高等数学答案(第七版下册)习题7-1微分方程的基本概念答案
高等数学同济第七版第七章学习指导
而 分别是方程
的特解,那么 就是方程（7-18）的特解.
以上定理可以推广到n阶线性微分方程.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
（7-19）
其中 是常数.
方程 叫做微分方程（7-19）的特征方程.
解法①写出微分方程（7-19）的特征方程，并求出特征根.
②解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.
③把已求得的函数代入原方程组，求出其余的未知函数.
二、典型题精讲
题型1.一阶微分方程
【方法与技巧】
（1）一阶微分方程的解题步骤：①判断方程类型.一般地判断顺序为：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程；②根据方程类型，确定解题方法（见知识梳理3）；③求方程的解；④如果通过作变量替换后得出方程的解，最后一定要还原.
叫做伯努利方程.
解法①化伯努利方程为一阶线性微分方程
将方程(7-11)两端同除以 ,化为
, (7-12)
在方程（7-12）中，令 ,化为一阶线性微分方程
. (7-13)
②求解方程（7-13），在通解中以 代 得原方程得通解.
3. 可降阶的高阶微分方程
(1) 型的方程.
解法连续积分 次即可求得通解（注意每积分一次出现一个任意常数）.
(2) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ,原方程化为一阶微分方程
(7-14)
②解一阶微分方程
解方程(7-14),设其通解为 ,代入 .再解方程 得原方程的通解为
.
(3) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ，原方程化为
(7-15)
②解一阶微分方程
解方程（7-15）,设其通解 ，代入 .再解方程 得原方程的通解为
高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
例4求微分方程 的通解
例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1)y2xy是y1dy2xdx
(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx
(3)(x2y2)dxxydy=0不是
(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)
(5)y10xy是10ydy10xdx
(6) 不是
第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数：derivative；微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order；
常微分方程：ordinary differential equation；偏微分方程：partial differential equation；
教 学 基 本 内 容
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程
高等数学第七章测试题答案(第7版)
第七章测试题答案一、填空（20分）1、是 3 阶微分方程；2、与积分方程等价的微分方程初值问题是；3、已知微分方程，则函数不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设和是二阶齐次线性方程的两个特解，为任意常数，则一定是该方程的解（填“通解”或“解”）；5、已知、、是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：；6、方程的通解为.7、微分方程的特解可设为；8、以为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：；9、微分方程的特解形式为：；10、微分方程的通解：。
二、（10分）求的通解.解：由一阶线性微分方程的求解公式，三、（10分）求解初值问题.解：分离变量，两边同时积分，，又由，得，故四、（15分）曲线的方程为，已知在曲线上任意点处满足，且在曲线上的点处的曲线的切线方程为，求此曲线方程。
解：得，，又由知，，故曲线方程为五、（15分）求齐次方程的通解.解：原方程可化为，令，则，.原方程变为：即.分离变量，得两边积分得：即.以代入上式中的，化简得方程的通解为：.六、（15分）求解初值问题：.解：设，则，代入方程得：，分离变量并积分，得：，即.当时，，得.则.分离变量并积分，得：由，得.则即.七、（15分）求方程的通解.解：该方程对应的齐次方程的特征方程为，解得则.由于不是特征根，所以设为，代入原方程，得：.所以.该二阶常系数非齐次线性方程的通解为.。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
高数下册笔记精
第七章微分方程§ 1 微分方程的基本概念 一. 基本概念 :1. 微分方程 ; 凡表示未知函数 , 未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程．2. 常微分方程 ; 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程．3. 偏微分方程 ;如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程．4. 微分方程的阶 ; 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．5. 微分方程的解 ; 将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解．6. 微分方程的通解 : 如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．7. 微分方程的初始条件与特解 .8. 微分方程的积分曲线 : 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线． 二．例题分析P263． 5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程 :例 1．曲线在点处( x, y)的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为yf (x) , 则由题意得 : y ' x 2 .--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．例 2．曲线上点P( x, y) 处的法线与 x 轴的交点为 Q , 且线段 PQ 被 y 轴平分 .解：设该曲线的方程为yf (x) , 且设曲线在点 P 处的法线记为 L ，则其斜率为1/ y' ；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为 M ( X ,Y) ，进而得法线Ｌ的方程为：Y y k( X x) 且 k1/ y '即Y y (Xx) / y ' ；则易求得：X Q x y y ' 且 Y A yx / y ' ．．．．．．．．①由题意知点Ａ为线段PQ的中点知：X Q X P 2X A 且 Y Q Y P 2Y A ．．．．．．．．．．②由上述①，②两式最终可得：2xy y ' --------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§ 2．可分离变量的一阶微分方程（注：它是一类最易求解的微分方程！ ）一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：F (x, y, y') 0对称形式：P( x, y)dx Q ( x, y)dy 0二．何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：P(x, y) dx Q(x, y)dy 0 ，可等价地转化为f (x)dx g( y)dy 0 的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量x ， dx 与因变量 y ， dy 的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解． §３．一阶齐次微分方程（注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！ ）一．一阶齐次微分方程的定义：在某个一阶微分方程也即原方程形如：dy f ( x y ) 中，如果方程右边的函数 f ( x, y) 可写成 y的函数式即 f ( x y )( y ) ， ,,dxxx dy ( y) ，则称此微分方程为一阶齐次微分方程．dxx二．一阶齐次微分方程的基本解法：转化求解法 ―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， 第一步，作变量代换令uy，则 y ux,dyu xdu，代入原一阶齐次微分方程x dx dx du dx 第二步，进行变量 u 与 x 的左右分离得：u；(u) xdy( y ) 得： u x du(u) ；dxx dx第三步，两边求不定积分即可得其解． ．．．三．例题分析参见Ｐ 271．例１．又如．Ｐ 276 ．１．（ 4）．求方程(x 3 y 3 )dx3xy 2 dy 0 的通解．解：原方程可转化为 3dyx 3y 3x 2y，作变量代换令 uy，则 y ux,dyu xdu；dxxy 2 y 2x x dxdx则原方程转化为：3(uxdu) 1 u （注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！ ）dx u 2紧接着就进行自变量与因变量的左右分离§４．一阶线性微分方程 一．一阶线性微分方程的定义：x du1 2uu 2dudx．最后两边作不定积分即可． ．．dx u 21 2uxP x y Qx ) 的方程为一阶线性微分方程．称形如：dy( )(dx（注：因为方程的左边对未知函数y 及其导数 y ' 来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）（ i ）. 当 Q (x)0 时，则称dyP( x) y 0 为一阶线性齐次微分方程．dx（ ii ） . 当 Q ( x)0 时，则称dyP(x) y Q ( x) 为一阶线性非齐次微分方程．dx二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中， 将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数u(x) 来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解， 代回原非齐次方程中去确定那个待定函数 u( x) 的表达式．―――整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）dyP( x) y Q (x) 的通解公式如下： y ep ( x )dxQ( x) ep( x) dxc] ―――请牢记！２．一阶线性微分方程：[ dxdx三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！ ）１．伯努利方程的定义我们称形如：dyP( x) y Q ( x) y n ．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂ n 级伯努利方程＂） ．dx２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）只要令z y1n ，则dz (1 n) y1 ndy，将其代入原 n 级伯努利方程（＊）可得dzdxdxn) p( x) z (1 n) Q (x) ----- 这是一个一阶线性非齐次方程 !(1 dx进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解, 这样也就求出原伯努利方程（＊）的解!３．变量代换法在求解微分方程中的运用利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法． 例１．解方程．Ｐ 282． 9．（ 1）．dy (x y)2dx解：可令 ux y ，则原方程转化为 dydu 1 u 2du u 2 1dudx 两边积分就可得其解． ．．．．dxdxdxu 2 1例２．Ｐ 282.9. （ 3）解方程 xy ' y y(ln x ln y)解：可令uln x ln yln xy xy e u两边关于自变量Ｘ求导得 y xy ' eudu代入原方程得：du ，dudu dx两边积分就可得其解．．．．．dxue u x 1e u ux 1dxdxux§６．可降阶的高阶微分方程 （本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法）一．y (n)f (x) 型微分方程――――这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分 n 次，就可得其通解．二． y ''f ( x, y ') 型微分方程首先此方程 y '' f ( x, y ') 的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y ＂．此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令pdy ，则d 2 y dpdx dx 2，dx进而原方程转化为：dpf ( x, p) ―――这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的dx解法去求解．．．．．得其通解设为p( x, c 1 ) 又 pdy ，也即有dy ( x, c 1 )dy(x,c 1) dx ，最后只要两边再作dx dx一次积分，就可得原二阶显微分方程的解．三．y '' f ( y, y ')型微分方程首先方程 y ''f ( y, y ') 的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x ＂． 此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令pdy ，则 d 2y dp dp dypdp，进而原方dxdx 2dx dy dxdy程转化为pdpf ( y, p) ――这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去dy求解．．．设得其通解为 p( y,c 1 ) 又 pdydy dy，也即有( y, c 1 )dx，最后只要两边再作一次积分，dx dx( y, c 1 )就可得原二阶显微分方程的解．四．例题分析Ｐ 292． 1．（ 5）求解方程：y'' y ' x解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量y ，即 y'' f (x, y ') 型．接着可令pdy d 2 y dp dp x p ．―――这是一阶线性非齐次方程dp ，则dx 2dx，进而原方程转化为：p x ．dxdxdxp 1dxx e1dxc] e x [ xe x dx c] x e2 x ce x；由一阶线性非齐次方程的通解公式知： e [ dx进而知：p dy x e2x ce x dy (e2 x ce x x)dx ，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．．dx五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画．即将微分方程的自变量 x 与因变量 y 都表达成某个参数p 的函数式的形式．例如：Ｐ 292 ．1．（4）求解方程：y '' 1 y '2 ．解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x 和y，它同属 y '' f ( x, y ') 与 y '' f ( y, y ') 型；所以解法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！先设p dy ，则 d 2 y dp．进而原方程转化为：dp 1 p21dp dx1dp dx．dx dx2 dx dx p2 p2 x arctan p c1―――这就求得了自变量x 关于参数p的函数式；以下再来求出因变量y 关于参数 p 的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．由p dy dy pdx1 pdp ，所以y1ln(1 p2 ) c2；dx p2 2x arctan p c1从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：1 p2 ) ．y ln(1 c22注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292 ．１．（ 8）；（9）；（10）．§７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！）一．二阶线性微分方程的定义：称形如： y '' P( x) y ' Q (x) y f ( x) ．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．（注：方程的左边对未知函数y 及其导数y ', y ''这三者来说，是一次线性组合形式！）（ i ）. 当f (x) 0 时，则称 y '' P(x) y ' Q ( x) y 0 为二阶线性齐次微分方程．（ ii ） . 当f ( x) 0 时，则称 y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) 为二阶线性非齐次微分方程．二．二阶线性微分方程的解的结构１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂定理１：设y1 (x) 与 y2 (x) 都是二阶线性齐次微分方程y '' P( x) y ' Q(x) y 0 的解，则此两解的任意线性组合y A c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) 也是此二阶线性齐次微分方程的解．―――定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂．２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296 从略）特别地，两个函数y1 ( x) 与 y2 (x) 在区间Ｉ上线性相关y1 (x)常数，x Ｉ．y2 (x)３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构定理２：设y1 (x) 与 y2 (x) 是二阶线性齐次微分方程y '' P(x) y ' Q ( x) y 0 的解，且 y1 (x) 与 y2 (x) 线性无关，则此两解的任意线性组合y A c1 y1 ( x) c2y2 ( x) 就是原二阶线性齐次微分方程的通解．―――定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！４．二阶线性非齐次微分方程通解的结构定理３：设y* ( x) 是二阶线性非齐次微分方程y '' P(x) y' Q (x) y f ( x) ．．．（＊）的一个特解，且Y( x)是对应的二阶线性齐次方程y '' P( x) y 'Q( x) y 0 的通解，则y A Y( x) y* ( x) 就是原二阶线性非齐次微分方程（＊）的通解．―――定理３揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解y ＝齐次通解Y ＋非齐次特解y * ．５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297定理４）定理４：设有二阶线性非齐次微分方程y '' P(x) y 'Q ( x) y f (x) ，（其中 f ( x) f1( x) f 2 ( x) ．）而 y1 (x) 是 y '' P( x) y ' Q(x) y f1( x) 的特解，且y2 ( x) 是y '' P(x) y ' Q( x) y f 2 ( x) 的特解则 Y (x) A y1 ( x) y2 ( x) 就是原二阶线性非齐次方程y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) 的一个特解．―――定理４揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法．它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！６．定理５：设y1 (x) 与y2 (x) 是二阶线性非齐次微分方程y '' P( x) y ' Q(x)yf ( x) ．．．（＊）的两个不相等的特解，则 Y( x) A y2 (x) y1 (x) 是对应的二阶线性齐次方程y ''P( x) y ' Q ( x) y 0 的一个非零特解．―――此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！７．例题分析Ｐ326. １． (4) ．已知y1 1, y2 x, y3 x2是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为y'' P( x) y 'Q( x) y f ( x) ．．．．（＊），则由定理３知：非齐次通解 y ＝齐次通解 Y ＋非齐次特解y *，现由题意知＂非齐次特解y *＂可取y1 1, y2 x, y3 x2 之中的任意一个，故以下只要求出＂齐次通解Y ＂来即可．再由定理２知：＂齐次通解Y ＂是两个线性无关的齐次特解的任意线性组合即：Y( x) c1 Y1( x) c2 Y2 ( x) （其中Y1 (x), Y2 (x) 是两个线性无关的齐次特解）．而现在又应如何来求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据＂定理５＂来得到！由＂定理５＂知，可令：Y1 (x) @y2 ( x) y1 (x) x1 且 Y2 ( x) @y3 ( x) y1( x) x2 1 ，且显然两者线性无关，所以原非齐次方程的通解为y Y ( x) y1 ( x) c1 Y1 (x) c2 Y2 ( x) y1( x) c1 (x 1) c2 (x 2 1) 1．三．二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式１．二阶线性非齐次微分方程求解过程中的＂常数变易法＂．为了求解二阶线性非齐次微分方程y'' P( x) y ' Q( x) y f ( x) ．．．（１），可先求解与之对应的齐次方程；第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程y'' P( x) y ' Q( x) y 0 ．．．（２）的两个线性无关特解y1( x) 与 y2 ( x) ，则由定理２知： y A c1 y1( x) c2 y2 ( x) ．．．．（３）就是原二阶线性齐次微分方程（２）的通解；第二步：对齐次方程的通解（３）作常数变易，去构造生成非齐次微分方程（１）的解为 y A u( x) y1 (x) v( x)y2 (x) ．．．(４) （其中 u( x), v(x) 是两个待定的未知函数）；第三步：接下来将（４）式代入原非齐次方程（１）并设法去求出u(x), v(x) ，这样也就求出了原非齐次方程（１）的解了！――――这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法．２．二阶线性非齐次微分方程的通解公式定理６．设y1 (x) 与 y2 (x) 是二阶线性齐次方程y '' P( x) y' Q (x) y0 ．．．．．（１）的两个线性无关的特解，y1 y20 ，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) ．．．．．（２）记 Wy1'y1'有通解公式：y y2 f y1 dx y1 fy2dx．W W§８．常系数齐次线性微分方程（重点是掌握二阶线性常系数微分方程的有关理论！）一．二阶线性常系数微分方程的定义：在二阶线性微分方程：y '' P(x) y' Q (x) y 0 ．．．．（１）之中，(i) ．如果 y ', y 的系数 p(x), Q( x) 都是常数，即（１）式成为y '' py ' qy 0 （其中p, q为常数），则称其为二阶线性常系数微分方程；(ii) ．如果 p,q 不全为常数，则称y '' py ' qy 0 为二阶线性变系数微分方程．二．二阶常系数齐线性微分方程y'' py ' qy 0 的解法：（如下方法通常称为＂特征根公式法＂）第一步，写出原微分方程的特征方程r 2 pr q 0 ，并求出此方程的二个特征根r1, r2；第二步，根据特征根r1, r2的不同情形，原方程y '' py ' qy 0 的通解公式如下：(i)．若特征根 r1 , r2不相等，则原方程的通解为：y c1e r1x c2 e r2x；(ii) ．若特征根r1, r2为相等，则原方程的通解为：y (c1 c2 x)e r1x；(iii) ．若特征根r1 ,r2为一对共轭复根 r1,2 i ，则原方程的通解为：y e x (c1 cos x c2 sin x) ．三．二阶常系数齐次线性微分方程y '' py ' qy 0 的求解举例：参见教材Ｐ304--305 例１ ; 例２ ; 例３等．§９．常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！）一．关于二阶线性常系数非齐次微分方程y'' py ' qy f ( x) （其中p,q为常数）有如下结论：定理６＇：设y1( x) 与 y2 ( x) 是二阶线性常系数非齐次微分方程 y '' py ' qy 0 ．．．．．（１）的两个线性无关的特解，y1 y20 ，则与之对应的二阶线性非齐次方程y '' py ' qy f (x) ．．．．．（２）记Wy1'y1'有通解公式： y y f y1dx y f y2 dx ―――请记牢！2 W 1 W――――注：此定理６＇只不过是第七节中介绍的＂定理６＂的一个特例而已！二．常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例例如Ｐ 313. 例２．求方程y'' 5 y ' 6y xe2x的通解．解：由定理５＇应首先求对应的齐次方程y '' 5y ' 6 y 0 的通解，再运用定理５＇来求原非齐次方程的通解．易知齐次方程 y'' 5 y ' 6y 0 的特征方程为 r 2 5r 6 0 ，特征根 r1 2, r2 3 ．于是，齐次方程的两个线性无关的特解为y1 e2 x, y2 e3x W y1 y2 e5 x；y' y '1 1进而原非齐次方程的通解为：y y2 fy1 dx y1 f y2 dx e3x xe2 x e2 x dx e2 x xe2 x e3 x dx W W e5x e5xy e3x( xe x e x c1) e2 x ( 1x2 c2 ) d1e2x d2e3x 1 ( x2 x)e2 x．2 2三．本章杂例Ｐ 327． 7．设有可导函数( x) 满足( x)cos x 2x(t)sin tdt x 1 ，求 (x) ? 0分析与解答：这是一个＂积分方程＂，求解＂积分方程＂的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再来求解．现由( x)cos x x (t )sin tdt x 1 两边关于自变量Ｘ求导数得：2'(x)cos x ( x)sin x 2 (x)sin x 1 '(x)cos x ( x)sin x 1现记 y (x) ，则有 y 'cos x y sin x 1 y' y tan x secx ――这是＂一阶线性非齐次微分方程＂．y p ( x) dxQ( x) ep( x)dxc] y etan xdxsec x etan xdxc] sin x c cosx ．由通解公式得： e [ dx [ dx( x)cos x 2 x x 1 知，当x 0 时，则y (0) 1，所以c 1．又由条件(t )sin tdt综上得原方程的解为：y sin x cos x．四．综述＂求解微分方程的一般程序＂如下：第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？（我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：①可分离变量方程；②齐次方程；③一阶线性（非）齐次方程；④贝努利方程）；第二步，根据我们在本章所讲的各种方程的标准解法去求解！补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式，那么就首先考虑运用＂变量代换法＂将其转化为我们所熟悉的方程类型；然后再按上面的标准步骤去解决问题．第八章空间解析几何§１向量及其线性运算一 .一些基本概念①向量与自由向量; ②单位向量与零向量; ③向量的共线与共面; ④向量的模 , 方向角 , 以及投影等 .二 .向量的加法运算与数乘运算的定义三 . 向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达借助于空间直角坐标系，向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算．§２向量的数量积向量积混合积一．两个向量的数量积r r r r 为向量r r 之间的夹角）１．数量积的定义 a b |a | |b | cos , （其中a,bAr r r r r r２．数量积与投影之间的关系――― a b | a | Pr j a b | b | Pr j b ar r３．数量积的运算规律二．两个向量的向量积r r r rr r １．向量积的定义 a b | a | | b | sin , （其中 为向量 a,b 之间的夹角）Ar r２．向量积的模的几何意义：它表示以向量a, b 为邻边所成的平行四边形的面积． 三．三个向量的混合积r r r r r r１．混合积的定义[a,b,c] A (a b) cr r r ２．三个混合积的模的几何意义：它表示以向量a,b, c 为邻边所成的平行六面体的＂有向体积＂．r r rV ； (i) r r rr r r1．即 [ a,b, c]当 a, b, c 呈右手系时，1；(ii) 当 a,b, c 呈左手系时，§３ 曲面及其方程 一 . 曲面方程的概念r r rV 与某个三元方程 F (x, y, z) 0 的解之间能构成一一对应1.如果某曲面 S 上的点的坐标 M ( x, y, z)[ a, b, c], 则称这个三元方程F (x, y, z)0 为此曲面 S 的方程 ;2. 建立曲面方程的一般方法 : 首先在所求曲面上任取一点 M ，记其坐标为 M (x, y, z) , 然后利用该曲面的特征并将其等价地表达为点 M ( x, y, z) 的坐标应满足的条件式即可 !例如: 试求球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 半径为 R 的球面方程 ?uuuuuur解 : 设 M (x, y, z) 为所求球面上任意一点 , 则由 | M 0 M | Ruuuuuur(x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 )2即| M 0M |R所以 ( x x 0 )2( y y 0 )2 ( z z 0 )2R 2二 . 旋转曲面1. 旋转曲面的定义 ( 参见 P312)2.坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点:例如 : 将 yoz 坐标平面内的曲线Ｃ：f ( y, z) 0 绕Ｚ轴旋转所成旋转曲面S z 的方程只要将平面曲线Ｃ： f ( y, z) 0 的方程中的y代换为x 2 y 2 ，即得旋转曲面 S z 的方程为 f ( x 2 y 2 , z) 0 ．又如 : 将 zox 坐标平面内的曲线Ｃ：g( x, z) 0 绕Ｘ轴旋转所成旋转曲面 S x 的方程只要将平面曲线Ｃ： g ( x, z) 0的方程中的 z 代换为z 2 y 2 ，即得旋转曲面 S x 的方程为 g( x, z 2 y 2 ) 0．三. 柱面1. 柱面的定义 ( 参见 P314)2. 四种常见的柱面 :①圆柱面 x 2 y 2 2x 2 y 21; ③抛物柱面 y 22 px ; ④双曲柱面 x 2 y 21a ; ②椭圆柱面 a 2b 2 a 2 b 23. 二元方程在空间直角坐标系中的几何意义:二元方程在空间直角坐标系中的总表示一个母线平行于坐标轴的柱面. 例如 : 方程 f (x, y)0 表示的就是一个以 xoy 坐标平面内的曲线Ｃ：f (x, y) 0 为准线，母线平行于Ｚ轴的柱面．四 . 二次曲面1. 九种二次曲面的标准方程及其大致的曲面形状2.掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;例如： 椭圆锥面：x 2y 2 z 2的大致形状可以按如下方式分析：首先将曲面方程中的a 改成b，易知方程：x 2y 2 z 2a 2b 2a 2a 2表示的是一个旋转曲面，且它可以由xoz 平面内的两条对称直线： x 2z 2xaz 绕Ｚ轴旋转来生成；进而把a 2此旋转曲面沿y 轴方向伸或缩 b倍，即得椭圆锥面：x 2 y 2 z 2 的形状！aa 2b 2§ 4 空间曲线及其方程一 . 空间曲线的一般方程：即将空间曲线看成两张曲面的交线形式．设F ( x, y, z) 0 和G ( x, y, z) 0 是某两张曲面的方程，则它们的交线为F (x, y, z)G(x, y, z)；x x(t)二 . 空间曲线的参数方程yy(t) ，（有关定义参见Ｐ３２０）z z(t)三 . 空间曲线向坐标平面的投影曲线与投影柱面（定义参见Ｐ３２３）四 . 二个三元方程联立消元的几何意义联立消元的几何意义：实际上就是在求这两个方程联立的方程组所表示的空间曲线向某个坐标面内的投影柱面的方程．例如：试求球面 x2y 2 z 2 9 与平面 x z 1的交线在 xoy 坐标面上的投影柱面与投影曲线的方程？解：即需求空间曲线x 2y 2 z 2 9x z1，向 xoy 坐标面内的投影柱面与投影曲线的方程．为此，只要在上述方程组中消去变量Ｚ， 得x2y 2 (1 x)29 即为所需求的投影柱面的方程， 而上述空间曲线向 xoy坐标面的投影曲线的方程为x 2 y 2 (1 x) 2 9z 0．§ 5 平面及其方程r一 . 平面的点法式方程设某平面过一定点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 且以 n { A, B,C}为其法向量，则所求平面的点法式方程为：A( x x 0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0Ax ByCz D 0r{ A, B, C} 为其法向量的某一张平面）二 . 平面的一般式方程：（应知此平面是以向量 n 三 . 平面的截距式方程：xy z 1；数值 a, b,c 分别称为该平面在Ｘ，Ｙ，Ｚ轴上的截距．a b c四 . 两个平面的夹角两个平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角 （当其是锐角时） ，或者是指这两个平面的法向量之间的夹角的补角 （当其是钝角时）．五 . 点到面的距离公式设P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是空间中的任意一点，记其到平面：AxBy Cz D 0的距离为d，则d| Ax 0 By 0Cz 0D |．A 2B 2C 2§ 6 空间直线及其方程一 . 空间直线的一般方程A 1 xB 1 yC 1 zD 1 0( 或称交线式方程 ) ：．A 2 xB 2 yC 2 zD 2 0二 . 空间直线的点向式方程 ( 或称对称式方程 ) ：xx 0 y y 0 zz0 ．m np三 . 空间直线的参数式方程x x 0 mt由空间直线的点向式方程：x x 0y y 0z z 0@t ，得 yy 0nt 此即为该直线的参数式方程；mnpz 0 ptz 四 . 空间直线的两点式方程设有直线过两点M 1( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则此直线的两点式方程为x x 1 y y 1 z z 1 ．x 2 x 1 y 2 y 1z 2 z 1五 . 两直线的夹角两直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的夹角 （当其是锐角时） ，或者是指这两条直线方向向量之间的夹角的补角 （当其是钝角时）．六 . 直线与平面的夹角（定义参见Ｐ３３３） 七 . 平面束的方程及其在解题中的运用１．所谓＂平面束＂就是指经过某一定直线的所有平面的全体；平面束的方程可由此定直线的方程构造而得．A 1 xB 1 yC 1 zD 1 0A 1 ,B 1,C 1 与 A 2 , B 2 , C 2 不成比例，具体地说，若设直线Ｌ的方程为A 2 xB 2 yC 2 zD 2，其中系数则以直线Ｌ为轴的平面束的方程为：( A 1 x B 1 y C 1zD 1)( A 2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0．（注：不同位置的平面对应于不同的参数 ,的取值．）２．平面束的概念在解题中的运用例１：参见Ｐ３３５例７．例２：Ｐ３３６．８．求过点P(3,1, 2) 且过直线Ｌ： x4 y 3z的平面方程？5 2 1x 4 y 3 z ，得直线Ｌ的一般式方程为 2x 5 y 23 0 解：由直线Ｌ的对称式：21，5y 2 z 3 0从而由平面束的概念知：可设所求平面的方程为：(2 x 5y23) ( y 2z 3) 0 ．（其中 ,为待定系数！）．．．．．．．．（１）现由点 P(3,1,2) 在此平面上，所以应有 (2 3 5 1 23) [1 2 ( 2) 3] 0，解得 /11/ 4．最后，将此值代入方程（１）即得所需求的平面方程．八．点到直线的距离公式r设 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 直 线 Ｌ 外 一 点 ， s 是 直 线 Ｌ 的 方 向 向 量 且 点 M (x, y, z) 是 直 线 Ｌ 上 任 意 一 点 ， 则 点uuuuuur r M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 到直线Ｌ的距离ｄ的计算公式为： | M M s |d0 r（注：此式只要运用向量积模的几何意义即可证明！ ）| s |九．直线与平面的位置关系―――线与面的位置关系有如下四种：①线在面内；②线面平行；③线面垂直；④线面斜交．r r现设直线Ｌ的方向向量为s ，平面 的法向量为 n ，则有如下结论：１．线在面内：２．线面平行：３．线面垂直：r rL s n 且A( x 0 , y 0 , z 0 ) L 但 A( x 0 , y 0 , z 0 ) ； L P r r s n ， A(x 0 , y 0 , z 0 ) L 且 A(x 0, y 0 , z 0 ) ；Lr r ４．线面斜交： Lr rs Pn ；不成立s Pn 不成立；十．本章有关的一些解题技巧１．求交点类问题： 在此类问题中，运用直线的参数式方程来求解常常过程要简单一些．x 2 y3 z 42xy z6 0的交点？例如：试求直线Ｌ：1 1与平面 2x t 2解：易知直线Ｌ的参数为y t3 ，将其代入平面 2x y z 6 0 的方程，z 2t 4得2(t 2) (t 3)(2t 4)6 0，解得t1 ，进而知交点的坐标为 (1,2,2) ．２．求距离类问题有时也可用直线的参数式来求解．例如：Ｐ３３６．１３．求点P(3, 1,2) 到直线Ｌ：xy z 1 0的距离ｄ＝？2xyz 4解：直线Ｌ： x y z 1 0x y z 1 0 x y z 1 0y 2 z2x y z 4 03x 3 0x 1，x 1x1 y 2z 0 x 1 y t 2；11z t设点Ｍ为直线Ｌ上的一动点其坐标可设为M (1,t 2, t) ，uuur 2(1 3) 2(t 2 1) 2(t 2)22t 26t 9 2(t3 ) 29则有|MP |2 ，uuur2知当t 32 为最短！此时，点Ｍ的坐标M (1,t 2, t )(1, 1,3) ． 时，距离 d=|MP|=3222 2――― ( 注：本题中也演示了空间直线的三种方程形式之间的互化技巧，以后可做参考！)３．已知平面上一点时求平面的方程时，点法式写方程是我们求解平面方程的基本思路．x 2 y z 1 0 和L 2: 2x y z 0例如：Ｐ３３６．１１．求过点 A(1,2,1)而与直线L 1 :yz 1 0 x y z 都平行的平面方程？x分析：现已知平面上一点A(1,2,1) ，所以只需求得此平面的一个法向量来即可得此平面的点法式方程．ur uur r 解：记这两条直线的方向向量分别为n1, n2 ，而所以平面的法向量设为n ，ur{1,2, 1} {1, 1,1} {1, uur1,1} {1, 1,1} {0, 1, 1}，则由n2, 3}, n {2,1 2r ur uur( x 1) ( y 2) ( z 1) 0．进而n n1 n2 { 1,1, 1} ，所以所求平面的方程为：。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品
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则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
高等数学下册习题答案详解
高等数学下册习题答案详解高等数学是大学数学的一门重要课程，它涵盖了微积分、线性代数、概率论等内容。
在学习过程中，习题是检验学生理解和掌握程度的重要方式。
下面将详细解答高等数学下册的一些典型习题，帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1.微分方程习题解答微分方程是高等数学下册中的重要内容之一。
下面我们来解答一个经典的微分方程习题：已知微分方程dy/dx = 2x + 3，求其通解。
解答：首先将方程变形为dy = (2x + 3)dx，然后对两边同时积分，得到∫dy = ∫(2x + 3)dx。
对左边进行积分得到y = ∫dy = y + C1，其中C1为常数。
对右边进行积分得到∫(2x + 3)dx = x^2 + 3x + C2，其中C2为常数。
将上述结果代入原方程，得到y = x^2 + 3x + C2 - C1，即为微分方程的通解。
2.向量习题解答向量是高等数学下册中的另一个重要内容。
下面我们来解答一个向量习题：已知向量a = (1, 2, -3)和向量b = (4, -1, 2)，求向量a和向量b的数量积和向量积。
解答：向量a和向量b的数量积为a·b = 1×4 + 2×(-1) + (-3)×2 = 4 - 2 - 6 = -4。
向量a和向量b的向量积为a×b = (2×2 - (-3)×(-1), (-3)×4 - 1×2, 1×(-1) - 2×4) = (7, -14, -9)。
3.级数习题解答级数是高等数学下册中的另一个重要内容。
下面我们来解答一个级数习题：已知级数∑(n=1)^(∞) 1/n^2 是收敛的，求级数∑(n=1)^(∞) 1/n^4 的和。
解答：由已知的级数∑(n=1)^(∞) 1/n^2 是收敛的可知，其和为π^2/6。
因为级数∑(n=1)^(∞) 1/n^4 是收敛的，所以存在一个常数S使得∑(n=1)^(∞) 1/n^4 = S。
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。
然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。
为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。
第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。
2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。
答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。
考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。
根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。
根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。
经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。
观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。
因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。
2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。
根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。
对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
高等数学第七章习题册答案
高等数学第七章习题册答案高等数学第七章习题册答案高等数学是大学数学的一门重要课程，其中第七章涉及到的内容主要是微分方程和级数。
习题册是学生们用来巩固和提高自己数学水平的重要工具。
在这篇文章中，我将为大家提供高等数学第七章习题册的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一章的知识。
1. 题目：求微分方程$\frac{dy}{dx}=2x+3$的通解。
解答：首先将微分方程化为标准形式$\frac{dy}{dx}-2x=3$，然后求出其齐次方程$\frac{dy}{dx}-2x=0$的通解$y_c=Ce^{2x}$，其中$C$为常数。
接下来，我们需要求出非齐次方程$\frac{dy}{dx}-2x=3$的一个特解$y_p$。
根据常数变易法，我们可以猜测特解的形式为$y_p=Ax+B$，其中$A$和$B$为待定常数。
将$y_p$代入非齐次方程，得到$\frac{d(Ax+B)}{dx}-2x=3$，整理后可得$A=2$和$B=-3$，即特解$y_p=2x-3$。
最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，即可得到原微分方程的通解$y=y_c+y_p=Ce^{2x}+2x-3$。
2. 题目：求微分方程$\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+4y=0$的通解。
解答：首先将微分方程化为特征方程$r^2-4r+4=0$，解得$r=2$，因此特征根为重根$r_1=r_2=2$。
根据特征根的重根性质，我们可以得到齐次方程的通解$y_c=(C_1+C_2x)e^{2x}$，其中$C_1$和$C_2$为常数。
接下来，我们需要求出非齐次方程的一个特解$y_p$。
根据待定系数法，我们可以猜测特解的形式为$y_p=Ae^{2x}$，其中$A$为待定常数。
将$y_p$代入非齐次方程，得到$4Ae^{2x}-4\cdot2Ae^{2x}+4Ae^{2x}=0$，整理后可得$A=0$，即特解$y_p=0$。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分方程)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。
(2021年整理)高等数学同济第七版7版下册习题全解
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数，故/, = Jj（ x2 + y1)3d（j = 2jj（x2+ y1) 3dcr。
fh i)i又由于D3关于；t轴对称，被积函数（/ +r2）3关于y是偶函数，故jj(x2+j2）3dcr =2j（x2+y2)3da=2/2.Dy 1）：从而得/, = 4/2。
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, —y）= -f(x,y)，PJjf/(x，y）da =0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y）关于：c是奇函数，即/（～x，y) = -/（太，y），则=0.D«3。