高等数学(上册)教案20-分部积分法

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大学高等数学-分部积分法课件

pn( x)eaxbdx的积分，选u pn ( x)
可经n次分部积分求得。
( pn ( x)为n次多项式。）
例Example 6
ln xdx
解 Solution
u=lnx dv=dx (好象u、v已选好）
du 1 dx
v=x
x
ln xdx x ln x x 1dx =xlnx-x+c
x
例 Example 7 求积分
x3 ln xdx.
解 Solution
u ln x, x3dx d x4 dv, 4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
例 Example 8 求积分解Solution
arcsin xdx
arcsin xdx xarcsin x xd(arcsin x)
x arcsin x
x dx 1 x2
x arcsin x 1 x2 c
例 Example 9 求积分
x arctan xdx.
解Solution x arctan
令u xdx
arctan x x2 arctan
, x
xdx x2
d x2 dv 2
d(arctan x)
2
3
9
27
总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
（1）形如
xne xdx, xn sin xdx, xn cos xdx 的积分
选u x n ，可经n次分部积分求得。

高等数学教案(含)

高等数学教案一、教学目标1.知识与技能：（1）理解极限、导数、积分等基本概念，掌握它们的计算方法。

（2）熟练运用导数和积分解决实际问题，如最值问题、曲线拟合等。

（3）了解多元函数的极限、连续性、可导性，掌握偏导数、全微分、方向导数等概念。

（4）掌握多元函数的极值问题，了解条件极值和拉格朗日乘数法。

2.过程与方法：（1）通过实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（2）通过探究式学习，培养学生的创新精神和合作意识。

（3）通过数学软件的应用，提高学生的数学建模和计算能力。

3.情感、态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，增强学生的自信心。

（2）培养学生严谨、求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力。

（3）培养学生团结协作的精神，增强学生的集体荣誉感。

二、教学内容1.极限与连续（1）数列极限的定义及性质（2）函数极限的定义及性质（3）无穷小量与无穷大量（4）极限的运算法则（5）夹逼定理与单调有界定理（6）连续函数的定义及性质2.导数与微分（1）导数的定义及几何意义（2）导数的运算法则（3）高阶导数（4）隐函数及参数方程求导（5）微分中值定理（6）泰勒公式3.不定积分与定积分（1）不定积分的概念及性质（2）基本积分公式（3）换元积分法与分部积分法（4）定积分的概念及性质（5）定积分的计算（6）定积分的应用4.多元函数微分学（1）多元函数的极限与连续（2）偏导数与全微分（3）复合函数求导法则（4）隐函数求导法则（5）方向导数与梯度（6）多元函数的极值问题5.多元函数积分学（1）二重积分的概念及性质（2）二重积分的计算（3）三重积分的概念及性质（4）三重积分的计算（5）线积分与面积分三、教学安排1.总学时：64学时2.教学进度安排：（1）极限与连续：12学时（2）导数与微分：18学时（3）不定积分与定积分：18学时（4）多元函数微分学：8学时（5）多元函数积分学：8学时四、教学方法1.讲授法：讲解基本概念、性质、定理等。

《分部积分法》ppt课件

cos sin
x x
dx
cos x sin x
dx
cos x sin x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
21
P191 1 2
22
x)
C
说明: 1。也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，
但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中
象解代数方程那样解出所求的积分来。
14
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的顺前者为 u 后者为 v.
序, 反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
幂函数的幂次降低一次。即在
Pn (x)exdx Pn (x)sin xdx Pn (x)cos xdx
中，总令
Pn (x) u
7
(ax b)sin xcos xdx
解：原式
(ax
b)
1 2
sin
2xdx
1 4
(ax
b)
sin
2xd
2x
1 4
(ax
b)d
cos
2x
1 4
(ax
b)
cos 2 x
xarccosx 1 x2 C
10
x arctan x dx.
解: 原式
x2 arctanx d .
2
1 x2 arctanx 1
2
2

《分部积分法》课件

02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法，通过将积分拆分为两个或多个部分的乘积，再分别对各部分进行积分，最终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积或商的情况，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的；分部积分法是通过将被积函数拆分为两个函数的乘积，然后分别积分，最后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积或商的情况。

高数课件-分部积分法

2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn

(完整版)分部积分法教案

分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。

重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。

凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。

x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数）已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。

故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

分部积分法具体步骤

分部积分法具体步骤
嘿，咱今儿就来说说这分部积分法的具体步骤哈！
你看啊，这分部积分法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多积分难题的大门呢！那它到底咋用呢？
首先呢，咱得把被积函数拆分成两部分，就好比把一个大拼图拆成两块。

这两块得选得有讲究，一块要能比较容易地积分，另一块呢，得是它的导数比较简单。

然后啊，咱就按照公式开始操作啦！这公式就像是一个魔法咒语，一念就灵。

把这两块分别对应公式里的 u 和 v'。

接着呢，咱就一步一步地算。

就像走迷宫一样，得小心谨慎，可不能走错路喽！先求出 u 的导数和 v，然后把这些值代进去。

你想想，这是不是挺有意思的？就像搭积木一样，一块一块地往上垒。

举个例子来说吧，比如求∫xcosx dx。

那咱就可以把 x 当作 u，cosx 当作 v'。

然后求出 u 的导数是 1，v 是 sinx。

再代进去算算，是不是就有头绪啦？
这分部积分法有时候得反复用，就像打怪升级一样，一层一层地突破。

可别嫌麻烦呀，数学的乐趣不就在这嘛！
咱再说说，要是第一次没成功咋办？那咱就再来一次呗！就像投篮，一次不进就再来一次，总有投进的时候。

而且啊，这分部积分法还能解决好多看起来很难的问题呢！只要咱
掌握了方法，就不怕它难。

总之呢，分部积分法的具体步骤就是先拆分，再代入公式，然后细
心计算。

就这么简单！学会了它，咱在积分的世界里就能畅游啦！可
别小瞧了它哦，它可是很厉害的呢！咱可得好好把它掌握住，让它为
咱的数学学习添砖加瓦呀！。

高等数学-分部积分法

分部积分公式求解．
10
01 分部积分法
例5 求不定积分‫ ׬‬cos( ) ．
解
令 = නcos( ) ，则有 ( ) = −() ∙
1

= නcos( ) = cos( ) − න ( )
= ( ) + න( )
2
2
2
转化后的积分 ‫ ׬‬比原来的积分更麻烦，
2
所以正确的选取和 ′ 非常关键！
5
01 分部积分法
例2 求不定积分‫ ׬‬2 ．
解
选取 = 2 ， ′ = ，则
2
න 2 = න 2 = 2 −2
4
−
2

2
，
‫ ׬‬′′ () = ′ − +
=
2

2
+
3 2
+ .

+
13
න
− න

= 2 +2 න
= 2 +2（ − න ）
= 2 +2 − 2 + .
6
01 分部积分法
注（1）多次使用分部积分时，和 ′ 的选取类型要与
第一次的保持一致，否则将回到原积分.．
（2）解决两个不同类型函数乘积的积分计算.
（3）按 “反、对、幂、三、指”的顺序，把排在
前面的函数选作，把排在后面的那个函数选作′.
3
01 分部积分法
例1 求不定积分‫ ׬‬．
解
被积函数为幂函数与三角函数的乘积，
故选取 = ， ′ = ，则
න = න = − න

(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点

第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

高等数学上册教案

高等数学上册教案一、第一章：函数与极限1.1 函数定义：函数是一种关系，使一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。

性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限极限的定义：当自变量x趋近于某一值a时，函数f(x)趋近于某一值L，即lim(x →a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理、单调有界定理等。

1.3 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋近于0时，函数f(x)趋近于0。

无穷大的定义：当自变量x趋近于某一正无穷大值时，函数f(x)趋近于正无穷大或负无穷大。

1.4 极限运算法则极限的四则运算法则：lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)，lim(x →a)(f(x)g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)/g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)(1/g(x))。

极限的复合运算法则：lim(x→a)(f(g(x)))=lim(x→a)g(x)lim(x→a)f(g(x))。

1.5 极限存在的条件介值定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=L1，f(b)=L2，对于任何介于L1和L2之间的实数L，都存在c∈(a,b)，使得f(c)=L。

单调有界定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上单调且有界，lim(x→a)f(x)和lim(x →b)f(x)都存在且相等。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h。

导数的几何意义：函数在某一点的导数等于该点处的切线斜率。

2.2 导数的计算法则基本导数公式：常数c的导数为0，x的导数为1，常数倍函数的导数等于常数乘以原函数的导数，幂函数的导数等。

和差、积、商的导数法则：和差函数的导数等于各函数导数的和差，积函数的导数等于原函数的导数乘以另一函数，除函数的导数等于除函数的导数乘以被除函数减去除函数，再除以被除函数的平方。

高数分部积分法

举例2：计算 ∫ ln x cos x dx
同样将ln x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分法得到结果。
在这些例子中，分部积分法展示了其在处理复杂函数积分时的有效性。通过选择合适的u和dv，我们可以逐步简化积分表达式，最终得到积分的解析解。
05
分部积分法的注意事项
积分公式的选择
THANKS
感谢观看
举例2：计算 ∫ e^x cos x dx
将e^x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进行求解。
同样将e^x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分法得到结果。
对数函数与三角函数的积分
01
02
03
04
05
举例1：计算 ∫ ln x sin x dx
将ln x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进行求解。
03
与其他积分方法（如换元法、分式分解法等）结合使用，提高求解效率。
02
分部积分法的基本原理
微积分基本定理
微积分基本定理建立了定积分与不定积分之间的联系，为分部积分法提供了理论基础。
通过微积分基本定理，可以将一个复杂的积分表达式转化为另一个相对简单的积分表达式，从而简化计算过程。
分部积分公式
高数分部积分法
• 引言 • 分部积分法的基本原理 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的应用举例 • 分部积分法的注意事项 • 总结与展望
01
引言
分部积分法的定义
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
分部积分法是一种求解不定积分的方法，通过将被积函数拆分为两个函数的乘积，并分别对这两个函数进行积分和微分，从而简化求解过程。
逐步进行分部积分

高数-分部积分法

x (1 x2 )2
arctan
xdx
.
解: 令 t arctan x , 则
原式 =
tan t sec4 t
td
(tan
t
)
tan t sec4 t
t
sec2
tdt
1 2
t
sin
2tdt
1 4
td
cos
2t
1 4
t
cos
2t
1 4
cos
2tdt
1 t cos 2t 1 sin 2t C
14
例. 求 sec3 xdx
15
例11. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
16
例9. 求
解:
令
u
(x2
1 a2
)n
,
v
1,
则
u
2nx (x2 a2 )n1
I
1 d earctan x
1 x2
I
earctan x
(1
x
2
)
3 2
dx
1 1
x2
earctan x
x earctan x
(1 x2 )32
dx
1 earctan x 1 x2
x dearctan x 1 x2
1 earctan x (1 x) I
1 x2
I 1 x earctan x C 2 1 x2
34
35
x
d
x
23
内容小结

大学高数积分法的应用教案

教学目标：1. 使学生掌握积分法的基本概念和原理。

2. 理解并能够运用分部积分法、换元积分法解决实际问题。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学思维水平。

教学重点：1. 分部积分法的原理和应用。

2. 换元积分法的原理和应用。

教学难点：1. 分部积分法在复杂函数积分中的应用。

2. 换元积分法在不同类型函数积分中的应用。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 积分表。

3. 练习题。

教学过程：一、导入1. 复习导数和微分的概念，引出积分的概念。

2. 介绍积分法的应用领域，激发学生学习兴趣。

二、新课讲授1. 分部积分法a. 介绍分部积分法的原理，公式。

b. 通过实例讲解分部积分法的应用步骤。

c. 分析分部积分法在复杂函数积分中的应用。

d. 举例说明分部积分法在实际问题中的应用。

2. 换元积分法a. 介绍换元积分法的原理，公式。

b. 通过实例讲解换元积分法的应用步骤。

c. 分析换元积分法在不同类型函数积分中的应用。

d. 举例说明换元积分法在实际问题中的应用。

三、课堂练习1. 学生根据所学知识，完成以下练习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。

b. 利用换元积分法计算不定积分。

2. 教师巡回指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结分部积分法和换元积分法的原理和应用。

2. 强调积分法在解决实际问题中的重要性。

五、课后作业1. 完成以下习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。

b. 利用换元积分法计算不定积分。

2. 查阅资料，了解积分法在其他领域的应用。

教学反思：本节课通过讲解分部积分法和换元积分法的原理和应用，使学生掌握了积分法的基本方法。

在教学过程中，教师应注重以下方面：1. 注重理论与实践相结合，通过实例讲解积分法的应用，提高学生解决问题的能力。

2. 针对不同类型函数，引导学生运用合适的积分方法，培养学生的数学思维能力。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养合作学习的精神。

20分部积分法

当左边的积分不易求得而右边的积分vdu容易求得利用分部积分公式uvudvxdxxdsinxsinsinxsinxcosx现试用分部积分法求它cossindvxdxxdxdvxdxxcos方法二假若被积函数是两类基本初等函数的乘积那么经验告诉我们在很多情况下可采用如下方法来选时可按照反三角函数对数函数幂函数三角函数指数函数的顺序即反对幂三指的顺序把排在前面的那类函数选作而把排在后面的那类函数选lndlndxxededxln1ddxxexdxxsinxdxxsinxdcoscoscossincoscossindxxelnlnxdesinsinsincossincossincoscoscossincossinxdxxarctanxdxarcsinsindesincossincosxdxarcsinxdxarcsinarcsinarcsindxarcsindx
1x2lnx xdx1x2lnx1x2C
2
22Leabharlann 1x2lnx1x2 C2
4
例4 求 exsinxd.x
解: exsinxdxsinxdxe
exsix nexdsixn
exsixn exco xsd ex xsixn co xsd x e e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
x cx o s sx i n C
x2exdx.
原式＝ x2dex x2ex exdx2 x2ex2 xexdxx2ex2 xdxe
x2ex2(xxeexd)x
x2ex2(xxeex)C ex(x22x1)C.
xlnxdx.
原式＝
1 2
ln xdx2
1x2lnx x2dlnx 2
例3、求 ln xd x.
解

公开课(分部积分法)教案

《高职数学》公开课教案课题：§ 4.4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv教学内容：一、分部积分法设函数u u (x )及v v (x )具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为移项得 v '-'='u (uv)uv 对这个等式两边求不定积分得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u 或⎰⎰-=vdu uv udv 称为不定积分的分部积分公式。

二、例题例1C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法);2.u vd ⎰比⎰udv 容易求. 例3求⎰dx e x x 2 解：x x de x dx e x ⎰⎰=22 例4求 ⎰xdx x arctan解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧(1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。

例6求xdx e x sin ⎰解因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin 练习: (1)∫xsinxdx(2)xdx x ln 2⎰例7 求 ⎰dx e x解：令t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此三、小结使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv(1)原则:v 容易求得(凑微分法);u vd ⎰比⎰udv 容易求; (2)U 的选取按 “反对幂三指”的顺序。