哈工大 自动化 控制科学与工程 现代控制理论 ppt 课后思考题4解答

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假设构造能控规范I型的映射：
x = TcI x
= Ax + bu ⎧x ∑ 0 : ⎨ y = cx ⎩
= Ax + bu ⎧x ∑ 0 : ⎨ y = cx （能控规范I型） ⎩
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⎡ 0 ⎢ # ⎢ A=⎢ # ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ −α 0
1 % "
0 % % "
" % % 0
c = [ β0
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退一步讲，我们可以得出输出反馈能镇定的 两个必要条件： 关于 h 的不等式组
⎧α 0 + β 0 h > 0 ⎪ ⎪α1 + β1h > 0 ⎨ ⎪# ⎪α + β h > 0 n −1 ⎩ n −1
的解集为实数集的某一非空子集。
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原单输入单输出系统的开环传递函数
β n −1s n −1 + β n − 2 s n − 2 + " + β1s + β 0 G0 ( s ) = s n + α n −1s n −1 + " + α1s + α 0
⎤ I A b c = det ⎡ − − s h ( ) ⎣ ⎦
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⎤ I A b c = det ⎡ − − s h ( ) ⎣ ⎦
⎧ 0 ⎡ ⎪ ⎢ # ⎪ ⎢ ⎪ # = det ⎨ sI − ⎢ ⎢ ⎪ 0 ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎣ −α 0 − h β 0 ⎩
n
1 % " −α1 − h β1
不能出现分子、分母同次项同时缺项的现象。
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现在让我们用经典控制理论来重新考虑这一 问题。
r
-
u
G0 ( s )
h
y
输出反馈闭环系统的传递函数为：
G0 ( s ) Gh ( s ) = 1 + hG0 ( s )
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G0 ( s ) Gh ( s ) = 1 + hG0 ( s )
闭环系统的特征多项式为：D ( s ) = 1 + hG0 ( s ) 闭环系统的特征方程为：D ( s ) = 1 + hG0 ( s ) = 0 闭环系统的根轨迹方程为：
课后思考题4
状态完全能控、完全能观的单输入单输出线性 定常系统在什么条件下是输出反馈能镇定的？
= Ax + bu ⎧x ∑ 0 : ⎨ y = cx ⎩
G0 ( s ) = c ( sI − A ) b
−1
β n −1s n −1 + β n − 2 s n − 2 + " + β1s + β 0 = s n + α n −1s n −1 + " + α1s + α 0
n −1 n−2
G0 ( s ) =
β n −1s
+ β n − 2 s + " + β1s + β 0 s n + α n −1s n −1 + " + α1s + 馈系数 h 时 ，用劳斯判据 判定闭环系统的稳定性是可以的，这是一种被动 的行为。 根据上述输出反馈闭环系统的特征多项式，依据 劳斯判据主动地寻求 h 的存在性，使得闭环系统 稳定，这样的问题难度是惊人的！
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【解答】
r
-
u
G0 ( s )
h
y
输出反馈控制律为：
u = −hy + r
闭环系统的系统矩阵为：
Ah = A − bhc
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闭环系统的特征多项式为：
det ( sI − Ah ) = det ⎡ ⎣ sI − ( A − bhc ) ⎤ ⎦
前面的问题等价于：在什么条件下上述 n 阶多项式 的所有极点均具有负实部？ 不难看出：如果不映射到能控规范型，这样的 问题用状态空间法是很难回答的！
n −1
" 0 % % % % " 0 " −α n − 2 − h β n − 2
⎤⎫ ⎥⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎬ ⎥⎪ ⎥⎪ −α n −1 − h β n −1 ⎥ ⎪ ⎦⎭ 0 # 0 1
= s + (α n −1 + h β n −1 ) s
+ " + (α1 + h β1 ) s + (α 0 + h β 0 )
β1 " β n −1 ]
−α1 " −α n − 2
0 ⎤ # ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ −α n −1 ⎥ ⎦
⎡0 ⎤ ⎢# ⎥ b =⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
输出反馈闭环系统的特征多项式为：
det ( sI − Ah ) = det ⎡ ⎣ sI − ( A − bhc ) ⎤ ⎦
hG0 ( s ) = −1
很显然，这个根轨迹与 G0 ( s ) 的根轨迹是 一致的。
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结论2
改变 h 的值只能移动闭环极点在 G0 ( s ) 根轨迹 上的具体位置，而不能变换整个根轨迹的几何形状。 于是可以得出输出反馈能镇定的充分必要条件： 以原单输入单输出线性定常系统 G0 ( s ) 为前向通道环 节所构成的单位负反馈系统的根轨迹必须经过复平面 的左半平面。 THE END
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