第十六讲直线方程与简单的线性规划
【高中数学课件】简单的线性规划及实际应用ppt课件
画可行域，平行移动，通过解方程 组解最优解，答最优解与最值
1、二元一次不等式（组）表示的平面区域
例1、画出下列不等式（或组）表示的平面区域
1
x2
3
1 x 2 y 1 0
x 2y1 0
（2）．求不等式|x1||y1|2表示的平面区域 的面积
(1)z=6x+10y， (2)z=2x-y,
(3)z=2x-y，(x,y均为整数)
(4)z=-2x+y,
(5)z= x2 y2
（3）同上，作出直线 L0：6x+10y=0，再将直线 L0 平移，
当 L0 的平行线过 C 点时，可使 z=2x-y 达到最小值 12 5
当 L0 的平行线过 A 点时，可使 z=2x-y 达到最大值 8
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1
2
1
第二种钢板 1
1
3
天马行空官方博客：/tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
y
16 12
A
8
O
12
28
x
l2
l1
l3
解：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，
所用钢板面积为 z m2，则有：
x y 12 天2x马x行3yy空官1257方博客：h，ttpz ://xt.q2qy.c，om作/出tm可x行k域_docin ； QxQ:103,1y8204,1x1, y89；NQQ群：175569632
，得
l1
与
l3
的交点为
A（
9 2
,
15 2
），
简单的线性计划教案
简单的线性计划教案●教学目标（一）教学知识点1.线性计划问题，线性计划的意义.2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等大体概念.3.线性计划问题的图解方式.（二）能力训练要求1.了解简单的线性计划问题.2.了解线性计划的意义.3.会用图解法解决简单的线性计划问题.（三）德育渗透目标让学生树立数形结合思想.●教学重点用图解法解决简单的线性计划问题.●教学难点准确求得线性计划问题的最优解.●教学方式讲练结合法教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性计划问题.●教具预备多媒体课件（或幻灯片）内容：讲义P60图7—23记作§ A进程：先别离作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封锁区域）.再作直线l0:2x+y=0.然后，作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的转变.●教学进程Ⅰ.课题导入上节课，咱们一路探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，咱们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.Ⅱ.教学新课第一，请同窗们来看如此一个问题.设z =2x +y ，式中变量x 、y 知足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x求z 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所知足的条件来看，变量x 、y 所知足的每一个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.(打出投影片§ A)［师］（结合投影片或借助多媒体课件）从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R .可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )知足2x +y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大.（引导学生一路观察此规律）在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以通过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以通过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以：z m ax =2×5+2=12,z m in =2×1+3=3.诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，咱们把它称为目标函数.由于z =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性计划问题.例如：咱们适才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性计划问题.那么，知足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部份表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）别离使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做那个问题的最优解.Ⅲ.课堂练习［师］请同窗们结合讲义P 64练习1来掌握图解法解决简单的线性计划问题.（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x =0,y =0时，z =2x +y =0点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R .可知，在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以通过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m ax =2×2-1=3.（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在通过不等式组所表示的公共区域内的点时，以通过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以通过点（817,89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11. z m ax =3×89+5×817=14. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性计划问题的大体步骤：1.第一，要按照线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.Ⅴ.课后作业（一）讲义P 65习题（二）1.预习内容：讲义P 61～64.2.预习提纲：如何用线性计划的方式解决一些简单的实际问题.课 题有关概念 复习回顾约束条件 二元一次不等式表示平面区域 线性约束条件目标函数线性目标函数 例题讲解 课时小结线性规划问题 图解法解决线性规划问题的基本步骤 可行域最优解。
简单的线性规划说课
２
将上题中的目标函数改为 z=x2+y2, 求:z 的最大与最 小值。
x+y≤2 x≥0 y≥0
(五)、归纳小结、延伸提高
1、 小结 意义及有关概念
线性 规划
图解法 解题步骤 （ 注意事项：画图 要准确，注意数形结 合思想的应用）
应用（下一课时的内容）
2、 延伸
我们今天学的线性规划问题的图解法，能解决生活中 的一些实际问题（如引例）这也是我们下一节课学习 的内容。
(六)布置作业：
二、 教学方法及手段
首先创设情境，激趣导课。其次设置探究问题， 通过生生互动、自主合作探究学习。然后多项变式 练习,使学生能举一反三融会贯通。教师点拨、启发 引导,师生共同总结升华，同时采用多媒体辅助教学, 直观生动、化抽象为具体,提高课堂效益。
三、 说学法
本节课应着重强调学生自己动手，画符合条件 的区域，画变化中的直线，从几何的角度去理解好 问题。而教师创设疑问，精选范例，变式训练，通 过多媒体的启发点拨，使学生努力想办法解决问题， 这也体现了素质教育中学习能力的培养，达到了教 学目的。
例：设z=2x+y 式中变量x、y满足下列条件： x-4y= -3 3x+5y≤25 x≥1 (1) 指出约束条件及目标函数 (2) 画出可行域 (3) 求z的最大、最小值 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在 可行域的顶点处0y,求Z的最大 值和最小值。
（ 2 ）当Ｚ变化时，关于Ｘ、Ｙ的方程Ｙ = － 0.9 Ｘ + Ｚ 表示一组什么曲线？ （3）求z的最小值能否转化为求直线y= －0.9x+z在 y 轴上截距的最小值？
结论：
(1)若Ｚ是常数，Ｚ=0.9X+Y表示一条直线 令Ｘ＝０，则Ｙ＝Ｚ。∴Ｚ是这条直线在Ｙ 轴上的截距。 (2)是一组斜率为－0.9的平行直线。 (3)可以
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
高二数学课件：《简单的线性规划》
高二数学课件：《简单的线性规划》机遇如风，才智似帆，勤奋为桨，现实是水，欲一帆风顺，须据此努力。
学生掌握寻找整点解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握数形结合的数学思想，尽管侧重于用数研究形，但同时也用形去研究数，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.【课件二】教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点.教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用.【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的值和最小值.我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界.点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上.作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足.即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件.是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解.。
简单的线性规划
所表示的平面区域的公共部
分。
表示的平面区域
x－y+5=0
Y
x+y=0
O
X
解：不等式ｘ－ｙ＋５＞０表示
直线ｘ－ｙ＋５＝０上及右
x=3
下方的点的集合，ｘ＋ｙ≥０
表示直线ｘ＋ｙ＝０上及右上方的点的集合，ｘ≤３
表示直线ｘ＝３上及左方的点的集合。
巩固练习２：画出下列不等式组表示的平面区域：
y＜x
⑴ x+2y≤4 y≥－２
A(-3,1)
kMA
2 1 1 (3)
1 4
kMC
20 1 (1)
1
B(-2,0)
得 1 <k<1,即 1 b 2 1
4
4 a 1
b
C(-1,0) -2
M(1,2)
b=0 a
a+2b+1=0 a+b+2=0
例:已知实数x,y满足
4x y 10 4x 3y 20 x 0 y 0
1
a
2b
0
b0 o a 2b 1 0
1
2x
4 2a 2b 0 a b 2 0
将不等式组看成关于a,b的二元一次组, 用线性规划画出a,b满足的区域
k b2 a 1
b0 a 2b 1 0 a b 2 0
2.|x|+|y|<2表示正方形之内的区 域.
例3:求证:方程
(x-a)(x-b)+ (x-a)(x-c)
+ (x-c)(x-b)=0 有两个实根,其中一个根大于b,另一个根 小于b.
高中数学简单的线性规划
简单的线性规划【知识要点】1、二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般的，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面区域中，表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. (3) 二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：①可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正(或负)来判断Ax ＋By ＋C ＞0(或Ax ＋By ＋C ＜0)所表示的区域．当C ≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点． ②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：（ⅰ）y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域；y ＜kx ＋b 表示直线下方的半平面区域．（ⅱ）当B ＞0时，Ax ＋By ＋C ＞0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方区域； 当B ＜0时，Ax ＋By ＋C ＜0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＞0表示直线下方区域. 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( A x 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 2．简单线性规划(1)基本概念：目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等． 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组． 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )称为可行解． 可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域． (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数； ④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解； ⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解． 【例题讲解】例1、(1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为223a x y +=，由题意，得23231a+⨯>，解得a ＜－7．(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0， 所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2、(1)如图，写出能表示图中阴影部分的不等式组；解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤.022,1,0y x y x(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．(2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0， 所以⎩⎨⎧<->+0202b a b a ，或⎩⎨⎧>-<+0202b a b a ，点(a ，b )表示的平面区域如图所示．例3、（1）在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是解：作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。
简单的线性规划高二数学 教案
江西省南昌大学附属中学简单的线性规划高二数学胡凌云一、教材在本章节中的地位及作用1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性．2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力．二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答．2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．三、教学重点与难点1．教学重点：建立线性规划模型2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．教学手段新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况．3．学生课前准备坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔五、教学过程设计教学流程图(一)创设情境，新课导入(教师活动)通过多媒体创设情境(学生活动) 思考、并根据分析，尝试用坐标纸作图、解答．引例：某班班长赵彬预算使用不超过50元的资金购买单价分别为6元的笔筒和7元的文具盒作为奖品，根据需要，笔筒至少买3个，文具盒至少买2个，问他最多共买多少个笔筒和文具盒？请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题？设计意图：通过创设情境，自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关，激发学生的学习热情，明确本节课探究目标，同时又复习了线性规划问题的图解法．(二)例题示范，形成技能(教师活动)电脑打出例题，并作分析．(学生活动)思考、并根据分析，尝试解答．例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？[分析]本题是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成该项任务 （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质.（建模）① 确定变量及目标函数：第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板数为z 张，则z =x+y ② 分析约束条件；③ 建立线性规划模型；设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，由题中表格得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x试求满足上述约束条件的x, y ，且使目标函数z ＝x+y 取得最小值(其中x, y 均为正整数)．因此把实际问题转化为线性规划问题.（求解）④ 运用图解法求出最优解；用多媒体教学, 着重分析如何寻找最优解是整数解.⑤ 回答实际问题的解．解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x z=x+y ，作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线l : x+y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A ，且与原点距离最近，此时z=x+y 取最小值.解方程组215327x y x y +=⎧⎨+=⎩,,得交点A 的坐标（183955,），由于185和395都不是整数，所以可行域内的点(183955, )不是最优解.将直线l 1向可行域内平移，最先到达的整点为B(3,9)和C(4,8)它们是最优解，此时z 取得最小值12. 答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.[说明]这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法”，即打网格，描整点，平移直线l ，找出整点最优解．此法应充分利用非整点最优解的信息，作图要精确．设计意图：把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点，而寻找整点最优解则是例1的难点．为此本环节充分利用计算机辅助教学，投影题目及表格，作可行域，动态演示直线的平移过程等，不仅能够增大教学容量，而且能够使数学知识形象化、直观比，诱发学生在感情上参与；同时，多媒体教学通过对学生各种感官的刺激，以一种接近人类认知特点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构，能把课堂结构反映得更集中、典型、精粹，从而大大优化了课堂结构．例2某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过360 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？[分析] 本题是在资源一定的条件下，怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大． （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质，整理已知数据列成下表：产品消耗量 资源 甲产品（1t ）乙产品（1t ）资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石（t ） 5 4 200 煤（t ） 4 9 360 利润（元）6001000(建模)(1)确定变量及目标函数：若设生产甲、乙两种产品分别为x t, y t, 利润总额为z 元，则用x ，y 如何表示z ？(2)分析约束条件：z 值随甲、乙两种产品的产量x ，y 变化而变化，但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些制约因素? (3)建立线性规划模型：已知变量x,y 满足约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 求x, y 取何值时，目标函数z ＝600x +1000y 取得最大值，（求解）采用图解法求出最优解解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 目标函数为：z=600x+1000y . 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线l :600x+1000y=0, 即直线l :3x+5y=0,把直线向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x =36029≈12.3y=100029≈34.5答：应生产甲产品约12.3 t ，乙产品约34.5 t ，能使利润总额达到最大[说明]对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取近似值．按四舍五入取值即x =12.4,y =34.5时，虽然z=41940最大，但此时的x,y 不在可行域内．可以验证点（12.4,34.4）和(12.3,34.5)在可行域内，但当x =12.4,y =34.4时，z =41840；当x =12.3,y =34.5时，z =41880，因此按精确度取舍后的最优解点，可以离M 点“较远”，但必须离l 1距离最小．本例要求精确到0.1 t ，只需把坐标平面以0.1 单位网格化，在格点上找到离l 1距离最小的点，就是符合题意的最优解．设计意图：学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，本环节教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学生自主解决．用多媒体展示最优解的近似值．引导学生结合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤：(三)学生互动巩固提高(教师活动)电脑打出练习、要求学生独立解答．巡视学生解答情况，纠正错误．(学生活动)用坐标纸作图、解答．某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益?（答案：隔出大房间3间，小房间8间或者只隔出小房间12间就能获得最大收益．）（教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评）设计意图：巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用．(四)概括提炼，总结升华(引导学生从知识和思想方法两方面进行总结)1．本节课你学了哪些知识？2．本节课渗透了什么数学思想方法？(五)布置作业，探究延续1．课本作业：P65，习题7．4第3，5题．2．选做题：P88，第16题3．拓展题：通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例设计意图：强化基本技能训练，巩固课堂内容，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，以便及时矫正．(六)板书设计（略）(七)教学设计说明1．本节课是线性规划第三课时的教学内容，它以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想.2．学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键．3．对于应用问题而言，学生遇到的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，故将本节课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在同学们面前．以利于他们理解；分析完题意后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法． 4．本节课的设计，力图让学生在教师的指导下，从“懂”到“会”到“悟”，体会钻研的意识，品尝成功的喜悦，从而使学生在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高．。
简单的线性规划
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。
当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-+），这说明，截距3z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。
可以看到，直线233z y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z 最大时，z 取得最大值。
因此，问题可以转化为当直线233z y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距3z最大。
简单的线性规划最新课件
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
简单的线性规划最新课件
在关数据列表如下：
A种原料 B种原料
甲种产品
4
12
乙种产品
1
9
现有库存 10
60
利润 2 1
x
-
5y
3
5x 3y 15
求z=3x+5y的最大值和最小值。
简单的线性规划最新课件
5x+3y=15 y
5
y=x+1
B(3/2,5/2)
1
O1
5
-1
A(-2,-1)
X-5y=3 x
Zma x1;7 Zmi简 n 单的 线1 性规划最1新课件
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
x 4 y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
简单的线性规划最新课件
有关概念
由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x， y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达到
1，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。
简单的线性规划
7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）.B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数.当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域. 2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x +y ≥0内B.点（0，0）在区域x +y +1<0内C.点（1，0）在区域y >2x 内D.点（0，1）在区域x －y +1>0内 解析：将（0，0）代入x +y ≥0，成立. 答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足 （x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3， A.5 B.10 C.217 D.10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10. 答案：D2x －y +1≥0，x －2y －1≤0， x +y ≤1则x 2+y 2的最小值为3.不等式组 表示的平面区域为A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43.∴α≠3π.答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________. 解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32.答案：t ＞325.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3 ●典例剖析【例1】 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1， y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1， x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0. 其平面区域如图.∴面积S =21×4×4=8.评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.或 或 或深化拓展若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 nmi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围； （2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围. 解：（1）依题意得v =y50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.② 因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.xy O1492.53910142+3=38y x （2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ），∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小. 此时，v =12.5，w =30，p 的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么 x +y ≤9，10×6x +6×8x ≥360， 0≤x ≤4， 0≤y ≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z min=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面区域为A BC D解析：可转化为x+2y+1≥0，x+2y+1≤0，或x－y+4≤0 x－y+4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x、y满足约束条件x≥0，x≥y，2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0， x ≥1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．x ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）.x －4y +3=0， 3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52．答案：525225.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.由 得B （5，2）.4.变量x 、y 满足条件设z =xy ，则z 的最小值为_______，最大值为由因此所求区域的不等式组为x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min =3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），4所需费用为S =0.5x +0.4y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0， y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小.故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1， y ≥1，3x +5y ≤20， 5x +4y ≤25.下的最大值为11，最小值为－5.上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300， 5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数. 由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元. 探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求： （1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域； （3）a +b －3的值域.f （0）＞0f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0， a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.解：由题意知 ⇒又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）.●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心 教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点（x ，y ）实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x 0，y 0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax +By +C =0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设ax +by =t ，则此直线往右（或左）平移时，t 值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解. 解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数； （2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】 已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围.解：∵－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5， p －q ≤－1，p －q ≥－4， 4p －q ≤5，4p －q ≥－1. 求z =9p －q 的最值.∴p =0， q =1，z min =－1， p =3，q =7， ∴－1≤f （3）≤20.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.x y +3由图知当直线l ：y =－x +t 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点.x +3y =40，2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.如图，∵z max =20，解方程组。
简单的线性规划
李林中学高一年级（下）数学学案 编号简单的线性规划问题制作人：贾胜如 审核人：郭建伟 时间：2014年6月一、学习目标1.了解线性规划的意义、了解可行域的意义；掌握简单的二元线性规划问题的解法．2.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；3.培养数学应用意识和解决问题的能力．二、导学1．基本概念：约束条件：目标函数：线性目标函数：线性规划：2．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为 问题。
满足线性约束条件的解(x,y)叫做由所有可行解组成的集合叫做使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做3．问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？3、导练例1.设，式中满足条件，求的最大值和最小值．例2.求的最大值，使式中满足约束条件4、 当堂检测1．若，且，则的最大值是___________．2．若，，且，则的最小值是___________．3．若，，，则的最大值是________．4．给出平面区域如图所示，若使目标函数，yxOB(1,1)C(1,225)A(5,2)取得最大值的最优解有无数个，则值为（ ）A． B． C． 4 D．5．不等式组所表示的平面区域内的整点坐标为_________________________．6．非负实数满足，求的最大值．7．某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．。
高中数学说课稿简单线性计划问题
高中数学说课稿《简单线性计划问题》一.说教材至此,咱们将一个具体的事物"温度计"通过抽象而归纳为一个数学概念"数轴",使学生初步体验到一个从实践到理论的熟悉进程.1.本节课主要内容是线性计划的意义和线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，按照约束条件成立线性目标函数。
应用线性计划的图解法解决一些实际问题。
2.地位作用：线性计划是数学计划中理论较完整、方式较成熟、应用较普遍的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。
简单的线性计划是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用。
通过这部份内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，以培育学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
3.教学目标圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和大体性质后，又掌握了求曲线方程的一般方式的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习进程中不免会出现困难.另外学生在探讨问题的能力,合作交流的意识等方面有待增强.我的理解是，小结归纳不该该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手腕，为充分发挥学生的主题作用，从学习的只是、方式、体验是那个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：(1)知识与技术：了解线性计划的意义和线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，能按照约束条件成立线性目标函数。
了解并初步应用线性计划的图解法解决一些实际问题。
(2)进程与方式：提高学生数学地提出、分析和解决问题的能力，发展学生数学应用意识，力求对现实世界中包含的一些数学模式进行思考和作出判断。
(3)情感、态度与价值观：体会数形结合、等价转化等数学思想，慢慢熟悉数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。
4.重点与难点重点：理解和用好图解法难点：如何用图解法寻觅线性计划的最优解。
直线方程与线性规划
) ( , ) 仍然要强调当 (0,
2 2
时，
k 不是单调递增的；
⑥
在后继学习中应适当渗透利用斜率的意义
来解决一些代数问题，体现数形结合思想，
课本介绍了直线的方向向量及与直线的斜率
之间的关系，为后面的学习作好铺垫．
２．直线的方程： 介绍了直线方程的几种重要形式：点斜式、 两点式、一般式，简单介绍了斜截式、截距 式．
一次函数的应用：
例题：
比较两种移动电话的收费方法（在同一坐 标系中画出它们的图象，观察图象：两图象的 交点处有相同的纵坐标得出此处收费相同、之 前之后的收费高低）
在“探究与应用”中
通过给出一个具体的二元一次方程，提出问题：（1） 可否把y看成关于x的一次函数？如果可看，那么一个 二元一次方程也可以对应于直角坐标系上的一条直线 （2）按此思路，直角坐标系上的两条相交直线的交 点坐标应有怎样的意义？ （3）具此，可否用画图象的方法解二元一次方程组？
线的关系，而在这里，我们将要运用解析几何的思想 和方法，通过研究直线方程来判断直线的位置关系．
①把初中几何中两条直线平行的判定和性质定 理转化为坐标系中的语言，用倾斜角、斜率、 截距来重新刻划有关条件．也可以利用现代教 育技术，通过改变两直线方程的系数，得出不 同情况下直线的位置关系的展示而得到，从而 让学生经历操作、体验、发现、感悟的过程； ②启发学生讨论一条直线没有斜率时，怎样通 过方程研究它与其它直线是否平行．
醒学生注意：夹角与到角的区别和联系．
l2
l1
l1
l2
（３）两条直线的交点
通过交点坐标的计算方法即转化为二元一
次方程组解的问题的分析，渗透解析几何的基 本思想
简单的线性规划 曲线和方程
简单的线性规划曲线和方程学科:数学教学内容:简单的线性规划曲线和方程【基础知识精讲】1.知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性,逻辑性.因此,建议同学们在学习本节时,应复习二元一次方程和平面直角坐标系中的直线的一种对应关系,在此基础上结合课本内容,理解二元一次不等式的解集在平面直角坐标系中对应的点(_,y)表示的区域.2.用二元一次不等式表示平面区域的主要应用,就是线性规划,线性规划问题主要解决的是在生产实际中的资源配置和降低资源消耗等方面的问题.因此,建议同学们在研究线性规划问题时,首先应掌握线性规划的理论方法,其次应培养自己建立数学模型的能力,在解决与线性规划有关的实际问题时,能抽象出数学本质,解决实际问题.3.教材开设简单的线性规划课程,是现代社会发展的需要,是纯理论性研究数学向应用数学知识解决实际问题发展的社会需要.所涉及的知识主要是平面线性区域的确定,建议同学们在学习本节时,要培养善于从实际问题抽象出数学模型的能力.4.用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形:平面区域二元一次不等式A_+By+C≥0(A＞0,B＞0)A_+By+C≤0(A＞0,B＞0)A_+By+C≥0(A＞0,B＜0)A_+By+C≤0(A＞0,B＜0＝说明对于二元一次不等式不带等号时,其表示的平面区域,应把边界直线画成虚线5.处理简单的线性规划的实际问题,关键之处在于从题意中建立目标函数,和相应的约束条件,实际上就是建立数学模型.这样解题时,将所有的约束条件罗列出来,弄清目标函数与约束条件的区别,得到目标函数的最优解,以理论指导实际生产需要.6.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力.物力.资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力.物力.资金等资源来完成该项任务.常见类型有:(1)物资调运问题例如已知A1.A2两煤矿每年的产量,煤需经B1.B2两个车站运往外地,B1.B2两车站的运输能力是有限的,且已知A1.A2两煤矿运往B1.B2两上车站的运输价格,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?(2)产品安排问题例如某工厂生产甲.乙两产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A.B.C三种材料的数量.此厂每月所能提供的三种材料的限额.每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的,这个厂每月应如何安排产品的生产,才能每月获得的总利润最大?(3)下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管,怎样下料能使损耗最小?本节学习要求:(1)画二元一次不等式表示平面区域是本节的重点,在学习思路上,应抓住〝以线定界.以点(原点)定域〞的思想,以A_+By+C≥0(A＞0,B＞0)为例.〝以线定界〞,即画二元一次方程A_+By+c=0表示的直线定边界,其中,还要注意实线.虚线的画法.〝以点定域〞,由于对在直线A_+By+C=0同侧的点,实数A_+By+C的值的符号都相同,故为了确定A_+By+C的值的符号,可采用取特殊点法,如取原点等.(2)在线性规划的实际应用中,由二元一次不等式组构成了约束条件,确定线性约束条件的可行域的方法,与由二元一次不等式表示平面区域方法相同,即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.(3)线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题.在线性规划的实际应用中,建立数学模型是解决问题的关键.一般地,线性规划的数学模型是:(这里〝≤〞也可以是〝≥〞或〝=〞,以下同)其中aij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m),bi(i=1,2,…,n)都是常量,_j(j=1,2,…,m)是非负变量,求Z=c1_1+c2_2+…+cm_m的最大值或最小值,这里Cj(j=1,2,…,m)是常量教科书讨论的是m=1,2的两个变量,即直角坐标系里的_,y两个变量的线性规划问题,这类问题常用图解法来求最优.涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解.(4)建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤:①明确问题中有待确定的未知量,并用数学符号表示②明确问题中所有的限制条件(约束条件),并用线性方程或线性不等式表示③明确目标函数,按问题的不同,求其最大值或最小值.培养学生研究.探索问题的积极态度,并运用所学知识解决实际问题的能力.线性规划问题,是运筹学中基础内容.线性规划的应用,主要有运输问题,生产组织问题,分配问题,合理下料等,此外,在经济领域中的布局问题.计划问题等,它们的数学家模型都是线性函数,因此,仍为线性规划问题.【重点难点解析】1.理解用二元一次不等式表示平面区域和线性规划的概念.2.掌握用二元一次不等式表示平面区域和应用线性规划的方法解决简单的实际问题的能力.3.掌握用线性规划的理论知识解决实际问题的能力.例1某企业生产A.B两种产品,A产品的单位利润为60元,B产品的单位利润为80元,两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产,每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8h和2.4h,每件B产品在两个车间都需经过1.6h,在一定时期中,加工车间最大加工时间为240h,装配车间最大生产时间为288h.已知销路没有问题,在此一定时期中应如何搭配生产A产品和B产品,企业可获得最大利润?分析根据条件,首先应挖掘实际问题的数学本质,为此,我们通过列框图比较各因素间的关系,寻找解题的突破口.产品单位利润加工车间装配车间(最大加工量240h) (最大装配量288h)A(_) 60 0.8h2.4hB(y) 80 1.6h 1.6hz=60_+80y 为线性目标函数.先由线性约束条件确定可行域,然后在可行域内求出目标函数的最优解.最大利润12600元.例2设实数_.y满足不等式组(1)求点(_,y)所在的平面区域(2)设a＞-1,在(1)所求的区域内,求函数f(_,y)=y-a_的最大值和最小值.分析必须使学生明确,求点(_,y)所在的平面区域,关键是确定区域的边界线.可以去掉绝对值符号入手.解:(1)已知的不等式组等价于或解得点(_,y)所在平面区域为如图1所示的阴影部分(含边界).其中AB:y=2_-5;BC:_+y=4;CD:y=-2_+1;DA:_+y=1.图1(2)f(_,y)表示直线l:y-a_=k在y轴上的截距,且直线l与(1)中所求区域有公共点.∵a＞-1.∴当直线l过顶点C时,f(_,y)最大.∵C点的坐标为(-3,7),∴f(_,y)的最大值为7+3a.如果-1＜a≤2,那么当直线l过顶点A(2,-1)时,f(_,y)最小,最小值为-1-2a.如果a＞2,那么当直线l过顶点B(3,1)时,f(_,y)最小,最小值为1-3a.说明:由于直线l的斜率为参数a,所以在求截距k的最值时,要注意对参数a进行讨论,方法是让直线l动起来.例3 某工厂要安排一种产品生产,该产品有Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ三种型号,生产这种产品需要两种主要资源:原材料和劳动力,每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示:型号货源ⅠⅡⅢ原材料(公斤/件)劳动力(小时/件)价格(元/件)424345655分析每天可利用的原材料为120公斤,劳动力为100小时,假定该产品只要生产出来即可销售出去,试确定三种型号产品的日产量,使总产值最大.建立数学模型:(1)用_1._2._3分别表示Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ种型号的日产量.(2)明确约束条件:(3)明确目标函数:Z=4_1+5_2+3_3这样,这个资源利用问题的数学模型为求_1,_2,_3的值,使Z=4_1+5_2+3_3为最大,且满足约束条件.例4某机械厂的车工分Ⅰ.Ⅱ两个等级,各级车工每人每天加工能力,成品合格率及日工资数如下表所示:级别加工能力(个/人天)成品合格率(%)工资(元/天)Ⅰ240975.6Ⅱ16095.53.6工厂要求每天至少加工配件2400个,车工每出一个废品,工厂要损失2元,现有Ⅰ级车工8人,Ⅱ级车工12人,且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工,试问如何安排工作,使工厂每天支出的费用最少.解析:首先据题意列出线性约束条件和目标函数.设需Ⅰ.Ⅱ级车工分别为_,y人.线性约束条件:目标函数:Z=［(1-97%)·240_+(1-95.5%)·160y］_2+5.6_+3.6y和Z=20_+18y.根据题意知即求目标函数Z的最小值.画出线性约束条件的平面区域如图2中阴影部分所示.据图(2)知.点A(6,6.3)应为既满足题意,又使目标函数最小.然而A点非整数点.故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点,且与原点最近距离,可知(6,7)为满足题意的整数解.图2此时Zmin=20_6+18_7=246(元).即每天安排Ⅰ级车工6人,Ⅱ级车工7人时,工厂每天支出费用最少.例5 某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢,第一种方法,每炉用10小时,第二种方法用12小时.(这里包括清炉时间)假定这两种炼法每炉出钢都是5600公斤,而炼一公斤钢的平均燃料费:第一种方法为50元,第二种方法为70元,若要求在72小时内炼钢量不少于36720公斤,问应该怎样分配两种炼法的任务,才使燃料费最少?解:设第一种方法炼_炉,第二种方法炼y种,得目标函数z=5600(50_+70y)线性约束条件据图解法可得整点解(6,1).即第一种方法炼6炉,第二种方法炼1炉时,燃料费最省.例6 某工厂要制造A种电子装置45台,B电子装置55台,为了给每台装配一个外壳,要从两种不同的薄钢板上截取,已知甲种薄钢板每张面积为2平方米,可作A的外壳3个和B的外壳5个;乙种薄钢板每张面积3平方米,可作A和B的外壳各6个,用这两种薄钢板各多少张,才能使总的用料面积最小?解:设需甲.乙两种钢板分别为_.y张,得目标函数Z=2_+3y,即求Z的最小值.据图解法易得最优整点解(5,5),即目标函数Z的最小值为25.即需甲.乙钢板各5张.【难题巧解点拨】例私人办学是教育发展的方向,某人准备投资1200万元兴办一所完全中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班级为单位):市场调查表班级学生数配备教师数硬件建设(万元)教师年薪(万元)初中502.0281.2高中402.5581.6根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费.办公费以外每生每年可收取600元,高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜,教师实行聘任制.初.高中的教育周期均为三年,请你合理地安排招生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资?解:设初中编制为_个班,高中编制为y个班,则(__gt;0,y_gt;0,_,y∈Z)记年利润为S,那么S＝3_+6y-2.4_-4y,即S＝0.6_+2y.如下图所示,作出①,②表示的平面区域,问题转化为在图中阴影部分求直线0.6_+2y-S＝0截距的最大值,过点A作0.6_+2y＝0的平行线即可求出S的最大值.联立A的坐标为(18,12).将_＝18,y＝12代入③,得Sma_＝34.8.设经过n年可收回投资,则11.6+23.2+34.8(n-2)＝1200,所以n＝33.5.【课本难题解答】Ⅰ教材第65页,习题7.42.(2)答:当_＝5,y＝1时,zmin＝60;(3)答:当_＝6,y＝9时,zma_＝195;Ⅱ教材第64页,练习题第2题解:设每天应配制甲种饮料_杯,乙种饮料y杯,咖啡馆每天获利z＝0.7_+1.2y(元) _.y满足约束条件最优解为(200,240) (图略)【命题趋势分析】掌握二元一次不等式表示的平面区域;理解线性规划的意义和线性约束条件.线性目标函数.可行解.可行域.最优解等基本概念;掌握线性规划问题的图解法,并能应用线怀规划的方法解决一些简单的实际问题.【典型热点考题】例1在直角坐标平面上,求满足不等式组的整点的个数.导析数字较大,不易逐一清点,关键是引导学生找出规律,分别令y=0,1,2,……,找出这些线上的整点数,然后把它们相加即可,如图2.解:两条坐标轴及直线_+y=100所围成区域(含边界)上的整点共有1+2+3+…+101==5151(个).而直线y=_,_+y=100及_轴所围区域(边界不包括直线y=_)上的整点共有:(1+1+1+1)+(2+2+2+2)+…+(25+25+25+25)=4(1+2+…+25)=1300(个)由对称性知,直线y=3_,_+y=100及y轴所围区域(边界不包括直线y=3_)上的整点也有1300个.故满足题条件的整点共有5151-2_1300=2551(个)说明:先求正方形区域上的整点数,有(100+1)2=10201(个),则半个正方形区域(含对角线)上的整点有+101=5151(个).又直线_+y=100和y= _的交点为B(75,25).令y=1,有101-1=100个(不含OB上的点);令y=1,则直线y=1与y=_._+y=100的交点横坐标分别为3和99,所以3＜_≤99,有96个点;y=2时,6＜_≤98,有92个点;…,y=24时,72＜_≤76,有4个点.故直线y=_._+y=100及y=0所围成的区域内共有=1300个整点.由对称性知,y=3_上方的三角形内也有1300个整点.故△AOB内(含边界)共有5151-2_1300=2551个整点.例2某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元.70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式有( )A.5种B.6种C.7种D.8种解:选C.设买单片软件_片,盒装磁盘y盒,则因为_,y均为整数,所以_＝3,4,5,6;y＝2,3,4.这样(_,y)共有12个,结合条件,肯定有些不合题意,经代入不等式(_)检验知,只有7个(_,y)正确.说明:本题具有浓厚的时代气息,要求考生思路清晰,有良好的数学应用意识,主要考查分类讨论思想以及分析问题.解决问题的能力.例3 对平面区域D,用N(D)表示属于D的所有整点的个数,若A表示由曲线y=_2(_≥0)和两直线_=10,y=1所围成的区域(包括边界);B表示曲线y=_2(_≥0)和两直线_=1,y=100所围成的区域(包括边界).试求N(A∪B)+N(A∩B)的值.导析先画出示意图(如图),其中A表示由曲线y=_2(_≥0)和两直线_=10,y=1所围成的区域(包括边界),B表示由曲线y=_2(_≥0)和两直线_=1,y=100所围成的区域,由于102=100.所以A∪B所围成的区域恰好为矩形PQRS,其中PQ=99,QR=9,且点Q.S均在曲线y=_2(_≥0)上.因此,有N(A∪B)=(99+1)_(9+1)=1000又A∩B形成的区域为抛物线弧段SQ,它上面的整点个数为N(A∩B)=9+1=10∴N(A∪B)+N(A∩B)=1000+10=1010.【同步达纲练习】A级一.选择题1.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3_-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是( )A.a＜-1或a＞24B.a=7或a=24C.-7＜a＜24D.-24＜a＜72.若则目标函数Z=_+2y的取值范围是( )A.［2,6］B.(2,5)C.(3,6)D.(3,5)3.满足｜_｜+｜y｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(_,y)的个数是( )A.16B.17C.40D.41二.填空题4.点P(a,4)到直线_-2y+2=0的距离等于2且在不等式3_+y-3＞0表示的平面区域内,则点P的坐标为.5.在直角坐标平面上,满足不等式组面积是.三.解答题6.求Z=8_+9y的最大值,使式中的_,y满足约束条件7.有一批钢管,长度都是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯,且这两种毛坯数量比大于配套,怎样截得合理.AA级一.选择题1.不等式_-2y+6＞0表示的平面区域在直线_-2y+6=0的( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式组表示的平面区域的面积等于( )A.28B.16C.D.1213.在直角坐标平面上,由不等式组所确定的平面区域内,整点有( )A.3个B.4个C.5个D.6个二.填空题1.变量_,y满足条件设Z=,则Zmin=,Zma_=.2.已知集合A={(_,y)｜｜_｜+｜y｜≤1},B={(_,y)｜(y-_)(y+_)≤0},m=A∩B,则m的面积为.三.解答题1.试画出满足不等式log_(log_y2)＞0的点(_,y)表示的平面区域.2.试求三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数.3.某工厂库存A.B.C三种原料,可用来生产Z,Y两种产品,市场调查显示可获利润等各种数据如下表:ABC每件产品利润(元)库存量(件)100125156(Ⅰ)(Ⅱ)Z(每件用料)12320001000Y(每件用料)43110003000问:若市场调查情况如(Ⅰ),怎样安排生产能获得最大利润?若市场调查情况如(Ⅱ),怎样安排生产能获得最大利润?【素质优化训练】1.设m为平面内以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界),当点(_,y)在区域m上变动时,4_-3y的最小值是.2.设P(_,y)是区域｜_｜+｜y｜≤1内的动点,则函数f(_,y)=a_+y(a＞0)的最大值是.3.已知函数f(_)=_2-6_+5,问满足的点(_,y)在平面上的什么范围?并作图.4.某工厂生产A.B两种产品,已知制造A产品1kg要用煤9t,电力4kw,劳力(按工作日计算)3个;制造B产品1kg要用煤4t,电力5kw,劳力10个,又知制成A产品1kg可获利7万元,制成B产品1kg可获利12万元,现在此工厂由于受某种条件限制,只有煤360t,电力200kw,劳力300个,在这种条件下应生产A.B产品各多少kg 能获得最大经济效益?参考答案:【同步达纲练习】A级1.C2.A3.D4.(16,4)5.9π-18区域为圆面(_-2)2+(y-3)2=9内挖去了一个内接正方形. 6.Zma_= 7.截500mm钢管6节和600mm钢管1节最合理.AA级一.1.B 2.B 3.A二.1.Zmin=0 Zma_=1 2.M的面积为1三.1.区域如图中阴影部分(不包括边界) 2.36个,设三角形另两边长为_,y,问题转化为求由_≥1,y≤11,及_+y＞11所围成区域内整点的个数.3.在(Ⅰ)种情况下获得最大利润为238000元,在第(Ⅱ)种情况下获得最大利润为479000元.【素质优化训练】1.最小值为-18.2.当0＜a≤1时,最大值为1,当a＞1时,最大值为a.3.满足条件的点(_,y)在图中的扇形PAB和扇形PCD内(包括边界),其中P点的坐标为(3,3)4.生产A.B产品分别为20kg和24kg时,获得最大效益为420万元.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尽管题目中给出所求直线上的点，但 k 都与三角
形面积的最值有关，这就需要列出含有 k 的面积表达 式，使直线方程与函数的最值结合起来，增加了问题 的综合度与难度，注意极值问题中均值定理的使用特 点,注意斜率 k 本身为负值的条件。
例3 一直线被两条平行直线 L1 : x 2 y 1 0，
点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直 线的位置关系。 3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
1．（04全国Ⅱ— 8）在坐标平面内，与点 A（1，2）距
离为 1，且与点 B（ 3，1）的距离为 2 的直线共有
直线或 y 轴（C = 0）。
5．解题时要充分利用图形给出的语言，因此，画图
时尽量标准，不可乱画。
6．线性规划的重点是把约束条件的二元一次不等式
组表示成可行域，难点是把目标函数与可行域结 合寻找最优解，所以用图解法解决线性规划问题 时，分析题目的已知条件找出约束条件和目标函 数是关键，可先将题目中的量分类，列出表格， 理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻找约 束条件，就题目所述找到目标函数。
∴ k 3x 2 y 则 3 x 2 y 6 的最大值为 6 。
1．正确理解斜率概念，掌握过两点的直线的
斜率公式是复习好本章内容的关键。
（1）任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条 直线都有斜率。（α = 90°时，斜率不存在） （2）斜率指的是直线对 x 轴的倾斜程度，用 k 表 示，它的值等于倾角的正切值。
解：作出直线 x – y – 1 = 0 和 x – 1 = 0 及点A（4,－1）,
LBA
由于 x – y – 1 = 0 是∠B 的平分线，
∴
LBC 与 LBA
关于 x – y – 1 = 0 对称，A 点（4,－1）关于
x – y – 1 = 0 的对称点 A´´ 应在
A´´（0，3）。 又∵ x = 1，是∠C的平分线
时，目标函数 k
3 x 2 y 的最大值为 ________。
由线性约束条件画出可行域：
欲求 k 3 x 2 y 的最大值。 即求与 3 x 2 y 0 平行且经过可行域的直线的截距的最大值。 直线C为所求直线，A点坐标为（2，6）
3 ∴ L1 ： y 6 ( x 2) 2 2 y 12 3 x 6
解：先画出可行域，如图
3 z x ， 2 2 3 z 求 z 的最大值即求 y x 在 y 轴截距的最大值 2 2
由 z = 3x + 2y 得 y
3 ∴ 当直线 y x 平移过A（1，1）点时截距最大， 2 z 5 其 ， 2 2
∴ z |max 5
解决问题的关键是（1）准确作出可行域；
B点的直线，当△OAB面积最小时直线的方程。
此题已给直线上的点M（2，1），因此，
只要求出斜率 k 即可，此时的 k 应使△OAB的 面积最小，所以可用待定系数法，找出△OAB 的面积与 k 的函数式，求之。
解：设所求直线
2k 1 令 y = 0 ，得 – 1 = kx－2k，x k 2k 1 ∴ A( ,0) k
7．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：
一是给出一定数量的人力、物力资源，问怎样运
用这些资源能使完成的任务量最大，收到效益最 大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使 完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小。
8．当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平
行（ k = ki ）时 ，其最优解可能有无数多个。
（4）当直线与 x 轴平行时，规定 α = 0 ∴ k tan 因此倾角的取值范围是
B
0, 。
2．复习直线的方程时要渗透理解方程的直线与直
线的方程的思想，通过最简单的曲线——直线
来了解曲线与方程的意义。
3．要熟练掌握根据所给条件求直线方程的方法，
但要注意直线的点斜式，斜截式等方程存在的 前提是斜率 k 存在，只有 k 存在，各种形式才 能转换，当 k 不存在时，依据条件只能写成 x = a 的形式。
L2 : x 2 y 3 0 所截，线段中点在直线
x – y – 1 = 0 上，并且过直线与两平行直线 的交角为 45°，求此直线方程。
设 AB 为所求直线，被平行线所截的线段 AB 的 中点为 G，那么 G 点在 x – y – 1 = 0 上，G 也为 x – y – 1 = 0 被平行线所截线段的中点。G 点也应在与两平 行线 L ， L 平行且等距的直线上，抓住这些隐含的 2 1 条件，此题就易于求解了。
1．直线的倾斜角和直线的斜率； 2．直线方程的五种形式； 3．二元一次不等式表示平面区域；
（1）线性约束条件； 4．线性规划的基本知识：
（2）目标函数；
（3）线性目标函数； （4）可行解； （5）可行域； （6）最优解。
1．理解直线的倾斜角的概念，掌握过两点的直线的斜率公 式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根 据条件熟练地求出直线方程。 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和
例 1 △ABC中，A（4，－1），∠B，∠C 的平分线
方程分别为 x – y – 1 = 0 和 x – 1 = 0，求 BC 边 所在直线的方程。
求直线方程应确定直线上的点和斜率，此题都未给 出，因此可利用△ABC的图形及角平分线的性质，知 A 点关于∠B 的平分线的对称点 A´ 应在直线 BC上，同样 A 点关于∠C 的平分线的对称点 A´´ 也应在直线BC上， 根据A´，A´´的坐标即可确定直线BC的方程。
则线段AB的垂直平分线的方程为 （ ）
A．4x + 2y = 5 C．x + 2y = 5
B．4x - 2y = 5 D．x - 2y = 5
确定一条直线需要两个条件：点、斜率。由已
知 AB 的中点 M 坐标为 ( 2, 3 )，所求直线的斜率为k，
则 k 1 1 2 ，则线段 AB 中垂线的
LBC 上，从图形中可知
∴ A（4, －1）关于 x = 1 的对称点A´（－2,－1）也在 上，据两点式得 L
BC
: 2x – y + 3 = 0。
LBC
确定直线的两个条件，一个是点，一个是斜率，当
两个条件都未直接给出时要注意利用条件结合图形进行
分析，这是解好题的重要途径。
例 2 求过 M（2，1）点且与 x 轴，y 轴正方向交于A、
令 x = 0 ，得 y – 1 = – 2k，y = 1 – 2k ∴ B（0，1-2k）
LAB的方程为 y – 1 = k ( x – 2 ) 。
由于k<0。 ∴ S OAB
Hale Waihona Puke 1 1 2k 1 (1 2k ) 2 | OA | | OB | (1 2k ) 2 2 k 2k
1 k 2 1 1 1 k 2
1 。 3 1 则所求直线方程为 y 3 x 3
解出 k = – 3 和 k
1 1 4 4 和 y x 3 3 3 3
即 9x + 3y – 13 = 0 和 3x – 9y – 1 = 0。
求直线方程的关键即为找点和斜率，分析问 题时，注意抓住几何条件，扣住图形，如本题找 G 点坐标，就是通过对条件的分析而求得解法， 再利用待定系数法求斜率 k ，使问题得解。
解：设G( x 0 , y 0 )为被 L1 : x 2 y 1 0，L2 : x 2 y 3 0
所截线段的中点，由于 L1 : x 2 y 1 0 在 y 轴上的截 距为 1 。L2 : x 2 y 3 0 在 y 轴上的截距为 3 。 2 2 ∴ 过G点且与 L1 ，L2 平行的直线在 y 轴上的截距为 1。
1 注意两直线垂直，其斜率 k 1 ，设所求直线斜率为 k。 k2
1 则 k 2，又过点（－1，3）。 1 2
所求直线方程为 y – 3 = －2 ( x + 1) ∴ 2x + y – 1 = 0， 选（A）
4．（ 04广东－10）变量 x、y 满足下列条件：
2 x y 12 2 x 9 y 36 2 x 3 y 24 x 0, y 0
则使得z = 3x + 2y 的值最小的（ x，y ）是（ A．（4.5，3） C．（9，2） B．（3，6） D．（6，4）
）
本题考查线性规划的基 本内容，根据约束条件
画出可行域。(如图)
M点的坐标可求出为（3，6） 故直线平移到M点，有最小值。 ∴ 最小的（x,y）为（3，6） ∴选B。
2 x 4 5．（04上海文－7）当 x，y 满足不等式组 y 3 x y 8
（2）弄清目标函数的几何意义，如本题中的 z
3 z 相当于 y x ，在 y 轴上截距的 2 倍， 2 2
求 z 的最大值相当于求截距的最大值。
例 5 某工厂有甲、乙两种产品按计划每天各生产不少
于 15 t，已知生产甲产品 1 t 需煤 9 t，电力4 kw， 劳力 3 个（按工作日计算）；生产乙产品 1t，需 煤 4 t，电力 5 kw，劳力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价12万元 ，但每天用煤量不得 超过 300 t，电力不得超过 200 kw，劳力只有300 个 ，问：每天各生产甲、乙两种产品各多少 t 才 能保证完成生产任务，又能过国家创造最多的财 富。
2
k AB
1 2
3 方程为： y 2( x 2) ， 2 2 y 3 4x 8
∴ 4x - 2y = 5。（选B）