosθ1111124AB CD AB CD ⋅===⋅，又0︒<θ90︒≤ ∴θ＝60°，∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°． 故选：C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．10．已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ） A ．]1,2[- B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，的表达式即可判断f （x ）是关于x=1对称的函数，利用单调性可得x 的不等式求解即可． 【详解】由题画出函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩的图像如图所示，故222121x xx --?+- ，即2231x x x -?+ ，解得x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞故选：D【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题 11．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）A ．34B ．712C ．12D ．512【答案】B【解析】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A 包含133A ⨯+2222A ⨯⨯=14个基本事件，故P （A ）可求．【详解】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， ①若甲模仿“扶”，则A 包含133A ⨯=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2222A ⨯⨯=8个基本事件，综上A 包含6+8＝14个基本事件， 所以P （A ）1472412==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题．12．若直线y =a 分别与直线y =2x -3，曲线y =e x -x （x ≥0）交于点A ，B ，则|AB |的最小值为（ ） A ．63ln3- B ．33ln32-C ．eD ．0.5e【答案】B【解析】设A （x 1，a ），B （x 2，a ），建立方程关系用x 1表示x 2，则|AB |＝x 1﹣x 2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可． 【详解】作出两个曲线的图象如图，设A （x 1，a ），B （x 2，a ），则x 1＞x 2，则2x 1﹣3＝e 2x -2x ，即x 112=（e 2x -2x +3）， 则|AB |＝12x x -12=（e 2x -2x +3）2x -12=（﹣32x +e 2x +3），设f （x ）12=（e x﹣3x +3），x ≥0，函数的导数f ′（x ）12=（﹣3+e x），由f ′（x ）＞0得x ＞ln 3，f （x ）为增函数， 由f ′（x ）＜0得0≤x ＜ln 3，f （x ）为减函数，即当x ＝ln 3时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln3）12=（3+3﹣3ln3）＝332-ln3， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．二、填空题13．向量a，b满足1a b ∙=-，(2)3a a b ∙-=，则a =______． 【答案】1【解析】根据向量数量积的运算，直接计算即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b满足1a b ∙=-，(2)3a a b ∙-=，所以222213a a b a -∙=+=，因此1a = 故答案为1． 【点睛】本题主要考查已知向量数量积求向量的模，熟记运算法则即可，属于基础题型.14．若,x y 满足约束条件204010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_____．【答案】11【解析】画出可行域，平移直线2z x y =+得最大值即可 【详解】画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：当直线2z x y =+平移过A 时，z 最大，联立140x x y =⎧⎨-+=⎩得A （1,5）故z 的最大值为1+2×5=11 故答案为11【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题15．若数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，则n a =_____．【答案】22-+n n【解析】根据112nn n a a +--=，用累加法求解，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，所以12112a a -=+，23212a a -=+， 34312a a -=+，……1112n n n a a ---=+，以上各式相加得123111(222...2)n n a a n --=-+++++， 所以22nn a n =+-.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.16．已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线)0(>=k kx y 与C 相交于,M N 两点（其中M 在第一象限），若||MN =，|||FM FN ≤，则C 的离心率的最大值是____．1-【解析】设右焦点为F ',连接M ,F NF '',由椭圆对称性得四边形FM F N '为矩形，结合椭圆定义及勾股定理得a,c 不等式求解即可 【详解】设右焦点为F ',连接M ,F NF '',由椭圆对称性知四边形FM F N '为平行四边形，又||MN ==2c=FF '，故FM F N '为矩形，|||FM FN ≤'|F M ，'||||2FM F M a +=，即2a F M M '-≤',∴F M ≥'又222(2a )4F M F M c -+='',故11 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆定义的应用，转化化归思想，利用定义转化为矩形是关键，是中档题三、解答题17．已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos sin cos 4b A Cc A B +=. （1）求sin A ；（2）若23=a ，4b =，求c .【答案】(1) sin A =(2) 1c =【解析】（1）由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=，进而sin()B C +=则A 可求；（2）解法一：由余弦定理得c 的方程求解即可；解法二：正弦定理得sin sin b A B a ==sin sin[π()]C A B =-+=，再利用正弦定理得c 即可 【详解】（1）因为sin cos sin cos 4b A Cc A B +=，所以由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=， 因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B +=所以sin()B C +=，所以sin(π)4A -=，所以sin A =．（2）解法一：因为V ABC 为锐角三角形，所以A 为锐角，因为sin A =，所以1cos 4A =． 因为23=a ，4b =，由余弦定理得(22214244c c =+-⨯⨯⨯，所以2220c c --=，所以1c =. 解法二：因为V ABC 为锐角三角形，所以A ，B 为锐角， 因为23=a ，4b =，所以由正弦定理得4sin sin 6b A B a ⨯===，所以cos 6B =．因为sin A =，所以1cos 4A =． 所以sin sin[π()]C AB =-+sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+=，由正弦定理得sin 1sin a Cc A==. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，考查公式的运用，是中档题 18．如图，菱形ABCD 中，2AB =， 60=∠DAB ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ， （1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1A C 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【答案】（1）见解析（2 【解析】（1）先在左图中证明AD BM ⊥，再结合右图，根据面面垂直的性质定理，证明1A M ⊥平面BCDM ，进而可得出结论；（2）先计算出1A BCM V -，再由题意得到11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----===，即可得出结果． 【详解】（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形， 60=∠DAB ，M 是AD 的中点， ∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥，∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ， 又BD ⊂平面BCDM ， 所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且BM = 在右图中，连接CM，则1111121332A BCM BCM V S A M -∆=∙=⨯⨯=∵K 为1A C 的中点，∴11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====． 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，以及求几何体的体积，熟记面面垂直的性质定理、以及锥体的体积公式即可，属于常考题型.19．某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x 元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x 的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y 表示保费为x 元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）； （1）根据上面的数据求出y 关于x 的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x 定为5元？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆni ii nii x y nxybxnx==-=-∑∑，x b y aˆˆ-=， 参考数据：表中x 的5个值从左到右分别记为12345,,,,x x x x x ，相应的y 值分别记为12345,,,,y y y y y ，经计算有51()()19.2i i i x x y y =--=-∑，其中5115i i x x ==∑，5115i i y y ==∑．【答案】（1）0.01920.976y x =-+；（2）能【解析】（1）由已知表格中的数据求得ˆˆ,ba ，进而可得线性回归方程； （2）求出保费x 定为5元时，该手机厂商在这次活动中，因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较，即可得出结果. 【详解】解：（1）由已知得300.4x y ==，，()51()19.2iii x x y y =--=-∑，521()1000ii x x =-=∑，所以55121()ˆ0.0192()()iii ii bx y y x x x ==---==-∑∑，ˆˆ0.976a y bx=-=， y 关于x 的回归直线方程为0.01920.976y x =-+；（2）能把保费x 定为5元．理由如下：若保费x 定为5元，则估计0.019250.9760.88y =-⨯+=． 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为620000000.88520000000.880.2%2000100010000.7610⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=⨯元76=（万元）70>（万元）. ∴把保费x 定为5元． 【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求ˆˆ,ba 即可，属于常考题型. 20．已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=(2) max ()2MNF S =△ 【解析】(1)先求P,再列a,b,c 的方程组求解即可（2）设l 的方程为x my n =+ ，与抛物线联立将4OA OB =- 坐标化代入韦达定理解得n=2，利用31||||2MNF S MF y =△ 【详解】（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，由2221,1,2,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为22143x y +=（2）解法一.由（1）知抛物线E 的方程为24y x =.要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为x my n =+，由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440y my n --= 所以2(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>.设()()1122,,,A x y B x y 则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=-⎩ 所以22222121212()16441616y y y y n x x n =⋅===，因为4OA OB =-，所以12124x x y y +=-， 所以244n n -=-，所以2n =， 所以直线l 的方程为2x my =+， 所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，不妨设(2,0)M 33(,)N x y，3y ，且3y ≠0，所以31||||22MNF S MF y =△≤，当且仅当3y =max ()MNF S =△【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题21．已知函数()(ln )xe f x a x x x=--.（1）若a e =，求()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞．(2) (],e -∞ 【解析】（1）当e a =时，()()()21e e x x x f x x --'=，判断其正负号则单调性可求；（2）法一：由（1）得ex e x ≥进而ln 10x x -≥＞，放缩不等式为当e ≤a 时，e e ()(ln )e(ln )x xf x a x x x x x x =----≥，构造函数求解即可；法二：分离a 问题转化为mine (ln )xa x x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤，求最值即可求解【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()21x x e ax f x x --'=．当e a =时，()()()21e e x x x f x x --'=，令()xg x e ex =-，则()e e x g x '=-，因为()g x '在(),-∞+∞上单调递增，且()10g '=， 所以当1x <时，()0g x '<；当1>x 时，()0g x '>； 所以()g x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号. 所以当01x <<时，()0f x '<；当1>x 时，()0f x '>；所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞． （2）解法一. 由（1）知ex e x ≥，所以当0x >时，lne ln(e )xx ≥，得ln 10x x -≥＞，当e ≤a 时，e e ()(ln )e(ln )x x f x a x x x x x x=----≥，令e ()e(ln )xh x x x x=--，由（1）知，()(1)0h x h =≥，所以()0f x ≥，满足题意. 当e a >时，(1)e 0f a =-<，不满足题意. 所以a 的取值范围是(],e -∞. 解法二：由（1）知ex e x ≥，所以当0x >时，lne ln(e )xx ≥，得ln 10x x -≥＞，由e ()(ln )0x f x a x x x =--≥，得e (ln )x a x x x -≤， 问题转化为mine (ln )xa x x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤，令e ()(ln )x h x x x x =-，则22e (1)(1ln )()(ln )x x x x h x x x x ---'=-，因为e 0x >，1ln 0x x --≥（仅当1x =时取等号），22(ln )0x x x ->，所以当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>； 所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞， 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a 的取值范围是(],e -∞. 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，导数与函数最值，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，且0.5 1.5πϕπ≤≤，0a >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 的交点为,A B ，且AB =a . 【答案】（1）222()(0)x a y a x a -+=≤≤，2214x y +=（2）1a =．【解析】（1）利用22sin cos 1φφ+=消去参数ϕ，即可得出1C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的互化，可得出2C 的直角坐标方程；（2）根据对称性知，,A B 关于x 轴对称，再由AB =A 的坐标，代入1C 方程，即可得出结果. 【详解】解：（1）利用22sin cos 1φφ+=消去参数ϕ，得1C 的普通方程为222()(0)x a y a x a -+=≤≤；由22413sin ρθ=+得2223sin 4ρρθ+=，所以2C 的直角坐标方程为：2214x y +=； （2）根据对称性知，,A B 关于x 轴对称， 不妨设00(,)A x y ，000,0x a y ≤≤>，因为AB =0123y AB ==， 代入2C 的直角坐标方程得023x =，又2(,33A 在1C 上，所以2228()39a a -+=，解得1a =．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标与直角坐标的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23．函数()1(0)f x x x a a =+-->．（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式a x f 2)(≥的解集为空集，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）(1,)+∞ 【解析】（1）由2a =得122x x +-->，分1-≤x ，21≤<-x ，2x >三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由a x f 2)(≥的解集为空集，得12x x a a +--<恒成立，再由绝对值不等式的性质求出1x x a +--的最大值，即可得出结果. 【详解】解：（1）当2a =时，不等式()2f x >，即122x x +-->，当1-≤x 时，原不等式可化为122x x --+->，即32->，显然不成立，此时原不等式无解；当21≤<-x 时，原不等式可化为122x x ++->，解得322x <≤； 当2x >时，原不等式可化为122x x +-+>，即32>，显然成立，即2x >满足题意； 综上，原不等式的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； （2）由a x f 2)(≥的解集为空集，得12x x a a +--≥的解集为空集， 所以12x x a a +--<恒成立，因为0a >，所以()1(1)()1f x x x a x x a a =+--≤+--=+，所以当且仅当(1)()01x x a x x a +-≥⎧⎨+≥-⎩，即x a ≥时，max ()1f x a =+，所以12a a +<，解得1a >， 即a 的取值范围是(1,)+∞． 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的方法以及含绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
福建2019普通高中毕业班质量检查-数学文
福建2019普通高中毕业班质量检查-数学文文科数学本试卷分第1卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项:1．答题前,考生先将自己旳姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题旳答题区域（黑色线框)内作答，超出答题区域书写旳答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米旳黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2, …，x n旳标准差锥体体积公式s=V=Sh其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球旳表面积、体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高其中R为球旳半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出旳四个选项中,只有一项是符合题目要求旳．1．已知复数，为旳共轭复数，则下列结论正确旳是A．B．C．D．2．已知，则下列不等式一定成立旳是A．B．C．D．3．执行如图所示旳程序框图,若输入旳值为2，则输出旳值为A．3 B．8 C．9 D．634．“”是“”旳Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 5．函数旳图象是6．已知集合，,在集合中任取一个元素 ，则 “”旳概率是A ．B ．C ．D ．7．已知,是椭圆旳两个焦点，焦距为4。
若为椭圆上一点，且旳周长为14，则椭圆旳离心率为A ．B ．C ．D ． 8．若变量满足约束条件则旳最小值为A ．4B ．1C ．0D ． 9．设为两条不同旳直线，是两个不同旳平面，下列命题正确旳是 A ．若，则 B ．若,则 C ．若，则 D ．若,则10．已知点，,，以线段为直径作圆，则直线与圆旳位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 11．已知点点是线段旳等分点，则等于A ．B ．C ．D ．12．定义两个实数间旳一种新运算“*":。
福建省2019-2020学年高三毕业班质量检查测试文科数学试题(带答案解析)
（2）证明： ， .
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若直线 与 相切于第二象限的点 ，与 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角.
A． B． C． D．
7．函数 的大致图象不可能是（）
A． B． C． D．
8．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（）
A． B． C． D．
11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年
12．已知长方体 中， ， ， ，过点 且与直线 平行的平面 将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是（）
A． B．2C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查语文试题含答案
龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查语文试题(考试时间:150分钟；满分:150分)本试题分第I卷(阅读题)和第II卷(表达题)两部分。
满分150分，考试时间150分钟。
注意事项:1.本试卷分第|卷(阅读题)和第1卷(表达题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(阅读题共70分)一、现代文阅读(36分)（一）论述类文本阅读(9分)阅读下面的文字，完成各题。
中国的改革开放是从海洋开始的。
先是沿海14个开放城市，接着珠三角、长三角，现在是沿海一系列自贸区的建立。
我们已经通过海洋收获了足够的权益，可以把目光转向大陆了。
我们又像甘英(甘英，公元97年中国向罗马派去的第一个使者。
他历经高原、雪山、沙漠到达波斯湾，准备跨海西渡，终因畏惧海上风浪，半途而废。
康有为斥之“中西亘数千年不通文明，不得交易，则甘英之大罪也”)一样，向西面对着麦金德的心脏地带(麦金德，英国地理学家，他把甘英跋涉过的地区取名为“心脏地带”)进发。
但是我们今天已经不是甘英了。
我们不会再被距离和时间击垮，我们有了战胜距离和时间的工具，这就是高速公路和高速铁路，我们的高铁能以每小时350公里的速度前行，如此算来从中国到罗马，一天多就可以了。
甘英的问题---距离、时间解决了，但是“多边的问题”还没有解决。
如何跨越政治、国家、民族、文化的阻隔，是新的挑战。
中国的崛起，一定是和平的崛起，德、日试图通过战争崛起已经被历史证明是行不通的。
我们应该重新定义麦金德的“陆权”和马汉的“海权”的意义。
在他们的思想中，海权是指调动军事力量，对海洋的控制，陆权也是依靠武力对陆地的控制。
这是通过战争崛起的思维。
今天，我们在谈论中国的“一带一路”战略时，这两个词的意义已经发生了转变:权力已经转变成权利。
权力强调的是控制，权利倾向于利益；权力是力量关系的较量，而权利则是利益关系的集合。
数学_【市级联考】福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查数学文试题(含答案)
【市级联考】福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查数学文试题一、单选题1. 已知集合，则( )A B C D2. 为虚数单位，若，则的值为( )A B C D3. 母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为( )A B C D4. 已知双曲线：的一个焦点为，则的离心率为()A B 2 C D5. 已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180，180，90．现采用分层抽样的方法从中抽取5名学生去某敬老院参加献爱心活动，若再从这5人中抽取2人作为负责人，则事件“抽取的2名同学来自不同年级”的概率是( )A B C D6. 若实数满足约束条件则的最大值为( )A B C 4 D 67. 已知，且，则的最小值为( )A B C D8. 一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( )A B 3 C D 29. 若，且，则等于( )A B C D10. 已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，底面，且，则该三棱锥的外接球的体积是( )A B C D11. 若函数在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是( )A B C (0，） D12. 已知f(x)=，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为( )A B （） C D (0，）二、填空题13. 已知向量，，若，则________．14. 的内角的对边分别为，已知,,，则________．15. 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数________．16. 已知椭圆C:的左焦点为，存在直线y=t与椭圆C交于A, B两点，使得为顶角是的等腰三角形，则其长轴长为________．三、解答题17. 已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和．18. 如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．19. 中国人民大学发布的《中国大学生创业报告》显示，在国家“双创”政策的引导下，随着社会各方对于大学生创业实践的支持力度不断加强，大学生创业意向高涨，近九成的在校大学生曾考虑过创业，近两成的学生有强烈的创业意向. 数据充分表明，大学生正以饱满的热情投身到创新创业的大潮之中，大学生创业实践正呈现出生机勃勃的态势。
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龙岩市2019届高三教学质量检查数学（文科）试题2019.2注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出A中x的范围确定出A，解出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【详解】由A中，得到≥0，分解因式得：x（x-1）≥0，解得：x≤0或x≥1，即A＝{x| x≤0或x≥1}，由B中，解得x>0，即B＝{x| x>0}，则A∩B＝{x|，故A、D不正确；，故B正确，D错误；故选：B．【点睛】本题考查了交集、并集的运算，涉及函数的定义域及指数函数单调性的应用，属于基础题．2.为虚数单位，若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得m的值．【详解】∵，∴2m+2+（4-m）i＝4+3i，∴2m+2＝4，且4-m＝3，∴m＝1，故选：A．【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，属于基础题．3.母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【详解】∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，∴侧面展开图的弧长为：5，弧长底面周长＝2πr，∴r，∴圆锥的高h，∴圆锥体积Vπ×r2×hπ．故选：A．【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4.已知双曲线：的一个焦点为，则的离心率为( )A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据焦点坐标得c＝2，再用平方关系得m+1＝4，解出m值后再用离心率的公式，可得该双曲线的离心率．【详解】∵双曲线的一个焦点为（2，0），∴m+1＝22＝4，可得m,因此双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质的应用，属于基础题．5.已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180，180，90．现采用分层抽样的方法从中抽取5名学生去某敬老院参加献爱心活动，若再从这5人中抽取2人作为负责人，则事件“抽取的2名同学来自不同年级”的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先按比例分别求出高一、高二、高三抽取的学生数，再列举出5人中选取2人的所有选法，找到符合条件的选法种数，利用古典概型概率公式计算即可.【详解】样本容量与总容量的比为5：（180+180+90）＝1：90则高一、高二、高三应分别抽取的学生为，（人），（人）．高一2人记为A、B，高二2人记为a、b，高三1人记为1，则从5人中选取2 人作为负责人的选法有（A,B） (A,a)(A,b)(A,1)(B,a)(B,b)(B,1)(a,b)(a,1)(b,1)共10种，满足条件的有8种，所以概率为=.故选D.【点睛】本题考查了分层抽样的定义，考查了列举法求事件的个数及古典概型求事件的概率，属于基础题.6.若实数满足约束条件则的最大值为( )A. B. C. 4 D. 6【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出约束条件对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y得y x z，平移直线y x z，由图象可知当直线y x z，经过点A时，直线y x z，的截距最小，此时z最大，由，解得A（3，），z＝3-24．故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7.已知，且，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•1﹣1＝[（x+1）+y]•2（）﹣1＝2（2 1≥3+47．当且仅当x，y＝4取得最小值7．故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．8.一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( )A. B. 3 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【详解】由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，∴几何体的最长棱为PC．故选：C．【点睛】本题考查了常见几何体的三视图，棱锥的结构特征，属于基础题．9.若，且，则等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把分母看作“1”，再用+代换，利用“弦化切”即可得出．【详解】原式∴,解得或，又∴=，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，“弦化切”是处理齐次式的常用方法，属于基础题．10.已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，底面，且，则该三棱锥的外接球的体积是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R，可得球的半径R，即可求得体积. 【详解】根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1故球的半径R 2故三棱锥P﹣ABC外接球的体积V＝＝，故选：B.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体,利用垂径定理结合R，是解题的关键，属于中档题．11.若函数在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是( )A. B. C. （0，） D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角和诱导公式化简，结合三角函数的性质，根据在[，]上仅包含一个最大值点，或者函数是增函数，建立不等式组，即可求解．【详解】∵函数f（x）＝＝=（ω＞0）．∴函数f（x）为奇函数，∵f（x）在[，]内有且仅有一个最大值，又,根据对称性可知：在[，]内，函数f（x）可能仅包含一个极大值点，也可能函数在这个区间上单调递增．∴，或．∴1≤ω，或0＜ω≤1．综上可得，0＜ω，故选：C．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+）的图象特征解决最值问题，考查了单调性的应用，属于中档题．12.已知f(x)=，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为( )A. B. （） C. D. （0，）【答案】B【解析】【分析】由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；从而可得方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；再分析函数f（x）的单调性及大致图像即可．【详解】解方程得，f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；解f（x）＝1得x＝0，故方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；当x≥1时，f（x），f′（x）；故f（x）在（1，e上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；f（1）＝0，f（e），且x>1时，；当x＜1时，f（x）＝在（﹣∞，1）上是减函数；故f（x）的大致图像如下：故若使方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根，则0＜-m﹣1；即m＜-1；所以实数的取值范围为（），故选：B．【点睛】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性及最值，研究函数零点的分布情况，考查了数形结合思想，函数与方程转化的思想，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题．13.已知向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】由向量垂直的性质求出x＝，从而（3，1），由此能求出．【详解】∵向量（2，-1），向量（x，1），⊥，∴2x﹣1＝0，解得x＝，∴（，1），∴（3，1），∴．故答案为．点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质的应用，考查向量坐标的运算，考查函数与方程思想，是基础题．14.的内角的对边分别为，已知,,，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得cos B，利用已知整理可得3a2﹣8a﹣3＝0，从而解得a的值,从而可得A. 【详解】∵b，c＝2，cos B，∴由余弦定理可得：cos B，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或（舍去）．∴满足，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_____．【答案】【解析】【分析】设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入，得f（x）＝log3（-x）+a，由此利用f（﹣3）+f（﹣）＝4，能求出a的值．【详解】函数y＝f（x）的图象与的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入，得﹣x＝，∴f（x）＝log3（-x）+a，∵f（﹣3）+f（﹣）＝4，∴1+a﹣1+a＝4，解得a＝2．故答案为2．【点睛】本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题．16.已知椭圆C:的左焦点为，存在直线y=t与椭圆C交于A,B两点，使得为顶角是的等腰三角形，则其长轴长为______．【答案】【解析】【详解】因为为顶角是的等腰三角形，如图：所以设=x=，则由余弦定理得，则BF=x，又OF=+AF=x=，解得x=，BF=x=2，则2a=BF+B=BF+AF=2，故答案为2.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，涉及余弦定理，属于中档题．三、解答题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用等差数列的前n项和公式和通项公式，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由题意b n＝，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和．【详解】（Ⅰ），∴，∴则.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,-==∴【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了错位相减法求和，考查了运算能力，属于中档题．18.如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．说明四边形DEBC为平行四边形．可得CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到，又由（Ⅰ）的结论得到，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.【详解】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，, 又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题．19.中国人民大学发布的《中国大学生创业报告》显示，在国家“双创”政策的引导下，随着社会各方对于大学生创业实践的支持力度不断加强，大学生创业意向高涨，近九成的在校大学生曾考虑过创业，近两成的学生有强烈的创业意向. 数据充分表明，大学生正以饱满的热情投身到创新创业的大潮之中，大学生创业实践正呈现出生机勃勃的态势。