第7课时 分式方程及其应用
分式方程及其应用ppt
溶液平衡
分式方程可以描述溶质在溶液中的溶解平衡，为 分离和提纯提供理论指导。
环境化学
分式方程可以描述污染物在环境中的迁移和转化 ，为环境保护和污染治理提供依据。
04
分式方程与因式分解的联系
分式方程转化为整式方程
通过因式分解将分式方程转化为整式方程，可以简化计算， 提高解题效率。
分式方程的分类
简单的分式方程
只包含一个分式的方程，如 y = 5/x。
复杂的分式方程
包含多个分式的方程，如 (x² - 4)/(x² + x - 2) = 3。
分式方程的解法
转化成整式方程
通过数学方法将分式方程转化成整 式方程，然后求解未知数。
观察法
对于简单的分式方程，可以通过观 察分式的规律来求解。
验根的方法
将所求解代入最简公分母中，若最简公分母的值为0，则说明该解为增根，需要舍去；若 最简公分母的值为非0，则说明该解为有效解，保留。
注意分式方程的增根问题
增根的产生原因
分式方程求解时，若去分母后所得整式方程无解，或者求解 后所得的解代入最简公分母中使得最简公分母的值为0，则会 产生增根。
增根的解决方法
代数式的化简
分式可以用于代数式的化简，通过分式化简可以将复杂的 代数式化为简单的形式。
分式的化简方法包括约分、通分、分式的加减法等，可以 根据不同情况选择合适的方法进行化简。
方程组的解法
分式方程可以用于求解方程组，通过将方程组中的各个方程都转化为分式方程， 可以方便地求出方程组的解。
分式方程组的解法包括克莱姆法则、高斯消元法等，可以根据不同情况选择合适 的方法进行求解。
2014中考数学复习课件7分式方程及应用-第一轮复习第二单元方程(组)和不等式(组)
(2) 该工程由甲、乙两队合作完成，所需时间为 1 1 1÷( ＋ )＝18(天)； 30 1.5×30 该 工 程 施 工 费 用 是 18×(6 500 ＋ 3 500) ＝ 180 000(元)． 答：该工程的施工费用是 180 000 元．
考点训练
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1 1．分式方程 ＝1 的解为( A 2x－3 A．x＝2 C．x＝－1 B．x＝1 D．x＝－2 )
x 6 1 5．解方程： ＋ 2 ＝ . x＋3 x －9 x－3 解：方程两边都乘(x＋3)(x－3)，得 x(x－3)＋6＝x＋3. 化简整理，得 x －4x＋3＝0.
2
解得 x＝ 1 或 3. 经检验，当 x＝ 3 时， x－ 3＝ 0. 所以 x＝ 3 是分式方程的增根． 所以原分式方程的解是 x＝ 1.
7．下列四个结论中，正确的是( D
)
1 A．方程 x＋ ＝－2 有两个不相等的实数根 x 1 B．方程 x＋ ＝1 有两个不相等的实数根 x 1 C．方程 x＋ ＝2 有两个不相等的实数根 x 1 D．方程 x＋ ＝a(其中 a 为常数，且|a|＞2)有两个 x 不相等的实数根
x2＋2x＋1 1 解析：由 x＋ ＝－2，得 ＝0，解得 x1＝ x x x2－x＋1 1 x2＝－1，∴A 项错误；由 x＋ ＝1，得 ＝0， x x 令 x2－x＋1＝0.∵Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，∴B x2－2x＋1 1 项错误； 由 x＋ ＝2， 得 ＝0， 解得 x1＝x2＝1， x x
根据题意可得方程为( B 2 300 2 300 A. ＋ ＝33 x 1.3x 2 300 4 600 C. ＋ ＝33 x x＋1.3x
) 2 300 2 300 B. ＋ ＝33 x x＋1.3x 4 600 2 300 D. ＋ ＝33 x x＋1.3x
分式方程及其应用
学员日校： 年 级 课时数：2
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：王老师
课 题
分式方程及其应用
授课时间：
备课时间：
教学目标
1、学会解分式方程的几种方法
2、学会解与分式方程有关的应用题
重点、难点
学会解与分式方程有关的应用题
考点及考试要求
教学内容
知识要点：1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
例4．若关于 的方程 有增根 ，求 的值。
例5.解方程：
例46解方程：
课堂练习
1.若方程 无解，则 的值为____________
2．若 无解，则m的值为____________
3．关于x的方程 会产生增根，则m为____________
4．若关于x的方程 产生增根，则m＝________________；
6． 取何值时，方程 会产生增根
中考题解：
例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）
A.B.
C.D.
例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款
8．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．
A.B.C.D.
2.如果关于x的方程
分式方程及其应用课件
分式方程在科研中的应用
01
生物学
分式方程可以描述基因表达、细胞增殖等生物学过程，帮助生物学家
研究生命的本质。
02
物理学
分式方程在物理学研究中广泛应用于量子力学、相对论和复杂系统等
领域，帮助科学家探索物理世界的奥秘。
03
化学
分式方程可以描述化学反应的动态过程，帮助化学家研究新的化学反
应路径和优化化学反应条件。
助工程师设计高效的机械设备。
分式方程在日常生活中的应用
物理学
分式方程可以描述物体的运动规律，例如加速度、速度和位移之间的关系，帮助我们解决 日常生活中的力学问题。
医学
分式方程可以描述生理参数之间的关系，例如药物在人体内的吸收、分布和代谢情况，帮 助医生制定更有效的治疗方案。
经济学
分式方程可以描述经济变量之间的关系，例如消费、投资和经济增长之间的关系，帮助政 策制定者制定有效的经济政策。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中含未知数的形式的问题，但 有些问题不适合使用分式方程
。
解法有限
分式方程的解法有限，没有通 用的解法，需要根据具体问题
选择合适的解法。
精度有限
分式方程的精度有限，无法得 到高精度的解。
分式方程的应用前景
分式方程及其应用课件
xx年xx月xx日
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
中考数学考点07分式方程及其应用总复习(原卷版)
分式方程及其应用【命题趋势】在中考中.解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程.解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。
【中考考查重点】一、能解可化一元一次方程的分式方程二、能根据具体问题的实际意义.检验方程的解是合理考点一：解分式方程1．（2021•广州）方程＝的解为（）A．x＝﹣6B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝6 2．（2021•贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（）A．1B．0C．﹣1D．无解3．（2021•饶平县校级模拟）在下列方程中.（）是分式方程．A ．＝1B ．C ．D ．4．（2020•郴州）解方程：＝+1．考点二：分式方程的实际应用行程问题时间速度路程= 工程问题 工作完成时间工作效率工作总量= （当题干中没有给出具体工作总量时.默认工作总量为1）购买问题总量单价总价= 航行问题顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度【提分要点】双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题5．（2021•黔西南州）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为xkm/h.依题意.下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．＝36．（2021•黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间.甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资.甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后.乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工.则根据题意列得方程（）A．B．C．D．7．（2021•市中区三模）开学在即.由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同.且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍.则第二次购买口罩的单价是元．8．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场.就用4000元购进一批衬衫.面市后果然供不应求.该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫.所购数量是第一批购进数量的2倍.但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．1．（2021秋•遵化市期中）下列哪个是分式方程（）A．﹣﹣3x＝6B．﹣1＝0C．﹣3x＝5D．2x2+3x＝﹣2 2．（2021秋•江油市期末）一艘轮船在两个码头之间航行.顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h.则轮船在静水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h3．（2021•张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书.现用A、B两种不同的包装箱进行包装.单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本.则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．4．（2021•安阳二模）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车.达到世界先进水平.安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米.乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟.已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时.设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时.根据题意可列方程（）A．﹣＝2.6B．﹣＝2C．﹣＝D．﹣＝25．（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．1．（2021•阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3.则m的值为（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1 2．（2021•百色）方程＝的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝33．（2021•巴中）关于x的分式方程﹣3＝0有解.则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2 4．（2021•兴安盟）若关于x的分式方程+＝2无解.则a的值为（）A．﹣1B．0C．3D．0或3 5．（2021•鄂尔多斯）2020年疫情防控期间.鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要.花1万元购买了一批口罩.随着2021年疫情的缓解.以及各种抗疫物资充足的供应.每包口罩下降10元.电信公司又花6000元购买了一批口罩.购买的数量比2020年购买的数量还多100包.设2020年每包口罩为x元.可列方程为（）A．B．C．D．6．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十.粝米三十…”（粟指带壳的谷子.粝米指糙米）.其意为：“50单位的粟.可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）.若按照此“粟米之法”.则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升7．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中.需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响.实际施工时每天的工效比原计划增加25%.结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道.根据题意.所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝308．（2021•大庆）解方程：+＝4．1．（2014•日照校级模拟）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2；③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021•安徽模拟）若x＝6是分式方程的根.则a的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4 3．（2021•郯城县模拟）分式方程＝0的解是（）A．1B．﹣1C．±1D．无解4．（2021•西湖区校级三模）某生产厂家更新技术后.平均每天比更新技术前多生产3万件产品.现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产产品x万件.则可以列方程为（）A．B．C．D．5．中国高铁目前是世界高铁的领跑者.无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km.乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h.已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h.则下面所列方程中正确（）A．﹣＝3.6B．﹣＝3.6C．﹣＝3.6D．＝3.6﹣6．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌.现有A、B两个商家.A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数.则A商家每张餐桌的售价为（）A．197元B．198元C．199元D．200元7．（2021•碑林区校级模拟）解方程：＝1﹣．。
备战九年级中考数学一轮复习第7课 分式方程的解法及应用(全国通用)
(1＋50%)x km/h，依题意，得：25
解得 x＝50，
x
x
30
50%
x
6 60
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴(1＋50%)x＝75.
答：走路线B的平均速度为75 km/h.
A组 10．(202X·南京)方程 x x 1 的解是__x___14___．
x 1 x 2
11．(202X·广州)方程
1
2
4 x2
4
1.
解：方程两边都乘(x2－4)，得 x＋2－4＝x2－4， 解得x1＝2，x2＝－1 检验：当x＝2时，x2－4＝0， ∴x＝2不是原分式方程的解 当x＝－1时，x2－4≠0， ∴原分式方程的解为x＝－1.
考点2 分式方程的应用
8.【例4】(广东中考)某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店
2.(202X·抚顺)随着快递业务的发展，某快递公司为快递员更换
了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到
4 200件，平均每人每周比本来多投递80件，若快递公司的快递
员人数不变，求本来平均每人每周投递快件多少件？设本来平
均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为( D )
A.3000 4200 x x 80
50%)x元/件，
依题意，得： 7200
1+50%
x
3200 x
40,
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴(1＋50%)x＝60，32x0080, Nhomakorabea7200
1 50%
x
120
答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购
进甲商品120件，购进乙商品80件．
第7讲 分式方程的应用
第7讲分式方程的应用一、学习目标1.能列分式方程解决实际问题.2.能根据实际意义检验解的合理性.考情分析分式方程是作为某些类型问题的数学模型，具有整式方程不可替代的特殊作用，也是中考考查的重要知识点，在中考中，一般在解答题中单独考查，有时也在选择题中考查列分式方程的能力.二、基础知识·轻松学列分式方程解应用题同列整式方程解应用题的步骤一样，有以下几步：1.审. 即审题. 弄清题意及已知量和未知量，找出题中的等量关系，明确涉及的基本数量关系.2.设. 即设未知数. 选择一个适当的未知量设为未知数，并用次要等量关系或基本数量关系用含未知数的代数式表示其它未知量．3.列. 即列方程．根据题中的主要等量关系列出分式方程．4.解．即解方程．其过程可以省略．5.验．即检验．首先检验所得的解是不是所列分式方程的解；再检验所得方程的解是否符合题意（即是否符合实际意义）．6.答．即写答案．注意答案中要写出单位名称．三、重难疑点·轻松破1.列分式方程解应用题列分式方程解应用题的关键是寻找等量关系，一般涉及几种未知量就从这几种未知量方面依次寻找等量关系. 如涉及“单价，数量，总价”，若单价、数量未知，就分别从单价、数量方面寻找等量关系.设未知数时，一般以题目所求的量方面的等量关系为依据设未知数，以其它等量关系为依据列方程. 如问题求甲、乙的单价，可设甲的单价，并利用单价方面的等量关系表示出乙的单价，再利用数量方面的等量关系列方程. 当然也应具体问题，具体分析.将等量关系（文字等式）译为数学符号的过程即为列方程，在列分式方程的过程中，一般用基本数量关系将各个量沟通，如甲的数量=甲的总价甲的单价. 注意量之间的对应关系，不要混淆.例1 上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元. 求两批水果共购进了多少千克？解析：存在两个等量关系“第二批购进水果的重量=第一批的2.5倍”，“第二批单价=第一批单价+1元”. 由于问题所求为两批水果的重量，因此可利用重量方面的第一个等量关系设未知数，利用第二个等量关系列方程.设第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2.5x千克，依题意得：55002000-=.12.5x x去分母，得5500-5000=2.5x.解之得：x=200.经检验x=200是原方程的解.所以x+2.5x=700.答：这两批水果共购进700千克.点评：列分式方程解应用题要做到认真审题，理解题意，会找等量关系，能够根据列方程的需要或直接或间接设未知数，能够根据基本数量关系列代数式表示出各个未知量，从而快捷列出分式方程.变式1：某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．（1）求该种纪念品4月份的销售价格；（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？2.行程问题行程问题涉及的基本数量关系是：路程=速度×时间，一般地，由题意可找到速度、时间两方面的等量关系. 若问题所求的量是速度，则可利用速度方面的等量关系设未知数，并利用时间方面的等量关系列分式方程；若问题所求的量是时间，则可利用时间方面的等量关系设未知数，并利用速度方面的等量关系列分式方程.例2小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．解析：由题意可找到下面两个等量关系：从速度看：去时的速度=回时速度×1.2，从时间看：去时的时间=回时的时间+20分钟.可据时间方面的等量关系列方程解决问题.设小丽所乘汽车返回的平均速度是x千米/时，根据题意得：844520-=.1.260x x解这个方程，得x=75.经检验，x=75是所列方程的解．答：小丽所乘汽车返回时的速度是75千米/时．变式2：甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？四、课时作业·轻松练A.基础题组1. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为()A．108010801215x x=+-B．108010801215x x=--C．108010801215x x=-+D．108010801215x x=++2. 小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是()A．40340204x x=⨯+B．40340420x x=⨯+C．40140204x x+=+D．40401204x x=-+3. 商店里有甲、乙两种笔，甲种笔的价格比乙种笔的价格每枝贵6元，90元买甲种笔与60元买乙种笔的枝数相等，则甲种笔每枝________元.4.冬冬全家周末一起去南部山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？5. 某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个. 求第一次每个书包的进价是多少元?6. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种13，结果提前4天完成任务.原计划每天种多少棵树？B.提升题组7. 某商店销售一种休闲上装，9月份的营业额为5000元．为了扩大销售，在10月份将每件上装按原价的8折销售，销售量比9月份增加了20件，营业额比9月份增加了600元．设9月份每件上装的售价为x元，则可列方程为()A.50005000600200.8x x--= B.50006005000200.8x x+-=C.50006005000200.8x x+=- D.50006005000200.8x x+-=8. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距聚会还有42分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1分钟，然后骑自行车（匀速）返回学校，已知李明骑自行车的速度是步行速度的3倍，李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分钟.（1）李明步行的速度是多少米/分？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？9.铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折（“七折”即定价的70﹪）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？10.某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼装修工程．如果由甲、乙两队合做，12天可以完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队单独完成所用的时间是乙队单独完成所用时间的23．（1）求甲、乙两队单独完成此工程所需的时间．（2）若请甲队施工，公司每日需付费用2000元；若请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内，有下列三种方案；方案一：请甲队单独施工完成此工程；方案二：请乙队单独施工完成此工程；方案三：甲、乙两队合做完成此工程．以上三种方案哪一种费用最少？中考试题初体验11. （2013广东深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是()A.1440144010100x x-=-B.1440144010100x x=++C.1440144010100x x=+-D.1440144010100x x-=+12.（2013北京）列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．13. （2013湖南郴州）乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不太好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全倍售出，前后一共获得750元.求小李所进乌梅的数量.五、我的错题本参考答案：变式1：解：（1）设该种纪念品4月份的销售价为x 元，根据题意得209.070020002000-+=x x 解之得x = 50经检验x=50是所得方程的解所以该种纪念品4月份的销售价格是50元． （2）由（1）知4月份销售件数为502000= 40件，所以4月份每件盈利40800= 20元 5月份销售件数为40 + 20 = 60件，且每件售价为50 × 0.9 = 45，每件比4月份少盈利5元，为15元，所以5月份销售这种纪念品获利60 × 15 = 900元．变式2：解：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒， 根据题意，得60606501.2x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 解得x ＝2.5．经检验，x ＝2.5是方程的解，且符合题意． 所以甲同学所用的时间为：606261.2x+=（秒）， 乙同学所用的时间为：6024x=（秒）． 因为26＞24，所以乙同学获胜．课时作业·轻松练 A.基础题组1. B 解析：从题中可找到等量关系：单独使用B 型包装箱的数量=单独使用A 型包装箱的数量—12个，据此可列方程：108010801215x x =--. 2. A 解析：从题中可找到等量关系：乘出租车返回的时间=乘公交车去时的时间×34，可列方程40340204x x=⨯+. 3. 18 解析：设甲种笔的单价为x 元，则据题意，得90606x x =-. 解得x =18. 经检验x =18是所列方程的解. 所以甲种笔每枝18元.4.解：设油桃每斤x 元，则樱桃每斤2x 元，由题意得80802x x-=5 解这个方程得，x =8经检验，x =8是所列方程的解． 2x =16(元)答：油桃每斤8元，则樱桃每斤16元．5.解：设第一次每个书包的进价是x 元，则第二次进价为 1.2x 元，据题意，得3000240020 1.2x x -=. 解得x =50.经检验x =50是所列方程的根. 答：一次每个书包的进价是50元.6.解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树113x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭棵.根据题意，得4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解这个方程，得x =30.经检验x =30是原方程的解且符合题意. 答：原计划每天种树30棵. B.提升题组7. D 解析：从题中可找到等量关系：10月份的销售量—9月份的销售量=20件. 由此可列方程：50006005000200.8x x+-=.8.解：（1）设明步行的速度是x 米/分，21002100203x x -=. 解x =70.答：李明步行的速度是70米/分. （2）因为210021001414270370++=<´. 所以李明能在联欢会开始前赶到学校.9.解：（1）设试销时这种苹果的进货价是每千克x 元，依题意，得11000500020.5x x =⨯+. 解之，得 x =5经检验，x =5是原方程的解. （2）试销时购进苹果的数量为：500010005= (千克) 第二次购进苹果的数量为：2×1000=2000(千克) 盈利为： 2600×7＋400×7×0.7－5000－11000=4160(元)答：试销时苹果的进货价是每千克5元，商场在两次苹果销售中共盈利4160元． 10.解：（1）设乙队单独完成此工程所需的时间为x 天． 根据题意，得1112123x x +=． 解这个方程得x =30．经检验，x =30是所列方程的根．22302033x ==×（天）． 所以，甲队单独完成此工程所需时间为20天，乙队单独完成此工程所需的时间为30天．（2）方案一，费用为2000×20=40000（元）； 方案二，费用为1400×30=42000（元）；方案三，费用为（2000＋1400）×12=40800（元）． 所以，方案一费用最少． 中考试题初体验11. B 解析：从题中可找到等量关系：爸爸走的时间+10分=小朱走的时间. 据此可列方程：1440144010100x x =++. 12.解：设每人每小时的绿化面积为x 平方米．则有 18018036(62)x x-=+ 解得x ＝2.5.经检验x ＝2.5是所列分式方程的解． 答：每人每小时的绿化面积为2.5 平方米．13.解：本例用思路1求解：设小李进了xkg 乌梅，依题意，得3000300040%15020%(150)750x x x ⨯⨯-⨯⨯-= 解得x =200经检验x =200是方程的解 答：小李所进乌梅的数量是200kg .。
分式方程及其应用教案
分式方程及其应用教案一、教学内容本节课的教学内容选自教材第十二章第一节《分式方程及其应用》。
具体内容包括分式方程的定义、分式方程的求解方法以及分式方程在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解分式方程的概念，掌握分式方程的求解方法。
2. 能够运用分式方程解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点教学难点：分式方程的求解方法，特别是涉及复杂分式的方程求解。
教学重点：分式方程的定义，以及如何将实际问题转化为分式方程。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学PPT。
学具：学生用书、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个关于速度、时间和路程的问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题。
例：小明的速度是每小时5公里，他走了3小时，求小明走了多少路程？2. 分式方程概念讲解（10分钟）根据上述问题，引出分式方程的概念，讲解分式方程的定义及特点。
3. 分式方程求解方法（15分钟）以例题的形式，讲解如何求解分式方程，包括交叉相乘法、代入法等。
例题：求解方程 3/x = 4/54. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成几道分式方程的练习题，巩固所学知识。
5. 分式方程在实际问题中的应用（10分钟）讲解如何将实际问题转化为分式方程，并通过例题进行演示。
例题：某班有40名学生，一次数学考试的平均分为75分。
如果去掉一个最高分和一个最低分，平均分提高到77分。
求这个班的最高分和最低分。
6. 小组讨论与展示（15分钟）将学生分成小组，讨论并解决一个关于分式方程的实际问题，然后进行展示。
对学生的解答进行点评，强调解题方法和注意事项。
六、板书设计1. 分式方程的定义2. 分式方程求解方法3. 实际问题转化为分式方程的方法4. 典型例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）求解分式方程：2/(x+3) = 3/(x2)（2）某商店举行打折活动，原价为200元，打8折后价格为160元。
人教版数学九年级上册第7课时分式方程及其应用(ppt版)-课件
A的总价 A的单价
+ B的总价 B的单价
=总数量
(2)行程问题
路程 =时间, 同一路程 - 同一路程 =时间差（A速度
速度
A速度
B速度
＜B速度）
(2)工程问题
工作总量
=工作完成时间，
工作效率
1
特别地，当工作总量看做“1”时，工作时间 =工作效率
【注意】双检验：(1)检验是否为原方程的解；(2)检验
120300120 15, x x(120%)
解得x＝18， 经检验x＝18是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天铺设管道18米．
练习 已知某项工程由甲、乙两个施工队共同完成，乙
队先单独做2天后，再由两队合作10天完成全部工程．已
知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项 工程所需天数的 4 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项 工程各需几天？ 5
天每
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花，
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在子
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孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
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梅放
花；
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选的
择孩
在子
冬是
【名师提醒】解分式方程时一定要验根，否则有可能造
成某些方程产生增根．
提分必练
1.解方程： 5 3 . x4 x
2.解方程： x-3 = 4 . x-2 3 x
3.解方程：xx11(x32).
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分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
分式方程及其应用课件
密度与质量的关系
总结词
通过已知密度和质量，求体积
详细描述
密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。 已知密度和质量，就可以求出体积。例如，已知水的密度是1克/立方厘米， 质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
效率与成本的关系
总结词
通过已知效率和成本，求产量或收益
示例
例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3 是分母。
分式方程的分类
简单分式方程
只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程
包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的解法
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转化法
将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得 到未知数的值。
图像法
画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切 线求解未知数。
运动学问题
在物理学中，分式方程也经常用来解决运动学问题，例如计算物体的速度和 加速度。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，分式方程可以用来描述化学反应的速率，以及反应物和生成物之 间的比例关系。
溶液浓度问题
在化学中，分式方程也经常用来解决溶液的浓度问题，例如计算溶液的渗透压等 。
在工程中的应用
例子
解分式方程 $x+1\div x-1=3$，通过建立方程 $(x+1)(x1)=3$，解决了问题。
分类讨论思想
分类讨论思想
对于一些未知数的取值范围不明确的问题，需要分类讨论。
例子
解分式方程 $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x}=1$，需要考虑 x 的取值范围，当 x<0 时，方程无解；当 0<x<1 时，方程的解为 x=3-2\sqrt{2}；当 x>1 时，方程的解为 x=3+2\sqrt{2}。
《分式方程的应用》课件
欢迎来到本节课件，我们将一起探索分式方程的应用和解法。在实际生活中， 分式方程是一个非常重要的数学工具，具有广泛的应用。
什么是分式程
分式方程是含有未知量的有理式相等的方程。标准形式为 $ rac{a}{x} + b = rac{c}{x} + d$。
分式方程的解法
掌握分式方程的应用技巧，解决与时间、速度和距离相关的问题。
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工程问题解法演示
了解如何运用分式方程解决实际工程问题，提高问题解决能力。
总结
通过本课件的学习，我们希望学生们能够掌握分式方程的解法和应用。分式方程是一个重要的数学工具，并在 实际生活中有广泛的应用。
• 消去分母法 • 通分法 • 变量代换法
分式方程的应用
• 比例问题 • 混合问题 • 时间、速度、距离问题 • 工程问题
实例演练
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比例问题解法演示
通过实例演练，我们将展示如何运用分式方程解决比例问题。
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混合问题解法演示
让我们一起解决一些涉及混合问题的分式方程，加深理解。
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时间、速度、距离问题解法演示
人教版数学九年级上册第7课时 分式方程及其应用 (Word版) 教案
第二单元方程（组）与不等式（组）第七课时分式方程及其应用基础达标训练)1. 下列关于x的方程中，是分式方程的是()A. 3x＝12 B.x＋25＝3＋x4C. 1x＝2 D. 3x－2y＝12. (2017河南)解分式方程1x－1－2＝31－x，去分母得()A. 1－2(x－1)＝－3B. 1－2(x－1)＝3C. 1－2x－2＝－3D. 1－2x＋2＝33. (2017成都)已知x＝3是分式方程kxx－1－2k－1x＝2的解，那么实数k的值为()A. －1B. 0C. 1D. 24. (2017哈尔滨)方程2x＋3＝1x－1的解为()A. x＝3B. x＝4C. x＝5D. x＝－55. (2017滨州)分式方程xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）的解为()A. x＝1B. x＝－1C. 无解D. x＝－26. (2017聊城)如果解关于x的分式方程mx－2－2x2－x＝1时出现增根，那么m的值为()A. －2B. 2C. 4D. －47. (2017德州)某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是()A.240x－20－120x＝4 B.240x＋20－120x＝4C. 120x－240x－20＝4 D.120x－240x＋20＝48. (人教八上P159第8题改编)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器．根据题意可列方程____________．9. (2017宁波)分式方程2x＋13－x＝32的解是________．10. (2017南京)方程2x＋2－1x＝0的解是________．11. (2017六盘水)方程2x2－1－1x－1＝1的解为x＝________．12. (2017黄石)分式方程xx－1＝32（x－1）－2的解为________．13. (2017泰安)分式7x－2与x2－x的和为4，则x的值为________．14. (2017绵阳)关于x 的分式方程2x －1－1x ＋1＝11－x的解是________． 15. (2017攀枝花)若关于x 的分式方程7x －1＋3＝mxx －1无解，则实数m ＝________．16. (6分)(2017随州)解分式方程：3x2－x＋1＝x x －1.17. (6分)(2017宁夏)解方程：x ＋3x －3－4x ＋3＝1. 18. (6分)(2017眉山)解方程：1x －2＋2＝1－x 2－x . 19. (8分)(2017扬州)星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．20. (8分)(2017长沙二十九中模拟)某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． (1)求第一批购进书包的单价是多少元？(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？21. (8分)(2017广州)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，甲队比乙队多筑路20天．(1)求乙队筑路的总公里数；(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里．能力提升训练1. (2017凉山州)若关于x的方程x2＋2x－3＝0与2x＋3＝1x－a有一个解相同，则a的值为()A. 1B. 1或－3C. －1D. －1或32. (2017泰安)某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完，该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为()A. 10000x－10＝14700（1＋40%）xB. 10000x＋10＝14700（1＋40%）xC.10000（1－40%）x－10＝14700xD.10000（1－40%）x＋10＝14700x3. (9分)(2017毕节)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．(1)求这种笔和这种本子的单价；(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元钱刚好用完，并且笔和本子都要买，请列出所有购买的方案．答案1. C2. A3. D4. C【解析】去分母得：2x－2＝x＋3，解得x＝5，经检验x＝5是原分式方程的根．5. C【解析】去分母得：x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，去括号得：x＋2＝3，解得x＝1，∵当x＝1时，分式无意义即是原分式方程的增根，∴原分式方程无解．6. D【解析】去分母得：m＋2x＝x－2，解得：x＝－m－2，∵原方程出现增根，∴x＝2，把x＝2代入得m＝－4.7. D【解析】根据题意，第一次买了x本资料，第二次比第一次多买了20本，即第二次买资料(x＋20)本，第一次用了120元，则每本资料120x元，第二次用了240元，则每本资料240x＋20元，再由第二次每本资料比第一次优惠4元可知120x－240x＋20＝4.8.800x＋50＝600x9. x＝110. x＝211. －212. x＝7613. 314. x＝－215. 7或3【解析】去分母得7＋3(x－1)＝mx，整理得(m－3)x＝4，∵分式方程无解分为整式方程无解和整式方程的解为分式方程的增根，∴当整式方程无解时，则m－3＝0即m＝3；当整式方程的解为增根时，则x＝1，∴m－3＝4即m＝7，∴实数m的值为7或3.16.解：方程两边同乘以x(x－1)得：3＋x (x －1)＝x 2， 解得x ＝3，经检验，x ＝3是原分式方程的解， ∴分式方程的解是x ＝3.17. 解：方程两边同乘以(x 2－9)得： (x ＋3)2－4(x －3)＝x 2－9， 解得x ＝－15，经检验，x ＝－15是原方程的解． ∴原方程的解是x ＝－15.18. 解：去分母，得1＋2(x －2)＝－(1－x )， 去括号，得1＋2x －4＝－1＋x ， 移项，得2x －x ＝－1＋4－1， 合并同类项，得x ＝2， 经检验，x ＝2是原方程的增根， ∴原方程无解．19. 解：设小芳的速度为每分钟x 米， 依题意得：1800x －18001.2x ＝6， 解得 x ＝50，经检验，x ＝50是该分式方程的解，且符合题意， 答：小芳的速度为50米/分钟．20. 解：(1)设第一批购进书包的单价是x 元，依题意得： 2000x ×3＝6300x ＋4， 解得x ＝80，经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意， 答：第一批购进书包的单价是80元；(2)由(1)得，第一批购进书包的单价为80元，则第二批购进书包的单价为80＋4＝84(元)，则第一批购买了200080个书包，第二批购买了630084个书包， ∴200080×(120－80)＋630084×(120－84)＝3700(元)， 答：商店共盈利3700元．21. 解：(1)乙队筑路的总公里数为60×43＝80(公里)， 答：乙队筑路的总公里数为80公里； (2)设乙队平均每天筑路8x 公里， 则甲队平均每天筑路5x 公里，又∵由(1)知甲队筑路60公里，乙队筑路80公里， ∴甲队筑路605x 天，乙队筑路808x 天， 又∵甲队比乙队多筑路20天， ∴可列分式方程为605x －808x ＝20， 解得x ＝0.1，经检验，x ＝0.1是原分式方程的根， ∴8x ＝0.8，答：乙队平均每天筑路0.8公里． 能力提升训练1. C【解析】解方程x2＋2x－3＝0得x1＝1，x2＝－3，∵x＝－3是方程2x＋3＝1x－a的增根，∴x＝1是方程2x＋3＝1x－a的解，把x＝1代入方程2x＋3＝1x－a，得21＋3＝11－a，解得a＝－1.2. B【解析】∵第一批购进x件衬衫，第二批这种衬衫比第一批多40%，∴第二批购进的衬衫数为(1＋40%)x件，第一批购进衬衫的单价为10000x元，第二批购进衬衫的单价为14700（1＋40%）x元，根据第二批衬衫进价比第一批衬衫进价每件多10元，列方程得10000x＋10＝14700（1＋40%）x.3. 解：(1)设本子的单价为x元，则笔的单价为(x＋4)元，根据题意列方程得：30x＝50x＋4，解得x＝6，经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意，∴x＋4＝10，答：本子的单价为6元，笔的单价为10元；(2)设买本子a个，买笔b个，根据题意得：6a＋10b＝100，其中a＞0，b＞0，且a，b为整数，整理得a＝50－5b3，则b＜10，且50－5b是3的倍数，∴a，b的取值如下表：a b15 110 45 7则满足条件的a，b有3组，即所有的购买方案有3种：第一种：买1支笔，15个本子；第二种：买4支笔，10个本子；第三种：买7支笔，5个本子．。
分式方程及其应用
分式方程及其应用◆ 课前热身1．方程121x x=-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．请你给x 选择一个合适的值，使方程2112x x =--成立，你选择的x =____________． 3.解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （ ）A ．18%)201(400160=++x xB ．18%)201(160400160=+-+xx Ｃ．18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 【参考答案】1. C2.33.2 y －y3=2 4.Ｂ ◆考点聚焦知识点:分式方程及其应用 大纲要求:1．了解分式方程的概念。
2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。
3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。
考查重点与常见题型:考查换元法解分式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中，另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在解答题中。
◆备考兵法（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.◆考点链接1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . ◆典例精析 例1（湖北孝感）关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2【分析】把分式方程化为整式方程，得21x a x +=-，解得1x a =--，因关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，所以0x >，即10a -->，∴1a <-，但2a =-时， 22211x x -=≠-，所以2a ≠-. 【答案】D 例2(陕西省)解方程：431222-=-+-x x x ． 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．解：去分母得：(x －2)2－(x 2－4)=3．－4x ＝－5． x ＝45． 经检验，x ＝45是原方程的解． 【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．例3（广西桂林）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？解：（1）设乙队单独完成需x 天根据题意，得11120()2416060x ⨯++⨯= 解这个方程，得x =90 经检验，x =90是原方程的解 ∴乙队单独完成需90天（2）设甲、乙合作完成需y 天，则有11()16090y += 解得36y =（天）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）乙单独完成超过计划天数不符题意．甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元） 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x•的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．◆迎考精炼一、选择题1.（湖北襄樊）分式方程131x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．－3 2.(上海)用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --= 3.(浙江嘉兴）解方程x x -=-22482的结果是（ ） A ．2-=x B ．2=xC ．4=xD ．无解 4.（安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．55.（广西柳州）分式方程3221+=x x 的解是（ ） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x二、填空题1.（四川宜宾）方程xx 527=+的解是 . 2.（浙江杭州）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为______． 3.（浙江台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为 ．4.（山西太原）方程2512x x=-的解是 ． 5．（黑龙江牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = ． 三、解答题1.（广东清远）解分式方程：132x x =-2.（北京）解分式方程：6122x x x +=-+3．（广东省）解方程22111x x =---．4.（湖北十堰）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？5．（山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=⨯利润成本）【参考答案】一、选择题1. D 分析：方程两边同乘()()31x x --，得()()()113x x x x -=+-，解得3x =-，经检验3x =-是原分式方程的解，故选D 。
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第二单元 方程（组）与不等式（组）第7课时 分式方程及其应用命题点1求分式方程中的字母值（遵义2015.7，黔西南州2016.17，毕节2考） 1. （2015遵义7题3分)若x =3是分式方程2102a x x --=-的根，则a 的值是( )A. 5B. -5C. 3D. -3 2. （2017毕节9题3分）若关于x 的分式方程721511x m x x -+=--有增根，则m 的值为( )A. 1B. 3C. 4D. 53. （2016黔西南州17题3分）关于x 的两个方程x 2-x -6=0与213x m x =+-有一个解相同，则m ＝_____________. 针对拓展4. 关于x 的分式方程52axx =-有解，则字母a 的取值范围是( ) A. a =5或a =0 B. a ≠0 C. a ≠5 D. a ≠5且a ≠05. 若数a 使关于x 的不等式组2122724x x ax -≤-+>+-⎧⎨⎩，有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2=222a y y+--有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A. 3B. 1C. 0D. -3 命题点2 解分式方程（铜仁3考，黔东南州2考，黔西南州3考） 6. （2017黔东南州7题4分）分式方程33=1-11x x x ++（）的根为（ ）A.-1或3B.-1C.3D.1或-3 7. (2014铜仁14题4分)分式方程：2113x x+=-的解为____________. 8. （2016铜仁13题4分)方程5302x x-=-的解为___________. 9. （2017黔西南州21（2）题6分）解方程21133x x x-+=--.10.(2014黔西南州21(2)题6分)解方程：21424x x =--.11. (2016黔东南州19题8分)解方程：214111x x x++=--.12.(2016黔南州20(2)题5分)解方程：281242x x x x -=--+.命题点3分式方程的实际应用（遵义2016.25，铜仁2015.23，毕节2考，安顺3考）13.（2016毕节13题3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为( ) A. 40030030x x =- B. 40030030x x =- C.40030030x x =+ D. 40030030x x =+ 14.（2014安顺14题4分）小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x 袋牛奶，则根据题意列得方程为. 15.（2015安顺21题10分)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元？16. （2016六盘水21题10分）列方程解应用题甲队修路500米与乙队修路800米所用天数相同，乙队比甲队每天多修30米，问甲队每天修路多少米？解：设甲队每天修路x米，用含x的代数式完成下表：关系式：甲队修500米所用天数＝乙队修800米所用天数根据关系式列方程为：解得：检验：答：17. （2017遵义25题（2）题6分）为践行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来，“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：问题：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a 辆“小黄车”，乙街区每1000人投放8240a a辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a 的值.18.（2015铜仁23题12分）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区.现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐篷所用车辆相等.（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷？（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种货车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其他装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？19. （2017毕节25题12分）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学.在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同. (1)求这种笔和这种本子的单价；(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和这种本子，计划100元钱刚好用完，并且笔和本子都要买，请列出所有购买的方案.答案1. A 【解析】将x =3代入2102a x x --=-=0，得210332a --=-=0, 解得a =5.2. C 【解析】分式方程两边同乘以（x -1），化为整式方程：7x +5（x -1）=2m -1，整理得x =26m +,∵分式方程有增根，∴x -1=0，即x =1，∴26m +=1，解得m =4. 3. -8【解析】解一元二次方程得x 1=-2，x 2=3，∵x =3使分式方程21+3x m x =-的分母为0，∴两个方程相同的解是x =-2， ∴13222m =-+--，解得m =-8. 4. D 【解析】,去分母得：52axx =-,去括号得：5x -10=ax ,移项，合并同类项得：(5-a )x =10.∵关于x 的分式方程52axx =-有解，∴5-a ≠0，x ≠0且x ≠2,系数化为1得：x =105a -,∴105a -≠0且105a -≠2,即a ≠5,a ≠0.综上所述，关于x 的分式方程52axx =-有解，则字母a 的取值范围是a ≠5且a ≠0.5. B 【解析】解不等式组得347x a x ≤-+>⎧⎪⎨⎪⎩，.∵原不等式组有且仅有四个整数解，∴-1≤47a -+<0，∴-4＜a ≤3；解分式方程得y =22a +,∵原分式方程有非负数解,∴y =22a +≥0，且y =22a +≠2，解得a ≥-2且a ≠2；综上，-2≤a ≤3，且a ≠2,∴所有的整数a 为：-2,-1，0，1，3，其和为：-2-1+0+1+3=1.6. C【解析】方程两边同时乘以x（x+1），得3=x（x+1）-3x，整理得x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，∴x1=3，x2=-1，检验：当x=3时，x （x+1）=12≠0;当x=-1时，x（x+1）=0，∴原分式方程的解为x=3.7. x=23【解析】分式两边同时乘以3-x，得2x+1=3-x,移项，合并同类项,得3x=2,系数化为1,得x=23，经检验,x=23是原方程的解.8. x=-3【解析】去分母得5x-3(x-2)=0,解得x=-3，经检验，当x=-3时，分母不等于0，∴x=-3是原方程的解.9. 解：去分母得:2-x-1=x-3，移项得：-x-x=-3-2+1,合并同类项得：-2x=-4,（3分）系数化为1得：x=2.检验：当x=2时，x-3=-1≠0，∴原分式方程的根是x=2.（6分）10. 解：去分母，得x＋2＝4，（2分）解得x＝2，（3分）检验：当x＝2时，（x+2）（x-2）=0,∴x=2不是原方程的根,（5分）∴原方程无解．（6分）11. 解：去分母：(x+1)2-4=x2-1,(2分)解整式方程，得：x=1,(4分)检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0,(6分)∴原方程无解.(8分)12. 解：方程两边同乘以x 2-4得：x （x +2）-8＝x -2，（1分） x 2+x -6=0，（x +3）（x -2）＝0，（2分） 解得：x 1=-3, x 2=2.（3分）经检验：x 1=-3是原方程的根，x 2=2是增根，（4分） ∴原方程的根是x =-3.（5分）13. A 【解析】根据题意可知，现在植树400棵所需时间为400x,原计划植树300棵所需时间为30030x -,∴可列方程：4003030x x =-.14. (x +2)(10x-0.5)=12【解析】关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”，∴等量关系为：周日买的牛奶的单价×周日买的牛奶的总数=总钱数.设他上周三买了x 袋牛奶，根据题意列得方程为： (x +2)(10x-0.5)=12. 15. 解：设第一批盒装花的进价是每盒x 元，（1分） 根据题意可得2×3000x = 50005x -，（5分） 解得x =30.（8分）经检验，x ＝30是原方程的根，且符合题意.（9分） 答：第一批盒装花每盒的进价是30元.（10分） 16. 解：表格中应填：x +30, 80030x +,（2分） 列方程为：30800500x x=+,（5分） 解得：x =50,（7分）检验：x =50既是分式方程的解，且满足题意.（9分）答：甲队每天修路50米.（10分）17. 解：由题意得：1000a ×1500+82000104a a +×1200=150000.（2分） 解得：a =15.（4分）经检验a =15是原方程的解.∴a =15.（6分）18. 解:(1)设乙种货车每辆装x 件帐篷,则甲种货车每辆装(x +20)件,根据题意得：201000800xx =+,（2分） 解得x =80.（4分）经检验x =80是原方程的解,且符合题意,则x +20=100.答：甲种货车每辆装100件，乙种货车每辆装80件账篷；（6分）(2)设乙种货车有y 辆,则甲种货车有(16-y )辆,根据题意，得100(16-y )+80(y -1)+50=1490，（8分）解得y =4,（10分）16-y =12,答：甲种货车有12辆，乙种货车有4辆.（12分）19. 解：（1）设这种本子的单价为x 元，则这种笔的单价为（x +4）元，根据题意列方程得：30504x x =+， 解得x =6，（4分）经检验：x =6是原分式方程的解，且符合题意，则x +4=10.（5分）答：这种本子的单价为6元，这种笔的单价为10元；（6分）（2）设买本子a个，买笔b个，根据题意得：6a+10b=100，其中a＞0，b＞0，且a，b为整数，整理得a=5035b-，则b＜10，且50-5b是3的倍数，因此，a，b的取值如下表：由表可知，满足条件的a,b有3种，即所有的购买方案有3种：第一种：买1支笔，15个本子；第二种：买4支笔，10个本子；第三种：买7支笔，5个本子.（12分）20.解：(1)设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均数度为1.5x米/分，根据题意可列方程2520252041.5x x-=，解得x=210.答：小张跑步的平均速度为210米/分.(4分)(2)由(1)知小张跑步的平均速度为210米/分，则小张从奥体中心跑步回家需要2520210=12分钟，从家骑车到奥体中心需要1.52520210⨯=8分钟，∵12+5+8=25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.(8分)。